1. Mazākais skaitlis Tetraedram ir 6 malas.
2. Prizmai ir n skaldnes. Kurš daudzstūris atrodas tā pamatnē?
(n - 2) - kvadrāts.
3. Vai prizma ir taisna, ja tās divas blakus esošās malas ir perpendikulāras pamatnes plaknei?
Jā, tā ir.
4. Kurā prizmā sānu malas ir paralēlas tās augstumam?
Taisnā prizmā.
5. Vai prizma ir regulāra, ja visas tās malas ir vienādas viena ar otru?
Nē, tas var nebūt tiešs.
6. Vai slīpas prizmas vienas sānu virsmas augstums var būt arī prizmas augstums?
Jā, ja šī seja ir perpendikulāra pamatnei.
7. Vai ir prizma, kurā: a) sānu mala ir perpendikulāra tikai vienai pamatnes malai; b) tikai viena sānu virsma ir perpendikulāra pamatnei?
a) jā. b) nē.
8. Regulāru trīsstūrveida prizmu sadala divās prizmās ar plakni, kas iet caur pamatu viduslīnijām. Kāda ir šo prizmu sānu virsmas laukumu attiecība?
Ar 27. teorēmu mēs atklājam, ka sānu virsmas ir attiecībā 5:3
9. Vai piramīda būs regulāra, ja tās sānu skaldnes ir regulāri trīsstūri?
10. Cik skaldņu, kas ir perpendikulāras pamatnes plaknei, var būt piramīdai?
11. Vai ir četrstūra piramīda, kuras pretējās malas ir perpendikulāras pamatnei?
Nē, pretējā gadījumā būtu vismaz divas taisnas līnijas, kas iet cauri piramīdas virsotnei, perpendikulāras pamatnēm.
12. Vai visas trīsstūrveida piramīdas skaldnes var būt taisnleņķa trijstūri?
Jā (183. attēls).
Video kursā “Iegūt A” ir iekļautas visas jums nepieciešamās tēmas veiksmīga pabeigšana Vienotais valsts eksāmens matemātikā par 60-65 ballēm. Pilnīgi visi profila vienotā valsts eksāmena matemātikas uzdevumi 1-13. Piemērots arī matemātikas vienotā valsts eksāmena kārtošanai. Ja vēlies vienoto valsts eksāmenu nokārtot ar 90-100 punktiem, 1.daļa jāatrisina 30 minūtēs un bez kļūdām!
Sagatavošanas kurss Vienotajam valsts eksāmenam 10.-11.klasei, kā arī skolotājiem. Viss, kas nepieciešams, lai atrisinātu Vienotā valsts eksāmena 1. daļu matemātikā (pirmie 12 uzdevumi) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ir vairāk nekā 70 punkti vienotajā valsts eksāmenā, un bez tiem nevar iztikt ne 100 ballu students, ne humanitāro zinātņu students.
Visa nepieciešamā teorija. Ātri veidi Vienotā valsts eksāmena risinājumi, kļūmes un noslēpumi. Ir analizēti visi aktuālie FIPI uzdevumu bankas 1. daļas uzdevumi. Kurss pilnībā atbilst Vienotā valsts eksāmena 2018 prasībām.
Kursā ir 5 lielas tēmas, katra 2,5 stundas. Katra tēma ir dota no nulles, vienkārši un skaidri.
Simtiem vienotā valsts eksāmena uzdevumu. Vārdu uzdevumi un varbūtību teorija. Vienkārši un viegli iegaumējami algoritmi problēmu risināšanai. Ģeometrija. Teorija, izziņas materiāls, visu veidu vienotā valsts pārbaudījuma uzdevumu analīze. Stereometrija. Viltīgi risinājumi, noderīgas krāpšanās lapas, telpiskās iztēles attīstība. Trigonometrija no nulles līdz problēmai 13. Sapratne, nevis pieblīvēšanās. Vizuāls skaidrojums sarežģīti jēdzieni. Algebra. Saknes, pakāpes un logaritmi, funkcija un atvasinājums. Pamats Vienotā valsts eksāmena 2. daļas sarežģītu problēmu risināšanai.
Vispārīga informācija par taisno prizmu
Par prizmas sānu virsmu (precīzāk, sānu virsmas laukumu) sauc summa sānu virsmu zonas. Prizmas kopējā virsma ir vienāda ar sānu virsmas un pamatu laukumu summu.
Teorēma 19.1. Taisnas prizmas sānu virsma ir vienāda ar pamatnes perimetra un prizmas augstuma reizinājumu, t.i., sānu malas garumu.
