Apibrėžimas. Prizmė yra daugiakampis, kurio visos viršūnės yra dviejose lygiagrečiose plokštumose ir tose pačiose dviejose plokštumose yra du prizmės paviršiai, kurie yra lygūs daugiakampiai su atitinkamai lygiagrečiomis kraštinėmis, o visos briaunos, kurios nėra šiose plokštumose, yra lygiagrečios.

Vadinami du vienodi veidai prizmių pagrindai(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Visi kiti prizmės veidai vadinami šoniniai veidai(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Visi šoniniai veidai forma šoninis prizmės paviršius .

Visi šoniniai prizmės paviršiai yra lygiagretainiai .

Kraštai, kurie nėra prie pagrindo, vadinami šoniniais prizmės kraštais ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prizmės įstrižainė yra atkarpa, kurios galai yra dvi prizmės viršūnės, kurios nėra tame pačiame paviršiuje (AD 1).

Atkarpos, jungiančios prizmės pagrindus ir statmenos abiem pagrindams vienu metu, ilgis vadinamas prizmės aukštis .

Pavadinimas:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Pirmiausia, eilės tvarka, nurodomos vieno pagrindo viršūnės, o paskui ta pačia tvarka – kito; kiekvieno šoninio krašto galai žymimi tomis pačiomis raidėmis, tik viename pagrinde esančios viršūnės. raidėmis be rodyklės, o kitoje - su rodykle)

Prizmės pavadinimas siejamas su kampų skaičiumi figūroje, gulinčioje jos pagrindu, pavyzdžiui, 1 paveiksle prie pagrindo yra penkiakampis, todėl prizmė vadinama penkiakampė prizmė. Bet todėl tokia prizmė turi 7 veidus, tada ji septynetas(2 paviršiai - prizmės pagrindai, 5 paviršiai - lygiagretainiai, - jos šoniniai paviršiai)

Tarp tiesių prizmių išsiskiria tam tikras tipas: įprastos prizmės.

Tiesi prizmė vadinama teisinga, jei jo pagrindai yra taisyklingi daugiakampiai.

Lygiagretaus vamzdžio

Stačiakampis gretasienis- stačiakampis gretasienis, kurio pagrindas yra stačiakampis.

Savybės ir teoremos:

,

čia d yra kvadrato įstrižainė;
a yra kvadrato kraštinė.

Prizmės idėją pateikia:

• įvairių architektūros statiniai;
• Vaikų žaislai;
• pakavimo dėžės;
• dizainerių dirbiniai ir kt.

Prizmės viso ir šoninio paviršiaus plotas

S pilnas = S pusė + 2S pagrindinis,

Kur S pilnas- bendras paviršiaus plotas, S pusė- šoninio paviršiaus plotas, S bazė- bazinis plotas

Tiesios prizmės šoninio paviršiaus plotas lygus pagrindo perimetro ir prizmės aukščio sandaugai.

S pusė= P pagrindinis * h,

Kur S pusė- tiesios prizmės šoninio paviršiaus plotas,

P pagrindinis - tiesios prizmės pagrindo perimetras,

h – tiesios prizmės aukštis, lygus šoniniam kraštui.

Prizmės tūris

Prizmės tūris lygus pagrindo ploto ir aukščio sandaugai.

Vaizdo kursas „Gaukite A“ apima visas sėkmingam darbui reikalingas temas išlaikęs vieningą valstybinį egzaminą iš matematikos už 60-65 balus. Visiškai visos profilio vieningo valstybinio matematikos egzamino 1-13 užduotys. Taip pat tinka išlaikyti bazinį vieningą valstybinį matematikos egzaminą. Jei norite išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą 90-100 balų, 1 dalį turite išspręsti per 30 minučių ir be klaidų!

Pasirengimo kursas vieningam valstybiniam egzaminui 10-11 klasėms, taip pat mokytojams. Viskas, ko reikia norint išspręsti matematikos vieningo valstybinio egzamino 1 dalį (12 pirmųjų uždavinių) ir 13 uždavinį (trigonometrija). Ir tai yra daugiau nei 70 balų iš vieningo valstybinio egzamino ir be jų neapsieina nei 100 balų studentas, nei humanitarinių mokslų studentas.

Visa reikalinga teorija. Greiti būdai Vieningo valstybinio egzamino sprendimai, spąstai ir paslaptys. Išnagrinėtos visos dabartinės FIPI užduočių banko 1 dalies užduotys. Kursas visiškai atitinka Vieningo valstybinio egzamino 2018 m. reikalavimus.

