بعد الحصول على معلومات أولية عن المتباينات ذات المتغيرات، ننتقل إلى مسألة حلها. سنقوم بتحليل حل المتباينات الخطية بمتغير واحد وجميع طرق حلها بالخوارزميات والأمثلة. سيتم النظر في المعادلات الخطية ذات المتغير الواحد فقط.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

ما هي عدم المساواة الخطية؟

أولاً، تحتاج إلى تعريف معادلة خطية ومعرفة شكلها القياسي وكيف ستختلف عن غيرها. لقد تبين لنا من المقرر الدراسي أنه لا يوجد فرق جوهري بين عدم المساواة، لذلك من الضروري استخدام عدة تعريفات.

التعريف 1

عدم المساواة الخطية مع متغير واحد x هي متباينة بالشكل a · x + b > 0، عند استخدام أي علامة متباينة بدلاً من >< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

التعريف 2

عدم المساواة x< c или a · x >يتم استدعاء c، مع كون x متغيرًا وa وc بعض الأرقام عدم المساواة الخطية مع متغير واحد.

نظرًا لعدم ذكر أي شيء حول ما إذا كان المعامل يمكن أن يساوي 0، إذن هناك متباينة صارمة بالشكل 0 x > c و0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

اختلافاتهم هي:

• التدوين على شكل a · x + b > 0 في الأول، وa · x > c – في الثاني؛
• جواز أن يكون المعامل أ مساوياً للصفر، أ ≠ 0 - في الأول، و أ = 0 - في الثانية.

من المعتقد أن المتباينتين a · x + b > 0 و a · x > c متكافئتان، لأنه يتم الحصول عليهما عن طريق نقل حد من جزء إلى آخر. سيؤدي حل المتراجحة 0 x + 5 > 0 إلى ضرورة حلها، ولن تعمل الحالة a = 0.

التعريف 3

من المعتقد أن المتباينات الخطية في متغير واحد x هي متباينات في الشكل أ س + ب< 0 , a · x + b >0، أ س + ب ≥ 0و أ س + ب ≥ 0، حيث a وb عددان حقيقيان. بدلاً من x يمكن أن يكون هناك رقم عادي.

بناءً على القاعدة، لدينا أن 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≥ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≥ − 1 , 2 تسمى قابلة للاختزال إلى خطية.

كيفية حل عدم المساواة الخطية

الطريقة الرئيسية لحل هذه المتباينات هي استخدام التحويلات المكافئة لإيجاد المتباينات الأولية x< p (≤ , >، ≥) ، p وهو رقم معين، لـ ≠ 0، وعلى الشكل a< p (≤ , >، ≥) ل = 0.

لحل المتباينات في متغير واحد، يمكنك استخدام طريقة الفاصل الزمني أو تمثيلها بيانيا. يمكن استخدام أي منها بشكل منفصل.

باستخدام التحويلات المكافئة

لحل متباينة خطية على الشكل a x + b< 0 (≤ , >، ≥)، فمن الضروري تطبيق تحويلات عدم المساواة المكافئة. قد يكون المعامل صفرًا وقد لا يكون كذلك. دعونا ننظر في كلتا الحالتين. لمعرفة ذلك، عليك الالتزام بمخطط يتكون من 3 نقاط: جوهر العملية، والخوارزمية، والحل نفسه.

التعريف 4

خوارزمية لحل عدم المساواة الخطية أ س + ب< 0 (≤ , >، ≥) لـ ≠ 0

• سيتم نقل الرقم ب إلى الجانب الأيمنالمتباينات ذات الإشارة المعاكسة، والتي ستسمح للمرء بالوصول إلى ما يعادل x< − b (≤ , > , ≥) ;
• سيتم تقسيم طرفي المتراجحة على رقم لا يساوي 0. علاوة على ذلك، عندما تكون a موجبة، تبقى الإشارة، وعندما تكون a سالبة، تتحول إلى العكس.

دعونا نفكر في التطبيق من هذه الخوارزميةفي حل الأمثلة

مثال 1

حل المتباينة في الصيغة 3 x + 12 ≥ 0.

حل

هذه المتباينة الخطية لها = 3 و ب = 12. وهذا يعني أن المعامل a لـ x لا يساوي الصفر. دعونا نطبق الخوارزميات المذكورة أعلاه ونحلها.

