1. Mažiausias skaičius Tetraedras turi 6 briaunas.

2. Prizmė turi n veidų. Koks daugiakampis yra jo bazėje?

(n - 2) - kvadratas.

3. Ar prizmė yra tiesi, jei jos du gretimi šoniniai paviršiai statmeni pagrindo plokštumai?

Taip tai yra.

4. Kurioje prizmėje šoninės briaunos lygiagrečios jos aukščiui?

Tiesioje prizmėje.

5. Ar prizmė taisyklinga, jei visos jos briaunos yra lygios viena kitai?

Ne, tai gali būti netiesioginė.

6. Ar vieno iš pasvirosios prizmės šoninių paviršių aukštis gali būti ir prizmės aukštis?

Taip, jei šis veidas yra statmenas pagrindui.

7. Ar yra prizmė, kurioje: a) šoninė briauna statmena tik vienai pagrindo briaunai; b) tik vienas šoninis paviršius yra statmenas pagrindui?

a) taip. b) ne.

8. Taisyklingąją trikampę prizmę plokštuma, einanti per pagrindų vidurio linijas, padalija į dvi prizmes. Koks yra šių prizmių šoninio paviršiaus plotų santykis?

Pagal 27 teoremą nustatome, kad šoniniai paviršiai yra santykiu 5:3

9. Ar piramidė bus taisyklinga, jei jos šoniniai paviršiai yra taisyklingi trikampiai?

10. Kiek statmenų pagrindo plokštumai veidų gali turėti piramidė?

11. Ar yra keturkampė piramidė, kurios priešingos kraštinės yra statmenos pagrindui?

Ne, priešingu atveju per piramidės viršūnę eitų bent dvi tiesios linijos, statmenos pagrindams.

12. Ar visi trikampės piramidės paviršiai gali būti stačiakampiai?

Taip (183 pav.).

Vaizdo įrašų kursas „Gaukite A“ apima visas jums reikalingas temas sėkmingas užbaigimas Vieningas valstybinis matematikos egzaminas 60-65 balams. Visiškai visos profilio vieningo valstybinio matematikos egzamino 1-13 užduotys. Taip pat tinka išlaikyti bazinį vieningą valstybinį matematikos egzaminą. Jei norite išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą 90-100 balų, 1 dalį turite išspręsti per 30 minučių ir be klaidų!

Pasirengimo kursas vieningam valstybiniam egzaminui 10-11 klasėms, taip pat mokytojams. Viskas, ko reikia norint išspręsti matematikos vieningo valstybinio egzamino 1 dalį (12 pirmųjų uždavinių) ir 13 uždavinį (trigonometrija). Ir tai yra daugiau nei 70 balų iš vieningo valstybinio egzamino ir be jų neapsieina nei 100 balų studentas, nei humanitarinių mokslų studentas.

Visa reikalinga teorija. Greiti būdai Vieningo valstybinio egzamino sprendimai, spąstai ir paslaptys. Išnagrinėtos visos dabartinės FIPI užduočių banko 1 dalies užduotys. Kursas visiškai atitinka Vieningo valstybinio egzamino 2018 m. reikalavimus.

Kursą sudaro 5 didelės temos, kiekviena po 2,5 val. Kiekviena tema pateikiama nuo nulio, paprastai ir aiškiai.

Šimtai vieningo valstybinio egzamino užduočių. Žodiniai uždaviniai ir tikimybių teorija. Paprasti ir lengvai įsimenami problemų sprendimo algoritmai. Geometrija. Teorija, informacinė medžiaga, visų rūšių vieningo valstybinio egzamino užduočių analizė. Stereometrija. Sudėtingi sprendimai, naudingi cheat sheets, erdvinės vaizduotės ugdymas. Trigonometrija nuo nulio iki problemos 13. Supratimas, o ne kimšimas. Vizualus paaiškinimas sudėtingos sąvokos. Algebra. Šaknys, laipsniai ir logaritmai, funkcija ir išvestinė. Sudėtingų Vieningo valstybinio egzamino 2 dalies uždavinių sprendimo pagrindas.

Bendra informacija apie tiesią prizmę

Prizmės šoninis paviršius (tiksliau – šoninis paviršiaus plotas) vadinamas sumašoninių veidų srityse. Bendras prizmės paviršius lygus šoninio paviršiaus ir pagrindų plotų sumai.

19.1 teorema. Tiesios prizmės šoninis paviršius lygus pagrindo perimetro ir prizmės aukščio sandaugai, t.y. šoninės briaunos ilgiui.

Įrodymas. Tiesios prizmės šoniniai paviršiai yra stačiakampiai. Šių stačiakampių pagrindai yra prizmės pagrinde gulinčio daugiakampio kraštinės, o aukščiai lygūs šoninių kraštinių ilgiui. Iš to išplaukia, kad šoninis prizmės paviršius lygus

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

kur a 1 ir n yra pagrindo briaunų ilgiai, p yra prizmės pagrindo perimetras, o I yra šoninių kraštinių ilgis. Teorema įrodyta.

