The metodiskais materiāls ir tikai atsaucei un attiecas uz plašu tēmu loku. Rakstā sniegts pārskats par pamata elementārfunkciju grafikiem un apspriests svarīgākais jautājums – kā pareizi un ĀTRI izveidot grafiku. Pētījuma laikā augstākā matemātika bez zināšanām par galvenajiem grafikiem elementāras funkcijas Tas būs grūti, tāpēc ir ļoti svarīgi atcerēties, kā izskatās parabolas, hiperbolas, sinusa, kosinusa utt. grafiki, un atcerēties dažas funkcijas vērtības. Mēs arī runāsim par dažām galveno funkciju īpašībām.

Es nepretendēju uz materiālu pilnīgumu un zinātnisku pamatīgumu, uzsvars tiks likts, pirmkārt, uz praksi - tām lietām, ar kurām cilvēks sastopas burtiski ik uz soļa, jebkurā augstākās matemātikas tēmā. Manekenu diagrammas? Tā arī varētu teikt.

Daudzo lasītāju lūgumu dēļ noklikšķināms satura rādītājs:

Turklāt par tēmu ir superīss kopsavilkums
– apgūsti 16 veidu diagrammas, izpētot SEŠAS lappuses!

Ja nopietni, seši, pat es biju pārsteigts. Šajā kopsavilkumā ir uzlabota grafika, un tas ir pieejams par nominālo samaksu. Failu ir ērti izdrukāt, lai grafiki vienmēr būtu pa rokai. Paldies par atbalstu projektam!

Un sāksim uzreiz:

Kā pareizi konstruēt koordinātu asis?

Praksē kontroldarbus skolēni gandrīz vienmēr aizpilda atsevišķās burtnīcās, kas izklātas kvadrātā. Kāpēc jums ir nepieciešami rūtaini marķējumi? Galu galā darbu principā var veikt uz A4 formāta loksnēm. Un būris ir nepieciešams tieši kvalitatīvai un precīzai rasējumu noformēšanai.

Jebkurš funkcijas grafika rasējums sākas ar koordinātu asīm.

Zīmējumi var būt divdimensiju vai trīsdimensiju.

Vispirms apskatīsim divdimensiju gadījumu Dekarta taisnstūra koordinātu sistēma:

1) Uzzīmējiet koordinātu asis. Asi sauc x-ass , un ass ir y ass . Mēs vienmēr cenšamies tos uzzīmēt glīts un nav greizs. Bultām nevajadzētu līdzināties arī papa Karlo bārdai.

2) Mēs parakstām asis ar lieliem burtiem “X” un “Y”. Neaizmirstiet marķēt cirvjus.

3) Iestatiet mērogu gar asīm: uzzīmē nulli un divus vieniniekus. Veidojot zīmējumu, ērtākais un biežāk izmantotais mērogs ir: 1 vienība = 2 šūnas (zīmējums pa kreisi) - ja iespējams, pieturieties pie tā. Tomēr ik pa laikam gadās, ka zīmējums neiederas piezīmjdatora lapā – tad samazinām mērogu: 1 vienība = 1 šūna (zīmējums pa labi). Tas ir reti, bet gadās, ka zīmējuma mērogs ir jāsamazina (vai jāpalielina) vēl vairāk

NAV VAJADZĪGS “ložmetējs” …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Jo koordinātu plakne nav piemineklis Dekartam, un students nav balodis. Mēs liekam nulle Un divas vienības gar asīm. Dažkārt tā vietā mērvienības, ir ērti “atzīmēt” citas vērtības, piemēram, “divi” uz abscisu ass un “trīs” uz ordinātu ass - un šī sistēma (0, 2 un 3) arī unikāli definēs koordinātu režģi.

Labāk ir aplēst rasējuma aptuvenos izmērus PIRMS rasējuma konstruēšanas. Tātad, piemēram, ja uzdevums prasa uzzīmēt trīsstūri ar virsotnēm , , , tad ir pilnīgi skaidrs, ka populārā skala 1 vienība = 2 šūnas nedarbosies. Kāpēc? Paskatīsimies pēc būtības – šeit būs jāmēra piecpadsmit centimetri uz leju, un, acīmredzot, zīmējums neietilps (vai knapi ietilps) piezīmjdatora lapā. Tāpēc mēs nekavējoties izvēlamies mazāku mērogu: 1 vienība = 1 šūna.

