Tiešsaistes kalkulatorsļauj ātri atrast divu un jebkura cita skaitļu lielāko kopējo dalītāju un mazāko kopējo reizinātāju.

Kalkulators GCD un LCM atrašanai

Atrodiet GCD un LOC

Atrasts GCD un LOC: 5806

Kā lietot kalkulatoru

• Ievades laukā ievadiet ciparus
• Ja ievadāt nepareizas rakstzīmes, ievades lauks tiks iezīmēts sarkanā krāsā
• noklikšķiniet uz pogas "Atrast GCD un LOC".

Kā ievadīt ciparus

• Cipari tiek ievadīti, atdalot tos ar atstarpi, punktu vai komatu
• Ievadīto ciparu garums nav ierobežots, tāpēc nav grūti atrast garu skaitļu GCD un LCM

Kas ir GCD un NOC?

Lielākais kopīgais dalītājs vairāki skaitļi ir lielākais naturāls vesels skaitlis, ar kuru visi sākotnējie skaitļi dalās bez atlikuma. Lielākais kopīgais dalītājs ir saīsināts kā GCD.
Vismazāk sastopamais daudzkārtnis ir vairāki skaitļi mazākais skaitlis, kas dalās ar katru sākotnējo skaitli bez atlikuma. Vismazāk sastopamais daudzkārtnis tiek saīsināts kā NOC.

Kā pārbaudīt, vai skaitlis dalās ar citu skaitli bez atlikuma?

Lai noskaidrotu, vai viens skaitlis dalās ar citu bez atlikuma, var izmantot dažas skaitļu dalāmības īpašības. Pēc tam, tos apvienojot, varat pārbaudīt dažu no tiem un to kombināciju dalāmību.

Dažas skaitļu dalāmības pazīmes

1. Skaitļa dalāmības pārbaude ar 2
Lai noteiktu, vai skaitlis dalās ar divi (vai tas ir pāra), pietiek aplūkot šī skaitļa pēdējo ciparu: ja tas ir vienāds ar 0, 2, 4, 6 vai 8, tad skaitlis ir pāra, tas nozīmē, ka tas dalās ar 2.
Piemērs: nosaka, vai skaitlis 34938 dalās ar 2.
Risinājums: Mēs skatāmies uz pēdējo ciparu: 8 - tas nozīmē, ka skaitlis dalās ar diviem.

2. Skaitļa dalāmības pārbaude ar 3
Skaitlis dalās ar 3, ja tā ciparu summa dalās ar trīs. Tādējādi, lai noteiktu, vai skaitlis dalās ar 3, ir jāaprēķina ciparu summa un jāpārbauda, ​​vai tā dalās ar 3. Pat ja ciparu summa ir ļoti liela, to pašu procesu var atkārtot vēlreiz.
Piemērs: nosaka, vai skaitlis 34938 dalās ar 3.
Risinājums: Mēs saskaitām skaitļu summu: 3+4+9+3+8 = 27. 27 dalās ar 3, kas nozīmē, ka skaitlis dalās ar trīs.

3. Skaitļa dalāmības pārbaude ar 5
Skaitlis dalās ar 5, ja tā pēdējais cipars ir nulle vai pieci.
Piemērs: nosaka, vai skaitlis 34938 dalās ar 5.
Risinājums: paskaties uz pēdējo ciparu: 8 nozīmē, ka skaitlis NAV dalās ar pieci.

4. Skaitļa dalāmības pārbaude ar 9
Šī zīme ir ļoti līdzīga dalāmības zīmei ar trīs: skaitlis dalās ar 9, ja tā ciparu summa dalās ar 9.
Piemērs: nosaka, vai skaitlis 34938 dalās ar 9.
Risinājums: Mēs saskaitām skaitļu summu: 3+4+9+3+8 = 27. 27 dalās ar 9, tas nozīmē, ka skaitlis dalās ar deviņiem.

