Primjer 1.5.1.

Neka određena gospodarska regija proizvodi više (n) vrsta proizvoda isključivo sama i samo za stanovništvo te regije. Pretpostavlja se da je razrađen tehnološki proces i proučena potražnja stanovništva za ovom robom. Potrebno je odrediti godišnji obujam proizvodnje proizvoda, uzimajući u obzir činjenicu da taj obujam mora osigurati i finalnu i industrijsku potrošnju.

Kreirajmo matematički model ovog problema. Prema njegovim uvjetima dane su: vrste proizvoda, potražnja za njima i tehnološki proces; morate pronaći izlazni volumen svake vrste proizvoda.

Označimo poznate veličine:

c ja– potražnja stanovništva za ja proizvod ( ja=1,...,n); a i J- količina ja th proizvod potreban za proizvodnju jedinice j th proizvoda korištenjem dane tehnologije ( ja=1,...,n ; j=1,...,n);

x ja – izlazni volumen ja-ti proizvod ( ja=1,...,n); totalitet S =(c 1 ,..., c n ) naziva se vektor potražnje, brojevi a i J– tehnološki koeficijenti, te ukupnost x =(x 1 ,..., x n ) – vektor oslobađanja.

Prema uvjetima problema, vektor x raspodijeljen u dva dijela: za finalnu potrošnju (vektor S ) i za reprodukciju (vektor x-s ). Izračunajmo taj dio vektora x koji ide u reprodukciju. Prema našim oznakama za proizvodnju x j količina j-tog proizvoda ide a i J · x j količinama ja-ti proizvod.

Zatim iznos a i1 · x 1 +...+ a u · x n pokazuje tu vrijednost ja-th proizvod, koji je potreban za cijelo izdanje x =(x 1 ,..., x n ).

Stoga mora biti zadovoljena jednakost:

Proširujući ovo razmišljanje na sve vrste proizvoda, dolazimo do željenog modela:

Rješavanje ovog sustava od n linearnih jednadžbi za x 1 ,...,X n i pronaći traženi vektor oslobađanja.

Kako bismo ovaj model zapisali u kompaktnijem (vektorskom) obliku, uvodimo sljedeću notaciju:

kvadrat (
) -matrica A nazvana tehnološka matrica. Lako je provjeriti da će naš model sada biti napisan ovako: x-s=Ah ili

(1.6)

Dobili smo klasični model" Ulaz izlaz “, čiji je autor poznati američki ekonomist V. Leontiev.

Primjer 1.5.2.

Rafinerija nafte ima dvije klase nafte: grade A u količini od 10 jedinica, ocjenu U- 15 jedinica. Pri preradi nafte dobivaju se dva materijala: benzin (označavamo B) i loživo ulje ( M). Postoje tri opcije za tehnološki proces obrade:

ja: 1 jedinica A+ 2 jedinice U daje 3 jedinice. B+ 2 jedinice M

II: 2 jedinice. A+ 1 jedinica U daje 1 jedinicu. B+ 5 jedinica M

III: 2 jedinice A+ 2 jedinice U daje 1 jedinicu. B+ 2 jedinice M

Cijena benzina je 10 dolara po jedinici, loživog ulja 1 dolar po jedinici.

Potrebno je odrediti najpovoljniju kombinaciju tehnoloških procesa za preradu raspoložive količine nafte.

Prije modeliranja, razjasnimo sljedeće točke. Iz uvjeta problema proizlazi da „isplativost“ tehnološkog procesa za postrojenje treba shvatiti u smislu ostvarivanja maksimalnog prihoda od prodaje njegovih gotovih proizvoda (benzina i loživog ulja). S tim u vezi, jasno je da se “odluka o izboru (donošenju)” postrojenja sastoji u određivanju koju tehnologiju primijeniti i koliko puta. Očito, postoji dosta takvih mogućih opcija.

Označimo nepoznate veličine:

x ja– količina korištenja ja th tehnološki proces (i=1,2,3). Ostali parametri modela (rezerve nafte, cijene benzina i lož ulja) znan.

Sada se jedna specifična odluka o biljci svodi na odabir jednog vektora x =(x 1 ,X 2 ,X 3 ) , za koje je prihod tvornice jednak (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) Ovdje je 32 dolara prihod dobiven od jedne primjene prvog tehnološkog procesa (10$ 3 jedinice. B+ 1 dolar · 2 jedinice. M= 32 dolara). Koeficijenti 15 i 12 za drugi odnosno treći tehnološki proces imaju slično značenje. Računovodstvo rezervi nafte dovodi do sljedećih uvjeta:

za raznolikost A:

za raznolikost U:,

gdje su u prvoj nejednakosti koeficijenti 1, 2, 2 utrošak ulja razreda A za jednokratnu upotrebu tehnoloških procesa. ja,II,III odnosno. Koeficijenti druge nejednakosti imaju slično značenje za ulje razreda B.

Matematički model kao cjelina ima oblik:

Pronađite takav vektor x = (x 1 ,X 2 ,X 3 ) maksimizirati

f(x) =32x 1 +15x 2 +12x 3

prema sljedećim uvjetima:

Skraćeni oblik ovog unosa je:

pod ograničenjima

(1.7)

Dobili smo takozvani problem linearnog programiranja.

Model (1.7.) je primjer optimizacijskog modela determinističkog tipa (s dobro definiranim elementima).

Primjer 1.5.3.

Investitor mora odrediti najbolju kombinaciju dionica, obveznica i drugih vrijednosnih papira koje će kupiti za određeni iznos kako bi ostvario određeni profit uz minimalan rizik za sebe. Dobit po dolaru uloženom u vrijednosni papir j- vrsta, karakteriziraju dva pokazatelja: očekivana dobit i stvarna dobit. Za investitora je poželjno da očekivani profit po dolaru ulaganja nije niži od zadane vrijednosti za cijeli skup vrijednosnih papira. b.

Imajte na umu da se za ispravno modeliranje ovog problema od matematičara zahtijeva određeno osnovno znanje iz područja teorije portfelja vrijednosnih papira.

Označimo poznate parametre problema:

n– broj vrsta vrijednosnih papira; A j– stvarna dobit (slučajni broj) od j-te vrste vrijednosnog papira; – očekivana dobit od j-th vrsta sigurnosti.

Označimo nepoznate veličine :

g j - sredstva namijenjena kupnji vrijednosnih papira vrste j.

Koristeći našu notaciju, cijeli uloženi iznos izražava se kao . Kako bismo pojednostavili model, uvodimo nove veličine

.

Tako, x ja- ovo je udio svih sredstava izdvojenih za stjecanje vrijednosnih papira vrste j.

Jasno je da

Iz uvjeta problema jasno je da je cilj investitora postići određenu razinu dobiti uz minimalan rizik. U biti, rizik je mjera odstupanja stvarne dobiti od očekivane. Stoga se može poistovjetiti s kovarijancom dobiti za vrijednosne papire vrste i i vrste j. Ovdje je M oznaka matematičkog očekivanja.

Matematički model izvornog problema ima oblik:

pod ograničenjima

,
,
,
. (1.8)

Dobili smo dobro poznati Markowitzov model za optimizaciju strukture portfelja vrijednosnih papira.

Model (1.8.) je primjer optimizacijskog modela stohastičkog tipa (s elementima slučajnosti).

