Piemēri:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Kā atrisināt eksponenciālos vienādojumus

Atrisinot jebkuru eksponenciālo vienādojumu, mēs cenšamies to panākt formā \(a^(f(x))=a^(g(x))\), un pēc tam veikt pāreju uz eksponentu vienādību, tas ir:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Piemēram:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Svarīgs! No tās pašas loģikas izriet divas šādas pārejas prasības:
- numurs iekšā pa kreisi un pa labi jābūt vienādiem;
- grādiem pa kreisi un pa labi jābūt “tīriem”, tas ir, nedrīkst būt reizināšanas, dalīšanas utt.

Piemēram:

Lai reducētu vienādojumu līdz formai \(a^(f(x))=a^(g(x))\) un tiek izmantoti.

Piemērs . Atrisiniet eksponenciālo vienādojumu \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Risinājums:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Mēs zinām, ka \(27 = 3^3\). Ņemot to vērā, mēs pārveidojam vienādojumu.
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Ar saknes īpašību \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) mēs iegūstam, ka \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Tālāk, izmantojot pakāpes īpašību \((a^b)^c=a^(bc)\), iegūstam \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Mēs arī zinām, ka \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Lietojot to kreisajā pusē, mēs iegūstam: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^ (x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Tagad atcerieties, ka: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Šo formulu var izmantot arī otrā puse: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Tad \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Piemērojot rekvizītu \((a^b)^c=a^(bc)\) labajā pusē, mēs iegūstam: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		Un tagad mūsu bāzes ir vienādas un nav traucējošu koeficientu utt. Tātad mēs varam veikt pāreju.
		Piemērs . Atrisiniet eksponenciālo vienādojumu \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Risinājums: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Mēs atkal izmantojam jaudas īpašību \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) pretējā virzienā. \(4^x4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Tagad atcerieties, ka \(4=2^2\). \((2^2)^x·(2^2)^(0,5)-5·2^x+2=0\) Izmantojot grādu īpašības, mēs pārveidojam: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) Mēs rūpīgi aplūkojam vienādojumu un redzam, ka aizstāšana \(t=2^x\) liecina par sevi. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Tomēr mēs esam atraduši \(t\) vērtības, un mums ir nepieciešams \(x\). Mēs atgriežamies pie X, veicot apgrieztu nomaiņu. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Mēs pārveidojam otro vienādojumu, izmantojot īpašību negatīva pakāpe… \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...un izlemjam līdz atbildei. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Atbilde : \(-1; 1\). Paliek jautājums – kā saprast, kad kuru metodi izmantot? Tas nāk ar pieredzi. Kamēr jūs to nesaņemat, izmantojiet to vispārīgs ieteikums atrisināt sarežģītas problēmas - "ja nezināt, ko darīt, dariet to, ko varat." Tas ir, meklējiet, kā principā varat pārveidot vienādojumu, un mēģiniet to izdarīt - ja nu kas notiks? Galvenais ir veikt tikai matemātiski pamatotas transformācijas. Eksponenciālie vienādojumi bez atrisinājumiem Apskatīsim vēl divas situācijas, kas bieži mulsina skolēnus: - pakāpei pozitīvs skaitlis ir vienāds ar nulli, piemēram, \(2^x=0\); - pozitīvs skaitlis pakāpei ir vienāds ar negatīvs skaitlis, piemēram, \(2^x=-4\). Mēģināsim atrisināt ar brutālu spēku. Ja x ir pozitīvs skaitlis, tad, pieaugot x, visa jauda \(2^x\) tikai palielināsies: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Arī ar. Paliek negatīvie X. Atceroties rekvizītu \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), mēs pārbaudām: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Neskatoties uz to, ka ar katru soli skaitlis kļūst mazāks, tas nekad nesasniegs nulli. Tātad negatīvā pakāpe mūs neglāba. Mēs nonākam pie loģiska secinājuma: Pozitīvs skaitlis jebkurā pakāpē paliks pozitīvs skaitlis. Tādējādi abiem iepriekš minētajiem vienādojumiem nav risinājumu. Eksponenciālie vienādojumi ar dažādām bāzēm Praksē dažreiz mēs sastopamies ar eksponenciālajiem vienādojumiem ar dažādu iemeslu dēļ, kas nav reducējami viens pret otru, un tajā pašā laikā ar vienādiem eksponentiem. Tie izskatās šādi: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), kur \(a\) un \(b\) ir pozitīvi skaitļi. Piemēram: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Šādus vienādojumus var viegli atrisināt, dalot ar jebkuru no vienādojuma pusēm (parasti dalot ar labā puse, tas ir, uz \(b^(f(x))\). Jūs varat dalīt šādi, jo pozitīvs skaitlis ir pozitīvs jebkurai pakāpei (tas ir, mēs nedalām ar nulli). Mēs iegūstam: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Piemērs . Atrisiniet eksponenciālo vienādojumu \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Risinājums: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Šeit mēs nevarēsim pārvērst pieci par trīs, ne arī otrādi (saskaņā ar vismaz, neizmantojot). Tas nozīmē, ka mēs nevaram nonākt līdz formai \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Tomēr rādītāji ir vienādi. Sadalīsim vienādojumu ar labo pusi, tas ir, ar \(3^(x+7)\) (to varam izdarīt, jo zinām, ka trīs nekādā mērā nebūs nulle). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Tagad atcerieties rekvizītu \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) un izmantojiet to kreisajā pusē pretējā virzienā. Labajā pusē mēs vienkārši samazinām daļu. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Šķiet, ka lietas nekļuva labākas. Bet atcerieties vēl vienu jaudas īpašību: \(a^0=1\), citiem vārdiem sakot: "jebkurš skaitlis līdz nulles pakāpei ir vienāds ar \(1\)." Ir taisnība arī otrādi: "vienu var attēlot kā jebkuru skaitli līdz nulles pakāpei." Mēs to izmantojam, padarot pamatni labajā pusē tādu pašu kā kreisajā pusē. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Atbrīvosimies no pamatiem. Mēs rakstām atbildi. Atbilde : \(-7\). Dažreiz eksponentu “vienādība” nav acīmredzama, taču prasmīga eksponentu īpašību izmantošana atrisina šo problēmu. Piemērs . Atrisiniet eksponenciālo vienādojumu \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Risinājums: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Vienādojums izskatās ļoti bēdīgs... Ne tikai bāzes nevar reducēt līdz vienādam skaitlim (septiņi nekādā gadījumā nebūs vienādi ar \(\frac(1)(3)\)), bet arī eksponenti ir atšķirīgi. .. Tomēr izmantosim kreiso eksponentu deuce. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Atceroties īpašību \((a^b)^c=a^(b·c)\) , mēs pārveidojam no kreisās puses: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Tagad, atceroties negatīvās jaudas īpašību \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), mēs pārveidojam no labās puses: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Aleluja! Rādītāji ir vienādi! Rīkojoties pēc mums jau pazīstamās shēmas, risinām pirms atbildes. Atbilde : \(2\).

