V tem predavanju se bomo seznanili z nenavadnimi razmerji med koreni kvadratne enačbe in njenimi koeficienti. Te povezave je prvi odkril francoski matematik Francois Viet (1540-1603).

Na primer, za enačbo Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0, ne da bi našli njene korenine, lahko z uporabo izreka Vieta takoj rečete, da je vsota korenin , produkt korenin pa
tj - 2. In za enačbo x 2 - 6x + 8 \u003d 0 sklepamo: vsota korenin je 6, produkt korenin je 8; mimogrede, ni težko uganiti, čemu so enake korenine: 4 in 2.
Dokaz Vietovega izreka. Korenine x 1 in x 2 kvadratne enačbe ax 2 + bx + c \u003d 0 najdemo po formulah

Kjer je D \u003d b 2 - 4ac diskriminant enačbe. Polaganje teh korenin
dobimo

Zdaj izračunamo produkt korenin x 1 in x 2 Imamo

Druga relacija je dokazana:
Komentiraj. Vietov izrek velja tudi, ko kvadratna enačba ima en koren (torej, ko je D = 0), le da v tem primeru velja, da ima enačba dva enaka korena, na katera veljajo zgornje relacije.
Posebej preprosto obliko imajo dokazane relacije za zmanjšano kvadratno enačbo x 2 + px + q \u003d 0. V tem primeru dobimo:

x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
tiste. vsota korenin dane kvadratne enačbe je enaka drugemu koeficientu, vzetem z nasprotnim predznakom, produkt korenin pa je enak prostemu členu.
Z uporabo izreka Vieta lahko dobimo tudi druga razmerja med koreni in koeficienti kvadratne enačbe. Naj bosta na primer x 1 in x 2 korenini reducirane kvadratne enačbe x 2 + px + q = 0. Potem

Vendar glavni namen Vietovega izreka ni, da izraža določene odnose med koreni in koeficienti kvadratne enačbe. Veliko pomembnejše je dejstvo, da je s pomočjo Vietovega izreka izpeljana formula za faktorizacijo kvadratnega trinoma, brez katere v prihodnje ne bomo šli.

Dokaz. Imamo

Primer 1. Faktoriziraj kvadratni trinom 3x 2 - 10x + 3.
rešitev. Po rešitvi enačbe Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0 najdemo korenine kvadratnega trinoma Zx 2 - 10x + 3: x 1 \u003d 3, x2 \u003d.
Z uporabo izreka 2 dobimo

Namesto tega je smiselno zapisati Zx - 1. Potem končno dobimo Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1).
Upoštevajte, da je dani kvadratni trinom mogoče faktorizirati brez uporabe izreka 2 z uporabo metode združevanja:

Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1).

Toda, kot vidite, je pri tej metodi uspeh odvisen od tega, ali uspemo najti uspešno skupino ali ne, medtem ko je pri prvi metodi uspeh zagotovljen.
Primer 1. Zmanjšaj ulomek

rešitev. Iz enačbe 2x 2 + 5x + 2 = 0 najdemo x 1 = - 2,

Iz enačbe x2 - 4x - 12 = 0 dobimo x 1 = 6, x 2 = -2. Zato
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2).
Zdaj pa zmanjšajmo dani ulomek:

Primer 3. Faktoriziraj izraze:
a) x4 + 5x 2 +6; b) 2x+-3
Rešitev a) Uvedemo novo spremenljivko y = x 2 . To nam bo omogočilo, da dani izraz prepišemo v obliki kvadratnega trinoma glede na spremenljivko y, in sicer v obliki y 2 + bу + 6.
Po rešitvi enačbe y 2 + bу + 6 \u003d 0 najdemo korenine kvadratnega trinoma y 2 + 5y + 6: y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3. Zdaj uporabimo izrek 2; dobimo

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Še vedno se spomnimo, da je y \u003d x 2, tj. vrnitev na dani izraz. Torej,
x 4 + 5 x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
b) Vstavimo novo spremenljivko y = . To vam bo omogočilo, da dani izraz prepišete v obliki kvadratnega trinoma glede na spremenljivko y, in sicer v obliki 2y 2 + y - 3. Ko rešite enačbo
2y 2 + y - 3 = 0, poiščite korenine kvadratnega trinoma 2y 2 + y - 3:
y 1 = 1, y 2 = . Nadalje z uporabo izreka 2 dobimo:

