Gitnang linya ng trapezoid. Paano mahanap ang midline ng isang trapezoid

Ang midline ng trapezoid ay katumbas ng kalahati ng kabuuan bakuran. Ikinokonekta nito ang mga midpoint ng mga gilid ng trapezoid at palaging kahanay sa mga base.

Kung ang mga base ng isang trapezoid ay katumbas ng a at b, kung gayon ang gitnang linya m ay katumbas ng m=(a+b)/2.

Kung ang lugar ng trapezoid ay kilala, kung gayon ang gitnang linya ay matatagpuan at sa ibang paraan, hinahati ang lugar ng trapezoid S sa taas ng trapezoid h:

Yan ay, midline ng trapezoid m=S/h

Mayroong maraming mga paraan upang mahanap ang haba ng midline ng isang trapezoid. Ang pagpili ng paraan ay depende sa paunang data.

Dito mga formula para sa haba ng midline ng isang trapezoid:

Upang mahanap ang midline ng isang trapezoid, maaari mong gamitin ang isa sa limang mga formula (hindi ko isusulat ang mga ito, dahil nasa ibang mga sagot na sila), ngunit ito ay sa mga kaso lamang kung saan ang mga halaga ng paunang data na kailangan namin ay kilala.

Sa pagsasagawa, kailangan nating lutasin ang maraming problema kapag walang sapat na data at tamang sukat kailangan pang hanapin.

Mayroong ganitong mga pagpipilian dito

isang hakbang-hakbang na solusyon upang dalhin ang lahat sa ilalim ng formula;

gamit ang iba pang mga formula, bumuo at lutasin ang mga kinakailangang equation.

paghahanap ng haba ng gitna ng isang trapezoid gamit ang formula na kailangan natin sa tulong ng iba pang kaalaman tungkol sa geometry at paggamit algebraic equation:

Mayroon kaming isang isosceles trapezoid, ang mga diagonal nito ay bumalandra sa tamang mga anggulo, ang taas nito ay 9 cm.

Gumagawa kami ng isang pagguhit at nakita na ang problemang ito ay hindi malulutas nang direkta (walang sapat na data)

Samakatuwid, pasimplehin namin nang kaunti at iguhit ang taas sa pamamagitan ng intersection point ng mga diagonal.

Ito ang unang mahalagang hakbang na humahantong sa isang mabilis na solusyon.

tukuyin natin ang taas ng dalawang hindi alam, makikita natin ang mga isosceles triangle na kailangan natin na may mga gilid X At sa

at madali natin itong mahahanap kabuuan ng mga batayan mga trapezoid

ito ay katumbas 2х+2u

At ngayon lang natin mailalapat ang formula kung saan

at ito ay katumbas x+y at ayon sa mga kondisyon ng problema, ito ang haba ng taas na katumbas ng 9 cm.

At ngayon nakuha namin ang ilang sandali para sa isang isosceles trapezoid, ang mga diagonal na kung saan ay bumalandra sa tamang mga anggulo

sa gayong mga trapezoid

ang gitnang linya ay palaging katumbas ng taas

ang lugar ay palaging katumbas ng parisukat ng taas.

Ang midline ng isang trapezoid ay isang segment na nag-uugnay sa mga midpoint ng mga gilid ng trapezoid.

Ang midline ng anumang trapezoid ay madaling mahanap kung gagamitin mo ang formula:

m = (a + b)/2

m ay ang haba ng midline ng trapezoid;

a, b haba ng mga base ng trapezoid.

Kaya, ang haba ng midline ng isang trapezoid ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga haba ng mga base.

Ang pangunahing formula para sa formula para sa midline ng isang trapezoid: ang haba ng midline ng isang trapezoid ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga base a at b: MN=(a+b)2. Ang patunay ng formula na ito ay ang formula para sa midline ng isang tatsulok. Anumang trapezoid ay maaaring ilarawan pagkatapos gumuhit mula sa mga dulo ng isang mas maliit na base ng taas patungo sa isang mas malaking base. Ang 2 resultang triangles at isang parihaba ay isinasaalang-alang. Pagkatapos nito, ang formula para sa midline ng trapezoid ay madaling mapatunayan.

Upang mahanap ang midline ng trapezoid kailangan nating malaman ang mga halaga ng mga base.

Pagkatapos naming mahanap ang mga halagang ito, o marahil ay kilala na namin ang mga ito, idinaragdag namin ang mga numerong ito at hinahati-hati lang ang mga ito sa kalahati.

Ito ang mangyayari midline ng trapezoid.

Sa pagkakatanda ko sa aking mga aralin sa geometry sa paaralan, upang mahanap ang haba ng midline ng isang trapezoid, kailangan mong idagdag ang mga haba ng mga base at hatiin sa dalawa. Kaya, ang haba ng midline ng trapezoid ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga base.

Sa artikulong ito susubukan naming ipakita ang mga katangian ng isang trapezoid nang buo hangga't maaari. Sa partikular, pag-uusapan natin pangkalahatang mga palatandaan at mga katangian ng isang trapezoid, pati na rin ang tungkol sa mga katangian ng isang nakasulat na trapezoid at tungkol sa isang bilog na nakasulat sa isang trapezoid. Tatalakayin din natin ang mga katangian ng isang isosceles at rectangular trapezoid.

Ang isang halimbawa ng paglutas ng isang problema gamit ang mga katangian na tinalakay ay makakatulong sa iyong pag-uri-uriin ito sa mga lugar sa iyong ulo at mas matandaan ang materyal.

Trapeze at lahat-lahat-lahat

Upang magsimula, alalahanin natin sa madaling sabi kung ano ang isang trapezoid at kung ano ang iba pang mga konsepto na nauugnay dito.

Kaya, ang isang trapezoid ay isang quadrilateral figure, na ang dalawa sa mga panig ay kahanay sa bawat isa (ito ang mga base). At ang dalawa ay hindi magkatulad - ito ang mga panig.

Sa isang trapezoid, ang taas ay maaaring ibaba - patayo sa mga base. Ang gitnang linya at mga dayagonal ay iginuhit. Posible rin na gumuhit ng bisector mula sa anumang anggulo ng trapezoid.

Pag-uusapan natin ngayon ang tungkol sa iba't ibang mga katangian na nauugnay sa lahat ng mga elementong ito at ang kanilang mga kumbinasyon.

Mga katangian ng trapezoid diagonal

Upang maging mas malinaw, habang nagbabasa ka, i-sketch ang trapezoid ACME sa isang piraso ng papel at gumuhit ng mga dayagonal dito.