Primjer 1.5.4.

Na temelju trgovačke organizacije postoji n vrsta jednog proizvoda minimalnog asortimana. U trgovinu se smije unijeti samo jedna vrsta određenog proizvoda. Morate odabrati vrstu proizvoda koju je prikladno unijeti u trgovinu. Ako je vrsta proizvoda j bude tražen, trgovina će ostvariti dobit od njegove prodaje R j, ako nije tražen - gubitak q j .

Prije modeliranja, raspravit ćemo neke temeljne točke. U ovom problemu donositelj odluka (DM) je trgovina. No, ishod (maksimalni profit) ne ovisi samo o njegovoj odluci, već i o tome hoće li uvezeni proizvod biti tražen, odnosno hoće li ga stanovništvo kupovati (pretpostavlja se da iz nekog razloga trgovina ne imati priliku proučavati potražnju stanovništva ). Stoga se stanovništvo može smatrati drugim donositeljem odluka, koji odabire vrstu proizvoda prema svojim preferencijama. Najgora “odluka” stanovništva za trgovinu je: “roba iz uvoza nije tražena”. Dakle, da bi se uzele u obzir sve moguće situacije, trgovina treba smatrati stanovništvo svojim "neprijateljem" (uvjetno), slijedeći suprotan cilj - minimizirati profit trgovine.

Dakle, imamo problem donošenja odluka s dva sudionika koji slijede suprotne ciljeve. Pojasnimo da trgovina bira jednu od vrsta robe za prodaju (ukupno ima n mogućnosti odlučivanja), a stanovništvo bira jednu od vrsta robe za kojom postoji najveća potražnja ( n opcije rješenja).

Sastaviti matematički model nacrtajmo tablicu sa n linije i n stupci (ukupno n 2 ćelije) i dogovorite se da redovi odgovaraju izboru trgovine, a stupci izboru populacije. Zatim ćelija (i J) odgovara situaciji kada trgovina izabere ja vrsta proizvoda ( ja-th line), a stanovništvo bira j vrsta proizvoda ( j- th stupac). U svaku ćeliju upisujemo brojčanu procjenu (dobit ili gubitak) odgovarajuće situacije sa stajališta trgovine:

Brojke q ja napisano s minusom koji odražava gubitak trgovine; u svakoj situaciji, "dobitak" populacije (uvjetno) jednak je "dobitku" trgovine, uzetom sa suprotnim predznakom.

Skraćeni oblik ovog modela je:

(1.9)

Dobili smo takozvanu matrix igru. Model (1.9.) je primjer modela odlučivanja u igri.

Za izradu matematičkog modela potrebno vam je:

1. pažljivo analizirati stvarni predmet ili proces;
2. istaknuti njegove najznačajnije značajke i svojstva;
3. definirati varijable, tj. parametri čije vrijednosti utječu na glavne značajke i svojstva objekta;
4. logičko-matematičkim odnosima (jednadžbe, jednakosti, nejednadžbe, logičko-matematičke konstrukcije) opisati ovisnost osnovnih svojstava objekta, procesa ili sustava o vrijednostima varijabli;
5. istaknuti unutarnje veze objekta, procesa ili sustava pomoću ograničenja, jednadžbi, jednakosti, nejednakosti, logičkih i matematičkih konstrukcija;
6. definirati vanjski odnosi te ih opisati pomoću ograničenja, jednadžbi, jednakosti, nejednakosti, logičkih i matematičkih konstrukcija.

Matematičko modeliranje, osim proučavanja objekta, procesa ili sustava i izrade njegovog matematičkog opisa, također uključuje:

1. izgradnja algoritma koji modelira ponašanje objekta, procesa ili sustava;
2. provjera primjerenosti modela i objekta, procesa ili sustava na temelju računalnih i eksperimenata u punoj veličini;
3. prilagodba modela;
4. pomoću modela.

Matematički opis procesa i sustava koji se proučavaju ovisi o:

1. prirodu stvarnog procesa ili sustava i sastavlja se na temelju zakona fizike, kemije, mehanike, termodinamike, hidrodinamike, elektrotehnike, teorije plastičnosti, teorije elastičnosti itd.
2. potrebna pouzdanost i točnost proučavanja i istraživanja realnih procesa i sustava.

Izrada matematičkog modela obično počinje izgradnjom i analizom najjednostavnijeg, najgrubljeg matematičkog modela objekta, procesa ili sustava koji se razmatra. U budućnosti, ako je potrebno, model se dorađuje i njegova korespondencija s objektom postaje potpunija.

Uzmimo jednostavan primjer. Potrebno je odrediti površinu stola. Obično se to radi mjerenjem njegove duljine i širine, a zatim množenjem dobivenih brojeva. Taj elementarni postupak zapravo znači sljedeće: stvarni objekt (površinu stola) zamjenjuje se apstraktnim matematičkim modelom - pravokutnikom. Pravokutniku se pripisuju dimenzije dobivene mjerenjem duljine i širine površine stola, a površina takvog pravokutnika približno se uzima kao potrebna površina stola. Međutim, pravokutni model za radni stol je najjednostavniji, najgrublji model. Ako ozbiljnije pristupite problemu, prije korištenja modela pravokutnika za određivanje površine stola, ovaj model treba provjeriti. Provjere se mogu provesti na sljedeći način: izmjerite duljine suprotne strane stol, kao i duljine njegovih dijagonala i međusobno ih usporediti. Ako su s potrebnim stupnjem točnosti duljine suprotnih stranica i duljine dijagonala jednake u parovima, tada se površina stola stvarno može smatrati pravokutnikom. U protivnom će se model pravokutnika morati odbaciti i zamijeniti modelom četverokuta opći pogled. S višim zahtjevima za točnost, možda će biti potrebno dodatno poboljšati model, na primjer, da se uzme u obzir zaokruživanje kutova stola.

Uz pomoć ovoga jednostavan primjer pokazalo se da matematički model nije jednoznačno određen objektom, procesom ili sustav.

ILI (razjasniti sutra)

Načini rješavanja matematike. Modeli:

1, Konstrukcija modela na temelju zakona prirode (analitička metoda)

2. Formalni način korištenjem statističkih metoda. Obrada i mjerenje rezultata (statistički pristup)

3. Konstrukcija modela na temelju modela elemenata (složenih sustava)

1, Analitički - koristiti uz dovoljno proučavanja. Opći obrazac je poznat. Modeli.

2. pokus. U nedostatku informacija.

3. Imitacija m. - istražuje svojstva predmeta. općenito.

Primjer konstruiranja matematičkog modela.

Matematički model je matematički prikaz stvarnosti.

Matematičko modeliranje je proces konstruiranja i proučavanja matematičkih modela.

Sve prirodne i društvene znanosti koje se služe matematikom u biti se bave matematičkim modeliranjem: objekt zamjenjuju njegovim matematičkim modelom, a zatim ga proučavaju. Veza između matematičkog modela i stvarnosti ostvaruje se pomoću lanca hipoteza, idealizacija i pojednostavljenja. Matematičkim se metodama u pravilu opisuje idealni objekt konstruiran u fazi smislenog modeliranja.

Zašto su modeli potrebni?