Še vedno se spomnimo, da y \u003d, tj. vrnitev na dani izraz. Torej,

Razdelek se zaključi z nekaterimi premisleki, ki so spet povezani z izrekom Vieta, oziroma z obratno trditvijo:
če so števila x 1, x 2 taka, da je x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, potem so ta števila korenine enačbe
S to izjavo lahko ustno rešite veliko kvadratnih enačb brez uporabe okornih korenskih formul in tudi sestavite kvadratne enačbe z danimi koreninami. Navedimo primere.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Tukaj je x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. Zlahka je uganiti, da je x 1 = 8, x 2 = 3.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Tukaj je x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. Zlahka je uganiti, da je x 1 = -5, x 2 = -6.
Upoštevajte: če je prosti člen enačbe pozitivno število, sta oba korena pozitivna ali negativna; to je pomembno upoštevati pri izbiri korenin.

3) x 2 + x - 12 = 0. Tukaj je x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. Zlahka je uganiti, da je x 1 \u003d 3, x2 \u003d -4.
Upoštevajte: če je prosti člen enačbe - negativno število, potem so koreni drugačni v znaku; to je pomembno upoštevati pri izbiri korenin.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. Preprosto je videti, da x = 1 ustreza enačbi, tj. x 1 \u003d 1 - koren enačbe. Ker je x 1 x 2 \u003d - in x 1 \u003d 1, dobimo, da je x 2 \u003d -.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Tukaj je x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Če ste pozorni na dejstvo, da je 2830 = 283. 10 in 293 \u003d 283 + 10, potem postane jasno, da je x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 (zdaj si predstavljajte, kakšne izračune bi bilo treba izvesti za rešitev te kvadratne enačbe s standardnimi formulami).

6) Sestavimo kvadratno enačbo, tako da so njene korenine številke x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4. Običajno v takih primerih sestavljajo zmanjšano kvadratno enačbo x 2 + px + q \u003d 0.
Imamo x 1 + x 2 \u003d -p, torej 8 - 4 \u003d -p, to je p \u003d -4. Nadalje, x 1 x 2 = q, tj. 8"(-4) = q, od koder dobimo q = -32. Torej, p \u003d -4, q \u003d -32, kar pomeni, da ima želena kvadratna enačba obliko x 2 -4x-32 \u003d 0.

Vietov izrek (natančneje izrek obratni izrek Vieta) vam omogoča, da skrajšate čas za reševanje kvadratnih enačb. Samo znati ga morate uporabljati. Kako se naučiti reševati kvadratne enačbe z uporabo Vietovega izreka? Enostavno je, če malo pomisliš.

Sedaj bomo govorili le o rešitvi reducirane kvadratne enačbe z uporabo Vietaovega izreka Reducirana kvadratna enačba je enačba, v kateri je a, torej koeficient pred x², enak ena. Nedane kvadratne enačbe je mogoče rešiti tudi z uporabo Vieta izreka, vendar že tam vsaj ena od korenin ni celo število. Težje jih je uganiti.

Izrek, nasproten Vietovemu izreku, pravi: če sta števili x1 in x2 takšni, da

potem sta x1 in x2 korenini kvadratne enačbe

Pri reševanju kvadratne enačbe z uporabo izreka Vieta so možne samo 4 možnosti. Če se spomnite poteka sklepanja, se lahko zelo hitro naučite najti cele korenine.

I. Če je q pozitivno število,

to pomeni, da sta korena x1 in x2 števili istega predznaka (ker samo pri množenju števil z istimi predznaki dobimo pozitivno število).

I.a. Če je -p pozitivno število, (oziroma str<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Če je -p negativno število, (oziroma p>0), potem sta oba korena negativni števili (sešteli so številki istega predznaka, dobili negativno število).

II. Če je q negativno število,

to pomeni, da imata korena x1 in x2 različna predznaka (pri množenju števil dobimo negativno število le, če sta predznaka faktorjev različna). V tem primeru x1 + x2 ni več vsota, ampak razlika (navsezadnje pri seštevanju števil z različna znamenja manjšega odštejemo od večjega po modulu). Torej x1 + x2 kaže, koliko se razlikujeta korena x1 in x2, torej koliko je en koren večji od drugega (modulo).

