Segmentin funktion pienimpien ja suurimpien arvojen etsiminen muistuttaa kiehtovaa lentoa kohteen ympäri (funktiokaavio) helikopterissa, jossa ammutaan tiettyihin pisteisiin pitkän kantaman tykistä ja valitaan hyvin erityisiä pisteitä. näistä pisteistä kontrollilaukauksiin. Pisteet valitaan tietyllä tavalla ja sen mukaan tietyt säännöt. millä säännöillä? Puhumme tästä lisää.
Jos toiminto y = f(x) on jatkuva aikavälillä [ a, b] , niin se saavuttaa tämän segmentin vähiten Ja korkeimmat arvot . Tämä voi tapahtua joko sisällä ääripisteet, tai jakson päissä. Siksi löytää vähiten Ja funktion suurimmat arvot , jatkuva aikavälillä [ a, b], sinun on laskettava sen arvot kokonaisuudessaan kriittiset kohdat ja segmentin päissä ja valitse sitten niistä pienin ja suurin.
Anna esimerkiksi sinun määrittää korkein arvo toimintoja f(x) segmentillä [ a, b] . Tätä varten sinun on löydettävä kaikki sen kriittiset pisteet [ a, b] .
Kriittinen piste kutsutaan pisteeksi, jossa funktio määritetty, ja hän johdannainen joko yhtä suuri kuin nolla tai sitä ei ole olemassa. Sitten sinun tulee laskea funktion arvot kriittisissä pisteissä. Ja lopuksi on verrattava funktion arvoja kriittisissä pisteissä ja segmentin päissä ( f(a) Ja f(b)). Suurin näistä luvuista tulee olemaan segmentin funktion suurin arvo [a, b] .
Löytämisen ongelmat pienimmät funktioarvot .
Etsimme yhdessä funktion pienimmän ja suurimman arvon
Esimerkki 1. Etsi funktion pienin ja suurin arvo 
segmentillä [-1, 2]
.
Ratkaisu. Etsi tämän funktion derivaatta. Yhdistätään derivaatta nollaan () ja saadaan kaksi kriittistä pistettä: ja . Tietyn segmentin funktion pienimmän ja suurimman arvon löytämiseksi riittää laskea sen arvot janan päissä ja pisteessä, koska piste ei kuulu segmenttiin [-1, 2]. Nämä funktioarvot ovat: , , . Seuraa, että pienin funktion arvo(merkitty punaisella alla olevassa kaaviossa), joka on yhtä suuri kuin -7, saavutetaan segmentin oikeassa päässä - kohdassa , ja suurin(myös punainen kaaviossa), on 9, - kriittisessä pisteessä.
Jos funktio on jatkuva tietyllä aikavälillä ja tämä intervalli ei ole jana (mutta on esimerkiksi intervalli; intervallin ja janan välinen ero: intervallin rajapisteet eivät sisälly väliin, mutta janan rajapisteet sisällytetään segmenttiin), niin funktion arvojen joukossa ei välttämättä ole pienintä ja suurinta. Joten esimerkiksi alla olevassa kuvassa näkyvä funktio on jatkuva ]-∞, +∞[, eikä sillä ole suurinta arvoa.
Kuitenkin mille tahansa välille (suljettu, avoin tai ääretön) seuraava jatkuvien funktioiden ominaisuus on tosi.
Esimerkki 4. Etsi funktion pienin ja suurin arvo segmentillä [-1, 3] .
Ratkaisu. Löydämme tämän funktion derivaatan osamäärän derivaatana:
.
Yhdistämme derivaatan nollaan, mikä antaa meille yhden Kriittinen piste: . Se kuuluu segmenttiin [-1, 3] . Löytääksemme funktion pienimmän ja suurimman arvon tietyltä segmentiltä, löydämme sen arvot segmentin päistä ja löydetystä kriittisestä pisteestä:
Verrataan näitä arvoja. Johtopäätös: yhtä suuri kuin -5/13, kohdassa ja korkein arvo yhtä suuri kuin 1 kohdassa .
