כידוע, כאשר מכפילים ביטויים בחזקות, המעריכים שלהם תמיד מצטברים (a b * a c = a b + c). חוק מתמטי זה נגזר על ידי ארכימדס, ומאוחר יותר, במאה ה-8, יצר המתמטיקאי ויראסן טבלה של אינדיקטורים שלמים. הם היו אלה ששימשו לגילוי נוסף של לוגריתמים. דוגמאות לשימוש בפונקציה זו ניתן למצוא כמעט בכל מקום בו נדרש לפשט כפל מסורבל לחיבור פשוט. אם תשקיעו 10 דקות בקריאת המאמר הזה, נסביר לכם מהם לוגריתמים וכיצד לעבוד איתם. שפה פשוטה ונגישה.

הגדרה במתמטיקה

הלוגריתם הוא ביטוי של הצורה הבאה: log a b=c, כלומר הלוגריתם של כל מספר לא שלילי (כלומר, כל חיובי) "b" לפי הבסיס שלו "a" נחשב בחזקת "c" ", שאליו יש צורך להעלות את הבסיס "a", כך שבסופו של דבר מקבלים את הערך "b". בוא ננתח את הלוגריתם בעזרת דוגמאות, נניח שיש ביטוי log 2 8. איך מוצאים את התשובה? זה מאוד פשוט, צריך למצוא תואר כזה שמ-2 ועד לתואר הנדרש מקבלים 8. אחרי שעשינו כמה חישובים בראש, אנחנו מקבלים את המספר 3! ובצדק, כי 2 בחזקת 3 נותן את המספר 8 בתשובה.

זנים של לוגריתמים

עבור תלמידים וסטודנטים רבים, נושא זה נראה מסובך ובלתי מובן, אך למעשה, לוגריתמים אינם כל כך מפחידים, העיקר הוא להבין את המשמעות הכללית שלהם ולזכור את המאפיינים שלהם וכמה כללים. ישנם שלושה סוגים מסוימיםביטויים לוגריתמיים:

1. לוגריתם טבעי ln a, כאשר הבסיס הוא מספר אוילר (e = 2.7).
2. עשרוני a, כאשר הבסיס הוא 10.
3. הלוגריתם של כל מספר b לבסיס a>1.

כל אחד מהם נפתר בצורה סטנדרטית, כולל פישוט, צמצום והפחתה שלאחר מכן ללוגריתם אחד באמצעות משפטים לוגריתמיים. כדי לקבל את הערכים הנכונים של הלוגריתמים, יש לזכור את תכונותיהם ואת סדר הפעולות בהחלטותיהם.

כללים וכמה הגבלות

במתמטיקה, יש כמה כללים-מגבלות שמקובלים כאקסיומה, כלומר, הם אינם נתונים לדיון והם נכונים. לדוגמה, אתה לא יכול לחלק מספרים באפס, וזה גם בלתי אפשרי לקחת שורש זוגי מספרים שליליים. ללוגריתמים יש גם כללים משלהם, שבעקבותיהם תוכלו ללמוד בקלות כיצד לעבוד גם עם ביטויים לוגריתמיים ארוכים ומרווחים:

• הבסיס "a" חייב להיות תמיד גדול מאפס, ויחד עם זאת לא להיות שווה ל-1, אחרת הביטוי יאבד את משמעותו, כי "1" ו-"0" בכל דרגה שווים תמיד לערכים שלהם;
• אם a > 0, אז a b > 0, מסתבר ש-"c" חייב להיות גדול מאפס.

איך פותרים לוגריתמים?

לדוגמה, המשימה ניתנה למצוא את התשובה למשוואה 10 x \u003d 100. זה קל מאוד, אתה צריך לבחור כוח כזה, להעלות את המספר עשר אליו נקבל 100. זה, כמובן, הוא 10 2 \u003d 100.

עכשיו בואו נציג את הביטוי הזה כלוגריתמי. נקבל לוג 10 100 = 2. בעת פתרון לוגריתמים, כל הפעולות מתכנסות למעשה למציאת המידה שבה יש להזין את בסיס הלוגריתם כדי לקבל מספר נתון.