Kung nahanap mo ang mga midpoint ng bawat isa sa mga diagonal (tawagin natin ang mga puntong ito na X at T) at ikonekta ang mga ito, makakakuha ka ng isang segment. Ang isa sa mga katangian ng mga diagonal ng isang trapezoid ay ang segment na HT ay namamalagi sa midline. At ang haba nito ay maaaring makuha sa pamamagitan ng paghahati ng pagkakaiba ng mga base sa dalawa: ХТ = (a – b)/2.
Bago sa amin ay ang parehong trapezoid ACME. Ang mga diagonal ay bumalandra sa punto O. Tingnan natin ang mga tatsulok na AOE at MOK, na nabuo ng mga segment ng mga dayagonal kasama ang mga base ng trapezoid. Ang mga tatsulok na ito ay magkatulad. Ang koepisyent ng pagkakapareho k ng mga tatsulok ay ipinahayag sa pamamagitan ng ratio ng mga base ng trapezoid: k = AE/KM.
Ang ratio ng mga lugar ng triangles AOE at MOK ay inilalarawan ng koepisyent k 2 .
Ang parehong trapezoid, ang parehong mga diagonal na intersecting sa punto O. Tanging sa pagkakataong ito ay isasaalang-alang natin ang mga tatsulok na nabuo ang mga segment ng mga diagonal kasama ang mga gilid ng trapezoid. Ang mga lugar ng mga tatsulok na AKO at EMO ay pantay-pantay sa laki - ang kanilang mga lugar ay pareho.
Ang isa pang pag-aari ng isang trapezoid ay nagsasangkot ng pagtatayo ng mga diagonal. Kaya, kung ipagpapatuloy mo ang mga gilid ng AK at ME sa direksyon ng mas maliit na base, sa lalong madaling panahon ay magsa-intersect sila sa isang tiyak na punto. Susunod, gumuhit ng isang tuwid na linya sa gitna ng mga base ng trapezoid. Nag-intersect ito sa mga base sa mga puntong X at T.
Kung palawakin natin ngayon ang linyang XT, pagkatapos ay magkakaugnay ito sa punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid O, ang punto kung saan ang mga extension ng mga gilid at gitna ng mga base X at T ay nagsalubong.
Sa pamamagitan ng punto ng intersection ng mga diagonal ay gumuhit kami ng isang segment na magkokonekta sa mga base ng trapezoid (T namamalagi sa mas maliit na base KM, X sa mas malaking AE). Hinahati ng intersection point ng mga diagonal ang segment na ito sa sumusunod na ratio: TO/OX = KM/AE.
Ngayon, sa pamamagitan ng punto ng intersection ng mga diagonal, gumuhit kami ng isang segment na kahanay sa mga base ng trapezoid (a at b). Ang intersection point ay hahatiin ito sa dalawang pantay na bahagi. Mahahanap mo ang haba ng segment gamit ang formula 2ab/(a + b).

Mga katangian ng midline ng isang trapezoid

Iguhit ang gitnang linya sa trapezoid parallel sa mga base nito.

Ang haba ng midline ng isang trapezoid ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga haba ng mga base at paghahati sa kanila sa kalahati: m = (a + b)/2.
Kung gumuhit ka ng anumang segment (taas, halimbawa) sa parehong base ng trapezoid, hahatiin ito ng gitnang linya sa dalawang pantay na bahagi.

Trapezoid bisector property

Pumili ng anumang anggulo ng trapezoid at gumuhit ng bisector. Kunin natin, halimbawa, ang anggulo KAE ng ating trapezoid ACME. Matapos makumpleto ang konstruksiyon sa iyong sarili, madali mong ma-verify na ang bisector ay pumutol mula sa base (o ang pagpapatuloy nito sa isang tuwid na linya sa labas ng figure mismo) isang segment na may parehong haba ng gilid.

Mga katangian ng mga anggulo ng trapezoid

Alinman sa dalawang pares ng mga anggulo na katabi ng gilid ang pipiliin mo, ang kabuuan ng mga anggulo sa pares ay palaging 180 0: α + β = 180 0 at γ + δ = 180 0.
Ikonekta natin ang mga midpoint ng mga base ng trapezoid na may isang segment na TX. Ngayon tingnan natin ang mga anggulo sa mga base ng trapezoid. Kung ang kabuuan ng mga anggulo para sa alinman sa mga ito ay 90 0, ang haba ng segment na TX ay madaling kalkulahin batay sa pagkakaiba sa mga haba ng mga base, na hinati sa kalahati: TX = (AE – KM)/2.
Kung ang mga magkatulad na linya ay iguguhit sa mga gilid ng isang anggulo ng trapezoid, hahatiin nila ang mga gilid ng anggulo sa mga proporsyonal na mga segment.

Mga katangian ng isang isosceles (equilateral) na trapezoid

Sa isang isosceles trapezoid, ang mga anggulo sa anumang base ay pantay.
Ngayon ay bumuo muli ng isang trapezoid upang gawing mas madaling isipin kung ano ang pinag-uusapan natin. Tumingin ng mabuti sa base AE - ang vertex ng kabaligtaran na base M ay inaasahang sa isang tiyak na punto sa linya na naglalaman ng AE. Ang distansya mula sa vertex A hanggang sa projection point ng vertex M at ang gitnang linya ng isosceles trapezoid ay pantay.
Ang ilang mga salita tungkol sa pag-aari ng mga diagonal ng isang isosceles trapezoid - ang kanilang mga haba ay pantay. At gayundin ang mga anggulo ng pagkahilig ng mga diagonal na ito sa base ng trapezoid ay pareho.
Sa paligid lamang ng isang isosceles trapezoid ay maaaring ilarawan ang isang bilog, dahil ang kabuuan ng magkasalungat na mga anggulo ng isang quadrilateral ay 180 0 - isang kinakailangan para dito.
Ang pag-aari ng isang isosceles trapezoid ay sumusunod mula sa nakaraang talata - kung ang isang bilog ay maaaring ilarawan malapit sa trapezoid, ito ay isosceles.
Mula sa mga tampok ng isang isosceles trapezoid ay sumusunod sa pag-aari ng taas ng isang trapezoid: kung ang mga diagonal nito ay bumalandra sa tamang mga anggulo, kung gayon ang haba ng taas ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga base: h = (a + b)/2.
Muli, iguhit ang segment na TX sa pamamagitan ng mga midpoint ng mga base ng trapezoid - sa isang isosceles trapezoid ito ay patayo sa mga base. At sa parehong oras TX ay ang axis ng mahusay na proporsyon ng isang isosceles trapezoid.
Sa pagkakataong ito, ibaba ang taas mula sa kabaligtaran ng vertex ng trapezoid papunta sa mas malaking base (tawagin natin itong a). Makakakuha ka ng dalawang segment. Ang haba ng isa ay matatagpuan kung ang mga haba ng mga base ay idinagdag at nahahati sa kalahati: (a + b)/2. Nakukuha natin ang pangalawa kapag ibinawas natin ang mas maliit mula sa mas malaking base at hinati ang nagresultang pagkakaiba sa dalawa: (a – b)/2.