Pierādījums. Taisnas prizmas sānu malas ir taisnstūri. Šo taisnstūru pamati ir daudzstūra malas, kas atrodas prizmas pamatnē, un augstumi ir vienādi ar sānu malu garumu. No tā izriet, ka prizmas sānu virsma ir vienāda ar
S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,
kur a 1 un n ir pamatnes malu garumi, p ir prizmas pamatnes perimetrs un I ir sānu malu garums. Teorēma ir pierādīta.
Praktisks uzdevums
Problēma (22) . Slīpā prizmā tas tiek veikts sadaļā, perpendikulāri sānu ribām un krustojot visas sānu ribas. Atrodiet prizmas sānu virsmu, ja griezuma perimetrs ir vienāds ar p un sānu malas ir vienādas ar l.
Risinājums. Uzzīmētā griezuma plakne sadala prizmu divās daļās (411. att.). Vienu no tiem pakļausim paralēlai tulkošanai, apvienojot prizmas pamatus. Šajā gadījumā mēs iegūstam taisnu prizmu, kuras pamatne ir sākotnējās prizmas šķērsgriezums, un sānu malas ir vienādas ar l. Šai prizmai ir tāda pati sānu virsma kā oriģinālajai. Tādējādi sākotnējās prizmas sānu virsma ir vienāda ar pl.
Apskatītās tēmas kopsavilkums
Tagad mēģināsim apkopot tēmu, par kuru mēs runājām par prizmām, un atcerēsimies, kādas īpašības piemīt prizmai.
Prizmas īpašības
Pirmkārt, prizmai visi pamati ir vienādi daudzstūri;
Otrkārt, prizmai ir viss sānu sejas ir paralelogrami;
Treškārt, tādā daudzšķautņainā figūrā kā prizma visas sānu malas ir vienādas;
Tāpat jāatceras, ka daudzskaldnis, piemēram, prizmas, var būt taisns vai slīps.
Kuru prizmu sauc par taisno prizmu?
Ja prizmas sānu mala atrodas perpendikulāri tās pamatnes plaknei, tad šādu prizmu sauc par taisnu.
Nebūtu lieki atgādināt, ka taisnas prizmas sānu malas ir taisnstūri.
Kāda veida prizmu sauc par slīpi?
Bet, ja prizmas sānu mala neatrodas perpendikulāri tās pamatnes plaknei, tad varam droši teikt, ka tā ir slīpa prizma.
Kuru prizmu sauc par pareizu?
Ja taisnas prizmas pamatnē atrodas regulārs daudzstūris, tad šāda prizma ir regulāra.
Tagad atcerēsimies parastās prizmas īpašības.
Regulāras prizmas īpašības
Pirmkārt, regulāri daudzstūri vienmēr kalpo par regulāras prizmas pamatiem;
Otrkārt, ja ņemam vērā regulāras prizmas sānu skaldnes, tās vienmēr būs vienādi taisnstūri;
Treškārt, ja salīdzina sānu ribu izmērus, tad parastajā prizmā tie vienmēr ir vienādi.
Ceturtkārt, pareiza prizma vienmēr ir taisna;
Piektkārt, ja regulārā prizmā sānu skaldnēm ir kvadrātu forma, tad šādu figūru parasti sauc par pusregulāru daudzstūri.
Prizmas šķērsgriezums
Tagad apskatīsim prizmas šķērsgriezumu:
Mājasdarbs
Tagad mēģināsim nostiprināt apgūto tēmu, risinot problēmas.
Uzzīmēsim slīpu trīsstūrveida prizmu, attālums starp tās malām būs vienāds ar: 3 cm, 4 cm un 5 cm, un šīs prizmas sānu virsma būs vienāda ar 60 cm2. Ņemot šos parametrus, atrodiet šīs prizmas sānu malu.
Vai jūs zināt, ka ģeometriskas figūras pastāvīgi ieskauj mūs ne tikai ģeometrijas stundās, bet arī Ikdiena Ir objekti, kas atgādina vienu vai otru ģeometrisku figūru.
Katrā mājā, skolā vai darbā ir dators, kura sistēmas vienība ir veidota kā taisna prizma.
Ja paņemsiet vienkāršu zīmuli, jūs redzēsiet, ka zīmuļa galvenā daļa ir prizma.
Ejot pa pilsētas centrālo ielu, redzam, ka zem kājām guļ flīze, kurai ir sešstūra prizmas forma.
A. V. Pogorelovs, Ģeometrija 7.-11.klasei, Mācību grāmata izglītības iestādēm
Daudzskaldnis
Galvenais stereometrijas izpētes objekts ir telpiskie ķermeņi. Ķermenis apzīmē telpas daļu, ko ierobežo noteikta virsma.
