الخط الأوسط لشبه المنحرف يساوي نصف المجموعأسباب. وهو يربط بين منتصف جوانب شبه المنحرف ويكون دائمًا موازيًا للقواعد.

إذا كانت قاعدتا شبه المنحرف متساويتين a وb، فإن الخط الأوسط م يساويم=(أ+ب)/2.

إذا كانت مساحة شبه المنحرف معروفة، إذن يمكن العثور على الخط الأوسطوبطريقة أخرى قسمة مساحة شبه المنحرف S على ارتفاع شبه المنحرف h:



إنه، خط الوسط شبه منحرف م = ق / ح

هناك طرق عديدة للعثور على طول الخط الأوسط لشبه المنحرف. يعتمد اختيار الطريقة على البيانات الأولية.

هنا الصيغ لطول خط الوسط شبه منحرف:

للعثور على الخط الأوسط لشبه منحرف، يمكنك استخدام إحدى الصيغ الخمس (لن أكتبها، لأنها موجودة بالفعل في إجابات أخرى)، ولكن هذا فقط في الحالات التي نحتاج فيها إلى قيم البيانات الأولية من المعروف.

في الممارسة العملية، علينا أن نحل العديد من المشاكل عندما لا تكون هناك بيانات كافية الحجم المناسبلا تزال بحاجة للعثور عليه.

هناك مثل هذه الخيارات هنا

حل خطوة بخطوة لوضع كل شيء تحت الصيغة؛

باستخدام صيغ أخرى، قم بتكوين وحل المعادلات الضرورية.

إيجاد طول منتصف شبه المنحرف باستخدام الصيغة التي نحتاجهابمساعدة المعرفة الأخرى حول الهندسة والاستخدام المعادلات الجبرية:

لدينا شبه منحرف متساوي الساقين، يتقاطع قطراه بزوايا قائمة، وارتفاعه 9 سم.

نرسم رسمًا ونرى أن هذه المشكلة لا يمكن حلها بشكل مباشر (لا توجد بيانات كافية)



لذلك، سوف نبسط قليلا ونرسم الارتفاع من خلال نقطة تقاطع الأقطار.

هذه هي الخطوة الأولى المهمة التي تؤدي إلى حل سريع.

دعنا نشير إلى الارتفاع بمجهولين، وسنرى المثلثات متساوية الساقين التي نحتاجها مع الجوانب Xو في



ويمكننا العثور عليه بسهولة مجموع الأسبابشبه منحرف

إنه متساوي 2x+2u

والآن فقط يمكننا تطبيق الصيغة حيث

وهو متساوي س+صوحسب شروط المشكلة يكون طول الارتفاع يساوي 9 سم.

والآن اشتقنا عدة عزمات لشبه منحرف متساوي الساقين، تتقاطع أقطاره بزوايا قائمة

في مثل هذه شبه المنحرفة

الخط الأوسط يساوي دائمًا الارتفاع

المساحة تساوي دائمًا مربع الارتفاع.

الخط الأوسط لشبه المنحرف هو الجزء الذي يصل بين نقاط المنتصف لجوانب شبه المنحرف.

من السهل العثور على الخط الأوسط لأي شبه منحرف إذا استخدمت الصيغة:

م = (أ + ب)/2

م هو طول خط الوسط شبه المنحرف.

أ، ب أطوال قاعدتي شبه المنحرف.

لذا، طول الخط الناصف لشبه المنحرف يساوي نصف مجموع أطوال القاعدتين.

الصيغة الأساسية لصيغة خط المنتصف لشبه المنحرف: طول خط المنتصف لشبه المنحرف يساوي نصف مجموع القاعدتين a وb: MN=(a+b)2 والدليل على هذه الصيغة هو صيغة خط المنتصف للمثلث. يمكن تمثيل أي شبه منحرف بعد رسم قاعدة أصغر من الارتفاع من الأطراف إلى قاعدة أكبر. يتم أخذ المثلثين الناتجين والمستطيل في الاعتبار. بعد ذلك، تكون صيغة خط المنتصف لشبه المنحرف هي ثبت بسهولة.

للعثور على خط الوسط لشبه المنحرف نحتاج إلى معرفة قيم القواعد.

بعد أن وجدنا هذه القيم، أو ربما كانت معروفة لنا، نجمع هذه الأعداد ونقسمها إلى نصفين.

هذا هو ما سيحدث خط الوسط شبه منحرف.

بقدر ما أتذكر دروس الهندسة في مدرستي، من أجل العثور على طول الخط الأوسط لشبه المنحرف، تحتاج إلى جمع أطوال القواعد والقسمة على اثنين. وبالتالي، فإن طول الخط الأوسط لشبه المنحرف يساوي نصف مجموع القواعد.

سنحاول في هذه المقالة أن نعكس خصائص شبه المنحرف على أكمل وجه قدر الإمكان. على وجه الخصوص، سوف نتحدث عنها علامات عامةوخصائص شبه المنحرف، وكذلك عن خصائص شبه منحرف منقوش وعن دائرة منقوشة في شبه منحرف. وسوف نتطرق أيضًا إلى خصائص شبه المنحرف متساوي الساقين والمستطيل.

سيساعدك مثال على حل مشكلة ما باستخدام الخصائص التي تمت مناقشتها على فرزها في أماكن في رأسك وتذكر المادة بشكل أفضل.

ترابيز وكل الكل

في البداية، دعونا نتذكر بإيجاز ما هو شبه المنحرف وما هي المفاهيم الأخرى المرتبطة به.

إذن، شبه المنحرف هو شكل رباعي الأضلاع، اثنان من أضلاعه متوازيان مع بعضهما البعض (هذه هي القاعدتان). والاثنان ليسا متوازيين، بل هما الضلعان.

في شبه المنحرف، يمكن خفض الارتفاع - بشكل عمودي على القواعد. يتم رسم خط الوسط والأقطار. من الممكن أيضًا رسم منصف من أي زاوية من شبه المنحرف.

وسنتحدث الآن عن الخصائص المختلفة المرتبطة بكل هذه العناصر ومجموعاتها.

خصائص الأقطار شبه المنحرفة

لجعل الأمر أكثر وضوحًا، أثناء القراءة، ارسم شكل شبه منحرف ACME على قطعة من الورق وارسم قطريًا فيه.