Mga katangian ng isang trapezoid na nakasulat sa isang bilog

Dahil pinag-uusapan na natin ang tungkol sa isang trapezoid na nakasulat sa isang bilog, pag-usapan natin ang isyung ito nang mas detalyado. Sa partikular, kung saan ang sentro ng bilog ay may kaugnayan sa trapezoid. Dito rin, inirerekomenda na maglaan ka ng oras upang kumuha ng lapis at iguhit ang tatalakayin sa ibaba. Sa ganitong paraan mas mabilis kang mauunawaan at mas maaalala.

Ang lokasyon ng gitna ng bilog ay tinutukoy ng anggulo ng pagkahilig ng dayagonal ng trapezoid sa gilid nito. Halimbawa, ang isang dayagonal ay maaaring pahabain mula sa tuktok ng isang trapezoid sa tamang mga anggulo sa gilid. Sa kasong ito, ang mas malaking base ay bumalandra sa gitna ng circumcircle nang eksakto sa gitna (R = ½AE).
Ang dayagonal at ang gilid ay maaari ding magkita sa isang matinding anggulo - pagkatapos ay ang gitna ng bilog ay nasa loob ng trapezoid.
Ang gitna ng circumscribed na bilog ay maaaring nasa labas ng trapezoid, lampas sa mas malaking base nito, kung mayroong isang mahinang anggulo sa pagitan ng dayagonal ng trapezoid at ng gilid.
Ang anggulo na nabuo ng dayagonal at ang mas malaking base ng trapezoid ACME (inscribed angle) ay kalahati ng gitnang anggulo, na tumutugma dito: MAE = ½ MOE.
Sa madaling sabi tungkol sa dalawang paraan upang mahanap ang radius ng isang circumscribed na bilog. Unang Paraan: tingnang mabuti ang iyong guhit - ano ang nakikita mo? Madali mong mapapansin na hinahati ng dayagonal ang trapezoid sa dalawang tatsulok. Ang radius ay matatagpuan sa pamamagitan ng ratio ng gilid ng tatsulok sa sine ng kabaligtaran na anggulo, na pinarami ng dalawa. Halimbawa, R = AE/2*sinAME. Sa katulad na paraan, ang formula ay maaaring isulat para sa alinman sa mga gilid ng parehong tatsulok.
Paraan ng dalawa: hanapin ang radius ng circumscribed na bilog sa pamamagitan ng lugar ng tatsulok na nabuo ng dayagonal, gilid at base ng trapezoid: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Mga katangian ng isang trapezoid na naka-circumscribe sa isang bilog

Maaari mong ilagay ang isang bilog sa isang trapezoid kung ang isang kundisyon ay natutugunan. Magbasa pa tungkol dito sa ibaba. At magkasama ang kumbinasyong ito ng mga numero ay may isang bilang ng mga kagiliw-giliw na katangian.

Kung ang isang bilog ay nakasulat sa isang trapezoid, ang haba ng midline nito ay madaling mahanap sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga haba ng mga gilid at paghahati ng resultang kabuuan sa kalahati: m = (c + d)/2.
Para sa trapezoid ACME, na inilarawan tungkol sa isang bilog, ang kabuuan ng mga haba ng mga base ay katumbas ng kabuuan ng mga haba ng mga gilid: AK + ME = KM + AE.
Mula sa pag-aari na ito ng mga base ng isang trapezoid, ang kabaligtaran na pahayag ay sumusunod: ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa isang trapezoid na ang kabuuan ng mga base ay katumbas ng kabuuan ng mga panig nito.
Ang tangent point ng isang bilog na may radius r na nakasulat sa isang trapezoid ay naghahati sa gilid sa dalawang segment, tawagin natin silang a at b. Ang radius ng isang bilog ay maaaring kalkulahin gamit ang formula: r = √ab.
At isa pang ari-arian. Upang maiwasan ang pagkalito, gumuhit din ng halimbawang ito sa iyong sarili. Mayroon kaming magandang lumang trapezoid ACME, na inilarawan sa paligid ng isang bilog. Naglalaman ito ng mga diagonal na nagsalubong sa punto O. Ang mga tatsulok na AOK at EOM na nabuo ng mga segment ng mga dayagonal at ang mga gilid na gilid ay parihaba.
Ang mga taas ng mga tatsulok na ito, na ibinaba sa mga hypotenuse (i.e., ang mga lateral na gilid ng trapezoid), ay nag-tutugma sa radii ng inscribed na bilog. At ang taas ng trapezoid ay tumutugma sa diameter ng nakasulat na bilog.

Mga katangian ng isang hugis-parihaba na trapezoid

Ang trapezoid ay tinatawag na hugis-parihaba kung ang isa sa mga anggulo nito ay tama. At ang mga pag-aari nito ay nagmula sa pangyayaring ito.

Ang isang hugis-parihaba na trapezoid ay may isa sa mga gilid nito na patayo sa base nito.
Taas at lateral side ng trapezoid na katabi ng tamang anggulo, ay pantay-pantay. Pinapayagan ka nitong kalkulahin ang lugar ng isang hugis-parihaba na trapezoid (pangkalahatang formula S = (a + b) * h/2) hindi lamang sa pamamagitan ng taas, kundi pati na rin sa gilid na katabi ng tamang anggulo.
Para sa isang hugis-parihaba na trapezoid, ang mga pangkalahatang katangian ng mga dayagonal ng isang trapezoid na inilarawan sa itaas ay may kaugnayan.

Katibayan ng ilang mga katangian ng trapezoid

Pagkakapantay-pantay ng mga anggulo sa base ng isang isosceles trapezoid:

Marahil ay nahulaan mo na dito kakailanganin natin muli ang AKME trapezoid - gumuhit ng isosceles trapezoid. Gumuhit ng tuwid na linyang MT mula sa vertex M, parallel sa gilid ng AK (MT || AK).

Ang nagreresultang quadrilateral na AKMT ay isang paralelogram (AK || MT, KM || AT). Dahil ME = KA = MT, ∆ MTE ay isosceles at MET = MTE.

AK || MT, samakatuwid MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Saan ang AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Ngayon, batay sa pag-aari ng isang isosceles trapezoid (pagkakapantay-pantay ng mga diagonal), pinatunayan namin iyon Ang trapezoid ACME ay isosceles:

Una, gumuhit tayo ng tuwid na linya MX – MX || KE. Kumuha kami ng parallelogram na KMHE (base – MX || KE at KM || EX).

Ang ∆AMX ay isosceles, dahil ang AM = KE = MX, at MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, samakatuwid MAE = MXE.

