Онлайн калкулаторви позволява бързо да намерите най-големия общ делител и най-малкото общо кратно както на две, така и на всеки друг брой числа.

Калкулатор за намиране на GCD и LCM

Намерете GCD и LOC

Намерени GCD и LOC: 5806

Как да използвате калкулатора

• Въведете числа в полето за въвеждане
• Ако въведете неправилни знаци, полето за въвеждане ще бъде маркирано в червено
• щракнете върху бутона „Намиране на GCD и LOC“.

Как се въвеждат числа

• Числата се въвеждат разделени с интервал, точка или запетая
• Дължината на въведените числа не е ограничена, така че намирането на GCD и LCM на дълги числа не е трудно

Какво представляват GCD и NOC?

Най-голям общ делителняколко числа е най-голямото естествено цяло число, на което всички оригинални числа се делят без остатък. Най-големият общ делител се обозначава съкратено като GCD.
Най-малко общо кратноняколко числа е най-малкото число, което се дели на всяко от оригиналните числа без остатък. Най-малкото общо кратно се обозначава съкратено като НОК.

Как да проверим дали едно число се дели на друго число без остатък?

За да разберете дали едно число се дели на друго без остатък, можете да използвате някои свойства на делимост на числата. След това, като ги комбинирате, можете да проверите делимостта на някои от тях и техните комбинации.

Някои признаци за делимост на числата

1. Тест за делимост на число на 2
За да определите дали едно число се дели на две (дали е четно), достатъчно е да погледнете последната цифра на това число: ако е равно на 0, 2, 4, 6 или 8, тогава числото е четно, което означава, че се дели на 2.
Пример:определи дали числото 34938 се дели на 2.
Решение:Гледаме последната цифра: 8 - това означава, че числото се дели на две.

2. Тест за делимост на число на 3
Едно число се дели на 3, когато сборът от неговите цифри се дели на три. По този начин, за да определите дали дадено число се дели на 3, трябва да изчислите сбора от цифрите и да проверите дали то се дели на 3. Дори ако сборът от цифрите е много голям, можете да повторите същия процес отново.
Пример:определи дали числото 34938 се дели на 3.
Решение:Преброяваме сбора на числата: 3+4+9+3+8 = 27. 27 се дели на 3, което означава, че числото се дели на три.

3. Тест за делимост на число на 5
Едно число се дели на 5, когато последната му цифра е нула или пет.
Пример:определи дали числото 34938 се дели на 5.
Решение:погледнете последната цифра: 8 означава, че числото НЕ се дели на пет.

4. Тест за делимост на числото на 9
Този знак е много подобен на знака за делимост на три: едно число се дели на 9, когато сборът от неговите цифри се дели на 9.
Пример:определи дали числото 34938 се дели на 9.
Решение:Преброяваме сбора на числата: 3+4+9+3+8 = 27. 27 се дели на 9, което означава, че числото се дели на девет.

Как да намерим GCD и LCM на две числа

Как да намерите gcd на две числа

Повечето по прост начинИзчисляването на най-големия общ делител на две числа е да се намерят всички възможни делители на тези числа и да се избере най-големият от тях.

Нека разгледаме този метод, използвайки примера за намиране на GCD(28, 36):

1. Разлагаме и двете числа: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Намираме общи множители, тоест тези, които имат и двете числа: 1, 2 и 2.
3. Изчисляваме произведението на тези множители: 1 2 2 = 4 - това е най-големият общ делител на числата 28 и 36.

Как да намерим LCM на две числа

Има два най-често срещани начина за намиране на най-малкото кратно на две числа. Първият метод е, че можете да запишете първите кратни на две числа и след това да изберете сред тях число, което ще бъде общо за двете числа и в същото време най-малкото. И второто е да намерим gcd на тези числа. Нека разгледаме само него.

За да изчислите LCM, трябва да изчислите произведението на оригиналните числа и след това да го разделите на предварително намерения GCD. Нека намерим LCM за същите числа 28 и 36:

1. Намерете произведението на числата 28 и 36: 28·36 = 1008
2. НОД(28, 36), както вече е известно, е равно на 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252.

Намиране на GCD и LCM за няколко числа

Най-големият общ делител може да се намери за няколко числа, а не само за две. За да направите това, числата, които трябва да се намерят за най-големия общ делител, се разлагат на прости множители, след което се намира произведението на общите прости множители на тези числа. Можете също да използвате следната връзка, за да намерите gcd на няколко числа: НОД(a, b, c) = НОД(НОД(a, b), c).

