לימוד מלא של הפונקציה באינטרנט בפירוט. הערות המסע המיומנות שלי

אם המשימה דורשת מחקר מלאפונקציה f (x) = x 2 4 x 2 - 1 עם בניית הגרף שלה, אז נשקול את העיקרון הזה בפירוט.

כדי לפתור בעיה מסוג זה, כדאי להשתמש במאפיינים ובגרפים של הראשי פונקציות אלמנטריות. אלגוריתם המחקר כולל את השלבים הבאים:

Yandex.RTB R-A-339285-1

מציאת תחום ההגדרה

מכיוון שמתבצע מחקר על תחום ההגדרה של הפונקציה, יש צורך להתחיל בשלב זה.

דוגמה 1

הדוגמה הנתונה כוללת מציאת האפסים של המכנה על מנת להוציא אותם מה-ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

כתוצאה מכך, אתה יכול לקבל שורשים, לוגריתמים וכן הלאה. אז ניתן לחפש את ה-ODZ עבור שורש בדרגה זוגית מסוג g (x) 4 על ידי אי השוויון g (x) ≥ 0, עבור יומן לוגריתם a g (x) לפי אי השוויון g (x) > 0.

לימוד גבולות ה-ODZ ומציאת אסימפטוטות אנכיות

בגבולות הפונקציה יש אסימפטוטות אנכיות, כאשר מגבלות חד-צדדיות בנקודות כאלה הן אינסופיות.

דוגמה 2

לדוגמה, שקול את נקודות הגבול שוות ל-x = ± 1 2.

אז יש צורך ללמוד את הפונקציה כדי למצוא את הגבול החד-צדדי. אז נקבל את זה: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

זה מראה שהגבולות החד-צדדיים הם אינסופיים, מה שאומר שהקווים הישרים x = ± 1 2 הם האסימפטוטים האנכיים של הגרף.

לימוד פונקציה והאם היא זוגית או אי-זוגית

כאשר התנאי y (- x) = y (x) מתקיים, הפונקציה נחשבת זוגית. זה מצביע על כך שהגרף ממוקם באופן סימטרי ביחס ל-Oy. כאשר התנאי y (- x) = - y (x) מתקיים, הפונקציה נחשבת אי זוגית. זה אומר שהסימטריה היא יחסית למקור הקואורדינטות. אם לפחות אי שוויון אחד אינו מסופק, נקבל פונקציה של צורה כללית.

השוויון y (- x) = y (x) מציין שהפונקציה זוגית. בעת הבנייה, יש צורך לקחת בחשבון שתהיה סימטריה ביחס ל-Oy.

כדי לפתור את אי השוויון, משתמשים במרווחים של עלייה וירידה עם התנאים f " (x) ≥ 0 ו-f " (x) ≤ 0, בהתאמה.

הגדרה 1

נקודות נייחות- אלו הנקודות שהופכות את הנגזרת לאפס.

נקודות קריטיות- אלו נקודות פנימיות מתחום ההגדרה שבהן הנגזרת של הפונקציה שווה לאפס או לא קיימת.

בעת קבלת החלטה, יש לקחת בחשבון את ההערות הבאות:

עבור מרווחים קיימים של אי-שוויון גדל והולך בצורת f " (x) > 0, נקודות קריטיות אינן כלולות בפתרון;
נקודות שבהן הפונקציה מוגדרת ללא נגזרת סופית חייבות להיכלל במרווחי הגדלת והירידה (לדוגמה, y = x 3, כאשר הנקודה x = 0 הופכת את הפונקציה להגדרה, לנגזרת יש ערך של אינסוף בשלב זה נקודה, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 נכלל במרווח הגובר);
כדי למנוע חילוקי דעות, מומלץ להשתמש בספרות מתמטית המומלצת על ידי משרד החינוך.

הכללת נקודות קריטיות במרווחים של עלייה וירידה אם הן מספקות את תחום ההגדרה של הפונקציה.

הגדרה 2

ל קביעת המרווחים של עלייה וירידה של פונקציה, יש צורך למצוא:

נגזר;
נקודות קריטיות;
לחלק את תחום ההגדרה למרווחים באמצעות נקודות קריטיות;
קבע את הסימן של הנגזרת בכל אחד מהמרווחים, כאשר + הוא עלייה ו- הוא ירידה.

דוגמה 3

מצא את הנגזרת בתחום ההגדרה f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

פִּתָרוֹן

כדי לפתור אתה צריך:

מצא נקודות נייחות, בדוגמה זו יש x = 0;
מצא את האפסים של המכנה, הדוגמה לוקחת את הערך אפס ב-x = ± 1 2.

אנו מניחים נקודות על קו המספרים כדי לקבוע את הנגזרת בכל מרווח. כדי לעשות זאת, זה מספיק כדי לקחת כל נקודה מהמרווח ולבצע חישוב. בְּ תוצאה חיוביתבגרף אנו מתארים +, כלומר הפונקציה גדלה, ו- אומר שהיא יורדת.

לדוגמה, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, כלומר במרווח הראשון משמאל יש סימן +. חשבו על קו המספרים.

תשובה:

הפונקציה גדלה במרווח - ∞; - 1 2 ו (- 1 2 ; 0 ];
יש ירידה במרווח [0; 1 2) ו-1 2; + ∞ .

בתרשים, באמצעות + ו-, החיוביות והשליליות של הפונקציה מתוארות, והחצים מציינים ירידה ועלייה.

נקודות קיצון של פונקציה הן נקודות שבהן הפונקציה מוגדרת ודרכן הנגזרת משנה סימן.

דוגמה 4

אם ניקח בחשבון דוגמה שבה x = 0, אז הערך של הפונקציה בה שווה ל- f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. כאשר הסימן של הנגזרת משתנה מ-+ ל- ועובר דרך הנקודה x = 0, אז הנקודה עם הקואורדינטות (0; 0) נחשבת לנקודה המקסימלית. כאשר הסימן משתנה מ- ל-+, נקבל נקודת מינימום.