ومن الضروري نقل الحد 12 إلى جزء آخر من المتراجحة وتغيير الإشارة التي أمامه. ثم نحصل على متباينة بالصيغة 3 x ≥ − 12. من الضروري تقسيم كلا الجزأين على 3. لن تتغير الإشارة لأن الرقم 3 هو رقم موجب. نحصل على (3 x) : 3 ≥ (− 12) : 3، وهو ما يعطي النتيجة x ≥ − 4.

متباينة بالشكل x ≥ − 4 مكافئة. أي أن حل 3 x + 12 ≥ 0 هو أي عدد حقيقي أقل من أو يساوي 4. تتم كتابة الإجابة على هيئة متباينة x ≥ − 4، أو فاصل رقمي على الصورة (− ∞, − 4).

الخوارزمية الموصوفة أعلاه مكتوبة بالكامل على النحو التالي:

3 × + 12 ≥ 0؛ 3 س ≥ − 12 ; س ≥ − 4 .

إجابة:س ≥ − 4 أو (− ∞ , − 4 ] .

مثال 2

وضح جميع الحلول المتاحة للمتباينة − 2, 7 · z > 0.

حل

من الشرط نرى أن المعامل a لـ z يساوي -2.7، وb غائب صراحة أو يساوي الصفر. لا يمكنك استخدام الخطوة الأولى من الخوارزمية، ولكن انتقل على الفور إلى الثانية.

نقسم طرفي المعادلة على الرقم - 2، 7. وبما أن الرقم سالب، فمن الضروري عكس علامة المتباينة. أي أننا حصلنا على (− 2, 7 z) : (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

سنكتب الخوارزمية بأكملها نموذج قصير:

− 2, 7 ض > 0; ض< 0 .

إجابة:ض< 0 или (− ∞ , 0) .

مثال 3

حل المتراجحة - 5 س - 15 22 ≥ 0.

حل

ووفقا للشرط نرى أنه من الضروري حل المتراجحة بالمعامل a للمتغير x الذي يساوي - 5، بالمعامل b الذي يتوافق مع الكسر - 15 22. من الضروري حل المتراجحة باتباع الخوارزمية، وهي: الانتقال - 15 22 إلى جزء آخر بعلامة معاكسة، وتقسيم كلا الجزأين على - 5، وتغيير إشارة المتراجحة:

5 × ≥ 15 22 ؛ - 5 س: - 5 ≥ 15 22: - 5 س ≥ - 3 22

أثناء الانتقال الأخير للجانب الأيمن، يتم استخدام قاعدة تقسيم الرقم بعلامات مختلفة 15 22: - 5 = - 15 22: 5، وبعد ذلك نقوم بإجراء القسمة جزء مشتركإلى العدد الطبيعي - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

إجابة:س ≥ - 3 22 و [ - 3 22 + ∞) .

دعونا نفكر في الحالة عندما يكون a = 0. التعبير الخطي للشكل a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

كل شيء يعتمد على تحديد حل عدم المساواة. لأي قيمة لـ x نحصل على عدم مساواة عددية على الشكل b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

سننظر في جميع الأحكام في شكل خوارزمية لحل عدم المساواة الخطية 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

التعريف 5

عدم المساواة العددية للنموذج ب< 0 (≤ , >، ≥) صحيحة، فإن المتباينة الأصلية لها حل لأي قيمة، وتكون خاطئة عندما لا يكون للمتباينة الأصلية حلول.

مثال 4

حل المتراجحة 0 x + 7 > 0.

حل

هذه المتباينة الخطية 0 x + 7 > 0 يمكن أن تأخذ أي قيمة x. ثم نحصل على متباينة بالشكل 7 > 0. تعتبر المتباينة الأخيرة صحيحة، مما يعني أن أي رقم يمكن أن يكون حلها.

إجابة: الفاصل الزمني (− ∞ , + ∞) .

مثال 5

أوجد حلاً للمتباينة 0 x − 12, 7 ≥ 0.

حل

عند استبدال المتغير x بأي رقم، نحصل على أن المتراجحة تأخذ الشكل − 12، 7 ≥ 0. هذا غير صحيح. أي أن 0 x − 12, 7 ≥ 0 ليس لها حلول.

إجابة:لا توجد حلول.

لنفكر في حل المتباينات الخطية حيث يكون كلا المعاملين يساوي الصفر.

مثال 6

حدد المتباينة غير القابلة للحل من 0 x + 0 > 0 و 0 x + 0 ≥ 0.

