Както показва практиката, задачите върху свойствата и графиките на квадратична функция причиняват сериозни трудности. Това е доста странно, защото те изучават квадратичната функция в 8-ми клас, а след това през първата четвърт на 9-ти клас „измъчват“ свойствата на параболата и изграждат нейните графики за различни параметри.

Това се дължи на факта, че когато принуждават учениците да конструират параболи, те практически не отделят време за „четене“ на графиките, тоест не се упражняват да разбират информацията, получена от картината. Очевидно се предполага, че след като построи дузина или две графики, умният ученик сам ще открие и формулира връзката между коефициентите във формулата и външен видграфични изкуства. На практика това не работи. За такова обобщение е необходим сериозен опит в математическите мини-изследвания, какъвто повечето деветокласници, разбира се, не притежават. Междувременно Държавният инспекторат предлага да се определят знаците на коефициентите с помощта на графика.

Ние няма да изискваме невъзможното от учениците и просто ще предложим един от алгоритмите за решаване на такива проблеми.

И така, функция на формата y = ax 2 + bx + cнаречена квадратична, нейната графика е парабола. Както подсказва името, основният термин е брадва 2. Това е Ане трябва да е равна на нула, останалите коефициенти ( bИ с) може да е равно на нула.

Нека видим как знаците на нейните коефициенти влияят на външния вид на парабола.

Най-простата зависимост за коеф А. Повечето ученици уверено отговарят: „ако А> 0, тогава клоновете на параболата са насочени нагоре и ако А < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой А > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

В такъв случай А = 0,5

А сега за А < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

В такъв случай А = - 0,5

Влияние на коеф сОсвен това е доста лесно за следване. Нека си представим, че искаме да намерим стойността на функция в точка х= 0. Заместете нула във формулата:

г = а 0 2 + b 0 + ° С = ° С. Оказва се, че y = c. Това е се ординатата на пресечната точка на параболата с оста y. Обикновено тази точка се намира лесно на графиката. И определете дали е над нулата или под. Това е с> 0 или с < 0.

с > 0:

y = x 2 + 4x + 3

с < 0

y = x 2 + 4x - 3

Съответно, ако с= 0, тогава параболата задължително ще премине през началото:

y = x 2 + 4x

По-трудно с параметъра b. Точката, в която ще го открием, зависи не само от bно и от А. Това е върхът на параболата. Неговата абциса (координата на оста х) се намира по формулата x in = - b/(2a). По този начин, b = - 2ax in. Тоест, ние действаме по следния начин: намираме върха на параболата на графиката, определяме знака на нейната абциса, тоест гледаме вдясно от нулата ( x в> 0) или наляво ( x в < 0) она лежит.

Това обаче не е всичко. Трябва да обърнем внимание и на знака на коефициента А. Тоест погледнете накъде са насочени клоните на параболата. И едва след това, според формулата b = - 2ax inопредели знака b.

Да разгледаме един пример:

Клоните са насочени нагоре, което означава А> 0, параболата пресича оста припод нула означава с < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x в> 0. И така b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: А > 0, b < 0, с < 0.

Научете се да приемате производни на функции.Производната характеризира скоростта на промяна на функция в определена точка, разположена на графиката на тази функция. В този случай графиката може да бъде както права, така и крива линия. Тоест, производната характеризира скоростта на промяна на функция в определен момент от време. Помня Общи правила, по които се вземат производни, и едва тогава се преминава към следващата стъпка.

• Прочети статията.
• Как да вземем най-простите производни, например производна експоненциално уравнение, описано. Изчисленията, представени в следващите стъпки, ще се основават на описаните там методи.

Научете се да различавате задачи, при които наклонът трябва да се изчислява чрез производната на функция.Проблемите не винаги изискват от вас да намерите наклона или производната на функция. Например, може да бъдете помолени да намерите скоростта на промяна на функция в точка A(x,y). Може също да бъдете помолени да намерите наклона на тангентата в точка A(x,y). И в двата случая е необходимо да се вземе производната на функцията.

>> Математика: Линейна функцияи нейния график

Линейна функция и нейната графика

Алгоритъмът за построяване на графика на уравнението ax + by + c = 0, който формулирахме в § 28, въпреки цялата му яснота и сигурност, математиците не харесват много. Те обикновено правят твърдения за първите две стъпки на алгоритъма. Защо, казват те, решаваме уравнението два пъти за променливата y: първо ax1 + by + c = O, след това ax1 + by + c = O? Не е ли по-добре веднага да изразите y от уравнението ax + by + c = 0, тогава ще бъде по-лесно да се извършват изчисления (и най-важното - по-бързо)? Да проверим. Нека първо да разгледаме уравнението 3x - 2y + 6 = 0 (вижте пример 2 от § 28).

