Questo articolo riguarda l'angolo tra i piani e come trovarlo. Innanzitutto viene data la definizione dell'angolo tra due piani e viene fornita un'illustrazione grafica. Successivamente, è stato analizzato il principio per trovare l'angolo tra due piani che si intersecano utilizzando il metodo delle coordinate ed è stata ottenuta una formula che consente di calcolare l'angolo tra i piani che si intersecano utilizzando le coordinate note dei vettori normali di questi piani. In conclusione, vengono mostrate soluzioni dettagliate a problemi tipici.

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Angolo tra i piani - definizione.

Presentiamo argomenti che ci permetteranno di avvicinarci gradualmente alla determinazione dell'angolo tra due piani che si intersecano.

Diamo due piani che si intersecano e . Questi piani si intersecano lungo una linea retta, che denotiamo con la lettera c. Costruiamo un piano passante per il punto M della linea c e perpendicolare alla linea c. In questo caso, l'aereo intersecherà gli aerei e. Indichiamo con a la retta lungo la quale i piani si intersecano con a, e la retta lungo la quale i piani si intersecano con b. Ovviamente le linee a e b si intersecano nel punto M.

È facile dimostrare che l'angolo tra le linee che si intersecano a e b non dipende dalla posizione del punto M sulla linea c attraverso la quale passa l'aereo.

Costruiamo un piano perpendicolare alla retta c e diverso dal piano. Il piano è intersecato da piani e lungo linee rette, che denotiamo rispettivamente come a 1 e b 1.

Dal metodo di costruzione dei piani segue che le linee a e b sono perpendicolari alla linea c, e le linee a 1 e b 1 sono perpendicolari alla linea c. Poiché le rette a e a 1 giacciono sullo stesso piano e sono perpendicolari alla retta c, allora sono parallele. Allo stesso modo, le linee b e b 1 giacciono sullo stesso piano e sono perpendicolari alla linea c, quindi sono parallele. È quindi possibile eseguire un trasferimento parallelo del piano nel piano, in cui la retta a 1 coincide con la retta a, e la retta b con la retta b 1. Pertanto, l'angolo tra due linee che si intersecano a 1 e b 1 è uguale all'angolo tra le linee che si intersecano a e b.

Ciò dimostra che l'angolo tra le linee che si intersecano a e b che giacciono in piani che si intersecano non dipende dalla scelta del punto M attraverso il quale passa il piano. Pertanto, è logico considerare questo angolo come l'angolo tra due piani che si intersecano.

Ora puoi esprimere la definizione dell'angolo tra due piani che si intersecano e.

Definizione.

L'angolo tra due piani che si intersecano in linea retta e– questo è l'angolo tra due linee che si intersecano a e b, lungo le quali i piani e si intersecano con il piano perpendicolare alla linea c.

La definizione dell'angolo tra due piani può essere data in modo leggermente diverso. Se sulla retta c lungo la quale si intersecano i piani e, segnare un punto M e tracciare per esso le rette a e b, perpendicolari alla retta c e giacenti nei piani e, rispettivamente, allora l'angolo formato dalle rette a e b è l'angolo tra i piani e. Di solito, in pratica, vengono eseguite proprio tali costruzioni per ottenere l'angolo tra i piani.

Poiché l'angolo tra le linee che si intersecano non supera , dalla definizione data segue che la misura in gradi dell'angolo tra due piani che si intersecano è espressa da un numero reale dell'intervallo. In questo caso vengono chiamati piani intersecanti perpendicolare, se l'angolo tra loro è di novanta gradi. Angolo tra piani paralleli o non lo determinano affatto, oppure lo considerano pari a zero.

Trovare l'angolo tra due piani che si intersecano.

Di solito, quando si trova un angolo tra due piani che si intersecano, è necessario prima eseguire costruzioni aggiuntive per vedere le linee rette che si intersecano, l'angolo tra le quali è uguale all'angolo desiderato, e quindi collegare questo angolo con i dati originali utilizzando test di uguaglianza, somiglianza test, il teorema del coseno o le definizioni di seno, coseno e tangente dell'angolo. Nel corso della geometria Scuola superiore si verificano problemi simili.

Ad esempio, diamo la soluzione del problema C2 dell'Esame di Stato unificato di matematica del 2012 (la condizione è stata modificata intenzionalmente, ma ciò non influisce sul principio della soluzione). In esso, dovevi solo trovare l'angolo tra due piani che si intersecano.

Esempio.

Soluzione.

Per prima cosa, facciamo un disegno.

Eseguiamo costruzioni aggiuntive per "vedere" l'angolo tra i piani.