Daudzskaldnis ir ķermenis, kura virsma sastāv no ierobežota skaita plakanu daudzstūru. Daudzskaldni sauc par izliektu, ja tas atrodas katra plaknes daudzstūra plaknes vienā pusē uz tā virsmas. Šādas plaknes un daudzskaldņa virsmas kopīgo daļu sauc mala. Izliekta daudzskaldņa skaldnes ir plakani izliekti daudzstūri. Seju puses sauc daudzskaldņa malas, un virsotnes ir daudzskaldņa virsotnes.
Piemēram, kubs sastāv no sešiem kvadrātiem, kas ir tā sejas. Tajā ir 12 malas (rūtiņu malas) un 8 virsotnes (lauku virsotnes).
Vienkāršākie daudzskaldņi ir prizmas un piramīdas, kuras mēs pētīsim tālāk.
Prizma
Prizmas definīcija un īpašības
Prizma ir daudzskaldnis, kas sastāv no diviem plakaniem daudzstūriem, kas atrodas iekšā paralēlas plaknes apvienoti ar paralēlo tulkošanu, un visi segmenti, kas savieno atbilstošos šo daudzstūru punktus. Par daudzstūriem sauc prizmu pamatnes, un segmenti, kas savieno atbilstošās daudzstūru virsotnes, ir prizmas sānu malas.
Prizmas augstums sauc par attālumu starp tā pamatu plaknēm (). Tiek saukts segments, kas savieno divas prizmas virsotnes, kas nepieder vienai skaldnei prizmas diagonāle(). Prizmu sauc n-ogleklis, ja tā bāze satur n-stūri.
Jebkurai prizmai ir šādas īpašības, kas izriet no fakta, ka prizmas pamatnes tiek apvienotas ar paralēlo tulkošanu:
1. Prizmas pamatnes ir vienādas.
2. Prizmas sānu malas ir paralēlas un vienādas.
Prizmas virsma sastāv no pamatnēm un sānu virsma. Prizmas sānu virsmu veido paralelogrami (tas izriet no prizmas īpašībām). Prizmas sānu virsmas laukums ir sānu virsmu laukumu summa.
Taisna prizma
Prizmu sauc taisni, ja tā sānu malas ir perpendikulāras pamatnēm. Citādi prizmu sauc slīpi.
Taisnās prizmas skaldnes ir taisnstūri. Taisnas prizmas augstums ir vienāds ar tās sānu malām.
Pilnas prizmas virsma sauc par sānu virsmas laukuma un pamatu laukumu summu.
Ar pareizo prizmu sauc par taisno prizmu ar regulāru daudzstūri tās pamatnē.
Teorēma 13.1. Taisnas prizmas sānu virsmas laukums ir vienāds ar prizmas perimetra un augstuma reizinājumu (vai, kas ir vienāds, ar sānu malu).
Pierādījums. Taisnās prizmas sānu malas ir taisnstūri, kuru pamatnes ir prizmas pamatos esošo daudzstūru malas, bet augstumi ir prizmas sānu malas. Tad pēc definīcijas sānu virsmas laukums ir:
,
kur ir taisnas prizmas pamatnes perimetrs.
Paralēles
Ja paralelogrami atrodas prizmas pamatos, tad to sauc paralēlskaldnis. Visas paralēlskaldņa skaldnes ir paralelogrami. Šajā gadījumā paralēlskaldņa pretējās virsmas ir paralēlas un vienādas.
Teorēma 13.2. Paralēles diagonāles krustojas vienā punktā un tiek dalītas uz pusēm ar krustošanās punktu.
Pierādījums. Apsveriet, piemēram, divas patvaļīgas diagonāles un . Jo paralēlskaldņa sejas ir paralelogrami, tad un , kas nozīmē, ka saskaņā ar To ir divas taisnes, kas ir paralēlas trešajai. Turklāt tas nozīmē, ka taisnas līnijas atrodas vienā plaknē (plaknē). Šī plakne šķērso paralēlas plaknes un gar paralēlām līnijām un . Tādējādi četrstūris ir paralelograms, un pēc paralelograma īpašības tā diagonāles krustojas un tiek dalītas uz pusēm ar krustošanās punktu, kas bija tas, kas bija jāpierāda.
Tiek saukts taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura pamats ir taisnstūris taisnstūra paralēlskaldnis. Visas taisnstūra paralēlskaldņa skaldnes ir taisnstūri. Taisnstūra paralēlskaldņa neparalēlo malu garumus sauc par tā lineārajiem izmēriem (izmēriem). Ir trīs šādi izmēri (platums, augstums, garums).
Teorēma 13.3. Taisnstūra paralēlskaldnis jebkuras diagonāles kvadrāts vienāds ar summu tā trīs dimensiju kvadrāti 
(pierādīts, divreiz pielietojot Pitagora T).