Vrlo često, kada proučavate bilo koji predmet, nastaju poteškoće. Sam izvornik ponekad nije dostupan, ili njegova upotreba nije preporučljiva, ili je privlačenje originala skupo. Svi ovi problemi mogu se riješiti pomoću simulacije. U određenom smislu, model može zamijeniti predmet koji se proučava.

Najjednostavniji primjeri modela

§ Fotografija se može nazvati modelom osobe. Da biste osobu prepoznali, dovoljno je vidjeti njenu fotografiju.

§ Arhitekt je izradio model novog stambenog naselja. Pokretom ruke može premjestiti visoku zgradu s jednog dijela na drugi. U stvarnosti to ne bi bilo moguće.

Vrste modela

Modeli se mogu podijeliti na materijal" I savršen. gornji primjeri su materijalni modeli. Idealni modeli često imaju kultne oblike. Stvarni pojmovi zamijenjeni su nekim znakovima, koji se lako mogu zabilježiti na papiru, u memoriji računala itd.

Matematičko modeliranje

Matematičko modeliranje pripada klasi simboličkog modeliranja. Štoviše, modeli se mogu izraditi iz bilo kojeg matematičkog objekta: brojeva, funkcija, jednadžbi itd.

Izgradnja matematičkog modela

§ Može se uočiti nekoliko faza konstruiranja matematičkog modela:

1. Razumijevanje problema, identificiranje za nas najvažnijih kvaliteta, svojstava, količina i parametara.

2. Uvođenje notnog zapisa.

3. Izrada sustava ograničenja koje unesene vrijednosti moraju zadovoljiti.

4. Formuliranje i evidentiranje uvjeta koje mora zadovoljiti željeno optimalno rješenje.

Proces modeliranja ne završava izradom modela, već njime tek započinje. Nakon sastavljanja modela odabiru metodu pronalaska odgovora i rješavanja problema. nakon što se odgovor pronađe, uspoređuje se sa stvarnošću. A moguće je da odgovor nije zadovoljavajući, u kojem slučaju se model modificira ili se čak izabere potpuno drugačiji model.

Primjer matematičkog modela

Zadatak

Proizvodno udruženje, koje uključuje dvije tvornice namještaja, treba ažurirati svoj strojni park. Štoviše, prva tvornica namještaja treba zamijeniti tri stroja, a druga sedam. Narudžbe se mogu izvršiti u dvije tvornice alatnih strojeva. Prva tvornica može proizvesti najviše 6 strojeva, a druga tvornica će prihvatiti narudžbu ako ih ima najmanje tri. Morate odrediti kako slati narudžbe.

MATEMATIČKI MODEL - prikaz pojave ili procesa koji se proučava u konkretnim znanstvenim spoznajama jezikom matematičkih pojmova. U ovom slučaju, očekuje se da će se tijekom samog istraživanja dobiti niz svojstava fenomena koji se proučava. matematičke karakteristike modeli. Izgradnja M.m. najčešće je diktirana potrebom za kvantitativnom analizom pojava i procesa koji se proučavaju, bez koje je pak nemoguće dati eksperimentalno provjerljiva predviđanja o njihovu tijeku.

Proces matematičkog modeliranja, u pravilu, prolazi kroz sljedeće faze. U prvoj fazi utvrđuju se veze između glavnih parametara budućeg M.m. Riječ je o prije svega o kvalitativna analiza fenomene koji se proučavaju i formuliranje obrazaca koji povezuju glavne objekte istraživanja. Na temelju toga identificiraju se objekti koji se mogu kvantitativno opisati. Faza završava izgradnjom hipotetskog modela, drugim riječima, bilježenjem u jeziku matematičkih pojmova kvalitativnih ideja o odnosima između glavnih objekata modela, koji se mogu kvantitativno karakterizirati.

U drugoj fazi proučavaju se stvarni matematički problemi do kojih vodi konstruirani hipotetski model. Glavna stvar u ovoj fazi je dobiti empirijski provjerljive teorijske posljedice (rješenje izravnog problema) kao rezultat matematičke analize modela. Istodobno, česti su slučajevi kada se radi konstruiranja i proučavanja M.m. posebno u raznim oblastima znanstveno znanje koristi se isti matematički aparat (primjerice, diferencijalne jednadžbe) i javljaju se matematički problemi iste vrste, iako vrlo netrivijalni u svakom konkretnom slučaju. Osim toga, u ovoj fazi, korištenje brzih računala (računala) postaje od velike važnosti, što omogućuje dobivanje približnih rješenja problema, često nemogućih u okviru čiste matematike, sa stupnjem točnosti koji je prije bio nedostupan ( bez upotrebe računala).

Treću fazu karakteriziraju aktivnosti na utvrđivanju stupnja adekvatnosti izgrađenog hipotetskog M.M. one pojave i procese za koje je namijenjeno proučavanje. Naime, ako su specificirani svi parametri modela, istraživači pokušavaju saznati u kojoj su mjeri, u granicama točnosti promatranja, njihovi rezultati sukladni teorijskim konzekvencama modela. Odstupanja iznad granica točnosti opažanja ukazuju na neadekvatnost modela. Međutim, česti su slučajevi kada pri izradi modela ostaje niz njegovih parametara

neizvjestan. Problemi u kojima su parametrijske karakteristike modela uspostavljene na takav način da su teorijske posljedice usporedive, unutar granica točnosti opažanja, s rezultatima empirijskih ispitivanja nazivaju se inverznim problemima.

U četvrtoj fazi, uzimajući u obzir identifikaciju stupnja adekvatnosti izgrađenog hipotetskog modela i pojavu novih eksperimentalnih podataka o fenomenima koji se proučavaju, dolazi do naknadne analize i modifikacije modela. Ovdje donesena odluka varira od bezuvjetnog odbacivanja primijenjenih matematičkih alata do prihvaćanja konstruiranog modela kao temelja za izgradnju temeljno nove znanstvene teorije.

Prvo M.m. pojavio u antičkoj znanosti. Tako je grčki matematičar i astronom Eudoksus, da bi modelirao Sunčev sustav, svakom planetu dao četiri kugle, čijom je kombinacijom kretanja nastao hippopedus – matematička krivulja slična opaženom kretanju planeta. Kako, međutim, ovaj model nije mogao objasniti sve uočene anomalije u kretanju planeta, kasnije je zamijenjen epicikličkim modelom Apolonija iz Perge. Posljednji model koristio je u svojim studijama Hiparh, a potom, podvrgnuvši ga nekim izmjenama, Ptolomej. Ovaj model, kao i njegovi prethodnici, temeljio se na uvjerenju da se planeti kreću ravnomjerno kružnim pokretima, čije je preklapanje objasnilo vidljive nepravilnosti. Treba napomenuti da je kopernikanski model bio fundamentalno nov samo u kvalitativnom smislu (ali ne i kao M.M.). I tek je Kepler, na temelju opažanja Tycha Brahea, izgradio novi M.M. Sunčev sustav, dokazujući da se planeti ne kreću po kružnim, već po eliptičnim orbitama.

Trenutačno se najprikladnijima smatraju oni koji su izgrađeni da opisuju mehaničke i fizičke pojave. O primjerenosti M.m. izvan fizike se može, uz neke iznimke, govoriti s priličnom dozom opreza. Ipak, fiksiranje hipotetičnosti, a često i jednostavno nedostatnosti M.m. u različitim područjima znanja ne treba podcjenjivati ​​njihovu ulogu u razvoju znanosti. Česti su slučajevi da su čak i modeli koji su daleko od adekvatnih značajno organizirali i potaknuli daljnja istraživanja, ali i pogrešni zaključci koji su sadržavali i zrnca istine koja je u potpunosti opravdala trud uložen u razvoj tih modela.