Praktinė užduotis

Problema (22) . Jis atliekamas pasvirusioje prizmėje skyrius, statmenas šoniniams briaunoms ir susikertantis su visais šoniniais šonkauliais. Raskite prizmės šoninį paviršių, jei pjūvio perimetras lygus p, o šoninės briaunos lygios l.

Sprendimas. Nubraižytos pjūvio plokštuma dalija prizmę į dvi dalis (411 pav.). Vieną iš jų atliksime lygiagrečiam vertimui, sujungdami prizmės pagrindus. Tokiu atveju gauname tiesią prizmę, kurios pagrindas yra pradinės prizmės skerspjūvis, o šoninės briaunos lygios l. Šios prizmės šoninis paviršius yra toks pat kaip ir originalioji. Taigi pradinės prizmės šoninis paviršius lygus pl.

Aptariamos temos santrauka

Dabar pabandykime apibendrinti temą, kurią nagrinėjome apie prizmes, ir prisiminkime, kokias savybes turi prizmė.

Prizmės savybės

Pirma, prizmės visi pagrindai yra lygūs daugiakampiai;
Antra, prizmė turi viską šoniniai veidai yra lygiagretainiai;
Trečia, tokioje daugialypėje figūroje kaip prizmė visos šoninės briaunos yra lygios;

Be to, reikia atsiminti, kad daugiakampės, tokios kaip prizmės, gali būti tiesios arba nuožulnios.

Kuri prizmė vadinama tiesia prizme?

Jei prizmės šoninė briauna yra statmena jos pagrindo plokštumai, tada tokia prizmė vadinama tiesia.

Nebūtų nereikalinga prisiminti, kad tiesios prizmės šoniniai paviršiai yra stačiakampiai.

Kokio tipo prizmė vadinama įstrižaine?

Bet jei prizmės šoninė briauna nėra statmena jos pagrindo plokštumai, galime drąsiai teigti, kad tai yra pasvirusi prizmė.

Kuri prizmė vadinama teisinga?

Jei tiesios prizmės pagrindu yra taisyklingas daugiakampis, tai tokia prizmė yra taisyklinga.

Dabar prisiminkime įprastos prizmės savybes.

Taisyklingosios prizmės savybės

Pirma, taisyklingi daugiakampiai visada yra taisyklingos prizmės pagrindas;
Antra, jei atsižvelgsime į taisyklingos prizmės šoninius paviršius, jie visada bus vienodi stačiakampiai;
Trečia, jei lyginate šoninių briaunų dydžius, tai įprastoje prizmėje jie visada yra vienodi.
Ketvirta, teisinga prizmė visada yra tiesi;
Penkta, jei taisyklingoje prizmėje šoniniai paviršiai yra kvadratų formos, tada tokia figūra paprastai vadinama pusiau taisyklingu daugiakampiu.

Prizmės skerspjūvis

Dabar pažiūrėkime į prizmės skerspjūvį:

Namų darbai

Dabar pabandykime įtvirtinti išmoktą temą spręsdami problemas.

Nubraižykime pasvirusią trikampę prizmę, kurios atstumas tarp jos kraštų bus lygus: 3 cm, 4 cm ir 5 cm, o šios prizmės šoninis paviršius bus lygus 60 cm2. Turėdami šiuos parametrus, raskite šios prizmės šoninį kraštą.

Ar žinote, kad geometrinės figūros mus nuolat supa ne tik geometrijos pamokose, bet ir? Kasdienybė Yra objektų, kurie primena vieną ar kitą geometrinę figūrą.

Kiekvienuose namuose, mokykloje ar darbe yra kompiuteris, kurio sistemos blokas yra tiesios prizmės formos.

Jei paimsite paprastą pieštuką, pamatysite, kad pagrindinė pieštuko dalis yra prizmė.

Eidami centrine miesto gatve matome, kad po mūsų kojomis guli plytelė, turinti šešiakampės prizmės formą.

A. V. Pogorelovas, Geometrija 7-11 klasei, Vadovėlis ugdymo įstaigoms

Daugiakampis

Pagrindinis stereometrijos tyrimo objektas yra erdviniai kūnai. kūnas vaizduoja tam tikro paviršiaus apribotą erdvės dalį.

Daugiakampis yra kūnas, kurio paviršius susideda iš baigtinio skaičiaus plokščių daugiakampių. Daugiakampis vadinamas išgaubtu, jei jis yra kiekvieno jo paviršiaus plokštumos daugiakampio plokštumos vienoje pusėje. Tokios plokštumos ir daugiakampio paviršiaus bendroji dalis vadinama kraštas. Išgaubto daugiakampio paviršiai yra plokšti išgaubti daugiakampiai. Veidų šonai vadinami daugiakampio briaunos, o viršūnės yra daugiakampio viršūnės.

