מושג הלוגריתם והזהות הלוגריתמית הבסיסית

מושג הלוגריתם והזהות הלוגריתמית הבסיסית קשורים קשר הדוק, מכיוון ההגדרה של לוגריתם בסימון מתמטי היא .

יסודות זהות לוגריתמיתנובע מההגדרה של לוגריתם:

הגדרה 1

לוֹגָרִיתְםהם קוראים למעריך $n$, כאשר מועלים אליו המספרים $a$ מקבלים את המספר $b$.

הערה 1

משוואה מעריכית$a^n=b$ עבור $a > 0$, ל-$a \ne 1$ אין פתרונות עבור $b$ לא חיוביים ויש לו שורש יחיד עבור $b$ חיובי. השורש הזה נקרא לוגריתם של המספר $b$ לבסיס $a$ורשום:

$a^(\log_(a) b)=b$.

הגדרה 2

ביטוי

$a^(\log_(a) b)=b$

שקוראים לו זהות לוגריתמית בסיסיתבתנאי ש$a,b > 0$, $a \ne 1$.

דוגמה 1

$17^(\log_(17) 6)=6$;

$e^(\ln⁡13) =13$;

$10^(\lg23)=23$.

זהות לוגריתמית בסיסית

רָאשִׁיהזהות הלוגריתמית נקראת בגלל הוא משמש כמעט תמיד כאשר עובדים עם לוגריתמים. בנוסף, בעזרתו התכונות הבסיסיות של לוגריתמים מבוססות.

דוגמה 2

$7^5=16,807$, לכן $\log_(7)16,807=5$.

$3^(-5)=\frac(1)(243)$, לכן $\log_(3)\frac(1)(243)=-5$.

$11^0=1$, לכן $\log_(11)⁡1=0$.

בואו נשקול תוצאה של הזהות הלוגריתמית הבסיסית:

הגדרה 3

אם שני לוגריתמים עם באותו נימוקשווים, כלומר הביטויים הלוגריתמיים שווים:

אם $\log_(a)⁡b=\log_(a)⁡c$, אז $b=c$.

בואו נשקול הגבלות, המשמשים לזהות הלוגריתמית:

כי כשמעלים אחדות לכל כוח אנחנו תמיד מקבלים אחד, והשוויון $x=\log_(a)⁡b$ קיים רק עבור $b=1$, אז $\log_(1)⁡1$ יהיה כל מספר ממשי. כדי למנוע אי בהירות זו, קח $a \ne 1$.

הלוגריתם עבור $a=0$, לפי ההגדרה, יכול להתקיים רק עבור $b=0$. כי כשאנחנו מעלים אפס לכל חזקה אנחנו תמיד מקבלים אפס, אז $\log_(0)⁡0$ יכול להיות כל מספר ממשי. כדי למנוע אי בהירות זו, קח $a \ne 0$. תמורת $ רציונלי ו לא הגיוניערכי לוגריתם, כי תואר עם מעריך רציונלי ואי-רציונלי ניתן לחשב רק עבור בסיסים חיוביים. כדי למנוע מצב זה, קח $a > 0$.

$b > 0$ נובע מהתנאי $a > 0$, שכן $x=\log_(a)⁡b$, והעוצמה של מספר חיובי a תמיד תהיה חיובית.

הזהות הלוגריתמית הבסיסית משמשת לעתים קרובות כדי לפשט ביטויים לוגריתמיים.

דוגמה 3

חשב $81^(\log_(9) 7)$.

פִּתָרוֹן.

על מנת להשתמש בזהות הלוגריתמית הבסיסית, יש צורך שבסיס הלוגריתם והעצמות יהיו זהים. הבה נכתוב את בסיס התואר בצורה:

עכשיו נוכל לכתוב:

$81^(\log_(9)7)=(9^2)^(\log_(9)7)=$

בואו נשתמש בתכונת הכוח:

$=9^(2 \cdot \log_(9)7)=9^(\log_(9)7) \cdot 9^(\log_(9)7)=$

כעת ניתן ליישם את הזהות הלוגריתמית הבסיסית על כל גורם:

$=7 \cdot 7=49$.