1. إذا وجدت نقاط المنتصف لكل من الأقطار (دعنا نسمي هذه النقطتين X وT) وقمت بتوصيلهما، فستحصل على قطعة. من خصائص أقطار شبه المنحرف أن القطعة HT تقع على خط الوسط. ويمكن الحصول على طوله بقسمة فرق القاعدتين على اثنين: ХТ = (أ – ب)/2.
2. أمامنا نفس شبه منحرف ACME. تتقاطع الأقطار عند النقطة O. دعونا نلقي نظرة على المثلثين AOE وMOK، اللذين يتكونان من قطع الأقطار مع قواعد شبه المنحرف. هذه المثلثات متشابهة. يتم التعبير عن معامل التشابه k للمثلثات من خلال نسبة قواعد شبه المنحرف: ك = AE/كم.
   يتم وصف نسبة مساحات المثلثات AOE و MOK بالمعامل k 2 .
3. نفس شبه المنحرف، نفس الأقطار المتقاطعة عند النقطة O. هذه المرة فقط سننظر في المثلثات التي تشكلت قطع الأقطار مع جوانب شبه المنحرف. مساحات المثلثين AKO وEMO متساوية في الحجم - ومساحاتهما متساوية.
4. خاصية أخرى لشبه المنحرف تتضمن بناء الأقطار. لذلك، إذا واصلت جانبي AK و ME في اتجاه القاعدة الأصغر، فسوف يتقاطعان عاجلاً أم آجلاً عند نقطة معينة. بعد ذلك، ارسم خطًا مستقيمًا عبر منتصف قاعدتي شبه المنحرف. يتقاطع مع القواعد عند النقطتين X و T.
   إذا قمنا الآن بمد الخط XT، فإنه سيصل معاً نقطة تقاطع أقطار شبه المنحرف O، وهي النقطة التي يتقاطع عندها امتدادات الجوانب ووسط القاعدتين X وT.
5. من خلال نقطة تقاطع الأقطار، سنرسم قطعة تربط قواعد شبه المنحرف (T يقع على القاعدة الأصغر KM، X على القاعدة الأكبر AE). نقطة تقاطع الأقطار تقسم هذا الجزء بالنسب التالية: TO/OX = كم/AE.
6. الآن، من خلال نقطة تقاطع الأقطار، سنرسم قطعة موازية لقاعدتي شبه المنحرف (أ و ب). ستقسمه نقطة التقاطع إلى قسمين متساويين. يمكنك العثور على طول المقطع باستخدام الصيغة 2أ/(أ + ب).

خصائص الخط الأوسط لشبه منحرف

ارسم الخط الأوسط في شبه المنحرف الموازي لقاعدتيه.

1. يمكن حساب طول الخط الناصف لشبه المنحرف عن طريق جمع أطوال القاعدتين وتقسيمهما إلى نصفين: م = (أ + ب)/2.
2. إذا قمت برسم أي قطعة (الارتفاع، على سبيل المثال) من خلال قاعدتي شبه المنحرف، فإن الخط الأوسط سيقسمها إلى جزأين متساويين.

خاصية شبه المنحرف

حدد أي زاوية من شبه المنحرف وارسم منصفًا. لنأخذ، على سبيل المثال، الزاوية KAE لشبه المنحرف ACME. بعد الانتهاء من البناء بنفسك، يمكنك بسهولة التحقق من أن المنصف يقطع من القاعدة (أو استمراره على خط مستقيم خارج الشكل نفسه) قطعة بنفس طول الجانب.

خصائص الزوايا شبه المنحرفة

1. أيًا كان زوج الزوايا المجاور للجانب الذي تختاره، فإن مجموع الزوايا في الزوج يكون دائمًا 180 0: α + β = 180 0 و γ + δ = 180 0.
2. دعونا نربط نقاط منتصف قواعد شبه المنحرف بقطعة TX. الآن دعونا نلقي نظرة على الزوايا عند قاعدتي شبه المنحرف. إذا كان مجموع زوايا أي منها 90 0، فيمكن حساب طول المقطع TX بسهولة بناءً على الفرق في أطوال القواعد، مقسمة إلى نصفين: تكساس = (إ – كم)/2.
3. إذا تم رسم خطوط متوازية عبر جوانب زاوية شبه منحرف، فإنها ستقسم جوانب الزاوية إلى أجزاء متناسبة.

خصائص شبه منحرف متساوي الساقين (متساوي الأضلاع).

1. في شبه المنحرف متساوي الساقين، تكون الزوايا عند أي قاعدة متساوية.
2. الآن قم ببناء شبه منحرف مرة أخرى لتسهيل تخيل ما نتحدث عنه. انظر بعناية إلى القاعدة AE - يتم إسقاط قمة القاعدة المقابلة M إلى نقطة معينة على الخط الذي يحتوي على AE. المسافة من الرأس A إلى نقطة إسقاط الرأس M والخط الأوسط لشبه منحرف متساوي الساقين متساويان.
3. بضع كلمات عن خاصية أقطار شبه منحرف متساوي الساقين - أطوالها متساوية. وأيضًا زوايا ميل هذه الأقطار إلى قاعدة شبه المنحرف هي نفسها.
4. فقط حول شبه منحرف متساوي الساقين يمكن وصف الدائرة، لأن مجموع الزوايا المتقابلة للشكل الرباعي هو 180 0 - وهو شرط أساسي لذلك.
5. تتبع خاصية شبه منحرف متساوي الساقين من الفقرة السابقة - إذا كان من الممكن وصف دائرة بالقرب من شبه منحرف، فهي متساوية الساقين.
6. من ميزات شبه منحرف متساوي الساقين تتبع خاصية ارتفاع شبه منحرف: إذا تقاطعت أقطارها بزوايا قائمة، فإن طول الارتفاع يساوي نصف مجموع القواعد: ح = (أ + ب)/2.
7. مرة أخرى، ارسم القطعة TX عبر نقاط منتصف قاعدتي شبه المنحرف - في شبه منحرف متساوي الساقين يكون عموديًا على القواعد. وفي نفس الوقت، TX هو محور التماثل لشبه منحرف متساوي الساقين.
8. هذه المرة، قم بخفض الارتفاع من الرأس المقابل لشبه المنحرف إلى القاعدة الأكبر (دعنا نسميها أ). سوف تحصل على جزأين. يمكن إيجاد طول الواحد إذا جمعنا أطوال القواعد وقسمناها إلى نصفين: (أ + ب)/2. نحصل على الثانية عندما نطرح الأصغر من القاعدة الأكبر ونقسم الفرق الناتج على اثنين: (أ – ب)/2.