קמורות וקעור נקבעות על ידי פתרון אי-שוויון בצורה f "" (x) ≥ 0 ו-f "" (x) ≤ 0. פחות נפוץ הוא השם קמור למטה במקום קיעור, וקמור כלפי מעלה במקום קמור.

הגדרה 3

ל קביעת מרווחי הקיעור והקימורנחוץ:

מצא את הנגזרת השנייה;
מצא את האפסים של פונקציית הנגזרת השנייה;
מחלקים את אזור ההגדרה למרווחים עם הנקודות המופיעות;
לקבוע את הסימן של המרווח.

דוגמה 5

מצא את הנגזרת השנייה מתחום ההגדרה.

פִּתָרוֹן

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

נמצא את האפסים של המונה והמכנה, כאשר בדוגמה שלנו יש שהאפסים של המכנה x = ± 1 2

כעת עליך לשרטט את הנקודות על קו המספרים ולקבוע את הסימן של הנגזרת השנייה מכל מרווח. אנחנו מקבלים את זה

תשובה:

הפונקציה קמורה מהמרווח - 1 2; 12 ;
הפונקציה קעורה מהמרווחים - ∞; - 1 2 ו- 1 2; + ∞ .

הגדרה 4

נקודת פיתול– זוהי נקודה בצורה x 0 ; f (x 0) . כאשר יש לה משיק לגרף של הפונקציה, אז כאשר היא עוברת דרך x 0 הפונקציה משנה סימן להיפך.

במילים אחרות, זו נקודה שדרכה עוברת הנגזרת השנייה ומשנה סימן, ובנקודות עצמן היא שווה לאפס או לא קיימת. כל הנקודות נחשבות לתחום של הפונקציה.

בדוגמה, היה ברור שאין נקודות פיתול, שכן הנגזרת השנייה משנה סימן תוך כדי מעבר דרך הנקודות x = ± 1 2. הם, בתורם, אינם נכללים בגדר ההגדרה.

מציאת אסימפטוטות אופקיות ואלכסוניות

כשמגדירים פונקציה באינסוף, צריך לחפש אסימפטוטים אופקיים ואלכסוניים.

הגדרה 5

אסימפטוטות אלכסוניותמתוארים באמצעות קווים ישרים שניתנו על ידי המשוואה y = k x + b, כאשר k = lim x → ∞ f (x) x ו- b = lim x → ∞ f (x) - k x.

עבור k = 0 ו-b שאינם שווים לאינסוף, אנו מוצאים שהאסימפטוטה האלכסונית הופכת אופקי.

במילים אחרות, אסימפטוטות נחשבות לקווים שאליהם מתקרב הגרף של פונקציה באינסוף. זה מקל על בנייה מהירה של גרף פונקציות.

אם אין אסימפטוטות, אך הפונקציה מוגדרת בשני האינסוף, יש צורך לחשב את גבול הפונקציה באינסופים אלו על מנת להבין כיצד יתנהג הגרף של הפונקציה.

דוגמה 6

בואו ניקח את זה כדוגמה

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

הוא אסימפטוטה אופקית. לאחר בחינת הפונקציה, ניתן להתחיל לבנות אותה.

חישוב ערכה של פונקציה בנקודות ביניים

כדי להפוך את הגרף למדויק יותר, מומלץ למצוא מספר ערכי פונקציה בנקודות ביניים.

דוגמה 7

מהדוגמה שחשבנו, יש צורך למצוא את ערכי הפונקציה בנקודות x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. מכיוון שהפונקציה זוגית, נקבל שהערכים עולים בקנה אחד עם הערכים בנקודות אלו, כלומר נקבל x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

בואו נכתוב ונפתור:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08

כדי לקבוע את המקסימום והמינימום של הפונקציה, נקודות הפיתול ונקודות הביניים, יש צורך לבנות אסימפטוטות. לצורך ייעוד נוח, נרשמים מרווחים של עלייה, ירידה, קמור וקיעור. בואו נסתכל על התמונה למטה.

יש צורך לצייר קווי גרף דרך הנקודות המסומנות, שיאפשרו לך להתקרב לאסימפטוטות על ידי מעקב אחר החצים.

זה מסיים את החקירה המלאה של הפונקציה. ישנם מקרים של בניית כמה פונקציות אלמנטריות שעבורן נעשה שימוש בטרנספורמציות גיאומטריות.

אם אתה מבחין בשגיאה בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

לימוד פונקציה מתבצע על פי סכמה ברורה ודורש מהתלמיד ידע מוצק במושגים מתמטיים בסיסיים כגון תחום ההגדרה והערכים, המשכיות הפונקציה, אסימפטוטה, נקודות קיצון, זוגיות, מחזוריות וכו'. . על התלמיד להיות מסוגל להבדיל בין פונקציות באופן חופשי ולפתור משוואות, שלעיתים עשויות להיות מורכבות מאוד.

כלומר, משימה זו בודקת רובד משמעותי של ידע, שכל פער בו יהפוך למכשול לקבלת הפתרון הנכון. לעתים קרובות במיוחד, מתעוררים קשיים בבניית גרפים של פונקציות. טעות זו בולטת מיד למורה ועלולה לפגוע מאוד בציון שלך, גם אם כל השאר בוצעו כהלכה. כאן תוכל למצוא בעיות מחקר פונקציות מקוונות: לימוד דוגמאות, הורדת פתרונות, הזמנת מטלות.

חקור פונקציה ושרטט גרף: דוגמאות ופתרונות מקוונים

הכנו עבורכם הרבה לימודי תפקוד מוכנים, גם בתשלום בספר הפתרונות וגם בחינם בסעיף דוגמאות ללימודי תפקוד. בהתבסס על משימות שנפתרו אלו, תוכל להכיר בפירוט את המתודולוגיה לביצוע משימות דומות, ולבצע את המחקר שלך באנלוגיה.