Подобна връзка се прилага за най-малкото общо кратно: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Пример:намерете GCD и LCM за числата 12, 32 и 36.

1. Първо, нека разложим числата на множители: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. Нека намерим общите множители: 1, 2 и 2.
3. Техният продукт ще даде НОД: 1·2·2 = 4
4. Сега нека намерим LCM: за да направим това, нека първо намерим LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. За да намерите LCM на трите числа, трябва да намерите НОД(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , НОД = 1·2· 2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

Определение.Най велик естествено число, на което числата a и b се делят без остатък, се нарича най-голям общ делител (НОД)тези числа.

Нека намерим най-големия общ делител на числата 24 и 35.
Делителите на 24 са числата 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителите на 35 са числата 1, 5, 7, 35.
Виждаме, че числата 24 и 35 имат само един общ делител - числото 1. Такива числа се наричат взаимно прости.

Определение.Естествените числа се наричат взаимно прости, ако техният най-голям общ делител (НОД) е 1.

Най-голям общ делител (НОД)може да се намери, без да се изписват всички делители на дадените числа.

Разлагайки числата 48 и 36 на множители, получаваме:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
От факторите, включени в разширяването на първото от тези числа, задраскваме онези, които не са включени в разширяването на второто число (т.е. две двойки).
Останалите множители са 2 * 2 * 3. Тяхното произведение е равно на 12. Това число е най-големият общ делител на числата 48 и 36. Намерен е и най-големият общ делител на три или повече числа.

Да намеря най-голям общ делител

2) от факторите, включени в разширяването на едно от тези числа, зачеркнете онези, които не са включени в разширяването на други числа;
3) намерете произведението на останалите множители.

Ако всички дадени числа се делят на едно от тях, то това число е най-голям общ делителдадени числа.
Например най-големият общ делител на числата 15, 45, 75 и 180 е числото 15, тъй като на него се делят всички останали числа: 45, 75 и 180.

Най-малко общо кратно (LCM)

Определение. Най-малко общо кратно (LCM)естествените числа a и b е най-малкото естествено число, което е кратно на a и b. Най-малкото общо кратно (LCM) на числата 75 и 60 може да се намери, без да се записват кратните на тези числа подред. За да направите това, нека разложим 75 и 60 на прости множители: 75 = 3 * 5 * 5 и 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Нека запишем факторите, включени в разгръщането на първото от тези числа, и добавим към тях липсващите фактори 2 и 2 от разширяването на второто число (т.е. комбинираме факторите).
Получаваме пет фактора 2 * 2 * 3 * 5 * 5, чийто продукт е 300. Това число е най-малкото общо кратно на числата 75 и 60.

Те също намират най-малкото общо кратно на три или повече числа.

Да се намерете най-малкото общо кратноняколко естествени числа, трябва:
1) разложете ги на прости множители;
2) запишете факторите, включени в разширяването на едно от числата;
3) добавете към тях липсващите множители от разширенията на останалите числа;
4) намерете произведението на получените фактори.

Обърнете внимание, че ако едно от тези числа се дели на всички други числа, тогава това число е най-малкото общо кратно на тези числа.
Например най-малкото общо кратно на числата 12, 15, 20 и 60 е 60, защото се дели на всички тези числа.

Питагор (VI в. пр. н. е.) и неговите ученици изучават въпроса за делимостта на числата. номер, равно на суматаТе нарекоха всички негови делители (без самото число) перфектно число. Например числата 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) са перфектни. Следващите съвършени числа са 496, 8128, 33 550 336. Питагорейците са знаели само първите три съвършени числа. Четвъртият - 8128 - става известен през 1 век. н. д. Петият - 33 550 336 - е намерен през 15 век. До 1983 г. вече са известни 27 съвършени числа. Но учените все още не знаят дали има нечетни съвършени числа или има най-голямо съвършено число.
Интересът на древните математици към простите числа произтича от факта, че всяко число е или просто, или може да бъде представено като продукт прости числа, т.е. простите числа са като тухли, от които са изградени останалите естествени числа.
Вероятно сте забелязали, че простите числа в редицата от естествени числа се срещат неравномерно - в някои части на редицата са повече, в други - по-малко. Но колкото по-нататък се движим по редицата от числа, толкова по-рядко срещани са простите числа. Възниква въпросът: има ли последно (най-голямо) просто число? Древногръцкият математик Евклид (3 век пр. н. е.) в книгата си „Елементи“, която е основният учебник по математика в продължение на две хиляди години, доказва, че има безкрайно много прости числа, т.е. зад всяко просто число има още по-голямо просто число. номер.
За да намери прости числа, друг гръцки математик от същото време, Ератостен, излезе с този метод. Той записа всички числа от 1 до някакво число и след това задраска едно, което не е нито просто, нито съставно число, след което задраска през едно всички числа, идващи след 2 (числа, кратни на 2, т.е. 4, 6, 8 и т.н.). Първото останало число след 2 беше 3. След това, след две, всички числа, идващи след 3 (числа, кратни на 3, т.е. 6, 9, 12 и т.н.), бяха зачеркнати. накрая само простите числа останаха незачертани.