خصائص شبه منحرف منقوش في دائرة

وبما أننا نتحدث بالفعل عن شبه منحرف مدرج في دائرة، فلنتناول هذه المسألة بمزيد من التفصيل. على وجه الخصوص، حيث يقع مركز الدائرة بالنسبة لشبه المنحرف. هنا أيضًا، يوصى بأخذ الوقت الكافي لالتقاط قلم رصاص ورسم ما سيتم مناقشته أدناه. بهذه الطريقة سوف تفهم بشكل أسرع وتتذكر بشكل أفضل.

1. يتم تحديد موقع مركز الدائرة من خلال زاوية ميل قطر شبه المنحرف إلى جانبه. على سبيل المثال، قد يمتد القطر من أعلى شبه المنحرف بزوايا قائمة إلى الجانب. في هذه الحالة، القاعدة الأكبر تتقاطع مع مركز الدائرة المحيطة تمامًا في المنتصف (R = ½AE).
2. يمكن أيضًا أن يلتقي القطر والجانب بزاوية حادة - عندها يكون مركز الدائرة داخل شبه المنحرف.
3. يمكن أن يكون مركز الدائرة المحصورة خارج شبه المنحرف، خلف قاعدته الأكبر، إذا كانت هناك زاوية منفرجة بين قطر شبه المنحرف والجانب.
4. الزاوية التي يشكلها القطر والقاعدة الأكبر لشبه المنحرف ACME (الزاوية المنقوشة) هي نصف تلك الزاوية الزاوية المركزية، والذي يتوافق معه: MAE = ½MOE.
5. باختصار عن طريقتين للعثور على نصف قطر الدائرة المقيدة. الطريقة الأولى: انظر بعناية إلى الرسم - ماذا ترى؟ يمكنك بسهولة ملاحظة أن القطر يقسم شبه المنحرف إلى مثلثين. يمكن إيجاد نصف القطر من خلال نسبة جانب المثلث إلى جيب الزاوية المقابلة، مضروبة في اثنين. على سبيل المثال، R = AE/2*sinAME. وبطريقة مماثلة، يمكن كتابة الصيغة لأي من أضلاع المثلثين.
6. الطريقة الثانية: إيجاد نصف قطر الدائرة المحددة من خلال مساحة المثلث الذي يتكون من قطر شبه المنحرف وجانبه وقاعدته: R = AM*ME*AE/4*S AME.

خواص شبه المنحرف المحيط بالدائرة

يمكنك وضع دائرة في شكل شبه منحرف إذا تم استيفاء شرط واحد. اقرأ المزيد عن ذلك أدناه. ويحتوي هذا المزيج من الأشكال معًا على عدد من الخصائص المثيرة للاهتمام.

1. إذا تم إدراج دائرة داخل شبه منحرف، فيمكن العثور بسهولة على طول خط المنتصف عن طريق جمع أطوال الجوانب وتقسيم المجموع الناتج إلى النصف: م = (ج + د)/2.
2. بالنسبة لشبه المنحرف ACME الموصوف حول الدائرة، فإن مجموع أطوال القواعد يساوي مجموع أطوال الجوانب: أك + مي = كم + AE.
3. ومن هذه الخاصية لقواعد شبه المنحرف يأتي العكس: يمكن إدراج دائرة في شبه منحرف مجموع قواعدها يساوي مجموع أضلاعها.
4. نقطة الظل لدائرة نصف قطرها r محصورة في شبه منحرف تقسم ضلعها إلى جزأين، دعنا نسميهما a وb. يمكن حساب نصف قطر الدائرة باستخدام الصيغة: ص = √اب.
5. وممتلكات أخرى. لتجنب الالتباس، ارسم هذا المثال بنفسك أيضًا. لدينا شبه المنحرف القديم الجيد ACME، الموصوف حول دائرة. يحتوي على أقطار تتقاطع عند النقطة O. المثلثان AOK وEOM المتكونان من قطع الأقطار والأضلاع الجانبية مستطيلان.
   ارتفاعات هذه المثلثات، التي تم تخفيضها إلى الوتر (أي الجوانب الجانبية لشبه المنحرف)، تتزامن مع نصف قطر الدائرة المنقوشة. وارتفاع شبه المنحرف يتطابق مع قطر الدائرة المنقوشة.

خصائص شبه منحرف مستطيل

يسمى شبه المنحرف مستطيلاً إذا كانت إحدى زواياه قائمة. وخصائصه تنبع من هذا الظرف.

1. شبه منحرف مستطيل، يكون أحد أضلاعه عموديًا على قاعدته.
2. الارتفاع والجانب الجانبي لشبه المنحرف المجاور زاوية مستقيمة، متساوون. يتيح لك ذلك حساب مساحة شبه منحرف مستطيل (الصيغة العامة ق = (أ + ب) * ح/2) ليس فقط من خلال الارتفاع، ولكن أيضًا من خلال الجانب المجاور للزاوية القائمة.
3. بالنسبة لشبه المنحرف المستطيل، تكون الخصائص العامة لأقطار شبه المنحرف الموصوفة أعلاه ذات صلة.

دليل على بعض خواص شبه المنحرف

تساوي الزوايا عند قاعدة شبه منحرف متساوي الساقين:

• ربما خمنت بالفعل أننا سنحتاج هنا إلى شبه منحرف AKME مرة أخرى - ارسم شبه منحرف متساوي الساقين. ارسم خطًا مستقيمًا MT من قمة M، موازيًا لجانب AK (MT || AK).

الشكل الرباعي AKMT الناتج هو متوازي الأضلاع (AK || MT، KM || AT). بما أن ME = KA = MT، فإن ∆ MTE متساوي الساقين وMET = MTE.

ايه كيه || MT، وبالتالي MTE = KAE، MET = MTE = KAE.

أين AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

الآن، استنادًا إلى خاصية شبه المنحرف متساوي الساقين (مساواة الأقطار)، نثبت ذلك شبه منحرف ACME هو متساوي الساقين:

• أولاً، لنرسم خطًا مستقيمًا MX – MX || ك. نحصل على متوازي الأضلاع KMHE (القاعدة – MX || KE وKM || EX).