פתק 2

כדי ליישם את הזהות הלוגריתמית הבסיסית, אתה יכול גם לפנות להחלפת בסיס הלוגריתם בביטוי המופיע מתחת לסימן הלוגריתם, ולהיפך.

דוגמה 4

חשב $7^(\frac(1)(\log_(11) 7))$.

פִּתָרוֹן.

$7^(\frac(1)(\log_(11) 7))=7^(\log_(7) 11)=11$.

תשובה: $11$.

דוגמה 5

חשב $7^(\frac(3)(\log_(11) 7))$.

שמירה על פרטיותך חשובה לנו. מסיבה זו, פיתחנו מדיניות פרטיות המתארת ​​כיצד אנו משתמשים ומאחסנים את המידע שלך. אנא סקור את נוהלי הפרטיות שלנו ויידע אותנו אם יש לך שאלות כלשהן.

איסוף ושימוש במידע אישי

מידע אישי מתייחס לנתונים שניתן להשתמש בהם לזיהוי אדם מסויםאו קשר איתו.

ייתכן שתתבקש לספק את המידע האישי שלך בכל עת בעת יצירת קשר.

להלן מספר דוגמאות לסוגי המידע האישי שאנו עשויים לאסוף וכיצד אנו עשויים להשתמש במידע כזה.

איזה מידע אישי אנחנו אוספים:

• בעת הגשת בקשה לאתר, אנו עשויים לאסוף פרטים שונים, לרבות שמך, מספר הטלפון, כתובת הדואר האלקטרוני שלך וכו'.

כיצד אנו משתמשים במידע האישי שלך:

• המידע האישי שאנו אוספים מאפשר לנו ליצור איתך קשר עם הצעות ייחודיות, מבצעים ואירועים נוספים ואירועים קרובים.
• מעת לעת, אנו עשויים להשתמש במידע האישי שלך כדי לשלוח הודעות והודעות חשובות.
• אנו עשויים להשתמש במידע אישי גם למטרות פנימיות, כגון ביצוע ביקורות, ניתוח נתונים ומחקרים שונים על מנת לשפר את השירותים שאנו מספקים ולספק לך המלצות לגבי השירותים שלנו.
• אם אתה משתתף בהגרלת פרסים, בתחרות או בקידום מכירות דומה, אנו עשויים להשתמש במידע שאתה מספק כדי לנהל תוכניות כאלה.

גילוי מידע לצדדים שלישיים

איננו חושפים את המידע שהתקבל ממך לצדדים שלישיים.

חריגים:

• במידת הצורך - בהתאם לחוק, להליך השיפוטי, להליכים משפטיים ו/או בהתבסס על בקשות או בקשות הציבור מאת סוכנויות ממשלתיותבשטח הפדרציה הרוסית - לחשוף את המידע האישי שלך. אנו עשויים גם לחשוף מידע אודותיך אם נקבע כי חשיפה כזו נחוצה או מתאימה למטרות אבטחה, אכיפת חוק או חשיבות ציבורית אחרת.
• במקרה של ארגון מחדש, מיזוג או מכירה, אנו עשויים להעביר את המידע האישי שאנו אוספים לצד השלישי היורש הרלוונטי.

הגנה על מידע אישי

אנו נוקטים באמצעי זהירות - לרבות מנהליים, טכניים ופיסיים - כדי להגן על המידע האישי שלך מפני אובדן, גניבה ושימוש לרעה, כמו גם גישה לא מורשית, חשיפה, שינוי והרס.

כיבוד הפרטיות שלך ברמת החברה

כדי להבטיח שהמידע האישי שלך מאובטח, אנו מעבירים תקני פרטיות ואבטחה לעובדים שלנו ואוכפים בקפדנות את נוהלי הפרטיות.