Темата „Множества” се изучава в 5 клас средно училище. Целта му е да подобри уменията за писмено и устно математическо пресмятане. В този урок се въвеждат нови понятия - „множество числа“ и „делители“, практикува се техниката за намиране на делители и кратни на естествено число и способността да се намира LCM по различни начини.

Тази тема е много важна. Знанието за него може да се приложи при решаване на примери с дроби. За да направите това, трябва да намерите общия знаменател, като изчислите най-малкото общо кратно (LCM).

Кратно на A е цяло число, което се дели на A без остатък.

Всяко естествено число има безкраен брой кратни на него. Самият той се счита за най-малкия. Кратното не може да бъде по-малко от самото число.

Трябва да докажете, че числото 125 е кратно на 5. За да направите това, трябва да разделите първото число на второто. Ако 125 се дели на 5 без остатък, тогава отговорът е да.

Този метод е приложим за малки числа.

Има специални случаи при изчисляване на LOC.

1. Ако трябва да намерите общо кратно на 2 числа (например 80 и 20), където едно от тях (80) се дели на другото (20), то това число (80) е най-малкото кратно на тези две числа.

LCM(80, 20) = 80.

2. Ако две нямат общ делител, тогава можем да кажем, че техният LCM е произведението на тези две числа.

LCM(6, 7) = 42.

Нека разгледаме последния пример. 6 и 7 спрямо 42 са делители. Те делят кратно на число без остатък.

В този пример 6 и 7 са двойки фактори. Тяхното произведение е равно на най-кратното число (42).

Едно число се нарича просто, ако се дели само на себе си или на 1 (3:1=3; 3:3=1). Останалите се наричат ​​композитни.

Друг пример включва определяне дали 9 е делител на 42.

42:9=4 (остатък 6)

Отговор: 9 не е делител на 42, защото отговорът има остатък.

Делителят се различава от кратното по това, че делителят е числото, на което се делят естествените числа, а самото кратно се дели на това число.

Най-голям общ делител на числа аИ b, умножено по тяхното най-малко кратно, ще даде произведението на самите числа аИ b.

А именно: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

Общи кратни за повече комплексни числанамерени по следния начин.

Например, намерете LCM за 168, 180, 3024.

Разлагаме тези числа на прости множители и ги записваме като произведение на степени:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.

Как да намерите LCM (най-малко общо кратно)

Най-малкото общо кратно на две цели числа е най-малкото от всички цели числа, което се дели на двете дадени числа, без да оставя остатък.

Метод 1. Можете да намерите LCM на свой ред за всяко от дадените числа, като изпишете във възходящ ред всички числа, които се получават чрез умножаването им по 1, 2, 3, 4 и т.н.

Примерза числата 6 и 9.
Умножаваме числото 6 последователно по 1, 2, 3, 4, 5.
Получаваме: 6, 12, 18 , 24, 30
Умножаваме числото 9 последователно по 1, 2, 3, 4, 5.
Получаваме: 9, 18 , 27, 36, 45
Както можете да видите, LCM за числата 6 и 9 ще бъде равно на 18.

Този метод е удобен, когато и двете числа са малки и е лесно да се умножат по поредица от цели числа. Въпреки това, има моменти, когато трябва да намерите LCM за двуцифрено или трицифрени числа, а също и когато има три или дори повече начални числа.

Метод 2. Можете да намерите LCM, като разложите оригиналните числа на прости множители.
След разлагането е необходимо да се зачеркнат еднакви числа от получената серия от прости множители. Останалите числа от първото число ще бъдат множител за второто, а останалите числа от второто ще бъдат множител за първото.