Ang mga tatsulok na AKE at EMA ay pantay sa isa't isa, dahil AM = KE at AE - karaniwang panig dalawang tatsulok. At saka MAE = MXE. Maaari nating tapusin na ang AK = ME, at mula dito sumusunod na ang trapezoid AKME ay isosceles.

Suriin ang gawain

Ang mga base ng trapezoid ACME ay 9 cm at 21 cm, ang gilid na gilid KA, katumbas ng 8 cm, ay bumubuo ng isang anggulo ng 150 0 na may mas maliit na base. Kailangan mong hanapin ang lugar ng trapezoid.

Solusyon: Mula sa vertex K ibinababa namin ang taas hanggang sa mas malaking base ng trapezoid. At simulan natin ang pagtingin sa mga anggulo ng trapezoid.

Ang mga anggulo AEM at KAN ay isang panig. Nangangahulugan ito na sa kabuuan ay nagbibigay sila ng 180 0. Samakatuwid, KAN = 30 0 (batay sa pag-aari ng mga anggulo ng trapezoidal).

Isaalang-alang natin ngayon ang hugis-parihaba ∆ANC (naniniwala ako na ang puntong ito ay halata sa mga mambabasa nang walang karagdagang ebidensya). Mula dito makikita natin ang taas ng trapezoid KH - sa isang tatsulok ito ay isang binti na nasa tapat ng anggulo ng 30 0. Samakatuwid, KH = ½AB = 4 cm.

Nahanap namin ang lugar ng trapezoid gamit ang formula: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Afterword

Kung maingat at maingat mong pinag-aralan ang artikulong ito, hindi masyadong tamad na gumuhit ng mga trapezoid para sa lahat ng ibinigay na mga katangian na may isang lapis sa iyong mga kamay at pag-aralan ang mga ito sa pagsasanay, dapat ay pinagkadalubhasaan mo nang mabuti ang materyal.

Siyempre, mayroong maraming impormasyon dito, iba-iba at kung minsan ay nakakalito: hindi napakahirap na malito ang mga katangian ng inilarawan na trapezoid sa mga katangian ng nakasulat. Ngunit ikaw mismo ay nakakita na ang pagkakaiba ay napakalaki.

Ngayon ay mayroon kang isang detalyadong balangkas ng lahat ng mga pangkalahatang katangian ng isang trapezoid. Pati na rin ang mga partikular na katangian at katangian ng isosceles at rectangular trapezoids. Ito ay napaka-maginhawang gamitin upang maghanda para sa mga pagsusulit at pagsusulit. Subukan ito at ibahagi ang link sa iyong mga kaibigan!

blog.site, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa orihinal na pinagmulan.

Ang segment ng tuwid na linya na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga lateral na gilid ng trapezoid ay tinatawag na midline ng trapezoid. Sasabihin namin sa iyo sa ibaba kung paano hanapin ang midline ng isang trapezoid at kung paano ito nauugnay sa iba pang mga elemento ng figure na ito.

Centerline theorem

Gumuhit tayo ng trapezoid kung saan ang AD ay ang mas malaking base, ang BC ay ang mas maliit na base, ang EF ay ang gitnang linya. Palawakin natin ang base AD lampas sa punto D. Gumuhit ng linyang BF at ipagpatuloy ito hanggang sa mag-intersect ito sa pagpapatuloy ng base AD sa punto O. Isaalang-alang ang mga tatsulok na ∆BCF at ∆DFO. Mga anggulo ∟BCF = ∟DFO bilang patayo. CF = DF, ∟BCF = ∟FDО, dahil VS // JSC. Samakatuwid, ang mga tatsulok ∆BCF = ∆DFO. Kaya ang mga panig BF = FO.

Ngayon isaalang-alang ang ∆ABO at ∆EBF. Ang ∟ABO ay karaniwan sa parehong tatsulok. BE/AB = ½ ayon sa kundisyon, BF/BO = ½, dahil ∆BCF = ∆DFO. Samakatuwid, ang mga tatsulok na ABO at EFB ay magkatulad. Kaya ang ratio ng mga partido EF/AO = ½, pati na rin ang ratio ng iba pang mga partido.

Nakikita namin ang EF = ½ AO. Ang pagguhit ay nagpapakita na ang AO = AD + DO. DO = BC bilang mga panig pantay na tatsulok, na nangangahulugang AO = AD + BC. Samakatuwid EF = ½ AO = ½ (AD + BC). Yung. ang haba ng midline ng isang trapezoid ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga base.

Ang midline ba ng isang trapezoid ay palaging katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga base?

Kumbaga may ganyan espesyal na kaso, kapag EF ≠ ½ (AD + BC). Pagkatapos BC ≠ DO, samakatuwid, ∆BCF ≠ ∆DCF. Ngunit imposible ito, dahil mayroon silang dalawang pantay na anggulo at panig sa pagitan nila. Samakatuwid, ang teorama ay totoo sa lahat ng mga kondisyon.

Problema sa midline

Ipagpalagay, sa aming trapezoid ABCD AD // BC, ∟A = 90°, ∟C = 135°, AB = 2 cm, ang dayagonal AC ay patayo sa gilid. Hanapin ang midline ng trapezoid EF.

Kung ∟A = 90°, ∟B = 90°, ibig sabihin, ang ∆ABC ay parihaba.

∟BCA = ∟BCD - ∟ACD. ∟ACD = 90° ayon sa kumbensyon, samakatuwid, ∟BCA = ∟BCD - ∟ACD = 135° - 90° = 45°.

Kung sa isang kanang tatsulok ∆ABC isang anggulo ay katumbas ng 45°, kung gayon ang mga binti sa loob nito ay pantay: AB = BC = 2 cm.

Hypotenuse AC = √(AB² + BC²) = √8 cm.

Isaalang-alang natin ang ∆ACD. ∟ACD = 90° ayon sa kondisyon. ∟CAD = ∟BCA = 45° bilang ang mga anggulo na nabuo ng transversal ng mga parallel na base ng trapezoid. Samakatuwid, ang mga binti AC = CD = √8.

Hypotenuse AD = √(AC² + CD²) = √(8 + 8) = √16 = 4 cm.

Midline ng trapezoid EF = ½(AD + BC) = ½(2 + 4) = 3 cm.

Mga layunin ng aralin:

1) ipakilala sa mga mag-aaral ang konsepto ng midline ng isang trapezoid, isaalang-alang ang mga katangian nito at patunayan ang mga ito;

2) turuan kung paano bumuo ng midline ng trapezoid;

3) bumuo ng kakayahan ng mga mag-aaral na gamitin ang kahulugan ng midline ng isang trapezoid at ang mga katangian ng midline ng isang trapezoid kapag nilulutas ang mga problema;

4) patuloy na paunlarin ang kakayahan ng mga mag-aaral na magsalita nang may kakayahan, gamit ang mga kinakailangang termino sa matematika; patunayan ang iyong pananaw;

5) bumuo lohikal na pag-iisip, alaala, atensyon.

