Tre bambini andarono nella foresta a raccogliere le bacche. La figlia maggiore ha trovato 18 bacche, quella centrale - 15 e fratello minore- 3 bacche (vedi Fig. 1). Portarono le bacche alla mamma, che decise di dividerle equamente. Quante bacche ha ricevuto ogni bambino?

Riso. 1. Illustrazione del problema

Soluzione

(Yag.) - i bambini hanno raccolto tutto

2) Dividere totale bacche per numero di bambini:

(Yag.) è andato a ogni bambino

Risposta: Ogni bambino riceverà 12 bacche.

Nel problema 1, il numero ottenuto nella risposta è la media aritmetica.

Significato aritmetico più numeri è il quoziente di divisione della somma di questi numeri per il loro numero.

Esempio 1

Abbiamo due numeri: 10 e 12. Trova la loro media aritmetica.

Soluzione

1) Determiniamo la somma di questi numeri: .

2) Il numero di questi numeri è 2, quindi la media aritmetica di questi numeri è: .

Risposta: media numeri aritmetici 10 e 12 sono il numero 11.

Esempio 2

Abbiamo cinque numeri: 1, 2, 3, 4 e 5. Trova la loro media aritmetica.

Soluzione

1) La somma di questi numeri è pari a: .

2) Per definizione, la media aritmetica è il quoziente di divisione della somma dei numeri per il loro numero. Abbiamo cinque numeri, quindi la media aritmetica è:

Risposta: la media aritmetica dei dati nella condizione dei numeri è 3.

Oltre al fatto che viene costantemente suggerita durante le lezioni, trovare la media aritmetica è molto utile Vita di ogni giorno. Ad esempio, diciamo che vogliamo andare in vacanza in Grecia. Per scegliere l'abbigliamento adatto, guardiamo qual è la temperatura in questo paese in questo momento. Tuttavia, non conosceremo il quadro meteorologico complessivo. Pertanto, è necessario scoprire la temperatura dell'aria in Grecia, ad esempio, per una settimana, e trovare la media aritmetica di queste temperature.

Esempio 3

Temperature in Grecia per la settimana: lunedì - ; Martedì - ; Mercoledì - ; Giovedì - ; Venerdì - ; Sabato - ; Domenica - . Calcolare la temperatura media della settimana.

Soluzione

1) Calcoliamo la somma delle temperature: .

2) Dividere l'importo risultante per il numero di giorni: .

Risposta: La temperatura media settimanale è di ca.

La capacità di trovare la media aritmetica può essere necessaria anche per determinare l'età media dei giocatori di una squadra di calcio, cioè per determinare se la squadra è esperta o meno. È necessario sommare le età di tutti i giocatori e dividerle per il loro numero.

Problema 2

Il commerciante vendeva mele. Inizialmente li vendeva al prezzo di 85 rubli per 1 kg. Quindi ha venduto 12 kg. Poi ha ridotto il prezzo a 65 rubli e ha venduto i restanti 4 kg di mele. Qual è stato il prezzo medio delle mele?

Soluzione

1) Calcoliamo quanti soldi ha guadagnato in totale il commerciante. Ha venduto 12 chilogrammi al prezzo di 85 rubli per 1 kg: (strofinare.).

Ha venduto 4 chilogrammi al prezzo di 65 rubli per 1 kg: (rubli).

Pertanto, l'importo totale del denaro guadagnato è pari a: (sfregamento).

2) Il peso totale delle mele vendute è pari a: .

3) Dividere la somma di denaro ricevuta per il peso totale delle mele vendute e ottenere il prezzo medio per 1 kg di mele: (rubli).

Risposta: il prezzo medio di 1 kg di mele vendute è di 80 rubli.

La media aritmetica aiuta a valutare i dati nel loro insieme, senza prendere ciascun valore separatamente.

Tuttavia non è sempre possibile utilizzare il concetto di media aritmetica.

Esempio 4

Il tiratore ha sparato due colpi al bersaglio (vedi Fig. 2): la prima volta ha colpito un metro sopra il bersaglio e la seconda volta un metro sotto. La media aritmetica mostrerà che ha centrato esattamente il centro, anche se ha sbagliato entrambe le volte.

Riso. 2. Illustrazione ad esempio

In questa lezione abbiamo imparato il concetto di media aritmetica. Abbiamo imparato la definizione di questo concetto, imparato a calcolare la media aritmetica di diversi numeri. Abbiamo anche imparato uso pratico questo concetto.