Jatkamme funktion pienimpien ja suurimpien arvojen etsimistä yhdessä
On opettajia, jotka funktion pienimpien ja suurimpien arvojen löytämisestä eivät anna opiskelijoille ratkaistavaksi esimerkkejä, jotka ovat monimutkaisempia kuin juuri käsitellyt, eli niitä, joissa funktio on polynomi tai murtoluku, jonka osoittaja ja nimittäjä ovat polynomeja. Mutta emme rajoitu tällaisiin esimerkkeihin, koska opettajien joukossa on niitä, jotka haluavat pakottaa opiskelijat ajattelemaan kokonaan (johdannaisten taulukko). Siksi käytetään logaritmia ja trigonometristä funktiota.
Esimerkki 6. Etsi funktion pienin ja suurin arvo segmentillä .
Ratkaisu. Löydämme tämän funktion johdannaisen muodossa tuotteen johdannainen :
Yhdistämme derivaatan nollaan, mikä antaa yhden kriittisen pisteen: . Se kuuluu segmenttiin. Löytääksemme funktion pienimmän ja suurimman arvon tietyltä segmentiltä, löydämme sen arvot segmentin päistä ja löydetystä kriittisestä pisteestä:
Kaikkien toimien tulos: toiminto saavuttaa pienin arvo , yhtä suuri kuin 0, pisteessä ja pisteessä ja korkein arvo, yhtä suuri e², pisteessä.
Esimerkki 7. Etsi funktion pienin ja suurin arvo 
segmentillä .
Ratkaisu. Etsi tämän funktion derivaatta:
Yhdistämme derivaatan nollaan:
Ainoa kriittinen piste kuuluu segmenttiin. Löytääksemme funktion pienimmän ja suurimman arvon tietyltä segmentiltä, löydämme sen arvot segmentin päistä ja löydetystä kriittisestä pisteestä:
Johtopäätös: funktio saavuttaa minimiarvonsa, yhtä suuri kuin , pisteessä ja korkein arvo, yhtäläinen , kohdassa .
Sovelletuissa äärimmäisissä ongelmissa funktion pienimpien (maksimi) arvojen löytäminen laskeutuu yleensä minimin (maksimi) löytämiseen. Mutta itse minimit tai maksimiarvot eivät ole suurempaa käytännön mielenkiintoa, vaan ne argumentin arvot, joilla ne saavutetaan. Sovellettuja ongelmia ratkaistaessa syntyy lisävaikeus - funktioiden muodostaminen, jotka kuvaavat tarkasteltavaa ilmiötä tai prosessia.
Esimerkki 8. Säiliö, jonka tilavuus on 4 ja joka on suuntaissärmiön muotoinen neliömäisellä pohjalla ja ylhäältä avoin, on tinattava. Minkä kokoinen säiliön tulee olla, jotta sen peittämiseen kuluisi mahdollisimman vähän materiaalia?
Ratkaisu. Antaa x- pohjapuoli, h- säiliön korkeus, S- sen pinta-ala ilman kantta, V- sen tilavuus. Säiliön pinta-ala ilmaistaan kaavalla, ts. on kahden muuttujan funktio. Ilmaista S yhden muuttujan funktiona käytämme sitä tosiasiaa, että mistä . Korvaa löydetyn lausekkeen h kaavaan S:
Tarkastellaan tätä funktiota sen ääripäihin asti. Se on määritelty ja differentioituva kaikkialla ]0:ssa, +∞[ , ja
.