אנו ממשיכים ללמוד לוגריתמים. במאמר זה נדבר על חישוב לוגריתמים, נקרא תהליך זה לוֹגָרִיתְם. ראשית נבין את חישוב הלוגריתמים בהגדרה. לאחר מכן, בואו נסתכל כיצד מוצאים ערכי לוגריתמים באמצעות המאפיינים שלהם. לאחר מכן, נתמקד בחישוב לוגריתמים באמצעות הערכים שצוינו בתחילה של לוגריתמים אחרים. לבסוף, בואו נלמד כיצד להשתמש בטבלאות לוגריתם. התיאוריה כולה מסופקת בדוגמאות עם פתרונות מפורטים.

ניווט בדף.

חישוב לוגריתמים לפי הגדרה

במקרים הפשוטים ביותר ניתן לבצע די מהר ובקלות מציאת הלוגריתם בהגדרה. בואו נסתכל מקרוב על איך תהליך זה קורה.

המהות שלו היא לייצג את המספר b בצורה a c, שממנה, לפי הגדרת לוגריתם, המספר c הוא הערך של הלוגריתם. כלומר, בהגדרה, שרשרת השוויון הבאה מתאימה למציאת הלוגריתם: log a b=log a a c =c.

לכן, חישוב לוגריתם בהגדרה מסתכם במציאת מספר c כך ש- c = b, והמספר c עצמו הוא הערך הרצוי של הלוגריתם.

בהתחשב במידע בפסקאות הקודמות, כאשר המספר מתחת לסימן הלוגריתם ניתן בחזק מסוים של בסיס הלוגריתם, ניתן לציין מיד למה שווה הלוגריתם - זה שווה לאינדיקטורמעלות. בואו נראה פתרונות לדוגמאות.

דוגמא.

מצא את log 2 2 −3, וחשב גם את הלוגריתם הטבעי של המספר e 5,3.

פִּתָרוֹן.

ההגדרה של הלוגריתם מאפשרת לנו לומר מיד שלוג 2 2 −3 =−3. ואכן, המספר מתחת לסימן הלוגריתם שווה לבסיס 2 בחזקת −3.

באופן דומה, אנו מוצאים את הלוגריתם השני: lne 5.3 =5.3.

תשובה:

log 2 2 −3 =−3 ו-lne 5,3 =5,3.

אם המספר b מתחת לסימן הלוגריתם אינו מצוין כחזקה של הבסיס של הלוגריתם, אז אתה צריך לבדוק היטב כדי לראות אם אפשר להמציא ייצוג של המספר b בצורה a c. לעתים קרובות ייצוג זה ברור למדי, במיוחד כאשר המספר מתחת לסימן הלוגריתם שווה לבסיס בחזקת 1, או 2, או 3, ...

דוגמא.

חשב את הלוגריתמים log 5 25 , ו .

פִּתָרוֹן.

קל לראות ש-25=5 2, זה מאפשר לך לחשב את הלוגריתם הראשון: log 5 25=log 5 5 2 =2.

נעבור לחישוב הלוגריתם השני. ניתן לייצג את המספר בחזקת 7: (ראה במידת הצורך). לָכֵן, .

נכתוב מחדש את הלוגריתם השלישי בצורה הבאה. עכשיו אתה יכול לראות את זה , שממנו אנו מסיקים כי . לכן, לפי הגדרת הלוגריתם .

בקצרה, ניתן לכתוב את הפתרון כך: .

תשובה:

log 5 25=2 , ו .

כאשר מתחת לסימן הלוגריתם יש מספיק גדול מספר טבעי, אז לא יזיק לחלק את זה לגורמים ראשוניים. לעתים קרובות זה עוזר לייצג מספר כזה ככוח כלשהו של הבסיס של הלוגריתם, ולכן לחשב את הלוגריתם הזה בהגדרה.

דוגמא.

מצא את הערך של הלוגריתם.

פִּתָרוֹן.

