מצגת ושיעור בנושא: "משוואות רציונליות. אלגוריתם ודוגמאות לפתרון משוואות רציונליות"

חומרים נוספים
משתמשים יקרים, אל תשכחו להשאיר הערות, משוב, הצעות! כל החומרים נבדקים על ידי תוכנת אנטי וירוס.

עזרי הוראה וסימולטורים בחנות המקוונת "אינטגרל" לכיתה ח'
מדריך לספר הלימוד Makarychev Yu.N. מדריך לספר הלימוד Mordkovich A.G.

מבוא למשוואות אי-רציונליות

חבר'ה, למדנו איך לפתור משוואות ריבועיות. אבל המתמטיקה אינה מוגבלת רק אליהם. היום נלמד איך לפתור משוואות רציונליות. הרעיון של משוואות רציונליות דומה במובנים רבים למושג מספר רציונלי. רק בנוסף למספרים, עכשיו הצגנו איזה משתנה $x$. וכך אנו מקבלים ביטוי בו יש פעולות של חיבור, חיסור, כפל, חילוק והעלאה לחזקה שלמה.

תן $r(x)$ להיות ביטוי רציונלי. ביטוי כזה יכול להיות פולינום פשוט במשתנה $x$ או יחס של פולינומים (מוכנסת פעולת החלוקה, כמו למספרים רציונליים).
המשוואה $r(x)=0$ נקראת משוואה רציונלית.
כל משוואה בצורה $p(x)=q(x)$, שבה $p(x)$ ו-$q(x)$ הם ביטויים רציונליים, תהיה גם משוואה רציונלית.

שקול דוגמאות לפתרון משוואות רציונליות.

דוגמה 1
פתרו את המשוואה: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

פִּתָרוֹן.
בואו נעביר את כל הביטויים ל צד שמאל: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
אם מספרים רגילים היו מיוצגים בצד שמאל של המשוואה, אז היינו מביאים שני שברים למכנה משותף.
בוא נעשה זאת: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
קיבלנו את המשוואה: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

שבר הוא אפס אם ורק אם המונה של השבר הוא אפס והמכנה אינו אפס. לאחר מכן השווה בנפרד את המונה לאפס ומצא את שורשי המונה.
$3(x^2+2x-3)=0$ או $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
כעת נבדוק את המכנה של השבר: $(x-3)*x≠0$.
המכפלה של שני מספרים שווה לאפס כאשר לפחות אחד מהמספרים האלה שווה לאפס. לאחר מכן: $x≠0$ או $x-3≠0$.
$x≠0$ או $x≠3$.
השורשים המתקבלים במונה ובמכנה אינם תואמים. אז בתגובה אנחנו רושמים את שני השורשים של המונה.
תשובה: $x=1$ או $x=-3$.

אם לפתע, אחד משורשי המונה עלה בקנה אחד עם שורש המכנה, אז יש לשלול אותו. שורשים כאלה נקראים זרים!

אלגוריתם לפתרון משוואות רציונליות:

1. הזיזו את כל הביטויים הכלולים במשוואה שמאלה לסימן השוויון.
2. המר חלק זה של המשוואה ל שבר אלגברי: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. השוו את המונה המתקבל לאפס, כלומר פתרו את המשוואה $p(x)=0$.
4. השוו את המכנה לאפס ופתרו את המשוואה שהתקבלה. אם שורשי המכנה עולים בקנה אחד עם שורשי המונה, אזי יש להוציאם מהתשובה.

דוגמה 2
פתרו את המשוואה: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

פִּתָרוֹן.
נפתור לפי נקודות האלגוריתם.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. השווה את המונה לאפס: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. השווה את המכנה לאפס:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ ו-$x=-1$.
אחד השורשים $x=1$ חופף לשורש המונה, אז אנחנו לא רושמים אותו בתגובה.
תשובה: $x=-1$.

נוח לפתור משוואות רציונליות בשיטת שינוי המשתנים. בואו נדגים את זה.

דוגמה 3
פתרו את המשוואה: $x^4+12x^2-64=0$.

פִּתָרוֹן.
אנו מציגים תחליף: $t=x^2$.
אז המשוואה שלנו תלבש את הצורה:
$t^2+12t-64=0$ - רגיל משוואה ריבועית.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4$.
בואו נציג תחליף הפוך: $x^2=4$ או $x^2=-16$.
השורשים של המשוואה הראשונה הם זוג מספרים $x=±2$. לשני אין שורשים.
תשובה: $x=±2$.

