Već neko vrijeme u TheBat-u (nije jasno iz kojeg razloga) ugrađena baza certifikata za SSL prestala je ispravno raditi.

Prilikom provjere objave pojavljuje se pogreška:

Nepoznati CA certifikat
Poslužitelj nije predstavio korijenski certifikat u sesiji i odgovarajući korijenski certifikat nije pronađen u adresaru.
Ova veza ne može biti tajna. Molim
kontaktirajte svog administratora poslužitelja.

I nudi se izbor odgovora – DA/NE. I tako svaki put kad pucaš poštu.

Riješenje

U tom slučaju trebate zamijeniti S/MIME i TLS implementacijski standard s Microsoft CryptoAPI u TheBat!

Kako sam trebao sve datoteke spojiti u jednu, prvo sam sve konvertirao doc datoteke u jednu pdf datoteku (koristeći program Acrobat), a zatim prebačen u fb2 putem online konvertora. Možete također pretvoriti datoteke pojedinačno. Formati mogu biti apsolutno bilo koji (izvor) i doc, i jpg, pa čak i zip arhiva!

Naziv stranice odgovara suštini:) Online Photoshop.

Ažuriranje svibanj 2015

Našao sam još jednu sjajnu stranicu! Još praktičniji i funkcionalniji za stvaranje potpuno proizvoljnog kolaža! Ova stranica je http://www.fotor.com/ru/collage/. Koristite na zdravlje. I sam ću ga koristiti.

Suočeni u životu s popravkom električnih štednjaka. Puno toga sam već radio, puno naučio, ali s pločicama sam se nekako malo bavio. Bilo je potrebno zamijeniti kontakte na regulatorima i plamenicima. Postavilo se pitanje - kako odrediti promjer plamenika na električnom štednjaku?

Pokazalo se da je odgovor jednostavan. Ne morate ništa mjeriti, možete mirno odrediti okom koja vam veličina treba.

Najmanji plamenik je 145 milimetara (14,5 centimetara)

Srednji plamenik iznosi 180 milimetara (18 centimetara).

I na kraju najviše veliki plamenik iznosi 225 milimetara (22,5 centimetra).

Dovoljno je odrediti veličinu okom i shvatiti koji vam je promjer potreban plamenik. Kad to nisam znao, bio sam u nesreći s tim veličinama, nisam znao kako mjeriti, kojim rubom se kretati, itd. Sada sam mudar :) Nadam se da je i vama pomoglo!

U životu sam se suočio s takvim problemom. Mislim da nisam jedini.

Proučavanje funkcije provodi se prema jasnoj shemi i zahtijeva od studenta dobro poznavanje osnovnih matematičkih pojmova kao što su domena definicije i vrijednosti, kontinuitet funkcije, asimptota, točke ekstrema, paritet, periodičnost, itd. Učenik mora slobodno razlikovati funkcije i rješavati jednadžbe koje su ponekad vrlo zamršene.

Odnosno, ovaj zadatak testira značajan sloj znanja, svaka praznina u kojoj će postati prepreka za dobivanje točnog rješenja. Osobito često nastaju poteškoće s konstrukcijom grafova funkcija. Ova pogreška učitelju odmah upada u oči i može vam jako pokvariti ocjenu, čak i ako je sve ostalo urađeno kako treba. Ovdje možete pronaći zadaci za proučavanje funkcije online: proučiti primjere, preuzeti rješenja, naručiti zadatke.

Istražite funkciju i dijagram: primjeri i rješenja na mreži

Pripremili smo za vas puno gotovih studija značajki, plaćenih u knjizi rješenja i besplatnih u odjeljku Primjeri istraživanja značajki. Na temelju ovih riješenih zadataka moći ćete se detaljno upoznati s metodologijom izvođenja takvih zadataka, analogno tome, izvršiti vlastito istraživanje.

Nudimo gotove primjere cjelovito istraživanje i crtanje grafa funkcija najčešćih tipova: polinoma, frakcijsko-racionalnih, iracionalnih, eksponencijalnih, logaritamskih, trigonometrijske funkcije. Svaki riješeni problem prati gotov graf s odabranim ključnim točkama, asimptotama, maksimumima i minimumima, a rješenje se provodi prema algoritmu za proučavanje funkcije.

