Pristatymas ir pamoka tema: "Racionaliosios lygtys. Racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmas ir pavyzdžiai"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų! Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Mokomosios priemonės ir simuliatoriai Integral internetinėje parduotuvėje 8 klasei
Makarychevo vadovėlio vadovas Yu.N. Mordkovičiaus A.G. vadovėlio vadovas.

Iracionaliųjų lygčių įvadas

Vaikinai, mes išmokome spręsti kvadratines lygtis. Tačiau matematika neapsiriboja tik jais. Šiandien mes išmoksime išspręsti racionalias lygtis. Racionaliųjų lygčių sąvoka daugeliu atžvilgių yra panaši į sąvoką racionalūs numeriai. Tik be skaičių, dabar mes pristatėme kintamąjį $x$. Taigi gauname išraišką, kurioje yra sudėties, atimties, daugybos, dalybos ir didinimo iki sveikojo skaičiaus operacijos.

Tegu $r(x)$ racionali išraiška. Tokia išraiška gali būti paprastas daugianomas kintamajame $x$ arba daugianario santykis (įvedama dalybos operacija, kaip ir racionaliesiems skaičiams).
Vadinama lygtis $r(x)=0$ racionalioji lygtis.
Bet kuri lygtis formos $p(x)=q(x)$, kur $p(x)$ ir $q(x)$ yra racionalios išraiškos, taip pat bus racionalioji lygtis.

Pažvelkime į racionaliųjų lygčių sprendimo pavyzdžius.

1 pavyzdys.
Išspręskite lygtį: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Sprendimas.
Perkelkime visas išraiškas į kairė pusė: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Jei kairioji lygties pusė būtų pavaizduota paprastaisiais skaičiais, tada dvi trupmenas sumažintume iki bendro vardiklio.
Padarykime taip: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Gavome lygtį: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Trupmena lygi nuliui tada ir tik tada, kai trupmenos skaitiklis yra nulis, o vardiklis yra nulis. Tada skaitiklį atskirai prilyginame nuliui ir randame skaitiklio šaknis.
$3(x^2+2x-3)=0$ arba $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Dabar patikrinkime trupmenos vardiklį: $(x-3)*x≠0$.
Dviejų skaičių sandauga yra lygi nuliui, kai bent vienas iš šių skaičių yra lygus nuliui. Tada: $x≠0$ arba $x-3≠0$.
$x≠0$ arba $x≠3$.
Skaitiklyje ir vardiklyje gautos šaknys nesutampa. Taigi atsakyme užrašome abi skaitiklio šaknis.
Atsakymas: $x=1$ arba $x=-3$.

Jei staiga viena iš skaitiklio šaknų sutampa su vardiklio šaknimi, ji turėtų būti neįtraukta. Tokios šaknys vadinamos pašalinėmis!

Racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmas:

1. Perkelkite visas lygtyje esančias išraiškas į kairę lygybės ženklo pusę.
2. Konvertuokite šią lygties dalį į algebrinė trupmena: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Gautą skaitiklį prilyginkite nuliui, tai yra išspręskite lygtį $p(x)=0$.
4. Vardiklį prilyginkite nuliui ir išspręskite gautą lygtį. Jei vardiklio šaknys sutampa su skaitiklio šaknimis, jos turėtų būti neįtrauktos į atsakymą.

2 pavyzdys.
Išspręskite lygtį: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Sprendimas.
Išspręskime pagal algoritmo taškus.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Skaitiklį prilyginkite nuliui: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Vardiklį prilyginkite nuliui:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ ir $x=-1$.
Viena iš šaknų $x=1$ sutampa su skaitiklio šaknimi, tada jos neužrašome atsakyme.
Atsakymas: $x=-1$.

Racionalias lygtis patogu spręsti kintamųjų kaitos metodu. Parodykime tai.

3 pavyzdys.
Išspręskite lygtį: $x^4+12x^2-64=0$.