Književnost:

Matematičko modeliranje. M., 1979.;

Ruzavin G.I. Matematizacija znanstvenih spoznaja. M., 1984.;

Tutubalin V.N., Barabasheva Yu.M., Grigoryan A.A., Devyatkova G.N., Uger E.G. Diferencijalne jednadžbe u ekologiji: povijesna i metodološka refleksija // Pitanja povijesti prirodnih znanosti i tehnologije. 1997. br.3.

Rječnik filozofskih pojmova. Znanstveno izdanje profesora V.G. Kuznjecova. M., INFRA-M, 2007., str. 310-311 (prikaz, ostalo).

Matematički modeli

Matematički model - približan opiznačenje objekta modeliranja, izraženo korištenjemmatematičkog simbolizma.

Matematički modeli pojavili su se zajedno s matematikom prije mnogo stoljeća. Pojava računala dala je veliki poticaj razvoju matematičkog modeliranja. Korištenje računala omogućilo je analizu i primjenu u praksi mnogih matematičkih modela koji su prije bili nedostupni analitičko istraživanje. Matematički implementirano na računalumodel neba nazvao računalni matematički model, A provođenje ciljanih izračuna korištenjem računalnog modela nazvao računalni eksperiment.

Faze računalne matematikepodjela prikazani su na slici. Prvipozornici - definiranje ciljeva modeliranja. Ovi ciljevi mogu biti različiti:

1. model je potreban da bi se razumjelo kako određeni objekt funkcionira, kakva mu je struktura, osnovna svojstva, zakonitosti razvoja i interakcije
   s vanjskim svijetom (razumijevanje);
2. model je potreban kako bi se naučilo kontrolirati objekt (ili proces) i odrediti najbolji načini upravljanje sa zadanim ciljevima i kriterijima (menadžment);
3. model je potreban za predviđanje izravnih i neizravnih posljedica provedbe zadane metode te oblici utjecaja na objekt (predviđanje).

Objasnimo na primjerima. Neka predmet proučavanja bude interakcija protoka tekućine ili plina s tijelom koje je prepreka tom protoku. Iskustvo pokazuje da sila otpora strujanju na dijelu tijela raste s povećanjem brzine strujanja, ali pri nekoj dovoljno velikoj brzini ta sila naglo opada da bi daljnjim povećanjem brzine ponovno rasla. Što je uzrokovalo smanjenje sile otpora? Matematičko modeliranje omogućuje nam da dobijemo jasan odgovor: u trenutku naglog smanjenja otpora, vrtlozi formirani u toku tekućine ili plina iza aerodinamičnog tijela počinju se odvajati od njega i odnosi ih tok.

Primjer iz sasvim drugog područja: populacije dviju vrsta jedinki koje su mirno koegzistirale u stabilnom broju i imale zajedničku zalihu hrane, "odjednom" počinju naglo mijenjati svoju brojnost. I ovdje matematičko modeliranje omogućuje (s određenim stupnjem pouzdanosti) da se utvrdi uzrok (ili barem opovrgnuti određenu hipotezu).

Razvijanje koncepta za upravljanje objektom još je jedan mogući cilj modeliranja. Koji način leta zrakoplova trebam odabrati kako bih osigurao da je let siguran i ekonomski najisplativiji? Kako rasporediti stotine vrsta radova na izgradnji velikog objekta tako da se završi što je brže moguće kratkoročno? Mnogi takvi problemi sustavno se pojavljuju pred ekonomistima, dizajnerima i znanstvenicima.

Konačno, predviđanje posljedica određenih utjecaja na objekt može biti relativno jednostavna stvar u jednostavnim fizičkim sustavima, ali i izuzetno složena - na rubu izvedivog - u biološkim, ekonomskim i društvenim sustavima. Ako je relativno lako odgovoriti na pitanje o promjenama u načinu distribucije topline u tankoj šipki zbog promjena u leguri koja je sastavna, onda je relativno lako pratiti (predvidjeti) ekološke i klimatske posljedice izgradnje velikog štapa. hidroelektrana ili društvene posljedice izmjene poreznog zakonodavstva neusporedivo teže. Možda će i ovdje metode matematičkog modeliranja u budućnosti pružiti značajniju pomoć.

Druga faza: određivanje ulaznih i izlaznih parametara modela; podjela ulaznih parametara prema stupnju važnosti utjecaja njihovih promjena na izlaz. Taj se proces naziva rangiranje ili odvajanje po rangu (vidi. "Formalizacijacija i modeliranje").

Treća faza: konstrukcija matematičkog modela. U ovoj fazi dolazi do prijelaza s apstraktne formulacije modela na formulaciju koja ima specifičan matematički prikaz. Matematički model su jednadžbe, sustavi jednadžbi, sustavi nejednadžbi, diferencijalne jednadžbe ili sustavi takvih jednadžbi itd.

Četvrta faza: odabir metode za proučavanje matematičkog modela. Ovdje se najčešće koriste numeričke metode, koje se dobro mogu programirati. U pravilu je za rješavanje istog problema prikladno nekoliko metoda koje se razlikuju po točnosti, stabilnosti itd. Uspjeh cjelokupnog procesa modeliranja često ovisi o pravilnom odabiru metode.

peta faza: razvoj algoritma, kompajliranje i otklanjanje pogrešaka računalnog programa proces je koji je teško formalizirati. Među programskim jezicima, mnogi profesionalci preferiraju FORTRAN za matematičko modeliranje: kako zbog tradicije tako i zbog nenadmašne učinkovitosti prevodilaca (za računski rad) i dostupnosti ogromnih, pažljivo ispravljenih pogrešaka i optimiziranih biblioteka standardnih programa za matematičke metode napisanih u njemu . U upotrebi su i jezici kao što su PASCAL, BASIC, C, ovisno o prirodi zadatka i sklonostima programera.

Šesta faza: testiranje programa. Rad programa testira se na testnom zadatku s unaprijed poznatim odgovorom. Ovo je tek početak postupka testiranja koji je teško opisati na formalno sveobuhvatan način. Testiranje obično završava kada korisnik, na svoj način, profesionalne karakteristike pronalazi ispravan program.

Sedma faza: stvarni računalni eksperiment, tijekom kojeg se utvrđuje odgovara li model stvarnom objektu (procesu). Model je dovoljno adekvatan stvarnom procesu ako se neke karakteristike procesa dobivene računalom podudaraju s eksperimentalno dobivenim karakteristikama sa zadanim stupnjem točnosti. Ako model ne odgovara stvarnom procesu, vraćamo se na jednu od prethodnih faza.

Klasifikacija matematičkih modela

Klasifikacija matematičkih modela može se temeljiti na različitim principima. Modeli se mogu klasificirati prema granama znanosti (matematički modeli u fizici, biologiji, sociologiji itd.). Mogu se klasificirati prema korištenom matematičkom aparatu (modeli temeljeni na korištenju običnih diferencijalnih jednadžbi, parcijalnih diferencijalnih jednadžbi, stohastičkih metoda, diskretnih algebarskih transformacija itd.). Konačno, na temelju zajednički zadaci modeliranja u različitim znanostima, bez obzira na matematički aparat, najprirodnija klasifikacija je:

• deskriptivni (deskriptivni) modeli;
• optimizacijski modeli;
• višekriterijski modeli;
• modeli igre.