Sa panahon ng mga klase

1. Sinusuri ang takdang-aralin sa panahon ng aralin. Ang araling-bahay ay pasalita, tandaan:

a) kahulugan ng isang trapezoid; mga uri ng trapezoid;

b) pagtukoy sa midline ng tatsulok;

c) pag-aari ng midline ng isang tatsulok;

d) tanda ng gitnang linya ng tatsulok.

2. Pag-aaral ng bagong materyal.

a) Ang board ay nagpapakita ng isang trapezoid ABCD.

b) Hinihiling sa iyo ng guro na tandaan ang kahulugan ng trapezoid. Ang bawat desk ay may hint diagram upang matulungan kang matandaan ang mga pangunahing konsepto sa paksang "Trapezoid" (tingnan ang Appendix 1). Ang Appendix 1 ay ibinibigay sa bawat desk.

Iguguhit ng mga mag-aaral ang trapezoid ABCD sa kanilang mga kuwaderno.

c) Hihilingin sa iyo ng guro na alalahanin kung aling paksa ang nakatagpo ng konsepto ng midline (“Midline of a triangle”). Naaalala ng mga mag-aaral ang kahulugan ng midline ng isang tatsulok at ang mga katangian nito.

e) Isulat ang kahulugan ng midline ng trapezoid, iguhit ito sa isang kuwaderno.

Gitnang linya Ang trapezoid ay isang segment na nag-uugnay sa mga midpoint ng mga gilid nito.

Ang pag-aari ng midline ng isang trapezoid ay nananatiling hindi napatunayan sa yugtong ito, kaya ang susunod na yugto ng aralin ay nagsasangkot ng pagtatrabaho sa pagpapatunay ng pag-aari ng midline ng isang trapezoid.

Teorama. Ang midline ng trapezoid ay kahanay sa mga base nito at katumbas ng kanilang kalahating kabuuan.

Ibinigay: ABCD – trapezoid,

MN – gitnang linya ABCD

Patunayan, Ano:

1. BC || MN || AD.

2. MN = (AD + BC).

Maaari naming isulat ang ilang mga corollaries na sumusunod mula sa mga kondisyon ng theorem:

AM = MB, CN = ND, BC || AD.

Imposibleng patunayan kung ano ang kinakailangan batay sa mga nakalistang katangian lamang. Ang sistema ng mga tanong at pagsasanay ay dapat humantong sa mga mag-aaral sa pagnanais na ikonekta ang midline ng isang trapezoid sa midline ng ilang tatsulok, ang mga katangian na alam na nila. Kung walang mga panukala, maaari mong tanungin ang tanong: kung paano bumuo ng isang tatsulok kung saan ang segment na MN ang magiging midline?

Isulat natin ang isang karagdagang konstruksiyon para sa isa sa mga kaso.

Gumuhit tayo ng isang tuwid na linya ng BN na humaharang sa pagpapatuloy ng gilid AD sa puntong K.

Lumilitaw ang mga karagdagang elemento - mga tatsulok: ABD, BNM, DNK, BCN. Kung patunayan natin na BN = NK, nangangahulugan ito na ang MN ay ang midline ng ABD, at pagkatapos ay maaari nating gamitin ang property ng midline ng isang triangle at patunayan ang kinakailangan.

Patunay:

1. Isaalang-alang ang BNC at DNK, naglalaman ang mga ito ng:

a) CNB =DNK (pag-aari patayong mga anggulo);

b) BCN = NDK (pag-aari ng panloob na cross-lying na mga anggulo);

c) CN = ND (ayon sa mga kondisyon ng theorem).

Ang ibig sabihin nito ay BNC =DNK (sa gilid at dalawang magkatabing anggulo).

Q.E.D.

Ang patunay ay maaaring gawin nang pasalita sa klase, at maaaring muling buuin at isulat sa isang kuwaderno sa bahay (sa pagpapasya ng guro).

Kinakailangang sabihin ang tungkol sa iba pang posibleng paraan ng pagpapatunay ng teorama na ito:

1. Iguhit ang isa sa mga dayagonal ng trapezoid at gamitin ang tanda at katangian ng midline ng tatsulok.

2. Isagawa ang CF || BA at isaalang-alang ang paralelogram na ABCF at DCF.

3. Isagawa ang EF || BA at isaalang-alang ang pagkakapantay-pantay ng FND at ENC.

g) Sa yugtong ito, ang takdang-aralin ay itinalaga: talata 84, textbook ed. Atanasyan L.S. (patunay ng katangian ng midline ng isang trapezoid gamit ang isang vector method), isulat ito sa iyong kuwaderno.

h) Nilulutas namin ang mga problema gamit ang kahulugan at katangian ng midline ng isang trapezoid gamit ang mga yari na guhit (tingnan ang Appendix 2). Ang Appendix 2 ay ibinibigay sa bawat mag-aaral, at ang solusyon sa mga problema ay nakasulat sa parehong sheet sa isang maikling anyo.

Ang trapezoid ay isang espesyal na kaso ng isang may apat na gilid kung saan ang isang pares ng mga gilid ay parallel. Ang terminong "trapezoid" ay nagmula sa salitang Griyego na τράπεζα, ibig sabihin ay "talahanayan", "talahanayan". Sa artikulong ito titingnan natin ang mga uri ng trapezoid at mga katangian nito. Bilang karagdagan, malalaman natin kung paano kalkulahin ang mga indibidwal na elemento nito Halimbawa, ang dayagonal ng isang isosceles trapezoid, ang gitnang linya, lugar, atbp. Ang materyal ay ipinakita sa estilo ng elementarya na sikat na geometry, ibig sabihin, sa isang madaling ma-access na form .

Pangkalahatang Impormasyon

Una, alamin natin kung ano ang quadrilateral. Ang figure na ito ay isang espesyal na kaso ng isang polygon na naglalaman ng apat na gilid at apat na vertices. Dalawang vertices ng quadrilateral na hindi magkatabi ay tinatawag na kabaligtaran. Ang parehong ay maaaring sinabi para sa dalawang di-katabing panig. Ang mga pangunahing uri ng quadrilaterals ay parallelogram, rectangle, rhombus, square, trapezoid at deltoid.