כדי לקבוע במדויק את הערך של תואר לא ידוע, עליך ללמוד כיצד לעבוד עם טבלת מעלות. זה נראה כמו זה:

כפי שאתה יכול לראות, ניתן לנחש כמה מעריכים באופן אינטואיטיבי אם יש לך חשיבה טכנית וידע בטבלת הכפל. עם זאת, עבור ערכים גדוליםאתה צריך טבלת מעלות. זה יכול לשמש גם למי שלא מבין כלום בכלל בנושאים מתמטיים מורכבים. העמודה השמאלית מכילה מספרים (בסיס a), שורת המספרים העליונה היא ערך החזקה c, שאליו מועלה המספר a. בצומת בתאים נקבעים ערכי המספרים שהם התשובה (a c =b). ניקח, למשל, את התא הראשון עם המספר 10 ונריבוע אותו, נקבל את הערך 100, שמצוין במפגש של שני התאים שלנו. הכל כל כך פשוט וקל שאפילו ההומניסט האמיתי ביותר יבין!

משוואות ואי שוויון

מסתבר שבתנאים מסוימים, המעריך הוא הלוגריתם. לכן, כל ביטוי מספרי מתמטי יכול להיכתב כמשוואה לוגריתמית. לדוגמה, ניתן לכתוב 3 4 =81 כלוגריתם של 81 לבסיס 3, שהוא ארבע (לוג 3 81 = 4). ל כוחות שלילייםהכללים זהים: 2 -5 \u003d 1/32 אנו כותבים בצורה של לוגריתם, אנו מקבלים יומן 2 (1/32) \u003d -5. אחד הקטעים המרתקים ביותר במתמטיקה הוא נושא ה"לוגריתמים". נשקול דוגמאות ופתרונות של משוואות מעט נמוך יותר, מיד לאחר לימוד תכונותיהן. עכשיו בואו נסתכל איך נראים אי-שוויון ואיך להבדיל אותם ממשוואות.

ניתן ביטוי של הצורה הבאה: log 2 (x-1) > 3 - זה כן אי שוויון לוגריתמי, מכיוון שהערך הלא ידוע "x" נמצא מתחת לסימן הלוגריתם. וגם בביטוי משווים שתי כמויות: הלוגריתם של המספר הרצוי בבסיס שני גדול מהמספר שלוש.

ההבדל החשוב ביותר בין משוואות לוגריתמיות לאי שוויון הוא שמשוואות עם לוגריתמים (לדוגמה, הלוגריתם של 2 x = √9) מרמזות על ערך מספרי ספציפי אחד או יותר בתשובה, בעוד שבפתרון אי שוויון מוגדרים כאזור ערכים מותרים, ונקודות האי המשכיות של פונקציה זו. כתוצאה מכך, התשובה אינה קבוצה פשוטה של ​​מספרים בודדים, כמו בתשובת המשוואה, אלא סדרה או קבוצה רציפה של מספרים.

משפטים בסיסיים על לוגריתמים

בעת פתרון משימות פרימיטיביות על מציאת ערכי הלוגריתם, ייתכן שתכונותיו אינן ידועות. עם זאת, כאשר מדובר במשוואות לוגריתמיות או באי-שוויון, קודם כל, יש צורך להבין בבירור וליישם בפועל את כל המאפיינים הבסיסיים של הלוגריתמים. נכיר דוגמאות למשוואות בהמשך, ראשית ננתח כל תכונה ביתר פירוט.

1. הזהות הבסיסית נראית כך: a logaB =B. זה חל רק אם a גדול מ-0, אינו שווה לאחד, ו-B גדול מאפס.
2. הלוגריתם של המוצר יכול להיות מיוצג בנוסחה הבאה: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. במקרה זה, התנאי המוקדמים הוא: d, s 1 ו-s 2 > 0; a≠1. אתה יכול לתת הוכחה לנוסחת הלוגריתמים הזו, עם דוגמאות ופתרון. תן לוגן a s 1 = f 1 ו- log a s 2 = f 2, ואז a f1 = s 1, a f2 = s 2. נקבל ש- s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (מאפייני מעלות ), ועוד בהגדרה: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, שהיה צריך להוכיח.
3. הלוגריתם של המנה נראה כך: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. המשפט בצורת נוסחה מקבל את הצורה הבאה: log a q b n = n/q log a b.