Kursą sudaro 5 didelės temos, kiekviena po 2,5 val. Kiekviena tema pateikiama nuo nulio, paprastai ir aiškiai.

Šimtai vieningo valstybinio egzamino užduočių. Žodiniai uždaviniai ir tikimybių teorija. Paprasti ir lengvai įsimenami problemų sprendimo algoritmai. Geometrija. Teorija, informacinė medžiaga, visų rūšių vieningo valstybinio egzamino užduočių analizė. Stereometrija. Sudėtingi sprendimai, naudingi cheat sheets, erdvinės vaizduotės ugdymas. Trigonometrija nuo nulio iki problemos 13. Supratimas, o ne kimšimas. Vizualus paaiškinimas sudėtingos sąvokos. Algebra. Šaknys, laipsniai ir logaritmai, funkcija ir išvestinė. Sudėtingų Vieningo valstybinio egzamino 2 dalies uždavinių sprendimo pagrindas.

Apibrėžimas 1. Prizminis paviršius
1 teorema. Apie lygiagrečios atkarpos prizminis paviršius
Apibrėžimas 2. Prizminio paviršiaus statmenas pjūvis
Apibrėžimas 3. Prizmė
Apibrėžimas 4. Prizmės aukštis
5 apibrėžimas. Dešinioji prizmė
2 teorema. Prizmės šoninio paviršiaus plotas

Lygiagretaus vamzdis:
Apibrėžimas 6. Lygiagretainis
3 teorema. Apie gretasienio įstrižainių sankirtą
Apibrėžimas 7. Dešinysis gretasienis
Apibrėžimas 8. Stačiakampis gretasienis
Apibrėžimas 9. Lygiagretainio vamzdžio matavimai
Apibrėžimas 10. Kubas
Apibrėžimas 11. Romboedras
4 teorema. Stačiakampio gretasienio įstrižainėse
5 teorema. Prizmės tūris
6 teorema. Tiesiosios prizmės tūris
7 teorema. Stačiakampio gretasienio tūris

Prizmė yra daugiabriaunis, kurio du paviršiai (pagrindai) yra lygiagrečiose plokštumose, o briaunos, kurios nėra šiose plokštumose, yra lygiagrečios viena kitai.
Vadinami veidai, išskyrus pagrindus šoninis.
Šoninių paviršių ir pagrindų šonai vadinami prizmės šonkauliai, kraštinių galai vadinami prizmės viršūnių. Šoniniai šonkauliai vadinamos pagrindams nepriklausančios briaunos. Šoninių veidų sąjunga vadinama šoninis prizmės paviršius, o visų veidų sąjunga vadinama viso prizmės paviršiaus. Prizmės aukštis vadinamas statmenu, nuleistu nuo viršutinio pagrindo taško iki apatinio pagrindo plokštumos arba šio statmens ilgio. Tiesioginė prizmė vadinama prizme, kurios šoninės briaunos yra statmenos pagrindų plokštumoms. Teisingai vadinama tiesia prizme (3 pav.), kurios pagrindu yra taisyklingas daugiakampis.

Pavadinimai:
l - šoninis šonkaulis;
P - bazinis perimetras;
S o - bazinis plotas;
H - aukštis;
P^ - statmenos pjūvio perimetras;
S b - šoninio paviršiaus plotas;
V - tūris;
S p yra viso prizmės paviršiaus plotas.

2 apibrėžimas . Prizminio paviršiaus statmena pjūvis – tai šio paviršiaus pjūvis plokštuma, statmena jo kraštams. Remiantis ankstesne teorema, visos statmenos to paties prizminio paviršiaus atkarpos bus lygūs daugiakampiai.

3 apibrėžimas . Prizmė yra daugiakampis, kurį riboja prizminis paviršius ir dvi lygiagrečios viena kitai plokštumos (bet ne lygiagrečios prizminio paviršiaus kraštams).
Šiose paskutinėse plokštumose gulintys veidai vadinami prizmių pagrindai; prizminiam paviršiui priklausantys veidai - šoniniai veidai; prizminio paviršiaus kraštai - šoniniai prizmės šonkauliai. Remiantis ankstesne teorema, prizmės pagrindas yra lygūs daugiakampiai. Visi šoniniai prizmės paviršiai - lygiagretainiai; visi šoniniai šonkauliai yra lygūs vienas kitam.
Akivaizdu, kad jei yra nurodytas prizmės ABCDE pagrindas ir viena iš kraštinių AA" pagal dydį ir kryptį, tai galima sukonstruoti prizmę nubrėžiant briaunas BB", CC", ... lygias ir lygiagrečias kraštinei AA" .