Sprendimas.
Pristatykime pakeitimą: $t=x^2$.
Tada mūsų lygtis bus tokia:
$t^2+12t-64=0$ – normalu kvadratinė lygtis.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 USD.
Įveskime atvirkštinį pakeitimą: $x^2=4$ arba $x^2=-16$.
Pirmosios lygties šaknys yra skaičių pora $x=±2$. Antras dalykas yra tai, kad jis neturi šaknų.
Atsakymas: $x=±2$.

4 pavyzdys.
Išspręskite lygtį: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Sprendimas.
Įveskime naują kintamąjį: $t=x^2+x+1$.
Tada lygtis bus tokia: $t=\frac(15)(t+2)$.
Toliau tęsime pagal algoritmą.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 USD.
4. $t≠-2$ - šaknys nesutampa.
Įveskime atvirkštinį pakeitimą.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Išspręskime kiekvieną lygtį atskirai:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - ne šaknys.
Ir antroji lygtis: $x^2+x-2=0$.
Šios lygties šaknys bus skaičiai $x=-2$ ir $x=1$.
Atsakymas: $x=-2$ ir $x=1$.

5 pavyzdys.
Išspręskite lygtį: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Sprendimas.
Įveskime pakeitimą: $t=x+\frac(1)(x)$.
Tada:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ arba $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Gavome lygtį: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Šios lygties šaknys yra pora:
$t=-3$ ir $t=2$.
Pristatykime atvirkštinį pakeitimą:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Spręsime atskirai.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Išspręskime antrąją lygtį:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Šios lygties šaknis yra skaičius $x=1$.
Atsakymas: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Problemos, kurias reikia spręsti savarankiškai

Išspręskite lygtis:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

§ 1 Sveikųjų skaičių ir trupmeninės racionalios lygtys

Šioje pamokoje apžvelgsime tokias sąvokas kaip racionalioji lygtis, racionali išraiška, visa išraiška, trupmeninė išraiška. Panagrinėkime racionaliųjų lygčių sprendimą.

Racionalioji lygtis yra lygtis, kurios kairioji ir dešinė pusės yra racionalios išraiškos.

Racionalios išraiškos yra šios:

Trupmeninis.

Sveikojo skaičiaus išraišką sudaro skaičiai, kintamieji, sveikųjų skaičių laipsniai, naudojant sudėjimo, atimties, daugybos ir padalijimo iš kito skaičiaus nei nulis operacijas.

Pavyzdžiui:

Trupmeninės išraiškos apima padalijimą iš kintamojo arba išraišką su kintamuoju. Pavyzdžiui:

Trupmeninė išraiška neturi prasmės visoms į ją įtrauktų kintamųjų reikšmėms. Pavyzdžiui, išraiška

ties x = -9 tai nėra prasmės, nes esant x = -9 vardiklis eina į nulį.

Tai reiškia, kad racionalioji lygtis gali būti sveikoji arba trupmeninė.

Visa racionali lygtis yra racionali lygtis, kurioje kairioji ir dešinė pusės yra sveikos išraiškos.

Pavyzdžiui:

Trupmeninė racionali lygtis yra racionali lygtis, kurios kairioji arba dešinė pusė yra trupmeninės išraiškos.

Pavyzdžiui:

§ 2 Visos racionalios lygties sprendimas

Panagrinėkime visos racionalios lygties sprendimą.

Pavyzdžiui:

Padauginkime abi lygties puses iš mažiausio į ją įtrauktų trupmenų vardiklio bendro vardiklio.

Už tai:

1. Raskite vardiklių 2, 3, 6 bendrą vardiklį. Jis lygus 6;

2. kiekvienai trupmenai raskite papildomą koeficientą. Norėdami tai padaryti, padalinkite bendrą vardiklį 6 iš kiekvieno vardiklio

papildomas trupmenos koeficientas

papildomas trupmenos koeficientas

3. trupmenų skaitiklius padauginkite iš atitinkamų papildomų koeficientų. Taigi gauname lygtį

kuri yra lygiavertė pateiktai lygčiai

Kairėje atidarysime skliaustus, dešinioji pusė Perkelkime jį į kairę, pakeisdami termino ženklą į priešingą.