Riješeni primjeri, u svakom slučaju, bit će vam dobra pomoć jer pokrivaju najpopularnije vrste funkcija. Nudimo vam stotine već riješenih problema, ali, kao što znate, na svijetu postoji beskonačan broj matematičkih funkcija, a učitelji su veliki stručnjaci u izmišljanju sve zamršenijih zadataka za siromašne učenike. Dakle, dragi studenti, kvalificirana pomoć vam neće nauditi.

Rješavanje problema za proučavanje funkcije po narudžbi

U tom slučaju naši će vam partneri ponuditi drugu uslugu - potpuna studija online značajke naručiti. Zadatak će biti dovršen za vas u skladu sa svim zahtjevima za algoritam za rješavanje takvih problema, što će jako obradovati vašeg učitelja.

Napravit ćemo kompletnu studiju funkcije za vas: pronaći ćemo domenu definicije i raspon vrijednosti, ispitati kontinuitet i diskontinuitet, postaviti paritet, provjeriti periodičnost vaše funkcije, pronaći točke presjeka s koordinatnim osima . I, naravno, dalje uz pomoć diferencijalnog računa: pronaći ćemo asimptote, izračunati ekstreme, točke infleksije i izgraditi sam graf.

Kako istražiti funkciju i iscrtati njezin graf?

Čini mi se da počinjem shvaćati duševno lice vođe svjetskog proletarijata, autora sabranih djela u 55 svezaka... Dugo putovanje počelo je elementarnim informacijama o funkcije i grafove, a sada rad na napornoj temi završava prirodnim rezultatom - člankom o studiji pune funkcije. Dugo očekivani zadatak formuliran je na sljedeći način:

Istražite funkciju metodama diferencijalnog računa i na temelju rezultata studije izgradite njezin graf

Ili ukratko: ispitajte funkciju i iscrtajte je.

Zašto istraživati? U jednostavnim slučajevima, neće nam biti teško nositi se s tim elementarne funkcije, nacrtajte graf dobiven pomoću elementarne geometrijske transformacije i tako dalje. Međutim, svojstva i grafičke slike više složene funkcije daleko su od očitih, zbog čega je potrebna cijela studija.

Glavni koraci rješenja sažeti su u referentnom materijalu Shema proučavanja funkcije, ovo je vaš vodič za odjeljak. Lutkani trebaju objašnjenje teme korak po korak, neki čitatelji ne znaju odakle započeti i kako organizirati studij, a napredne studente može zanimati samo nekoliko točaka. Ali tko god da ste, dragi posjetitelju, predloženi sažetak s uputama na razne lekcije u najkraće vrijemeće vas orijentirati i voditi u smjeru interesa. Roboti su pustili suzu =) Priručnik je napravljen u obliku pdf datoteke i zauzeo je svoje mjesto na stranici Matematičke formule i tablice.

Rabijao sam proučavanje funkcije u 5-6 točaka:

6) Dodatni bodovi i grafikon na temelju rezultata studije.

Što se tiče završne akcije, mislim da svi sve razumiju - bit će vrlo razočaravajuće ako se za nekoliko sekundi precrta i zadatak vrati na doradu. ISPRAVAN I TOČAN CRTEŽ glavni je rezultat rješenja! Vrlo je vjerojatno da će "pokriti" analitičke propuste, dok će netočan i/ili neuredan raspored uzrokovati probleme čak i kod savršeno provedene studije.

Treba napomenuti da se u drugim izvorima broj istraživačkih predmeta, redoslijed njihove provedbe i stil dizajna mogu značajno razlikovati od sheme koju sam predložio, ali u većini slučajeva to je sasvim dovoljno. Najjednostavnija verzija problema sastoji se od samo 2-3 faze i formulira se otprilike ovako: "istražite funkciju pomoću derivacije i nacrtajte" ili "istražite funkciju pomoću 1. i 2. derivacije, nacrtajte".

Naravno, ako je drugi algoritam detaljno analiziran u vašem priručniku za obuku ili vaš učitelj strogo zahtijeva da se pridržavate njegovih predavanja, tada ćete morati unijeti neke prilagodbe u rješenje. Ništa teže od zamjene vilice žlicom za motornu pilu.

Provjerimo funkciju za par/nepar:

Nakon toga slijedi predložak za odjavu pretplate:
, pa ova funkcija nije ni parna ni neparna.

Budući da je funkcija kontinuirana na , tada vertikalne asimptote nedostaje.