נוסחה זו נקראת "תכונת מידת הלוגריתם". זה דומה למאפיינים של תארים רגילים, וזה לא מפתיע, כי כל המתמטיקה נשענת על פוסטולטים רגילים. בואו נסתכל על ההוכחה.

תן לרשום a b \u003d t, מסתבר א t \u003d b. אם תעלה את שני החלקים בחזקת m: a tn = b n ;

אבל מכיוון ש tn = (a q) nt/q = b n , מכאן לוג a q b n = (n*t)/t, אז log a q b n = n/q log a b. המשפט הוכח.

דוגמאות לבעיות ואי שוויון

הסוגים הנפוצים ביותר של בעיות לוגריתם הם דוגמאות של משוואות ואי-שוויון. הם נמצאים כמעט בכל ספרי הבעיות, ונכללים גם בחלק החובה של בחינות במתמטיקה. כדי להיכנס לאוניברסיטה או לעבור מבחני קבלה במתמטיקה, צריך לדעת איך לפתור משימות כאלה בצורה נכונה.

למרבה הצער, אין תוכנית או סכמה אחת לפתרון וקביעת הערך הלא ידוע של הלוגריתם, עם זאת, ניתן ליישם כל אי שוויון מתמטי או משוואה לוגריתמית חוקים מסוימים. קודם כל, כדאי לברר האם ניתן לפשט או לצמצם את הביטוי השקפה כללית. פשט ארוך ביטויים לוגריתמייםאתה יכול, אם אתה משתמש במאפיינים שלהם בצורה נכונה. בואו להכיר אותם בקרוב.

כשמחליטים משוואות לוגריתמיות, יש צורך לקבוע איזה סוג של לוגריתם יש לפנינו: דוגמה לביטוי עשויה להכיל לוגריתם טבעי או עשרוני.

להלן דוגמאות ln100, ln1026. הפתרון שלהם מסתכם בעובדה שאתה צריך לקבוע את המידה שבה הבסיס 10 יהיה שווה ל-100 ו-1026, בהתאמה. עבור פתרונות של לוגריתמים טבעיים, יש ליישם זהויות לוגריתמיות או תכונותיהן. בואו נסתכל על דוגמאות לפתרון בעיות לוגריתמיות מסוגים שונים.

כיצד להשתמש בנוסחאות לוגריתם: עם דוגמאות ופתרונות

אז בואו נסתכל על דוגמאות לשימוש במשפטים העיקריים על לוגריתמים.

1. ניתן להשתמש בתכונת הלוגריתם של המוצר במשימות שבהן יש צורך להרחיב חשיבות רבהמספרים b לתוך גורמים פשוטים יותר. לדוגמה, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. התשובה היא 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - כפי שניתן לראות, באמצעות התכונה הרביעית של דרגת הלוגריתם, הצלחנו לפתור במבט ראשון ביטוי מורכב ובלתי ניתן לפתרון. יש צורך רק לחלק את הבסיס לגורמים ואז להוציא את ערכי המעריך מהסימן של הלוגריתם.

משימות מהבחינה

לוגריתמים נמצאים לעתים קרובות במבחני כניסה, במיוחד הרבה בעיות לוגריתמיות בבחינת המדינה המאוחדת (בחינה ממלכתית לכל בוגרי בית הספר). בדרך כלל משימות אלו קיימות לא רק בחלק א' (הקל ביותר חלק מבחןבחינה), אבל גם בחלק ג' (המשימות הקשות והנפחיות ביותר). הבחינה מרמזת על ידע מדויק ומושלם בנושא "לוגריתמים טבעיים".

דוגמאות ופתרונות לבעיה לקוחים מפקיד השתמש באפשרויות. בואו נראה איך משימות כאלה נפתרות.