Като давате конкретни стойности на x, е лесно да изчислите съответните стойности на y. Например за x = 0 получаваме y = 3; при x = -2 имаме y = 0; за x = 2 имаме y = 6; за x = 4 получаваме: y = 9.

Виждате колко лесно и бързо бяха намерени точките (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) и (4; 9), които бяха подчертани в пример 2 от § 28.

По същия начин уравнението bx - 2y = 0 (вижте пример 4 от § 28) може да се преобразува във формата 2y = 16 -3x. освен това y = 2.5x; не е трудно да се намерят точки (0; 0) и (2; 5), които удовлетворяват това уравнение.

И накрая, уравнението 3x + 2y - 16 = 0 от същия пример може да се преобразува във формата 2y = 16 -3x и тогава не е трудно да се намерят точки (0; 0) и (2; 5), които го удовлетворяват.

Нека сега разгледаме тези трансформации в общ вид.

По този начин линейното уравнение (1) с две променливи x и y винаги може да бъде преобразувано до формата
y = kx + m, (2) където k, m са числа (коефициенти) и .

Ще наричаме този конкретен тип линейно уравнение линейна функция.

С помощта на равенство (2) е лесно да се посочи конкретна стойност на x и да се изчисли съответната стойност на y. нека например

y = 2x + 3. Тогава:
ако x = 0, тогава y = 3;
ако x = 1, тогава y = 5;
ако x = -1, тогава y = 1;
ако x = 3, тогава y = 9 и т.н.

Обикновено тези резултати се представят във формуляра маси:

Стойностите на y от втория ред на таблицата се наричат ​​стойностите на линейната функция y = 2x + 3, съответно в точките x = 0, x = 1, x = -1, x = - 3.

В уравнение (1) променливите hnu са равни, но в уравнение (2) не са: ние присвояваме конкретни стойности на една от тях - променлива x, докато стойността на променлива y зависи от избраната стойност на променлива x. Затова обикновено казваме, че x е независимата променлива (или аргумент), y е зависимата променлива.

Моля, обърнете внимание: линейна функция е специален типлинейно уравнение с две променливи. Графика на уравнение y - kx + m, като всяко линейно уравнение с две променливи, е права линия - нарича се още графика на линейната функция y = kx + m. Следователно следната теорема е валидна.

Пример 1.Постройте графика на линейната функция y = 2x + 3.

Решение. Нека направим таблица:

Във втората ситуация независимата променлива x, която, както в първата ситуация, обозначава броя на дните, може да приема само стойностите 1, 2, 3, ..., 16. Наистина, ако x = 16, след това използвайки формулата y = 500 - 30x намираме: y = 500 - 30 16 = 20. Това означава, че още на 17-ия ден няма да е възможно да извадите 30 тона въглища от склада, тъй като до този ден само 20 тона ще останат в склада и процесът на извозване на въглищата ще трябва да бъде спрян. Следователно усъвършенстваният математически модел на втората ситуация изглежда така:

y = 500 - ZOD:, където x = 1, 2, 3, .... 16.

В третата ситуация, независимо променлива x теоретично може да приеме всякаква неотрицателна стойност (например x стойност = 0, x стойност = 2, x стойност = 3,5 и т.н.), но на практика туристът не може да ходи с постоянна скорост без сън и почивка за каквото и да е количество от време . Така че трябваше да направим разумни ограничения на x, да речем 0< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

Припомнете си, че геометричният модел на нестрогото двойно неравенство 0< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

Нека се съгласим да напишем вместо фразата „x принадлежи на множеството X“ (да се чете: „елементът x принадлежи на множеството X“, e е знакът за принадлежност). Както можете да видите, нашето запознаване с математическия език непрекъснато продължава.

Ако линейната функция y = kx + m трябва да се разглежда не за всички стойности на x, а само за стойности на x от определен числов интервал X, тогава те пишат:

Пример 2. Графика на линейна функция:

Решение, а) Нека направим таблица за линейната функция y = 2x + 1

Нека построим точки (-3; 7) и (2; -3) на координатната равнина xOy и да начертаем права линия през тях. Това е графика на уравнението y = -2x: + 1. След това изберете сегмент, свързващ построените точки (фиг. 38). Този сегмент е графиката на линейната функция y = -2x+1, където xe [-3, 2].

Обикновено казват следното: начертали сме линейна функция y = - 2x + 1 върху сегмента [- 3, 2].