Nema ni kosih asimptota.

Bilješka : Podsjećam vas da je viši red rasta nego , tako da je konačna granica točno " plus beskonačnost."

Otkrijmo kako se funkcija ponaša u beskonačnosti:

Drugim riječima, ako idemo udesno, tada graf ide beskonačno daleko gore, ako idemo ulijevo, beskonačno daleko dolje. Da, također postoje dva ograničenja pod jednim unosom. Ako imate poteškoća s dešifriranjem znakova, posjetite lekciju o infinitezimalne funkcije.

Dakle funkcija nije ograničeno odozgo I nije ograničeno odozdo. S obzirom da nemamo break pointa, postaje jasno i raspon funkcija: je također bilo koji realan broj.

KORISNA TEHNIKA

Svaka faza zadatka donosi nove informacije o grafu funkcije, tako da je u tijeku rješenja prikladno koristiti neku vrstu LAYOUT-a. Nacrtajmo kartezijev koordinatni sustav na nacrtu. Što se pouzdano zna? Prvo, graf nema asimptote, stoga nema potrebe crtati ravne linije. Drugo, znamo kako se funkcija ponaša u beskonačnosti. Prema analizi, izvlačimo prvu aproksimaciju:

Imajte na umu da na snazi kontinuiteta funkcija na i činjenica da , graf mora prijeći os barem jednom. Ili možda postoji nekoliko točaka sjecišta?

3) Nule funkcije i intervali konstantnog predznaka.

Najprije pronađite točku sjecišta grafa s osi y. Jednostavno je. Potrebno je izračunati vrijednost funkcije kada:

Pola iznad razine mora.

Da biste pronašli sjecišne točke s osi (nule funkcije), potrebno je riješiti jednadžbu, a tu nas čeka neugodno iznenađenje:

Na kraju vreba slobodan član, što znatno otežava zadatak.

Takva jednadžba ima barem jedan realan korijen, a najčešće je taj korijen iracionalan. U najgoroj bajci čekaju nas tri praščića. Jednadžba je rješiva ​​pomoću tzv Cardanove formule, ali oštećenje papira usporedivo je s gotovo cijelom studijom. S tim u vezi, mudrije je usmeno ili na nacrtu pokušati pokupiti barem jedan cijeli korijen. Provjerimo jesu li ovi brojevi:
- ne odgovara;
- Tamo je!

Ovdje je sreća. U slučaju neuspjeha, također možete testirati i, a ako ti brojevi ne odgovaraju, bojim se da su vrlo male šanse za isplativo rješenje jednadžbe. Tada je bolje potpuno preskočiti točku istraživanja - možda će nešto postati jasnije u završnom koraku, kada će se probiti dodatne točke. A ako je korijen (korijeni) očito "loš", onda je bolje skromno šutjeti o intervalima postojanosti znakova i točnije dovršiti crtež.

Međutim, imamo prekrasan korijen, pa dijelimo polinom bez ostatka:

Algoritam za dijeljenje polinoma polinomom detaljno je objašnjen u prvom primjeru lekcije. Složena ograničenja.

Eventualno lijeva strana izvorna jednadžba širi se u proizvod:

A sada malo o tome zdrav načinživot. Naravno da to razumijem kvadratne jednadžbe treba rješavati svaki dan, ali danas ćemo napraviti iznimku: jednadžbu ima dva prava korijena.

Na brojevnu crtu nanosimo pronađene vrijednosti I metoda intervala definirati predznake funkcije:


Dakle, na intervalima nalazi se grafikon
ispod x-osi i u intervalima - iznad ove osi.

Dobiveni nalazi omogućuju nam da poboljšamo naš izgled, a druga aproksimacija grafikona izgleda ovako:

Imajte na umu da funkcija mora imati barem jedan maksimum na intervalu i barem jedan minimum na intervalu. Ali ne znamo koliko će se puta, gdje i kada raspored "zavrtati". Usput, funkcija ih može biti beskonačno mnogo krajnosti.

4) Rast, opadanje i ekstremi funkcije.

Pronađimo kritične točke:

Ova jednadžba ima dva stvarna korijena. Stavimo ih na brojevnu crtu i odredimo predznake izvoda:


Stoga se funkcija povećava za a smanjuje se za .
U trenutku kada funkcija doseže svoj maksimum: .
U trenutku kada funkcija dosegne svoj minimum: .