Yhdistämme derivaatan nollaan () ja löydämme kriittisen pisteen. Lisäksi, kun derivaatta ei ole olemassa, mutta tämä arvo ei sisälly määritelmäalueeseen, eikä se siksi voi olla ääripiste. Tämä on siis ainoa kriittinen kohta. Tarkastetaan ääripään olemassaolo toisella riittävällä merkillä. Etsitään toinen derivaatta. Kun toinen derivaatta on suurempi kuin nolla (). Tämä tarkoittaa, että kun toiminto saavuttaa minimin 
. Tästä lähtien minimi on tämän funktion ainoa ääriarvo, se on sen pienin arvo. Joten säiliön pohjan sivun tulee olla 2 m ja sen korkeuden tulee olla .
Esimerkki 9. Kohdasta A sijaitsee rautatien varrella, pisteeseen KANSSA, joka sijaitsee kaukana siitä l, rahti on kuljetettava. Painoyksikön kuljetuksen hinta etäisyysyksikköä kohti rautateitse on yhtä suuri kuin ja maanteillä se on yhtä suuri kuin . Mihin pisteeseen M rivit rautatie pitäisi rakentaa moottoritie rahtia kuljettamaan A V KANSSA oli edullisin (kohta AB rautatien oletetaan olevan suora)?
Tässä artikkelissa aion puhua algoritmi suurimman ja pienimmän arvon löytämiseksi funktiot, minimi- ja maksimipisteet.
Teoriassa siitä on meille varmasti hyötyä johdannainen taulukko Ja eriyttämissäännöt. Kaikki on tällä lautasella:
Algoritmi suurimman ja pienimmän arvojen löytämiseksi.
Minusta on helpompi selittää konkreettinen esimerkki. Harkitse:
Esimerkki: Etsi janan [–4;0] funktion y=x^5+20x^3–65x suurin arvo.
Vaihe 1. Otamme johdannaisen.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
Vaihe 2.Ääripisteiden löytäminen.
Äärimmäinen piste kutsumme niitä pisteitä, joissa funktio saavuttaa suurimman tai pienimmän arvonsa.
Ääripisteiden löytämiseksi sinun on rinnastettava funktion derivaatta nollaan (y" = 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Nyt ratkaisemme tämän bikvadraattisen yhtälön ja löydetyt juuret ovat ääripisteemme.
Ratkaisen tällaiset yhtälöt korvaamalla t = x^2, sitten 5t^2 + 60t - 65 = 0.
Pienennetään yhtälöä 5:llä, saadaan: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Teemme käänteisen muutoksen x^2 = t:
X_(1 ja 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 ja 4) = ±sqrt(-13) (suljemme pois, ei voi olla negatiivisia lukuja, ellemme tietysti puhu kompleksiluvuista)
Yhteensä: x_(1) = 1 ja x_(2) = -1 - nämä ovat ääripisteemme.
Vaihe 3. Määritä suurin ja pienin arvo.
Korvausmenetelmä.
Ehdossa meille annettiin segmentti [b][–4;0]. Piste x=1 ei sisälly tähän segmenttiin. Emme siis harkitse sitä. Mutta pisteen x=-1 lisäksi meidän on otettava huomioon myös vasen ja oikea reuna segmenttimme, eli pisteet -4 ja 0. Tätä varten korvaamme kaikki nämä kolme pistettä alkuperäiseen funktioon. Huomaa, että alkuperäinen on se, joka on annettu ehdossa (y=x^5+20x^3–65x), jotkut ihmiset alkavat korvata sen johdannaiseksi...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024-1280 + 260 = -2044
Tämä tarkoittaa, että funktion suurin arvo on [b]44 ja se saavutetaan pisteessä [b]-1, jota kutsutaan funktion maksimipisteeksi janalla [-4; 0].
Päätimme ja saimme vastauksen, olemme mahtavia, voit rentoutua. Mutta lopeta! Eikö y(-4):n laskeminen ole jotenkin liian vaikeaa? Rajoitetun ajan olosuhteissa on parempi käyttää toista menetelmää, kutsun sitä näin:
Merkin pysyvyyden välien kautta.
Nämä välit löytyvät funktion derivaatalle eli bikvadraattiselle yhtälöllemme.