Starp citu, apmēram centimetri un piezīmju grāmatiņas šūnas. Vai tā ir taisnība, ka 30 piezīmju grāmatiņas šūnās ir 15 centimetri? Izklaidei izmēriet savā piezīmju grāmatiņā ar lineālu 15 centimetrus. PSRS tā varēja būt taisnība... Interesanti atzīmēt, ka, mērot šos vienādus centimetrus horizontāli un vertikāli, rezultāti (šūnās) būs atšķirīgi! Stingri sakot, mūsdienu piezīmju grāmatiņas nav rūtainas, bet taisnstūrveida. Tas var šķist muļķīgi, bet zīmēt, piemēram, apli ar kompasu šādās situācijās ir ļoti neērti. Godīgi sakot, šādos brīžos jūs sākat domāt par biedra Staļina pareizību, kurš tika nosūtīts uz nometnēm, lai veiktu kaprāžu darbu ražošanā, nemaz nerunājot par pašmāju automobiļu rūpniecību, krītošām lidmašīnām vai sprāgstošām spēkstacijām.

Runājot par kvalitāti, vai īss ieteikums par kancelejas precēm. Mūsdienās lielākā daļa piezīmjdatoru ir pārdošanā, slikti vārdi nemaz nerunājot par pilnīgām miskastēm. Tā iemesla dēļ, ka tie kļūst slapji, un ne tikai no gēla pildspalvām, bet arī no lodīšu pildspalvām! Viņi ietaupa naudu uz papīra. Reģistrācijai testiem Es iesaku izmantot piezīmju grāmatiņas no Arhangeļskas celulozes un papīra rūpnīcas (18 loksnes, režģis) vai “Pjateročka”, lai gan tās ir dārgākas. Vēlams izvēlēties gēla pildspalvu pat lētākā ķīniešu gēla pildspalva ir daudz labāka par lodīšu pildspalvu, kas vai nu nosmērē, vai saplēš papīru. Vienīgā “konkurētspējīgā” lodīšu pildspalva, ko es atceros, ir Ērihs Krauze. Viņa raksta skaidri, skaisti un konsekventi – vai ar pilnu kodolu, vai ar gandrīz tukšu.

Turklāt: Rakstā ir apskatīts taisnstūra koordinātu sistēmas redzējums caur analītiskās ģeometrijas acīm Vektoru lineārā (ne)atkarība. Vektoru bāze, Detalizēta informācija par koordinātu ceturkšņiem var atrast nodarbības otrajā rindkopā Lineārās nevienādības.

3D korpuss

Šeit ir gandrīz tas pats.

1) Uzzīmējiet koordinātu asis. Standarta: ass piemērot – vērsta uz augšu, ass – vērsta pa labi, ass – vērsta uz leju pa kreisi stingri 45 grādu leņķī.

2) Marķējiet asis.

3) Iestatiet mērogu gar asīm. Mērogs pa asi ir divas reizes mazāks nekā skala gar pārējām asīm. Ņemiet vērā arī to, ka labajā zīmējumā es izmantoju nestandarta "iecirtumu" gar asi (šī iespēja jau tika minēts iepriekš). Manā skatījumā tas ir precīzāk, ātrāk un estētiski pievilcīgāk - nav jāmeklē mikroskopa šūnas vidu un “skulbēta” vienība tuvu koordinātu izcelsmei.

Veidojot 3D zīmējumu, atkal dodiet priekšroku mērogam
1 vienība = 2 šūnas (zīmējums kreisajā pusē).

Kam domāti visi šie noteikumi? Noteikumi ir radīti, lai tos pārkāptu. To es tagad darīšu. Fakts ir tāds, ka turpmākos raksta rasējumus es veidošu programmā Excel, un koordinātu asis no viedokļa izskatīsies nepareizas pareizs dizains. Es varētu zīmēt visus grafikus ar roku, taču patiesībā ir biedējoši tos zīmēt, jo programma Excel nelabprāt tās zīmē daudz precīzāk.

Grafiki un elementāru funkciju pamatīpašības

Lineāra funkcija tiek dots ar vienādojumu. Lineāro funkciju grafiks ir tiešā veidā. Lai izveidotu taisnu līniju, pietiek zināt divus punktus.

1. piemērs

Izveidojiet funkcijas grafiku. Atradīsim divus punktus. Kā vienu no punktiem ir izdevīgi izvēlēties nulli.

Ja tad

Ņemsim vēl vienu punktu, piemēram, 1.

Ja tad

Veicot uzdevumus, punktu koordinātas parasti tiek apkopotas tabulā:

Un pašas vērtības tiek aprēķinātas mutiski vai uz melnraksta, kalkulatora.

Ir atrasti divi punkti, veidosim zīmējumu:

Sagatavojot zīmējumu, mēs vienmēr parakstām grafiku.