حل

عند استبدال أي رقم بدلاً من x، نحصل على متباينتين بالشكل 0 > 0 و0 ≥ 0. الأول غير صحيح. هذا يعني أن 0 x + 0 > 0 ليس لها حلول، و0 x + 0 ≥ 0 لها عدد لا نهائي من الحلول، أي أي عدد.

إجابة: المتراجحة 0 x + 0 > 0 ليس لها حلول، لكن 0 x + 0 ≥ 0 لها حلول.

هذه الطريقةيعتبر في دورة الرياضيات المدرسية. طريقة الفاصل قادرة على الحل أنواع مختلفةعدم المساواة، وخطية أيضا.

يتم استخدام طريقة الفاصل الزمني لعدم المساواة الخطية عندما تكون قيمة المعامل x لا تساوي 0. وإلا فسيتعين عليك الحساب باستخدام طريقة مختلفة.

التعريف 6

طريقة الفاصل هي:

• تقديم الدالة y = a · x + b ;
• البحث عن الأصفار لتقسيم مجال التعريف إلى فترات؛
• تعريف العلامات لمفاهيمها على فترات.

لنقم بتجميع خوارزمية لحل المعادلات الخطية a x + b< 0 (≤ , >، ≥) لـ ≠ 0 باستخدام طريقة الفاصل:

• إيجاد أصفار الدالة y = a · x + b لحل معادلة من الصورة a · x + b = 0 . إذا كانت ≠ 0، فسيكون الحل هو جذر واحد، والذي سيأخذ التعيين x 0؛
• بناء خط إحداثي مع صورة نقطة بإحداثيات x 0، مع عدم المساواة الصارمة، يتم الإشارة إلى النقطة بواسطة نقطة مثقوبة، مع عدم المساواة غير الصارمة - بواسطة مظللة؛
• تحديد علامات الدالة y = a · x + b على فترات؛ ولهذا من الضروري العثور على قيم الدالة عند نقاط على الفاصل الزمني؛
• حل المتراجحة ذات الإشارة > أو ≥ على خط الإحداثيات، مع إضافة تظليل على الفترة الموجبة،< или ≤ над отрицательным промежутком.

دعونا نلقي نظرة على عدة أمثلة لحل المتباينات الخطية باستخدام طريقة الفاصل.

مثال 6

حل المتراجحة − 3 x + 12 > 0.

حل

يترتب على الخوارزمية أنك تحتاج أولاً إلى إيجاد جذر المعادلة − 3 x + 12 = 0. حصلنا على − 3 · x = − 12 , x = 4 . من الضروري رسم خط إحداثي حيث نحدد النقطة 4. سيتم ثقبه لأن عدم المساواة صارم. النظر في الرسم أدناه.

من الضروري تحديد العلامات على فترات. لتحديدها على الفترة (− ∞, 4)، من الضروري حساب الدالة y = − 3 x + 12 عند x = 3. ومن هنا نحصل على − 3 3 + 12 = 3 > 0. الإشارة على الفاصل الزمني إيجابية.

نحدد الإشارة من الفترة (4, + ∞)، ثم نعوض بالقيمة x = 5. لدينا − ٣ ٥ + ١٢ = − ٣< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

نحل المتراجحة بعلامة >، ويتم التظليل على الفترة الموجبة. النظر في الرسم أدناه.

يتضح من الرسم أن الحل المطلوب له الصورة (− ∞ , 4) أو x< 4 .

إجابة: (− ∞ , 4) أو x< 4 .

لفهم كيفية التصوير بيانيا، عليك أن تأخذ في الاعتبار المثال 4 المتباينات الخطية: 0.5 س - 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 و0، 5 س − 1 ≥ 0. حلولهم ستكون قيم x< 2 , x ≤ 2 , x >2 و س ≥ 2. للقيام بذلك، دعونا نرسم الدالة الخطية y = 0, 5 x − 1 الموضحة أدناه.

انه واضح

التعريف 7

• حل المتراجحة 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• الحل 0, 5 x − 1 ≥ 0 يعتبر الفاصل الزمني حيث تكون الدالة y = 0, 5 x − 1 أقل من O x أو تتزامن؛
• الحل 0, 5 · x − 1 > 0 يعتبر فاصلًا زمنيًا، وتقع الدالة فوق O x;
• يعتبر الحل 0, 5 · x − 1 ≥ 0 هو الفاصل الزمني الذي يتزامن فيه الرسم البياني فوق O x أو يتزامن.