Šis ir tādas formas vienādojumu nosaukums, kurā nezināmais ir gan pakāpes eksponentā, gan bāzē.

Jūs varat norādīt pilnīgi skaidru algoritmu formas vienādojuma risināšanai. Lai to izdarītu, jums jāpievērš uzmanība tam, kad Ak) nav vienāds ar nulli, viens un mīnus viens pilnvaru vienādība ar uz tiem pašiem pamatiem(vai tas būtu pozitīvs vai negatīvs) ir iespējams tikai tad, ja eksponenti ir vienādi. Tas ir, visas vienādojuma saknes būs vienādojuma saknes f(x) = g(x) Apgrieztais apgalvojums nav patiess, kad Ak)< 0 un daļējas vērtības f(x) Un g(x) izteiksmes Ak) f(x) Un

Ak) g(x) zaudē savu nozīmi. Tas ir, pārejot no uz f(x) = g(x)(var parādīties un svešas saknes, kuras ir jāizslēdz, pārbaudot ar sākotnējo vienādojumu. Un gadījumi a = 0, a = 1, a = -1 jāapsver atsevišķi.

Tātad priekš pilnīgs risinājums vienādojumi mēs uzskatām gadījumus:

a(x) = O f(x) Un g(x) būs pozitīvi skaitļi, tad šis ir risinājums. Citādi nē

a(x) = 1. Šī vienādojuma saknes ir arī sākotnējā vienādojuma saknes.

a(x) = -1. Ja x vērtībai, kas apmierina šo vienādojumu, f(x) Un g(x) ir vienas paritātes veseli skaitļi (abi pāra vai abi nepāra), tad šis ir risinājums. Citādi nē

Kad un mēs atrisinām vienādojumu f(x)= g(x) un aizvietojot iegūtos rezultātus sākotnējā vienādojumā, mēs nogriežam svešās saknes.

Eksponenciālo spēku vienādojumu risināšanas piemēri.

Piemērs Nr.1.