Būtu lietderīgi atgādināt īpašus lineāras funkcijas gadījumus:

Ievērojiet, kā es ievietoju parakstus, paraksti nedrīkst pieļaut neatbilstības, pētot zīmējumu. Šajā gadījumā bija ārkārtīgi nevēlami likt parakstu blakus līniju krustošanās punktam vai apakšā pa labi starp grafikiem.

1) Formas () lineāro funkciju sauc par tiešo proporcionalitāti. Piemēram, . Tiešās proporcionalitātes grafiks vienmēr iet caur izcelsmi. Tādējādi tiek vienkāršota taisnas līnijas konstruēšana - pietiek atrast tikai vienu punktu.

2) Formas vienādojums norāda taisni, kas ir paralēla asij, jo īpaši pati asi ir dota ar vienādojumu. Funkcijas grafiks tiek konstruēts uzreiz, neatrodot nevienu punktu. Tas nozīmē, ka ieraksts ir jāsaprot šādi: "y vienmēr ir vienāds ar –4 jebkurai x vērtībai."

3) Formas vienādojums norāda taisni, kas ir paralēla asij, jo īpaši pati asi ir norādīta ar vienādojumu. Tūlīt tiek uzzīmēts arī funkcijas grafiks. Ieraksts jāsaprot šādi: “x vienmēr jebkurai y vērtībai ir vienāds ar 1.”

Daži jautās, kāpēc atcerēties 6. klasi?! Tā tas ir, varbūt tā ir, bet prakses gadu laikā esmu saticis labu duci studentu, kuri bija neizpratnē par uzdevumu izveidot grafiku, piemēram, vai.

Taisnas līnijas izveidošana ir visizplatītākā darbība, veidojot zīmējumus.

Taisne tiek detalizēti apspriesta analītiskās ģeometrijas gaitā, un interesenti var atsaukties uz rakstu Taisnes vienādojums plaknē.

Kvadrātiskās, kubiskās funkcijas grafiks, polinoma grafiks

Parabola. Kvadrātfunkcijas grafiks () apzīmē parabolu. Apsveriet slaveno gadījumu:

Atgādināsim dažas funkcijas īpašības.

Tātad, mūsu vienādojuma risinājums: – tieši šajā punktā atrodas parabolas virsotne. Kāpēc tas tā ir, var uzzināt no teorētiskā raksta par atvasinājumu un mācības par funkcijas ekstrēmām. Tikmēr aprēķināsim atbilstošo “Y” vērtību:

Tādējādi virsotne atrodas punktā

Tagad mēs atrodam citus punktus, vienlaikus nekaunīgi izmantojot parabolas simetriju. Jāatzīmē, ka funkcija – nav pat, bet, neskatoties uz to, neviens neatcēla parabolas simetriju.

Kādā secībā atrast atlikušos punktus, domāju, ka noskaidrosies no fināla tabulas:

Šis algoritms konstrukcijas tēlaini var saukt par “shuttle” vai “turp un atpakaļ” principu ar Anfisu Čehovu.

Izveidosim zīmējumu:

No apskatītajiem grafikiem nāk prātā vēl viena noderīga funkcija:

Kvadrātiskajai funkcijai () patiesība ir šāda:

Ja , tad parabolas zari ir vērsti uz augšu.

Ja , tad parabolas zari ir vērsti uz leju.

Padziļinātas zināšanas par līkni var iegūt nodarbībā Hiperbola un parabola.

Kubiskā parabola tiek dota ar funkciju. Šeit ir zīmējums, kas pazīstams no skolas:

Uzskaitīsim galvenās funkcijas īpašības

Funkcijas grafiks

Tas attēlo vienu no parabolas atzariem. Izveidosim zīmējumu:

Funkcijas galvenās īpašības:

Šajā gadījumā ass ir vertikālā asimptote hiperbolas grafikam pie .

Būtu RUPJA kļūda, ja, veidojot zīmējumu, jūs bezrūpīgi ļautu grafam krustoties ar asimptotu.

Arī vienpusējās robežas mums norāda, ka hiperbola nav ierobežots no augšas Un nav ierobežots no apakšas.

Apskatīsim funkciju bezgalībā: , tas ir, ja mēs sākam virzīties pa asi pa kreisi (vai pa labi) līdz bezgalībai, tad “spēles” būs sakārtotā solī bezgala tuvu tuvojas nullei un attiecīgi hiperbolas zari bezgala tuvu tuvinies asij.

Tātad ass ir horizontālā asimptote funkcijas grafikam, ja “x” tiecas uz plus vai mīnus bezgalību.

Funkcija ir nepāra, un tāpēc hiperbola ir simetriska attiecībā pret izcelsmi. Šis fakts ir acīmredzams no zīmējuma, turklāt tas ir viegli pārbaudāms analītiski: .