الهدف من حل المتباينات بيانيًا هو إيجاد الفترات التي يجب تمثيلها على الرسم البياني. في هذه الحالة نحصل على ذلك الجهه اليسرىلديه y = a · x + b، واليمين لديه y = 0، ويتزامن مع O x.

يتم رسم الرسم البياني للدالة y = a x + b:

• أثناء حل المتراجحة a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• عند حل المتراجحة a · x + b ≥ 0، يتم تحديد الفاصل الزمني حيث يتم تصوير الرسم البياني أسفل المحور O x أو يتزامن؛
• عند حل المتراجحة a · x + b > 0، يتم تحديد الفاصل الزمني حيث يظهر الرسم البياني فوق O x؛
• عند حل المتراجحة a · x + b ≥ 0، يتم تحديد الفاصل الزمني حيث يكون الرسم البياني أعلى من O x أو يتزامن.

مثال 7

حل المتراجحة - 5 · x - 3 > 0 باستخدام الرسم البياني.

حل

من الضروري إنشاء رسم بياني للدالة الخطية - 5 · x - 3 > 0. هذا الخط يتناقص لأن معامل x سالب. لتحديد إحداثيات نقطة تقاطعها مع O x - 5 · x - 3 > 0 نحصل على القيمة - 3 5. دعونا نصورها بيانيا.

عند حل المتراجحة بعلامة >، عليك الانتباه إلى الفترة الواقعة فوق O x. دعونا نسلط الضوء على الجزء المطلوب من الطائرة باللون الأحمر ونحصل عليه

الفجوة المطلوبة هي الجزء O × الأحمر. هذا يعني أن شعاع العدد المفتوح - ∞ , - 3 5 سيكون حلاً للمتراجحة. إذا كان لدينا، وفقًا للشرط، متباينة غير صارمة، فإن قيمة النقطة - 3 5 ستكون أيضًا حلاً للمتباينة. وسوف يتزامن مع O x.

إجابة: - ∞ , - 3 5 أو x< - 3 5 .

يتم استخدام الحل الرسومي عندما يتوافق الجانب الأيسر مع الدالة y = 0 x + b، أي y = b. عندها سيكون الخط المستقيم موازيًا لـ O x أو متطابقًا عند b = 0. توضح هذه الحالات أن المتراجحة قد لا يكون لها حلول، أو قد يكون الحل أي عدد.

مثال 8

أوجد من المتباينات 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

حل

تمثيل y = 0 x + 7 هو y = 7، ثم سيتم إعطاء مستوى إحداثي بخط موازٍ لـ O x ويقع فوق O x. إذن 0 س + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

الرسم البياني للدالة y = 0 x + 0 يعتبر y = 0، أي أن الخط المستقيم يتزامن مع O x. هذا يعني أن المتراجحة 0 x + 0 ≥ 0 لها العديد من الحلول.

إجابة: المتباينة الثانية لها حل لأي قيمة لـ x.

عدم المساواة التي تقلل إلى الخطية

يمكن اختزال حل عدم المساواة إلى الحل معادلة خط مستقيم، والتي تسمى عدم المساواة التي تتحول إلى خطية.

وقد تم أخذ هذه المتباينات بعين الاعتبار في المقرر الدراسي، لأنها كانت حالة خاصة لحل المتباينات، مما أدى إلى فتح القوسين واختزال المصطلحات المتشابهة. على سبيل المثال، اعتبر أن 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≥ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.

يتم دائمًا تقليل المتباينات المذكورة أعلاه إلى شكل معادلة خطية. ثم يتم فتح القوسين وتعطى مصطلحات مماثلة ونقل منها اجزاء مختلفة، تغيير الإشارة إلى العكس.

عند تقليل المتباينة 5 − 2 x > 0 إلى خطية، فإننا نمثلها بحيث يكون لها الشكل − 2 x + 5 > 0، ولتقليل الثانية نحصل على 7 (x − 1) + 3 ≥ 4 x − 2 + x . ولا بد من فتح القوسين وإحضار المصطلحات المتشابهة ونقل جميع المصطلحات إلى الجانب الأيسر وإحضار المصطلحات المتشابهة. تبدو هكذا:

7 x − 7 + 3 ≥ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≥5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≥ 0 2 x − 2 ≥ 0

وهذا يؤدي إلى الحل لعدم المساواة الخطية.