Pateikime panašius daugianario narius ir gaukime

Matome, kad lygtis yra tiesinė.

Išsprendę tai, kad x = 0,5.

§ 3 Trupmeninės racionalios lygties sprendimas

Apsvarstykime, kaip išspręsti trupmeninę racionaliąją lygtį.

Pavyzdžiui:

1. Padauginkite abi lygties puses iš į ją įtrauktų racionaliųjų trupmenų vardiklio mažiausio bendro vardiklio.

Raskime vardiklių x + 7 ir x - 1 bendrą vardiklį.

Jis lygus jų sandaugai (x + 7)(x - 1).

2. Kiekvienai racionaliajai trupmenai raskime papildomą koeficientą.

Norėdami tai padaryti, padalykite bendrą vardiklį (x + 7) (x - 1) iš kiekvieno vardiklio. Papildomas koeficientas trupmenoms

lygus x - 1,

papildomas trupmenos koeficientas

lygus x+7.

3. Padauginkite trupmenų skaitiklius iš atitinkamų papildomų koeficientų.

Gauname lygtį (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7), kuri yra lygiavertė šiai lygčiai

4. Padauginkite dvinarį iš dvinario kairėje ir dešinėje ir gaukite šią lygtį

5. Perkeliame dešinę pusę į kairę, keisdami kiekvieno termino ženklą, kai pereiname į priešingą:

6. Pateikime panašius daugianario narius:

7. Abi puses galima padalyti iš -1. Gauname kvadratinę lygtį:

8. Išsprendę, rasime šaknis

Kadangi Eq.

kairėje ir dešinėje pusėse yra trupmeninės išraiškos, o trupmeninėse išraiškose kai kurioms kintamųjų reikšmėms vardiklis gali tapti nuliu, tada reikia patikrinti, ar bendras vardiklis nepatenka į nulį, kai randami x1 ir x2 .

Esant x = -27, bendras vardiklis (x + 7) (x - 1) neišnyksta; kai x = -1, bendras vardiklis taip pat nėra nulis.

Todėl ir šaknys -27 ir -1 yra lygties šaknys.

Sprendžiant trupmeninę racionaliąją lygtį, geriau iš karto nurodyti sritį priimtinos vertės. Pašalinkite tas vertes, kuriose bendras vardiklis tampa nuliu.

Panagrinėkime kitą trupmeninės racionalios lygties sprendimo pavyzdį.

Pavyzdžiui, išspręskime lygtį

Skaičiuojame dešinėje lygties pusėje esančios trupmenos vardiklį

Gauname lygtį

Raskime vardiklių (x - 5), x, x(x - 5) bendrą vardiklį.

Tai bus išraiška x(x - 5).

Dabar suraskime priimtinų lygties verčių diapazoną

Norėdami tai padaryti, bendrąjį vardiklį prilyginame nuliui x(x - 5) = 0.

Gauname lygtį, kurią išsprendę nustatome, kad esant x = 0 arba x = 5 bendras vardiklis eina į nulį.

Tai reiškia, kad x = 0 arba x = 5 negali būti mūsų lygties šaknys.

Dabar galima rasti papildomų daugiklių.

Papildomas koeficientas racionaliosioms trupmenoms

papildomas trupmenos koeficientas

bus (x - 5),

ir papildomas trupmenos koeficientas

Skaitiklius padauginame iš atitinkamų papildomų koeficientų.

Gauname lygtį x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

Atidarykime skliaustus kairėje ir dešinėje, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Perkelkime sąlygas iš dešinės į kairę, pakeisdami perduotų sąlygų ženklą:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

Ir atvedę panašius terminus gauname kvadratinę lygtį x2 - 3x - 10 = 0. Ją išsprendę randame šaknis x1 = -2; x2 = 5.