נתון יומן 2 (2x-1) = 4. פתרון:
נכתוב מחדש את הביטוי, ונפשט אותו מעט לוג 2 (2x-1) = 2 2 , לפי הגדרת הלוגריתם נקבל ש- 2x-1 = 2 4 , ולכן 2x = 17; x = 8.5.

• כל הלוגריתמים עדיף לצמצם לאותו בסיס כדי שהפתרון לא יהיה מסורבל ומבלבל.
• כל הביטויים תחת סימן הלוגריתם מסומנים כחיוביים, לכן, כאשר מוציאים את המעריך של המעריך של הביטוי, שנמצא תחת סימן הלוגריתם וכבסיס שלו, הביטוי שנשאר מתחת ללוגריתם חייב להיות חיובי.

הלוגריתם של מספר נ על ידי סיבה א נקרא מעריך איקס , שאליו אתה צריך להעלות א כדי לקבל את המספר נ

בתנאי ש
,
,

מהגדרת הלוגריתם נובע ש
, כלומר
- שוויון זה הוא הזהות הלוגריתמית הבסיסית.

לוגריתמים לבסיס 10 נקראים לוגריתמים עשרוניים. במקום
לִכתוֹב
.

לוגריתמים בסיסיים ה נקראים טבעיים ומסומנים
.

מאפיינים בסיסיים של לוגריתמים.

הלוגריתם של אחדות עבור כל בסיס הוא אפס

לוגריתם של המוצר שווה לסכוםהלוגריתמים של הגורמים.

3) לוגריתם של המנה שווה להפרשלוגריתמים

גורם
נקרא מודול המעבר מלוגריתמים בבסיס א ללוגריתמים בבסיס ב .

באמצעות מאפיינים 2-5, לעתים קרובות ניתן לצמצם את הלוגריתם של ביטוי מורכב לתוצאה של פעולות אריתמטיות פשוטות על לוגריתמים.

לדוגמה,

טרנספורמציות כאלה של הלוגריתם נקראות לוגריתמים. טרנספורמציות הדדיות של לוגריתמים נקראות פוטנציציה.

פרק 2. יסודות מתמטיקה גבוהה יותר.

1. גבולות

מגבלת פונקציה
הוא מספר סופי A if, כאשר שואפים xx 0 לכל אחד שנקבע מראש
, יש מספר
כי ברגע
, זה
.

פונקציה שיש לה גבול שונה ממנה בכמות אינסופית:
, שבו - b.m.w., כלומר.
.

דוגמא. שקול את הפונקציה
.

כאשר מתאמצים
, פונקציה y הולך לאפס:

1.1. משפטים בסיסיים על גבולות.

הגבול של ערך קבוע שווה לערך קבוע זה

.

הגבול של הסכום (ההפרש) של מספר סופי של פונקציות שווה לסכום (ההפרש) של גבולות הפונקציות הללו.

הגבול של מכפלה של מספר סופי של פונקציות שווה למכפלת המגבלות של פונקציות אלה.

גבול המנה של שתי פונקציות שווה למנה של גבולות הפונקציות הללו אם גבול המכנה אינו שווה לאפס.

גבולות ראויים לציון

,
, איפה

1.2. דוגמאות לחישוב הגבלה

עם זאת, לא כל המגבלות מחושבות בצורה כל כך פשוטה. לעתים קרובות יותר, חישוב הגבול מצטמצם לחשיפה של אי ודאות סוג: או .

.

2. נגזרת של פונקציה

שתהיה לנו פונקציה
, רציף על הקטע
.

טַעֲנָה קיבל קצת דחיפה
. אז הפונקציה תוגדל
.

ערך טיעון מתאים לערך הפונקציה
.

ערך טיעון
מתאים לערך הפונקציה.

מכאן, .

הבה נמצא את הגבול של יחס זה ב
. אם הגבול הזה קיים, אז הוא נקרא הנגזרת של הפונקציה הנתונה.

הגדרה של נגזרת 3 של פונקציה נתונה
לפי טיעון נקרא גבול היחס בין התוספת של הפונקציה לתוספת הארגומנט, כאשר התוספת של הארגומנט שואפת באופן שרירותי לאפס.

נגזרת פונקציה
ניתן לסמן באופן הבא:

; ; ; .