Per prima cosa definiamo una retta lungo la quale si intersecano i piani ABC e BED 1. Il punto B è uno dei loro punti comuni. Troviamo il secondo punto comune di questi piani. Le linee DA e D 1 E giacciono sullo stesso piano ADD 1, e non sono parallele, e quindi si intersecano. D'altra parte, la linea DA giace nel piano ABC e la linea D 1 E - nel piano BED 1, quindi il punto di intersezione delle linee DA e D 1 E sarà punto comune aerei ABC e BED 1. Quindi, continuiamo le linee DA e D 1 E fino alla loro intersezione, indicando il punto della loro intersezione con la lettera F. Allora BF è la retta lungo la quale si intersecano i piani ABC e BED 1.

Resta da costruire due linee che giacciono rispettivamente nei piani ABC e BED 1, passanti per un punto sulla linea BF e perpendicolari alla linea BF - l'angolo tra queste linee, per definizione, sarà uguale all'angolo desiderato tra le aerei ABC e BED 1. Facciamolo.

Punto A è la proiezione del punto E sul piano ABC. Disegniamo una linea retta che interseca la linea BF ad angolo retto nel punto M. Allora la retta AM è la proiezione della retta EM sul piano ABC, e per il teorema delle tre perpendicolari.

Pertanto, l'angolo richiesto tra i piani ABC e BED 1 è uguale a .

Da questo possiamo determinare il seno, il coseno o la tangente di questo angolo (e quindi l'angolo stesso). triangolo rettangolo AEM, se conosciamo la lunghezza dei suoi due lati. Dalla condizione è facile trovare la lunghezza AE: poiché il punto E divide il lato AA 1 nel rapporto di 4 a 3, contando dal punto A, e la lunghezza del lato AA 1 è 7, allora AE = 4. Troviamo la lunghezza AM.

Per fare ciò, considera un triangolo rettangolo ABF con un angolo retto A, dove AM è l'altezza. Per la condizione AB = 2. Possiamo trovare la lunghezza del lato AF dalla somiglianza dei triangoli rettangoli DD 1 F e AEF:

Usando il teorema di Pitagora, troviamo dal triangolo ABF. Troviamo la lunghezza AM attraverso l'area del triangolo ABF: da un lato l'area del triangolo ABF è uguale a , Dall'altro lato , Dove .

Quindi, dal triangolo rettangolo AEM abbiamo .

Allora l'angolo richiesto tra i piani ABC e BED 1 è uguale (notare che ).

Risposta:

In alcuni casi, per trovare l'angolo tra due piani che si intersecano, è conveniente impostare Oxyz e utilizzare il metodo delle coordinate. Fermiamoci qui.

Impostiamo il compito: trova l'angolo tra due piani che si intersecano e . Indichiamo l'angolo desiderato come .

Assumeremo che in un dato sistema di coordinate rettangolari Oxyz conosciamo le coordinate dei vettori normali dei piani che si intersecano e/o abbiamo l'opportunità di trovarli. Permettere è il vettore normale del piano, e è il vettore normale del piano. Mostreremo come trovare l'angolo tra i piani che si intersecano e attraverso le coordinate dei vettori normali di questi piani.

Indichiamo con c la retta lungo la quale i piani si intersecano. Per il punto M sulla linea c tracciamo un piano perpendicolare alla linea c. Il piano interseca i piani e lungo le linee a e b, rispettivamente, le linee a e b si intersecano nel punto M. Per definizione, l'angolo tra i piani che si intersecano e è uguale all'angolo tra le linee che si intersecano a e b.

Tracciamo i vettori e i piani normali e dal punto M nel piano. In questo caso, il vettore giace su una linea perpendicolare alla linea a, e il vettore giace su una linea perpendicolare alla linea b. Quindi nel piano il vettore è il vettore normale della retta a, è il vettore normale della retta b.

Nell'articolo sulla ricerca dell'angolo tra le linee che si intersecano, abbiamo ricevuto una formula che ci consente di calcolare il coseno dell'angolo tra le linee che si intersecano utilizzando le coordinate dei vettori normali. Pertanto, il coseno dell'angolo tra le linee a e b e, di conseguenza, coseno dell'angolo tra i piani che si intersecano e si trova con la formula, dove E sono i vettori normali dei piani e, rispettivamente. Quindi viene calcolato come .

Risolviamo l'esempio precedente utilizzando il metodo delle coordinate.

Esempio.

Dato un parallelepipedo rettangolo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, in cui AB = 2, AD = 3, AA 1 = 7 e il punto E divide il lato AA 1 nel rapporto di 4 a 3, contando dal punto A. Trova l'angolo tra i piani ABC e BED 1.