4 apibrėžimas . Prizmės aukštis yra atstumas tarp jos pagrindų plokštumų (HH").

5 apibrėžimas . Prizmė vadinama tiesia, jei jos pagrindai yra statmenos prizminio paviršiaus atkarpos. Šiuo atveju prizmės aukštis, žinoma, yra jos šoninis šonkaulis; šoniniai kraštai bus stačiakampiai.
Prizmės gali būti klasifikuojamos pagal šoninių paviršių skaičių, vienodas skaičius daugiakampio, kuris yra jo pagrindas, kraštinės. Taigi prizmės gali būti trikampės, keturkampės, penkiakampės ir kt.

2 teorema . Prizmės šoninio paviršiaus plotas lygus šoninio krašto ir statmenos pjūvio perimetro sandaugai.
Tegul ABCDEA"B"C"D"E" yra duotoji prizmė ir abcde jos statmena pjūvis, kad atkarpos ab, bc, .. būtų statmenos jos šoninėms briaunoms. Paviršius ABA"B" yra lygiagretainis; jo plotas yra lygus bazės AA sandaugai iki aukščio, kuris sutampa su ab; veido plotas ВСВ "С" yra lygus pagrindo ВВ sandaugai iš aukščio bc ir tt. Vadinasi, šoninis paviršius (t. y. šoninių paviršių plotų suma) yra lygus sandaugai šoninės briaunos, kitaip tariant, bendras atkarpų ilgis AA", ВВ", .., sumai ab+bc+cd+de+ea.

Bendra informacija apie tiesią prizmę

Prizmės šoninis paviršius (tiksliau – šoninis paviršiaus plotas) vadinamas sumašoninių veidų srityse. Bendras prizmės paviršius lygus šoninio paviršiaus ir pagrindų plotų sumai.

19.1 teorema. Tiesios prizmės šoninis paviršius lygus pagrindo perimetro ir prizmės aukščio sandaugai, t.y. šoninės briaunos ilgiui.

Įrodymas. Tiesios prizmės šoniniai paviršiai yra stačiakampiai. Šių stačiakampių pagrindai yra prizmės pagrinde gulinčio daugiakampio kraštinės, o aukščiai lygūs šoninių kraštinių ilgiui. Iš to išplaukia, kad šoninis prizmės paviršius lygus

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

kur a 1 ir n yra pagrindo briaunų ilgiai, p yra prizmės pagrindo perimetras, o I yra šoninių kraštinių ilgis. Teorema įrodyta.

Praktinė užduotis

Problema (22) . Jis atliekamas pasvirusioje prizmėje skyrius, statmenas šoniniams briaunoms ir susikertantis su visais šoniniais šonkauliais. Raskite prizmės šoninį paviršių, jei skerspjūvio perimetras lygus p, o šoninės briaunos lygios l.

Sprendimas. Nubraižytos pjūvio plokštuma dalija prizmę į dvi dalis (411 pav.). Vieną iš jų atliksime lygiagrečiam vertimui, sujungdami prizmės pagrindus. Tokiu atveju gauname tiesią prizmę, kurios pagrindas yra pradinės prizmės skerspjūvis, o šoninės briaunos lygios l. Šios prizmės šoninis paviršius yra toks pat kaip ir originalioji. Taigi pradinės prizmės šoninis paviršius lygus pl.

Aptariamos temos santrauka

Dabar pabandykime apibendrinti temą, kurią nagrinėjome apie prizmes, ir prisiminkime, kokias savybes turi prizmė.

Prizmės savybės

Pirma, prizmės visi pagrindai yra lygūs daugiakampiai;
Antra, prizmėje visi jos šoniniai paviršiai yra lygiagretainiai;
Trečia, tokioje daugialypėje figūroje kaip prizmė visos šoninės briaunos yra lygios;

Be to, reikia atsiminti, kad daugiakampės, tokios kaip prizmės, gali būti tiesios arba nuožulnios.

Kuri prizmė vadinama tiesia prizme?