1. N.Ya. Vilenkin. Matematica: libro di testo. per la 5a elementare. educazione generale uhr. -Ed. 17. - M.: Mnemosine, 2005.
)
2. Igor aveva con sé 45 rubli, Andrey 28 e Denis 17.
3. Con tutti i loro soldi comprarono 3 biglietti per il cinema. Quanto è costato un biglietto?

L'argomento della media aritmetica e della media geometrica è incluso nel programma di matematica per le classi 6-7. Poiché il paragrafo è abbastanza facile da capire, viene subito ignorato e alla fine dell'anno scolastico gli studenti lo dimenticano. Ma è necessaria la conoscenza delle statistiche di base superamento dell'Esame di Stato Unificato, e anche per esami internazionali SAB. E per la vita di tutti i giorni, il pensiero analitico sviluppato non fa mai male.

Come calcolare la media aritmetica e la media geometrica dei numeri

Diciamo che esiste una serie di numeri: 11, 4 e 3. La media aritmetica è la somma di tutti i numeri divisa per il numero di numeri dati. Cioè, nel caso dei numeri 11, 4, 3, la risposta sarà 6. Come si ottiene 6?

Soluzione: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Il denominatore deve contenere un numero uguale al numero di numeri di cui si vuole trovare la media. La somma è divisibile per 3, poiché i termini sono tre.

Ora dobbiamo calcolare la media geometrica. Diciamo che c'è una serie di numeri: 4, 2 e 8.

La media geometrica dei numeri è il prodotto di tutti i numeri dati, situato sotto la radice con una potenza pari al numero dei numeri dati, ovvero nel caso dei numeri 4, 2 e 8 la risposta sarà 4. Ecco come risultò:

Soluzione: ∛(4 × 2 × 8) = 4

In entrambe le opzioni abbiamo ottenuto risposte complete, poiché come esempio sono stati presi numeri speciali. Ciò non accade sempre. Nella maggior parte dei casi, la risposta deve essere arrotondata o lasciata alla radice. Ad esempio, per i numeri 11, 7 e 20, la media aritmetica è ≈ 12,67 e la media geometrica è ∛1540. E per i numeri 6 e 5 le risposte saranno rispettivamente 5,5 e √30.

Potrebbe accadere che la media aritmetica diventi uguale alla media geometrica?

Certo che può. Ma solo in due casi. Se esiste una serie di numeri composta solo da uno o da zeri. È anche interessante notare che la risposta non dipende dal loro numero.

Dimostrazione con unità: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (media aritmetica).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(media geometrica).

Dimostrazione con zeri: (0 + 0) / 2=0 (media aritmetica).

√(0 × 0) = 0 (media geometrica).

Non esiste altra opzione e non può esserlo.

Soprattutto nell’eq. In pratica dobbiamo utilizzare la media aritmetica, che può essere calcolata come media aritmetica semplice e ponderata.

Media aritmetica (SA)-N Il tipo più comune di media. Viene utilizzato nei casi in cui il volume di una caratteristica variabile per l'intera popolazione è la somma dei valori delle caratteristiche delle sue singole unità. I fenomeni sociali sono caratterizzati dall'additività (totalità) dei volumi di caratteristica variabile; ciò determina l'ambito di applicazione dell'AS e spiega la sua prevalenza come indicatore generale, ad esempio: il fondo salariale generale è la somma degli stipendi di tutti i dipendenti.

Per calcolare SA, è necessario dividere la somma di tutti i valori delle caratteristiche per il loro numero. SA è utilizzato in 2 forme.

Consideriamo innanzitutto una semplice media aritmetica.

1-CA semplice (forma iniziale, di definizione) è uguale alla semplice somma dei singoli valori della caratteristica di cui si fa la media, divisa per il numero totale di questi valori (utilizzato quando sono presenti valori dell'indice non raggruppati della caratteristica):

I calcoli effettuati possono essere generalizzati nella seguente formula:

(1)

Dove - il valore medio della caratteristica variabile, ovvero la media aritmetica semplice;

significa sommatoria, cioè somma di caratteristiche individuali;

X- valori individuali di una caratteristica variabile, chiamati varianti;

N - numero di unità della popolazione

Esempio 1,è necessario trovare la produzione media di un lavoratore (meccanico), se si sa quante parti hanno prodotto ciascuno dei 15 lavoratori, cioè data una serie di ind. valori degli attributi, pz.: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

L'SA semplice viene calcolato utilizzando la formula (1), pz.:

Esempio2. Calcoliamo il SA sulla base dei dati condizionali per 20 negozi inclusi nella società commerciale (Tabella 1). Tabella 1

Distribuzione dei negozi della società commerciale "Vesna" per superficie di vendita, mq. M

Negozio n.		Negozio n.