Objasnimo to primjerima.

Deskriptivni (deskriptivni) modeli. Na primjer, modeliranje kretanja kometa koji napada Sunčev sustav, napravljen je u svrhu predviđanja njegove putanje leta, udaljenosti na kojoj će proći od Zemlje i sl. U ovom slučaju, ciljevi modeliranja su deskriptivne prirode, budući da ne postoji način da se utječe na kretanje kometa ili da se nešto u njemu promijeni.

Optimizacijski modeli koriste se za opisivanje procesa na koje se može utjecati u pokušaju postizanja zadanog cilja. U tom slučaju model uključuje jedan ili više parametara na koje se može utjecati. Na primjer, kada mijenjate toplinski režim u žitnici, možete postaviti cilj odabira režima koji će postići maksimalnu sigurnost zrna, tj. optimizirati proces skladištenja.

Višekriterijski modeli. Često je potrebno optimizirati proces po nekoliko parametara istovremeno, a ciljevi mogu biti prilično kontradiktorni. Na primjer, znajući cijene hrane i potrebe osobe za hranom, morate organizirati obroke velike grupe ljudi (u vojsci, dječjem ljetnom kampu itd.) je fiziološki ispravan, a ujedno i što je moguće jeftiniji. Jasno je da se ti ciljevi uopće ne poklapaju, tj. Pri modeliranju će se koristiti nekoliko kriterija između kojih se mora tražiti ravnoteža.

Modeli igara može se odnositi ne samo na računalne igrice, ali i na vrlo ozbiljne stvari. Na primjer, prije bitke, zapovjednik, ako postoje nepotpuni podaci o protivničkoj vojsci, mora razviti plan: kojim redoslijedom uvesti određene jedinice u bitku itd., uzimajući u obzir moguća reakcija neprijatelj. Postoji posebna grana moderne matematike - teorija igara - koja proučava metode donošenja odluka u uvjetima nepotpunih informacija.

U školskom tečaju informatike učenici stječu početno razumijevanje računalnog matematičkog modeliranja kao dio osnovnog tečaja. U srednjoj školi matematičko modeliranje može se dublje proučavati u okviru općeobrazovnog predmeta za nastavu fizike i matematike, kao i u sklopu stručnog izbornog predmeta.

Glavni oblici nastave računalnog matematičkog modeliranja u srednjoj školi su predavanja, laboratorijske vježbe i kolokvijumi. Obično rad na stvaranju i pripremi za proučavanje svakog novog modela traje 3-4 lekcije. Tijekom izlaganja gradiva postavljaju se zadaci koje ubuduće studenti moraju samostalno rješavati. opći nacrt navedeni su načini za njihovo rješavanje. Formulirana su pitanja čije odgovore treba dobiti prilikom ispunjavanja zadataka. Naznačeno dodatna literatura, koji vam omogućuje dobivanje pomoćnih informacija za uspješnije izvršavanje zadataka.

Oblik organizacije nastave pri proučavanju novog gradiva najčešće je predavanje. Nakon završetka rasprave o sljedećem modelu učenicima raspolagati potrebnim teorijskim informacijama i skupom zadataka za daljnji rad. U pripremi za rješavanje zadatka, studenti biraju odgovarajuću metodu rješavanja i testiraju izrađeni program koristeći neko poznato privatno rješenje. U slučaju vrlo mogućih poteškoća pri izvršavanju zadataka, daju se konzultacije i predlaže detaljnije proučavanje ovih odjeljaka u literarnim izvorima.

Za praktični dio nastave računalnog modeliranja najprikladnija je projektna metoda. Zadatak je formuliran za studenta u obliku obrazovnog projekta i provodi se kroz nekoliko sati, a glavni organizacijski oblik je računalo. laboratorijski radovi. Nastava modeliranja metodom obrazovnog projekta može se provoditi na različitim razinama. Prvi je problemski prikaz procesa izrade projekta koji vodi nastavnik. Drugi je provedba projekta od strane učenika pod vodstvom učitelja. Treći je da studenti samostalno završe obrazovno istraživački projekt.

Rezultate rada potrebno je prikazati u numeričkom obliku, u obliku grafikona i dijagrama. Ako je moguće, proces se prikazuje na zaslonu računala u dinamici. Nakon završetka izračuna i primitka rezultata, oni se analiziraju i uspoređuju poznate činjenice iz teorije se potvrđuje pouzdanost i donosi smislena interpretacija, koja se naknadno odražava u pisanom izvješću.

Ako rezultati zadovolje učenika i nastavnika, onda rad broji završen, a njegova završna faza je izrada izvješća. Izvješće sadrži kratke teorijske informacije o temi koja se proučava, matematičku formulaciju problema, algoritam rješenja i njegovo obrazloženje, računalni program, rezultate programa, analizu rezultata i zaključke te popis literature.

Kada su sva izvješća sastavljena, učenici prezentiraju svoja kratke poruke o obavljenom poslu, brane svoj projekt. Ovo je učinkovit oblik izvješća grupe koja provodi projekt razredu, uključujući postavljanje problema, izgradnju formalnog modela, odabir metoda za rad s modelom, implementaciju modela na računalu, rad s gotovim modelom, tumačenje rezultate i predviđanja. Kao rezultat toga, studenti mogu dobiti dvije ocjene: prvu - za razradu projekta i uspješnost njegove obrane, drugu - za program, optimalnost njegovog algoritma, sučelja itd. Učenici također dobivaju ocjene tijekom teorijskih kvizova.

Suštinsko pitanje- koje alate treba koristiti u školskom tečaju informatike za matematičko modeliranje? Računalna implementacija modela može se provesti:

• korištenje procesora proračunskih tablica (obično MS Excel);
• izradom programa u tradicionalnim programskim jezicima (Pascal, BASIC i dr.), kao i u njihovim modernim verzijama (Delphi, Visual
  Osnova za primjenu, itd.);
• korištenje posebnih aplikacijskih paketa za rješavanje matematičkih problema (MathCAD i dr.).

Na razini osnovne škole prvi način se čini poželjnijim. No, u srednjoj školi, kada je programiranje, uz modeliranje, ključna tema informatike, preporučljivo ga je koristiti kao alat za modeliranje. Tijekom procesa programiranja učenicima postaju dostupni detalji matematičkih postupaka; Štoviše, jednostavno su ih prisiljeni svladati, a to također pridonosi matematičkom obrazovanju. Što se tiče korištenja posebnih programskih paketa, to je primjereno u specijaliziranom tečaju informatike kao dopuna drugim alatima.

Vježbajte :

• Napravite dijagram ključnih pojmova.

Predavanje 1.

METODOLOŠKE OSNOVE MODELOVANJA

Trenutno stanje problematike modeliranja sustava

Koncepti modeliranja i simulacije

Modeliranje može se smatrati zamjenom predmeta koji se proučava (izvornika) njegovom konvencionalnom slikom, opisom ili drugim objektom tzv. model te pružanje ponašanja bliskog izvorniku u okviru određenih pretpostavki i prihvatljivih pogrešaka. Modeliranje se obično provodi s ciljem razumijevanja svojstava originala proučavanjem njegovog modela, a ne samog objekta. Naravno, modeling je opravdan kada je lakši za stvaranje samog izvornika ili kada je iz nekog razloga bolje potonji uopće ne stvarati.