تعتبر هذه المتباينات خطية، حيث أن لها نفس مبدأ الحل، وبعد ذلك يمكن اختزالها إلى متباينات أولية.

لحل هذا النوع من المتباينة، من الضروري تقليله إلى متباينة خطية. وينبغي أن يتم ذلك بهذه الطريقة:

التعريف 9

• فتح الأقواس؛
• جمع المتغيرات على اليسار والأرقام على اليمين؛
• إعطاء مصطلحات مماثلة؛
• اقسم كلا الطرفين على معامل x.

مثال 9

حل المتراجحة 5 · (x + 3) + x ≥ 6 · (x − 3) + 1.

حل

نفتح القوسين، فنحصل على متباينة بالشكل 5 x + 15 + x ≥ 6 x − 18 + 1. بعد تبسيط الحدود المتشابهة، نحصل على 6 x + 15 ≥ 6 x − 17. وبعد نقل الحدود من اليسار إلى اليمين، نجد أن 6 x + 15 − 6 x + 17 ≥ 0. وبالتالي هناك عدم مساواة بالشكل 32 ≥ 0 من تلك التي تم الحصول عليها عن طريق حساب 0 x + 32 ≥ 0. ويمكن ملاحظة أن المتباينة خاطئة، مما يعني أن المتباينة المعطاة بالشرط ليس لها حلول.

إجابة: لا توجد حلول.

ومن الجدير بالذكر أن هناك العديد من أنواع المتباينات الأخرى التي يمكن اختزالها إلى متباينات خطية أو من النوع الموضح أعلاه. على سبيل المثال، 5 2 x − 1 ≥ 1 هي معادلة أسية يتم اختزالها إلى حل بالشكل الخطي 2 x − 1 ≥ 0. سيتم أخذ هذه الحالات في الاعتبار عند حل المتباينات من هذا النوع.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

أحد المواضيع التي تتطلب أقصى قدر من الاهتمام والمثابرة من الطلاب هو حل عدم المساواة. تشبه المعادلات كثيرًا وفي نفس الوقت تختلف عنها كثيرًا. لأن حلها يتطلب نهجا خاصا.

الخصائص التي ستكون مطلوبة للعثور على الجواب

يتم استخدام كل منهم لاستبدال إدخال موجود بإدخال مكافئ. معظمها مشابه لما كان في المعادلات. ولكن هناك أيضا اختلافات.

• يمكن إضافة دالة محددة في ODZ، أو أي رقم، إلى كلا طرفي المتراجحة الأصلية.
• وبالمثل، فإن الضرب ممكن، ولكن فقط بواسطة دالة أو رقم موجب.
• إذا تم تنفيذ هذا الإجراء باستخدام دالة أو رقم سالب، فيجب استبدال علامة المتباينة بالعلامة المقابلة.
• يمكن رفع الدوال غير السالبة إلى قوة موجبة.

في بعض الأحيان، يكون حل المتباينات مصحوبًا بأفعال تقدم إجابات غريبة. يجب استبعادهم عن طريق المقارنة منطقة ODZوالعديد من الحلول.

استخدام الطريقة الفاصلة

جوهرها هو تقليل المتباينة إلى معادلة يوجد فيها صفر في الطرف الأيمن.

1. تحديد المنطقة التي تقع فيها القيم المسموح بها للمتغيرات، أي ODZ.
2. حول المتباينة باستخدام العمليات الرياضية بحيث يكون للطرف الأيمن صفر.
3. استبدل إشارة المتباينة بـ "=" وحل المعادلة المقابلة لها.
4. على المحور الرقمي، حدد جميع الإجابات التي تم الحصول عليها أثناء الحل، بالإضافة إلى فترات OD. في حالة عدم المساواة الصارمة، يجب رسم النقاط على أنها مثقوبة. إذا كانت هناك علامة يساوي، فينبغي رسمها.
5. حدد إشارة الدالة الأصلية في كل فترة تم الحصول عليها من نقاط ODZ والإجابات التي تقسمها. وإذا لم تتغير إشارة الدالة عند المرور بنقطة فإنها تدخل في الجواب. وإلا فهو مستبعد.
6. يجب فحص النقاط الحدودية لـ ODZ بشكل أكبر وعندها فقط يتم تضمينها في الإجابة أم لا.
7. يجب كتابة الإجابة الناتجة في شكل مجموعات مجتمعة.