Formas () funkcijas grafiks attēlo divus hiperbolas atzarus.

Ja , tad hiperbola atrodas pirmajā un trešajā koordinātu ceturtdaļā(skat. attēlu augstāk).

Ja , tad hiperbola atrodas otrajā un ceturtajā koordinātu ceturtdaļā.

Norādīto hiperbolas atrašanās vietu ir viegli analizēt no grafiku ģeometrisko transformāciju viedokļa.

3. piemērs

Izveidojiet hiperbolas labo zaru

Mēs izmantojam punktveida konstruēšanas metodi, un ir izdevīgi izvēlēties vērtības tā, lai tās būtu dalāmas ar veselumu:

Izveidosim zīmējumu:

Nebūs grūti uzbūvēt un kreisais zars hiperbolas, šeit palīdzēs funkcijas dīvainība. Aptuveni runājot, punktveida konstruēšanas tabulā katram skaitlim prātīgi pievienojam mīnusu, ieliekam atbilstošos punktus un uzzīmējam otro zaru.

Detalizēta ģeometriskā informācija par aplūkoto līniju atrodama rakstā Hiperbola un parabola.

Eksponenciālās funkcijas grafiks

Šajā sadaļā nekavējoties aplūkošu eksponenciālo funkciju, jo augstākās matemātikas uzdevumos 95% gadījumu parādās eksponenciālais.

Atgādināšu, ka tas ir iracionāls skaitlis: , tas būs nepieciešams, veidojot grafiku, kuru patiesībā es veidošu bez ceremonijām. Trīs punkti, varbūt ar to pietiks:

Pagaidām atstāsim funkcijas grafiku, par to vairāk vēlāk.

Funkcijas galvenās īpašības:

Funkciju grafiki utt. būtībā izskatās vienādi.

Man jāsaka, ka otrs gadījums praksē notiek retāk, bet tas notiek, tāpēc es uzskatīju par nepieciešamu to iekļaut šajā rakstā.

Logaritmiskās funkcijas grafiks

Apsveriet funkciju ar naturālais logaritms.
Izveidosim punktu pa punktam zīmējumu:

Ja esat aizmirsis, kas ir logaritms, lūdzu, skatiet savas skolas mācību grāmatas.

Funkcijas galvenās īpašības:

Domēns:

Vērtību diapazons: .

Funkcija nav ierobežota no augšas: , lai arī lēni, bet logaritma atzars iet uz augšu līdz bezgalībai.
Apskatīsim funkcijas darbību, kas ir tuvu nullei labajā pusē: . Tātad ass ir vertikālā asimptote funkcijas grafikam kā “x” no labās puses ir tendence uz nulli.

Ir obligāti jāzina un jāatceras logaritma tipiskā vērtība: .

Pamatā esošā logaritma grafiks izskatās pēc būtības tāds pats: , , ( decimāllogaritms uz 10. bāzi) utt. Turklāt, jo lielāka ir bāze, jo plakanāks būs grafiks.

Mēs lietu neizskatīsim, es neatceros, kad pēdējo reizi Es uz tā pamata izveidoju grafiku. Un logaritms, šķiet, ir ļoti rets viesis augstākās matemātikas uzdevumos.

Šīs rindkopas beigās es pateikšu vēl vienu faktu: Eksponenciālā funkcija un logaritmiskā funkcija- abi ir savstarpēji apgrieztās funkcijas . Ja paskatās uz logaritma grafiku, jūs varat redzēt, ka tas ir viens un tas pats eksponents, tikai tas atrodas nedaudz savādāk.

Trigonometrisko funkciju grafiki

Kur skolā sākas trigonometriskās mokas? Pa labi. No sinusa

Uzzīmēsim funkciju

Šo līniju sauc sinusoidāls.

Atgādināšu, ka “pi” ir iracionāls skaitlis: , un trigonometrijā tas liek acis mirdzēt.

Funkcijas galvenās īpašības:

Šī funkcija ir periodiski ar periodu. Ko tas nozīmē? Apskatīsim segmentu. Pa kreisi un pa labi no tā bezgalīgi atkārtojas tieši tas pats diagrammas fragments.

Domēns: , tas ir, jebkurai “x” vērtībai ir sinusa vērtība.

Vērtību diapazons: . Funkcija ir ierobežots: , tas ir, visi “spēlētāji” stingri atrodas segmentā .
Tas nenotiek: vai, precīzāk, tas notiek, bet šiem vienādojumiem nav atrisinājuma.

Kā izveidot parabolu? Ir vairāki veidi, kā attēlot kvadrātveida funkciju. Katram no tiem ir savi plusi un mīnusi. Apsvērsim divus veidus.