Kā atrast divu skaitļu GCD un LCM

Kā atrast divu skaitļu gcd

Lielākā daļa vienkāršā veidā Aprēķinot divu skaitļu lielāko kopīgo dalītāju, ir jāatrod visi iespējamie šo skaitļu dalītāji un jāizvēlas lielākais no tiem.

Apskatīsim šo metodi, izmantojot GCD(28, 36) atrašanas piemēru:

1. Mēs ņemam vērā abus skaitļus: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Mēs atrodam kopīgus faktorus, tas ir, tos, kas ir abiem skaitļiem: 1, 2 un 2.
3. Mēs aprēķinām šo faktoru reizinājumu: 1 2 2 = 4 - tas ir lielākais skaitļu 28 un 36 kopējais dalītājs.

Kā atrast divu skaitļu LCM

Ir divi visizplatītākie veidi, kā atrast divu skaitļu mazāko reizinājumu. Pirmā metode ir tāda, ka varat pierakstīt pirmos divu skaitļu reizinājumus un pēc tam no tiem izvēlēties skaitli, kas būs kopīgs abiem skaitļiem un tajā pašā laikā mazākais. Un otrais ir atrast šo skaitļu gcd. Apsvērsim tikai to.

Lai aprēķinātu LCM, jums jāaprēķina sākotnējo skaitļu reizinājums un pēc tam jāsadala ar iepriekš atrasto GCD. Atradīsim LCM tiem pašiem skaitļiem 28 un 36:

1. Atrodiet skaitļu 28 un 36 reizinājumu: 28·36 = 1008
2. GCD(28, 36), kā jau zināms, ir vienāds ar 4
3. LCM(28, 36) = 1008/4 = 252 .

GCD un LCM atrašana vairākiem numuriem

Lielāko kopīgo dalītāju var atrast vairākiem skaitļiem, nevis tikai diviem. Lai to izdarītu, skaitļi, kas jāatrod lielākajam kopējam dalītājam, tiek sadalīti pirmfaktoros, pēc tam tiek atrasts šo skaitļu kopējo pirmfaktoru reizinājums. Varat arī izmantot šādu sakarību, lai atrastu vairāku skaitļu gcd: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Līdzīga saistība attiecas uz mazāko kopīgo reizinājumu: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Piemērs: atrodiet GCD un LCM skaitļiem 12, 32 un 36.

1. Vispirms veiksim skaitļus: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. Atradīsim kopējos faktorus: 1, 2 un 2.
3. Viņu produkts dos GCD: 1 · 2 · 2 = 4
4. Tagad atradīsim LCM: lai to izdarītu, vispirms atradīsim LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. Lai atrastu visu trīs skaitļu LCM, jāatrod GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3, GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96,36/12 = 288.

Definīcija. Lieliskākais dabiskais skaitlis, ar kuru skaitļus a un b dala bez atlikuma, sauc lielākais kopīgais dalītājs (GCD)šie skaitļi.

Atradīsim skaitļu 24 un 35 lielāko kopīgo dalītāju.
24 dalītāji ir skaitļi 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, bet 35 dalītāji ir skaitļi 1, 5, 7, 35.
Mēs redzam, ka skaitļiem 24 un 35 ir tikai viens kopīgs dalītājs - skaitlis 1. Tādus skaitļus sauc savstarpēji galvenais.

Definīcija. Tiek saukti naturālie skaitļi savstarpēji galvenais, ja to lielākais kopīgais dalītājs (GCD) ir 1.

Lielākais kopīgais dalītājs (GCD) var atrast, neizrakstot visus doto skaitļu dalītājus.

Faktorējot skaitļus 48 un 36, mēs iegūstam:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
No faktoriem, kas iekļauti pirmā no šiem skaitļiem, izsvītrojam tos, kas nav iekļauti otrā skaitļa izvēršanā (t.i., divi divnieki).
Atlikušie faktori ir 2 * 2 * 3. To reizinājums ir vienāds ar 12. Šis skaitlis ir lielākais skaitļu 48 un 36 kopīgais dalītājs. Tiek atrasts arī lielākais trīs vai vairāku skaitļu kopējais dalītājs.