∆AMX متساوي الساقين، حيث أن AM = KE = MX، وMAX = MEA.

م ح || KE، KEA = MXE، وبالتالي MAE = MXE.

اتضح أن المثلثين AKE وEMA متساويان لبعضهما البعض، لأن AM = KE وAE – الجانب المشتركمثلثين. وأيضا MAE = MXE. يمكننا أن نستنتج أن AK = ME، ويترتب على ذلك أن شبه المنحرف AKME متساوي الساقين.

مهمة المراجعة

قاعدتا شبه المنحرف ACME طولهما 9 سم و21 سم، والضلع KA الذي يساوي 8 سم يشكل زاوية قياسها 150 0 مع القاعدة الأصغر. تحتاج إلى العثور على مساحة شبه المنحرف.

الحل: من قمة الرأس K نخفض الارتفاع إلى القاعدة الأكبر لشبه المنحرف. ولنبدأ بالنظر إلى زوايا شبه المنحرف.

الزوايا AEM وKAN أحادية الجانب. وهذا يعني أنهم في المجموع يعطون 180 0. وبالتالي، KAN = 30 0 (استنادًا إلى خاصية الزوايا شبه المنحرفة).

دعونا الآن نفكر في الشكل المستطيل ∆ANC (أعتقد أن هذه النقطة واضحة للقراء بدون أدلة إضافية). منه سنجد ارتفاع شبه المنحرف KH - في المثلث عبارة عن ساق تقع مقابل الزاوية 30 0. ولذلك، KH = ½AB = 4 سم.

نجد مساحة شبه المنحرف باستخدام الصيغة: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 سم 2.

خاتمة

إذا كنت قد درست هذه المقالة بعناية ومدروس، ولم تكن كسولًا جدًا لرسم شبه منحرف لجميع الخصائص المحددة بقلم رصاص في يديك وتحليلها عمليًا، فيجب أن تتقن المادة جيدًا.

بالطبع، هناك الكثير من المعلومات المتنوعة والمربكة في بعض الأحيان: ليس من الصعب الخلط بين خصائص شبه المنحرف الموصوف وخصائص المنقوش. لكنك بنفسك رأيت أن الفرق كبير.

الآن لديك مخطط تفصيلي لجميع الخصائص العامة لشبه المنحرف. وكذلك الخصائص والخصائص المحددة لمتساويي الساقين وشبه المنحرف المستطيل. إنه مناسب جدًا للاستخدام للتحضير للاختبارات والامتحانات. جربه بنفسك وشارك الرابط مع أصدقائك!

blog.site، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر الأصلي.

يسمى الجزء المستقيم الذي يربط بين نقاط المنتصف للجوانب الجانبية لشبه المنحرف خط الوسط لشبه المنحرف. سنخبرك أدناه بكيفية العثور على خط الوسط لشبه المنحرف ومدى ارتباطه بالعناصر الأخرى في هذا الشكل.

نظرية خط الوسط

لنرسم شبه منحرف حيث AD هي القاعدة الأكبر، وBC هي القاعدة الأصغر، وEF هو الخط الأوسط. لنمدد القاعدة AD إلى ما بعد النقطة D. ارسم الخط BF واستمر في رسمه حتى يتقاطع مع استمرار القاعدة AD عند النقطة O. خذ بعين الاعتبار المثلثين ∆BCF و ∆DFO. الزوايا ∟BCF = ∟DFO عمودية. CF = DF، ∟BCF = ∟FDО، لأن مقابل // هيئة الأوراق المالية. ولذلك فإن المثلثات ∆BCF = ∆DFO. ومن هنا فإن الجانبين BF = FO.

الآن فكر في ∆ABO و∆EBF. ∟ABO مشترك في كلا المثلثين. BE/AB = ½ حسب الحالة، BF/BO = ½، حيث أن ∆BCF = ∆DFO. ولذلك فإن المثلثين ABO و EFB متشابهان. وبالتالي فإن نسبة الأطراف EF/AO = ½، وكذلك نسبة الأطراف الأخرى.

نجد EF = ½ AO. يوضح الرسم أن AO = AD + DO. DO = BC كجوانب مثلثات متساويةمما يعني AO = AD + BC. وبالتالي EF = ½ AO = ½ (AD + BC). أولئك. طول الخط الأوسط لشبه المنحرف يساوي نصف مجموع القواعد.

هل الخط الأوسط لشبه المنحرف يساوي دائمًا نصف مجموع القاعدتين؟

لنفترض أن هناك مثل هذا حالة خاصة، عندما EF ≠ ½ (AD + BC). ثم BC ≠ DO، لذلك، ∆BCF ≠ ∆DCF. لكن هذا مستحيل، لأن بينهما زاويتان وضلعان متساويان. وبالتالي فإن النظرية صحيحة في جميع الظروف.

مشكلة خط الوسط

لنفترض أنه في شبه المنحرف ABCD AD // BC، ∟A = 90°، ∟C = 135°، AB = 2 سم، القطر AC عمودي على الجانب. أوجد خط الوسط لشبه المنحرف EF.

إذا كانت ∟A = 90°، فإن ∟B = 90°، مما يعني أن ∆ABC مستطيل.

∟BCA = ∟BCD - ∟ACD. ∟ACD = 90° حسب الاتفاقية، لذلك ∟BCA = ∟BCD - ∟ACD = 135° - 90° = 45°.

إذا كان قياس زاوية واحدة في مثلث قائم ∆ABC يساوي 45°، فإن الأرجل فيه متساوية: AB = BC = 2 سم.

الوتر AC = √(AB² + BC²) = √8 سم.

دعونا نفكر في ∆ACD. ∟ACD = 90° حسب الحالة. ∟CAD = ∟BCA = 45° هي الزوايا التي تشكلها تقاطع القاعدتين المتوازيتين لشبه المنحرف. وبالتالي، الأرجل AC = CD = √8.

الوتر AD = √(AC² + CD²) = √(8 + 8) = √16 = 4 سم.

خط الوسط لشبه المنحرف EF = ½(AD + BC) = ½(2 + 4) = 3 سم.

أهداف الدرس:

1) تعريف الطلاب بمفهوم الخط الأوسط لشبه المنحرف والنظر في خصائصه وإثباتها؛

2) تعليم كيفية بناء خط الوسط لشبه المنحرف.