אנחנו מציעים דוגמאות מוכנותלימוד מלא והזימה של פונקציות מהסוגים הנפוצים ביותר: פולינומים, רציונלי שבר, אי-רציונלי, מעריכי, לוגריתמי, פונקציות טריגונומטריות. כל בעיה שנפתרה מלווה בגרף מוכן עם נקודות מפתח מודגשות, אסימפטוטים, מקסימום ומינימום; הפתרון מתבצע באמצעות אלגוריתם ללימוד הפונקציה.

בכל מקרה, הדוגמאות שנפתרו יעזרו לך מאוד שכן הן מכסות את סוגי הפונקציות הפופולריים ביותר. אנו מציעים לכם מאות בעיות שכבר נפתרו, אבל, כידוע, יש מספר אינסופי של פונקציות מתמטיות בעולם, ומורים הם מומחים גדולים בהמצאת עוד ועוד משימות מסובכות לתלמידים עניים. אז, תלמידים יקרים, עזרה מוסמכת לא תזיק לכם.

פתרון בעיות מחקר פונקציות מותאמות אישית

במקרה זה, השותפים שלנו יציעו לך שירות נוסף - מחקר מלא באינטרנטלהורות. המשימה תושלם עבורך בהתאם לכל הדרישות לאלגוריתם לפתרון בעיות כאלה, מה שישמח מאוד את המורה שלך.

אנו נערוך עבורך מחקר מלא של הפונקציה: נמצא את תחום ההגדרה ותחום הערכים, נבחן המשכיות ואי-רציפות, נקים זוגיות, נבדוק את הפונקציה שלך לגבי מחזוריות ונמצא את נקודות החיתוך עם צירי הקואורדינטות. . וכמובן, עוד באמצעות חשבון דיפרנציאלי: נמצא אסימפטוטות, נחשב נקודות קיצון, נקודות פיתול ונבנה את הגרף עצמו.

אחת המשימות החשובות ביותר של חשבון דיפרנציאלי היא הפיתוח דוגמאות נפוצותמחקרים על התנהגות תפקודית.

אם הפונקציה y=f(x) רציפה במרווח, והנגזרת שלה חיובית או שווה ל-0 במרווח (a,b), אז y=f(x) גדל ב-(f"(x)0) אם הפונקציה y=f (x) רציפה על הקטע, והנגזרת שלה שלילית או שווה ל-0 במרווח (a,b), אז y=f(x) יורד ב-(f"(x)0 )

מרווחים שבהם הפונקציה לא יורדת או עולה נקראים מרווחים של מונוטוניות של הפונקציה. המונוטוניות של פונקציה יכולה להשתנות רק באותן נקודות של תחום ההגדרה שלה שבהן הסימן של הנגזרת הראשונה משתנה. הנקודות שבהן הנגזרת הראשונה של פונקציה נעלמת או שיש לה אי רציפות נקראות קריטיות.

משפט 1 (תנאי מספיק ראשון לקיומו של קיצון).

תן לפונקציה y=f(x) להיות מוגדרת בנקודה x 0 ותהיה שכונה δ>0 כך שהפונקציה תהיה רציפה על המרווח וניתנת להפרדה על המרווח (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , והנגזרת שלו שומרת על סימן קבוע בכל אחד מהמרווחים הללו. אז אם ב-x 0 -δ,x 0) ו-(x 0, x 0 +δ) הסימנים של הנגזרת שונים, אז x 0 היא נקודת קיצון, ואם הם עולים בקנה אחד, אז x 0 אינו נקודת קיצון . יתרה מכך, אם, כאשר עוברים דרך הנקודה x0, הנגזרת משנה את הסימן מפלוס למינוס (משמאל ל-x 0 f"(x)>0 מסופקת, אז x 0 היא הנקודה המקסימלית; אם הנגזרת משנה את הסימן מ- מינוס לפלוס (מימין ל-x 0 מבוצע f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

נקודות המקסימום והמינימום נקראות נקודות הקיצון של הפונקציה, והמקסימום והמינימום של הפונקציה נקראים ערכי הקיצון שלה.

משפט 2 (סימן הכרחי לקיצון מקומי).

אם לפונקציה y=f(x) יש נקודת קיצון ב-x=x 0 הנוכחי, אז או f’(x 0)=0 או f’(x 0) אינם קיימים.
בנקודות הקיצון של הפונקציה הניתנת להבדלה, המשיק לגרף שלה מקביל לציר השור.

אלגוריתם לחקר פונקציה עבור קיצון:

1) מצא את הנגזרת של הפונקציה.
2) מצא נקודות קריטיות, כלומר. נקודות שבהן הפונקציה רציפה והנגזרת אפס או לא קיימת.
3) חשבו על השכונה של כל נקודה, ובחנו את הסימן של הנגזרת משמאל ומימין לנקודה זו.
4) קבע את הקואורדינטות של נקודות הקיצון; לשם כך, החלף את ערכי הנקודות הקריטיות בפונקציה זו. תוך שימוש בתנאים מספקים לקיצוניות, הסיק את המסקנות המתאימות.

דוגמה 18. בדוק את הפונקציה y=x 3 -9x 2 +24x עבור נקודת קיצון

פִּתָרוֹן.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) משווה את הנגזרת לאפס, נמצא x 1 =2, x 2 =4. במקרה זה, הנגזרת מוגדרת בכל מקום; המשמעות היא שמלבד שתי הנקודות שנמצאו, אין עוד נקודות קריטיות.
3) הסימן של הנגזרת y"=3(x-2)(x-4) משתנה בהתאם למרווח כפי שמוצג באיור 1. כאשר עוברים דרך הנקודה x=2, הנגזרת משנה את הסימן מפלוס למינוס, וכשעוברים דרך הנקודה x=4 - ממינוס לפלוס.
4) בנקודה x=2 לפונקציה יש מקסימום y max =20, ובנקודה x=4 - מינימום y min =16.