Utvrđene činjenice tjeraju naš predložak u prilično krut okvir:

Nepotrebno je reći da je diferencijalni račun moćna stvar. Pozabavimo se konačno oblikom grafikona:

5) Konveksnost, konkavnost i točke infleksije.

Nađi kritične točke druge derivacije:

Definirajmo znakove:


Graf funkcije je konveksan na , a konkavan na . Izračunajmo ordinatu točke infleksije: .

Skoro sve se raščistilo.

6) Ostaje pronaći dodatne točke koje će vam pomoći da točnije izgradite grafikon i izvršite samotestiranje. U ovom slučaju ih je malo, ali nećemo zanemariti:

Izvršimo crtež:

u zelenoj boji označena je točka infleksije, križići označavaju dodatne točke. Raspored kubna funkcija je simetričan u odnosu na svoju točku infleksije, koja se uvijek nalazi točno u sredini između maksimuma i minimuma.

Tijekom zadatka dao sam tri hipotetska međucrteža. U praksi je dovoljno nacrtati koordinatni sustav, označiti pronađene točke i nakon svake točke studije mentalno smisliti kako bi mogao izgledati graf funkcije. Učenicima s dobrom razinom pripreme neće biti teško provesti takvu analizu samo u svojim mislima bez uključivanja nacrta.

Za samostalno rješenje:

Primjer 2

Istražite funkciju i izgradite grafikon.

Ovdje je brže i zabavnije. ogledni uzorak dorada na kraju lekcije.

Proučavanjem frakcijskih racionalnih funkcija otkrivaju se mnoge tajne:

Primjer 3

Metodama diferencijalnog računa istražiti funkciju i na temelju rezultata istraživanja konstruirati njezin graf.

Riješenje: prva faza studije ne razlikuje se ni po čemu značajnom, s izuzetkom rupe u području definicije:

1) Funkcija je definirana i kontinuirana na cijelom brojevnom pravcu osim točke , domena: .

, pa ova funkcija nije ni parna ni neparna.

Očito, funkcija je neperiodična.

Graf funkcije sastoji se od dvije kontinuirane grane smještene u lijevoj i desnoj poluravnini - to je možda i najvažniji zaključak 1. odlomka.

2) Asimptote, ponašanje funkcije u beskonačnosti.

a) Pomoću jednostranih limita proučavamo ponašanje funkcije u blizini sumnjive točke, gdje vertikalna asimptota mora jasno biti:

Doista, funkcije traju beskrajni jaz u točki
a pravac (os) je vertikalna asimptota grafička umjetnost .

b) Provjerite postoje li kose asimptote:

Da, linija je kosa asimptota grafika ako .

Limese nema smisla analizirati jer je već jasno da je funkcija u zagrljaju sa svojom kosom asimptotom nije ograničeno odozgo I nije ograničeno odozdo.

Druga točka studije donijela je mnogo važna informacija o funkciji. Napravimo grubu skicu:

Zaključak br. 1 odnosi se na intervale predznaka. Na "minus beskonačno" graf funkcije je jedinstveno smješten ispod x-osi, a na "plus beskonačno" je iznad ove osi. Osim toga, jednostrane granice su nam rekle da je i lijevo i desno od točke funkcija također veća od nule. Imajte na umu da u lijevoj poluravnini graf mora barem jednom prijeći x-os. U desnoj poluravnini ne smije biti nula funkcija.

Zaključak br. 2 je da funkcija raste na i lijevo od točke (ide “odozdo prema gore”). Desno od ove točke funkcija se smanjuje (ide "odozgo prema dolje"). Desna grana grafa svakako mora imati barem jedan minimum. Na lijevoj strani, ekstremi nisu zajamčeni.

Zaključak br. 3 daje pouzdanu informaciju o konkavnosti grafa u blizini točke. Ne možemo još ništa reći o konveksnosti/konkavnosti u beskonačnosti, jer se crta može pritisnuti na svoju asimptotu i odozgo i odozdo. Općenito govoreći, postoji analitički način da se to shvati upravo sada, ali oblik grafikona "za ništa" će postati jasniji u kasnijoj fazi.

Zašto toliko riječi? Za kontrolu naknadnih točaka istraživanja i izbjegavanje pogrešaka! Daljnji izračuni ne bi trebali biti u suprotnosti s izvedenim zaključcima.