б) Как този пример се различава от предишния? Линейната функция е същата (y = -2x + 1), което означава, че същата права линия служи като нейна графика. Но внимавай! - този път x e (-3, 2), т.е. стойностите x = -3 и x = 2 не се вземат предвид, те не принадлежат към интервала (- 3, 2). Как отбелязахме краищата на интервал върху координатна права? Светли кръгове (фиг. 39), говорихме за това в § 26. По същия начин, точки (- 3; 7) и B; - 3) ще трябва да бъдат отбелязани на чертежа със светли кръгове. Това ще ни напомни, че са взети само онези точки от правата y = - 2x + 1, които лежат между точките, отбелязани с кръгове (фиг. 40). Но понякога в такива случаи те използват стрелки, а не светли кръгове (фиг. 41). Това не е фундаментално, основното е да разберете какво се казва.

Пример 3.Намерете най-голямата и най-малката стойност на линейна функция върху сегмента.
Решение. Нека направим таблица за линейна функция

Нека да построим точки (0; 4) и (6; 7) на координатната равнина xOy и да начертаем права линия през тях - графика на линейната функция x (фиг. 42).

Трябва да разгледаме тази линейна функция не като цяло, а върху сегмент, т.е. за x e.

Съответният сегмент от графиката е маркиран на чертежа. Забелязваме, че най-голямата ордината на точките, принадлежащи на избраната част, е равна на 7 - това е най-висока стойностлинейна функция върху сегмента. Обикновено се използва следната нотация: y max =7.

Отбелязваме, че най-малката ордината на точките, принадлежащи към частта от линията, маркирана на фигура 42, е равна на 4 - това е най-малката стойност на линейната функция върху сегмента.
Обикновено се използва следната нотация: y име. = 4.

Пример 4.Намерете y naib и y naim. за линейна функция y = -1,5x + 3,5

а) на сегмента; б) на интервала (1.5);
в) на полуинтервал.

Решение. Нека направим таблица за линейната функция y = -l.5x + 3.5:

Нека построим точки (1; 2) и (5; - 4) на координатната равнина xOy и да начертаем права линия през тях (фиг. 43-47). Нека изберем върху построената права линия частта, съответстваща на стойностите x от сегмента (фиг. 43), от интервала A, 5) (фиг. 44), от полуинтервала (фиг. 47).

а) Използвайки фигура 43, е лесно да се заключи, че y max = 2 (линейната функция достига тази стойност при x = 1) и y min. = - 4 (линейната функция достига тази стойност при x = 5).

б) Използвайки фигура 44, заключаваме: тази линейна функция няма нито най-големите, нито най-малките стойности на даден интервал. Защо? Факт е, че за разлика от предишния случай, двата края на сегмента, в които са достигнати най-големите и най-малките стойности, са изключени от разглеждане.

c) Използвайки фигура 45, заключаваме, че y max. = 2 (както в първия случай), и най-ниска стойностлинейната функция не (както във втория случай).

d) Използвайки фигура 46, заключаваме: y max = 3,5 (линейната функция достига тази стойност при x = 0) и y max. не съществува.

д) Използвайки фигура 47, заключаваме: y max = -1 (линейната функция достига тази стойност при x = 3), а y max не съществува.

Пример 5. Графика на линейна функция

y = 2x - 6. Използвайте графиката, за да отговорите на следните въпроси:

а) при каква стойност на x ще y = 0?
б) за какви стойности на x ще y > 0?
в) при какви стойности на x ще y< 0?

Решение Нека направим таблица за линейната функция y = 2x-6:

През точките (0; - 6) и (3; 0) прекарваме права линия - графиката на функцията y = 2x - 6 (фиг. 48).

а) y = 0 при x = 3. Графиката пресича оста x в точката x = 3, това е точката с ордината y = 0.
b) y > 0 за x > 3. Всъщност, ако x > 3, тогава правата е разположена над оста x, което означава, че ординатите на съответните точки на правата са положителни.

в) при< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

Моля, обърнете внимание, че в този пример използвахме графиката за решаване на:

а) уравнение 2x - 6 = 0 (получихме x = 3);
б) неравенство 2x - 6 > 0 (получихме x > 3);
в) неравенство 2x - 6< 0 (получили х < 3).

Коментирайте. На руски език един и същ обект често се нарича по различен начин, например: „къща“, „сграда“, „постройка“, „вила“, „имение“, „барака“, „барака“, „хижа“. На математически език ситуацията е приблизително същата. Да кажем, равенството с две променливи y = kx + m, където k, m са конкретни числа, може да се нарече линейна функция, може да се нарече линейно уравнениес две променливи x и y (или с две неизвестни x и y), може да се нарече формула, може да се нарече връзка, свързваща x и y, накрая може да се нарече зависимост между x и y. Няма значение, основното е да разберете това във всички случаи ние говорим заО математически модел y = kx + m

.