הגדרה 4פעולת מציאת הנגזרת של פונקציה נקראת בידול.

2.1. המשמעות המכנית של הנגזרת.

שקול את התנועה המיושרת של גוף נוקשה או נקודה חומרית כלשהי.

תן בנקודת זמן מסוימת נקודה נעה
היה במרחק מעמדת ההתחלה
.

לאחר תקופה מסוימת
היא זזה מרחק
. יַחַס =- מהירות ממוצעתנקודה חומרית
. הבה נמצא את הגבול של יחס זה, תוך התחשבות בכך
.

כתוצאה מכך, קביעת המהירות המיידית של נקודת חומר מצטמצמת למציאת הנגזרת של הנתיב ביחס לזמן.

2.2. ערך גיאומטרי של הנגזרת

נניח שיש לנו פונקציה מוגדרת גרפית כלשהי
.

אורז. 1. המשמעות הגיאומטרית של הנגזרת

אם
, ואז הנקודה
, ינוע לאורך העקומה, יתקרב לנקודה
.

לָכֵן
, כלומר הערך של הנגזרת בהינתן ערך הארגומנט שווה מספרית לטנגנס של הזווית שנוצרת על ידי המשיק בנקודה נתונה עם הכיוון החיובי של הציר
.

2.3. טבלה של נוסחאות בידול בסיסיות.

פונקציית כוח

פונקציה מעריכית

פונקציה לוגריתמית

פונקציה טריגונומטרית

פונקציה טריגונומטרית הפוכה

2.4. כללי בידול.

נגזרת של

נגזרת של סכום (הפרש) של פונקציות

נגזרת של המכפלה של שתי פונקציות

הנגזרת של המנה של שתי פונקציות

2.5. נגזרת של פונקציה מורכבת.

תן לתפקד
כזה שניתן לייצג אותו כ

ו
, שבו המשתנה הוא טיעון ביניים, אם כן

הנגזרת של פונקציה מורכבת שווה למכפלת הנגזרת של הפונקציה הנתונה ביחס לארגומנט הביניים על ידי הנגזרת של ארגומנט הביניים ביחס ל-x.

דוגמה1.

דוגמה2.

3. הפרש פונקציות.

יִהיֶה
, ניתן להבדיל במרווח כלשהו
לעזוב בְּ- לפונקציה הזו יש נגזרת

,

אז אתה יכול לכתוב

(1),

איפה - כמות אינסופית,

כי ב

הכפלת כל תנאי השוויון (1) ב
יש לנו:

איפה
- b.m.v. מסדר גבוה יותר.

ערך
נקרא הדיפרנציאל של הפונקציה
ומסומן

.

3.1. הערך הגיאומטרי של ההפרש.

תן לתפקד
.

איור 2. המשמעות הגיאומטרית של הדיפרנציאל.

.

ברור, ההפרש של הפונקציה
שווה לתוספת של הקוסמינטה של ​​הטנגנס בנקודה הנתונה.

3.2. נגזרות והפרשים בסדרים שונים.

אם יש
, לאחר מכן
נקראת הנגזרת הראשונה.

הנגזרת של הנגזרת הראשונה נקראת נגזרת מסדר שני והיא כתובה
.

נגזרת של הסדר ה-n של הפונקציה
נקראת הנגזרת של הסדר (n-1) ונכתבת:

.

ההפרש של ההפרש של פונקציה נקרא ההפרש השני או ההפרש מסדר השני.

.

.

3.3 פתרון בעיות ביולוגיות באמצעות דיפרנציאציה.

משימה 1. מחקרים הראו שצמיחה של מושבה של מיקרואורגניזמים מצייתת לחוק
, איפה נ - מספר מיקרואורגניזמים (באלפים), ט - זמן (ימים).

ב) האם אוכלוסיית המושבה תגדל או תקטן בתקופה זו?

תשובה. המושבה תגדל בגודלה.

משימה 2. המים באגם נבדקים מעת לעת כדי לשלוט בתכולת החיידקים הפתוגניים. דרך ט ימים לאחר הבדיקה, ריכוז החיידקים נקבע לפי היחס

.