Soluzione.

Poiché i lati di un parallelepipedo rettangolare in un vertice sono perpendicolari a coppie, è conveniente introdurre un sistema di coordinate rettangolari Oxyz come segue: allineare l'inizio con il vertice C e dirigere gli assi delle coordinate Ox, Oy e Oz lungo i lati CD , CB e CC 1, rispettivamente.

L'angolo tra i piani ABC e BED 1 può essere trovato attraverso le coordinate dei vettori normali di questi piani utilizzando la formula , dove e sono rispettivamente i vettori normali dei piani ABC e BED 1. Determiniamo le coordinate dei vettori normali.

Utilizzo del metodo delle coordinate per calcolare un angolo

tra gli aerei

Maggior parte metodo generale trovare l'angolotra i piani: il metodo delle coordinate (a volte utilizzando i vettori). Può essere utilizzato dopo aver provato tutti gli altri. Ma ci sono situazioni in cui ha senso applicare immediatamente il metodo delle coordinate, vale a dire quando il sistema di coordinate è naturalmente correlato al poliedro specificato nella formulazione del problema, cioè Sono chiaramente visibili tre linee perpendicolari a coppie, sulle quali è possibile specificare gli assi delle coordinate. Tali poliedri sono un parallelepipedo rettangolare e uno regolare piramide quadrangolare. Nel primo caso, il sistema di coordinate può essere specificato dai bordi che si estendono da un vertice (Fig. 1), nel secondo - dall'altezza e dalle diagonali della base (Fig. 2)

L'applicazione del metodo delle coordinate è la seguente.

Viene introdotto un sistema di coordinate rettangolari nello spazio. Si consiglia di introdurlo in modo “naturale” - per “collegarlo” a un trio di linee perpendicolari a coppie che hanno un punto comune.

Per ciascuno dei piani, tra i quali si cerca l'angolo, viene redatta un'equazione. Il modo più semplice per creare un'equazione del genere è conoscere le coordinate di tre punti del piano che non giacciono sulla stessa linea.

Equazione dell'aereo in vista generale sembra Ax + By + Cz + D = 0.

Coefficienti A, B, Le C in questa equazione sono le coordinate del vettore normale del piano (il vettore perpendicolare al piano). Determiniamo quindi le lunghezze e il prodotto scalare dei vettori normali ai piani, tra i quali si cerca l'angolo. Se le coordinate di questi vettori(LA 1, SI 1; DO 1) e (LA 2; SI 2; DO 2 ), quindi l'angolo desideratocalcolato dalla formula

Commento. Va ricordato che l'angolo tra vettori (in contrapposizione all'angolo tra i piani) può essere ottuso e, per evitare possibili incertezze, il numeratore sul lato destro della formula contiene un modulo.

Risolvi questo problema utilizzando il metodo delle coordinate.

Problema 1. Dato un cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Il punto K è il centro del bordo AD, il punto L è il centro del bordo CD. Perché l'angolo è uguale tra i piani A 1 KL e A 1 d.C.?

Soluzione . Lascia che l'origine del sistema di coordinate sia nel punto UN, e gli assi delle coordinate vanno lungo i raggi d.C., AB, AA 1 (Fig. 3). Prendiamo lo spigolo del cubo uguale a 2 (è conveniente dividerlo a metà). Poi le coordinate dei punti A 1 , K, L sono i seguenti: A 1 (0; 0; 2), K(1; 0; 0), L(2; 1; 0).

Riso. 3

Scriviamo l'equazione del piano A1K L generalmente. Quindi sostituiamo in esso le coordinate dei punti selezionati di questo piano. Otteniamo un sistema di tre equazioni con quattro incognite:

Esprimiamo i coefficienti A, B, C fino a D e arriviamo all'equazione

Dividendo entrambe le parti in D (perché D = 0?) e poi moltiplicando per -2 otteniamo l'equazione del piano A 1 KL: 2x - 2 y + z - 2 = 0. Quindi il vettore normale a questo piano ha coordinate (2: -2; 1). Equazione piana Un 1 AD è: y=0, e le coordinate del vettore normale ad esso, ad esempio (0; 2: 0). Secondo la formula precedente per il coseno dell'angolo tra i piani, otteniamo:

Consideriamo due aerei R 1 e R 2 con vettori normali N 1 e N 2. Angolo φ tra i piani R 1 e R 2 è espresso tramite l'angolo ψ = \(\widehat((n_1; n_2))\) come segue: se ψ < 90°, allora φ = ψ (fig. 202, a); se ψ > 90°, allora ψ = 180° - ψ (Fig. 202.6).