Kaya bumalik tayo sa trapezoids. Tulad ng nasabi na natin, ang figure na ito ay may dalawang magkatulad na panig. Tinatawag silang mga base. Ang iba pang dalawa (hindi parallel) ay ang mga gilid na gilid. Sa mga materyales sa pagsusulit at iba't-ibang mga pagsubok napakadalas na makakahanap ka ng mga problema na may kaugnayan sa mga trapezoid, ang solusyon na kadalasang nangangailangan ng mag-aaral na magkaroon ng kaalaman na hindi ibinigay para sa programa. Ang kursong geometry ng paaralan ay nagpapakilala sa mga mag-aaral sa mga katangian ng mga anggulo at dayagonal, pati na rin ang midline ng isang isosceles trapezoid. Ngunit, bilang karagdagan dito, ang nabanggit na geometric figure ay may iba pang mga tampok. Ngunit higit pa tungkol sa kanila mamaya...

Mga uri ng trapezoid

Mayroong maraming mga uri ng figure na ito. Gayunpaman, madalas na kaugalian na isaalang-alang ang dalawa sa kanila - isosceles at hugis-parihaba.

1. Ang isang hugis-parihaba na trapezoid ay isang pigura kung saan ang isa sa mga gilid ay patayo sa mga base. Ang kanyang dalawang anggulo ay palaging katumbas ng siyamnapung degree.

2. Ang isosceles trapezoid ay isang geometric figure na ang mga gilid ay pantay sa bawat isa. Nangangahulugan ito na ang mga anggulo sa mga base ay pantay din sa mga pares.

Ang mga pangunahing prinsipyo ng pamamaraan para sa pag-aaral ng mga katangian ng isang trapezoid

Kasama sa pangunahing prinsipyo ang paggamit ng tinatawag na diskarte sa gawain. Sa katunayan, hindi na kailangang ipakilala ang mga bagong katangian ng figure na ito sa teoretikal na kurso ng geometry. Maaari silang matuklasan at mabuo sa proseso ng paglutas ng iba't ibang mga problema (mas mabuti ang mga sistema). Kasabay nito, napakahalaga na alam ng guro kung anong mga gawain ang kailangang italaga sa mga mag-aaral sa isang pagkakataon o iba pa. prosesong pang-edukasyon. Bukod dito, ang bawat pag-aari ng isang trapezoid ay maaaring katawanin bilang isang pangunahing gawain sa sistema ng gawain.

Ang pangalawang prinsipyo ay ang tinatawag na spiral na organisasyon ng pag-aaral ng "kapansin-pansin" na mga katangian ng trapezoid. Ito ay nagpapahiwatig ng pagbabalik sa proseso ng pag-aaral sa mga indibidwal na katangian ng isang ibinigay na geometric figure. Ginagawa nitong mas madali para sa mga mag-aaral na matandaan ang mga ito. Halimbawa, ang pag-aari ng apat na puntos. Maaari itong mapatunayan kapwa kapag nag-aaral ng pagkakatulad at pagkatapos ay gumagamit ng mga vectors. At ang pagkakapareho ng mga tatsulok na katabi ng mga lateral na gilid ng isang pigura ay maaaring mapatunayan sa pamamagitan ng paglalapat hindi lamang ng mga katangian ng mga tatsulok na may pantay na taas na iginuhit sa mga gilid na nakahiga sa parehong tuwid na linya, kundi pati na rin ang paggamit ng formula S = 1/2( ab*sinα). Bilang karagdagan, maaari kang magtrabaho sa isang inscribed trapezoid o isang right triangle sa isang inscribed trapezoid, atbp.

Ang paggamit ng mga tampok na "extracurricular" ng isang geometric na pigura sa nilalaman ng kurso sa paaralan ay isang teknolohiyang nakabatay sa gawain para sa pagtuturo sa kanila. Ang patuloy na pagtukoy sa mga pag-aari na pinag-aaralan habang dumadaan sa iba pang mga paksa ay nagbibigay-daan sa mga mag-aaral na makakuha ng mas malalim na kaalaman sa trapezoid at tinitiyak ang tagumpay sa paglutas ng mga itinalagang problema. Kaya, simulan nating pag-aralan ang kahanga-hangang figure na ito.

Mga elemento at katangian ng isang isosceles trapezoid

Tulad ng nabanggit na natin, ang geometric figure na ito ay may pantay na panig. Ito ay kilala rin bilang ang tamang trapezoid. Bakit ito kapansin-pansin at bakit ito nakakuha ng ganoong pangalan? Ang kakaiba ng figure na ito ay hindi lamang ang mga gilid at anggulo sa mga base ay pantay, kundi pati na rin ang mga diagonal. Bilang karagdagan, ang kabuuan ng mga anggulo ng isang isosceles trapezoid ay 360 degrees. Ngunit hindi lang iyon! Sa lahat ng kilalang trapezoid, isang isosceles lamang ang maaaring ilarawan bilang isang bilog. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang kabuuan ng mga kabaligtaran na anggulo ng figure na ito ay katumbas ng 180 degrees, at sa ilalim lamang ng kondisyong ito ay maaaring ilarawan ng isa ang isang bilog sa paligid ng isang quadrilateral. Ang susunod na katangian ng geometric figure na isinasaalang-alang ay ang distansya mula sa vertex ng base hanggang sa projection ng kabaligtaran na vertex papunta sa tuwid na linya na naglalaman ng base na ito ay magiging katumbas ng midline.

Ngayon, alamin natin kung paano hanapin ang mga anggulo ng isang isosceles trapezoid. Isaalang-alang natin ang isang solusyon sa problemang ito, sa kondisyon na ang mga sukat ng mga gilid ng figure ay kilala.

Solusyon

Karaniwan, ang quadrilateral ay karaniwang tinutukoy ng mga letrang A, B, C, D, kung saan ang BS at AD ang mga base. Sa isang isosceles trapezoid, ang mga gilid ay pantay. Ipagpalagay namin na ang kanilang sukat ay katumbas ng X, at ang mga sukat ng mga base ay katumbas ng Y at Z (mas maliit at mas malaki, ayon sa pagkakabanggit). Upang maisagawa ang pagkalkula, kinakailangan upang iguhit ang taas H mula sa anggulo B. Ang resulta ay isang tamang tatsulok na ABN, kung saan ang AB ay ang hypotenuse, at ang BN at AN ay ang mga binti. Kinakalkula namin ang laki ng binti AN: ibinabawas namin ang mas maliit mula sa mas malaking base, at hatiin ang resulta sa 2. Isinulat namin ito sa anyo ng isang formula: (Z-Y)/2 = F. Ngayon, upang kalkulahin ang talamak anggulo ng tatsulok, ginagamit namin ang cos function. Nakukuha namin ang sumusunod na entry: cos(β) = X/F. Ngayon ay kinakalkula namin ang anggulo: β=arcos (X/F). Dagdag pa, sa pag-alam ng isang anggulo, matutukoy natin ang pangalawa, para dito nagsasagawa kami ng isang elementarya na operasyon ng aritmetika: 180 - β. Ang lahat ng mga anggulo ay tinukoy.