Sāksim ar kvadrātiskās funkcijas attēlošanu formā y=x²+bx+c un y= -x²+bx+c.

Piemērs.

Grafiksējiet funkciju y=x²+2x-3.

Risinājums:

y=x²+2x-3 ir kvadrātfunkcija. Grafiks ir parabola ar zariem uz augšu. Parabolas virsotņu koordinātas

No virsotnes (-1;-4) izveidojam parabolas y=x² grafiku (kā no koordinātu sākuma. (0;0) vietā - virsotne (-1;-4). No (-1; -4) mēs ejam pa labi par 1 vienību un uz augšu par 1 vienību, tad pa kreisi par 1 un uz augšu, tad: 2 - pa labi, 4 - uz augšu, 2 - pa kreisi, 3 - uz augšu, 3 -; pa kreisi, 9 - uz augšu Ja ar šiem 7 punktiem nepietiek, tad 4 pa labi, 16 uz augšu utt.).

Kvadrātfunkcijas y= -x²+bx+c grafiks ir parabola, kuras atzari ir vērsti uz leju. Lai izveidotu grafiku, mēs meklējam virsotnes koordinātas un no tās izveidojam parabolu y= -x².

Piemērs.

Grafiksējiet funkciju y= -x²+2x+8.

Risinājums:

y= -x²+2x+8 ir kvadrātfunkcija. Grafiks ir parabola ar zariem uz leju. Parabolas virsotņu koordinātas

No augšas mēs izveidojam parabolu y= -x² (1 - pa labi, 1 - uz leju; 1 - pa kreisi, 1 - uz leju; 2 - pa labi, 4 - uz leju; 2 - pa kreisi, 4 - uz leju utt.):

Šī metode ļauj ātri izveidot parabolu un nerada grūtības, ja zināt, kā attēlot funkcijas y=x² un y= -x². Trūkums: ja virsotņu koordinātas ir daļskaitļi, izveidot grafiku nav ļoti ērti. Ja jums ir jāzina precīzas vērtības grafa krustpunktos ar Ox asi, papildus būs jāatrisina vienādojums x²+bx+c=0 (vai -x²+bx+c=0), pat ja šos punktus var tieši noteikt no zīmējuma.

Vēl viens veids, kā konstruēt parabolu, ir pēc punktiem, tas ir, jūs varat atrast vairākus grafikā punktus un novilkt caur tiem parabolu (ņemot vērā, ka taisne x=xₒ ir tās simetrijas ass). Parasti šim nolūkam viņi ņem parabolas virsotni, grafa krustošanās punktus ar koordinātu asīm un 1-2 papildu punktus.

Uzzīmējiet funkcijas y=x²+5x+4 grafiku.

Risinājums:

y=x²+5x+4 ir kvadrātfunkcija. Grafiks ir parabola ar zariem uz augšu. Parabolas virsotņu koordinātas

tas ir, parabolas virsotne ir punkts (-2,5; -2,25).

meklē . Krustošanās punktā ar Ox asi y=0: x²+5x+4=0. Saknes kvadrātvienādojums x1=-1, x2=-4, tas ir, mēs saņēmām divus punktus grafikā (-1; 0) un (-4; 0).

Grafika krustpunktā ar Oy asi x=0: y=0²+5∙0+4=4. Mēs saņēmām punktu (0; 4).

Lai precizētu grafiku, varat atrast papildu punktu. Ņemsim x=1, tad y=1²+5∙1+4=10, tas ir, cits punkts grafikā ir (1; 10). Mēs atzīmējam šos punktus koordinātu plaknē. Ņemot vērā parabolas simetriju attiecībā pret taisni, kas iet caur tās virsotni, mēs atzīmējam vēl divus punktus: (-5; 6) un (-6; 10) un caur tiem izvelkam parabolu:

Grafiksējiet funkciju y= -x²-3x.

Risinājums:

y= -x²-3x ir kvadrātfunkcija. Grafiks ir parabola ar zariem uz leju. Parabolas virsotņu koordinātas

Virsotne (-1,5; 2,25) ir parabolas pirmais punkts.

Grafika krustpunktos ar x asi y=0, tas ir, atrisinām vienādojumu -x²-3x=0. Tās saknes ir x=0 un x=-3, tas ir (0;0) un (-3;0) - vēl divi punkti grafikā. Punkts (o; 0) ir arī parabolas krustpunkts ar ordinātu asi.

Pie x=1 y=-1²-3∙1=-4, tas ir, (1; -4) ir papildu punkts zīmēšanai.

Parabolas konstruēšana no punktiem ir darbietilpīgāka metode, salīdzinot ar pirmo. Ja parabola nekrustojas ar Vērša asi, būs nepieciešami vairāk papildu punktu.