מתי יגיע ריכוז החיידקים המינימלי לאגם וניתן יהיה לשחות בו?

פתרון פונקציה מגיעה ל-max או min כאשר הנגזרת שלה היא אפס.

,

בוא נקבע שהמקסימום או המינימום יהיו בעוד 6 ימים. לשם כך, ניקח את הנגזרת השנייה.

תשובה: לאחר 6 ימים יהיה ריכוז מינימלי של חיידקים.

אחד המרכיבים של אלגברה ברמה פרימיטיבית הוא הלוגריתם. השם בא מהשפה היוונית מהמילה "מספר" או "מעלה" ופירושו המידה שבה יש צורך להעלות את המספר בבסיס על מנת למצוא את המספר הסופי.

סוגי לוגריתמים

• log a b הוא הלוגריתם של המספר b לבסיס a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• lg b - לוגריתם עשרוני (בסיס לוגריתם 10, a = 10);
• ln b - לוגריתם טבעי (בסיס לוגריתם e, a = e).

איך פותרים לוגריתמים?

הלוגריתם של המספר b לבסיס a הוא מעריך, המחייב להעלות את הבסיס a למספר b. התוצאה מבוטא כך: "לוגריתם של b לבסיס של a". הפתרון לבעיות לוגריתמיות הוא שאתה צריך לקבוע את התואר הנתון לפי המספרים לפי המספרים שצוינו. ישנם כמה כללים בסיסיים לקביעת או פתרון הלוגריתם, כמו גם לשינוי הסימון עצמו. באמצעותם פותרים משוואות לוגריתמיות, מוצאים נגזרות, פותרים אינטגרלים ומבצעים פעולות רבות אחרות. בעיקרון, הפתרון ללוגריתם עצמו הוא התווים הפשוטים שלו. להלן הנוסחאות והמאפיינים העיקריים:

עבור כל א ; a > 0; a ≠ 1 ולכל x ; y > 0.

• a log a b = b - בסיסי זהות לוגריתמית
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , עבור k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - נוסחה למעבר לבסיס חדש
• log a x = 1/log x a

כיצד לפתור לוגריתמים - הוראות שלב אחר שלב לפתרון

• ראשית, רשום את המשוואה הנדרשת.

שימו לב: אם לוגריתם הבסיס הוא 10, הרי שהרשומה מתקצרת, מתקבל לוגריתם עשרוני. אם שווה מספר טבעיה, אז אנחנו רושמים, מצמצמים ל לוגריתם טבעי. זה אומר שהתוצאה של כל הלוגריתמים היא החזקה שאליה מעלים את מספר הבסיס כדי לקבל את המספר b.

באופן ישיר, הפתרון טמון בחישוב התואר הזה. לפני פתרון ביטוי בלוגריתם, יש לפשט אותו לפי הכלל, כלומר באמצעות נוסחאות. אתה יכול למצוא את הזהויות העיקריות על ידי חזרה מעט אחורה במאמר.

חיבור והפחתה לוגריתמים עם שני מספרים שונים, אבל עם אותם נימוקים, החלף בלוגריתם אחד במכפלה או בחלוקה של המספרים b ו-c, בהתאמה. במקרה זה, תוכל להחיל את נוסחת המעבר על בסיס אחר (ראה לעיל).

אם אתה משתמש בביטויים כדי לפשט את הלוגריתם, יש כמה מגבלות שצריך להיות מודע להן. וזהו: הבסיס של הלוגריתם a הוא רק מספר חיובי, אבל לא שווה לאחד. המספר b, כמו a, חייב להיות גדול מאפס.

ישנם מקרים שבהם, לאחר פישוט הביטוי, לא תוכל לחשב את הלוגריתם בצורה מספרית. זה קורה שביטוי כזה לא הגיוני, כי דרגות רבות הן מספרים אי-רציונליים. בתנאי זה, השאר את החזקה של המספר כלוגריתם.

נגזר מהגדרתו. וכך הלוגריתם של המספר בעל ידי סיבה אמוגדר כמעריך אליו יש להעלות מספר אכדי לקבל את המספר ב(הלוגריתם קיים רק עבור מספרים חיוביים).