Pavyzdžiui, kubas susideda iš šešių kvadratų, kurie yra jo veidai. Jame yra 12 kraštinių (kvadratų kraštinės) ir 8 viršūnės (kvadratų viršūnės).

Paprasčiausios daugiakampės yra prizmės ir piramidės, kurias toliau tyrinėsime.

Prizmė

Prizmės apibrėžimas ir savybės

Prizmė yra daugiakampis, sudarytas iš dviejų plokščių daugiakampių lygiagrečios plokštumos sujungti lygiagrečiu vertimu, ir visas atkarpas, jungiančias atitinkamus šių daugiakampių taškus. Daugiakampiai vadinami prizmių pagrindai, o atkarpos, jungiančios atitinkamas daugiakampių viršūnes, yra šoniniai prizmės kraštai.

Prizmės aukštis vadinamas atstumu tarp jo pagrindų plokštumų (). Vadinamas segmentas, jungiantis dvi prizmės viršūnes, nepriklausančias tam pačiam paviršiui prizmės įstrižainė(). Prizmė vadinama n-anglies, jei jo bazėje yra n-kampis.

Bet kuri prizmė turi šias savybes, atsirandančias dėl to, kad prizmės pagrindai yra sujungti lygiagrečiu vertimu:

1. Prizmės pagrindai lygūs.

2. Prizmės šoninės briaunos lygiagrečios ir lygios.

Prizmės paviršius susideda iš pagrindų ir šoninis paviršius. Prizmės šoninis paviršius susideda iš lygiagretainių (tai išplaukia iš prizmės savybių). Prizmės šoninio paviršiaus plotas yra šoninių paviršių plotų suma.

Tiesi prizmė

Prizmė vadinama tiesiai, jei jo šoninės briaunos statmenos pagrindams. Priešingu atveju prizmė vadinama linkęs.

Dešiniosios prizmės paviršiai yra stačiakampiai. Tiesios prizmės aukštis lygus jos šoniniams paviršiams.

Pilnas prizmės paviršius vadinama šoninio paviršiaus ploto ir pagrindų plotų suma.

Su tinkama prizme vadinama stačiąja prizme, kurios pagrinde yra taisyklingas daugiakampis.

13.1 teorema. Tiesios prizmės šoninio paviršiaus plotas yra lygus prizmės perimetro ir aukščio sandaugai (arba, kas yra tokia pati, šoninio krašto).

Įrodymas. Stačiosios prizmės šoniniai paviršiai yra stačiakampiai, kurių pagrindai yra prizmės pagrinduose esančių daugiakampių kraštinės, o aukščiai – prizmės šoninės briaunos. Tada pagal apibrėžimą šoninio paviršiaus plotas yra:

,

kur yra tiesios prizmės pagrindo perimetras.

Lygiagretaus vamzdžio

Jei prizmės pagrinduose yra lygiagretainiai, tai vadinama gretasienis. Visi gretasienio paviršiai yra lygiagretainiai. Šiuo atveju priešingi gretasienio paviršiai yra lygiagretūs ir lygūs.

13.2 teorema. Gretasienio įstrižainės susikerta viename taške ir yra padalintos per pusę iš susikirtimo taško.

Įrodymas. Apsvarstykite, pavyzdžiui, dvi savavališkas įstrižaines ir . Nes gretasienio paviršiai yra lygiagretainiai, tada ir , o tai reiškia, kad pagal To yra dvi tiesės, lygiagrečios trečiajai. Be to, tai reiškia, kad tiesios linijos ir yra toje pačioje plokštumoje (plokštumoje). Ši plokštuma kerta lygiagrečias plokštumas ir išilgai lygiagrečių linijų ir . Taigi keturkampis yra lygiagretainis, o pagal lygiagretainio savybę jo įstrižainės susikerta ir dalijamos per pusę iš susikirtimo taško, ką ir reikėjo įrodyti.

Vadinamas stačiakampis gretasienis, kurio pagrindas yra stačiakampis stačiakampis gretasienis. Visi stačiakampio gretasienio paviršiai yra stačiakampiai. Stačiakampio gretasienio nelygiagrečių kraštinių ilgiai vadinami jo tiesiniais matmenimis (matmenimis). Yra trys tokie dydžiai (plotis, aukštis, ilgis).

13.3 teorema. Stačiakampiame gretasienyje bet kurios įstrižainės kvadratas lygi sumai jo trijų matmenų kvadratai (įrodyta du kartus pritaikius Pitagoro T).

Vadinamas stačiakampis gretasienis, kurio visos briaunos lygios kubas.