Pirms turpināt konstruēt kvadrātfunkciju grafikus formā y=ax²+bx+c, apskatīsim funkciju grafiku konstruēšanu, izmantojot ģeometriskās transformācijas. Tāpat visērtāk ir konstruēt funkciju grafikus formā y=x²+c, izmantojot kādu no šīm transformācijām — paralēlo tulkošanu.

Kategorija: |

Formas kur funkcija tiek izsaukta kvadrātiskā funkcija.

Kvadrātfunkcijas grafiks - parabola.

Apskatīsim gadījumus:

I GADĪJUMS, KLASISKĀ PARABOLA

Tas ir , ,

Lai izveidotu, aizpildiet tabulu, aizstājot x vērtības formulā:

Atzīmē punktus (0;0); (1;1); (-1;1) utt. koordinātu plaknē (jo mazāku soli mēs uzņemam x vērtības (šajā gadījumā 1. solis), un jo vairāk x vērtību mēs uzņemsim, jo ​​vienmērīgāka būs līkne), mēs iegūstam parabolu:

Ir viegli saprast, ka, pieņemot gadījumu , , , tas ir, mēs iegūstam parabolu, kas ir simetriska pret asi (oh). To ir viegli pārbaudīt, aizpildot līdzīgu tabulu:

II GADĪJUMS, “a” ATŠĶIRAS NO VIENĪBAS

Kas notiks, ja ņemsim , , ? Kā mainīsies parabolas uzvedība? With title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Pirmajā attēlā (skatīt augstāk) ir skaidri redzams, ka punkti no tabulas parabolai (1;1), (-1;1) tika pārveidoti par punktiem (1;4), (1;-4), tas ir, ar vienādām vērtībām katra punkta ordināta tiek reizināta ar 4. Tas notiks ar visiem sākotnējās tabulas galvenajiem punktiem. Līdzīgi mēs domājam arī 2. un 3. attēla gadījumā.

Un kad parabola “kļūst platāka” par parabolu:

Apkoposim:

1)Koeficienta zīme nosaka zaru virzienu. With title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Absolūtā vērtība koeficients (modulis) ir atbildīgs par parabolas “izplešanos” un “saspiešanu”. Jo lielāka , jo šaurāka parabola, jo mazāka |a|, jo platāka parabola.

III GADĪJUMS, PARĀDĀS “C”.

Tagad ievadīsim spēli (tas ir, apsvērsim gadījumu, kad), mēs apsvērsim formas parabolas. Nav grūti uzminēt (jūs vienmēr varat atsaukties uz tabulu), ka parabola virzīsies uz augšu vai uz leju pa asi atkarībā no zīmes:

IV LIETAS, PARĀDĀS “b”.

Kad parabola “atrausies” no ass un beidzot “staigās” pa visu koordinātu plakni? Kad tas pārstās būt vienāds?

Šeit, lai izveidotu parabolu, mums ir nepieciešams formula virsotnes aprēķināšanai: , .

Tātad šajā brīdī (kā punktā (0;0) jauna sistēma koordinātes) uzbūvēsim parabolu, ko jau varam izdarīt. Ja mēs nodarbojamies ar gadījumu, tad no virsotnes liekam vienu vienības segmentu pa labi, vienu uz augšu, - iegūtais punkts ir mūsu (līdzīgi solis pa kreisi, solis uz augšu ir mūsu punkts); ja mums ir darīšana, piemēram, tad no virsotnes liekam vienu vienības segmentu pa labi, divus - uz augšu utt.

Piemēram, parabolas virsotne:

Tagad galvenais ir saprast, ka šajā virsotnē mēs veidosim parabolu pēc parabolas parauga, jo mūsu gadījumā.

Konstruējot parabolu pēc virsotnes koordināšu atrašanas ļotiIr ērti ņemt vērā šādus punktus:

1) parabola noteikti izies cauri punktam . Patiešām, formulā aizstājot x=0, mēs iegūstam, ka . Tas ir, parabolas ar asi (oy) krustošanās punkta ordināta ir . Mūsu piemērā (iepriekš), parabola šķērso ordinātu punktā , jo .

2) simetrijas ass parabolas ir taisna līnija, tāpēc visi parabolas punkti būs tai simetriski. Mūsu piemērā mēs nekavējoties ņemam punktu (0; -2) un izveidojam to simetriski attiecībā pret parabolas simetrijas asi, iegūstam punktu (4; -2), caur kuru parabola izies.