Примерза номера 75 и 60.
Най-малкото общо кратно на числата 75 и 60 може да се намери, без да се записват подред кратните на тези числа. За да направите това, нека разделим 75 и 60 на прости множители:
75 = 3 * 5 * 5, а
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Както можете да видите, фактори 3 и 5 се появяват и в двата реда. Мислено ги „зачеркваме“.
Нека запишем останалите фактори, включени в разширяването на всяко от тези числа. При разлагането на числото 75 ни остава числото 5, а при разлагането на числото 60 ни остава 2 * 2
Това означава, че за да определим LCM за числата 75 и 60, трябва да умножим останалите числа от разширението на 75 (това е 5) по 60 и да умножим числата, останали от разширението на 60 (това е 2 * 2) по 75. Тоест за по-лесно разбиране казваме, че умножаваме „на кръст“.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Ето как намерихме LCM за числата 60 и 75. Това е числото 300.

Пример. Определете LCM за числата 12, 16, 24
В този случай нашите действия ще бъдат малко по-сложни. Но първо, както винаги, нека разложим на множители всички числа
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
За да определим правилно LCM, избираме най-малкото от всички числа (това е числото 12) и последователно преминаваме през неговите множители, като ги зачертаваме, ако в поне един от другите редове с числа срещнем същия множител, който все още не е е зачеркнат.

Етап 1 . Виждаме, че 2 * 2 се среща във всички серии от числа. Нека ги зачеркнем.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Стъпка 2. В простите множители на числото 12 остава само числото 3. Но то присъства в простите множители на числото 24. Задраскваме числото 3 от двата реда, докато за числото 16 не се очакват действия. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Както можете да видите, при разлагането на числото 12 ние „задраскахме“ всички числа. Това означава, че констатацията на LOC е завършена. Остава само да се изчисли стойността му.
За числото 12 вземете останалите множители на числото 16 (следващото във възходящ ред)
12 * 2 * 2 = 48
Това е НОК

Както можете да видите, в този случай намирането на LCM беше малко по-трудно, но когато трябва да го намерите за три или повече числа, този методви позволява да го направите по-бързо. Въпреки това и двата метода за намиране на LCM са правилни.

Нека разгледаме разрешаването на следния проблем. Стъпката на момчето е 75 см, а на момичето 60 см. Необходимо е да се намери най-малкото разстояние, на което двамата правят цял ​​брой крачки.

Решение.Целият път, който децата ще изминат, трябва да се дели на 60 и 70, тъй като всяко от тях трябва да направи цял брой стъпки. С други думи, отговорът трябва да е кратен както на 75, така и на 60.

Първо ще запишем всички кратни на числото 75. Получаваме:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Сега нека запишем числата, които ще бъдат кратни на 60. Получаваме:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Сега намираме числата, които са в двата реда.

• Общите кратни на числата биха били 300, 600 и т.н.

Най-малкото от тях е числото 300. В този случай ще се нарича най-малкото общо кратно на числата 75 и 60.

Връщайки се към условието на проблема, най-малкото разстояние, на което момчетата ще направят цял ​​брой стъпки, ще бъде 300 см. Момчето ще измине този път в 4 стъпки, а момичето ще трябва да направи 5 стъпки.

Определяне на най-малкото общо кратно

• Най-малкото общо кратно на две естествени числа a и b е най-малкото естествено число, което е кратно и на a, и на b.

За да намерите най-малкото общо кратно на две числа, не е необходимо да записвате всички кратни на тези числа подред.

Можете да използвате следния метод.

Как да намерим най-малкото общо кратно

Първо трябва да разложите тези числа на прости множители.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Сега нека запишем всички множители, които са в разширението на първото число (2,2,3,5) и добавим към него всички липсващи множители от разширението на второто число (5).

В резултат на това получаваме поредица от прости числа: 2,2,3,5,5. Произведението на тези числа ще бъде най-малко общият множител за тези числа. 2*2*3*5*5 = 300.

Обща схема за намиране на най-малкото общо кратно

• 1. Разделете числата на прости множители.
• 2. Запишете простите множители, които са част от един от тях.
• 3. Добавете към тези фактори всички, които са в експанзията на другите, но не и в избрания.
• 4. Намерете произведението на всички записани множители.

Този метод е универсален. Може да се използва за намиране на най-малкото общо кратно на произволен брой естествени числа.