Per calcolare l'area media del negozio ( ) è necessario sommare le superfici di tutti i negozi e dividere il risultato risultante per il numero dei negozi:

Pertanto, la superficie media del negozio per questo gruppo di imprese al dettaglio è di 71 mq.

Pertanto, per determinare una SA semplice, è necessaria la somma di tutti i valori di questa caratteristica diviso per il numero di unità che possiedono questa caratteristica.

2

Dove F 1 , F 2 , … ,F N – peso (frequenza di ripetizione di segni identici);

– la somma dei prodotti della grandezza delle caratteristiche e delle loro frequenze;

– il numero totale di unità di popolazione.

- SA ponderato - Con La metà delle opzioni che si ripetono un numero diverso di volte o, come si suol dire, hanno pesi diversi. I pesi rappresentano il numero di unità in gruppi diversi aggregati (le opzioni identiche vengono combinate in un gruppo). SA ponderato – media dei valori raggruppati X 1 , X 2 , .., X N, – calcolato: (2)

Dove X- opzioni;

F- frequenza (peso).

L'SA ponderato è il quoziente risultante dalla divisione della somma dei prodotti delle opzioni e delle frequenze corrispondenti per la somma di tutte le frequenze. Frequenze ( F) che compaiono nella formula SA vengono solitamente chiamati bilancia, per cui l'AS calcolato tenendo conto dei pesi è detto ponderato.

Illustreremo la tecnica di calcolo dell'SA ponderato utilizzando l'esempio 1 discusso sopra. Per fare ciò, raggrupperemo i dati iniziali e li inseriremo nella tabella.

La media dei dati raggruppati viene determinata come segue: prima si moltiplicano le opzioni per le frequenze, poi si sommano i prodotti e la somma risultante viene divisa per la somma delle frequenze.

Secondo la formula (2), l'SA ponderato è uguale, pz.:

Distribuzione dei lavoratori per la produzione di componenti

P

I dati presentati nel precedente esempio 2 possono essere combinati in gruppi omogenei, presentati nella tabella. Tavolo

Distribuzione dei negozi Vesna per superficie di vendita, mq. M

Pertanto, il risultato è stato lo stesso. Tuttavia, questo sarà già un valore medio aritmetico ponderato.

Nell'esempio precedente abbiamo calcolato la media aritmetica purché siano note le frequenze assolute (numero di negozi). Tuttavia, in molti casi, le frequenze assolute sono assenti, ma sono note le frequenze relative o, come vengono comunemente chiamate, frequenze che mostrano la proporzione o la proporzione delle frequenze nell’intero set.

Nel calcolo dell'utilizzo ponderato SA frequenze consente di semplificare i calcoli quando la frequenza è espressa in numeri grandi a più cifre. Il calcolo viene effettuato allo stesso modo, tuttavia, poiché il valore medio risulta essere aumentato di 100 volte, il risultato deve essere diviso per 100.

Quindi la formula per la media aritmetica ponderata sarà simile a:

Dove D– frequenza, cioè. la quota di ciascuna frequenza nella somma totale di tutte le frequenze.

(3)

Nel nostro esempio 2 determiniamo innanzitutto la quota di negozi per gruppo sul numero totale di negozi dell'azienda Vesna. Quindi, per il primo gruppo il peso specifico corrisponde al 10%
. Otteniamo i seguenti dati Tabella3

) e media/e del campione.

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  Indichiamo l'insieme dei dati X = (X 1 , X 2 , …, X N), la media campionaria è solitamente indicata da una barra orizzontale sopra la variabile (pronunciata " X con una linea").

  La lettera greca μ è usata per indicare la media aritmetica dell'intera popolazione. Per una variabile casuale per la quale viene determinato il valore medio, μ è media probabilistica o aspettativa matematica di una variabile casuale. Se l'insieme Xè una raccolta di numeri casuali con media probabilistica μ, quindi per qualsiasi campione X io da questo insieme μ = E( X io) è l'aspettativa matematica di questo campione.

  In pratica, la differenza tra μ e x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))è che μ è una variabile tipica perché puoi vedere un campione piuttosto che l'intera popolazione. Pertanto, se il campione è casuale (in termini di teoria della probabilità), allora x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))(ma non μ) può essere trattata come una variabile casuale avente una distribuzione di probabilità sul campione (distribuzione di probabilità della media).

  Entrambe queste quantità si calcolano allo stesso modo:

  x ¯ = 1 n ∑ io = 1 n X io = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

  Esempi

  • Per tre numeri, devi sommarli e dividerli per 3:
  x1 + x2 + x33 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)
  • Per quattro numeri, devi sommarli e dividerli per 4:
  x1 + x2 + x3 + x4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

  O più semplice 5+5=10, 10:2. Poiché stavamo sommando 2 numeri, il che significa quanti numeri aggiungiamo, li dividiamo per quel numero.