Bet mes jau išsiaiškinome, kad esant x = 5 bendras vardiklis x(x - 5) eina į nulį. Todėl mūsų lygties šaknis

bus x = -2.

§ 4 Trumpa pamokos santrauka

Svarbu atsiminti:

Spręsdami trupmenines racionaliąsias lygtis, atlikite šiuos veiksmus:

1. Raskite į lygtį įtrauktų trupmenų bendrą vardiklį. Be to, jei trupmenų vardiklius galima išskaičiuoti, tada suskaičiuokite juos ir raskite bendrą vardiklį.

2.Padauginkite abi lygties puses iš bendro vardiklio: raskite papildomų koeficientų, padauginkite skaitiklius iš papildomų koeficientų.

3.Išspręskite gautą visą lygtį.

4. Pašalinkite iš jos šaknų tuos, dėl kurių bendras vardiklis išnyksta.

Naudotos literatūros sąrašas:

1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Redagavo Telyakovsky S.A. Algebra: vadovėlis. 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijose. - M.: Švietimas, 2013 m.
2. Mordkovičius A.G. Algebra. 8 klasė: iš dviejų dalių. 1 dalis: Vadovėlis. bendrajam lavinimui institucijose. - M.: Mnemosyne.
3. Rurukin A.N. Algebros pamokos plėtra: 8 klasė.- M.: VAKO, 2010 m.
4. Algebra 8 klasė: pamokų planai pagal Yu.N. vadovėlį. Makarycheva, N.G. Mindjukas, K.I. Neškova, S.B. Suvorova / Aut.-komp. T.L. Afanasjeva, L.A. Tapilina. -Volgogradas: Mokytojas, 2005 m.

Pamokos tikslai:

Švietimas:

• trupmeninių racionaliųjų lygčių sampratos formavimas;
• svarstyti įvairius trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo būdus;
• apsvarstykite trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmą, įskaitant sąlygą, kad trupmena lygi nuliui;
• mokyti spręsti trupmenines racionaliąsias lygtis naudojant algoritmą;
• temos įvaldymo lygio patikrinimas atliekant testą.

Vystomasis:

• ugdyti gebėjimą teisingai operuoti su įgytomis žiniomis ir logiškai mąstyti;
• intelektinių įgūdžių ir protinių operacijų ugdymas – analizė, sintezė, palyginimas ir apibendrinimas;
• iniciatyvos ugdymas, gebėjimas priimti sprendimus ir tuo neapsiriboti;
• kritinio mąstymo ugdymas;
• tiriamųjų įgūdžių ugdymas.

Švietimas:

• kognityvinio susidomėjimo dalyku skatinimas;
• savarankiškumo ugdymas sprendžiant ugdymo problemas;
• ugdyti valią ir užsispyrimą siekiant galutinių rezultatų.

Pamokos tipas: pamoka - naujos medžiagos paaiškinimas.

Per užsiėmimus

1. Organizacinis momentas.

Sveiki bičiuliai! Lentoje surašytos lygtys, atidžiai jas pažiūrėkite. Ar galite išspręsti visas šias lygtis? Kurie ne ir kodėl?

Lygtys, kuriose kairė ir dešinė pusės yra trupmeninės racionalios išraiškos, vadinamos trupmeninėmis racionaliosiomis lygtimis. Kaip manai, ką šiandien mokysimės klasėje? Suformuluokite pamokos temą. Taigi, atsiverskite sąsiuvinius ir užsirašykite pamokos temą „Trupmenų racionaliųjų lygčių sprendimas“.

2. Žinių atnaujinimas. Frontalinė apklausa, darbas žodžiu su klase.