È ovvio che in ogni caso l’uguaglianza è vera

cosφ = |cosψ|

Poiché il coseno dell'angolo tra vettori diversi da zero è uguale al prodotto scalare di questi vettori diviso per il prodotto delle loro lunghezze, abbiamo

$$ cos\psi=cos\widehat((n_1; n_2))=\frac(n_1\cdot n_2)(|n_1|\cdot |n_2|) $$

e, quindi, il coseno dell'angolo φ tra i piani R 1 e R 2 può essere calcolato utilizzando la formula

$$ cos\phi=\frac(n_1\cdot n_2)(|n_1|\cdot |n_2|) (1)$$

Se i piani sono dati da equazioni generali

UN 1 X+B1 sì+C1 z+ D1 = 0 e A2 X+B2 sì+C2 z+ D2 = 0,

quindi per i loro vettori normali possiamo prendere i vettori N 1 = (A 1 ; B 1 ; C 1) e N 2 = (La2; Si2; Do2).

Avendo scritto lato destro formula (1) attraverso le coordinate, otteniamo

$$ cos\phi=\frac(|A_1 A_2 + B_1 B-2 + C_1 C_2|)(\sqrt((A_1)^2+(B_1)^2+(C_1)^2)\sqrt((A_2) ^2+(B_2)^2+(C_2)^2)) $$

Compito 1. Calcolare l'angolo tra i piani

X - √2 sì + z- 2 = 0 e x+ √2 sì - z + 13 = 0.

In questo caso, A 1 .=1, B 1 = - √2, C 1 = 1, A 2 =1, B 2 = √2, C 2 = - 1.

Dalla formula (2) otteniamo

$$ cos\phi=\frac(|1\cdot 1 - \sqrt2 \cdot \sqrt2 - 1 \cdot 1|)(\sqrt(1^2+(-\sqrt2)^2+1^2)\sqrt (1^2+(\sqrt2)^2+(-1)^2))=\frac(1)(2) $$

Pertanto, l'angolo tra questi piani è 60°.

Piani con vettori normali N 1 e N 2:

a) sono paralleli se e solo se i vettori N 1 e N 2 sono collineari;

b) perpendicolare se e solo se i vettori N 1 e N 2 sono perpendicolari, cioè quando N 1 N 2 = 0.

Da qui si ottengono le condizioni necessarie e sufficienti per il parallelismo e la perpendicolarità di due piani dati da equazioni generali.

Corsia principale

UN 1 X+B1 sì+C1 z+ D1 = 0 e A2 X+B2 sì+C2 z+ D2 = 0

fossero paralleli, è necessario e sufficiente che le uguaglianze sussistano

$$ \frac(A_1)(A_2)=\frac(B_1)(B_2)=\frac(C_1)(C_2) \;\; (3)$$

Se uno qualsiasi dei coefficienti A 2 , B 2 , C 2 è uguale a zero, si assume che anche il corrispondente coefficiente A 1 , B 1 , C 1 sia uguale a zero

Il mancato rispetto di almeno una di queste due uguaglianze significa che i piani non sono paralleli, cioè si intersecano.

Per la perpendicolarità dei piani

UN 1 X+B1 sì+C1 z+ D1 = 0 e A2 X+B2 sì+C2 z+ D2 = 0

è necessario e sufficiente affinché l'uguaglianza valga

A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0. (4)

Compito 2. Tra le seguenti coppie di aerei:

2X + 5A + 7z- 1 = 0 e 3 X - 4A + 2z = 0,

A - 3z+ 1 = 0 e 2 A - 6z + 5 = 0,

4X + 2A - 4z+ 1 = 0 e 2 X + A + 2z + 3 = 0

indicare parallelo o perpendicolare. Per la prima coppia di aerei

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 2 3 + 5 (- 4) + 7 2 = 0,

cioè, la condizione di perpendicolarità è soddisfatta. I piani sono perpendicolari.

Per la seconda coppia di aerei

\(\frac(B_1)(B_2)=\frac(C_1)(C_2)\), poiché \(\frac(1)(2)=\frac(-3)(-6)\)

e i coefficienti A 1 e A 2 sono uguali a zero. Pertanto, i piani della seconda coppia sono paralleli. Per la terza coppia

\(\frac(B_1)(B_2)\neq\frac(C_1)(C_2)\), poiché \(\frac(2)(1)\neq\frac(-4)(2)\)

e A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 4 2 + 2 1 - 4 2 =/= 0, cioè i piani della terza coppia non sono né paralleli né perpendicolari.

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