3) تطوير قدرة الطلاب على استخدام تعريف الخط الأوسط لشبه المنحرف وخصائص الخط الأوسط لشبه المنحرف عند حل المشكلات؛

4) الاستمرار في تطوير قدرة الطلاب على التحدث بكفاءة، باستخدام المصطلحات الرياضية اللازمة؛ إثبات وجهة نظرك؛

5) تطوير التفكير المنطقي، الذاكرة، الاهتمام.

خلال الفصول الدراسية

1. يتم فحص الواجبات المنزلية أثناء الدرس. كان الواجب المنزلي شفهيًا، تذكر:

أ) تعريف شبه منحرف. أنواع شبه المنحرف.

ب) تحديد خط الوسط للمثلث.

ج) خاصية خط الوسط للمثلث.

د) علامة الخط الأوسط للمثلث.

2. دراسة مواد جديدة.

أ) تظهر اللوحة شبه منحرف ABCD.

ب) يطلب منك المعلم أن تتذكر تعريف شبه المنحرف. يحتوي كل مكتب على مخطط تلميحي لمساعدتك على تذكر المفاهيم الأساسية في موضوع "شبه المنحرف" (انظر الملحق 1). يتم إصدار الملحق 1 لكل مكتب.

يرسم الطلاب شبه المنحرف ABCD في دفاتر ملاحظاتهم.

ج) يطلب منك المعلم أن تتذكر الموضوع الذي تمت فيه مواجهة مفهوم خط الوسط ("خط الوسط للمثلث"). يتذكر الطلاب تعريف خط الوسط للمثلث وخصائصه.

هـ) اكتب تعريف الخط الأوسط لشبه المنحرف وارسمه في دفتر ملاحظات.

خط الوسطشبه المنحرف هو الجزء الذي يربط منتصف جوانبه.

تظل خاصية الخط الناصف لشبه المنحرف غير مثبتة في هذه المرحلة، لذا فإن المرحلة التالية من الدرس تتضمن العمل على إثبات خاصية الخط الناصف لشبه المنحرف.

نظرية. خط المنتصف لشبه المنحرف يوازي قاعدتيه ويساوي نصف مجموعهما.

منح: ABCD - شبه منحرف،

MN - الخط الأوسط ABCD

يثبت، ماذا:

1. ق || من || إعلان.

2. MN = (م + ق م).

يمكننا تدوين بعض النتائج الطبيعية التي تترتب على شروط النظرية:

AM = MB، CN = ND، BC || إعلان.

من المستحيل إثبات ما هو مطلوب بناءً على الخصائص المذكورة وحدها. يجب أن يقود نظام الأسئلة والتمارين الطلاب إلى الرغبة في ربط خط الوسط لشبه المنحرف بخط الوسط لبعض المثلثات التي يعرفون خصائصها بالفعل. إذا لم تكن هناك مقترحات، فيمكنك طرح السؤال: كيفية بناء مثلث يكون الجزء MN هو خط الوسط؟

دعونا نكتب بناءًا إضافيًا لإحدى الحالات.

لنرسم خطًا مستقيمًا BN يتقاطع مع استمرار الضلع AD عند النقطة K.

تظهر عناصر إضافية - مثلثات: ABD، BNM، DNK، BCN. إذا أثبتنا أن BN = NK، فهذا يعني أن MN هو خط المنتصف لـ ABD، ومن ثم يمكننا استخدام خاصية خط المنتصف للمثلث وإثبات الضرورة.

دليل:

1. خذ بعين الاعتبار BNC وDNK، فهما يحتويان على:

أ) CNB = DNK (property الزوايا العمودي);

ب) BCN = NDK (خاصية الزوايا المتقاطعة الداخلية)؛

ج) CN = ND (كنتيجة طبيعية لشروط النظرية).

وهذا يعني BNC = DNK (بالجانب وزاويتين متجاورتين).

Q.E.D.

يمكن إجراء الإثبات شفهيًا في الفصل، ويمكن إعادة بنائه وتدوينه في دفتر ملاحظات في المنزل (حسب تقدير المعلم).

ومن الضروري أن نقول عن الطرق الأخرى الممكنة لإثبات هذه النظرية:

1. ارسم أحد قطري شبه المنحرف واستخدم إشارة وخاصية خط المنتصف للمثلث.

2. تنفيذ قوات التحالف || BA والنظر في متوازي الأضلاع ABCF و DCF.

3. نفذ EF || BA والنظر في المساواة بين FND و ENC.

ز) في هذه المرحلة، يتم تعيين الواجبات المنزلية: الفقرة 84، إد الكتاب المدرسي. أتاناسيان إل إس. (إثبات خاصية الخط الأوسط لشبه المنحرف بطريقة المتجه)، اكتبه في دفتر ملاحظاتك.

ح) نقوم بحل المشكلات باستخدام تعريف وخصائص الخط الأوسط لشبه المنحرف باستخدام الرسومات الجاهزة (انظر الملحق 2). يتم إعطاء الملحق 2 لكل طالب، ويتم كتابة حل المشكلات على نفس الورقة في شكل قصير.

شبه المنحرف هو حالة خاصة من الشكل الرباعي الذي يكون فيه زوج واحد من الجوانب متوازيًا. مصطلح "شبه منحرف" يأتي من الكلمة اليونانية τράπεζα، ومعنى "الجدول"، "الجدول". في هذه المقالة سننظر في أنواع شبه المنحرف وخصائصه. بالإضافة إلى ذلك، سنكتشف كيفية حساب العناصر الفردية لهذا، على سبيل المثال، قطري شبه منحرف متساوي الساقين، والخط الأوسط، والمنطقة، وما إلى ذلك. يتم تقديم المادة بأسلوب الهندسة الشعبية الأولية، أي في شكل يسهل الوصول إليه .

معلومات عامة

أولاً، دعونا نتعرف على ما هو الشكل الرباعي. هذا الشكل هو حالة خاصة لمضلع يحتوي على أربعة جوانب وأربعة رؤوس. يسمى رأسان الشكل الرباعي غير المتجاورين بالعكس. ويمكن قول الشيء نفسه عن الجانبين غير المتجاورين. الأنواع الرئيسية من الأشكال الرباعية هي متوازي الأضلاع، المستطيل، المعين، المربع، شبه المنحرف والدالية.