3) Pielīdzinot , mēs uzzinām parabolas krustošanās punktus ar asi (oh). Lai to izdarītu, mēs atrisinām vienādojumu. Atkarībā no diskriminanta mēs iegūsim vienu (, ), divus ( title="Rended by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Iepriekšējā piemērā mūsu diskriminanta sakne nav vesels skaitlis, konstruējot, mums nav lielas jēgas atrast saknes, bet mēs skaidri redzam, ka mums būs divi krustošanās punkti ar asi (ak); (kopš title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Tātad, pieņemsim to ārā

Algoritms parabolas konstruēšanai, ja tas ir norādīts formā

1) noteikt zaru virzienu (a>0 – uz augšu, a<0 – вниз)

2) mēs atrodam parabolas virsotnes koordinātas, izmantojot formulu , .

3) mēs atrodam parabolas krustpunktu ar asi (oy), izmantojot brīvo terminu, konstruējam punktu, kas ir simetrisks šim punktam attiecībā pret parabolas simetrijas asi (jāpiebilst, ka ir neizdevīgi atzīmēt šis punkts, piemēram, jo ​​vērtība ir liela... mēs izlaižam šo punktu...)

4) Atrastajā punktā - parabolas virsotnē (kā jaunās koordinātu sistēmas punktā (0;0)) konstruējam parabolu. If title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Mēs atrodam parabolas krustošanās punktus ar asi (oy) (ja tie vēl nav “izgājuši uz virsmas”), atrisinot vienādojumu

1. piemērs

2. piemērs

1. piezīme. Ja parabola mums sākotnēji ir dota formā , kur ir daži skaitļi (piemēram, ), tad to konstruēt būs vēl vienkāršāk, jo mums jau ir dotas virsotnes koordinātas. Kāpēc?

Ņemsim kvadrātveida trinomu un izolēsim tajā visu kvadrātu: Skaties, mēs sapratām, ka , . Mēs ar jums iepriekš saucām parabolas virsotni, tas ir, tagad.

Piemēram, . Plaknē atzīmējam parabolas virsotni, saprotam, ka zari ir vērsti uz leju, parabola ir paplašināta (attiecībā pret ). Tas ir, mēs veicam 1. punktu; 3; 4; 5 no parabolas konstruēšanas algoritma (skatīt iepriekš).

2. piezīme. Ja parabolu uzrāda līdzīgā formā (tas ir, uzrāda kā divu lineāru faktoru reizinājumu), tad mēs uzreiz redzam parabolas krustošanās punktus ar asi (vērsis). Šajā gadījumā – (0;0) un (4;0). Pārējā daļā mēs rīkojamies saskaņā ar algoritmu, atverot iekavas.

Matemātikas stundās skolā jau esi iepazinies ar funkcijas vienkāršākajām īpašībām un grafiku y = x2. Papildināsim savas zināšanas kvadrātiskā funkcija.

1. vingrinājums.

Grafiksējiet funkciju y = x2. Mērogs: 1 = 2 cm Atzīmējiet punktu uz Oy ass F(0; 1/4). Izmantojot kompasu vai papīra sloksni, izmēra attālumu no punkta F uz kādu brīdi M parabolas. Pēc tam piespraudiet sloksni punktā M un pagrieziet to ap šo punktu, līdz tā ir vertikāla. Sloksnes gals nokritīs nedaudz zem x ass (1. att.). Atzīmējiet uz sloksnes, cik tālu tā sniedzas aiz x ass. Tagad paņemiet vēl vienu punktu uz parabolas un atkārtojiet mērījumu vēlreiz. Cik tālu joslas mala ir nokritusi zem x ass?

Rezultāts: neatkarīgi no tā, kuru parabolas punktu y = x 2 jūs ņemtu, attālums no šī punkta līdz punktam F(0; 1/4) būs lielāks par attālumu no tā paša punkta līdz abscisu asij vienmēr par vienu un to pašu skaitli - 1/4.

Varam teikt savādāk: attālums no jebkura parabolas punkta līdz punktam (0; 1/4) ir vienāds ar attālumu no tā paša parabolas punkta līdz taisnei y = -1/4. Šo brīnišķīgo punktu F(0; 1/4) sauc fokuss parabolas y = x 2 un taisne y = -1/4 – direktorešī parabola. Katrai parabolai ir virziens un fokuss.

Interesantas parabolas īpašības:

1. Jebkurš parabolas punkts atrodas vienādā attālumā no kāda punkta, ko sauc par parabolas fokusu, un no kādas taisnas līnijas, ko sauc par tās virzienu.

2. Ja jūs pagriežat parabolu ap simetrijas asi (piemēram, parabolu y = x 2 ap Oy asi), jūs iegūsit ļoti interesantu virsmu, ko sauc par apgriezienu paraboloīdu.