O dabar pakartosime pagrindinę teorinę medžiagą, kurią turime išstudijuoti nauja tema. Prašome atsakyti į šiuos klausimus:

1. Kas yra lygtis? ( Lygybė su kintamuoju ar kintamaisiais.)
2. Koks yra lygties numeris 1 pavadinimas? ( Linijinis.) Sprendimas tiesines lygtis. (Viską su nežinomuoju perkelkite į kairę lygties pusę, visus skaičius į dešinę. Pateikite panašias sąlygas. Raskite nežinomą veiksnį).
3. Kaip vadinasi lygtis numeris 3? ( Kvadratas.) Kvadratinių lygčių sprendimo būdai. ( Viso kvadrato išskyrimas naudojant formules, naudojant Vietos teoremą ir jos padarinius.)
4. Kas yra proporcija? ( Dviejų santykių lygybė.) Pagrindinė proporcijos savybė. ( Jei proporcija teisinga, tada jos kraštutinių narių sandauga yra lygi vidurinių narių sandaugai.)
5. Kokios savybės naudojamos sprendžiant lygtis? ( 1. Jei lygties narį perkelsite iš vienos dalies į kitą, pakeisdami jo ženklą, gausite lygtį, lygiavertę duotajai. 2. Jei abi lygties pusės padauginamos arba padalijamos iš to paties skaičiaus, kuris nėra nulis, gausite lygtį, lygiavertę duotajai..)
6. Kada trupmena lygi nuliui? ( Trupmena lygi nuliui, kai skaitiklis lygus nuliui, o vardiklis ne lygus nuliui..)

3. Naujos medžiagos paaiškinimas.

Išspręskite lygtį Nr. 2 savo sąsiuviniuose ir lentoje.

Atsakymas: 10.

Kuris trupmeninė racionalioji lygtis Ar galite pabandyti išspręsti naudodami pagrindinę proporcijos savybę? (Nr. 5).

(x-2) (x-4) = (x+2) (x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Išspręskite lygtį Nr. 4 savo sąsiuviniuose ir lentoje.

Atsakymas: 1,5.

Kokią trupmeninę racionaliąją lygtį galite bandyti išspręsti padauginę abi lygties puses iš vardiklio? (Nr. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Atsakymas: 3;4.

Dabar pabandykite išspręsti 7 lygtį naudodami vieną iš šių metodų.

(x 2 -2x-5)x (x-5) = x (x-5) (x + 5)
(x 2 -2x-5)x (x-5)-x (x-5) (x+5) = 0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5)) = 0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 =0 x 2 =5 D = 49
x 3 =5 x 4 =-2			x 3 =5 x 4 =-2
Atsakymas: 0;5;-2.			Atsakymas: 5;-2.

Paaiškinkite, kodėl taip atsitiko? Kodėl vienu atveju yra trys šaknys, o kitu – dvi? Kokie skaičiai yra šios trupmeninės racionalios lygties šaknys?

Iki šiol studentai nesusidūrė su pašalinės šaknies sąvoka, jiems iš tiesų labai sunku suprasti, kodėl taip atsitiko. Jei klasėje niekas negali aiškiai paaiškinti šios situacijos, mokytojas užduoda pagrindinius klausimus.

• Kuo lygtys Nr. 2 ir 4 skiriasi nuo lygčių Nr. 5,6,7? ( 2 ir 4 lygtyse yra skaičiai vardiklyje, 5-7 yra išraiškos su kintamuoju.)
• Kas yra lygties šaknis? ( Kintamojo reikšmė, kuriai esant lygtis tampa teisinga.)
• Kaip sužinoti, ar skaičius yra lygties šaknis? ( Padaryti čekį.)

Kai kurie studentai testuodami pastebi, kad jie turi dalytis iš nulio. Jie daro išvadą, kad skaičiai 0 ir 5 nėra šios lygties šaknys. Kyla klausimas: ar yra būdas išspręsti trupmenines racionaliąsias lygtis, leidžiančias pašalinti šią klaidą? Taip, šis metodas pagrįstas sąlyga, kad trupmena lygi nuliui.

x 2 -3x-10 = 0, D = 49, x 1 = 5, x 2 = -2.