لذلك دعونا نعود إلى شبه المنحرف. وكما قلنا سابقًا، فإن هذا الشكل له جانبان متوازيان. يطلق عليهم القواعد. أما الجانبان الآخران (غير المتوازيين) فهما الجوانب الجانبية. في مواد الامتحانات ومختلفها الاختباراتفي كثير من الأحيان يمكنك العثور على مشاكل تتعلق بأشباه المنحرف، والتي يتطلب حلها غالبًا أن يكون لدى الطالب معرفة غير منصوص عليها في البرنامج. يعرّف مقرر الهندسة المدرسية الطلاب على خصائص الزوايا والأقطار، بالإضافة إلى خط الوسط لشبه منحرف متساوي الساقين. لكن بالإضافة إلى ذلك فإن الشكل الهندسي المذكور له سمات أخرى. لكن المزيد عنها بعد قليل ...

أنواع شبه منحرف

هناك أنواع عديدة من هذا الرقم. ومع ذلك، غالبا ما يكون من المعتاد النظر في اثنين منهم - متساوي الساقين ومستطيلة.

1. شبه المنحرف المستطيل هو شكل يكون أحد أضلاعه متعامدًا مع قاعدتيه. زاويتاها تساويان دائمًا تسعين درجة.

2. شبه المنحرف متساوي الساقين هو شكل هندسي تتساوى أضلاعه مع بعضها البعض. وهذا يعني أن الزوايا عند القاعدتين متساوية أيضًا في أزواج.

المبادئ الأساسية لمنهجية دراسة خصائص شبه المنحرف

يتضمن المبدأ الرئيسي استخدام ما يسمى بنهج المهمة. في الواقع، ليست هناك حاجة لإدخال خصائص جديدة لهذا الشكل في المسار النظري للهندسة. يمكن اكتشافها وصياغتها في عملية حل المشكلات المختلفة (يفضل مشاكل النظام). وفي الوقت نفسه، من المهم جدًا أن يعرف المعلم المهام التي يجب تعيينها للطلاب في وقت أو آخر العملية التعليمية. علاوة على ذلك، يمكن تمثيل كل خاصية من خصائص شبه المنحرف كمهمة رئيسية في نظام المهام.

المبدأ الثاني هو ما يسمى بالتنظيم الحلزوني لدراسة الخصائص "الرائعة" لشبه المنحرف. وهذا يعني العودة في عملية التعلم إلى السمات الفردية لشخصية هندسية معينة. وهذا يسهل على الطلاب تذكرها. على سبيل المثال، خاصية أربع نقاط. يمكن إثبات ذلك عند دراسة التشابه ومن ثم استخدام المتجهات. ويمكن إثبات تكافؤ المثلثات المجاورة للأضلاع الجانبية للشكل ليس فقط من خلال تطبيق خصائص المثلثات ذات الارتفاعات المتساوية المرسومة على الجوانب التي تقع على نفس الخط المستقيم، ولكن أيضًا باستخدام الصيغة S = 1/2( أب * الخطيئة α). بالإضافة إلى ذلك، يمكنك العمل على شبه منحرف منقوش أو مثلث قائم الزاوية على شبه منحرف منقوش، وما إلى ذلك.

يعد استخدام الميزات "اللامنهجية" للشكل الهندسي في محتوى الدورة المدرسية بمثابة تقنية قائمة على المهام لتعليمها. إن الرجوع باستمرار إلى الخصائص التي تتم دراستها أثناء مناقشة مواضيع أخرى يسمح للطلاب باكتساب معرفة أعمق بشبه المنحرف ويضمن نجاح حل المشكلات المخصصة. لذلك، دعونا نبدأ في دراسة هذا الرقم الرائع.

عناصر وخصائص شبه منحرف متساوي الساقين

وكما لاحظنا من قبل، فإن هذا الشكل الهندسي له أضلاع متساوية. ومن المعروف أيضا باسم شبه منحرف الصحيح. لماذا هو رائع جدا ولماذا حصل على هذا الاسم؟ تكمن خصوصية هذا الشكل في أن الجوانب والزوايا عند القواعد ليست متساوية فحسب، بل الأقطار أيضًا. بالإضافة إلى ذلك، فإن مجموع زوايا شبه المنحرف متساوي الساقين هو 360 درجة. ولكن هذا ليس كل شيء! من بين جميع شبه المنحرفات المعروفة، يمكن وصف شبه المنحرف فقط بأنه دائرة. ويرجع ذلك إلى حقيقة أن مجموع الزوايا المتقابلة لهذا الشكل يساوي 180 درجة، وفي ظل هذا الشرط فقط يمكن وصف دائرة حول شكل رباعي. الخاصية التالية للشكل الهندسي قيد النظر هي أن المسافة من رأس القاعدة إلى إسقاط الرأس المقابل على الخط المستقيم الذي يحتوي على هذه القاعدة ستكون مساوية لخط المنتصف.

الآن دعونا نتعرف على كيفية العثور على زوايا شبه منحرف متساوي الساقين. ولنتأمل حل هذه المشكلة بشرط معرفة أبعاد أضلاع الشكل.

حل

عادة، يُشار إلى الشكل الرباعي عادةً بالأحرف A، B، C، D، حيث تكون BS و AD هي القواعد. في شبه المنحرف متساوي الساقين، الجوانب متساوية. سنفترض أن حجمها يساوي X، وأحجام القواعد تساوي Y وZ (أصغر وأكبر، على التوالي). لإجراء الحساب، من الضروري رسم الارتفاع H من الزاوية B. والنتيجة هي مثلث قائم الزاوية ABN، حيث AB هو الوتر، وBN وAN هما الأرجل. نحسب حجم الساق AN: نطرح الأصغر من القاعدة الأكبر، ونقسم الناتج على 2. ونكتبه على شكل صيغة: (Z-Y)/2 = F. والآن لحساب الحدة زاوية المثلث نستخدم دالة cos. نحصل على الإدخال التالي: cos(β) = X/F. الآن نحسب الزاوية: β=arcos (X/F). علاوة على ذلك، بمعرفة زاوية واحدة، يمكننا تحديد الثانية، ولهذا نقوم بإجراء عملية حسابية أولية: 180 - β. يتم تعريف جميع الزوايا.