1) x - 3 = 0, x = 3. jo 3 > 0 un 3 2 > 0, tad x 1 = 3 ir risinājums.

2) x - 3 = 1, x 2 = 4.

3) x - 3 = -1, x = 2. Abi rādītāji ir pāra. Šis risinājums ir x 3 = 1.

4) x - 3? 0 un x? ± 1. x = x 2, x = 0 vai x = 1. Ja x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 - šis risinājums ir pareizs: x 4 = 0. Ja x = 1, (- 2) 1 = (-2) 1 - šis risinājums ir pareizs x 5 = 1.

Atbilde: 0, 1, 2, 3, 4.

Piemērs Nr.2.

Pēc aritmētikas definīcijas kvadrātsakne: x - 1 ? 0, x ? 1.

1) x - 1 = 0 vai x = 1, = 0, 0 0 nav risinājums.

2) x - 1 = 1 x 1 = 2.

3) x - 1 = -1 x 2 = 0 neiederas ODZ.

D = (-2) - 4 * 1 * 5 = 4 - 20 = -16 - nav sakņu.

1º. Eksponenciālie vienādojumi sauc par vienādojumiem, kas satur mainīgo eksponentā.

Risinājums eksponenciālie vienādojumi pamatojoties uz pakāpes īpašību: divas pakāpes ar vienādu bāzi ir vienādas tad un tikai tad, ja to eksponenti ir vienādi.

2º. Pamatmetodes eksponenciālo vienādojumu risināšanai:

1) vienkāršākajam vienādojumam ir risinājums;

2) bāzei logaritmiskas formas vienādojums a samazināt līdz formai;

3) formas vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumam ;

4) formas vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumam.

5) formas vienādojums tiek reducēts, aizvietojot ar vienādojumu, un pēc tam tiek atrisināta vienkāršu eksponenciālo vienādojumu kopa;

6) vienādojums ar reciprokālu abpusēji ar aizstāšanu tie reducējas līdz vienādojumam un pēc tam atrisina vienādojumu kopu;

7) vienādojumi attiecībā pret a g(x) Un b g(x) Atsaucoties uz veids ar aizstāšanu tie reducē līdz vienādojumam un pēc tam atrisina vienādojumu kopu.

Eksponenciālo vienādojumu klasifikācija.

1. Vienādojumi atrisināti, dodoties uz vienu bāzi.

18. piemērs. Atrisiniet vienādojumu .

Risinājums: Izmantosim to, ka visas pakāpju bāzes ir skaitļa 5 pakāpes: .

2. Vienādojumi atrisināti, pārejot uz vienu eksponentu.

Šos vienādojumus atrisina, pārveidojot sākotnējo vienādojumu formā , kas tiek samazināts līdz vienkāršākajam, izmantojot proporcijas īpašību.

19. piemērs. Atrisiniet vienādojumu:

3. Vienādojumi atrisināti, izņemot kopējo koeficientu no iekavām.

Ja vienādojumā katrs eksponents atšķiras no otra par noteiktu skaitli, tad vienādojumi tiek atrisināti, iekavās liekot eksponentu ar mazāko eksponentu.

20. piemērs. Atrisiniet vienādojumu.

Risinājums: ņemsim grādu ar mazāko eksponentu no iekavām vienādojuma kreisajā pusē:

21. piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Risinājums: Sagrupēsim atsevišķi vienādojuma kreisajā pusē terminus, kas satur pakāpes ar 4. bāzi, labajā pusē - ar bāzi 3, pēc tam iekavās izliksim pakāpes ar mazāko eksponentu:

4. Vienādojumi, kas reducējas uz kvadrātvienādojumiem (vai kubiskiem) vienādojumiem.

UZ kvadrātvienādojums attiecībā uz jauno mainīgo y tiek reducēti šādi vienādojumi:

a) šajā gadījumā aizstāšanas veids;

b) aizstāšanas veids un .

22. piemērs. Atrisiniet vienādojumu .

Risinājums: veiksim mainīgā lieluma izmaiņas un atrisināsim kvadrātvienādojumu:

.

Atbilde: 0; 1.

5. Vienādojumi, kas ir viendabīgi attiecībā uz eksponenciālajām funkcijām.

Formas vienādojums ir viendabīgs vienādojums otrā pakāpe attiecībā pret nezināmajiem a x Un b x. Šādus vienādojumus samazina, vispirms sadalot abas puses ar un pēc tam aizstājot tos kvadrātvienādojumos.

23. piemērs. Atrisiniet vienādojumu.