משפט 3. (תנאי מספיק שני לקיומו של קיצון).

תן f"(x 0) ובנקודה x 0 יש f""(x 0). אז אם f""(x 0)>0, אז x 0 היא נקודת המינימום, ואם f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

בקטע, הפונקציה y=f(x) יכולה להגיע לערך הקטן ביותר (y הקטן ביותר) או הגדול ביותר (y הגבוה ביותר) בנקודות הקריטיות של הפונקציה הנמצאת במרווח (a;b), או ב- קצוות הקטע.

אלגוריתם למציאת הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה רציפה y=f(x) בקטע:

1) מצא את f"(x).
2) מצא את הנקודות שבהן f"(x)=0 או f"(x) לא קיימות, ובחר מהן את אלו שנמצאות בתוך הקטע.
3) חשב את ערכה של הפונקציה y=f(x) בנקודות שהתקבלו בשלב 2), וכן בקצוות הקטע ובחר מהן הגדול והקטן ביותר: הן, בהתאמה, הגדולות (y הערכים הגדולים ביותר) והקטנים ביותר (y לפחות) של הפונקציה במרווח.

דוגמה 19. מצא את המרב ערך גבוה יותרפונקציה רציפה y=x 3 -3x 2 -45+225 על הקטע.

1) יש לנו y"=3x 2 -6x-45 על הקטע
2) הנגזרת y" קיימת עבור כל x. בוא נמצא את הנקודות שבהן y"=0; אנחנו מקבלים:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 = 5
3) חשב את ערך הפונקציה בנקודות x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
הקטע מכיל רק את הנקודה x=5. הגדול מבין הערכים שנמצאו של הפונקציה הוא 225, והקטן ביותר הוא המספר 50. לכן, y max = 225, y min = 50.

לימוד פונקציה על קמורות

האיור מציג גרפים של שתי פונקציות. הראשון מהם קמור כלפי מעלה, השני קמור כלפי מטה.

הפונקציה y=f(x) היא רציפה על מרווח וניתנת להפרדה במרווח (a;b), נקראת קמור כלפי מעלה (למטה) במרווח זה אם, עבור axb, הגרף שלה אינו גבוה יותר (לא נמוך יותר) מה- משיק מצויר בכל נקודה M 0 (x 0 ;f(x 0)), כאשר axb.

משפט 4. תן לפונקציה y=f(x) נגזרת שנייה בכל נקודה פנימית x של הקטע ותהיה רציפה בקצות הקטע הזה. אז אם אי השוויון f""(x)0 מתקיים על המרווח (a;b), אז הפונקציה קמורה כלפי מטה על המרווח; אם אי השוויון f""(x)0 מתקיים במרווח (a;b), אז הפונקציה קמורה כלפי מעלה ב-.

משפט 5. אם לפונקציה y=f(x) יש נגזרת שנייה על המרווח (a;b) ואם היא משנה סימן במעבר דרך הנקודה x 0, אז M(x 0 ;f(x 0)) הוא נקודת פיתול.

כלל למציאת נקודות פיתול:

1) מצא את הנקודות שבהן f""(x) אינו קיים או נעלם.
2) בדקו את הסימן f""(x) משמאל וימין לכל נקודה שנמצאה בשלב הראשון.
3) בהתבסס על משפט 4, הסיק מסקנה.

דוגמה 20. מצא את נקודות הקיצון ונקודות הפיתול של הגרף של הפונקציה y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

יש לנו f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. ברור, f"(x)=0 כאשר x 1 =0, x 2 =1. במעבר בנקודה x=0, הנגזרת משנה סימן ממינוס לפלוס, אך במעבר בנקודה x=1 היא לא משנה סימן. זה אומר ש-x=0 היא נקודת המינימום (y min =12), ואין נקודת קיצון בנקודה x=1. לאחר מכן, אנו מוצאים . הנגזרת השנייה נעלמת בנקודות x 1 =1, x 2 =1/3. הסימנים של הנגזרת השנייה משתנים באופן הבא: על הקרן (-∞;) יש לנו f""(x)>0, במרווח (;1) יש לנו f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. לכן, x= היא נקודת הפיתול של גרף הפונקציות (מעבר מקמור למטה לקמור כלפי מעלה) ו-x=1 היא גם נקודת הפיתול (מעבר מקמור כלפי מעלה לקמור כלפי מטה). אם x=, אז y= ; אם, אז x=1, y=13.

אלגוריתם למציאת אסימפטוטה של גרף

I. אם y=f(x) בתור x → a, אז x=a היא אסימפטוטה אנכית.
II. אם y=f(x) בתור x → ∞ או x → -∞, אז y=A היא אסימפטוטה אופקית.
III. כדי למצוא את האסימפטוטה האלכסונית, אנו משתמשים באלגוריתם הבא:
1) חשב . אם הגבול קיים ושווה ל-b, אז y=b הוא אסימפטוטה אופקית; אם , אז עבור לשלב השני.
2) חשב . אם הגבול הזה לא קיים, אז אין אסימפטוטה; אם הוא קיים ושווה ל-k, אז עבור לשלב השלישי.
3) חשב . אם הגבול הזה לא קיים, אז אין אסימפטוטה; אם הוא קיים ושווה ל-b, עבור לשלב הרביעי.
4) רשום את משוואת האסימפטוטה האלכסונית y=kx+b.