Teen sen näin. Piirrän suunnatun segmentin. Sijoitan pisteet: -4, -1, 0, 1. Huolimatta siitä, että 1 ei sisälly annettuun segmenttiin, se tulee silti huomioida, jotta etumerkin pysyvyysvälit voidaan määrittää oikein. Otetaan jokin luku monta kertaa suurempi kuin 1, vaikkapa 100, ja korvataan se mentaalisesti kaksikvadraattiseen yhtälöimme 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Jopa ilman mitään laskemista käy ilmi, että pisteessä 100 funktiossa on plusmerkki. Tämä tarkoittaa, että välissä 1-100 sillä on plusmerkki. Kun kuljemme 1:n läpi (menemme oikealta vasemmalle), funktio muuttaa merkin miinukseksi. Kun funktio kulkee pisteen 0 kautta, se säilyttää etumerkkinsä, koska tämä on vain janan raja, ei yhtälön juuri. Kun funktio kulkee -1:n läpi, funktio vaihtaa merkin jälleen plussaksi.
Teoriasta tiedämme, että missä funktion derivaatta on (ja piirsimme tämän juuri sitä varten) vaihtaa merkki plussasta miinusmerkkiin (kohta -1 meidän tapauksessamme) toiminto saavuttaa sen paikallinen maksimi (y(-1)=44, kuten aiemmin laskettu) tällä segmentillä (tämä on loogisesti hyvin ymmärrettävää, funktio lakkasi kasvamasta, koska se saavutti maksiminsa ja alkoi laskea).
Näin ollen missä funktion derivaatta muuttaa merkkiä miinuksesta plussaksi, on saavutettu funktion paikallinen minimi. Kyllä, kyllä, havaitsimme myös, että paikallinen minimipiste on 1, ja y(1) on segmentin funktion minimiarvo, sanotaan välillä -1 - +∞. Huomaa, että tämä on vain PAIKALLINEN MINIMI, eli tietyn segmentin minimi. Koska funktion todellinen (globaali) minimi saavuttaa jonnekin siellä, kohdassa -∞.
Ensimmäinen menetelmä on mielestäni teoreettisesti yksinkertaisempi ja toinen aritmeettisten operaatioiden kannalta yksinkertaisempi, mutta teorian kannalta paljon monimutkaisempi. Onhan joskus tapauksia, joissa funktio ei vaihda etumerkkiä yhtälön juuren läpi, ja yleensä voit hämmentyä näihin paikallisiin, globaaleihin maksimiin ja minimiin, vaikka sinun on joka tapauksessa hallittava tämä hyvin, jos aikoo päästä teknilliseen yliopistoon (ja miksi muuten ottaa profiilin Unified State Exam ja ratkaista tämä tehtävä). Mutta harjoittelu ja vain harjoitus opettaa sinua ratkaisemaan tällaiset ongelmat lopullisesti. Ja voit harjoitella verkkosivuillamme. täällä .
Jos sinulla on kysyttävää tai jokin on epäselvää, kysy. Vastaan sinulle mielelläni ja teen muutoksia ja lisäyksiä artikkeliin. Muista, että teemme tämän sivuston yhdessä!
Funktion suurin (pienin) arvo on suurin (pienin) hyväksytty ordinaatan arvo tarkasteluvälillä.
Löytääksesi funktion suurimman tai pienimmän arvon sinun tulee:
- Tarkista, mitkä kiinteät pisteet sisältyvät tiettyyn segmenttiin.
- Laske funktion arvo janan päissä ja kiinteissä pisteissä vaiheesta 3 alkaen
- Valitse saaduista tuloksista suurin tai pienin arvo.
Löytääksesi enimmäis- tai vähimmäispisteet sinun on:
- Etsi funktion $f"(x)$ derivaatta
- Etsi kiinteät pisteet ratkaisemalla yhtälö $f"(x)=0$
- Kerroin funktion derivaatta.