II.a. Če je -p pozitivno število, (tj. str<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Če je -p negativno število, (p>0), potem je večji (modulo) koren negativno število.

Razmislite o rešitvi kvadratnih enačb po Vietovem izreku z uporabo primerov.

Rešite dano kvadratno enačbo z uporabo Vietovega izreka:

Tukaj je q=12>0, torej sta korena x1 in x2 števili istega predznaka. Njuna vsota je -p=7>0, torej sta oba korena pozitivni števili. Izberemo cela števila, katerih produkt je 12. To so 1 in 12, 2 in 6, 3 in 4. Vsota je 7 za par 3 in 4. Torej sta 3 in 4 korena enačbe.

V tem primeru je q=16>0, kar pomeni, da sta korena x1 in x2 števili istega predznaka. Njihova vsota -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Tukaj je q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, potem je večje število pozitivno. Torej sta korena 5 in -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

V kvadratnih enačbah obstaja več razmerij. Glavne so relacije med koreni in koeficienti. Tudi v kvadratnih enačbah delujejo številna razmerja, ki jih podaja Vietov izrek.

V tej temi predstavljamo sam Vietov izrek in njegov dokaz za kvadratno enačbo, izrek, nasproten Vietovemu izreku, in analiziramo številne primere reševanja problemov. Posebno pozornost bomo v gradivu namenili obravnavi formul Vieta, ki določajo povezavo med realnimi koreninami algebraične enačbe stopnje n in njegove koeficiente.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Izjava in dokaz Vietovega izreka

Formula za korenine kvadratne enačbe a x 2 + b x + c = 0 v obliki x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a, kjer D = b 2 − 4 a c, vzpostavi razmerje x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = c a. To potrjuje Vietov izrek.

1. izrek

V kvadratni enačbi a x 2 + b x + c = 0, Kje x 1 in x2- korenine, vsota korenin bo enaka razmerju koeficientov b in a, ki je bil vzet z nasprotnim predznakom, produkt korenin pa bo enak razmerju koeficientov c in a, tj. x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = c a.

Dokaz 1

Ponujamo vam naslednjo shemo za izvedbo dokaza: vzamemo formulo korenin, sestavimo vsoto in zmnožek korenin kvadratne enačbe in nato transformiramo nastale izraze, da se prepričamo, da so enaki -b a in c a oz.

Sestavite vsoto korenin x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a. Spravimo ulomke na skupni imenovalec - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Odprimo oklepaje v števcu dobljenega ulomka in navedimo podobne člene: - b + D + - b - D 2 a = - b + D - b - D 2 a = - 2 b 2 a . Zmanjšajte ulomek za: 2 - b a \u003d - b a.

Tako smo dokazali prvo relacijo Vietovega izreka, ki se nanaša na vsoto korenin kvadratne enačbe.

Zdaj pa preidimo na drugo relacijo.

Da bi to naredili, moramo sestaviti produkt korenin kvadratne enačbe: x 1 x 2 \u003d - b + D 2 a - b - D 2 a.

Spomnimo se pravila za množenje ulomkov in zadnji zmnožek zapišemo takole: - b + D · - b - D 4 · a 2 .

Izvedli bomo množenje oklepaja z oklepajem v števcu ulomka ali pa bomo uporabili formulo razlike kvadratov, da bomo ta produkt hitreje transformirali: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .

Uporabimo definicijo kvadratnega korena za izvedbo naslednjega prehoda: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Formula D = b 2 − 4 a c ustreza diskriminantu kvadratne enačbe, zato v ulomek namesto D se lahko nadomesti b 2 − 4 a c:

b 2 - D 4 a 2 \u003d b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2

Odpremo oklepaje, podamo enake člene in dobimo: 4 · a · c 4 · a 2 . Če ga skrajšamo na 4 a, potem ostane c a. Tako smo dokazali drugo razmerje izreka Vieta za produkt korenin.

Zapis dokaza Vietovega izreka ima lahko zelo jedrnato obliko, če izpustimo razlage:

x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a \u003d - b + D + - b - D 2 a \u003d - 2 b 2 a \u003d - b a, x 1 x 2 = - b + D 2 a - b - D 2 a = - b + D - b - D 4 a 2 = - b 2 - D 2 4 a 2 = b 2 - D 4 a 2 = = D = b 2 - 4 a c = b 2 - b 2 - 4 a c 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a .