May pangalawang solusyon sa problemang ito. Una, ibababa namin ito mula sa sulok hanggang sa taas H. Kinakalkula namin ang halaga ng binti BN. Alam namin na ang parisukat ng hypotenuse kanang tatsulok katumbas ng kabuuan parisukat ng mga binti. Nakukuha namin ang: BN = √(X2-F2). Sunod na gamit namin trigonometriko function tg. Bilang resulta, mayroon tayong: β = arctan (BN/F). Matalim na sulok natagpuan. Susunod, tinukoy namin ito nang katulad sa unang paraan.

Pag-aari ng mga diagonal ng isang isosceles trapezoid

Una, isulat natin ang apat na panuntunan. Kung ang mga diagonal sa isang isosceles trapezoid ay patayo, kung gayon:

Ang taas ng figure ay magiging katumbas ng kabuuan ng mga base na hinati sa dalawa;

Ang taas at midline nito ay pantay;

Ang gitna ng bilog ay ang punto kung saan ;

Kung ang lateral side ay nahahati sa punto ng tangency sa mga segment H at M, kung gayon ito ay katumbas ng parisukat na ugat mga produkto ng mga segment na ito;

Ang quadrilateral na nabuo sa pamamagitan ng mga punto ng tangency, ang vertex ng trapezoid at ang gitna ng inscribed na bilog ay isang parisukat na ang panig ay katumbas ng radius;

Ang lugar ng isang figure ay katumbas ng produkto ng mga base at ang produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga base at ang taas nito.

Mga katulad na trapezoid

Ang paksang ito ay napaka-maginhawa para sa pag-aaral ng mga katangian ng ito. Ang pahayag na ito ay maaaring tawaging pag-aari ng mga tatsulok kung saan ang trapezoid ay nahahati sa mga diagonal nito. Ang unang bahagi ng pahayag na ito ay napatunayan sa pamamagitan ng tanda ng pagkakatulad sa dalawang anggulo. Upang patunayan ang ikalawang bahagi, mas mainam na gamitin ang paraang ibinigay sa ibaba.

Katibayan ng teorama

Tinatanggap namin na ang figure ABSD (AD at BS ay ang mga base ng trapezoid) ay nahahati sa mga diagonal na VD at AC. Ang punto ng kanilang intersection ay O. Nakakuha kami ng apat na tatsulok: AOS - sa ibabang base, BOS - sa itaas na base, ABO at SOD sa mga gilid. Ang mga tatsulok na SOD at BOS ay may isang karaniwang taas kung ang mga segment na BO at OD ay ang kanilang mga base. Nalaman namin na ang pagkakaiba sa pagitan ng kanilang mga lugar (P) ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga segment na ito: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Samakatuwid, PSOD = PBOS/K. Katulad nito, ang mga tatsulok na BOS at AOB ay may isang karaniwang taas. Kinukuha namin ang mga segment na CO at OA bilang kanilang mga base. Nakukuha natin ang PBOS/PAOB = CO/OA = K at PAOB = PBOS/K. Ito ay sumusunod mula dito na ang PSOD = PAOB.

Upang pagsamahin ang materyal, ang mga mag-aaral ay inirerekomenda na hanapin ang koneksyon sa pagitan ng mga lugar ng mga nagresultang tatsulok kung saan ang trapezoid ay nahahati sa mga diagonal nito sa pamamagitan ng paglutas ng sumusunod na problema. Ito ay kilala na ang mga tatsulok na BOS at AOD ay may pantay na mga lugar; ito ay kinakailangan upang mahanap ang lugar ng trapezoid. Since PSOD = PAOB, it means PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. Mula sa pagkakatulad ng mga tatsulok na BOS at AOD ay sumusunod na BO/OD = √(PBOS/PAOD). Samakatuwid, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Nakukuha namin ang PSOD = √(PBOS*PAOD). Pagkatapos PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Mga katangian ng pagkakatulad

Sa patuloy na pagbuo ng paksang ito, mapapatunayan ng isa ang iba kawili-wiling mga tampok trapezoid. Kaya, gamit ang pagkakatulad, maaari mong patunayan ang pag-aari ng isang segment na dumadaan sa isang punto, nabuo sa pamamagitan ng intersection diagonal ng geometric figure na ito, parallel sa mga base. Upang gawin ito, lutasin natin ang sumusunod na problema: kailangan nating hanapin ang haba ng segment na RK na dumadaan sa punto O. Mula sa pagkakapareho ng mga tatsulok na AOD at BOS ay sumusunod na ang AO/OS = AD/BS. Mula sa pagkakatulad ng mga tatsulok na AOP at ASB ay sumusunod na ang AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). Mula dito nakukuha natin ang RO=BS*BP/(BS+BP). Katulad nito, mula sa pagkakatulad ng mga tatsulok na DOC at DBS, sumusunod na OK = BS*AD/(BS+AD). Mula dito nakukuha natin ang RO=OK at RK=2*BS*AD/(BS+AD). Ang isang segment na dumadaan sa punto ng intersection ng mga diagonal, parallel sa mga base at pagkonekta ng dalawang lateral sides, ay nahahati sa kalahati ng punto ng intersection. Ang haba nito ay ang harmonic mean ng mga base ng figure.

Isaalang-alang ang sumusunod na katangian ng isang trapezoid, na tinatawag na pag-aari ng apat na puntos. Ang mga intersection point ng mga diagonal (O), ang intersection ng pagpapatuloy ng mga gilid (E), pati na rin ang mga midpoint ng mga base (T at F) ay palaging nakahiga sa parehong linya. Ito ay madaling mapatunayan sa pamamagitan ng paraan ng pagkakatulad. Ang mga nagresultang tatsulok na BES at AED ay magkatulad, at sa bawat isa sa kanila ang median ET at EJ ay naghahati sa vertex angle E sa pantay na bahagi. Samakatuwid, ang mga puntong E, T at F ay nasa parehong tuwid na linya. Sa parehong paraan, ang mga puntong T, O, at Zh ay matatagpuan sa parehong tuwid na linya. Ang lahat ng ito ay sumusunod mula sa pagkakatulad ng mga tatsulok na BOS at AOD. Mula dito napagpasyahan namin na ang lahat ng apat na puntos - E, T, O at F - ay nasa parehong tuwid na linya.

Gamit ang magkatulad na trapezoid, maaari mong hilingin sa mga estudyante na hanapin ang haba ng segment (LS) na naghahati sa figure sa dalawang magkatulad. Ang segment na ito ay dapat na parallel sa mga base. Dahil ang mga resultang trapezoids ALFD at LBSF ay magkatulad, pagkatapos ay BS/LF = LF/AD. Kasunod nito na LF=√(BS*AD). Nalaman namin na ang segment na naghahati sa trapezoid sa dalawang magkatulad ay may haba na katumbas ng geometric na ibig sabihin ng mga haba ng mga base ng figure.