דוגמה 21: מצא את האסימפטוטה לפונקציה

1)
2)
3)
4) למשוואת האסימפטוטה האלכסונית יש את הצורה

תכנית ללימוד פונקציה ובניית הגרף שלה

I. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.
II. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם צירי הקואורדינטות.
III. מצא אסימפטוטות.
IV. מצא נקודות קיצון אפשריות.
V. מצא נקודות קריטיות.
VI. בעזרת דמות העזר, חקור את הסימן של הנגזרת הראשונה והשנייה. קבע אזורים של תפקוד עולה ויורד, מצא את כיוון הקמור של הגרף, נקודות קיצון ונקודות הפיתול.
VII. בנו גרף תוך התחשבות במחקר שבוצע בפסקאות 1-6.

דוגמה 22: בנה גרף של הפונקציה לפי התרשים לעיל

פִּתָרוֹן.
I. התחום של פונקציה הוא קבוצת כל המספרים הממשיים מלבד x=1.
II. מכיוון שלמשוואה x 2 +1=0 אין שורשים ממשיים, לגרף הפונקציה אין נקודות חיתוך עם ציר השור, אלא חותך את ציר Oy בנקודה (0;-1).
III. הבה נבהיר את שאלת קיומן של אסימפטוטות. הבה נלמד את התנהגות הפונקציה ליד נקודת אי ההמשכיות x=1. מכיוון ש-y → ∞ כ-x → -∞, y → +∞ כ-x → 1+, אז הישר x=1 הוא האסימפטוטה האנכית של גרף הפונקציה.
אם x → +∞(x → -∞), אז y → +∞(y → -∞); לכן, לגרף אין אסימפטוטה אופקית. יתרה מכך, מקיומם של גבולות

בפתרון המשוואה x 2 -2x-1=0 נקבל שתי נקודות קיצון אפשריות:
x 1 =1-√2 ו-x 2 =1+√2

V. כדי למצוא את הנקודות הקריטיות, אנו מחשבים את הנגזרת השנייה:

מכיוון ש-f""(x) אינו נעלם, אין נקודות קריטיות.
VI. הבה נבחן את הסימן של הנגזרת הראשונה והשנייה. נקודות קיצון אפשריות שיש לקחת בחשבון: x 1 =1-√2 ו-x 2 =1+√2, חלקו את תחום הקיום של הפונקציה למרווחים (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) ו-(1+√2;+∞).

בכל אחד מהמרווחים הללו, הנגזרת שומרת על הסימן שלה: בראשון - פלוס, בשני - מינוס, בשלישי - פלוס. רצף הסימנים של הנגזרת הראשונה ייכתב כך: +,-,+.
אנו מוצאים שהפונקציה גדלה ב-(-∞;1-√2), יורדת ב-(1-√2;1+√2), ועולה שוב ב-(1+√2;+∞). נקודות קיצון: מקסימום ב-x=1-√2, ו-f(1-√2)=2-2√2 מינימום ב-x=1+√2, ו-f(1+√2)=2+2√2. ב-(-∞;1) הגרף קמור כלפי מעלה, וב-(1;+∞) הוא קמור כלפי מטה.
VII בואו נעשה טבלה של הערכים שהתקבלו

VIII בהתבסס על הנתונים שהתקבלו, אנו בונים שרטוט של גרף הפונקציה

בואו נלמד את הפונקציה $y= \frac(x^3)(1-x) $ ונבנה את הגרף שלה.

1. היקף ההגדרה.
תחום ההגדרה של פונקציה רציונלית (שבר) יהיה: המכנה אינו שווה לאפס, כלומר. $1 -x \ne 0 => x \ne 1$. דומיין $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$

2. נקודות שבירה של פונקציות וסיווגם.
לפונקציה יש נקודת שבירה אחת x = 1
בוא נבחן את הנקודה x= 1. בוא נמצא את הגבול של הפונקציה מימין ומשמאל לנקודת האי-רציפות, מימין $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1) -x)) = -\infty $$ ומשמאל לנקודה $$ \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ זה היא נקודת אי המשכיות מהסוג השני כי מגבלות חד-צדדיות שוות ל-$\infty$.

הקו הישר $x = 1$ הוא אסימפטוטה אנכית.

3. זוגיות פונקציה.
אנו בודקים זוגיות $f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) $ הפונקציה אינה זוגית ואינה.

4. אפסים של הפונקציה (נקודות חיתוך עם ציר השור). מרווחים של סימן קבוע של פונקציה.
אפסי פונקציה (נקודת חיתוך עם ציר השור): נשווה $y=0$, נקבל $\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 $. לעקומה יש נקודת חיתוך אחת עם ציר השור עם קואורדינטות $(0;0)$.

מרווחים של סימן קבוע של פונקציה.
במרווחים הנחשבים $(-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$ לעקומה יש נקודת חיתוך אחת עם ציר השור, ולכן נשקול את תחום ההגדרה בשלושה מרווחים.

הבה נקבע את הסימן של הפונקציה על מרווחים של תחום ההגדרה:
מרווח $(-\infty; 0) $ מצא את הערך של הפונקציה בכל נקודה $f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 $, на этом интервале функция отрицательная $f(x) < 0 $, т.е. находится ниже оси Ox
מרווח $(0; 1) $ נמצא את הערך של הפונקציה בכל נקודה $f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 $, במרווח זה הפונקציה היא חיובי $f(x) > 0 $, כלומר. ממוקם מעל ציר השור.
מרווח $(1;+\infty) $ מצא את הערך של הפונקציה בכל נקודה $f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 $, на этом интервале функция отрицательная $f(x) < 0 $, т.е. находится ниже оси Ox

5. נקודות חיתוך עם ציר Oy: נשווה $x=0$, נקבל $f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0$. קואורדינטות של נקודת החיתוך עם ציר Oy $(0; 0)$

6. מרווחים של מונוטוניות. אקסטרמה של פונקציה.
בוא נמצא את הנקודות הקריטיות (נייחות), לשם כך נמצא את הנגזרת הראשונה ונשווה אותה לאפס $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1) -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ שווה ל-0 $$ \frac(x) ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ בואו נמצא את הערך של הפונקציה בנקודה זו $ f(0) = 0$ ו-$f(\frac(3)(2)) = -6.75$. קיבלנו שתי נקודות קריטיות עם קואורדינטות $(0;0)$ ו-$(1.5;-6.75)$