כמה מאפיינים של לוגריתמים מאפשרים לך לציין מיד את הערך של לוגריתמים. מאפיינים אלה כוללים את המאפיין של הלוגריתם של יחידה ואת המאפיין של הלוגריתם של מספר, שווה לבסיס: log 1 1=log a a 0 =0 ו-log a a=log a a 1 =1 . כלומר, כאשר מתחת לסימן הלוגריתם יש מספר 1 או מספר a השווה לבסיס הלוגריתם, אז במקרים אלו הלוגריתמים שווים ל-0 ו-1, בהתאמה.

דוגמא.

למה שווים לוגריתם ו-log10?

פִּתָרוֹן.

מאז , אז מהגדרת הלוגריתם זה נובע .

בדוגמה השנייה, המספר 10 מתחת לסימן הלוגריתם עולה בקנה אחד עם הבסיס שלו, כך שהלוגריתם העשרוני של עשר שווה לאחד, כלומר lg10=lg10 1 =1.

תשובה:

ו lg10=1 .

שימו לב שחישוב הלוגריתמים בהגדרה (עליו דנו בפסקה הקודמת) מרמז על שימוש בלוגריתמים השוויוניים a a p =p, שהוא אחד ממאפייני הלוגריתמים.

בפועל, כאשר מספר מתחת לסימן הלוגריתם ובסיס הלוגריתם מיוצגים בקלות בחזקת מספר מסוים, נוח מאוד להשתמש בנוסחה , התואם לאחת מתכונות הלוגריתמים. הבה נסתכל על דוגמה למציאת לוגריתם הממחיש את השימוש בנוסחה זו.

דוגמא.

חשב את הלוגריתם.

פִּתָרוֹן.

תשובה:

.

מאפיינים של לוגריתמים שלא הוזכרו לעיל משמשים גם בחישובים, אך נדבר על כך בפסקאות הבאות.

מציאת לוגריתמים באמצעות לוגריתמים ידועים אחרים

המידע בפסקה זו ממשיך את נושא השימוש במאפיינים של לוגריתמים בעת חישובם. אבל כאן ההבדל העיקרי הוא שתכונות הלוגריתמים משמשות לבטא את הלוגריתם המקורי במונחים של לוגריתם אחר, שערכו ידוע. בוא ניתן דוגמה להבהרה. נניח שאנו יודעים ש-log 2 3≈1.584963, אז נוכל למצוא, למשל, log 2 6 על ידי ביצוע טרנספורמציה קטנה באמצעות המאפיינים של הלוגריתם: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

בדוגמה שלמעלה, זה הספיק לנו להשתמש בתכונה של הלוגריתם של מוצר. עם זאת, לעתים קרובות הרבה יותר יש צורך להשתמש בארסנל רחב יותר של מאפיינים של לוגריתמים על מנת לחשב את הלוגריתם המקורי דרך הנתונים.

דוגמא.

חשב את הלוגריתם של 27 לבסיס 60 אם אתה יודע שלוג 60 2=a ו-log 60 5=b.

פִּתָרוֹן.

אז אנחנו צריכים למצוא יומן 60 27. קל לראות ש-27 = 3 3, ואת הלוגריתם המקורי, בשל תכונת הלוגריתם של החזקה, ניתן לכתוב מחדש כ-3·log 60 3 .

כעת נראה כיצד לבטא את לוג 60 3 במונחים של לוגריתמים ידועים. התכונה של הלוגריתם של מספר השווה לבסיס מאפשרת לנו לכתוב את לוג השוויון 60 60=1. מצד שני, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·לוג 60 2+לוג 60 3+לוג 60 5 . לכן, 2 לוג 60 2+לוג 60 3+לוג 60 5=1. לָכֵן, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

לבסוף, אנו מחשבים את הלוגריתם המקורי: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

תשובה:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

בנפרד, כדאי להזכיר את משמעות הנוסחה למעבר לבסיס חדש של הלוגריתם של הצורה . זה מאפשר לך לעבור מלוגריתמים עם כל בסיס ללוגריתמים עם בסיס ספציפי, שהערכים שלהם ידועים או שאפשר למצוא אותם. בדרך כלל, מהלוגריתם המקורי, באמצעות נוסחת המעבר, הם עוברים ללוגריתמים באחד מהבסיסים 2, e או 10, שכן עבור בסיסים אלו יש טבלאות לוגריתמים המאפשרות לחשב את ערכיהם במידה מסוימת של דיוק. בפסקה הבאה נראה כיצד זה נעשה.