דוגמה 4
פתרו את המשוואה: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
פִּתָרוֹן.
בואו נציג משתנה חדש: $t=x^2+x+1$.
לאחר מכן המשוואה תקבל את הצורה: $t=\frac(15)(t+2)$.
לאחר מכן, נפעל לפי האלגוריתם.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3$.
4. $t≠-2$ - השורשים אינם תואמים.
אנו מציגים החלפה הפוכה.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
בואו נפתור כל משוואה בנפרד:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - לא שורשים.
והמשוואה השנייה: $x^2+x-2=0$.
השורשים של משוואה זו יהיו המספרים $x=-2$ ו-$x=1$.
תשובה: $x=-2$ ו-$x=1$.

דוגמה 5
פתרו את המשוואה: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

פִּתָרוֹן.
אנו מציגים תחליף: $t=x+\frac(1)(x)$.
לאחר מכן:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ או $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
קיבלנו את המשוואה: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
השורשים של משוואה זו הם הזוג:
$t=-3$ ו-$t=2$.
בואו נציג את ההחלפה ההפוכה:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
נחליט בנפרד.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
בואו נפתור את המשוואה השנייה:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
השורש של משוואה זו הוא המספר $x=1$.
תשובה: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

משימות לפתרון עצמאי

לפתור משוואות:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

§ 1 משוואות רציונליות שלמות ושבריות

בשיעור זה נחקור מושגים כמו משוואה רציונלית, ביטוי רציונלי, ביטוי שלם, ביטוי שבר. שקול את הפתרון של משוואות רציונליות.

משוואה רציונלית היא משוואה שבה הצד השמאלי והימני הם ביטויים רציונליים.

ביטויים רציונליים הם:

חֶלקִי.

ביטוי של מספר שלם מורכב ממספרים, משתנים, חזקות שלמים תוך שימוש בפעולות של חיבור, חיסור, כפל וחילוק במספר שאינו אפס.

לדוגמה:

בביטויים שברים, יש חלוקה במשתנה או ביטוי עם משתנה. לדוגמה:

ביטוי שבר אינו הגיוני עבור כל הערכים של המשתנים הכלולים בו. למשל, הביטוי

ב-x = -9 זה לא הגיוני, כי ב-x = -9 המכנה הולך לאפס.

משמעות הדבר היא שמשוואה רציונלית יכולה להיות מספר שלם ושבר.

משוואה רציונלית שלמה היא משוואה רציונלית שבה הצד השמאלי והימני הם ביטויים שלמים.

לדוגמה:

משוואה רציונלית שברית היא משוואה רציונלית שבה הצד השמאלי או הימני הם ביטויים שברים.

לדוגמה:

§ 2 פתרון של משוואה רציונלית שלמה

שקול את הפתרון של משוואה רציונלית שלמה.

לדוגמה:

הכפלו את שני הצדדים של המשוואה במכנה המשותף הפחות מכנהים של השברים הכלולים בה.

לזה:

1. מצא מכנה משותף למכנים 2, 3, 6. הוא שווה ל-6;

2. מצא גורם נוסף לכל שבר. לשם כך, חלק את המכנה המשותף 6 בכל מכנה

מכפיל נוסף עבור השבר

מכפיל נוסף עבור השבר

3. הכפלו את המונה של השברים בגורמים הנוספים המתאימים להם. לפיכך, אנו מקבלים את המשוואה

שהוא שווה ערך למשוואה זו

פתח את הסוגריים משמאל צד ימיןאנחנו מעבירים שמאלה, משנים את הסימן של המונח במהלך ההעברה להפך.

אנו נותנים מונחים דומים של הפולינום ומקבלים

אנו רואים שהמשוואה היא לינארית.

אם נפתור את זה, נגלה ש-x = 0.5.

§ 3 פתרון של משוואה רציונלית שברית

שקול את הפתרון של משוואה רציונלית שברית.

לדוגמה:

1. הכפלו את שני צדדי המשוואה במכנה המשותף הפחות ממכנים של השברים הרציונליים הכלולים בה.

מצא את המכנה המשותף למכנים x + 7 ו-x - 1.

זה שווה למוצר שלהם (x + 7)(x - 1).

2. בוא נמצא גורם נוסף לכל שבר רציונלי.