Ko je diskriminant kvadratne enačbe enak nič, bo enačba imela samo en koren. Da bi lahko uporabili Vietov izrek za tako enačbo, lahko predpostavimo, da ima enačba z diskriminanto, ki je enaka nič, dva enaka korena. Dejansko pri D=0 koren kvadratne enačbe je: - b 2 a, potem x 1 + x 2 \u003d - b 2 a + - b 2 a \u003d - b + (- b) 2 a \u003d - 2 b 2 a \u003d - b a in x 1 x 2 \u003d - b 2 a - b 2 a \u003d - b - b 4 a 2 \u003d b 2 4 a 2, in ker je D \u003d 0, to je b 2 - 4 a c = 0, od koder je b 2 = 4 a c, potem je b 2 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a .

Najpogosteje se v praksi izrek Vieta uporablja v zvezi z zmanjšano kvadratno enačbo oblike x 2 + p x + q = 0, kjer je vodilni koeficient a enak 1 . V zvezi s tem je Vietov izrek formuliran prav za tovrstne enačbe. To ne omejuje splošnosti zaradi dejstva, da je vsako kvadratno enačbo mogoče nadomestiti z enakovredno enačbo. Če želite to narediti, je treba oba njegova dela razdeliti s številom a, ki je različno od nič.

Podajamo še eno formulacijo Vietovega izreka.

2. izrek

Vsota korenov v dani kvadratni enačbi x 2 + p x + q = 0 bo enak koeficientu pri x, ki je vzet z nasprotnim predznakom, bo produkt korenin enak prostemu členu, tj. x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q.

Izrek, inverzen Vietovemu izreku

Če pozorno pogledate drugo formulacijo Vietovega izreka, lahko to vidite za korenine x 1 in x2 reducirana kvadratna enačba x 2 + p x + q = 0 bodo veljale relacije x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q. Iz teh odnosov x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q sledi, da x 1 in x2 so korenine kvadratne enačbe x 2 + p x + q = 0. Tako pridemo do izjave, ki je inverzna Vietovemu izreku.

Zdaj predlagamo, da to izjavo formaliziramo kot izrek in izvedemo njen dokaz.

Izrek 3

Če številke x 1 in x2 so takšni, da x 1 + x 2 = − str in x 1 x 2 = q, To x 1 in x2 so korenine reducirane kvadratne enačbe x 2 + p x + q = 0.

Dokaz 2

Sprememba koeficientov str in q do njihovega izražanja skozi x 1 in x2 omogoča transformacijo enačbe x 2 + p x + q = 0 v ekvivalentu .

Če v nastalo enačbo nadomestimo število x 1 namesto x, potem dobimo enakost x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Ta enakost za vsako x 1 in x2 spremeni v pravo numerično enakost 0 = 0 , Ker x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. To pomeni, da x 1- koren enačbe x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, Pa kaj x 1 je tudi koren ekvivalentne enačbe x 2 + p x + q = 0.

Zamenjava enačbe x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0številke x2 namesto x vam omogoča, da dobite enakost x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. To enakost lahko štejemo za resnično, saj x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Izkazalo se je, da x2 je koren enačbe x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, in s tem enačbe x 2 + p x + q = 0.

Izrek, nasproten Vietovemu izreku, je dokazan.

Primeri uporabe Vietovega izreka

Nadaljujmo z analizo najbolj tipičnih primerov na to temo. Začnimo z analizo problemov, ki zahtevajo uporabo izreka, obratnega od Vietovega izreka. Lahko se uporablja za preverjanje števil, pridobljenih med izračuni, ali so korenine dane kvadratne enačbe. Če želite to narediti, morate izračunati njuno vsoto in razliko, nato pa preveriti veljavnost razmerij x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = a c.

Izpolnitev obeh relacij pomeni, da so številke, dobljene med izračuni, korenine enačbe. Če vidimo, da vsaj eden od pogojev ni izpolnjen, te številke ne morejo biti korenine kvadratne enačbe, podane v pogoju problema.