Jei prizmės šoninė briauna yra statmena jos pagrindo plokštumai, tada tokia prizmė vadinama tiesia.

Nebūtų nereikalinga prisiminti, kad tiesios prizmės šoniniai paviršiai yra stačiakampiai.

Kokio tipo prizmė vadinama įstrižaine?

Bet jei prizmės šoninė briauna nėra statmena jos pagrindo plokštumai, galime drąsiai teigti, kad tai yra pasvirusi prizmė.

Kuri prizmė vadinama teisinga?

Jei tiesios prizmės pagrindu yra taisyklingas daugiakampis, tai tokia prizmė yra taisyklinga.

Dabar prisiminkime įprastos prizmės savybes.

Taisyklingosios prizmės savybės

Pirma, taisyklingi daugiakampiai visada yra taisyklingos prizmės pagrindas;
Antra, jei atsižvelgsime į taisyklingos prizmės šoninius paviršius, jie visada bus vienodi stačiakampiai;
Trečia, jei lyginate šoninių briaunų dydžius, tai įprastoje prizmėje jie visada yra vienodi.
Ketvirta, teisinga prizmė visada yra tiesi;
Penkta, jei taisyklingoje prizmėje šoniniai paviršiai yra kvadratų formos, tada tokia figūra paprastai vadinama pusiau taisyklingu daugiakampiu.

Prizmės skerspjūvis

Dabar pažiūrėkime į prizmės skerspjūvį:

Namų darbai

Dabar pabandykime įtvirtinti išmoktą temą spręsdami problemas.

Nubraižykime pasvirusią trikampę prizmę, kurios atstumas tarp jos kraštų bus lygus: 3 cm, 4 cm ir 5 cm, o šios prizmės šoninis paviršius bus lygus 60 cm2. Turėdami šiuos parametrus, raskite šios prizmės šoninį kraštą.

Ar žinote, kad geometrinės figūros mus nuolat supa ne tik geometrijos pamokose, bet ir? Kasdienybė Yra objektų, kurie primena vieną ar kitą geometrinę figūrą.

Kiekvienuose namuose, mokykloje ar darbe yra kompiuteris, kurio sistemos blokas yra tiesios prizmės formos.

Jei paimsite paprastą pieštuką, pamatysite, kad pagrindinė pieštuko dalis yra prizmė.

Eidami centrine miesto gatve matome, kad po mūsų kojomis guli plytelė, turinti šešiakampės prizmės formą.

A. V. Pogorelovas, Geometrija 7-11 klasei, Vadovėlis ugdymo įstaigoms

1. Mažiausias skaičius Tetraedras turi 6 briaunas.

2. Prizmė turi n veidų. Koks daugiakampis yra jo bazėje?

(n - 2) - kvadratas.

3. Ar prizmė yra tiesi, jei jos du gretimi šoniniai paviršiai statmeni pagrindo plokštumai?

Taip tai yra.

4. Kurioje prizmėje šoninės briaunos lygiagrečios jos aukščiui?

Tiesioje prizmėje.

5. Ar prizmė taisyklinga, jei visos jos briaunos yra lygios viena kitai?

Ne, tai gali būti netiesioginė.

6. Ar vieno iš pasvirosios prizmės šoninių paviršių aukštis gali būti ir prizmės aukštis?

Taip, jei šis veidas yra statmenas pagrindui.

7. Ar yra prizmė, kurioje: a) šoninė briauna statmena tik vienai pagrindo briaunai; b) tik vienas šoninis paviršius yra statmenas pagrindui?

a) taip. b) ne.

8. Taisyklingąją trikampę prizmę plokštuma, einanti per pagrindų vidurio linijas, padalija į dvi prizmes. Koks yra šių prizmių šoninio paviršiaus plotų santykis?

Pagal 27 teoremą gauname tai šoniniai paviršiai santykis yra 5:3

9. Ar piramidė bus taisyklinga, jei jos šoniniai paviršiai yra taisyklingi trikampiai?

10. Kiek statmenų pagrindo plokštumai veidų gali turėti piramidė?

11. Ar yra keturkampė piramidė, kurios priešingos kraštinės yra statmenos pagrindui?

Ne, priešingu atveju per piramidės viršūnę eitų bent dvi tiesios linijos, statmenos pagrindams.

12. Ar visi trikampės piramidės paviršiai gali būti stačiakampiai?

Taip (183 pav.).