Risinājums: sadaliet abas vienādojuma puses ar:

Liekot, mēs iegūstam kvadrātvienādojumu ar saknēm.

Tagad problēma ir saistīta ar vienādojumu kopas atrisināšanu . No pirmā vienādojuma mēs atklājam, ka . Otrajam vienādojumam nav sakņu, jo jebkurai vērtībai x.

Atbilde: -1/2.

6. Racionālie vienādojumi attiecībā uz eksponenciālajām funkcijām.

24. piemērs. Atrisiniet vienādojumu.

Risinājums: Daļas skaitītāju un saucēju sadaliet ar 3 x un divu vietā mēs iegūstam vienu eksponenciālu funkciju:

7. Formu vienādojumi .

Šādi vienādojumi ar pieļaujamo vērtību kopu (APV), ko nosaka nosacījums, ņemot vienādojuma abu pušu logaritmus, tiek reducēti līdz ekvivalentam vienādojumam, kas savukārt ir līdzvērtīgi divu vienādojumu kopai vai.

Piemērs 25. Atrisiniet vienādojumu: .

.

Didaktiskais materiāls.

Atrisiniet vienādojumus:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. Atrast vienādojuma sakņu reizinājumu .

27. Atrodi vienādojuma sakņu summu .

Atrodiet izteiciena nozīmi:

28. , kur x 0- vienādojuma sakne;

29. , kur x 0– visa vienādojuma sakne .

Atrisiniet vienādojumu:

31. ; 32. .

Atbildes: 10; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0,5; 50; 6,0; 7. -2; 8,2; 9. 1, 3; 10. 8; 11,5; 12,1; 13. ¼; 14,2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17,0; 18,1; 19,0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23,4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0,3; 27,3; 28.11; 29,54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .

Tēma Nr.8.

Eksponenciālās nevienlīdzības.

1º. Tiek saukta nevienādība, kas eksponentā satur mainīgo eksponenciālā nevienlīdzība.

2º. Formas eksponenciālo nevienādību risinājums ir balstīts uz šādiem apgalvojumiem:

ja , tad nevienlīdzība ir līdzvērtīga ;

ja , tad nevienlīdzība ir līdzvērtīga .

Risinot eksponenciālās nevienādības, izmantojiet tos pašus paņēmienus kā eksponenciālo vienādojumu risināšanā.

26. piemērs. Atrisiniet nevienādību (pārejas metode uz vienu bāzi).

Risinājums: jo , tad doto nevienādību var uzrakstīt šādi: . Kopš , Šī nevienlīdzība ir līdzvērtīga nevienlīdzībai .

Atrisinot pēdējo nevienlīdzību, mēs iegūstam .

27. piemērs. Atrisiniet nevienādību: ( izņemot kopējo faktoru no iekavām).

Risinājums: Izņemsim no iekavām nevienlīdzības kreisajā pusē, nevienlīdzības labajā pusē un sadalīsim abas nevienādības puses ar (-2), mainot nevienādības zīmi uz pretējo:

Kopš , tad pārejot uz rādītāju nevienlīdzību, nevienlīdzības zīme atkal mainās uz pretējo. Mēs saņemam. Tādējādi visu šīs nevienlīdzības risinājumu kopa ir intervāls.

28. piemērs. Atrisiniet nevienādību ( ieviešot jaunu mainīgo).

Risinājums: Ļaujiet. Tad šī nevienlīdzība būs šāda: vai , kura risinājums ir intervāls .

No šejienes. Tā kā funkcija palielinās, tad .

Didaktiskais materiāls.

Norādiet nevienlīdzības risinājumu kopu:

1. ; 2. ; 3. ;

6. Pie kādām vērtībām x Vai funkcijas diagrammas punkti atrodas zem taisnes?

7. Pie kādām vērtībām x Vai funkcijas diagrammas punkti atrodas vismaz tikpat augstu kā taisne?

Atrisiniet nevienlīdzību:

8. ; 9. ; 10. ;

13. Norādiet nevienādības lielāko veselo skaitļu risinājumu .

14. Atrast nevienādības lielākā veselā skaitļa un mazākā veselā skaitļa atrisinājumu reizinājumu .

Atrisiniet nevienlīdzību:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

Atrodiet funkcijas domēnu:

27. ; 28. .

29. Atrodiet argumentu vērtību kopu, kurai katras funkcijas vērtības ir lielākas par 3:

Un .

Atbildes: 11,3; 12,3; 13. -3; 14,1; 15. (0; 0,5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3,5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3) U(5); 28. )