מרווחים של מונוטוניות.
לפונקציה יש שתי נקודות קריטיות (נקודות קיצון אפשריות), לכן נשקול מונוטוניות בארבעה מרווחים:
מרווח $(-\infty; 0) $ מצא את הערך של הנגזרת הראשונה בכל נקודה במרווח $f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) )^2) >
מרווח \((0;1)$ נמצא את הערך של הנגזרת הראשונה בכל נקודה במרווח $f(0.5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0$, הפונקציה גדלה במהלך המרווח הזה.
מרווח $(1;1.5)$ נמצא את הערך של הנגזרת הראשונה בכל נקודה במרווח $f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ 2) > 0$, הפונקציה גדלה במהלך המרווח הזה.
מרווח $(1.5; +\infty)$ מצא את הערך של הנגזרת הראשונה בכל נקודה במרווח $f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) ^2)< 0$, на этом интервале функция убывает.

אקסטרמה של פונקציה.

כאשר למדנו את הפונקציה, השגנו שתי נקודות קריטיות (נייחות) על המרווח של תחום ההגדרה. בואו נקבע אם הם קיצוניים. הבה נבחן את השינוי בסימן הנגזרת בעת מעבר דרך נקודות קריטיות:

נקודה $x = 0$ הנגזרת משנה סימן עם $\quad +\quad 0 \quad + \quad$ - הנקודה אינה נקודת קיצון.
נקודה $x = 1.5$ הנגזרת משנה סימן עם $\quad +\quad 0 \quad - \quad$ - הנקודה היא נקודת מקסימום.

7. מרווחים של קמור וקעור. נקודות פיתול.

כדי למצוא את המרווחים של קמור וקעור, נמצא את הנגזרת השנייה של הפונקציה ונשווה אותה לאפס $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$שווה לאפס $$ \frac(2x(x^2-3x+3))((1) -x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ לפונקציה יש אחד נקודה קריטיתמהסוג השני עם קואורדינטות $(0;0)$.
הבה נגדיר קמורות על מרווחים של תחום ההגדרה, תוך התחשבות בנקודה קריטית מהסוג השני (נקודת נטייה אפשרית).

מרווח $(-\infty; 0)$ מצא את הערך של הנגזרת השנייה בכל נקודה $f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 $, на этом интервале вторая производная функции отрицательная $f""(x) < 0 $ - функция выпуклая вверх (вогнутая).
מרווח $(0; 1)$ נמצא את הערך של הנגזרת השנייה בכל נקודה $f""(0.5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3) > 0 $, במרווח זה הנגזרת השנייה של הפונקציה היא חיובית $f""(x) > 0 $ הפונקציה קמורה כלפי מטה (קמור).
מרווח $(1; \infty)$ מצא את הערך של הנגזרת השנייה בכל נקודה $f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 $, на этом интервале вторая производная функции отрицательная $f""(x) < 0 $ - функция выпуклая вверх (вогнутая).

נקודות פיתול.

הבה נבחן את השינוי בסימן של הנגזרת השנייה במעבר דרך נקודה קריטית מהסוג השני:
בנקודה $x =0$, הנגזרת השנייה משנה סימן עם $\quad - \quad 0 \quad + \quad$, הגרף של הפונקציה משנה קמורות, כלומר. זוהי נקודת הפיתול עם קואורדינטות $(0;0)$.

8. אסימפטוטים.

אסימפטוטה אנכית. לגרף של הפונקציה יש אסימפטוטה אנכית אחת $x =1$ (ראה פסקה 2).
אסימפטוטה אלכסונית.
על מנת שלגרף הפונקציה $y= \frac(x^3)(1-x) $ ב-$x \to \infty$ תהיה אסימפטוטה מלוכסנת $y = kx+b$ , זה הכרחי ומספיק , כך שיש שני מגבלות $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$ נמצא את זה $$ \lim_(x \to \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ והגבול השני $$ \lim_(x \to +\infty)( f(x) - kx) = b$ $, כי $k = \infty$ - אין אסימפטוטה אלכסונית.

אסימפטוטה אופקית:כדי שתתקיים אסימפטוטה אופקית, יש צורך שתהיה מגבלה $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$ בוא נמצא אותו $$ \lim_(x \to +\infty )(\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\ infty$$
אין אסימפטוטה אופקית.

9. גרף פונקציות.

היום אנו מזמינים אתכם לחקור ולבנות איתנו גרף של פונקציה. לאחר לימוד קפדני של מאמר זה, לא תצטרך להזיע זמן רב כדי להשלים משימה מסוג זה. לא קל ללמוד ולבנות גרף של פונקציה; זוהי עבודה רבת עוצמה הדורשת תשומת לב ודיוק מרבית של חישובים. כדי להקל על הבנת החומר, נלמד את אותה פונקציה צעד אחר צעד ונסביר את כל הפעולות והחישובים שלנו. ברוכים הבאים לעולם המדהים והמרתק של המתמטיקה! ללכת!

תְחוּם

על מנת לחקור ולתת גרף של פונקציה, עליך לדעת מספר הגדרות. פונקציה היא אחד המושגים העיקריים (הבסיסיים) במתמטיקה. הוא משקף את התלות בין מספר משתנים (שניים, שלושה או יותר) במהלך שינויים. הפונקציה מציגה גם את התלות של קבוצות.