3) Točke presjeka grafa s koordinatnim osima, intervali konstantnog predznaka funkcije.

Graf funkcije ne siječe os.

Metodom intervala određujemo predznake:

, Ako ;
, Ako .

Rezultati odlomka u potpunosti su u skladu sa Zaključkom br. 1. Nakon svakog koraka pogledajte nacrt, mentalno se obratite studiji i dovršite crtanje grafa funkcije.

U ovom primjeru, brojnik je podijeljen pojam po pojam nazivnikom, što je vrlo korisno za razlikovanje:

Zapravo, to je već učinjeno kod pronalaženja asimptota.

- kritična točka.

Definirajmo znakove:

povećava se za a smanjuje se na

U trenutku kada funkcija dosegne svoj minimum: .

Sa Zaključkom br. 2 također nije bilo odstupanja i najvjerojatnije smo na dobrom putu.

To znači da je graf funkcije konkavan u cijeloj domeni definicije.

Izvrsno - i ne morate ništa crtati.

Nema točaka infleksije.

Konkavnost je u skladu sa zaključkom br. 3, štoviše, ukazuje da se u beskonačnosti (i tamo i tamo) nalazi graf funkcije viši njegovu kosu asimptotu.

6) Zadatak ćemo savjesno prikvačiti dodatnim bodovima. Ovdje se moramo potruditi, jer znamo samo dvije točke iz studije.

I slika koju su, vjerojatno, mnogi već dugo predstavili:

U tijeku zadatka mora se paziti da nema proturječja između faza studije, ali ponekad je situacija hitna ili čak očajnički slijepa. Ovdje analitika "ne konvergira" - i to je to. U ovom slučaju preporučujem hitnu tehniku: pronađemo što više točaka koje pripadaju grafu (koliko je strpljenja dovoljno) i označimo ih na koordinatnoj ravnini. Grafička analiza pronađenih vrijednosti u većini slučajeva će vam reći gdje je istina, a gdje laž. Osim toga, grafikon se može unaprijed izgraditi pomoću nekog programa, na primjer, u istom Excelu (jasno je da to zahtijeva vještine).

Primjer 4

Koristeći metode diferencijalnog računa istražiti funkciju i izgraditi njezin graf.

Ovo je primjer "uradi sam". U njemu je samokontrola pojačana ravnomjernošću funkcije - graf je simetričan oko osi, a ako nešto u vašem proučavanju proturječi toj činjenici, potražite pogrešku.

Parna ili neparna funkcija može se istražiti samo za , a zatim se može koristiti simetrija grafa. Ovo rješenje je optimalno, ali izgleda, po mom mišljenju, vrlo neobično. Osobno razmatram cijelu numeričku os, ali i dalje nalazim dodatne točke samo s desne strane:

Primjer 5

Provedite cjelovitu studiju funkcije i iscrtajte njezin graf.

Riješenje: jako žurio:

1) Funkcija je definirana i neprekidna na cijelom realnom pravcu: .

To znači da je ova funkcija neparna, njen graf je simetričan u odnosu na ishodište.

Očito, funkcija je neperiodična.

2) Asimptote, ponašanje funkcije u beskonačnosti.

Budući da je funkcija kontinuirana na , nema vertikalnih asimptota

Za funkciju koja sadrži eksponent, tipično odvojiti proučavanje "plus" i "minus beskonačnosti", međutim, naš život olakšava upravo simetrija grafa - ili postoji asimptota s lijeve i s desne strane, ili je nema. Stoga se oba beskonačna ograničenja mogu rasporediti pod jedan unos. U tijeku rješenja koristimo L'Hopitalovo pravilo:

Pravac (os) je horizontalna asimptota grafa na .

Obratite pozornost na to kako sam vješto izbjegao puni algoritam za pronalaženje kose asimptote: granica je sasvim legalna i pojašnjava ponašanje funkcije u beskonačnosti, a horizontalna asimptota je pronađena "kao da je u isto vrijeme."

Iz kontinuiteta na i postojanja horizontalne asimptote slijedi da funkcija ograničeno odozgo I ograničena odozdo.

3) Točke presjeka grafa s koordinatnim osima, intervali konstantnosti.

Ovdje također skraćujemo rješenje:
Graf prolazi kroz ishodište.