Помислете за графиката на линейната функция, показана на фигура 49, а. Ако се движим по тази графика отляво надясно, тогава ординатите на точките на графиката се увеличават през цялото време, сякаш се „изкачваме по хълм“. В такива случаи математиците използват термина нарастване и казват следното: ако k>0, тогава линейната функция y = kx + m нараства.

Помислете за графиката на линейната функция, показана на фигура 49, b. Ако се движим по тази графика отляво надясно, тогава ординатите на точките на графиката намаляват през цялото време, сякаш „слизаме по хълм“. В такива случаи математиците използват термина намаление и казват следното: ако k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.

Линейна функция в живота

Сега нека обобщим тази тема. Вече се запознахме с такава концепция като линейна функция, знаем нейните свойства и се научихме как да изграждаме графики. Освен това разгледахте специални случаи на линейна функция и открихте от какво зависи взаимно споразумениеграфики на линейни функции. Но се оказва, че в нашата Ежедневиетоние също постоянно се пресичаме с този математически модел.

Нека помислим какви ситуации от реалния живот са свързани с такова понятие като линейни функции? И също така, между какви количества или житейски ситуации е възможно да се установи линейна връзка?

Много от вас вероятно не разбират напълно защо трябва да изучават линейни функции, защото е малко вероятно това да е полезно в по-късен живот. Но тук грешите дълбоко, защото ние се сблъскваме с функции през цялото време и навсякъде. Защото дори редовният месечен наем също е функция, която зависи от много променливи. И тези променливи включват квадратни метри, брой жители, тарифи, потребление на електроенергия и т.н.

Разбира се, най-често срещаните примери за функции на линейна зависимост, които сме срещали, са в часовете по математика.

Вие и аз решавахме задачи, в които намирахме разстоянията, изминати от коли, влакове или пешеходци с определена скорост. Това са линейни функции на времето на движение. Но тези примери са приложими не само в математиката, те присъстват и в ежедневието ни.

Калоричното съдържание на млечните продукти зависи от съдържанието на мазнини и тази зависимост обикновено е линейна. Например, когато процентът на мазнини в заквасената сметана се увеличи, калоричното съдържание на продукта също се увеличава.

Сега нека направим изчисленията и намерим стойностите на k и b чрез решаване на системата от уравнения:

Сега нека изведем формулата на зависимостта:

В резултат на това получихме линейна зависимост.

За да се знае скоростта на разпространение на звука в зависимост от температурата, е възможно да се намери с помощта на формулата: v = 331 +0,6t, където v е скоростта (в m/s), t е температурата. Ако начертаем графика на тази зависимост, ще видим, че тя ще бъде линейна, тоест ще представлява права линия.

И такива практически употребизнанията в прилагането на линейната функционална зависимост могат да бъдат изброявани дълго време. Като се започне от телефонните такси, дължината и растежа на косата и дори поговорките в литературата. И този списък продължава и продължава.

Календарно-тематично планиране по математика, видеопо математика онлайн, Математика в училище изтегляне

А. В. Погорелов, Геометрия за 7-11 клас, Учебник за учебни заведения

Дефиниция на линейна функция

Нека въведем дефиницията на линейна функция

Определение

Функция от вида $y=kx+b$, където $k$ не е нула, се нарича линейна функция.

Графиката на линейна функция е права линия. Извиква се числото $k$ наклонправ.

Когато $b=0$ линейната функция се нарича функция на права пропорционалност $y=kx$.

Разгледайте Фигура 1.

Ориз. 1. Геометрично значение на наклона на линия

Да разгледаме триъгълника ABC. Виждаме, че $ВС=kx_0+b$. Да намерим пресечната точка на правата $y=kx+b$ с оста $Ox$:

\ \

Така че $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Нека намерим отношението на тези страни:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

От друга страна, $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

Така можем да направим следния извод:

Заключение

Геометрично значениекоефициент $k$. Ъгловият коефициент на правата линия $k$ е равен на тангенса на ъгъла на наклона на тази права линия спрямо оста $Ox$.

Изследване на линейната функция $f\left(x\right)=kx+b$ и нейната графика

Първо, разгледайте функцията $f\left(x\right)=kx+b$, където $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Следователно тази функция се увеличава в цялата област на дефиниция. Няма крайни точки.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Графика (фиг. 2).

Ориз. 2. Графики на функцията $y=kx+b$, за $k > 0$.

Сега разгледайте функцията $f\left(x\right)=kx$, където $k

1. Областта на дефиниция са всички числа.
2. Диапазонът от стойности е всички числа.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Функцията не е нито четна, нито нечетна.
4. За $x=0,f\left(0\right)=b$. Когато $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Пресечни точки с координатни оси: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ и $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Следователно функцията няма инфлексни точки.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Графика (фиг. 3).