قليلا عن عدم المساواة المزدوجة

يستخدمون علامتي المتباينة في وقت واحد. وهذا يعني أن بعض الوظائف محدودة بالشروط مرتين في وقت واحد. يتم حل هذه المتباينات كنظام من اثنين، عندما يتم تقسيم الأصل إلى أجزاء. وفي الطريقة الفاصلة يشار إلى إجابات حل المعادلتين.

لحلها يجوز أيضًا استخدام الخصائص المذكورة أعلاه. وبمساعدتهم، من الملائم تقليص عدم المساواة إلى الصفر.

ماذا عن المتباينات التي لها معامل؟

في هذه الحالة، يستخدم حل المتباينات الخصائص التالية، وهي صالحة لقيمة موجبة "a".

إذا استغرق "x". تعبير جبري، فإن البدائل التالية صالحة:

• |س|< a на -a < х < a;
• |س| > من أ إلى س< -a или х >أ.

إذا لم تكن عدم المساواة صارمة، فإن الصيغ صحيحة أيضا، فقط فيها، بالإضافة إلى علامة أكبر أو أقل، تظهر "=".

كيف يتم حل نظام عدم المساواة؟

ستكون هذه المعرفة مطلوبة في الحالات التي يتم فيها تكليف مثل هذه المهمة أو وجود سجل لعدم المساواة المزدوجة أو ظهور وحدة نمطية في السجل. في مثل هذه الحالة، سيكون الحل هو قيم المتغيرات التي من شأنها تلبية جميع المتباينات في السجل. إذا لم تكن هناك مثل هذه الأرقام، فلن يكون لدى النظام حلول.

الخطة التي يتم بموجبها حل نظام عدم المساواة:

• حل كل واحد منهم على حدة؛
• تصوير جميع الفواصل الزمنية على محور الأرقام وتحديد تقاطعاتها؛
• اكتب استجابة النظام، والتي ستكون مزيجًا مما حدث في الفقرة الثانية.

ماذا تفعل مع عدم المساواة الكسرية؟

وبما أن حلها قد يتطلب تغيير علامة عدم المساواة، فأنت بحاجة إلى اتباع جميع نقاط الخطة بعناية فائقة. وإلا فقد تحصل على إجابة معاكسة.

يستخدم حل المتباينات الكسرية أيضًا الطريقة الفاصلة. وستكون خطة العمل هكذا:

• باستخدام الخصائص الموضحة، قم بإعطاء الكسر شكلًا بحيث يبقى صفر فقط على يمين العلامة.
• استبدل المتراجحة بـ "=" وحدد النقاط التي تساوي الدالة عندها الصفر.
• ضع علامة عليها على محور الإحداثيات. في هذه الحالة، سيتم دائمًا تثقيب الأرقام التي تم الحصول عليها نتيجة للحسابات في المقام. جميع الآخرين يعتمدون على حالة عدم المساواة.
• تحديد فترات ثبات الإشارة.
• ردًا على ذلك، اكتب اتحاد الفترات التي تتوافق إشارتها مع تلك الموجودة في المتباينة الأصلية.

المواقف التي تظهر فيها اللاعقلانية في عدم المساواة

وبعبارة أخرى، هناك جذر رياضي في الترميز. منذ ذلك الحين في دورة الجبر المدرسية معظمالتعيينات للجذر التربيعي، فهذا ما سيتم النظر فيه.

يكمن حل المتباينات غير العقلانية في الحصول على نظام مكون من اثنين أو ثلاثة يعادل النظام الأصلي.

أمثلة على حل أنواع مختلفة من عدم المساواة

من أجل إضافة وضوح للنظرية حول حل عدم المساواة، ترد أدناه أمثلة.

المثال الأول. 2س - 4 > 1 + س

الحل: لتحديد ADI، كل ما عليك فعله هو النظر عن كثب إلى عدم المساواة. يتكون من وظائف خطيةوبالتالي يتم تعريفه لجميع قيم المتغير.

أنت الآن بحاجة إلى طرح (1 + x) من طرفي المتراجحة. اتضح: 2x - 4 - (1 + x) > 0. بعد فتح الأقواس وإعطاء مصطلحات مماثلة، ستأخذ المتراجحة الشكل التالي: x - 5 > 0.