Ne postoje druge sjecišne točke s koordinatnim osima. Štoviše, intervali konstantnosti su očiti, a os se ne može nacrtati: , što znači da predznak funkcije ovisi samo o "x":
, Ako ;
, Ako .

4) Rast, opadanje, ekstremi funkcije.


su kritične točke.

Točke su simetrične oko nule, kao što bi i trebalo biti.

Definirajmo predznake derivata:


Funkcija raste na intervalu, a opada na intervalima

U trenutku kada funkcija doseže svoj maksimum: .

Zbog imovine (čudnost funkcije) minimum se može izostaviti:

Budući da funkcija opada na intervalu , onda se, očito, graf nalazi na "minus beskonačno" pod, ispod sa svojom asimptotom. Na intervalu funkcija također opada, ali ovdje je suprotno - nakon što prođe kroz maksimalnu točku, linija se približava osi odozgo.

Iz navedenog također proizlazi da je graf funkcije konveksan u "minus beskonačno" i konkavan u "plus beskonačno".

Nakon ove točke studije, također je nacrtano područje vrijednosti funkcije:

Ako imate nesporazum u bilo kojoj točki, još jednom vas pozivam da nacrtate koordinatne osi u svoju bilježnicu i s olovkom u rukama ponovno analizirate svaki zaključak zadatka.

5) Konveksnost, konkavnost, infleksije grafa.

su kritične točke.

Simetrija točaka je očuvana i, najvjerojatnije, ne griješimo.

Definirajmo znakove:


Graf funkcije je konveksan na a konkavno na .

Potvrđena je konveksnost/konkavnost u ekstremnim intervalima.

U svemu kritične točke postoje krivulje u grafu. Nađimo ordinate točaka infleksije, opet smanjujući broj izračuna, koristeći neparnost funkcije:

Danas vas pozivamo da s nama istražite i iscrtate graf funkcije. Nakon pažljivog proučavanja ovog članka, nećete se morati dugo znojiti da izvršite ovu vrstu zadatka. Nije lako istražiti i izgraditi graf funkcije, posao je obiman, zahtijeva maksimalnu pozornost i točnost izračuna. Kako bismo olakšali percepciju materijala, postupno ćemo proučavati istu funkciju, objasniti sve naše radnje i izračune. Dobrodošli u nevjerojatan i fascinantan svijet matematike! Ići!

Domena

Kako biste istražili i nacrtali funkciju, morate znati nekoliko definicija. Funkcija je jedan od osnovnih (osnovnih) pojmova u matematici. Odražava ovisnost između nekoliko varijabli (dvije, tri ili više) s promjenama. Funkcija također pokazuje ovisnost skupova.

Zamislimo da imamo dvije varijable koje imaju određeni raspon promjene. Dakle, y je funkcija od x, pod uvjetom da svaka vrijednost druge varijable odgovara jednoj vrijednosti druge. U ovom slučaju varijabla y je zavisna i naziva se funkcija. Uobičajeno je reći da su varijable x i y u Radi veće jasnoće ove ovisnosti izgrađen je graf funkcije. Što je graf funkcije? Ovo je skup točaka na koordinatnoj ravnini, gdje svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti y. Grafikoni mogu biti različiti - ravna linija, hiperbola, parabola, sinusoida i tako dalje.

Grafikon funkcije ne može se iscrtati bez istraživanja. Danas ćemo naučiti kako provesti istraživanje i iscrtati graf funkcije. Vrlo je važno voditi bilješke tijekom studija. Tako će biti mnogo lakše nositi se sa zadatkom. Najprikladniji plan učenja:

1. Domena.
2. Kontinuitet.
3. Par ili nepar.
4. Periodičnost.
5. Asimptote.
6. Nule.
7. Postojanost.
8. Uzlazno i ​​silazno.
9. Krajnosti.
10. Konveksnost i konkavnost.

Počnimo s prvom točkom. Pronađimo domenu definicije, odnosno na kojim intervalima postoji naša funkcija: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). U našem slučaju, funkcija postoji za bilo koju vrijednost x, odnosno domena definicije je R. Ovo se može napisati kao xOR.