תארו לעצמכם שיש לנו שני משתנים שיש להם טווח מסוים של שינוי. אז, y הוא פונקציה של x, בתנאי שכל ערך של המשתנה השני מתאים לערך אחד של השני. במקרה זה, המשתנה y תלוי, והוא נקרא פונקציה. נהוג לומר שהמשתנים x ו-y נמצאים בעבור בהירות רבה יותר של תלות זו, נבנה גרף של הפונקציה. מהו גרף של פונקציה? זוהי קבוצה של נקודות במישור הקואורדינטות, כאשר כל ערך x מתאים לערך y אחד. גרפים יכולים להיות שונים - קו ישר, היפרבולה, פרבולה, גל סינוס וכן הלאה.

אי אפשר לצייר גרף של פונקציה בלי מחקר. היום נלמד כיצד לבצע מחקר ולבנות גרף של פונקציה. חשוב מאוד לרשום הערות במהלך הלימוד. זה יהפוך את המשימה להרבה יותר קלה להתמודדות. תוכנית המחקר הנוחה ביותר:

תְחוּם.
הֶמשֵׁכִיוּת.
זוגי או אי - זוגי.
תְקוּפָתִיוּת.
אסימפטוטים.
אפסים.
קביעות שלט.
עולה ויורד.
קיצוניות.
קמור וקעור.

נתחיל מהנקודה הראשונה. בואו נמצא את תחום ההגדרה, כלומר באילו מרווחים קיימת הפונקציה שלנו: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). במקרה שלנו, הפונקציה קיימת עבור כל ערכים של x, כלומר, תחום ההגדרה שווה ל-R. ניתן לכתוב זאת כדלקמן xÎR.

הֶמשֵׁכִיוּת

כעת נבחן את פונקציית אי ההמשכיות. במתמטיקה, המונח "המשכיות" הופיע כתוצאה מחקר חוקי התנועה. מה זה אינסופי? מרחב, זמן, כמה תלות (דוגמה היא התלות של המשתנים S ו-t בבעיות תנועה), הטמפרטורה של עצם מחומם (מים, מחבת, מדחום וכו'), קו רציף (כלומר כזה ש ניתן לצייר מבלי להרים אותו מעיפרון הגיליון).

גרף נחשב רציף אם הוא לא נשבר בשלב מסוים. אחת הדוגמאות הברורות ביותר של גרף כזה היא סינוסואיד, אותו ניתן לראות בתמונה בסעיף זה. פונקציה היא רציפה בנקודה כלשהי x0 אם מתקיימים מספר תנאים:

פונקציה מוגדרת בנקודה נתונה;
הגבול הימני והשמאלי בנקודה שווים;
לְהַגבִּיל שווה לערךמתפקד בנקודה x0.

אם לפחות תנאי אחד לא מתקיים, נאמר שהפונקציה נכשלת. והנקודות שבהן הפונקציה נשברת נקראות בדרך כלל נקודות שבירה. דוגמה לפונקציה ש"תישבר" כשהיא מוצגת בצורה גרפית היא: y=(x+4)/(x-3). יתרה מכך, y לא קיים בנקודה x = 3 (שכן אי אפשר לחלק באפס).

בפונקציה שאנו לומדים (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) הכל התברר כפשוט, שכן הגרף יהיה רציף.

זוגי אי - זוגי

כעת בדוק את הפונקציה עבור זוגיות. ראשית, קצת תיאוריה. פונקציה זוגית היא כזו שעומדת בתנאי f(-x)=f(x) עבור כל ערך של המשתנה x (מטווח הערכים). דוגמאות מכילות:

מודול x (הגרף נראה כמו daw, החצייה של הרבע הראשון והשני של הגרף);
x בריבוע (פרבולה);
קוסינוס x (קוסינוס).

שימו לב שכל הגרפים הללו הם סימטריים כשהם צופים ביחס לציר ה-y (כלומר, ציר ה-y).

מה אם כן נקרא פונקציה אי זוגית? אלו הן אותן פונקציות שעומדות בתנאי: f(-x)=-f(x) עבור כל ערך של המשתנה x. דוגמאות:

הִיפֵּרבּוֹלָה;
פרבולה מעוקבת;
סינוסואיד;
משיק וכן הלאה.

שימו לב שפונקציות אלו הן סימטריות לגבי הנקודה (0:0), כלומר המקור. בהתבסס על מה שנאמר בחלק זה של המאמר, אפילו ו פונקציה אי - זוגיתחייב להיות המאפיין: x שייך לקבוצת ההגדרה וגם -x.

הבה נבחן את הפונקציה עבור זוגיות. אנחנו יכולים לראות שהיא לא מתאימה לאף אחד מהתיאורים. לכן, הפונקציה שלנו היא לא זוגית ולא מוזרה.

אסימפטוטים

נתחיל בהגדרה. אסימפטוטה היא עקומה הקרובה ככל האפשר לגרף, כלומר המרחק מנקודה מסוימת שואף לאפס. בסך הכל, ישנם שלושה סוגים של אסימפטוטות:

אנכי, כלומר מקביל לציר ה-y;
אופקי, כלומר מקביל לציר x;
נוֹטֶה.

באשר לסוג הראשון, יש לחפש את השורות האלה בכמה נקודות:

פער;
קצוות תחום ההגדרה.

במקרה שלנו, הפונקציה היא רציפה, ותחום ההגדרה שווה ל-R. כתוצאה מכך, אין אסימפטוטות אנכיות.

לגרף של פונקציה יש אסימפטוטה אופקית, העונה על הדרישה הבאה: אם x שואף לאינסוף או מינוס אינסוף, והגבול שווה למספר מסוים (לדוגמה, a). במקרה זה, y=a היא האסימפטוטה האופקית. בפונקציה שאנו לומדים אסימפטוטות אופקיותלא.

אסימפטוטה אלכסונית קיימת רק אם מתקיימים שני תנאים:

lim(f(x))/x=k;
lim f(x)-kx=b.

אז ניתן למצוא אותו באמצעות הנוסחה: y=kx+b. שוב, במקרה שלנו אין אסימפטוטות אלכסוניות.