Tiek saukts taisnstūrveida paralēlskaldnis ar vienādām malām kubs.
Uzdevumi
13.1. Cik diagonāļu tai ir? n-oglekļa prizma
13.2. Slīpā trīsstūrveida prizmā attālumi starp sānu malām ir 37, 13 un 40. Atrodiet attālumu starp lielāko sānu malu un pretējo malu.
13.3Caur labās apakšējās pamatnes malu trīsstūrveida prizma tiek novilkta plakne, kas krusto sānu malas pa segmentiem, leņķis starp kuriem ir . Atrodiet šīs plaknes slīpuma leņķi pret prizmas pamatni.
Definīcija. Prizma ir daudzskaldnis, kura visas virsotnes atrodas divās paralēlās plaknēs, un šajās divās plaknēs atrodas divas prizmas skaldnes, kas ir vienādi daudzstūri ar attiecīgi paralēlām malām, un visas malas, kas neatrodas šajās plaknēs, ir paralēlas.
Tiek sauktas divas vienādas sejas prizmu pamatnes(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).
Tiek sauktas visas pārējās prizmas skaldnes sānu sejas(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Visas sānu sejas veidojas prizmas sānu virsma .
Visas prizmas sānu virsmas ir paralelogrami .
Malas, kas neatrodas pie pamatiem, sauc par prizmas sānu malām ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).
Prizmas diagonāle ir segments, kura gali ir divas prizmas virsotnes, kas neatrodas uz vienas virsmas (AD 1).
Tiek saukts segmenta garums, kas savieno prizmas pamatus un ir perpendikulārs abām pamatnēm vienlaikus. prizmas augstums .
Apzīmējums:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Vispirms šķērsošanas secībā tiek norādītas vienas pamatnes virsotnes, pēc tam tādā pašā secībā otras; katras sānu malas galus apzīmē ar vieniem un tiem pašiem burtiem, ir apzīmētas tikai virsotnes, kas atrodas vienā pamatnē. ar burtiem bez indeksa, bet otrā - ar indeksu)
Prizmas nosaukums ir saistīts ar leņķu skaitu attēlā, kas atrodas tās pamatnē, piemēram, 1. attēlā pie pamatnes ir piecstūris, tāpēc prizmu sauc piecstūra prizma. Bet tāpēc tādai prizmai ir 7 sejas, tad tā septiņskaldnis(2 skaldnes - prizmas pamatnes, 5 skaldnes - paralelogrami, - tās sānu virsmas)
Starp taisnām prizmām izceļas konkrēts veids: parastās prizmas.
Tiek saukta taisna prizma pareizi, ja tā pamati ir regulāri daudzstūri.
Paralēles
Paralēles ir četrstūra prizma, kuras pamatnē atrodas paralelograms (slīps paralēlskaldnis). Labais paralēlskaldnis- paralēlskaldnis, kura sānu malas ir perpendikulāras pamatnes plaknēm.Taisnstūra paralēlskaldnis- taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura pamats ir taisnstūris.
Īpašības un teorēmas:
Dažas paralēlskaldņa īpašības ir līdzīgas zināmajām paralelograma īpašībām.Taisnstūra paralēlskaldni ar vienādiem izmēriem sauc kubs
Visas kuba skaldnes ir vienādi kvadrāti. Diagonāles kvadrāts ir vienāds ar tā trīs dimensiju kvadrātu summu 
,
kur d ir kvadrāta diagonāle;
a ir kvadrāta mala.
Priekšstatu par prizmu sniedz:
- dažādi arhitektūras būves;
- Bērnu rotaļlietas;
- iepakojuma kastes;
- dizaineru priekšmeti utt.
Prismas kopējās un sānu virsmas laukums
Prizmas kopējais virsmas laukums ir visu tā virsmu laukumu summa Sānu virsmas laukums sauc par tā sānu virsmu laukumu summu. Prizmas pamatnes ir vienādi daudzstūri, tad to laukumi ir vienādi. TāpēcS pilna = S puse + 2S galvenā,
Kur S pilns- kopējais virsmas laukums, S pusē- sānu virsmas laukums, S bāze- bāzes platība
Taisnas prizmas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pamatnes perimetra un prizmas augstuma reizinājumu.
S pusē= P pamata * h,
Kur S pusē- taisnas prizmas sānu virsmas laukums,
P galvenais - taisnas prizmas pamatnes perimetrs,
h ir taisnās prizmas augstums, vienāds ar sānu malu.
Prizmas tilpums
Prizmas tilpums ir vienāds ar pamatnes laukuma un augstuma reizinājumu.