Kontinuitet

Sada ćemo istražiti funkciju diskontinuiteta. U matematici se pojam "kontinuitet" pojavio kao rezultat proučavanja zakona gibanja. Što je beskonačno? Prostor, vrijeme, neke ovisnosti (primjer je ovisnost varijabli S i t u problemima gibanja), temperatura zagrijanog predmeta (voda, tava, termometar i tako dalje), kontinuirana linija (tj. koji se može nacrtati bez skidanja s lista olovkom).

Graf se smatra kontinuiranim ako se u nekom trenutku ne slomi. Jedan od najočitijih primjera takvog grafa je sinusni val, koji možete vidjeti na slici u ovom odjeljku. Funkcija je kontinuirana u nekoj točki x0 ako je ispunjen niz uvjeta:

• funkcija je definirana u danoj točki;
• desna i lijeva granica u točki su jednake;
• ograničiti jednaka je vrijednosti funkcije u točki x0.

Ako barem jedan uvjet nije ispunjen, kaže se da je funkcija prekinuta. A točke u kojima se funkcija prekida nazivaju se prijelomne točke. Primjer funkcije koja će se "slomiti" kada se prikaže grafički je: y=(x+4)/(x-3). Štoviše, y ne postoji u točki x = 3 (jer ga je nemoguće podijeliti s nulom).

U funkciji koju proučavamo (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) sve se pokazalo jednostavnim, jer će graf biti kontinuiran.

Parni, neparni

Sada provjerite paritet funkcije. Počnimo s malo teorije. Parna funkcija je funkcija koja za bilo koju vrijednost varijable x (iz raspona vrijednosti) zadovoljava uvjet f (-x) = f (x). Primjeri su:

• modul x (graf izgleda kao čavka, simetrala prve i druge četvrtine grafa);
• x na kvadrat (parabola);
• kosinus x (kosinusni val).

Imajte na umu da su svi ovi grafikoni simetrični kada se gledaju u odnosu na y-os.

Što se onda naziva neparnom funkcijom? To su one funkcije koje zadovoljavaju uvjet: f (-x) \u003d - f (x) za bilo koju vrijednost varijable x. Primjeri:

• hiperbola;
• kubična parabola;
• sinusoida;
• tangenta i tako dalje.

Imajte na umu da su ove funkcije simetrične u odnosu na točku (0:0), odnosno ishodište. Na temelju onoga što je rečeno u ovom dijelu članka, čak i neparna funkcija mora imati svojstvo: x pripada skupu definicija i -x također.

Ispitajmo funkciju za paritet. Vidimo da ona ne odgovara ni jednom od opisa. Dakle, naša funkcija nije ni parna ni neparna.

Asimptote

Počnimo s definicijom. Asimptota je krivulja koja je što bliža grafu, odnosno udaljenost od neke točke teži nuli. Postoje tri vrste asimptota:

• okomito, to jest paralelno s osi y;
• horizontalno, tj. paralelno s osi x;
• kosi.

Što se tiče prve vrste, ove linije treba potražiti u nekim točkama:

• praznina;
• krajevima domene.

U našem slučaju funkcija je kontinuirana, a domena definicije je R. Dakle, nema okomitih asimptota.

Graf funkcije ima horizontalnu asimptotu, koja ispunjava sljedeći uvjet: ako x teži beskonačnosti ili minus beskonačnosti, a granica je jednaka određenom broju (na primjer, a). U ovom slučaju, y=a je horizontalna asimptota. U funkciji koju proučavamo horizontalne asimptote Ne.

Kosa asimptota postoji samo ako su ispunjena dva uvjeta:

• lim (f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Tada se može pronaći po formuli: y=kx+b. Opet, u našem slučaju nema kosih asimptota.

Funkcijske nule

Sljedeći korak je ispitivanje grafa funkcije za nule. Također je vrlo važno napomenuti da se zadatak povezan s pronalaženjem nula funkcija ne pojavljuje samo u proučavanju i konstrukciji grafa funkcije, već i kao samostalan zadatak, te kao način rješavanja nejednakosti. Možda ćete morati pronaći nule funkcije na grafikonu ili koristiti matematičku notaciju.

Pronalaženje ovih vrijednosti pomoći će vam da točnije nacrtate funkciju. Ako govoriti prostim jezikom, tada je nula funkcije vrijednost varijable x, pri kojoj je y=0. Ako tražite nulte točke funkcije na grafu, tada trebate obratiti pozornost na točke u kojima se graf siječe s osi x.