אפסים פונקציה

השלב הבא הוא לבחון את גרף הפונקציה לאפסים. כמו כן, חשוב מאוד לציין שהמשימה הקשורה במציאת אפסים של פונקציה מתרחשת לא רק בעת לימוד ובניית גרף של פונקציה, אלא גם כמשימה עצמאית וכדרך לפתור אי שוויון. ייתכן שתידרש למצוא את האפסים של פונקציה בגרף או להשתמש בסימון מתמטי.

מציאת ערכים אלה תעזור לך לצייר את הפונקציה בצורה מדויקת יותר. אם נדבר בשפה פשוטה, אז האפס של הפונקציה הוא הערך של המשתנה x שבו y = 0. אם אתה מחפש את האפסים של פונקציה בגרף, אז אתה צריך לשים לב לנקודות שבהן הגרף נחתך עם ציר ה-x.

כדי למצוא את האפסים של הפונקציה, עליך לפתור את המשוואה הבאה: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. לאחר ביצוע החישובים הדרושים, אנו מקבלים את התשובה הבאה:

קביעות שלט

השלב הבא של מחקר ובניית פונקציה (גרף) הוא מציאת מרווחים של סימן קבוע. המשמעות היא שעלינו לקבוע באילו מרווחים הפונקציה מקבלת ערך חיובי ובאילו מרווחים היא מקבלת ערך שלילי. פונקציות האפס שנמצאו בסעיף האחרון יעזרו לנו לעשות זאת. לכן, עלינו לבנות קו ישר (בנפרד מהגרף) ולחלק את אפסי הפונקציה לאורכו בסדר הנכון מהקטן לגדול ביותר. כעת עליך לקבוע לאילו מהמרווחים המתקבלים יש סימן "+" ולאיזה יש "-".

במקרה שלנו, הפונקציה מקבלת ערך חיובי על מרווחים:

מ-1 עד 4;
מ-9 עד אינסוף.

משמעות שלילית:

ממינוס אינסוף ל-1;
מ-4 עד 9.

זה די קל לקבוע. החליפו כל מספר מהמרווח לתוך הפונקציה וראו איזה סימן מסתבר שיש לתשובה (מינוס או פלוס).

הגדלת והקטנת התפקוד

על מנת לחקור ולבנות פונקציה, עלינו לדעת היכן יגדל הגרף (לעלות לאורך ציר Oy) ואיפה הוא ייפול (לזחול למטה לאורך ציר ה-y).

פונקציה גדלה רק אם ערך גדול יותר של המשתנה x מתאים לערך גדול יותר של y. כלומר, x2 גדול מ-x1, ו-f(x2) גדול מ-f(x1). ואנו רואים תופעה הפוכה לחלוטין עם פונקציה הולכת ופוחתת (כמה שיותר x, פחות y). כדי לקבוע את מרווחי העלייה והירידה, עליך למצוא את הדברים הבאים:

תחום ההגדרה (כבר יש לנו);
נגזרת (במקרה שלנו: 1/3(3x^2-28x+49);
פתור את המשוואה 1/3(3x^2-28x+49)=0.

לאחר חישובים נקבל את התוצאה:

נקבל: הפונקציה גדלה במרווחים ממינוס אינסוף ל-7/3 ומ-7 לאינסוף, ויורדת במרווח מ-7/3 ל-7.

קיצוניות

הפונקציה הנבדקת y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) היא רציפה וקיימת עבור כל ערך של המשתנה x. נקודת הקיצון מציגה את המקסימום והמינימום של פונקציה נתונה. במקרה שלנו אין כאלה, מה שמפשט מאוד את משימת הבנייה. אחרת, ניתן למצוא אותם גם באמצעות פונקציית הנגזרת. לאחר שנמצאו, אל תשכח לסמן אותם בתרשים.

קמור וקעור

אנו ממשיכים לחקור את הפונקציה y(x). עכשיו אנחנו צריכים לבדוק אם יש קמור וקיעור. ההגדרות של מושגים אלה די קשות להבנה; עדיף לנתח הכל באמצעות דוגמאות. למבחן: פונקציה קמורה אם היא פונקציה שאינה יורדת. מסכים, זה לא מובן!

אנחנו צריכים למצוא את הנגזרת של פונקציה מסדר שני. נקבל: y=1/3(6x-28). עכשיו בואו נשווה צד ימיןלאפס ולפתור את המשוואה. תשובה: x=14/3. מצאנו את נקודת הפיתול, כלומר, המקום בו הגרף משתנה מקמור לקיעור או להיפך. במרווח ממינוס אינסוף ל-14/3 הפונקציה קמורה, ומ-14/3 ועד פלוס אינסוף היא קעורה. כמו כן, חשוב מאוד לציין שנקודת הפיתול בתרשים צריכה להיות חלקה ורכה, לא פינות חדותלא צריך להיות נוכח.

הגדרת נקודות נוספות

המשימה שלנו היא לחקור ולבנות גרף של הפונקציה. סיימנו את המחקר; בניית גרף של הפונקציה אינה קשה כעת. לשחזור מדויק ומפורט יותר של עקומה או קו ישר במישור הקואורדינטות, ניתן למצוא מספר נקודות עזר. הם די קלים לחישוב. לדוגמה, ניקח את x=3, נפתור את המשוואה שהתקבלה ונמצא את y=4. או x=5, ו-y=-5 וכן הלאה. אתה יכול לקחת כמה נקודות נוספות שאתה צריך לבנייה. נמצאו לפחות 3-5 מהם.

שרטוט גרף

היינו צריכים לחקור את הפונקציה (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. כל הסימנים הדרושים במהלך החישובים נעשו במישור הקואורדינטות. כל מה שנותר לעשות הוא לבנות גרף, כלומר לחבר את כל הנקודות. חיבור הנקודות צריך להיות חלק ומדויק, זה עניין של מיומנות – קצת תרגול ולוח הזמנים שלכם יהיה מושלם.