Trys vaikai išėjo į mišką uogauti. Vyresnioji dukra rado 18 uogų, vidurinė – 15, ir jaunesnis brolis- 3 uogos (žr. 1 pav.). Uogas atnešė mamai, kuri nusprendė uogas padalyti po lygiai. Kiek uogų gavo kiekvienas vaikas?

Ryžiai. 1. Problemos iliustracija

Sprendimas

(Yag.) – vaikai viską rinko

2) Padalinti viso uogos vienam vaikų skaičiui:

(Yag.) ėjo pas kiekvieną vaiką

Atsakymas: Kiekvienas vaikas gaus 12 uogų.

1 uždavinyje atsakyme gautas skaičius yra aritmetinis vidurkis.

Aritmetinis vidurkis keli skaičiai vadinami šių skaičių sumos dalijimu iš jų skaičiaus.

1 pavyzdys

Turime du skaičius: 10 ir 12. Raskite jų aritmetinį vidurkį.

Sprendimas

1) Nustatykime šių skaičių sumą: .

2) Šių skaičių skaičius yra 2, todėl šių skaičių aritmetinis vidurkis yra: .

Atsakymas: vidutinis aritmetiniai skaičiai 10 ir 12 yra skaičius 11.

2 pavyzdys

Turime penkis skaičius: 1, 2, 3, 4 ir 5. Raskite jų aritmetinį vidurkį.

Sprendimas

1) Šių skaičių suma lygi: .

2) Pagal apibrėžimą aritmetinis vidurkis yra skaičių sumos dalijimo iš jų skaičiaus koeficientas. Turime penkis skaičius, todėl aritmetinis vidurkis yra:

Atsakymas: skaičių sąlygos duomenų aritmetinis vidurkis yra 3.

Be to, kad jį nuolat siūloma rasti pamokose, rasti aritmetinį vidurkį labai praverčia Kasdienybė. Pavyzdžiui, tarkime, kad norime atostogauti į Graikiją. Norėdami pasirinkti tinkamą aprangą, žiūrime, kokia temperatūra šiuo metu yra šioje šalyje. Tačiau bendro oro vaizdo nesužinosime. Todėl reikia išsiaiškinti oro temperatūrą Graikijoje, pavyzdžiui, savaitei, ir rasti šių temperatūrų aritmetinį vidurkį.

3 pavyzdys

Temperatūra Graikijoje savaitę: pirmadienis - ; antradienis - ; Trečiadienis - ; Ketvirtadienis - ; penktadienis - ; Šeštadienis - ; Sekmadienis -. Apskaičiuokite vidutinę savaitės temperatūrą.

Sprendimas

1) Apskaičiuokime temperatūrų sumą: .

2) Gautą sumą padalinkite iš dienų skaičiaus: .

Atsakymas: Vidutinė savaitės temperatūra yra apytiksliai.

Gebėjimo rasti aritmetinį vidurkį taip pat gali prireikti norint nustatyti vidutinį futbolo komandos žaidėjų amžių, tai yra, norint nustatyti, ar komanda yra patyrusi, ar ne. Būtina susumuoti visų žaidėjų amžių ir padalyti iš jų skaičiaus.

2 problema

Prekybininkas pardavinėjo obuolius. Iš pradžių jis juos pardavė už 85 rublius už 1 kg. Taigi jis pardavė 12 kg. Tada sumažino kainą iki 65 rublių ir pardavė likusius 4 kg obuolių. Kokia buvo vidutinė obuolių kaina?

Sprendimas

1) Paskaičiuokime, kiek prekybininkas iš viso uždirbo pinigų. Jis pardavė 12 kilogramų už 85 rublius už 1 kg: (trinti.).

Jis pardavė 4 kilogramus po 65 rublius už 1 kg: (rubliai).

Todėl bendra uždirbtų pinigų suma lygi: (rub.).

2) Bendras parduotų obuolių svoris lygus: .

3) Gautą pinigų sumą padalinkite iš bendro parduotų obuolių svorio ir gaukite vidutinę 1 kg obuolių kainą: (rubliai).

Atsakymas: vidutinė 1 kg parduodamų obuolių kaina yra 80 rublių.

Aritmetinis vidurkis padeda įvertinti duomenis kaip visumą, neatsižvelgiant į kiekvieną reikšmę atskirai.