Atrast lielākais kopīgais dalītājs

2) no faktoriem, kas iekļauti viena no šo skaitļu izvēršanā, izsvītro tos, kas nav iekļauti citu skaitļu izvēršanā;
3) atrast atlikušo faktoru reizinājumu.

Ja visi dotie skaitļi dalās ar vienu no tiem, tad šis skaitlis ir lielākais kopīgais dalītājs dotos skaitļus.
Piemēram, skaitļu 15, 45, 75 un 180 lielākais kopīgais dalītājs ir skaitlis 15, jo visi pārējie skaitļi dalās ar to: 45, 75 un 180.

Mazāk izplatītais daudzkārtnis (LCM)

Definīcija. Mazāk izplatītais daudzkārtnis (LCM) naturālie skaitļi a un b ir mazākais naturālais skaitlis, kas ir gan a, gan b reizinājums. Skaitļu 75 un 60 mazāko kopīgo reizinātāju (LCM) var atrast, nepierakstot šo skaitļu daudzkārtņus pēc kārtas. Lai to izdarītu, koeficientus 75 un 60 veidosim primārajos koeficientos: 75 = 3 * 5 * 5 un 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Pierakstīsim pirmā no šiem skaitļiem izvērsumā iekļautos faktorus un pieskaitīsim tiem trūkstošos faktorus 2 un 2 no otrā skaitļa izvērsuma (t.i., faktorus apvienojam).
Mēs iegūstam piecus faktorus 2 * 2 * 3 * 5 * 5, kuru reizinājums ir 300. Šis skaitlis ir skaitļu 75 un 60 mazākais kopīgais reizinājums.

Viņi arī atrod trīs vai vairāku skaitļu mazāko kopīgo reizinātāju.

Uz atrast vismazāko kopskaitu vairāki naturālie skaitļi, jums ir nepieciešams:
1) faktorēt tos primārajos faktoros;
2) pierakstiet viena no skaitļiem izvērsumā iekļautos faktorus;
3) pievienojiet tiem trūkstošos faktorus no atlikušo skaitļu paplašinājumiem;
4) atrast iegūto faktoru reizinājumu.

Ņemiet vērā: ja viens no šiem skaitļiem dalās ar visiem pārējiem skaitļiem, tad šis skaitlis ir šo skaitļu mazākais kopīgais reizinājums.
Piemēram, skaitļu 12, 15, 20 un 60 mazākais kopīgais reizinājums ir 60, jo tas dalās ar visiem šiem skaitļiem.

Pitagors (VI gs. p.m.ē.) un viņa skolēni pētīja jautājumu par skaitļu dalāmību. numurs, vienāds ar summu Viņi sauca visus tā dalītājus (bez paša skaitļa) par perfektu skaitli. Piemēram, skaitļi 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) ir ideāli. Nākamie ideālie skaitļi ir 496, 8128, 33 550 336. Pitagorieši zināja tikai pirmos trīs ideālos skaitļus. Ceturtais - 8128 - kļuva zināms 1. gadsimtā. n. e. Piektais - 33 550 336 - tika atrasts 15. gadsimtā. 1983. gadā jau bija zināmi 27 ideāli skaitļi. Taču zinātnieki joprojām nezina, vai ir nepāra ideālie skaitļi vai arī lielākais ideālais skaitlis.
Seno matemātiķu interese par pirmskaitļiem izriet no tā, ka jebkurš skaitlis ir vai nu pirmskaitlis, vai arī to var attēlot kā reizinājumu. pirmskaitļi, t.i., pirmskaitļi ir kā ķieģeļi, no kuriem tiek būvēti pārējie naturālie skaitļi.
Droši vien pamanījāt, ka pirmskaitļi naturālo skaitļu rindās rodas nevienmērīgi – dažās sērijas daļās to ir vairāk, citās – mazāk. Bet, jo tālāk virzāmies pa skaitļu sērijām, jo ​​retāk ir pirmskaitļi. Rodas jautājums: vai pastāv pēdējais (lielākais) pirmskaitlis? Sengrieķu matemātiķis Eiklīds (3. gs. p.m.ē.) savā grāmatā “Elementi”, kas divus tūkstošus gadu bija galvenā matemātikas mācību grāmata, pierādīja, ka pirmskaitļu ir bezgalīgi daudz, t.i., aiz katra pirmskaitļa ir vēl lielāks pirmskaitlis. numuru.
Lai atrastu pirmskaitļus, cits tā paša laika grieķu matemātiķis Eratostens nāca klajā ar šo metodi. Viņš pierakstīja visus skaitļus no 1 līdz kādam skaitlim un pēc tam izsvītroja vienu, kas nav ne pirmskaitļi, ne salikts numurs, pēc tam izsvītrojiet caur vienu visus skaitļus, kas nāk aiz 2 (skaitļi, kas ir 2 reizinātāji, t.i., 4, 6, 8 utt.). Pirmais atlikušais skaitlis pēc 2 bija 3. Pēc tam pēc diviem tika izsvītroti visi skaitļi, kas nāk pēc 3 (skaitļi, kas bija 3 reizinātāji, t.i., 6, 9, 12 utt.). beigās nešķērsoti palika tikai pirmskaitļi.