وبمساواة ذلك بالصفر، من السهل إيجاد حله: x = 5.

الآن يجب وضع علامة على هذه النقطة بالرقم 5 على شعاع الإحداثيات. ثم تحقق من علامات الوظيفة الأصلية. في الفترة الأولى من ناقص اللانهاية إلى 5، يمكنك أخذ الرقم 0 واستبداله في المتراجحة التي تم الحصول عليها بعد التحويلات. بعد الحسابات اتضح -7>0. تحت قوس الفاصل الزمني تحتاج إلى التوقيع على علامة الطرح.

في الفاصل الزمني التالي من 5 إلى ما لا نهاية، يمكنك اختيار الرقم 6. ثم اتضح أن 1 > 0. توجد علامة "+" أسفل القوس. ستكون هذه الفترة الثانية هي الحل للمتباينة.

الإجابة: x تقع في الفترة (5؛ ∞).

المثال الثاني. مطلوب حل نظام من معادلتين: 3x + 3 ≥ 2x + 1 و 3x - 2 ≥ 4x + 2.

حل. تقع قيمة VA لهذه المتباينات أيضًا في منطقة أي أرقام، حيث يتم إعطاء الدوال الخطية.

المتباينة الثانية ستأخذ شكل المعادلة التالية: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. بعد التحويل: -x - 4 =0. وينتج عن ذلك قيمة للمتغير تساوي -4.

يجب وضع علامة على هذين الرقمين على المحور الذي يوضح الفواصل الزمنية. بما أن المتراجحة ليست صارمة، فيجب تظليل جميع النقاط. الفاصل الزمني الأول هو من ناقص اللانهاية إلى -4. دع الرقم -5 يتم اختياره. المتباينة الأولى ستعطي القيمة -3، والثانية 1. وهذا يعني أن هذا الفاصل الزمني غير متضمن في الإجابة.

الفترة الثانية من -4 إلى -2. يمكنك اختيار الرقم -3 والتعويض به في المتباينتين. في الأول والثاني، القيمة هي -1. وهذا يعني أنه تحت القوس "-".

في الفترة الأخيرة من -2 إلى ما لا نهاية، أفضل رقم هو الصفر. تحتاج إلى استبداله وإيجاد قيم عدم المساواة. الأول منهما ينتج رقمًا موجبًا، والثاني صفرًا. ويجب أيضًا استبعاد هذه الفجوة من الإجابة.

من بين الفترات الثلاث، هناك فترة واحدة فقط تمثل حلاً للمتباينة.

الإجابة: x ينتمي إلى [-4؛ -2].

المثال الثالث. |1 - س| > 2 |س - 1|.

حل. الخطوة الأولى هي تحديد النقاط التي تختفي عندها الوظائف. بالنسبة للرقم الأيسر سيكون هذا الرقم 2، للرقم الأيمن - 1. يجب وضع علامة عليهم على الشعاع وتحديد فترات ثبات الإشارة.

في الفترة الأولى، من ناقص ما لا نهاية إلى 1، تأخذ الدالة على الجانب الأيسر من المتراجحة قيمًا موجبة، والدالة على الجانب الأيمن تأخذ قيمًا سالبة. تحت القوس تحتاج إلى كتابة علامتين "+" و "-" جنبًا إلى جنب.

الفاصل الزمني التالي هو من 1 إلى 2. فيه، تأخذ كلتا الدالتين قيمًا موجبة. هذا يعني أن هناك نقطتين إيجابيتين تحت القوس.

الفاصل الزمني الثالث من 2 إلى ما لا نهاية سيعطي النتيجة التالية: وظيفة اليسار- سلبي، صحيح - إيجابي.

مع الأخذ في الاعتبار العلامات الناتجة، تحتاج إلى حساب قيم عدم المساواة لجميع الفواصل الزمنية.

ينتج عن الأول المتباينة التالية: 2 - x > - 2 (x - 1). والطرح الذي قبل الاثنين في المتباينة الثانية يرجع إلى أن هذه الدالة سالبة.

بعد التحويل، تبدو عدم المساواة كما يلي: x > 0. وتعطي على الفور قيم المتغير. أي أنه من هذا الفاصل الزمني سيتم الرد فقط على الفاصل الزمني من 0 إلى 1.