Tačiau ne visada galima vartoti aritmetinio vidurkio sąvoką.

4 pavyzdys

Šaulys į taikinį paleido du šūvius (žr. 2 pav.): pirmą kartą pataikė metrą aukščiau, o antrą kartą – metrą žemiau. Aritmetinis vidurkis parodys, kad jis tiksliai pataikė į centrą, nors abu kartus nepataikė.

Ryžiai. 2. Pavyzdžiui, iliustracija

Šioje pamokoje sužinojome apie aritmetinio vidurkio sąvoką. Sužinojome šios sąvokos apibrėžimą, išmokome apskaičiuoti kelių skaičių aritmetinį vidurkį. Mes taip pat išmokome praktinis naudojimasši koncepcija.

1. N.Ya. Vilenkinas. Matematika: vadovėlis. 5 klasei. bendrojo išsilavinimo uchr. - Red. 17 d. - M.: Mnemosyne, 2005.
)
2. Igoris su savimi turėjo 45 rublius, Andrejus – 28, Denisas – 17.
3. Už visus pinigus jie nusipirko 3 bilietus į kiną. Kiek kainavo vienas bilietas?

Aritmetinio vidurkio ir geometrinio vidurkio tema įtraukta į 6-7 klasių matematikos programą. Kadangi pastraipa gana lengvai suprantama, ji greitai praeina, o baigiantis mokslo metams mokiniai ją pamiršo. Tačiau tam reikalingos pagrindinės statistikos žinios išlaikęs vieningą valstybinį egzaminą, taip pat už tarptautinius egzaminus SAT. O kasdieniam gyvenimui išlavintas analitinis mąstymas niekada nekenkia.

Kaip apskaičiuoti skaičių aritmetinį ir geometrinį vidurkį

Tarkime, kad yra skaičių eilutė: 11, 4 ir 3. Aritmetinis vidurkis yra visų skaičių suma, padalyta iš pateiktų skaičių. Tai yra, skaičių 11, 4, 3 atveju atsakymas bus 6. Kaip gauti 6?

Sprendimas: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Vardiklyje turi būti skaičius, lygus skaičių, kurių vidurkį reikia rasti, skaičiui. Suma dalijasi iš 3, nes yra trys nariai.

Dabar turime išsiaiškinti geometrinį vidurkį. Tarkime, kad yra skaičių serija: 4, 2 ir 8.

Geometrinis skaičių vidurkis yra visų pateiktų skaičių sandauga, esanti po šaknimi, kurios galia lygi duotųjų skaičių skaičiui.Tai yra, skaičių 4, 2 ir 8 atveju atsakymas bus 4. Štai kaip tai paaiškėjo:

Sprendimas: ∛(4 × 2 × 8) = 4

Abiejuose variantuose gavome ištisus atsakymus, nes pavyzdžiui buvo paimti specialūs skaičiai. Taip nutinka ne visada. Daugeliu atvejų atsakymas turi būti suapvalintas arba paliktas šaknyje. Pavyzdžiui, skaičių 11, 7 ir 20 aritmetinis vidurkis yra ≈ 12,67, o geometrinis vidurkis yra ∛1540. O į skaičius 6 ir 5 atsakymai bus atitinkamai 5,5 ir √30.

Ar gali atsitikti taip, kad aritmetinis vidurkis taps lygus geometriniam vidurkiui?

Žinoma, kad gali. Bet tik dviem atvejais. Jei yra skaičių serija, susidedanti tik iš vienetų arba nulių. Taip pat pažymėtina, kad atsakymas nepriklauso nuo jų skaičiaus.

Įrodymas su vienetais: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmetinis vidurkis).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geometrinis vidurkis).

Įrodymas su nuliais: (0 + 0) / 2=0 (aritmetinis vidurkis).

√(0 × 0) = 0 (geometrinis vidurkis).

Kito varianto nėra ir negali būti.

Daugiausia ekv. Praktiškai turime naudoti aritmetinį vidurkį, kuris gali būti apskaičiuojamas kaip paprastas ir svertinis aritmetinis vidurkis.