5. klasē tiek apgūta tēma “Daudzkārtēji”. vidusskola. Tās mērķis ir pilnveidot rakstiskās un mutiskās matemātisko aprēķinu prasmes. Šajā nodarbībā tiek ieviesti jauni jēdzieni - “vairāki skaitļi” un “dalītāji”, tiek praktizēta naturāla skaitļa dalītāju un reizinātāju atrašanas tehnika un spēja dažādos veidos atrast LCM.

Šī tēma ir ļoti svarīga. Zināšanas par to var pielietot, risinot piemērus ar daļskaitļiem. Lai to izdarītu, jums ir jāatrod kopsaucējs, aprēķinot mazāko kopējo daudzkārtni (LCM).

A daudzkārtnis ir vesels skaitlis, kas dalās ar A bez atlikuma.

Katram naturālajam skaitlim ir bezgalīgs skaits tā daudzkārtņu. Tas pats par sevi tiek uzskatīts par mazāko. Daudzkārtējs nevar būt mazāks par pašu skaitli.

Jums jāpierāda, ka skaitlis 125 ir reizināts ar 5. Lai to izdarītu, pirmais skaitlis ir jāsadala ar otro. Ja 125 dalās ar 5 bez atlikuma, tad atbilde ir jā.

Šī metode ir piemērota maziem skaitļiem.

Aprēķinot LOC, ir īpaši gadījumi.

1. Ja jums ir jāatrod kopīgs 2 skaitļu reizinājums (piemēram, 80 un 20), kur viens no tiem (80) dalās ar otru (20), tad šis skaitlis (80) ir mazākais skaitļu reizinājums. divi cipari.

LCM(80, 20) = 80.

2. Ja diviem nav kopīga dalītāja, tad varam teikt, ka to LCM ir šo divu skaitļu reizinājums.

LCM(6, 7) = 42.

Apskatīsim pēdējo piemēru. 6 un 7 attiecībā pret 42 ir dalītāji. Viņi dala skaitļa daudzkārtni bez atlikuma.

Šajā piemērā 6 un 7 ir pārī savienoti faktori. Viņu reizinājums ir vienāds ar lielāko skaitli (42).

Skaitli sauc par pirmskaitli, ja tas dalās tikai ar sevi vai ar 1 (3:1=3; 3:3=1). Pārējos sauc par saliktiem.

Vēl viens piemērs ietver noteikšanu, vai 9 ir 42 dalītājs.

42:9=4 (atlikušais 6)

Atbilde: 9 nav 42 dalītājs, jo atbildē ir atlikums.

Dalītājs atšķiras no daudzskaitļa ar to, ka dalītājs ir skaitlis, ar kuru tiek dalīti naturālie skaitļi, un pats daudzkārtnis dalās ar šo skaitli.