Primer 1

Kateri od parov števil: 1) x 1 = - 5, x 2 = 3 ali 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3 ali 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 je par korenov kvadratne enačbe 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?

rešitev

Poiščite koeficiente kvadratne enačbe 4 x 2 − 16 x + 9 = 0 . To je a = 4 , b = − 16 , c = 9 . V skladu z izrekom Vieta mora biti vsota korenin kvadratne enačbe enaka -b a, to je 16 4 = 4 , zmnožek korenin pa mora biti enak c a, to je 9 4 .

Dobljena števila preverimo tako, da izračunamo vsoto in zmnožek števil iz treh danih parov in jih primerjamo z dobljenimi vrednostmi.

V prvem primeru x 1 + x 2 = - 5 + 3 = - 2. Ta vrednost se razlikuje od 4 , zato vam ni treba nadaljevati preverjanja. Glede na izrek, ki je inverz Vietovega izreka, lahko takoj ugotovimo, da prvi par števil ni koren te kvadratne enačbe.

V drugem primeru x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Vidimo, da je prvi pogoj izpolnjen. Toda drugi pogoj ni: x 1 x 2 \u003d 1 - 3 3 + 3 \u003d 3 + 3 - 3 3 - 3 \u003d - 2 3. Vrednost, ki smo jo dobili, je drugačna od 9 4 . To pomeni, da drugi par števil ni koren kvadratne enačbe.

Preidimo na tretji par. Tukaj je x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 in x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4 . Oba pogoja sta izpolnjena, kar pomeni, da x 1 in x2 so korenine dane kvadratne enačbe.

odgovor: x 1 \u003d 2 + 7 2, x 2 \u003d 2 - 7 2

Za iskanje korenin kvadratne enačbe lahko uporabimo tudi inverzijo Vietovega izreka. Najlažji način je izbiranje celoštevilskih korenin danih kvadratnih enačb s celimi koeficienti. Upoštevajo se lahko tudi druge možnosti. Toda to lahko bistveno zaplete izračune.

Za izbiro korenin uporabimo dejstvo, da če je vsota dveh števil enaka drugemu koeficientu kvadratne enačbe, vzetega z znakom minus, produkt teh števil pa je enak prostemu členu, potem sta ti števili korenine te kvadratne enačbe.

Primer 2

Kot primer uporabimo kvadratno enačbo x 2 − 5 x + 6 = 0. Številke x 1 in x2 so lahko koreni te enačbe, če sta obe enakosti izpolnjeni x1 + x2 = 5 in x 1 x 2 = 6. Izberimo te številke. To sta številki 2 in 3, ker 2 + 3 = 5 in 2 3 = 6. Izkazalo se je, da sta 2 in 3 korena te kvadratne enačbe.

Inverz Vietinega izreka se lahko uporabi za iskanje drugega korena, ko je prvi znan ali očiten. Za to lahko uporabimo razmerja x 1 + x 2 = - b a , x 1 · x 2 = c a .

Primer 3

Razmislite o kvadratni enačbi 512 x 2 - 509 x - 3 = 0. Najti moramo korenine te enačbe.

rešitev

Prvi koren enačbe je 1, ker je vsota koeficientov te kvadratne enačbe enaka nič. Izkazalo se je, da x 1 = 1.

Zdaj pa poiščimo drugi koren. Če želite to narediti, lahko uporabite razmerje x 1 x 2 = c a. Izkazalo se je, da 1 x 2 = − 3 512, kje x 2 \u003d - 3 512.

odgovor: korenine kvadratne enačbe, določene v pogoju problema 1 in - 3 512 .

Korenine je mogoče izbrati s pomočjo izreka, ki je nasproten Vietovemu izreku, le v preprostih primerih. V drugih primerih je bolje iskati s formulo korenin kvadratne enačbe skozi diskriminanto.

Zahvaljujoč obratnemu izreku Vieta lahko sestavimo tudi kvadratne enačbe glede na korenine x 1 in x2. Da bi to naredili, moramo izračunati vsoto korenin, ki daje koeficient pri x z nasprotnim predznakom reducirane kvadratne enačbe in produkt korenin, ki daje prosti člen.