Aritmetinis vidurkis (SA)-n Labiausiai paplitęs vidurkio tipas. Jis naudojamas tais atvejais, kai visos populiacijos kintamos charakteristikos tūris yra atskirų jos vienetų charakteristikų verčių suma. Socialiniams reiškiniams būdingas kintamos charakteristikos tūrių adityvumas (visumas), tai lemia SA taikymo sritį ir paaiškina jos, kaip bendrojo rodiklio, paplitimą, pavyzdžiui: bendras darbo užmokesčio fondas yra visų darbuotojų atlyginimų suma.

Norėdami apskaičiuoti SA, turite padalyti visų savybių reikšmių sumą iš jų skaičiaus. SA naudojamas 2 formomis.

Pirmiausia panagrinėkime paprastą aritmetinį vidurkį.

1-CA paprasta (pradinė, apibrėžianti forma) yra lygi paprastai vidutinių charakteristikų atskirų verčių sumai, padalytai iš bendro šių reikšmių skaičiaus (naudojama, kai yra nesugrupuotos charakteristikos indekso reikšmės):

Atliktus skaičiavimus galima apibendrinti į šią formulę:

(1)

Kur - vidutinė kintamos charakteristikos reikšmė, t.y. paprastas aritmetinis vidurkis;

reiškia sumavimą, t. y. individualių charakteristikų pridėjimą;

x- individualios kintančios charakteristikos vertės, kurios vadinamos variantais;

n - gyventojų vienetų skaičius

1 pavyzdys, reikia rasti vieno darbininko (mechaniko) vidutinę produkciją, jei žinoma, kiek dalių pagamino kiekvienas iš 15 darbuotojų, t.y. pateikta eilė ind. atributų reikšmės, vnt.: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Paprastoji SA apskaičiuojama pagal (1) formulę, vnt.:

2 pavyzdys. Apskaičiuokime SA pagal sąlyginius 20 parduotuvių, įtrauktų į prekybos įmonę, duomenis (1 lentelė). 1 lentelė

Prekybos įmonės „Vesna“ parduotuvių pasiskirstymas pagal prekybos plotą, kv. M

Parduotuvė Nr.		Parduotuvė Nr.

Norėdami apskaičiuoti vidutinį parduotuvės plotą ( ) reikia susumuoti visų parduotuvių plotus ir gautą rezultatą padalyti iš parduotuvių skaičiaus:

Taigi vidutinis šios mažmeninės prekybos įmonių grupės parduotuvių plotas yra 71 kv.m.

Todėl norint nustatyti paprastą SA, reikia visų reikšmių sumos šios savybės padalintas iš vienetų, turinčių šią charakteristiką, skaičiaus.

2

Kur f 1 , f 2 , … ,f n – svoris (identiškų ženklų pasikartojimo dažnis);

– požymių dydžio ir jų dažnių sandaugų suma;

– bendras gyventojų vienetų skaičius.

- SA svertinis - Su Vidurys variantų, kurie kartojasi skirtingą skaičių kartų arba, kaip sakoma, turi skirtingą svorį. Svoriai yra vienetų skaičius skirtingos grupės agregatai (identiški variantai sujungiami į grupę). SA svertinis – sugrupuotų verčių vidurkis x 1 , x 2 , .., x n, – paskaičiuota: (2)

Kur X- galimybės;

f- dažnis (svoris).

Svertinis SA yra pasirinkimo sandorių sandaugų ir juos atitinkančių dažnių sumos dalijimosi iš visų dažnių sumos koeficientas. Dažniai ( f), esantys SA formulėje, paprastai vadinami svarstyklės, dėl to SA, apskaičiuotas atsižvelgiant į svorius, vadinamas svertiniu.

Svertinio SA apskaičiavimo techniką iliustruosime aukščiau aptartu pavyzdžiu 1. Tam pradinius duomenis sugrupuosime ir patalpinsime į lentelę.

Sugrupuotų duomenų vidurkis nustatomas taip: iš pradžių variantai dauginami iš dažnių, tada sumuojami sandaugai ir gauta suma dalijama iš dažnių sumos.

Pagal (2) formulę svertinis SA yra lygus, vnt.:

Darbuotojų paskirstymas detalių gamybai

P

Ankstesniame 2 pavyzdyje pateikti duomenys gali būti sujungti į vienarūšes grupes, kurios pateiktos lentelėje. Lentelė

Parduotuvių „Vesna“ pasiskirstymas pagal prekybos plotą, kv. m

Taigi rezultatas buvo toks pat. Tačiau tai jau bus svertinis aritmetinis vidurkis.