לשם כך, נחלק את המכנה המשותף (x + 7) (x - 1) בכל מכנה. מכפיל נוסף לשברים

שווה x - 1,

מכפיל נוסף עבור השבר

שווה ל-x+7.

3. הכפלו את המונה של השברים בגורמים הנוספים המתאימים להם.

נקבל את המשוואה (2x - 1) (x - 1) \u003d (3x + 4) (x + 7), המקבילה למשוואה זו

4.שמאל וימין מכפילים את הבינומי בבינום ומקבלים את המשוואה הבאה

5. אנו מעבירים את החלק הימני לשמאל, משנים את הסימן של כל מונח בעת העברה להפך:

6. אנו מציגים איברים דומים של הפולינום:

7. ניתן לחלק את שני החלקים ב-1. נקבל משוואה ריבועית:

8. לאחר שפתרנו את זה, נמצא את השורשים

מאז במשוואה

החלק השמאלי והימני הם ביטויים שברים, ובביטויים שברים, עבור חלק מהערכים של המשתנים, המכנה עשוי להיעלם, ואז יש צורך לבדוק אם המכנה המשותף אינו נעלם כאשר נמצאו x1 ו-x2.

ב-x = -27 המכנה המשותף (x + 7)(x - 1) לא נעלם, ב-x = -1 גם המכנה המשותף אינו אפס.

לכן, שני השורשים -27 ו -1 הם שורשים של המשוואה.

בעת פתרון משוואה רציונלית שברית, עדיף לציין מיד את השטח ערכים מותרים. הסר את הערכים שבהם המכנה המשותף הולך לאפס.

שקול דוגמה נוספת לפתרון משוואה רציונלית שברית.

לדוגמה, בואו נפתור את המשוואה

אנו מפרקים את המכנה של השבר בצד ימין של המשוואה לגורמים

אנחנו מקבלים את המשוואה

מצא מכנה משותף למכנים (x - 5), x, x (x - 5).

זה יהיה הביטוי x (x - 5).

עכשיו בואו נמצא את טווח הערכים הקבילים של המשוואה

לשם כך, נשווה את המכנה המשותף לאפס x (x - 5) \u003d 0.

נקבל משוואה, שנפתור אותה, נמצא שב-x \u003d 0 או ב-x \u003d 5, המכנה המשותף נעלם.

אז x = 0 או x = 5 לא יכולים להיות שורשי המשוואה שלנו.

עכשיו אתה יכול למצוא מכפילים נוספים.

מכפיל נוסף לשברים רציונליים

מכפיל נוסף לשברים

יהיה (x - 5),

והגורם הנוסף של השבר

נכפיל את המונה בגורמים הנוספים המתאימים.

נקבל את המשוואה x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

בואו נפתח את הסוגריים משמאל ומימין, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

בואו נעביר את המונחים מימין לשמאל על ידי שינוי הסימן של המונחים שיש להזיז:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

ולאחר הבאת מונחים דומים, נקבל את המשוואה הריבועית x2 - 3x - 10 \u003d 0. לאחר שפתרנו אותה, אנו מוצאים את השורשים x1 \u003d -2; x2 = 5.

אבל כבר גילינו שב-x = 5 המכנה המשותף x(x - 5) נעלם. לכן, שורש המשוואה שלנו

יהיה x = -2.

§ 4 סיכום השיעור

חשוב לזכור:

בעת פתרון משוואות רציונליות שברים, עליך לבצע את הפעולות הבאות:

1. מצא את המכנה המשותף של השברים הכלולים במשוואה. יתרה מכך, אם ניתן לפרק את המכנים של השברים לגורמים, אז לפרק אותם לגורמים ואז למצוא את המכנה המשותף.

2. הכפלו את שני הצדדים של המשוואה במכנה משותף: מצאו גורמים נוספים, הכפלו המונים בגורמים נוספים.

3. פתרו את המשוואה השלמה שהתקבלה.

4. להוציא משורשיו את אלו שהופכים את המכנה המשותף לאפס.