Primer 4

Napišite kvadratno enačbo, katere koreni so števila − 11 in 23 .

rešitev

Sprejmimo to x 1 = − 11 in x2 = 23. Vsota in zmnožek teh števil bosta enaka: x1 + x2 = 12 in x 1 x 2 = − 253. To pomeni, da je drugi koeficient 12, prosti termin − 253.

Sestavimo enačbo: x 2 - 12 x - 253 = 0.

Odgovori: x 2 - 12 x - 253 = 0 .

Izrek Vieta lahko uporabimo za reševanje problemov, ki so povezani s predznaki korenin kvadratnih enačb. Povezava med Vietovim izrekom je povezana z predznaki korenin reducirane kvadratne enačbe x 2 + p x + q = 0 na naslednji način:

• če ima kvadratna enačba realne korenine in če prosti člen q je pozitivno število, potem bodo ti koreni imeli enak znak "+" ali "-";
• če ima kvadratna enačba korene in če prosti člen q je negativno število, potem bo en koren "+", drugi pa "-".

Obe izjavi sta posledica formule x 1 x 2 = q in pravila množenja za pozitivna in negativna števila ter števila z različnimi predznaki.

Primer 5

So korenine kvadratne enačbe x 2 - 64 x - 21 = 0 pozitivno?

rešitev

Po Vietovem izreku korena te enačbe ne moreta biti oba pozitivna, saj morata izpolnjevati enakost x 1 x 2 = − 21. Pri pozitivnih to ni mogoče x 1 in x2.

odgovor:št

Primer 6

Pri katerih vrednostih parametra r kvadratna enačba x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0 bo imel dva prava korena z različnimi predznaki.

rešitev

Začnimo z iskanjem vrednosti česa r, za katero ima enačba dva korena. Poiščimo diskriminanto in poglejmo čemu r bo imel pozitivne vrednosti. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. Vrednost izraza r2 + 8 pozitiven za vse realne r, zato bo diskriminant večji od nič za vsako realno r. To pomeni, da bo izvirna kvadratna enačba imela dva korena za vse realne vrednosti parametra r.

Zdaj pa poglejmo, kdaj bodo korenine imele drugačna znamenja. To je mogoče, če je njihov produkt negativen. Po izreku Vieta je produkt korenin reducirane kvadratne enačbe enak prostemu členu. Pravilna rešitev so torej te vrednosti r, pri katerem je prosti člen r − 1 negativen. Rešimo linearno neenačbo r − 1< 0 , получаем r < 1 .

odgovor: pri r< 1 .

Vieta formule

Obstajajo številne formule, ki se uporabljajo za izvajanje operacij s koreninami in koeficienti ne samo kvadratnih, ampak tudi kubičnih in drugih vrst enačb. Imenujejo se formule Vieta.

Za algebraično enačbo stopnje n oblike a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 velja, da ima enačba n prave korenine x 1 , x 2 , … , x n, ki lahko vključuje naslednje:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n \u003d - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 +. . . + x n - 1 x n = a 2 a 0 , x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + . . . + x n - 2 x n - 1 x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 x 2 x 3 . . . x n = (- 1) n a n a 0

Definicija 1

Pomagajte nam s formulami Vieta:

• izrek o razgradnji polinoma na linearne faktorje;
• definicija enakih polinomov skozi enakost vseh njihovih ustreznih koeficientov.

Torej, polinom a 0 x n + a 1 x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n in njegovo raztezanje v linearne faktorje oblike a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) sta enaka.

Če pri zadnjem zmnožku odpremo oklepaje in izenačimo pripadajoče koeficiente, dobimo formule Vieta. Če vzamemo n \u003d 2, lahko dobimo formulo Vieta za kvadratno enačbo: x 1 + x 2 \u003d - a 1 a 0, x 1 x 2 \u003d a 2 a 0.

Definicija 2

Vietova formula za kubično enačbo:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0

Leva stran Vieta formul vsebuje tako imenovane elementarne simetrične polinome.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Bistvo te tehnike je iskanje korenin brez pomoči diskriminatorja. Za enačbo oblike x2 + bx + c = 0, kjer sta dva realno različna korena, veljata dve trditvi.

Prva trditev pravi, da je vsota korenov te enačbe enaka vrednosti koeficienta spremenljivke x (v tem primeru je b), vendar z nasprotnim predznakom. Vizualno je videti takole: x1 + x2 = −b.