Ankstesniame pavyzdyje apskaičiavome aritmetinį vidurkį, jei žinomi absoliutieji dažniai (parduotuvių skaičius). Tačiau daugeliu atvejų absoliučių dažnių nėra, tačiau santykiniai dažniai yra žinomi arba, kaip jie paprastai vadinami, dažniai, rodantys proporciją arba dažnių proporcija visame rinkinyje.

Skaičiuojant SA svertinį naudojimą dažnius leidžia supaprastinti skaičiavimus, kai dažnis išreiškiamas dideliais kelių skaitmenų skaičiais. Skaičiavimas atliekamas taip pat, tačiau, kadangi paaiškėja, kad vidutinė vertė padidėja 100 kartų, rezultatas turėtų būti padalintas iš 100.

Tada aritmetinio svertinio vidurkio formulė atrodys taip:

Kur d– dažnis, t.y. kiekvieno dažnio dalis bendroje visų dažnių sumoje.

(3)

2 pavyzdyje pirmiausia nustatome parduotuvių dalį pagal grupes bendrame Vesna įmonės parduotuvių skaičiuje. Taigi pirmajai grupei savitasis svoris atitinka 10 proc.
. Gauname tokius duomenis 3 lentelė

) ir imties vidurkis.

Enciklopedinis „YouTube“.

• 1 / 5

  Pažymime duomenų rinkinį X = (x 1 , x 2 , …, x n), tada imties vidurkis paprastai nurodomas horizontalia juosta virš kintamojo (tariama " x su linija").

  Graikiška raidė μ naudojama visos populiacijos aritmetiniam vidurkiui žymėti. Atsitiktinio dydžio, kurio vidutinė vertė nustatoma, μ yra tikimybinis vidurkis arba matematinis atsitiktinio dydžio lūkestis. Jei rinkinys X yra atsitiktinių skaičių, kurių tikimybinis vidurkis μ, rinkinys, tada bet kuriai imčiai x i iš šios aibės μ = E( x i) yra šios imties matematinis lūkestis.

  Praktiškai skirtumas tarp μ ir x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) yra tai, kad μ yra tipiškas kintamasis, nes galite matyti imtį, o ne visą populiaciją. Todėl, jei imtis yra atsitiktinė (tikimybių teorijos požiūriu), tada x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))(bet ne μ) gali būti traktuojamas kaip atsitiktinis dydis, turintis tikimybės pasiskirstymą imtyje (vidurkio tikimybės pasiskirstymas).

  Abu šie dydžiai apskaičiuojami taip pat:

  x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\ctaškai +x_(n)).

  Pavyzdžiai

  • Norėdami gauti tris skaičius, turite juos pridėti ir padalyti iš 3:
  x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).
  • Jei norite gauti keturis skaičius, turite juos pridėti ir padalyti iš 4:
  x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).

  Arba paprasčiau 5+5=10, 10:2. Kadangi mes sudėjome 2 skaičius, o tai reiškia, kiek skaičių pridedame, dalijame iš tiek.

  Nuolatinis atsitiktinis dydis

  f (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

  Kai kurios vidurkio naudojimo problemos

  Trūksta tvirtumo

  Nors aritmetiniai vidurkiai dažnai naudojami kaip vidurkiai arba pagrindinės tendencijos, ši sąvoka nėra patikima statistika, o tai reiškia, kad aritmetiniam vidurkiui didelę įtaką daro „dideli nukrypimai“. Pastebėtina, kad skirstiniuose su dideliu iškrypimo koeficientu aritmetinis vidurkis gali neatitikti „vidurkio“ sąvokos, o vidurkio reikšmės iš patikimos statistikos (pavyzdžiui, mediana) gali geriau apibūdinti centrinę vertę. tendencija.