רשימת ספרות משומשת:

1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / בעריכת Telyakovsky S.A. אלגברה: ספר לימוד. עבור 8 תאים. חינוך כללי מוסדות. - מ.: חינוך, 2013.
2. מורדקוביץ' א.ג. אַלגֶבּרָה. כיתה ח': בשני חלקים. חלק 1: פרוק. לחינוך כללי מוסדות. - מ.: מנמוסינה.
3. רורוקין א.נ. התפתחויות שיעור באלגברה: כיתה ח' - מ': VAKO, 2010.
4. אלגברה כיתה 8: מערכי שיעור לפי ספר הלימוד מאת Yu.N. Makarycheva, N.G. מינדיוק, K.I. נשקובה, ש.ב. Suvorova / Auth.-comp. ט.ל. אפנסייב, ל.א. טפילינה. - וולגוגרד: מורה, 2005.

מטרות השיעור:

הדרכה:

• היווצרות המושג של משוואות רציונליות שברים;
• לשקול דרכים שונות לפתרון משוואות רציונליות שברים;
• לשקול אלגוריתם לפתרון משוואות רציונליות שברים, כולל התנאי שהשבר שווה לאפס;
• ללמד את הפתרון של משוואות רציונליות שבריות לפי האלגוריתם;
• בדיקת רמת ההטמעה של הנושא על ידי ביצוע עבודת מבחן.

מתפתח:

• פיתוח היכולת לפעול נכון עם הידע הנרכש, לחשוב בהיגיון;
• פיתוח מיומנויות אינטלקטואליות ופעולות מנטליות - ניתוח, סינתזה, השוואה והכללה;
• פיתוח יוזמה, יכולת לקבל החלטות, לא לעצור שם;
• פיתוח חשיבה ביקורתית;
• פיתוח מיומנויות מחקר.

טיפוח:

• חינוך לעניין קוגניטיבי בנושא;
• חינוך לעצמאות בפתרון בעיות חינוכיות;
• חינוך של רצון והתמדה להשגת התוצאות הסופיות.

סוג שיעור: שיעור - הסבר על חומר חדש.

במהלך השיעורים

1. רגע ארגוני.

היי ח'ברה! משוואות כתובות על הלוח, הסתכלו עליהן היטב. האם אתה יכול לפתור את כל המשוואות הללו? אילו מהם לא ומדוע?

משוואות שבהן הצד השמאלי והימני הם ביטויים רציונליים שברים נקראות משוואות רציונליות שברים. מה לדעתך נלמד היום בשיעור? נסחו את נושא השיעור. אז, אנו פותחים מחברות ורושמים את נושא השיעור "פתרון משוואות רציונליות שבריריות".

2. מימוש ידע. סקר פרונטלי, עבודה בעל פה עם הכיתה.

ועכשיו נחזור על החומר התיאורטי העיקרי שעלינו ללמוד נושא חדש. אנא ענו על השאלות הבאות:

1. מהי משוואה? ( שוויון עם משתנה או משתנים.)
2. איך קוראים למשוואה מס' 1? ( ליניארי.) שיטת פתרון משוואות ליניאריות. (הזיזו כל דבר עם הלא נודע לצד שמאל של המשוואה, כל המספרים ימינה. תביא מונחים דומים. מצא את המכפיל הלא ידוע).
3. איך קוראים למשוואה 3? ( כיכר.) שיטות לפתרון משוואות ריבועיות. ( בחירת הריבוע המלא, לפי נוסחאות, תוך שימוש במשפט Vieta והשלכותיו.)
4. מה זה פרופורציה? ( שוויון בין שני יחסים.) התכונה העיקרית של פרופורציה. ( אם הפרופורציה נכונה, אז המכפלה של האיברים הקיצוניים שלו שווה למכפלת האיברים האמצעיים.)
5. אילו תכונות משמשות לפתרון משוואות? ( 1. אם במשוואה נעביר את האיבר מחלק אחד למשנהו, משנים את הסימן שלו, אז נקבל משוואה שווה ערך לנתון. 2. אם שני חלקי המשוואה מוכפלים או מחולקים באותו מספר שאינו אפס, אזי תתקבל משוואה ששווה לנתון.)
6. מתי שבר שווה לאפס? ( שבר הוא אפס כאשר המונה הוא אפס והמכנה אינו אפס.)

3. הסבר על חומר חדש.

פתרו משוואה מס' 2 במחברות ובלוח.

תשובה: 10.

איזה משוואה רציונלית שבריתהאם אתה יכול לנסות לפתור באמצעות תכונת הפרופורציה הבסיסית? (מס' 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

פתרו משוואה מס' 4 במחברות ובלוח.

תשובה: 1,5.