- Piirrä koordinaattiviiva, aseta sille kiinteät pisteet ja määritä derivaatan etumerkit tuloksena olevissa väleissä vaiheessa 3 olevaa merkintää käyttäen.
- Etsi maksimi- tai minimipisteet säännön mukaan: jos derivaatta muuttaa jossain pisteessä etumerkkiä plussasta miinukseen, niin tämä on maksimipiste (jos miinuksesta plussaan, niin tämä on minimipiste). Käytännössä on kätevää käyttää nuolien kuvaa intervalleilla: intervalleilla, joissa derivaatta on positiivinen, nuoli piirretään ylöspäin ja päinvastoin.
Taulukko joidenkin perusfunktioiden johdannaisista:
| Toiminto | Johdannainen |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n, n∈N$ | $nx^(n-1), n∈N$ |
| $(1)/(x)$ | $-(1)/(x^2)$ |
| $(1)/x(^n), n∈N$ | $-(n)/(x^(n+1)), n∈N$ |
| $√^n(x), n∈N$ | $(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | $(1)/(cos^2x)$ |
| $ctgx$ | $-(1)/(sin^2x)$ |
| $cos^2x$ | $-sin2x$ |
| $sin^2x$ | $sin2x$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^xlna$ |
| $lnx$ | $(1)/(x)$ |
| $log_(a)x$ | $(1)/(xlna)$ |
Erottamisen perussäännöt
1. Summan ja erotuksen derivaatta on yhtä suuri kuin kunkin termin derivaatta
$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$
Etsi derivaatta funktiosta $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$
Summan ja erotuksen derivaatta on yhtä suuri kuin kunkin termin derivaatta
$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$
2. Tuotteen johdannainen.
$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$
Etsi derivaatta $f(x)=4x∙cosx$
$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$
3. Osamäärän derivaatta
$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$
Etsi derivaatta $f(x)=(5x^5)/(e^x)$
$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$
4. Johdannainen monimutkainen toiminto yhtä suuri kuin johdannaisen tulo ulkoinen toiminto sisäisen funktion derivaatalle
$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$
$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$
Etsi funktion $y=2x-ln(x+11)+4$ minimipiste
1. Etsi funktion ODZ: $x+11>0; x>-11 $
2. Etsi derivaatta funktiosta $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$
3. Etsi liikkumattomat pisteet vertaamalla derivaatta nollaan
$(2x+21)/(x+11)=0$
Murto-osa on nolla, jos osoittaja on nolla ja nimittäjä ei ole nolla.
$2x+21=0; x≠-11 $
4. Piirretään koordinaattiviiva, sijoitetaan sille kiinteät pisteet ja määritetään derivaatan etumerkit tuloksena olevissa väleissä. Voit tehdä tämän korvaamalla derivaatan mikä tahansa numero oikeanpuoleiselta alueelta, esimerkiksi nolla.
$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$
5. Minimipisteessä derivaatan etumerkki muuttuu miinuksesta plussiksi, joten piste $-10.5$ on minimipiste.
Vastaus: -10,5 dollaria
Etsi funktion $y=6x^5-90x^3-5$ suurin arvo segmentistä $[-5;1]$
1. Etsi funktion $y′=30x^4-270x^2$ derivaatta
2. Yhdistä derivaatta nollaan ja etsi stationaariset pisteet
$30x^4-270x^2=0$
Otetaan kokonaiskerroin $30x^2$ suluista
$30x^2(x^2-9)=0$
$30x^2(x-3)(x+3)=0$
Yhdistäkäämme jokainen tekijä nollaan
$x^2=0 ; x-3 = 0; x+3=0$
$x=0;x=3;x=-3$
3. Valitse kiinteät pisteet, jotka kuuluvat annettuun segmenttiin $[-5;1]$
Kiinteät pisteet $x=0$ ja $x=-3$ sopivat meille
4. Laske funktion arvo janan päissä ja paikallaan olevissa pisteissä vaiheesta 3 alkaen