טבלאות לוגריתם ושימושיהן

לחישוב משוער של ערכי לוגריתם ניתן להשתמש טבלאות לוגריתמים. טבלת הלוגריתם הבסיסית 2 הנפוצה ביותר היא הטבלה לוגריתמים טבעייםוטבלה של לוגריתמים עשרוניים. כאשר עובדים ב מערכת עשרוניתלחישוב, נוח להשתמש בטבלת לוגריתמים המבוססת על בסיס עשר. בעזרתו נלמד למצוא את ערכי הלוגריתמים.

הטבלה המוצגת מאפשרת לך למצוא את ערכי הלוגריתמים העשרוניים של מספרים מ-1,000 עד 9,999 (עם שלושה מקומות עשרוניים) בדיוק של עשרת אלפים אחת. ננתח את העיקרון של מציאת הערך של לוגריתם באמצעות טבלה של לוגריתמים עשרוניים לתוך דוגמה ספציפית- זה יותר ברור ככה. בוא נמצא את log1.256.

בעמודה השמאלית של טבלת הלוגריתמים העשרוניים אנו מוצאים את שתי הספרות הראשונות של המספר 1.256, כלומר אנו מוצאים 1.2 (מספר זה מוקף בכחול לצורך הבהירות). הספרה השלישית של המספר 1.256 (ספרה 5) נמצאת בשורה הראשונה או האחרונה משמאל לקו הכפול (מספר זה מוקף באדום). הספרה הרביעית של המספר המקורי 1.256 (ספרה 6) נמצאת בשורה הראשונה או האחרונה מימין לקו הכפול (מספר זה מוקף בקו ירוק). כעת אנו מוצאים את המספרים בתאים של טבלת הלוגריתמים במפגש בין השורה המסומנת והעמודות המסומנות (מספרים אלה מודגשים תפוז). סכום המספרים המסומנים נותן את הערך הרצוי של הלוגריתם העשרוני המדויק עד למקום העשרוני הרביעי, כלומר, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

האם ניתן, באמצעות הטבלה למעלה, למצוא את הערכים של לוגריתמים עשרוניים של מספרים שיש להם יותר משלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית, כמו גם את הערכים החורגים מהטווח שבין 1 ל-9.999? כן אתה יכול. בואו נראה איך זה נעשה עם דוגמה.

בואו לחשב lg102.76332. קודם כל צריך לרשום מספר בצורה סטנדרטית: 102.76332=1.0276332·10 2. לאחר מכן, יש לעגל את המנטיסה למקום העשרוני השלישי, יש לנו 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, בעוד שהלוגריתם העשרוני המקורי הוא בערך שווה ללוגריתםהמספר המתקבל, כלומר, ניקח את log102.76332≈lg1.028·10 2. כעת אנו מיישמים את המאפיינים של הלוגריתם: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. לבסוף, נמצא את הערך של הלוגריתם lg1.028 מטבלת הלוגריתם העשרוניים lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. כתוצאה מכך, כל תהליך חישוב הלוגריתם נראה כך: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

לסיכום, ראוי לציין שבאמצעות טבלה של לוגריתמים עשרוניים ניתן לחשב את הערך המשוער של כל לוגריתם. כדי לעשות זאת, די להשתמש בנוסחת המעבר כדי לעבור ללוגריתמים עשרוניים, למצוא את הערכים שלהם בטבלה ולבצע את שאר החישובים.

לדוגמה, בוא נחשב לוג 2 3 . לפי הנוסחה למעבר לבסיס חדש של הלוגריתם, יש לנו . מטבלת הלוגריתמים העשרוניים אנו מוצאים את log3≈0.4771 ו-log2≈0.3010. לכן, .

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ועוד. אלגברה והתחלות הניתוח: ספר לימוד לכיתות י' - יא' של מוסדות החינוך הכללי.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. מתמטיקה (מדריך לנכנסים לבתי ספר טכניים).