وفي الثاني: 2 - س > 2 (س - 1). ستعطي التحويلات المتباينة التالية: -3x + 4 أكبر من الصفر. صفرها سيكون x = 4/3. مع الأخذ بعين الاعتبار علامة عدم المساواة، اتضح أن x يجب أن يكون أقل من هذا الرقم. وهذا يعني أن هذا الفاصل الزمني قد تم تقليله إلى فاصل زمني من 1 إلى 4/3.

الأخير يعطي المتباينة التالية: - (2 - x) > 2 (x - 1). ويؤدي تحويلها إلى ما يلي: -x > 0. أي أن المعادلة تكون صحيحة عندما تكون x أقل من الصفر. وهذا يعني أن المتباينة لا توفر الحلول في الفترة المطلوبة.

في الفترتين الأوليين، تبين أن رقم الحد هو 1. ويجب التحقق منه بشكل منفصل. أي أنه يمكنك التعويض بها في المتباينة الأصلية. اتضح: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. يُظهر العد أن 1 أكبر من 0. هذه عبارة صحيحة، لذا يتم تضمين واحد في الإجابة.

الإجابة: x تقع في الفترة (0؛ 4/3).

تسمى أي متباينة تتضمن دالة تحت الجذر غير منطقي. هناك نوعان من عدم المساواة هذه:

في الحالة الأولى، الجذر وظيفة أقلز (خ)، في الثانية - أكثر. إذا ز (خ) - ثابت، تم تبسيط عدم المساواة إلى حد كبير. يرجى ملاحظة: ظاهريًا، تكون حالات عدم المساواة هذه متشابهة جدًا، لكن مخططات حلها مختلفة بشكل أساسي.

سنتعلم اليوم كيفية حل المتباينات غير العقلانية من النوع الأول - فهي الأبسط والأكثر قابلية للفهم. يمكن أن تكون علامة عدم المساواة صارمة أو غير صارمة. العبارة التالية صحيحة بالنسبة لهم:

نظرية. أي عدم مساواة غير عقلانية في النموذج

أي ما يعادل نظام عدم المساواة:

ليس ضعيف؟ دعونا ننظر من أين يأتي هذا النظام:

1. f (x) ≥ g 2 (x) - كل شيء واضح هنا. هذه هي المتباينة الأصلية تربيع؛
2. f (x) ≥ 0 هو ODZ للجذر. دعني أذكرك: الحساب الجذر التربيعيموجود فقط من غير سلبيأعداد؛
3. g(x) ≥ 0 هو نطاق الجذر. ومن خلال تربيع عدم المساواة، فإننا نحرق السلبيات. ونتيجة لذلك، قد تظهر جذور إضافية. المتباينة g(x) ≥ 0 تقطعها.

"يتعلق" العديد من الطلاب بعدم المساواة الأولى في النظام: f (x) ≥ g 2 (x) - وينسون تمامًا الاثنين الآخرين. والنتيجة متوقعة: قرار خاطئ ونقاط ضائعة.

نظرًا لأن المتباينات غير المنطقية موضوع معقد نوعًا ما، فلنلق نظرة على 4 أمثلة في وقت واحد. من الأساسي إلى المعقد حقًا. جميع المشاكل مأخوذة من امتحانات القبول بجامعة موسكو الحكومية. إم في لومونوسوف.

أمثلة على حل المشكلات

مهمة. حل عدم المساواة:

أمامنا كلاسيكي عدم المساواة غير العقلانية: و(س) = 2س + 3؛ ز(خ) = 2 - ثابت. لدينا:

ومن بين المتباينات الثلاثة، لم يبق إلا اثنتان فقط في نهاية الحل. لأن المتباينة 2 ≥0 تظل ثابتة دائمًا. دعونا نعبر أوجه عدم المساواة المتبقية:

لذا، x ∈ [−1.5; 0.5]. جميع النقاط مظللة بسبب عدم المساواة ليست صارمة.

مهمة. حل عدم المساواة:

نحن نطبق النظرية:

دعونا نحل المتباينة الأولى. للقيام بذلك، سوف نكشف عن مربع الفرق. لدينا:

2س 2 − 18س + 16< (x − 4) 2 ;
2س 2 − 18س + 16< x 2 − 8x + 16:
س 2 - 10س< 0;
س (س - 10)< 0;
س ∈ (0; 10).

الآن دعونا نحل المتباينة الثانية. هناك أيضا ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0؛
س 2 − 9س + 8 ≥ 0؛
(س − 8)(س − 1) ≥ 0؛
س ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)