Jei x=5, tai x(x-5)=0, o tai reiškia, kad 5 yra pašalinė šaknis.

Jei x=-2, tai x(x-5)≠0.

Atsakymas: -2.

Pabandykime tokiu būdu suformuluoti trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmą. Vaikai patys suformuluoja algoritmą.

Trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmas:

1. Viską perkelkite į kairę pusę.
2. Sumažinkite trupmenas iki bendro vardiklio.
3. Sukurkite sistemą: trupmena lygi nuliui, kai skaitiklis lygus nuliui, o vardiklis nelygus nuliui.
4. Išspręskite lygtį.
5. Patikrinkite nelygybę, kad neįtrauktumėte pašalinių šaknų.
6. Užsirašykite atsakymą.

Diskusija: kaip formalizuoti sprendimą, jei naudojate pagrindinę proporcijos savybę ir padauginate abi lygties puses iš bendro vardiklio. (Pridėkite prie sprendimo: pašalinkite iš jo šaknų tuos, dėl kurių bendras vardiklis išnyksta).

4. Pradinis naujos medžiagos suvokimas.

Dirbti porose. Studentai patys pasirenka, kaip išspręsti lygtį, atsižvelgdami į lygties tipą. Užduotys iš vadovėlio „Algebra 8“, Yu.N. Makarychev, 2007: Nr. 600(b,c,i); 601(a,e,g). Mokytojas stebi užduoties atlikimą, atsako į kylančius klausimus, teikia pagalbą prastai besimokantiems mokiniams. Savikontrolė: atsakymai užrašomi lentoje.

b) 2 – pašalinė šaknis. Atsakymas: 3.

c) 2 – pašalinė šaknis. Atsakymas: 1.5.

a) Atsakymas: -12.5.

g) Atsakymas: 1;1.5.

5. Namų darbų ruošimas.

1. Perskaitykite vadovėlio 25 pastraipą, išanalizuokite 1-3 pavyzdžius.
2. Išmokite trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmą.
3. Spręsti sąsiuviniuose Nr.600 (a, d, e); Nr. 601(g,h).
4. Pabandykite išspręsti Nr. 696(a) (neprivaloma).

6. Kontrolinės užduoties atlikimas nagrinėjama tema.

Darbas atliekamas ant popieriaus lapų.

Užduoties pavyzdys:

A) Kurios iš lygčių yra trupmeninės racionalios?

B) Trupmena lygi nuliui, kai skaitiklis yra ______________________, o vardiklis yra _______________________.

K) Ar skaičius -3 yra lygties skaičiaus 6 šaknis?

D) Išspręskite lygtį Nr.

Užduoties vertinimo kriterijai:

• „5“ suteikiama, jei mokinys teisingai atliko daugiau nei 90% užduoties.
• „4“ – 75–89 %
• „3“ – 50–74 %
• „2“ skiriamas mokiniui, kuris atliko mažiau nei 50% užduoties.
• 2 įvertinimas žurnale nenurodytas, 3 – neprivaloma.

7. Refleksija.

Savarankiško darbo lapuose parašykite:

• 1 – jei pamoka jums buvo įdomi ir suprantama;
• 2 – įdomu, bet neaišku;
• 3 – neįdomu, bet suprantama;
• 4 – neįdomu, neaišku.

8. Pamokos apibendrinimas.

Taigi, šiandien pamokoje susipažinome su trupmeninėmis racionaliosiomis lygtimis, išmokome išspręsti šias lygtis Skirtingi keliai, pasitikrino savo žinias mokymų pagalba savarankiškas darbas. Savarankiško darbo rezultatus sužinosite kitoje pamokoje, o namuose turėsite galimybę įtvirtinti žinias.