Šķidruma virsmai rotējošā traukā ir apgriezienu paraboloīda forma. Šo virsmu var redzēt, ja enerģiski maisāt ar karoti nepilnā tējas glāzē un pēc tam izņemat karoti.

3. Ja tu iemet akmeni tukšumā noteiktā leņķī pret horizontu, tas lidos parabolā (2. att.).

4. Ja jūs krustojat konusa virsmu ar plakni, kas ir paralēla kādai no tās ģenerācijām, tad šķērsgriezuma rezultātā tiks izveidota parabola. (3. att.).

5. Atrakciju parkos dažreiz notiek jautrs brauciens, ko sauc par Brīnumu paraboloīdu. Katram, kas stāv rotējošā paraboloīda iekšpusē, šķiet, ka viņš stāv uz grīdas, bet pārējie cilvēki kaut kā brīnumainā kārtā turas pie sienām.

6. Atstarojošajos teleskopos tiek izmantoti arī paraboliskie spoguļi: tālas zvaigznes gaisma, kas nāk paralēlā starā, krītot uz teleskopa spoguļa, tiek savākta fokusā.

7. Prožektoriem parasti ir spogulis paraboloīda formā. Ja novietojat gaismas avotu paraboloīda fokusā, tad no paraboliskā spoguļa atstarotie stari veido paralēlu staru kūli.

Kvadrātfunkcijas grafiks

Matemātikas stundās jūs mācījāties, kā iegūt formas funkciju grafikus no funkcijas y = x 2 grafika:

1) y = cirvis 2– grafika y = x 2 izstiepšana pa Oy asi |a| reizes (ar |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, rīsi. 4).

2) y = x 2 + n– grafika nobīde par n vienībām pa Oy asi, un, ja n > 0, tad nobīde ir uz augšu, un ja n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– grafika nobīde par m vienībām pa Ox asi: ja m< 0, то вправо, а если m >0, tad pa kreisi, (5. att.).

4) y = -x 2– simetrisks attēlojums attiecībā pret grafika Ox asi y = x 2 .

Sīkāk apskatīsim funkcijas diagrammu y = a(x – m) 2 + n.

Formas y = ax 2 + bx + c kvadrātfunkciju vienmēr var reducēt līdz formai

y = a(x – m) 2 + n, kur m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

Pierādīsim to.

Tiešām,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 / (4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Ieviesīsim jaunus apzīmējumus.

Ļaujiet m = -b/(2a), A n = -(b 2–4ac)/(4a),

tad iegūstam y = a(x – m) 2 + n vai y – n = a(x – m) 2.

Veiksim vēl dažas aizstāšanas: pieņemsim, ka y – n = Y, x – m = X (*).

Tad iegūstam funkciju Y = aX 2, kuras grafiks ir parabola.

Parabolas virsotne atrodas izcelsmē. X = 0; Y = 0.

Virsotnes koordinātas aizstājot ar (*), iegūstam grafa virsotnes koordinātas y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.

Tādējādi, lai attēlotu kvadrātisko funkciju, kas attēlota kā

y = a(x – m) 2 + n

izmantojot transformācijas, varat rīkoties šādi:

a) uzzīmējiet funkciju y = x 2 ;

b) paralēli pārvēršot pa Ox asi par m vienībām un pa Oy asi par n vienībām - pārnes parabolas virsotni no sākuma uz punktu ar koordinātām (m; n) (6. att.).

Pārveidojumu ierakstīšana:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Piemērs.

Izmantojot transformācijas, izveidojiet funkcijas y = 2(x – 3) 2 grafiku Dekarta koordinātu sistēmā – 2.

Risinājums.

Pārveidojumu ķēde:

y = x2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2 (x – 3) 2 – 2 (4) .

Sižets ir parādīts rīsi. 7.

Varat vingrināties, veidojot kvadrātveida funkcijas grafikus pats. Piemēram, izveidojiet funkcijas y = 2(x + 3) 2 + 2 grafiku vienā koordinātu sistēmā, izmantojot transformācijas Ja jums ir kādi jautājumi vai vēlaties saņemt padomu no skolotāja, tad jums ir iespēja veikt bezmaksas 25 minūšu nodarbība ar tiešsaistes pasniedzēju pēc reģistrācijas. Lai turpinātu darbu ar skolotāju, jūs varat izvēlēties sev piemērotu tarifu plānu.

Vai joprojām ir jautājumi? Vai nezināt, kā attēlot kvadrātiskās funkcijas grafiku?
Lai saņemtu palīdzību no pasniedzēja, reģistrējieties.
Pirmā nodarbība bez maksas!

tīmekļa vietni, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz avotu.