Pod, ispod model se shvaća kao fizički ili apstraktni objekt, čija su svojstva u određenom smislu slična svojstvima predmeta koji se proučava. U ovom slučaju, zahtjevi za model određeni su problemom koji se rješava i raspoloživim sredstvima. Postoji nekoliko općih zahtjeva za modele:

2) cjelovitost – davanje svih potrebnih informacija primatelju

o objektu;

3) fleksibilnost - sposobnost reproduciranja različitih situacija u svemu

raspon promjena uvjeta i parametara;

4) složenost razvoja mora biti prihvatljiva za postojeće

vrijeme i softver.

Modeliranje je proces konstruiranja modela objekta i proučavanja njegovih svojstava ispitivanjem modela.

Dakle, modeliranje uključuje 2 glavne faze:

1) razvoj modela;

2) proučavanje modela i izvođenje zaključaka.

Istodobno se u svakoj fazi rješavaju različiti zadaci i

bitno različite metode i sredstva.

U praksi koriste razne metode modeliranje. Ovisno o načinu implementacije, svi se modeli mogu podijeliti u dvije velike klase: fizičke i matematičke.

Matematičko modeliranje Obično se smatra sredstvom proučavanja procesa ili pojava pomoću njihovih matematičkih modela.

Pod, ispod fizičko modeliranje odnosi se na proučavanje objekata i pojava na fizičkim modelima, kada se proces koji se proučava reproducira uz očuvanje njegove fizičke prirode ili se koristi druga fizikalna pojava slična onoj koja se proučava. pri čemu fizički modeli U pravilu se pretpostavlja stvarno utjelovljenje ona fizikalna svojstva originala koja su značajna u određenoj situaciji. Na primjer, prilikom projektiranja novog zrakoplova izrađuje se maketa koja ima ista aerodinamička svojstva; Prilikom planiranja razvoja, arhitekti izrađuju model koji odražava prostorni raspored njegovih elemenata. U tom smislu naziva se i fizičko modeliranje izrada prototipova.

Modeliranje poluživota je studija upravljivih sustava na modelirajućim kompleksima uz uključivanje stvarne opreme u model. Uz stvarnu opremu, zatvoreni model uključuje simulatore utjecaja i smetnji, matematičke modele vanjske okoline i procesa za koje nije poznat dovoljno točan matematički opis. Uključivanje stvarne opreme ili stvarnih sustava u krug modeliranja složenih procesa omogućuje smanjenje apriorne nesigurnosti i istraživanje procesa za koje ne postoji točan matematički opis. Koristeći poluprirodno modeliranje, istraživanje se provodi uzimajući u obzir male vremenske konstante i linearnosti svojstvene stvarnoj opremi. Pri proučavanju modela na stvarnoj opremi koristi se koncept dinamička simulacija, pri proučavanju složenih sustava i pojava - evolucijski, imitacija I kibernetsko modeliranje.

Očito, prava korist od modeliranja može se postići samo ako su ispunjena dva uvjeta:

1) model osigurava ispravan (adekvatan) prikaz svojstava

izvornik, značajan sa stajališta operacije koja se proučava;

2) model vam omogućuje da eliminirate gore navedene inherentne probleme

provođenje istraživanja na stvarnim objektima.

2. Osnovni pojmovi matematičkog modeliranja

Rješavanje praktičnih problema matematičkim metodama dosljedno se provodi formuliranjem problema (razvijanjem matematičkog modela), odabirom metode proučavanja dobivenog matematičkog modela i analizom dobivenog matematičkog rezultata. Matematička formulacija problema obično se prikazuje u obliku geometrijskih slika, funkcija, sustava jednadžbi itd. Opis objekta (fenomena) može se prikazati kontinuiranim ili diskretnim, determinističkim ili stohastičkim i drugim matematičkim oblicima.

Teorija matematičkog modeliranja osigurava identifikaciju obrazaca pojavljivanja različitih pojava u okolnom svijetu ili rada sustava i uređaja pomoću njihovog matematičkog opisa i modeliranja bez provođenja testova u punom opsegu. U ovom slučaju koriste se odredbe i zakoni matematike koji opisuju simulirane pojave, sustave ili uređaje na određenoj razini njihove idealizacije.

Matematički model (MM) je formalizirani opis sustava (ili operacije) u nekom apstraktnom jeziku, na primjer, u obliku skupa matematičkih odnosa ili dijagrama algoritma, tj. tj. matematički opis koji pruža simulaciju rada sustava ili uređaja na razini dovoljno bliskoj njihovom stvarnom ponašanju dobivenom tijekom testiranja sustava ili uređaja u punoj mjeri.

Svaki MM opisuje stvarni objekt, pojavu ili proces s određenim stupnjem približavanja stvarnosti. Vrsta MM ovisi o prirodi stvarnog objekta i o ciljevima istraživanja.

Matematičko modeliranje društvenih, ekonomskih, bioloških i fizičkih pojava, objekata, sustava i raznih uređaja jedno je od najvažnijih sredstava razumijevanja prirode i projektiranja najrazličitijih sustava i uređaja. Poznati su primjeri učinkovite uporabe modeliranja u stvaranju nuklearnih tehnologija, zrakoplovnih i svemirskih sustava, u predviđanju atmosferskih i oceanskih pojava, vremena itd.

Međutim, takva ozbiljna područja modeliranja često zahtijevaju superračunala i godine rada velikih timova znanstvenika da pripreme podatke za modeliranje i njihovo otklanjanje pogrešaka. Međutim, u ovom slučaju matematičko modeliranje složenih sustava i uređaja ne samo da štedi novac na istraživanju i testiranju, već također može eliminirati ekološke katastrofe - na primjer, omogućuje vam da napustite testiranje nuklearnog i termonuklearnog oružja u korist njihovog matematičkog modeliranja. ili testiranje zrakoplovnih sustava prije njihovih stvarnih letova. Stoga je matematičko modeliranje na razini rješavanja jednostavnijih problema, primjerice, iz područja mehanike, elektrotehnike, elektronike, radiotehnike i mnogih drugih područja znanosti i tehnologije sada postalo. dostupan za izvođenje na modernim računalima. A kada se koriste generalizirani modeli, postaje moguće simulirati prilično složene sustave, na primjer, telekomunikacijske sustave i mreže, radarske ili radionavigacijske sustave.

Svrha matematičkog modeliranja je analiza stvarnih procesa (u prirodi ili tehnologiji) pomoću matematičkih metoda. Zauzvrat, to zahtijeva formalizaciju MM procesa koji može biti matematički izraz koji sadrži varijable koje su slične ponašanju stvarnog sustava. Model može uključivati ​​elemente slučajnosti radnje dva ili više"igrači", kao u teoriji igara; ili može predstavljati stvarne varijable međusobno povezanih dijelova operativnog sustava.

Matematičko modeliranje za proučavanje karakteristika sustava može se podijeliti na analitičko, simulacijsko i kombinirano. Zauzvrat, MM se dijele na simulacijske i analitičke.