هناك حل ثان لهذه المشكلة. أولاً، نخفضه من الزاوية إلى الارتفاع H. ونحسب قيمة الساق BN. نحن نعلم أن مربع الوتر مثلث قائم يساوي المبلغمربعات من الساقين. نحصل على: BN = √(X2-F2). التالي نستخدم وظيفة المثلثية tg. ونتيجة لذلك، لدينا: β = القطب الشمالي (BN/F). زاوية حادةوجد. بعد ذلك، نحددها بشكل مشابه للطريقة الأولى.

خاصية أقطار شبه منحرف متساوي الساقين

أولاً، دعونا نكتب أربع قواعد. إذا كان القطران في شبه منحرف متساوي الساقين متعامدين فإن:

سيكون ارتفاع الشكل مساويًا لمجموع القواعد مقسومًا على اثنين؛

ارتفاعه وخط الوسط متساويان.

مركز الدائرة هو النقطة التي عندها؛

إذا تم تقسيم الجانب الجانبي بنقطة التماس إلى قطعتين H وM، فإنه يساوي الجذر التربيعيمنتجات هذه القطاعات.

أما الشكل الرباعي الذي يتكون من نقاط المماس ورأس شبه المنحرف ومركز الدائرة المحيطية فهو مربع ضلعه يساوي نصف القطر؛

مساحة الشكل تساوي حاصل ضرب القواعد وحاصل نصف مجموع القواعد وارتفاعه.

شبه منحرف مماثلة

هذا الموضوع مناسب جداً لدراسة خواص هذا، فمثلاً الأقطار تقسم شبه المنحرف إلى أربعة مثلثات، والملاصقة للقواعد متشابهة، والمجاورة للجوانب متساوية في الحجم. يمكن تسمية هذا البيان بخاصية المثلثات التي ينقسم إليها شبه المنحرف بأقطاره. وقد ثبت الجزء الأول من هذا القول بعلامة التشبيه من زاويتين. لإثبات الجزء الثاني من الأفضل استخدام الطريقة الموضحة أدناه.

إثبات النظرية

نحن نقبل أن الشكل ABSD (AD وBS هما قاعدتا شبه المنحرف) مقسم على القطرين VD وAC. نقطة تقاطعهم هي O. نحصل على أربعة مثلثات: AOS - عند القاعدة السفلية، BOS - عند القاعدة العليا، ABO وSOD على الجانبين. المثلثان SOD وBOS لهما ارتفاع مشترك إذا كانت القطع BO وOD هي قاعدتيهما. ونجد أن الفرق بين مساحاتها (P) يساوي الفرق بين هذه الأجزاء: PBOS/PSOD = BO/OD = K. وبالتالي، PSOD = PBOS/K. وبالمثل، فإن المثلثين BOS وAOB لهما ارتفاع مشترك. نحن نأخذ القطاعات CO وOA كقواعد لها. نحصل على PBOS/PAOB = CO/OA = K وPAOB = PBOS/K. ويترتب على ذلك أن PSOD = PAOB.

لتوحيد المادة، يُنصح الطلاب بالعثور على العلاقة بين مساحات المثلثات الناتجة التي ينقسم إليها شبه المنحرف بأقطاره من خلال حل المشكلة التالية. من المعروف أن المثلثين BOS و AOD لهما مساحات متساوية، ومن الضروري إيجاد مساحة شبه المنحرف. بما أن PSOD = PAOB، فهذا يعني PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. من التشابه بين المثلثين BOS وAOD، يترتب على ذلك أن BO/OD = √(PBOS/PAOD). لذلك، PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). نحصل على PSOD = √(PBOS*PAOD). ثم PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

خصائص التشابه

الاستمرار في تطوير هذا الموضوع، يمكن للمرء أن يثبت الآخر ميزات مثيرة للاهتمامشبه منحرف. لذلك، باستخدام التشابه، يمكنك إثبات خاصية القطعة التي تمر عبر نقطة، تشكلت من التقاطعأقطار هذا الشكل الهندسي موازية للقواعد. للقيام بذلك، دعونا نحل المشكلة التالية: نحن بحاجة إلى العثور على طول القطعة RK التي تمر عبر النقطة O. ومن تشابه المثلثين AOD وBOS يستنتج أن AO/OS = AD/BS. من تشابه المثلثين AOP و ASB يستنتج أن AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). من هنا نحصل على RO=BS*BP/(BS+BP). وبالمثل، من تشابه المثلثين DOC وDBS، يترتب على ذلك OK = BS*AD/(BS+AD). من هنا نحصل على RO=OK و RK=2*BS*AD/(BS+AD). القطعة التي تمر بنقطة تقاطع الأقطار، الموازية للقواعد، وتربط بين ضلعين جانبيين، تقسم إلى نصفين بنقطة التقاطع. طوله هو الوسط التوافقي لقواعد الشكل.

خذ بعين الاعتبار الخاصية التالية لشبه المنحرف، والتي تسمى خاصية النقاط الأربع. تقع نقاط تقاطع الأقطار (O)، وتقاطع استمرار الجوانب (E)، وكذلك نقاط منتصف القواعد (T و F) دائمًا على نفس الخط. ويمكن إثبات ذلك بسهولة من خلال طريقة التشابه. المثلثان الناتجان BES و AED متشابهان، وفي كل منهما يقسم الوسيطان ET وEJ زاوية الرأس E إلى أجزاء متساوية. ولذلك فإن النقاط E و T و F تقع على نفس الخط المستقيم. وبنفس الطريقة تقع النقاط T وO وZh على نفس الخط المستقيم، وكل هذا ناتج عن تشابه المثلثين BOS وAOD. من هنا نستنتج أن النقاط الأربع – E، T، O، F – سوف تقع على نفس الخط المستقيم.

باستخدام شبه منحرف مماثل، يمكنك أن تطلب من الطلاب العثور على طول القطعة (LS) التي تقسم الشكل إلى شكلين متشابهين. يجب أن يكون هذا الجزء موازيا للقواعد. وبما أن شبه المنحرف الناتج ALFD وLBSF متشابهان، فإن BS/LF = LF/AD. ويترتب على ذلك أن LF=√(BS*AD). نجد أن القطعة التي تقسم شبه المنحرف إلى قسمين متشابهين طولها يساوي الوسط الهندسي لأطوال قاعدتي الشكل.