איזו משוואה רציונלית שברית אתה יכול לנסות לפתור על ידי הכפלת שני הצדדים של המשוואה במכנה? (מס' 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

תשובה: 3;4.

כעת נסו לפתור את משוואה מס' 7 באחת הדרכים.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
תשובה: 0;5;-2.			תשובה: 5;-2.

תסביר למה זה קרה? מדוע ישנם שלושה שורשים במקרה אחד ושניים במקרה השני? אילו מספרים הם השורשים של המשוואה הרציונלית השברית הזו?

עד עכשיו התלמידים לא פגשו את המושג של שורש זר, באמת קשה להם מאוד להבין למה זה קרה. אם אף אחד בכיתה לא יכול לתת הסבר ברור למצב זה, אז המורה שואל שאלות מובילות.

• במה שונות משוואות מס' 2 ו-4 ממשוואות מס' 5,6,7? ( במשוואות מס' 2 ו-4 במכנה המספר מס' 5-7 - ביטויים עם משתנה.)
• מהו שורש המשוואה? ( הערך של המשתנה שבו המשוואה הופכת לשוויון אמיתי.)
• איך לגלות אם מספר הוא השורש של משוואה? ( תעשה בדיקה.)

בעת ביצוע מבחן, חלק מהתלמידים שמים לב שעליהם לחלק באפס. הם מסיקים שהמספרים 0 ו-5 אינם שורשי המשוואה הזו. נשאלת השאלה: האם יש דרך לפתור משוואות רציונליות שבריות שמבטלת את השגיאה הזו? כן, שיטה זו מבוססת על התנאי שהשבר שווה לאפס.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

אם x=5, אז x(x-5)=0, אז 5 הוא שורש חיצוני.

אם x=-2, אז x(x-5)≠0.

תשובה: -2.

בואו ננסה לנסח אלגוריתם לפתרון משוואות רציונליות שבריות בדרך זו. ילדים מנסחים בעצמם את האלגוריתם.

אלגוריתם לפתרון משוואות רציונליות שברים:

1. הזיזו הכל שמאלה.
2. הביאו שברים למכנה משותף.
3. הרכיבו מערכת: שבר הוא אפס כאשר המונה הוא אפס והמכנה אינו אפס.
4. פתור את המשוואה.
5. בדוק את אי השוויון כדי להוציא שורשים זרים.
6. רשום את התשובה.

דיון: כיצד לנסח את הפתרון אם משתמשים בתכונה הבסיסית של פרופורציה ומכפלת שני הצדדים של המשוואה במכנה משותף. (השלים את הפתרון: להוציא משורשיו את אלה שהופכים את המכנה המשותף לאפס).

4. הבנה ראשונית של חומר חדש.

עבודה בזוגות. התלמידים בוחרים כיצד לפתור את המשוואה בעצמם, בהתאם לסוג המשוואה. משימות מתוך ספר הלימוד "אלגברה 8", יו.נ. מקאריצ'ב, 2007: מס' 600 (ב, ג, א); מס' 601(א, ה, ז). המורה שולט בביצוע המשימה, עונה על השאלות שעלו ומעניק סיוע לתלמידים בעלי ביצועים גרועים. מבחן עצמי: התשובות כתובות על הלוח.

ב) 2 הוא שורש חיצוני. תשובה: 3.

ג) 2 הוא שורש חיצוני. תשובה: 1.5.

א) תשובה: -12.5.

ז) תשובה: 1; 1.5.

5. הצהרת שיעורי בית.

1. קראו את פריט 25 מתוך ספר הלימוד, נתחו דוגמאות 1-3.
2. למד את האלגוריתם לפתרון משוואות רציונליות שברים.
3. פתור במחברות מס' 600 (א, ד, ה); מס' 601 (ג, ח).
4. נסה לפתור את #696(א) (אופציונלי).

6. מילוי משימת הבקרה בנושא הנלמד.

העבודה נעשית על סדינים.

דוגמא לתפקיד:

א) אילו מהמשוואות הן רציונליות שברים?

ב) שבר הוא אפס כאשר המונה הוא ___________ והמכנה הוא _______________________.

ש) האם המספר -3 הוא השורש של משוואה מס' 6?

ד) פתרו משוואה מס' 7.