Lielākais kopējais skaitļu dalītājs a Un b, reizināts ar to mazāko reizinājumu, iegūs pašu skaitļu reizinājumu a Un b.

Proti: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

Kopējie reizinātāji, lai iegūtu vairāk kompleksie skaitļi atrasts šādā veidā.

Piemēram, atrodiet LCM 168, 180, 3024.

Mēs ieskaitām šos skaitļus primārajos faktoros un ierakstām tos kā pakāpju reizinājumu:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.

Kā atrast LCM (vismazāk izplatītais daudzkārtnis)

Divu veselu skaitļu kopīgs daudzkārtnis ir vesels skaitlis, kas vienmērīgi dalās ar abiem dotajiem skaitļiem, neatstājot atlikumu.

Divu veselu skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis ir mazākais no visiem veselajiem skaitļiem, kas dalās ar abiem dotajiem skaitļiem, neatstājot atlikumu.

1. metode. Savukārt LCM var atrast katram no dotajiem skaitļiem, augošā secībā izrakstot visus skaitļus, kas iegūti, tos reizinot ar 1, 2, 3, 4 utt.

Piemērs skaitļiem 6 un 9.
Mēs reizinām skaitli 6 secīgi ar 1, 2, 3, 4, 5.
Mēs iegūstam: 6, 12, 18 , 24, 30
Mēs reizinām skaitli 9 secīgi ar 1, 2, 3, 4, 5.
Mēs iegūstam: 9, 18 , 27, 36, 45
Kā redzat, LCM skaitļiem 6 un 9 būs vienāds ar 18.

Šī metode ir ērta, ja abi skaitļi ir mazi un tos ir viegli reizināt ar veselu skaitļu secību. Tomēr ir gadījumi, kad ir jāatrod LCM divciparu vai trīsciparu skaitļi, kā arī tad, ja ir trīs vai pat vairāk sākuma skaitļi.

2. metode. Jūs varat atrast LCM, ierēķinot sākotnējos skaitļus primārajos faktoros.
Pēc sadalīšanas ir jāizsvītro identiski skaitļi no iegūtās primāro faktoru sērijas. Atlikušie pirmā skaitļa skaitļi būs otrā reizinātāji, bet atlikušie otrā skaitļi būs pirmā reizinātāji.

Piemērs numuriem 75 un 60.
Skaitļu 75 un 60 mazāko kopīgo reizināto var atrast, nepierakstot šo skaitļu reizinātājus pēc kārtas. Lai to izdarītu, koeficientu 75 un 60 vienkāršos faktoros:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Kā redzat, faktors 3 un 5 parādās abās rindās. Mēs viņus garīgi “izsvītrojam”.
Pierakstīsim atlikušos faktorus, kas iekļauti katra no šiem skaitļiem. Sadalot skaitli 75, mums paliek skaitlis 5, un, sadalot skaitli 60, mums paliek 2 * 2
Tas nozīmē, ka, lai noteiktu LCM skaitļiem 75 un 60, mums jāreizina atlikušie skaitļi no 75 izvērsuma (tas ir 5) ar 60 un jāreizina skaitļi, kas paliek no izvēršanas 60 (tas ir 2). * 2) ar 75. Tas ir, lai būtu vieglāk saprast, mēs sakām, ka mēs reizinām “šķērsām”.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Šādi mēs atradām LCM skaitļiem 60 un 75. Šis ir skaitlis 300.

Piemērs. Nosakiet LCM skaitļiem 12, 16, 24
Šajā gadījumā mūsu darbības būs nedaudz sarežģītākas. Bet vispirms, kā vienmēr, faktorizēsim visus skaitļus
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Lai pareizi noteiktu LCM, mēs izvēlamies mazāko no visiem skaitļiem (tas ir skaitlis 12) un secīgi izejam cauri tā faktoriem, tos izsvītrojot, ja vismaz vienā no pārējām skaitļu rindām sastopam to pašu faktoru, kas vēl nav ir izsvītrots.