Analitičko modeliranje

Za analitičko modeliranje Karakteristično je da se procesi funkcioniranja sustava zapisuju u obliku određenih funkcionalnih odnosa (algebarske, diferencijalne, integralne jednadžbe). Analitički model može se proučavati pomoću sljedećih metoda:

1) analitički, kada nastoje dobiti, u općem obliku, eksplicitne ovisnosti za karakteristike sustava;

2) numerički, kada nije moguće naći rješenje jednadžbi u općem obliku i one se rješavaju za određene početne podatke;

3) kvalitativno, kada se u nedostatku rješenja pronađu neka od njegovih svojstava.

Analitički modeli mogu se dobiti samo za relativno jednostavne sustave. Za složene sustave često se javljaju veliki matematički problemi. Za primjenu analitičke metode ide se na značajno pojednostavljenje izvornog modela. Međutim, istraživanje pomoću pojednostavljenog modela pomaže u dobivanju samo indikativnih rezultata. Analitički modeli matematički ispravno odražavaju odnos između ulaznih i izlaznih varijabli i parametara. Ali njihova struktura ne odražava unutarnju strukturu objekta.

Tijekom analitičkog modeliranja njegovi se rezultati prikazuju u obliku analitičkih izraza. Na primjer, povezivanjem R.C.- krug na izvor konstantnog napona E(R, C I E- komponente ovog modela), možemo stvoriti analitički izraz za vremensku ovisnost napona u(t) na kondenzatoru C:

Ova linearna diferencijalna jednadžba (DE) je analitički model ovog jednostavnog linearnog kruga. Njegovo analitičko rješenje, pod početnim uvjetom u(0) = 0, što znači ispražnjeni kondenzator C na početku modeliranja, omogućuje vam da pronađete željenu ovisnost - u obliku formule:

u(t) = E(1− prstr(- t/RC)). (2)

Međutim, čak iu ovom najjednostavnijem primjeru potrebni su određeni napori za rješavanje DE (1) ili za primjenu sustavi računalne matematike(SCM) sa simboličkim proračunima – sustavi računalne algebre. Za ovaj potpuno trivijalan slučaj, rješavanje problema modeliranja linearnog R.C.- krug daje analitički izraz (2) prilično općenitog oblika - prikladan je za opisivanje rada kruga za bilo koju vrijednost komponente R, C I E, i opisuje eksponencijalni naboj kondenzatora C kroz otpornik R iz izvora konstantnog napona E.

Naravno, pronalaženje analitičkih rješenja tijekom analitičkog modeliranja pokazalo se iznimno vrijednim za identificiranje općih teorijskih obrazaca jednostavnih linearnih sklopova, sustava i uređaja. Međutim, njegova složenost naglo raste kako utjecaji na model postaju složeniji, a redoslijed i broj njih jednadžbe stanja koje opisuju modelirani objekt povećavaju. Možete dobiti više ili manje vidljive rezultate kod modeliranja objekata drugog ili trećeg reda, ali kod višeg reda analitički izrazi postaju preglomazni, složeni i teško shvatljivi. Na primjer, čak i jednostavno elektroničko pojačalo često sadrži desetke komponenti. Međutim, mnogi moderni SCM-ovi, na primjer, sustavi simboličke matematike Maple, Mathematica ili okoliš MATLAB, sposobni su u velikoj mjeri automatizirati rješavanje složenih problema analitičkog modeliranja.

Jedna vrsta modeliranja je numeričko modeliranje, koji se sastoji u dobivanju potrebnih kvantitativnih podataka o ponašanju sustava ili uređaja bilo kojom prikladnom numeričkom metodom, poput Eulerove ili Runge-Kutta metode. U praksi se pokazalo da je modeliranje nelinearnih sustava i uređaja numeričkim metodama mnogo učinkovitije od analitičkog modeliranja pojedinačnih privatnih linearnih sklopova, sustava ili uređaja. Na primjer, za rješavanje DE (1) ili DE sustava u složenijim slučajevima ne može se dobiti rješenje u analitičkom obliku, ali pomoću podataka numeričke simulacije možete dobiti prilično potpune podatke o ponašanju simuliranih sustava i uređaja, kao i kao konstruirajte grafove ovisnosti koji opisuju ovo ponašanje.

Simulacijsko modeliranje

Na imitacija 10i modeliranje, algoritam koji implementira model reproducira proces funkcioniranja sustava tijekom vremena. Elementarni fenomeni koji čine proces se simuliraju, čuvajući njihovu logičnu strukturu i slijed događaja tijekom vremena.

Glavna prednost simulacijskih modela u odnosu na analitičke je mogućnost rješavanja složenijih problema.

Simulacijski modeli olakšavaju uzimanje u obzir prisutnost diskretnih ili kontinuiranih elemenata, nelinearnih karakteristika, slučajnih utjecaja itd. Stoga se ova metoda široko koristi u fazi projektiranja složenih sustava. Glavno sredstvo za provedbu simulacijskog modeliranja je računalo, koje omogućuje digitalno modeliranje sustava i signala.

S tim u vezi, definirajmo izraz „ računalno modeliranje”, koja se sve više koristi u literaturi. Pretpostavimo da računalno modeliranje je matematičko modeliranje pomoću računalne tehnologije. Sukladno tome, tehnologija računalnog modeliranja uključuje izvođenje sljedećih radnji:

1) određivanje svrhe modeliranja;

2) izrada konceptualnog modela;

3) formalizacija modela;

4) programska implementacija modela;

5) planiranje modela eksperimenata;

6) provedba plana pokusa;

7) analiza i interpretacija rezultata modeliranja.

Na simulacijsko modeliranje MM koji se koristi reproducira algoritam ("logiku") funkcioniranja sustava koji se proučava tijekom vremena za različite kombinacije vrijednosti parametara sustava i vanjskog okruženja.

Primjer najjednostavnijeg analitičkog modela je jednadžba pravocrtnog jednolikog gibanja. Kada se takav proces proučava pomoću simulacijskog modela, potrebno je primijeniti promatranje promjena u prijeđenom putu tijekom vremena. Za uspješan izbor potrebno je odgovoriti na dva pitanja.

Koja je svrha modeliranja?

U koju se klasu može svrstati modelirani fenomen?

Odgovori na oba ova pitanja mogu se dobiti tijekom prve dvije faze modeliranja.

Simulacijski modeli ne samo po svojstvima, već i po strukturi odgovaraju modeliranom objektu. U ovom slučaju postoji nedvosmislena i očita korespondencija između procesa dobivenih na modelu i procesa koji se odvijaju na objektu. Nedostatak simulacije je što je potrebno dugo vremena za rješavanje problema kako bi se postigla dobra točnost.

Rezultati simulacijskog modeliranja rada stohastičkog sustava su realizacije slučajnih varijabli ili procesa. Stoga su za pronalaženje karakteristika sustava potrebna višestruka ponavljanja i naknadna obrada podataka. Najčešće se u ovom slučaju koristi vrsta simulacije - statistički

modeliranje(ili Monte Carlo metoda), tj. reprodukcija slučajnih faktora, događaja, količina, procesa, polja u modelima.