Kuris trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo būdas, jūsų nuomone, yra lengvesnis, prieinamesnis ir racionalesnis? Nepriklausomai nuo trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo metodo, ką turėtumėte atsiminti? Kas yra trupmeninių racionaliųjų lygčių „gudrumas“?

Ačiū visiems, pamoka baigėsi.

Mes jau išmokome spręsti kvadratines lygtis. Dabar išplėskime tiriamus metodus į racionaliąsias lygtis.

Kas yra racionali išraiška? Mes jau susidūrėme su šia koncepcija. Racionalios išraiškos yra išraiškos, sudarytos iš skaičių, kintamųjų, jų galių ir matematinių operacijų simbolių.

Atitinkamai, racionalios lygtys yra lygtys, kurių forma: , kur - racionalios išraiškos.

Anksčiau mes svarstėme tik tas racionalias lygtis, kurias galima redukuoti į tiesines. Dabar pažvelkime į tas racionalias lygtis, kurias galima redukuoti į kvadratines lygtis.

1 pavyzdys

Išspręskite lygtį:.

Sprendimas:

Trupmena lygi 0 tada ir tik tada, kai jos skaitiklis lygus 0, o vardiklis nelygus 0.

Gauname tokią sistemą:

Pirmoji sistemos lygtis yra kvadratinė lygtis. Prieš spręsdami visus jo koeficientus padalinkime iš 3. Gauname:

Gauname dvi šaknis: ; .

Kadangi 2 niekada nėra lygus 0, turi būti įvykdytos dvi sąlygos: . Kadangi nė viena iš aukščiau gautos lygties šaknų nesutampa su netinkamomis kintamojo reikšmėmis, gautomis sprendžiant antrąją nelygybę, jos abi yra šios lygties sprendiniai.

Atsakymas:.

Taigi, suformuluokime racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmą:

1. Perkelkite visus terminus į kairę pusę, kad dešinėje pusėje būtų 0.

2. Transformuokite ir supaprastinkite kairę pusę, suveskite visas trupmenas į bendrą vardiklį.

3. Gautą trupmeną prilyginkite 0, naudodami šį algoritmą: .

4. Užrašykite tas šaknis, kurios buvo gautos pirmoje lygtyje, ir tenkinkite antrąją nelygybę atsakyme.

Pažvelkime į kitą pavyzdį.

2 pavyzdys

Išspręskite lygtį: .

Sprendimas

Pačioje pradžioje visus terminus perkeliame į kairę, kad dešinėje liktų 0. Gauname:

Dabar priveskime kairę lygties pusę į bendrą vardiklį:

Ši lygtis yra lygiavertė sistemai:

Pirmoji sistemos lygtis yra kvadratinė lygtis.

Šios lygties koeficientai: . Apskaičiuojame diskriminantą:

Gauname dvi šaknis: ; .

Dabar išspręskime antrąją nelygybę: veiksnių sandauga nėra lygi 0 tada ir tik tada, kai nė vienas iš veiksnių nėra lygus 0.

Turi būti įvykdytos dvi sąlygos: . Pastebime, kad iš dviejų pirmosios lygties šaknų tinka tik viena – 3.

Atsakymas:.

Šioje pamokoje prisiminėme, kas yra racionalioji išraiška, taip pat išmokome spręsti racionaliąsias lygtis, kurios redukuoja į kvadratines lygtis.

Kitoje pamokoje pažvelgsime į racionalias lygtis kaip realių situacijų modelius, taip pat apžvelgsime judėjimo problemas.

Bibliografija

1. Bašmakovas M.I. Algebra, 8 klasė. - M.: Švietimas, 2004 m.
2. Dorofejevas G.V., Suvorova S.B., Bunimovičius E.A. ir kt.. Algebra, 8. 5th ed. - M.: Švietimas, 2010 m.
3. Nikolskis S.M., Potapovas M.A., Rešetnikovas N.N., Ševkinas A.V. Algebra, 8 klasė. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms. - M.: Švietimas, 2006 m.