קריטריונים להערכת משימה:

• "5" ניתן אם התלמיד סיים יותר מ-90% מהמשימה בצורה נכונה.
• "4" - 75% -89%
• "3" - 50% -74%
• "2" ניתן לתלמיד שסיים פחות מ-50% מהמשימה.
• כיתה 2 לא מופיעה ביומן, 3 היא אופציונלית.

7. השתקפות.

על העלונים עם עבודה עצמאית, שים:

• 1 - אם השיעור היה מעניין ומובן עבורך;
• 2 - מעניין, אבל לא ברור;
• 3 - לא מעניין, אבל מובן;
• 4 - לא מעניין, לא ברור.

8. סיכום השיעור.

אז היום בשיעור הכרנו משוואות רציונליות שבריות, למדנו איך לפתור את המשוואות האלה דרכים שונות, בדקו את הידע שלהם בעזרת הכשרה עבודה עצמאית. את התוצאות של עבודה עצמאית תלמדו בשיעור הבא, בבית תהיה לכם הזדמנות לגבש את הידע שנצבר.

איזו שיטה לפתרון משוואות רציונליות שבריות, לדעתך, קלה יותר, נגישה יותר, רציונלית יותר? בלי קשר לשיטת פתרון משוואות רציונליות שבריות, מה אסור לשכוח? מהי ה"ערמומיות" של משוואות רציונליות שברים?

תודה לכולם, השיעור הסתיים.

כבר למדנו איך לפתור משוואות ריבועיות. הבה נרחיב כעת את השיטות הנלמדות למשוואות רציונליות.

מהו ביטוי רציונלי? כבר נתקלנו במושג הזה. ביטויים רציונלייםנקראים ביטויים המורכבים ממספרים, משתנים, דרגותיהם וסימני הפעולות המתמטיות שלהם.

בהתאם לכך, משוואות רציונליות הן משוואות בצורה: , איפה - ביטויים רציונליים.

בעבר, שקלנו רק את המשוואות הרציונליות המצטמצמות ללינאריות. עכשיו בואו ניקח בחשבון את המשוואות הרציונליות שניתן לצמצם למשוואות ריבועיות.

דוגמה 1

פתור את המשוואה: .

פִּתָרוֹן:

שבר הוא 0 אם ורק אם המונה שלו הוא 0 והמכנה שלו אינו 0.

אנחנו מקבלים את המערכת הבאה:

המשוואה הראשונה של המערכת היא משוואה ריבועית. לפני שנפתור אותו, נחלק את כל המקדמים שלו ב-3. נקבל:

נקבל שני שורשים: ; .

מכיוון ש-2 לעולם אינו שווה ל-0, יש לעמוד בשני תנאים: . מכיוון שאף אחד משורשי המשוואה שהתקבלה לעיל אינו תואם את הערכים הפסולים של המשתנה שהתקבלו בעת פתרון אי השוויון השני, שניהם פתרונות למשוואה זו.

תשובה:.

אז בואו ננסח אלגוריתם לפתרון משוואות רציונליות:

1. הזיזו את כל האיברים לצד שמאל כך שיתקבל 0 בצד ימין.

2. להפוך ולפשט את הצד השמאלי, להביא את כל השברים למכנה משותף.

3. השווה את השבר המתקבל ל-0, לפי האלגוריתם הבא: .

4. רשום את השורשים שמתקבלים במשוואה הראשונה ומספקים את אי השוויון השני בתגובה.

בואו נסתכל על דוגמה נוספת.

דוגמה 2

פתור את המשוואה: .

פִּתָרוֹן

ממש בהתחלה, נעביר את כל האיברים לצד שמאל כך ש-0 יישאר בצד ימין. נקבל:

כעת אנו מביאים את הצד השמאלי של המשוואה למכנה משותף:

משוואה זו מקבילה למערכת:

המשוואה הראשונה של המערכת היא משוואה ריבועית.

המקדמים של משוואה זו: . אנו מחשבים את המבחין:

נקבל שני שורשים: ; .

כעת אנו פותרים את אי השוויון השני: מכפלת הגורמים אינה שווה ל-0 אם ורק אם אף אחד מהגורמים אינו שווה ל-0.

יש לעמוד בשני תנאים: . נקבל את זה שמבין שני השורשים של המשוואה הראשונה, רק אחד מתאים - 3.

תשובה:.

בשיעור הזה נזכרנו מהו ביטוי רציונלי, וגם למדנו איך לפתור משוואות רציונליות, שמצטמצמות למשוואות ריבועיות.