הלוגריתם של מספר חיובי b לבסיס a (a>0, a אינו שווה ל-1) הוא מספר c כך ש- a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

שימו לב שהלוגריתם של מספר לא חיובי אינו מוגדר. בנוסף, הבסיס של הלוגריתם חייב להיות מספר חיובי שאינו שווה ל-1. לדוגמה, אם נריבוע -2, נקבל את המספר 4, אך אין זה אומר שהלוגריתם לבסיס -2 מתוך 4 שווה ל-2.

זהות לוגריתמית בסיסית

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

חשוב שהיקף ההגדרה של הצד הימני והשמאלי של נוסחה זו יהיה שונה. צד שמאלמוגדר רק עבור b>0, a>0 ו-a ≠ 1. חלק ימיןמוגדר עבור כל b, אך אינו תלוי ב-a כלל. לפיכך, יישום ה"זהות" הלוגריתמית הבסיסית בעת פתרון משוואות ואי-שוויון יכול להוביל לשינוי ב-OD.

שתי השלכות ברורות של הגדרת הלוגריתם

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

ואכן, כאשר מעלים את המספר a לחזקה הראשונה, נקבל את אותו מספר, וכאשר מעלים אותו לחזקה אפס, נקבל אחד.

לוגריתם של המכפלה ולוגריתם של המנה

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

ברצוני להזהיר את תלמידי בית הספר מפני יישום חסר מחשבה של נוסחאות אלה בעת פתרון משוואות לוגריתמיותואי שוויון. כאשר משתמשים בהם "משמאל לימין", ה-ODZ מצטמצם, וכאשר עוברים מהסכום או ההפרש של הלוגריתמים ללוגריתם של המכפלה או המנה, ה-ODZ מתרחב.

ואכן, הביטוי log a (f (x) g (x)) מוגדר בשני מקרים: כאשר שתי הפונקציות חיוביות לחלוטין או כאשר f(x) ו-g(x) שניהם פחות מאפס.

הפיכת ביטוי זה לסכום log a f (x) + log a g (x), אנו נאלצים להגביל את עצמנו רק למקרה שבו f(x)>0 ו-g(x)>0. יש צמצום של השטח ערכים מקובלים, וזה לא מקובל באופן קטגורי, כי זה יכול להוביל לאובדן פתרונות. בעיה דומה קיימת לנוסחה (6).

ניתן להוציא את התואר מהסימן של הלוגריתם

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

ושוב ברצוני לקרוא לדיוק. שקול את הדוגמה הבאה:

יומן a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

הצד השמאלי של השוויון מוגדר כמובן עבור כל הערכים של f(x) מלבד אפס. הצד הימני מיועד רק עבור f(x)>0! על ידי הוצאת התואר מהלוגריתם, אנו מצמצמים שוב את ה-ODZ. ההליך ההפוך מוביל להרחבת טווח הערכים המקובלים. כל ההערות הללו חלות לא רק על כוח 2, אלא גם על כל כוח זוגי.

נוסחה למעבר לקרן חדשה

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

זֶה מקרה נדיר, כאשר ה-ODZ אינו משתנה במהלך השינוי. אם בחרתם בסיס c בחוכמה (חיובי ולא שווה ל-1), הנוסחה למעבר לבסיס חדש בטוחה לחלוטין.

אם נבחר את המספר b כבסיס c החדש, נקבל חשוב מקרה מיוחדנוסחאות (8):

לוג a b = 1 לוג b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

כמה דוגמאות פשוטות עם לוגריתמים

דוגמה 1. חשב: log2 + log50.
פִּתָרוֹן. log2 + log50 = log100 = 2. השתמשנו בנוסחת סכום הלוגריתמים (5) ובהגדרה של הלוגריתם העשרוני.

דוגמה 2. חשב: lg125/lg5.
פִּתָרוֹן. log125/log5 = log 5 125 = 3. השתמשנו בנוסחה למעבר לבסיס חדש (8).