Na temelju rezultata statističkog modeliranja utvrđuju se procjene probabilističkih kriterija kvalitete, općih i specifičnih, koji karakteriziraju funkcioniranje i učinkovitost upravljanog sustava. Statističko modeliranje naširoko se koristi za rješavanje znanstvenih i primijenjenih problema u raznim područjima znanosti i tehnologije. Metode statističkog modeliranja naširoko se koriste u proučavanju složenih dinamičkih sustava, procjenjujući njihovo funkcioniranje i učinkovitost.

Završna faza statističkog modeliranja temelji se na matematičkoj obradi dobivenih rezultata. Ovdje se koriste metode matematičke statistike (parametarska i neparametarska estimacija, testiranje hipoteza). Primjer parametarskog procjenitelja je srednja vrijednost uzorka mjere izvedbe. Među neparametarskim metodama, široko rasprostranjena metoda histograma.

Razmatrana shema temelji se na ponovljenim statističkim testovima sustava i metodama statistike nezavisnih slučajnih varijabli. Ova shema nije uvijek prirodna u praksi i optimalna u smislu troškova. Smanjenje vremena testiranja sustava može se postići upotrebom preciznijih metoda procjene. Kao što je poznato iz matematičke statistike, efektivne procjene imaju najveću točnost za određenu veličinu uzorka. Optimalno filtriranje i metoda najveće vjerojatnosti daju opća metoda dobivanje takvih procjena U problemima statističkog modeliranja, obrada implementacija slučajnih procesa je neophodna ne samo za analizu izlaznih procesa.

Vrlo je važna i kontrola karakteristika ulaznih slučajnih utjecaja. Kontrola se sastoji od provjere usklađenosti distribucija generiranih procesa sa zadanim distribucijama. Ovaj problem se često formulira kao problem testiranja hipoteze.

Opći trend računalnog modeliranja složenih upravljanih sustava je želja da se smanji vrijeme modeliranja, kao i provođenje istraživanja u stvarnom vremenu. Prikladno je predstaviti računalne algoritme u rekurentnom obliku, dopuštajući njihovu implementaciju brzinom primanja trenutnih informacija.

NAČELA SUSTAVSKOG PRISTUPA U MODELOVANJU

Osnovni principi teorije sustava

Osnovna načela teorije sustava nastala su tijekom proučavanja dinamičkih sustava i njihovih funkcionalnih elemenata. Sustav se shvaća kao skupina međusobno povezanih elemenata koji zajedno djeluju kako bi izvršili unaprijed određeni zadatak. Analiza sustava omogućuje vam da odredite najviše pravi načini ispunjenje dodijeljenog zadatka, osiguravajući maksimalno zadovoljenje navedenih zahtjeva.

Elementi koji čine osnovu teorije sustava ne nastaju putem hipoteza, već se otkrivaju eksperimentalno. Da bi se pristupilo izgradnji sustava potrebno je poznavati opće karakteristike tehnoloških procesa. Isto vrijedi i za načela stvaranja matematički formuliranih kriterija koje proces ili njegov teorijski opis moraju zadovoljiti. Modeling je jedan od naj važne metode znanstveno istraživanje i eksperimentiranje.

Pri izradi modela objekata koristi se sistemski pristup, koji je metodologija rješavanja složenih problema, koja se temelji na promatranju objekta kao sustava koji djeluje u određenom okruženju. Sustavni pristup uključuje otkrivanje cjelovitosti objekta, prepoznavanje i proučavanje njegove unutarnje strukture, kao i povezanosti s vanjskim okruženjem. U ovom slučaju objekt se prikazuje kao dio stvarnog svijeta koji se izdvaja i proučava u vezi s problemom konstruiranja modela. Osim toga, sistemski pristup podrazumijeva dosljedan prijelaz od općeg prema posebnom, kada je cilj projektiranja temelj razmatranja, a objekt se promatra u odnosu na okolinu.

Složeni objekt može se podijeliti na podsustave, koji su dijelovi objekta koji ispunjavaju sljedeće zahtjeve:

1) podsustav je funkcionalno neovisan dio objekta. Povezan je s drugim podsustavima, s njima razmjenjuje informacije i energiju;

2) za svaki podsustav mogu se definirati funkcije ili svojstva koja se ne poklapaju sa svojstvima cijelog sustava;

3) svaki od podsustava može se podvrgnuti daljnjoj podjeli do razine elemenata.

U ovom slučaju element se shvaća kao podsustav niže razine, čija je daljnja podjela neprikladna sa stajališta problema koji se rješava.

Dakle, sustav se može definirati kao prikaz objekta u obliku skupa podsustava, elemenata i veza u svrhu njegovog stvaranja, istraživanja ili poboljšanja. U tom slučaju, uvećani prikaz sustava, uključujući glavne podsustave i veze između njih, naziva se makrostruktura, a detaljan prikaz unutarnje strukture sustava do razine elemenata naziva se mikrostruktura.

Uz sustav obično postoji i nadsustav - sustav više razine, koji uključuje dotični objekt, a samo preko nadsustava može se odrediti funkcija bilo kojeg sustava.

Potrebno je istaknuti pojam okoline kao skupa objekata vanjskog svijeta koji značajno utječu na učinkovitost sustava, ali nisu dio sustava i njegovog nadsustava.

U vezi sa sustavnim pristupom izgradnji modela koristi se koncept infrastrukture koji opisuje odnos sustava s okolinom (okruženjem). u okviru određenog zadatka naziva se stratifikacija objekta, a svaki model objekta je njegov stratificirani opis.

Za sustavski pristup važno je odrediti strukturu sustava, tj. skup veza između elemenata sustava, odražavajući njihovu interakciju. Da bismo to učinili, prvo ćemo razmotriti strukturne i funkcionalne pristupe modeliranju.

Strukturalnim pristupom otkriva se sastav odabranih elemenata sustava i veze među njima. Skup elemenata i veza omogućuje prosudbu strukture sustava. Najopćenitiji opis strukture je topološki opis. Omogućuje određivanje komponenti sustava i njihovih veza pomoću grafikona. Manje je općenito funkcionalni opis, kada se razmatraju pojedinačne funkcije, tj. algoritmi za ponašanje sustava. U ovom slučaju implementiran je funkcionalni pristup koji definira funkcije koje sustav obavlja.

Na temelju sistemskog pristupa može se predložiti slijed razvoja modela u kojem se razlikuju dvije glavne faze dizajna: makrodizajn i mikrodizajn.

U fazi makrodizajna gradi se model vanjskog okruženja, identificiraju se resursi i ograničenja, odabire model sustava i kriteriji za ocjenu primjerenosti.

Faza mikrodizajna uvelike ovisi o specifičnoj vrsti odabranog modela. Općenito, to uključuje stvaranje informacijskih, matematičkih, tehničkih i softverskih sustava za modeliranje. U ovoj fazi utvrđuju se glavne tehničke karakteristike izrađenog modela, procjenjuje se vrijeme potrebno za rad s njim i troškovi resursa za postizanje specificirane kvalitete modela.

Bez obzira na vrstu modela, prilikom njegove konstrukcije potrebno je voditi se nizom načela sustavnog pristupa:

1) dosljedno napredovanje kroz faze stvaranja modela;

2) koordinaciju informacija, resursa, pouzdanosti i drugih karakteristika;

3) ispravan odnos između različitih razina konstrukcije modela;

4) cjelovitost pojedinih faza dizajna modela.