1. darbība. Mēs redzam, ka 2 * 2 notiek visās skaitļu sērijās. Izsvītrosim tos.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

2. solis. Skaitļa 12 pirmfaktoros paliek tikai skaitlis 3. Bet tas ir skaitļa 24 pirmfaktoros. Skaitli 3 izsvītrojam no abām rindām, savukārt ar skaitli 16 nekādas darbības nav gaidāmas .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Kā redzat, sadalot skaitli 12, mēs “izsvītrojām” visus skaitļus. Tas nozīmē, ka LOC atrašana ir pabeigta. Atliek tikai aprēķināt tā vērtību.
Skaitlim 12 ņemiet atlikušos skaitļa 16 faktorus (nākamie augošā secībā)
12 * 2 * 2 = 48
Šis ir NOC

Kā redzat, šajā gadījumā LCM atrašana bija nedaudz grūtāka, taču, ja jums tas jāatrod trīs vai vairāk cipariem, šī metodeļauj to izdarīt ātrāk. Tomēr abas LCM atrašanas metodes ir pareizas.

Apsvērsim šādas problēmas risināšanu. Puiša solis ir 75 cm, bet meitenes solis ir 60 cm.. Jāatrod mazākais attālums, kurā abi sper veselu soļu skaitu.

Risinājums. Visam ceļam, ko bērni iet cauri, ir jādalās ar 60 un 70, jo katram ir jāveic vesels soļu skaits. Citiem vārdiem sakot, atbildei ir jābūt reizinātai ar 75 un 60.

Vispirms pierakstīsim visus skaitļa 75 reizinātājus. Iegūsim:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Tagad pierakstīsim skaitļus, kas būs 60 reizinātāji. Mēs iegūstam:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Tagad mēs atrodam skaitļus, kas atrodas abās rindās.

• Kopējie skaitļu daudzkārtņi būtu 300, 600 utt.

Mazākais no tiem ir skaitlis 300. Šajā gadījumā tas tiks saukts par skaitļu 75 un 60 mazāko kopējo daudzkārtni.

Atgriežoties pie problēmas stāvokļa, mazākā distance, kurā puiši veiks veselu soļu skaitu, būs 300 cm.. Puisis šo ceļu veiks 4 soļos, bet meitenei vajadzēs spert 5 soļus.

Vismazāk izplatīto daudzu noteikšana

• Divu naturālu skaitļu a un b mazākais kopīgais reizinājums ir mazākais naturālais skaitlis, kas ir gan a, gan b reizinājums.

Lai atrastu divu skaitļu mazāko kopīgo reizinātāju, nav nepieciešams pēc kārtas pierakstīt visus šo skaitļu daudzkārtņus.

Varat izmantot šādu metodi.

Kā atrast mazāko kopējo daudzkārtni

Vispirms šie skaitļi ir jāieskaita galvenajos faktoros.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Tagad pierakstīsim visus faktorus, kas atrodas pirmā skaitļa (2,2,3,5) izvērsumā, un pievienosim tam visus trūkstošos faktorus no otrā skaitļa (5) izvērsuma.

Rezultātā mēs iegūstam pirmskaitļu virkni: 2,2,3,5,5. Šo skaitļu reizinājums būs vismazāk izplatītais faktors šiem skaitļiem. 2*2*3*5*5 = 300.

Vispārīga shēma mazākā kopīgā daudzskaitļa atrašanai

• 1. Sadaliet skaitļus pirmfaktoros.
• 2. Pierakstiet galvenos faktorus, kas ir daļa no viena no tiem.
• 3. Pievienojiet šiem faktoriem visus tos, kas ir pārējo paplašinājumā, bet ne atlasītajā.
• 4. Atrodiet visu uzrakstīto faktoru reizinājumu.

Šī metode ir universāla. To var izmantot, lai atrastu mazāko kopējo daudzkārtni jebkuram naturālu skaitļu skaitam.