טבלת נוסחאות הקשורות ללוגריתמים

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

בוא נתחיל עם תכונות הלוגריתם של אחד. הניסוח שלו הוא כדלקמן: הלוגריתם של האחדות שווה לאפס, כלומר, log a 1=0עבור כל a>0, a≠1. ההוכחה אינה קשה: מכיוון ש-0 =1 עבור כל a המקיים את התנאים שלעיל a>0 ו-a≠1, אזי השוויון log a 1=0 להוכחה נובע מיד מהגדרת הלוגריתם.

הבה ניתן דוגמאות ליישום המאפיין הנחשב: log 3 1=0, log1=0 ו-.

נעבור לנכס הבא: הלוגריתם של מספר השווה לבסיס שווה לאחד, זה, log a=1עבור a>0, a≠1. ואכן, מכיוון ש-1 =a עבור כל a, אז בהגדרה יומן לוגריתם a=1.

דוגמאות לשימוש בתכונה זו של לוגריתמים הן השוויון log 5 5=1, log 5.6 5.6 ו-lne=1.

לדוגמה, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ו .

לוגריתם של מכפלת שני מספרים חיוביים x ו-y שווים למכפלת הלוגריתמים של המספרים האלה: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . הבה נוכיח את תכונת הלוגריתם של מוצר. בשל תכונות התואר a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, ומאחר לפי הזהות הלוגריתמית הראשית לוג a x =x ולוג a y =y, אז לוג a x ·a לוג a y =x·y. לפיכך, log a x+log a y =x·y, שממנו, לפי הגדרת לוגריתם, נובע השוויון המוכח.

הבה נראה דוגמאות לשימוש בתכונה של הלוגריתם של מוצר: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 and .

ניתן להכליל את המאפיין של הלוגריתם של מכפלה למכפלת מספר סופי n של מספרים חיוביים x 1 , x 2 , …, x n as log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n . את השוויון הזה ניתן להוכיח ללא בעיות.

לדוגמה, ניתן להחליף את הלוגריתם הטבעי של המוצר בסכום של שלושה לוגריתמים טבעיים של המספרים 4, e ו.

לוגריתם של המנה של שני מספרים חיוביים x ו-y שווה להפרשלוגריתמים של המספרים הללו. התכונה של הלוגריתם של מנה מתאימה לנוסחה של הצורה , כאשר a>0, a≠1, x ו-y הם כמה מספרים חיוביים. תקפותה של נוסחה זו מוכחת כמו גם הנוסחה ללוגריתם של מוצר: מאז , אז בהגדרה של לוגריתם.

הנה דוגמה לשימוש בתכונה זו של הלוגריתם: .

בואו נעבור ל תכונת הלוגריתם של החזקה. הלוגריתם של תואר שווה למכפלת המעריך וללוגריתם של מודול הבסיס של תואר זה. הבה נכתוב תכונה זו של הלוגריתם של חזקה כנוסחה: log a b p =p·log a |b|, כאשר a>0, a≠1, b ו-p הם מספרים כך שהדרגה b p הגיונית ו-b p >0.

ראשית אנו מוכיחים תכונה זו עבור חיובי ב. הזהות הלוגריתמית הבסיסית מאפשרת לנו לייצג את המספר b כ-log a b, ואז b p =(a log a b) p , והביטוי המתקבל, עקב תכונת העוצמה, שווה ל-p·log a b. אז אנחנו מגיעים לשוויון b p =a p·log a b, שממנו, לפי הגדרת לוגריתם, אנו מסיקים ש-log a b p =p·log a b.

נותר להוכיח תכונה זו עבור ב' שלילית. כאן נציין שהביטוי log a b p עבור b שלילי הגיוני רק עבור אקספוננטים p (מכיוון שהערך של התואר b p חייב להיות גדול מאפס, אחרת הלוגריתם לא יהיה הגיוני), ובמקרה זה b p =|b| ע. לאחר מכן b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, משם log a b p =p·log a |b| .