Užduotys

13.1 Kiek jis turi įstrižainių? n- anglies prizmė

13.2 Pasvirusioje trikampėje prizmėje atstumai tarp šoninių briaunų yra 37, 13 ir 40. Raskite atstumą tarp didesnio šoninio krašto ir priešingos šoninės briaunos.

13.3Per dešiniojo apatinio pagrindo šoną trikampė prizmė plokštuma nubrėžta, kertanti šoninius paviršius išilgai segmentų, kampas tarp kurių yra . Raskite šios plokštumos pasvirimo kampą į prizmės pagrindą.

Apibrėžimas. Prizmė yra daugiakampis, kurio visos viršūnės yra dviejose lygiagrečiose plokštumose ir tose pačiose dviejose plokštumose yra du prizmės paviršiai, kurie yra lygūs daugiakampiai su atitinkamai lygiagrečiomis kraštinėmis, o visos briaunos, kurios nėra šiose plokštumose, yra lygiagrečios.

Vadinami du vienodi veidai prizmių pagrindai(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Visi kiti prizmės veidai vadinami šoniniai veidai(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Susidaro visi šoniniai veidai šoninis prizmės paviršius .

Visi šoniniai prizmės paviršiai yra lygiagretainiai .

Kraštai, kurie nėra prie pagrindo, vadinami šoniniais prizmės kraštais ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prizmės įstrižainė yra atkarpa, kurios galai yra dvi prizmės viršūnės, kurios nėra tame pačiame paviršiuje (AD 1).

Atkarpos, jungiančios prizmės pagrindus ir statmenos abiem pagrindams vienu metu, ilgis vadinamas prizmės aukštis .

Pavadinimas:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Pirmiausia, eilės tvarka, nurodomos vieno pagrindo viršūnės, o paskui ta pačia tvarka – kito; kiekvieno šoninio krašto galai žymimi tomis pačiomis raidėmis, tik viename pagrinde esančios viršūnės. raidėmis be rodyklės, o kitoje - su rodykle)

Prizmės pavadinimas siejamas su kampų skaičiumi figūroje, gulinčioje jos pagrindu, pavyzdžiui, 1 paveiksle prie pagrindo yra penkiakampis, todėl prizmė vadinama penkiakampė prizmė. Bet todėl tokia prizmė turi 7 veidus, tada ji septynetas(2 paviršiai - prizmės pagrindai, 5 paviršiai - lygiagretainiai, - jos šoniniai paviršiai)

Tarp tiesių prizmių išsiskiria tam tikras tipas: įprastos prizmės.

Tiesi prizmė vadinama teisinga, jei jo pagrindai yra taisyklingi daugiakampiai.

Įprastos prizmės visi šoniniai paviršiai yra vienodi stačiakampiai. Ypatingas prizmės atvejis yra gretasienis.

Lygiagretaus vamzdžio

Lygiagretaus vamzdžio yra keturkampė prizmė, kurios pagrinde yra lygiagretainis (pasviręs gretasienis). Dešinysis gretasienis- gretasienis, kurio šoninės briaunos yra statmenos pagrindo plokštumoms.

Stačiakampis gretasienis- stačiakampis gretasienis, kurio pagrindas yra stačiakampis.

Savybės ir teoremos:

Kai kurios gretasienio savybės yra panašios į žinomas lygiagretainio stačiakampis gretasienis, kurio matmenys yra vienodi, vadinamas kubas .Visi kubo paviršiai yra lygūs kvadratai.Įstrižainės kvadratas lygus jo trijų matmenų kvadratų sumai

,

čia d yra kvadrato įstrižainė;
a yra kvadrato kraštinė.

Prizmės idėją pateikia:

• įvairių architektūrinės konstrukcijos;
• Vaikų žaislai;
• pakavimo dėžės;
• dizainerių dirbiniai ir kt.

Prizmės viso ir šoninio paviršiaus plotas

Bendras prizmės paviršiaus plotas yra visų jos veidų plotų suma Šoninio paviršiaus plotas vadinama jo šoninių paviršių plotų suma. Prizmės pagrindai yra lygūs daugiakampiai, tada jų plotai lygūs. Štai kodėl

S pilnas = S pusė + 2S pagrindinis,

Kur S pilnas- bendras paviršiaus plotas, S pusė- šoninio paviršiaus plotas, S bazė- bazinis plotas

Tiesios prizmės šoninio paviršiaus plotas lygus pagrindo perimetro ir prizmės aukščio sandaugai.

S pusė= P pagrindinis * h,

Kur S pusė- tiesios prizmės šoninio paviršiaus plotas,

P pagrindinis - tiesios prizmės pagrindo perimetras,

h – tiesios prizmės aukštis, lygus šoniniam kraštui.

Prizmės tūris

Prizmės tūris lygus pagrindo ploto ir aukščio sandaugai.