Da biste pronašli nulte točke funkcije, trebate riješiti sljedeću jednadžbu: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Nakon potrebnih izračuna dobivamo sljedeći odgovor:

postojanost predznaka

Sljedeća faza u proučavanju i konstrukciji funkcije (grafika) je pronalaženje intervala konstantnosti predznaka. To znači da moramo odrediti na kojim intervalima funkcija ima pozitivnu, a na kojim negativnu vrijednost. U tome će nam pomoći nule funkcija iz prethodnog odjeljka. Dakle, moramo izgraditi ravnu liniju (odvojeno od grafikona) i rasporediti nule funkcije duž nje ispravnim redoslijedom od najmanje do najveće. Sada morate odrediti koji od dobivenih intervala ima znak "+", a koji ima "-".

U našem slučaju funkcija dobiva pozitivnu vrijednost na intervalima:

• od 1 do 4;
• od 9 do beskonačnosti.

Negativno značenje:

• od minus beskonačno do 1;
• od 4 do 9.

To je prilično lako odrediti. Zamijenite bilo koji broj iz intervala u funkciju i pogledajte koji je predznak odgovor (minus ili plus).

Funkcija rastuća i opadajuća

Kako bismo istražili i izgradili funkciju, moramo znati gdje će se graf povećati (ići gore na Oy), a gdje će pasti (puzati prema dolje duž y-osi).

Funkcija raste samo ako veća vrijednost varijable x odgovara veću vrijednost g. To jest, x2 je veće od x1, a f(x2) je veće od f(x1). A posve suprotan fenomen opažamo u opadajućoj funkciji (što je više x, to je manje y). Da biste odredili intervale povećanja i smanjenja, morate pronaći sljedeće:

• opseg (već ga imamo);
• izvod (u našem slučaju: 1/3(3x^2-28x+49);
• riješite jednadžbu 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Nakon izračuna dobivamo rezultat:

Dobivamo: funkcija raste na intervalima od minus beskonačno do 7/3 i od 7 do beskonačno, a opada na intervalu od 7/3 do 7.

Krajnosti

Istraživana funkcija y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) je kontinuirana i postoji za sve vrijednosti varijable x. Točka ekstrema pokazuje maksimum i minimum ove funkcije. U našem slučaju ih nema, što uvelike pojednostavljuje zadatak izgradnje. Inače se također nalaze pomoću funkcije izvoda. Nakon pronalaska ne zaboravite ih označiti na grafikonu.

Konveksnost i konkavnost

Nastavljamo s proučavanjem funkcije y(x). Sada ga moramo provjeriti na konveksnost i konkavnost. Definicije ovih pojmova prilično je teško razumjeti, bolje je analizirati sve s primjerima. Za test: funkcija je konveksna ako je neopadajuća funkcija. Slažete se, ovo je neshvatljivo!

Moramo pronaći izvod funkcije drugog reda. Dobivamo: y=1/3(6x-28). Sada izjednačite desna strana na nulu i riješite jednadžbu. Odgovor: x=14/3. Pronašli smo točku infleksije, odnosno mjesto gdje se graf mijenja iz konveksnog u konkavni ili obrnuto. Na intervalu od minus beskonačno do 14/3 funkcija je konveksna, a od 14/3 do plus beskonačno je konkavna. Također je vrlo važno napomenuti da točka infleksije na grafikonu treba biti glatka i mekana, br oštri kutovi ne bi trebao biti prisutan.

Definicija dodatnih točaka

Naš zadatak je istražiti i iscrtati graf funkcije. Završili smo studiju, neće biti teško sada ucrtati funkciju. Za točniju i detaljniju reprodukciju krivulje ili ravne linije na koordinatnoj ravnini možete pronaći nekoliko pomoćnih točaka. Prilično ih je lako izračunati. Na primjer, uzmemo x=3, riješimo dobivenu jednadžbu i pronađemo y=4. Ili x=5 i y=-5 i tako dalje. Možete uzeti onoliko dodatnih bodova koliko vam je potrebno za izgradnju. Najmanje 3-5 ih se nađe.

Plotanje

Trebali smo istražiti funkciju (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Sve potrebne oznake tijekom proračuna napravljene su na koordinatnoj ravnini. Ostaje samo izgraditi graf, odnosno povezati sve točke međusobno. Spajanje točaka glatko je i točno, to je stvar vještine - malo vježbe i vaš će raspored biti savršen.