  Klasikinis pavyzdys yra vidutinių pajamų apskaičiavimas. Aritmetinis vidurkis gali būti klaidingai interpretuojamas kaip mediana, todėl galima daryti išvadą, kad žmonių, gaunančių didesnes pajamas, yra daugiau nei iš tikrųjų. „Vidutinės“ pajamos aiškinamos taip, kad dauguma žmonių turi maždaug šio skaičiaus pajamas. Šios „vidutinės“ (aritmetinio vidurkio prasme) pajamos yra didesnės už daugumos žmonių pajamas, nes dėl didelių pajamų, kurios labai nukrypsta nuo vidurkio, aritmetinis vidurkis yra labai iškreiptas (priešingai, vidutinės pajamos prie medianos). „priešina“ tokiam iškrypimui). Tačiau šios „vidutinės“ pajamos nieko nesako apie žmonių skaičių, artimą vidutinėms pajamoms (ir nieko nesako apie žmonių skaičių, artimą modalinėms pajamoms). Tačiau jei į sąvokas „vidutinis“ ir „dauguma žmonių“ žiūrėsite lengvai, galite padaryti neteisingą išvadą, kad dauguma žmonių turi didesnes pajamas, nei yra iš tikrųjų. Pavyzdžiui, „vidutinių“ grynųjų pajamų Medinoje (Vašingtonas) ataskaita, apskaičiuota kaip visų gyventojų metinių grynųjų pajamų aritmetinis vidurkis, stebėtinai duos rezultatų. didelis skaičius dėl Billo Gateso. Apsvarstykite pavyzdį (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmetinis vidurkis yra 3,17, bet penkios iš šešių verčių yra mažesnės už šį vidurkį.

  Sudėtinės palūkanos

  Jei skaičiai padauginti, bet ne sulankstyti, reikia naudoti geometrinį vidurkį, o ne aritmetinį vidurkį. Dažniausiai šis incidentas įvyksta skaičiuojant investicijų į finansus grąžą.

  Pavyzdžiui, jei pirmaisiais metais akcijos nukrito 10%, o antraisiais pabrango 30%, tada neteisinga skaičiuoti „vidutinį“ padidėjimą per tuos dvejus metus kaip aritmetinį vidurkį (–10% + 30%) / 2 = 10 %; teisingą vidurkį šiuo atveju duoda sudėtinis metinis augimo tempas, kuris suteikia tik apie 8,16653826392 % ≈ 8,2 % metinį augimo tempą.

  Taip yra todėl, kad procentai kiekvieną kartą turi naują atskaitos tašką: 30% yra 30% nuo mažesnio skaičiaus nei kaina pirmųjų metų pradžioje: jei akcijų kaina prasidėjo nuo 30 USD ir nukrito 10%, antrųjų metų pradžioje jos vertė yra 27 USD. Jei akcijos padidėtų 30%, antrųjų metų pabaigoje jų vertė būtų 35,1 USD. Aritmetinis šio augimo vidurkis yra 10%, bet kadangi akcijos per 2 metus pabrango tik 5,1 USD, vidutinis augimas 8,2% duoda galutinį rezultatą 35,1 USD:

  [30 USD (1–0,1) (1 + 0,3) = 30 USD (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 USD]. Jei lygiai taip pat naudosime vidurkį aritmetinė vertė 10%, negausime tikrosios vertės: [30 USD (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 USD].

  Sudėtinės palūkanos 2 metų pabaigoje: 90% * 130% = 117%, tai yra, bendras padidėjimas yra 17%, o vidutinės metinės sudėtinės palūkanos 117% ≈ 108,2% (\displaystyle (\sqrt (117\%))\apytiksliai 108,2\%) ty vidutinis metinis padidėjimas 8,2% Šis skaičius neteisingas dėl dviejų priežasčių.

  Vidutinė ciklinio kintamojo vertė, apskaičiuota naudojant pirmiau pateiktą formulę, bus dirbtinai perkelta, palyginti su realiu vidurkiu, link skaitinio diapazono vidurio. Dėl šios priežasties vidurkis apskaičiuojamas kitu būdu, ty skaičius su mažiausia dispersija ( centrinis taškas). Be to, vietoj atimties naudojamas modulinis atstumas (tai yra apskritimo atstumas). Pavyzdžiui, modulinis atstumas tarp 1° ir 359° yra 2°, o ne 358° (apskritime tarp 359° ir 360° ==0° – vienas laipsnis, tarp 0° ir 1° – taip pat 1°, iš viso -2 °).