בשיעור הבא, נשקול משוואות רציונליות כמודלים של מצבים אמיתיים, וכן נשקול בעיות תנועה.

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה

1. בשמקוב מ.י. אלגברה, כיתה ח'. - מ.: נאורות, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovic E.A. ואח' אלגברה, 8. מהדורה 5. - מ.: חינוך, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. אלגברה, כיתה ח'. ספר לימוד למוסדות חינוך. - מ.: חינוך, 2006.

1. פֶסטִיבָל רעיונות פדגוגיים "שיעור ציבורי" ().
2. School.xvatit.com().
3. Rudocs.exdat.com().

שיעורי בית

משוואות עם שברים עצמן אינן קשות ומאוד מעניינות. קחו בחשבון את הסוגים משוואות שבריםודרכים לפתור אותן.

איך פותרים משוואות עם שברים - x במונה

אם ניתנת משוואת שברים, כאשר הלא נודע נמצא במונה, הפתרון אינו דורש תנאים נוספים ונפתר ללא טרחה מיותרת. טופס כללימשוואה כזו היא x/a + b = c, כאשר x הוא לא ידוע, a, b ו-c הם מספרים רגילים.

מצא את x: x/5 + 10 = 70.

כדי לפתור את המשוואה, צריך להיפטר מהשברים. הכפל כל איבר של המשוואה ב-5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x ו-5 מצטמצמים, 10 ו-70 מוכפלים ב-5 ונקבל: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

מצא את x: x/5 + x/10 = 90.

דוגמה זו היא גרסה קצת יותר מסובכת של הראשונה. יש כאן שני פתרונות.

• אפשרות 1: היפטר משברים על ידי הכפלת כל האיברים של המשוואה במכנה גדול יותר, כלומר ב-10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300.
• אפשרות 2: הוסף את הצד השמאלי של המשוואה. x/5 + x/10 = 90. המכנה המשותף הוא 10. מחלקים 10 ב-5, מכפילים ב-x, נקבל 2x. 10 חלקי 10, כפול x, נקבל x: 2x+x/10 = 90. מכאן ש-2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

לעתים קרובות יש משוואות שברים שבהן x's נמצאים בצדדים מנוגדים של סימן השוויון. במצב כזה, יש צורך להעביר את כל השברים עם x לכיוון אחד, ואת המספרים בכיוון אחר.

• מצא x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• הזז 2x/5 ימינה עם הסימן ההפוך: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• אנו מצמצמים 5x/5 ומקבלים: x = 130.

איך פותרים משוואה עם שברים - x במכנה

סוג זה של משוואות שבר דורש כתיבת תנאים נוספים. ציון התנאים הללו הוא חלק מחייב ובלתי נפרד מההחלטה הנכונה. אם לא ייחוס אותם, אתה מסתכן, שכן ייתכן שהתשובה (גם אם היא נכונה) פשוט לא תיספר.

הצורה הכללית של משוואות שברים, כאשר x נמצא במכנה, היא: a/x + b = c, כאשר x הוא לא ידוע, a, b, c הם מספרים רגילים. שים לב ש-x לא יכול להיות מספר כלשהו. לדוגמה, x לא יכול להיות אפס, מכיוון שלא ניתן לחלק ב-0. זה בדיוק התנאי הנוסף שעלינו לפרט. זה נקרא טווח הערכים המקובלים, בקיצור - ODZ.

מצא x: 15/x + 18 = 21.

נכתוב מיד את ה-ODZ עבור x: x ≠ 0. כעת, כאשר ה-ODZ מצוין, אנו פותרים את המשוואה לפי הסכימה הסטנדרטית, ונפטרים מהשברים. נכפיל את כל האיברים של המשוואה ב-x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

לעתים קרובות יש משוואות שבהן המכנה מכיל לא רק x, אלא גם פעולה אחרת איתו, כמו חיבור או חיסור.

מצא x: 15/(x-3) + 18 = 21.

אנחנו כבר יודעים שהמכנה לא יכול להיות שווה לאפס, כלומר x-3 ≠ 0. נעביר -3 לצד ימין, תוך כדי שינוי הסימן "-" ל-"+" ונקבל ש-x ≠ 3. ODZ הוא ציין.

פתרו את המשוואה, הכפלו הכל ב-x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

הזז את ה-x ימינה, המספרים שמאלה: 24 = 3x => x = 8.