1. Festivalis pedagoginės idėjos "Vieša pamoka" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Namų darbai

Pačios lygtys su trupmenomis nėra sudėtingos ir yra labai įdomios. Panagrinėkime tipus trupmenines lygtis ir jų sprendimo būdai.

Kaip išspręsti lygtis su trupmenomis - x skaitiklyje

Jei pateikiama trupmeninė lygtis, kai skaitiklyje yra nežinomasis, sprendimas nereikalauja papildomų sąlygų ir išsprendžiamas be nereikalingo vargo. Bendra forma tokia lygtis yra x/a + b = c, kur x yra nežinomasis, a, b ir c yra įprasti skaičiai.

Raskite x: x/5 + 10 = 70.

Norėdami išspręsti lygtį, turite atsikratyti trupmenų. Padauginkite kiekvieną lygties narį iš 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x ir 5 atšaukiami, 10 ir 70 padauginami iš 5 ir gauname: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.

Raskite x: x/5 + x/10 = 90.

Šis pavyzdys yra šiek tiek sudėtingesnė pirmojo versija. Čia yra du galimi sprendimai.

• 1 variantas: atsikratome trupmenų, padaugindami visus lygties narius iš didesnio vardiklio, ty iš 10: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = > x = 300.
• 2 parinktis: pridėkite kairę lygties pusę. x/5 + x/10 = 90. Bendras vardiklis yra 10. Padalijus 10 iš 5, padauginus iš x, gauname 2x. Padalinkite 10 iš 10, padauginkite iš x, gausime x: 2x+x/10 = 90. Taigi 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Dažnai susiduriame su trupmeninėmis lygtimis, kuriose x yra priešingose ​​lygybės ženklo pusėse. Tokiose situacijose visas trupmenas su X reikia perkelti į vieną pusę, o skaičius – į kitą.

• Raskite x: 3x/5 = 130 – 2x/5.
• Pasukite 2x/5 į dešinę su priešingu ženklu: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Sumažiname 5x/5 ir gauname: x = 130.

Kaip išspręsti lygtį su trupmenomis - x vardiklyje

Šio tipo trupmeninėms lygtims reikia parašyti papildomų sąlygų. Šių sąlygų nurodymas yra privaloma ir neatsiejama teisingo sprendimo dalis. Nepridėdami jų rizikuojate, nes atsakymas (net jei jis teisingas) gali būti tiesiog neįskaičiuotas.

Bendroji trupmeninių lygčių forma, kai vardiklyje yra x, yra: a/x + b = c, kur x yra nežinomasis, a, b, c yra įprasti skaičiai. Atminkite, kad x negali būti bet koks skaičius. Pavyzdžiui, x negali būti lygus nuliui, nes jo negalima padalyti iš 0. Būtent tai yra papildoma sąlyga, kurią turime nurodyti. Tai vadinama leistinų verčių diapazonu, sutrumpintai VA.

Raskite x: 15/x + 18 = 21.

Iš karto užrašome x ODZ: x ≠ 0. Dabar, kai nurodytas ODZ, išsprendžiame lygtį pagal standartinę schemą, atsikratydami trupmenų. Padauginkite visus lygties narius iš x. 15x / x + 18x = 21x => 15 + 18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Dažnai pasitaiko lygčių, kur vardiklyje yra ne tik x, bet ir kokia nors kita operacija su juo, pavyzdžiui, sudėjimas ar atėmimas.

Raskite x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Jau žinome, kad vardiklis negali būti lygus nuliui, o tai reiškia, kad x-3 ≠ 0. Perkeliame -3 į dešinę pusę, ženklą „-“ pakeisdami į „+“ ir gauname, kad x ≠ 3. ODZ yra nurodytas.

Išsprendžiame lygtį, viską padauginame iš x-3: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.

Perkelkite X į dešinę, skaičius į kairę: 24 = 3x => x = 8.