النظر في خاصية التشابه التالية. يعتمد على قطعة تقسم شبه المنحرف إلى رقمين متساويين. نحن نفترض أن شبه المنحرف ABSD مقسم بواسطة القطعة EH إلى قسمين متشابهين. من قمة الرأس B، تم حذف الارتفاع، والذي ينقسم حسب المقطع EN إلى جزأين - B1 وB2. نحصل على: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 وPABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. بعد ذلك، نؤلف نظامًا معادلته الأولى هي (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 والمعادلة الثانية (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. ويترتب على ذلك أن B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) وBS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). نجد أن طول القطعة التي تقسم شبه المنحرف إلى قسمين متساويين يساوي الجذر التربيعي المتوسط ​​لأطوال القاعدتين: √((BS2+AD2)/2).

نتائج التشابه

وبذلك أثبتنا أن:

1. القطعة التي تربط نقاط المنتصف للجوانب الجانبية لشبه المنحرف تكون موازية لـ AD وBS ويساوي الوسط الحسابي لـ BS وAD (طول قاعدة شبه المنحرف).

2. الخط الذي يمر عبر النقطة O من تقاطع القطرين الموازي لـ AD و BS سيكون مساوياً للمتوسط ​​التوافقي للرقمين AD و BS (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. الجزء الذي يقسم شبه المنحرف إلى أجزاء متشابهة له طول الوسط الهندسي للقاعدتين BS و AD.

4. عنصر يقسم الشكل إلى شكلين متساويين له طول الجذر التربيعي للرقمين AD و BS.

لتوحيد المادة وفهم العلاقة بين الأجزاء المدروسة، يحتاج الطالب إلى بنائها لشبه منحرف محدد. يمكنه بسهولة عرض الخط الأوسط والقطعة التي تمر بالنقطة O - تقاطع أقطار الشكل - الموازية للقواعد. لكن أين سيكون موقع المركز الثالث والرابع؟ هذه الإجابة ستقود الطالب إلى اكتشاف العلاقة المطلوبة بين القيم المتوسطة.

قطعة تصل بين منتصف قطري شبه المنحرف

النظر في الخاصية التالية لهذا الرقم. نفترض أن القطعة MH موازية للقاعدتين وتنصف الأقطار. لنسمي نقطتي التقاطع Ш و Ш، هذا الجزء سيكون مساويًا لنصف الفرق بين القاعدتين. دعونا ننظر إلى هذا بمزيد من التفصيل. MS هو الخط الأوسط لمثلث ABS، ويساوي BS/2. MSH هو الخط الأوسط للمثلث ABD، ويساوي AD/2. ثم نحصل على ShShch = MSh-MSh، وبالتالي، ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

مركز الجاذبية

دعونا نلقي نظرة على كيفية تحديد هذا العنصر لشكل هندسي معين. للقيام بذلك، من الضروري تمديد الأسباب الأطراف المقابلة. ماذا يعني ذلك؟ تحتاج إلى إضافة القاعدة السفلية إلى القاعدة العلوية - في أي اتجاه، على سبيل المثال، إلى اليمين. ونمد الجزء السفلي بطول الجزء العلوي إلى اليسار. بعد ذلك، نقوم بتوصيلهم قطريًا. نقطة تقاطع هذا الجزء مع خط الوسط في الشكل هي مركز ثقل شبه المنحرف.

شبه منحرف منقوش ومقيد

دعونا ندرج ميزات هذه الشخصيات:

1. لا يمكن رسم شبه المنحرف في دائرة إلا إذا كان متساوي الساقين.

2. يمكن وصف شبه المنحرف حول دائرة، بشرط أن يكون مجموع أطوال قاعدتيهما مساويا لمجموع أطوال أضلاعهما.

النتائج الطبيعية للدائرة:

1. ارتفاع شبه المنحرف الموصوف يساوي دائمًا نصف قطرين.

2. يتم ملاحظة جانب شبه المنحرف الموصوف من وسط الدائرة بزاوية قائمة.

النتيجة الطبيعية الأولى واضحة، ولكن لإثبات الثانية، من الضروري إثبات أن زاوية SOD صحيحة، وهو في الواقع ليس بالأمر الصعب أيضًا. لكن معرفة هذه الخاصية ستسمح لك باستخدام المثلث القائم عند حل المشكلات.

الآن دعونا نحدد هذه النتائج بالنسبة لشبه منحرف متساوي الساقين منقوش في دائرة. نجد أن الارتفاع هو الوسط الهندسي لقواعد الشكل: H=2R=√(BS*AD). أثناء ممارسة التقنية الأساسية لحل مسائل شبه المنحرف (مبدأ رسم ارتفاعين)، يجب على الطالب حل المهمة التالية. نحن نفترض أن BT هو ارتفاع الشكل المتساوي الساقين ABSD. من الضروري العثور على القطع AT وTD. باستخدام الصيغة الموضحة أعلاه، لن يكون من الصعب القيام بذلك.

الآن دعونا نتعرف على كيفية تحديد نصف قطر الدائرة باستخدام مساحة شبه المنحرف المحدد. نقوم بخفض الارتفاع من قمة الرأس B إلى القاعدة AD. وبما أن الدائرة محفورة على شكل شبه منحرف، فإن BS+AD = 2AB أو AB = (BS+AD)/2. من المثلث ABN نجد sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2، BN=2R. نحصل على PABSD = (BS+BP)*R، ويترتب على ذلك أن R = PABSD/(BS+BP).

جميع الصيغ لخط الوسط شبه منحرف

حان الوقت الآن للانتقال إلى العنصر الأخير في هذا الشكل الهندسي. دعونا نكتشف ما يساويه الخط الأوسط لشبه المنحرف (M):

1. من خلال القواعد: م = (أ+ب)/2.

2. من خلال الارتفاع والقاعدة والزوايا:

م = أ-ح*(ctgα+ctgβ)/2؛

م = ب+ن*(ctgα+ctgβ)/2.

3. من خلال الارتفاع والأقطار والزاوية بينهما. على سبيل المثال، D1 وD2 هما قطرا شبه منحرف؛ α، β - الزوايا بينهما:

م = D1*D2*الخطيئةα/2N = D1*D2*الخطيئةβ/2N.

4. من خلال المساحة والارتفاع: M = P/N.