Drugi stavek ni več povezan z vsoto, temveč s produktom istih dveh korenov. Ta produkt je enačen s prostim koeficientom, tj. c. Ali x1 * x2 = c. Oba primera sta rešena v sistemu.

Vietov izrek močno poenostavi rešitev, vendar ima eno omejitev. Kvadratno enačbo, katere korene je mogoče najti s to tehniko, je treba zmanjšati. V zgornji enačbi za koeficient a je tisti pred x2 enak ena. Vsako enačbo lahko reduciramo na podobno obliko, če izraz delimo s prvim koeficientom, vendar ta operacija ni vedno racionalna.

Dokaz izreka

Za začetek se spomnimo, kako je po tradiciji običajno iskati korenine kvadratne enačbe. Najdena sta prvi in ​​drugi koren, in sicer: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Na splošno je deljivo z 2a, vendar, kot že omenjeno, je izrek mogoče uporabiti le, če je a=1.

Iz Vietovega izreka je znano, da je vsota korenin enaka drugemu koeficientu z znakom minus. To pomeni, da je x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.

Enako velja za produkt neznanih korenov: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. Po drugi strani je D = b2-4c (spet z a=1). Izkaže se, da je rezultat: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.

Iz zgornjega preprostega dokaza je mogoče potegniti samo eno ugotovitev: Vietov izrek je popolnoma potrjen.

Druga formulacija in dokaz

Vietov izrek ima še eno razlago. Natančneje, ne gre za interpretacijo, ampak za formulacijo. Dejstvo je, da če so izpolnjeni enaki pogoji kot v prvem primeru: obstajata dva različna resnična korena, potem lahko izrek zapišemo v drugačni formuli.

Ta enakost izgleda takole: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Če se funkcija P(x) seka v dveh točkah x1 in x2, jo lahko zapišemo kot P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). V primeru, ko ima P drugo stopnjo in točno tako izgleda izvirni izraz, potem je R praštevilo, in sicer 1. Ta trditev drži iz razloga, ker sicer enakost ne bo veljala. Koeficient x2 pri odpiranju oklepajev ne sme biti večji od ena, izraz pa mora ostati kvadraten.

Ena od metod za reševanje kvadratne enačbe je aplikacija Formule VIETA, ki je dobil ime po FRANCOISU VIETEJU.

Bil je znan odvetnik in je v 16. stoletju služil pri francoskem kralju. V prostem času se je ukvarjal z astronomijo in matematiko. Ugotovil je povezavo med koreni in koeficienti kvadratne enačbe.

Prednosti formule:

1 . Z uporabo formule lahko hitro najdete rešitev. Ker vam ni treba vnesti drugega koeficienta v kvadrat, nato od njega odšteti 4ac, poiskati diskriminant, njegovo vrednost nadomestiti s formulo za iskanje korenin.

2 . Brez rešitve lahko določite znake korenin, poberete vrednosti korenin.

3 . Po rešitvi sistema dveh zapisov ni težko najti samih korenin. V zgornji kvadratni enačbi je vsota korenin enaka vrednosti drugega koeficienta z znakom minus. Produkt korenin v zgornji kvadratni enačbi je enak vrednosti tretjega koeficienta.

4 . Glede na podane korene zapišite kvadratno enačbo, torej rešite inverzno nalogo. Ta metoda se na primer uporablja pri reševanju problemov v teoretični mehaniki.

5 . Primerno je uporabiti formulo, ko je vodilni koeficient enak ena.

Napake:

1 . Formula ni univerzalna.

Vietov izrek 8. razred

Formula
Če sta x 1 in x 2 korena dane kvadratne enačbe x 2 + px + q \u003d 0, potem:

Primeri
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - korenine enačbe x 2 - 2x - 3 \u003d 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Inverzni izrek

Formula
Če so števila x 1 , x 2 , p, q povezana s pogoji:

Potem sta x 1 in x 2 korena enačbe x 2 + px + q = 0.

Primer
Sestavimo kvadratno enačbo po njenih koreninah:

X 1 \u003d 2 -? 3 in x 2 \u003d 2 +? 3.

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.

Želena enačba ima obliko: x 2 - 4x + 1 = 0.