Isaalang-alang ang sumusunod na katangian ng pagkakatulad. Ito ay batay sa isang segment na naghahati sa trapezoid sa dalawang pantay na figure. Ipinapalagay namin na ang trapezoid ABSD ay nahahati sa segment na EH sa dalawang magkatulad. Mula sa vertex B isang taas ay tinanggal, na hinati ng segment EN sa dalawang bahagi - B1 at B2. Nakukuha namin ang: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 at PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Susunod, bubuo kami ng system na ang unang equation ay (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 at ang pangalawa (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Kasunod nito na ang B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) at BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Nalaman namin na ang haba ng segment na naghahati sa trapezoid sa dalawang magkapareho ay katumbas ng root mean square ng mga haba ng mga base: √((BS2+AD2)/2).

Mga natuklasan sa pagkakatulad

Kaya, napatunayan namin na:

1. Ang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng lateral sides ng isang trapezoid ay parallel sa AD at BS at katumbas ng arithmetic mean ng BS at AD (ang haba ng base ng trapezoid).

2. Ang linyang dumadaan sa punto O ng intersection ng mga diagonal na kahanay ng AD at BS ay magiging katumbas ng harmonic mean ng mga numerong AD at BS (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. Ang segment na naghahati sa trapezoid sa magkatulad ay may haba ng geometric na mean ng mga baseng BS at AD.

4. Ang isang elemento na naghahati sa isang pigura sa dalawang magkapareho ay may haba ng root mean square ng mga numerong AD at BS.

Upang pagsamahin ang materyal at maunawaan ang koneksyon sa pagitan ng mga isinasaalang-alang na mga segment, kailangan ng mag-aaral na buuin ang mga ito para sa isang tiyak na trapezoid. Madali niyang maipakita ang gitnang linya at ang segment na dumadaan sa punto O - ang intersection ng mga diagonal ng figure - parallel sa mga base. Ngunit saan matatagpuan ang ikatlo at ikaapat? Ang sagot na ito ay magdadala sa mag-aaral sa pagtuklas ng nais na kaugnayan sa pagitan ng mga average na halaga.

Isang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga diagonal ng isang trapezoid

Isaalang-alang ang sumusunod na katangian ng figure na ito. Ipinapalagay namin na ang segment na MH ay parallel sa mga base at hinahati ang mga diagonal. Tawagan natin ang mga intersection point na Ш at Ш. Ang segment na ito ay magiging katumbas ng kalahati ng pagkakaiba ng mga base. Tingnan natin ito nang mas detalyado. Ang MS ay ang gitnang linya ng ABS triangle, ito ay katumbas ng BS/2. Ang MSH ay ang gitnang linya ng tatsulok na ABD, ito ay katumbas ng AD/2. Pagkatapos ay makukuha natin na ShShch = MSh-MSh, samakatuwid, ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Sentro ng grabidad

Tingnan natin kung paano tinutukoy ang elementong ito para sa isang ibinigay na geometric na pigura. Upang gawin ito, kinakailangan upang palawakin ang mga batayan sa magkabilang panig. Ano ang ibig sabihin nito? Kailangan mong idagdag ang mas mababang base sa itaas na base - sa anumang direksyon, halimbawa, sa kanan. At pinalawak namin ang mas mababang isa sa haba ng itaas na isa sa kaliwa. Susunod, ikinonekta namin ang mga ito nang pahilis. Ang punto ng intersection ng segment na ito kasama ang midline ng figure ay ang sentro ng grabidad ng trapezoid.

Inscribed at circumscribed trapezoids

Ilista natin ang mga tampok ng naturang mga figure:

1. Ang isang trapezoid ay maaaring isulat sa isang bilog lamang kung ito ay isosceles.

2. Ang isang trapezoid ay maaaring ilarawan sa paligid ng isang bilog, sa kondisyon na ang kabuuan ng mga haba ng kanilang mga base ay katumbas ng kabuuan ng mga haba ng mga gilid.

Corollaries ng incircle:

1. Ang taas ng inilarawang trapezoid ay palaging katumbas ng dalawang radii.

2. Ang gilid ng inilarawan na trapezoid ay sinusunod mula sa gitna ng bilog sa isang tamang anggulo.

Ang unang corollary ay halata, ngunit upang patunayan ang pangalawa ito ay kinakailangan upang maitaguyod na ang anggulo SOD ay tama, na, sa katunayan, ay hindi rin mahirap. Ngunit ang kaalaman sa ari-arian na ito ay magbibigay-daan sa iyo na gumamit ng isang tamang tatsulok kapag nilulutas ang mga problema.

Ngayon, tukuyin natin ang mga kahihinatnan na ito para sa isang isosceles trapezoid na nakasulat sa isang bilog. Nalaman namin na ang taas ay ang geometric na mean ng mga base ng figure: H=2R=√(BS*AD). Habang nagsasanay ng pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga problema para sa mga trapezoid (ang prinsipyo ng pagguhit ng dalawang taas), dapat lutasin ng mag-aaral ang sumusunod na gawain. Ipinapalagay namin na ang BT ay ang taas ng isosceles figure na ABSD. Kinakailangang hanapin ang mga segment na AT at TD. Gamit ang formula na inilarawan sa itaas, hindi ito magiging mahirap gawin.

Ngayon, alamin natin kung paano matukoy ang radius ng isang bilog gamit ang lugar ng circumscribed trapezoid. Ibinababa namin ang taas mula sa vertex B hanggang sa base AD. Dahil ang bilog ay nakasulat sa isang trapezoid, pagkatapos ay BS+AD = 2AB o AB = (BS+AD)/2. Mula sa tatsulok na ABN makikita natin ang sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Nakukuha namin ang PABSD = (BS+BP)*R, kasunod nito na R = PABSD/(BS+BP).

Lahat ng mga formula para sa midline ng isang trapezoid

Ngayon ay oras na upang lumipat sa huling elemento ng geometric figure na ito. Alamin natin kung ano ang katumbas ng gitnang linya ng trapezoid (M):

1. Sa pamamagitan ng mga base: M = (A+B)/2.

2. Sa pamamagitan ng taas, base at sulok:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Sa pamamagitan ng taas, dayagonal at anggulo sa pagitan nila. Halimbawa, ang D1 at D2 ay ang mga dayagonal ng isang trapezoid; α, β - mga anggulo sa pagitan nila:

M = D1*D2*sinα/2N = D1*D2*sinβ/2N.

4. Sa pamamagitan ng lugar at taas: M = P/N.