מניסוח זה עולה כי החישוב x=log a b, שווה ערך לפתרון המשוואה ax=b.לדוגמה, log 2 8 = 3כי 8 = 2 3 . ניסוח הלוגריתם מאפשר להצדיק שאם b=a ג, ואז הלוגריתם של המספר בעל ידי סיבה אשווים עם. ברור גם שנושא הלוגריתם קשור קשר הדוק לנושא העוצמה של מספר.

עם לוגריתמים, כמו עם כל מספרים, אתה יכול לבצע פעולות של חיבור, חיסורולשנות בכל דרך אפשרית. אבל לאור העובדה שהלוגריתמים אינם מספרים רגילים, חלים כאן כללים מיוחדים משלהם, הנקראים מאפיינים בסיסיים.

חיבור וחיסור של לוגריתמים.

קח שני לוגריתמים עם אותו בסיס: log xו התחבר א. לאחר מכן הסר אפשר לבצע פעולות חיבור וחיסור:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

יומן א(איקס 1 . איקס 2 . איקס 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + log a x k.

מ משפטי לוגריתם מנהניתן לקבל עוד תכונה אחת של הלוגריתם. ידוע כי יומן א 1=0, לכן,

עֵץ א 1 /ב= יומן א 1 - יומן א ב= -לוג א ב.

אז יש שוויון:

log a 1 / b = - log a b.

לוגריתמים של שני מספרים הדדייםעל אותו בסיס יהיו שונים זה מזה רק בסימן. כך:

יומן 3 9= - יומן 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

ביטויים לוגריתמיים, פתרון דוגמאות. במאמר זה נשקול בעיות הקשורות לפתרון לוגריתמים. המשימות מעלות את שאלת מציאת ערך הביטוי. יש לציין כי מושג הלוגריתם משמש במשימות רבות וחשוב ביותר להבין את משמעותו. באשר ל-USE, הלוגריתם משמש בפתרון משוואות, בבעיות יישומיות וגם במשימות הקשורות לחקר פונקציות.

הנה דוגמאות להבנת עצם המשמעות של הלוגריתם:

זהות לוגריתמית בסיסית:

מאפיינים של לוגריתמים שעליכם לזכור תמיד:

*הלוגריתם של המכפלה שווה לסכום הלוגריתמים של הגורמים.

* * *

* הלוגריתם של המנה (שבר) שווה להפרש הלוגריתמים של הגורמים.

* * *

* הלוגריתם של התואר שווה למכפלת המעריך וללוגריתם הבסיס שלו.

* * *

*מעבר לבסיס חדש

* * *

נכסים נוספים:

* * *

מחשוב לוגריתמים קשור קשר הדוק לשימוש במאפיינים של מעריכים.

אנו מפרטים כמה מהם:

המהות של תכונה זו היא שכאשר מעבירים את המונה למכנה ולהיפך, סימן המעריך משתנה להיפך. לדוגמה:

תוצאה של נכס זה:

* * *

כאשר מעלים כוח לחזקה, הבסיס נשאר זהה, אבל המעריכים מוכפלים.

* * *

כפי שאתה יכול לראות, עצם הרעיון של הלוגריתם הוא פשוט. העיקר שיש צורך בתרגול טוב, שנותן מיומנות מסוימת. אין ספק שידע בנוסחאות הוא חובה. אם המיומנות בהמרת לוגריתמים יסודיים אינה נוצרת, אז כשפותרים משימות פשוטות, אפשר בקלות לטעות.

תרגל, פתרו תחילה את הדוגמאות הפשוטות ביותר מהקורס במתמטיקה, ואז עברו לדוגמאות מורכבות יותר. בעתיד, אני בהחלט אראה כיצד פותרים את הלוגריתמים ה"מכוערים", לא יהיו כאלה בבחינה, אבל הם מעניינים, אל תפספסו את זה!

זה הכל! בהצלחה לך!

בברכה, אלכסנדר קרוטיסקיך

נ.ב: אודה לך אם תספר על האתר ברשתות החברתיות.