לדוגמה, ו-ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

זה נובע מהנכס הקודם תכונת הלוגריתם מהשורש: הלוגריתם של השורש ה-n שווה למכפלת השבר 1/n על ידי הלוגריתם של הביטוי הרדיקלי, כלומר, , כאשר a>0, a≠1, n הוא מספר טבעי הגדול מאחד, b>0.

ההוכחה מבוססת על השוויון (ראה), שתקף לכל b חיובית, ועל המאפיין של הלוגריתם של החזק: .

הנה דוגמה לשימוש במאפיין זה: .

עכשיו בואו נוכיח נוסחה למעבר לבסיס לוגריתם חדשסוג . לשם כך, מספיק להוכיח את תקפות יומן השוויון c b=log a b·log c a. הזהות הלוגריתמית הבסיסית מאפשרת לנו לייצג את המספר b בתור log a b , ואז log c b=log c a log a b . נותר להשתמש במאפיין של הלוגריתם של התואר: log c a log a b =log a b log c a. זה מוכיח את השוויון log c b=log a b·log c a, מה שאומר שגם הנוסחה למעבר לבסיס חדש של הלוגריתם הוכחה.

הבה נראה כמה דוגמאות לשימוש בתכונה זו של לוגריתמים: ו .

הנוסחה למעבר לבסיס חדש מאפשרת לעבור לעבודה עם לוגריתמים בעלי בסיס "נוח". לדוגמה, ניתן להשתמש בו כדי לעבור ללוגריתמים טבעיים או עשרוניים, כך שתוכל לחשב את הערך של לוגריתם מטבלת לוגריתמים. הנוסחה למעבר לבסיס לוגריתם חדש גם מאפשרת, במקרים מסוימים, למצוא את הערך של לוגריתם נתון כאשר הערכים של כמה לוגריתמים עם בסיסים אחרים ידועים.

לעתים קרובות נעשה שימוש במקרה מיוחד של הנוסחה למעבר לבסיס לוגריתם חדש עבור c=b של הצורה . זה מראה כי log a b ו- log b a – . לְמָשָׁל, .

הנוסחה משמשת גם לעתים קרובות , שהוא נוח למציאת ערכי לוגריתם. כדי לאשר את דברינו, נראה כיצד ניתן להשתמש בו כדי לחשב את הערך של לוגריתם של הצורה . יש לנו . כדי להוכיח את הנוסחה מספיק להשתמש בנוסחה למעבר לבסיס חדש של הלוגריתם a: .

נותר להוכיח את המאפיינים של השוואה של לוגריתמים.

הבה נוכיח כי עבור כל מספרים חיוביים b 1 ו- b 2, b 1 log a b 2, ועבור a>1 – אי השוויון log a b 1

לבסוף, נותר להוכיח את אחרון המאפיינים המפורטים של לוגריתמים. הבה נגביל את עצמנו להוכחה של החלק הראשון שלו, כלומר, נוכיח שאם 1 >1, 2 >1 ו-1 1 הוא true log a 1 b>log a 2 b . שאר ההצהרות של תכונה זו של לוגריתמים מוכחות על פי עיקרון דומה.

בוא נשתמש בשיטה ההפוכה. נניח שעבור 1 >1, 2 >1 ו-1 1 הוא true log a 1 b≤log a 2 b . בהתבסס על המאפיינים של לוגריתמים, ניתן לשכתב אי-שוויון אלה כ ו בהתאמה, ומהם נובע ש-log b a 1 ≤log b a 2 ו-log b a 1 ≥log b a 2, בהתאמה. לאחר מכן, בהתאם למאפיינים של חזקות עם אותם בסיסים, השוויון b log b a 1 ≥b log b a 2 ו-b log b a 1 ≥b log b a 2 חייבות להתקיים, כלומר, a 1 ≥a 2. אז הגענו לסתירה לתנאי 1

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ועוד. אלגברה והתחלות הניתוח: ספר לימוד לכיתות י' - יא' של מוסדות החינוך הכללי.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. מתמטיקה (מדריך לנכנסים לבתי ספר טכניים).