  Variabile casuale continua

  f (x) ¯ [ un ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

  Alcuni problemi nell'utilizzo della media

  Mancanza di robustezza

  Sebbene le medie aritmetiche siano spesso utilizzate come medie o tendenze centrali, questo concetto non è una statistica robusta, nel senso che la media aritmetica è fortemente influenzata da "grandi deviazioni". È interessante notare che per distribuzioni con un elevato coefficiente di asimmetria, la media aritmetica potrebbe non corrispondere al concetto di "media" e i valori della media provenienti da statistiche robuste (ad esempio, la mediana) potrebbero descrivere meglio la parte centrale tendenza.

  Un classico esempio è il calcolo del reddito medio. La media aritmetica può essere interpretata erroneamente come mediana, il che può portare alla conclusione che ci sono più persone con redditi più alti di quante ce ne siano effettivamente. Il reddito “medio” viene interpretato nel senso che la maggior parte delle persone ha un reddito attorno a questo numero. Questo reddito “medio” (nel senso della media aritmetica) è superiore ai redditi della maggior parte delle persone, poiché un reddito elevato con una grande deviazione dalla media rende la media aritmetica altamente distorta (al contrario, il reddito medio al livello mediano “resiste” a tale distorsione). Tuttavia, questo reddito “medio” non dice nulla sul numero di persone vicine al reddito mediano (e non dice nulla sul numero di persone vicine al reddito modale). Tuttavia, se si prendono alla leggera i concetti di “media” e “la maggior parte delle persone”, si può trarre la conclusione errata che la maggior parte delle persone ha redditi più alti di quanto non siano in realtà. Ad esempio, un rapporto sul reddito netto “medio” a Medina, Washington, calcolato come la media aritmetica di tutti i redditi netti annuali dei residenti, fornirà sorprendentemente gran numero a causa di Bill Gates. Considera il campione (1, 2, 2, 2, 3, 9). La media aritmetica è 3,17, ma cinque valori su sei sono al di sotto di questa media.

  Interesse composto

  Se i numeri moltiplicare, ma no piega, è necessario utilizzare la media geometrica e non la media aritmetica. Molto spesso questo incidente si verifica quando si calcola il ritorno sull'investimento in finanza.

  Ad esempio, se un titolo è sceso del 10% nel primo anno e è aumentato del 30% nel secondo, non è corretto calcolare l’aumento “medio” in questi due anni come media aritmetica (−10% + 30%) / 2 = 10%; la media corretta in questo caso è data dal tasso di crescita annuo composto, che dà un tasso di crescita annuo di solo circa 8,16653826392% ≈ 8,2%.

  La ragione di ciò è che le percentuali hanno ogni volta un nuovo punto di partenza: 30% è 30% da un numero inferiore al prezzo all'inizio del primo anno: se un titolo iniziava a $ 30 e scendeva del 10%, varrebbe $ 27 all'inizio del secondo anno. Se il titolo aumentasse del 30%, varrebbe 35,1 dollari alla fine del secondo anno. La media aritmetica di questa crescita è del 10%, ma poiché il titolo è aumentato solo di 5,1 dollari in 2 anni, la crescita media dell’8,2% dà un risultato finale di 35,1 dollari:

  [$ 30 (1 - 0,1) (1 + 0,3) = $ 30 (1 + 0,082) (1 + 0,082) = $ 35,1]. Se usiamo la media allo stesso modo valore aritmetico 10%, non otterremo il valore effettivo: [$30 (1 + 0,1) (1 + 0,1) = $36,3].

  Interesse composto alla fine di 2 anni: 90% * 130% = 117%, ovvero l'aumento totale è del 17% e l'interesse composto medio annuo 117% ≈ 108,2% (\displaystyle (\sqrt (117\%))\circa 108,2\%), ovvero un aumento medio annuo dell'8,2%, cifra errata per due motivi.

  Il valore medio di una variabile ciclica calcolata utilizzando la formula di cui sopra verrà spostato artificialmente rispetto alla media reale verso la metà dell'intervallo numerico. Per questo motivo, la media viene calcolata in modo diverso, vale a dire, il numero con la varianza più piccola ( punto centrale). Inoltre, invece della sottrazione, viene utilizzata la distanza modulare (ovvero la distanza circonferenziale). Ad esempio, la distanza modulare tra 1° e 359° è 2°, non 358° (sul cerchio tra 359° e 360°==0° - un grado, tra 0° e 1° - anche 1°, in totale -2°).