Definīcija

Daudzskaldnis mēs sauksim slēgtu virsmu, kas sastāv no daudzstūriem un ierobežo noteiktu telpas daļu.

Tiek saukti segmenti, kas ir šo daudzstūru malas ribas daudzstūris, un paši daudzstūri ir malām. Daudzstūru virsotnes sauc par daudzskaldņu virsotnēm.

Mēs apsvērsim tikai izliektus daudzskaldņus (tas ir daudzskaldnis, kas atrodas katras plaknes vienā pusē, kurā atrodas tā seja).

Daudzstūri, kas veido daudzskaldni, veido tā virsmu. Telpas daļu, kuru ierobežo noteikts daudzskaldnis, sauc par tās iekšpusi.

Definīcija: prizma

Apsveriet divus vienādus daudzstūrus \(A_1A_2A_3...A_n\) un \(B_1B_2B_3...B_n\), kas atrodas paralēlas plaknes lai segmenti \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) paralēli. Daudzskaldnis, ko veido daudzstūri \(A_1A_2A_3...A_n\) un \(B_1B_2B_3...B_n\) , kā arī paralelogrami \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), sauc par (\(n\)-gonal) prizma.

Daudzstūrus \(A_1A_2A_3...A_n\) un \(B_1B_2B_3...B_n\) sauc par prizmu bāzēm, paralelogramiem \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– sānu virsmas, segmenti \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- sānu ribas.
Tādējādi prizmas sānu malas ir paralēlas un vienādas viena ar otru.

Apskatīsim piemēru – prizmu \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), kura pamatnē atrodas izliekts piecstūris.

Augstums prizmas ir perpendikuls, kas nomests no jebkura vienas bāzes punkta uz citas bāzes plakni.

Ja sānu malas nav perpendikulāras pamatnei, tad šādu prizmu sauc slīpi(1. att.), pretējā gadījumā – taisni. Taisnā prizmā sānu malas ir augstumi un sānu sejas- vienādi taisnstūri.

Ja taisnas prizmas pamatnē atrodas regulārs daudzstūris, tad prizmu sauc pareizi.

Definīcija: apjoma jēdziens

Tilpuma mērvienība ir vienības kubs (kubs, kas mēra \(1\times1\times1\) vienības\(^3\), kur mērvienība ir noteikta mērvienība).

Var teikt, ka daudzskaldņa tilpums ir telpas daudzums, ko šis daudzskaldnis ierobežo. Citādi: tas ir lielums, kura skaitliskā vērtība parāda, cik reižu vienības kubs un tā daļas iekļaujas dotajā daudzskaldnī.

Apjomam ir tādas pašas īpašības kā laukumam:

1. Vienādu skaitļu tilpumi ir vienādi.

2. Ja daudzskaldnis sastāv no vairākiem nekrustojas daudzskaldņiem, tad tā tilpums vienāds ar summušo daudzskaldņu apjomi.

3. Tilpums ir nenegatīvs lielums.

4. Tilpums tiek mērīts cm\(^3\) (kubikcentimetros), m\(^3\) ( Kubikmetri) utt.

Teorēma

1. Prizmas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pamatnes perimetra un prizmas augstuma reizinājumu.
Sānu virsmas laukums ir prizmas sānu virsmu laukumu summa.

2. Prizmas tilpums ir vienāds ar prizmas pamatlaukuma un augstuma reizinājumu: \

Definīcija: paralēlskaldnis

Paralēles ir prizma ar paralelogramu tās pamatnē.

Visas paralēlskaldņa skalas (ir \(6\) : \(4\) sānu skaldnes un \(2\) pamatnes) ir paralelogrami, bet pretējās (paralēlas viena otrai) ir vienādi paralelogrami (2. att.) .

Paralēles diagonāle ir segments, kas savieno divas paralēlskaldņa virsotnes, kas neatrodas uz vienas virsmas (no tām ir \(8\): \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) utt.).

Taisnstūra paralēlskaldnis ir taisnstūra paralēlskaldnis ar taisnstūri tā pamatnē.
Jo Tā kā šis ir taisnstūrveida paralēlskaldnis, sānu malas ir taisnstūri. Tas nozīmē, ka kopumā visas taisnstūra paralēlskaldņa skaldnes ir taisnstūri.

Visas taisnstūra paralēlskaldņa diagonāles ir vienādas (tas izriet no trīsstūru vienādības \(\trijstūris ACC_1=\trijstūris AA_1C=\trijstūris BDD_1=\trijstūris BB_1D\) utt.).

komentēt

Tādējādi paralēlskaldnim ir visas prizmas īpašības.

Teorēma

Taisnstūra paralēlskaldņa sānu virsmas laukums ir \

Taisnstūra paralēlskaldņa kopējais virsmas laukums ir \

Teorēma

Kuboīda tilpums ir vienāds ar tā trīs šķautņu reizinājumu, kas iziet no vienas virsotnes (trīs kuboīda izmēri): \

Pierādījums

Jo Taisnstūra paralēlskaldnim sānu malas ir perpendikulāras pamatnei, tad tās ir arī tās augstumi, tas ir, \(h=AA_1=c\) Jo tad pamats ir taisnstūris \(S_(\text(galvenais))=AB\cdot AD=ab\). Lūk, no kurienes nāk šī formula.

Teorēma

Taisnstūra paralēlskaldņa diagonāle \(d\) tiek atrasta, izmantojot formulu (kur \(a,b,c\) ir paralēlskaldņa izmēri) \

Pierādījums

Apskatīsim att. 3. Jo bāze ir taisnstūris, tad \(\trijstūris ABD\) ir taisnstūrveida, tāpēc pēc Pitagora teorēmas \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Jo visas sānu malas ir perpendikulāras pamatnēm, tad \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\) perpendikulāri jebkurai taisnei šajā plaknē, t.i. \(BB_1\perp BD\) . Tas nozīmē, ka \(\trijstūris BB_1D\) ir taisnstūrveida. Tad pēc Pitagora teorēmas \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

Definīcija: kubs

Kubs ir taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura visas skaldnes ir vienādi kvadrāti.

Tādējādi trīs dimensijas ir vienādas viena ar otru: \(a=b=c\) . Tātad sekojošais ir patiess

Teorēmas

1. Kuba ar malu \(a\) tilpums ir vienāds ar \(V_(\text(cube))=a^3\) .

2. Kuba diagonāle tiek atrasta, izmantojot formulu \(d=a\sqrt3\) .

3. Kuba kopējais virsmas laukums \(S_(\text(pilns kubs))=6a^2\).

Tulkojumā no grieķu valodas paralelograms nozīmē plakne. Paralēlskaldnis ir prizma ar paralelogramu tās pamatnē. Ir pieci paralelogramu veidi: slīpi, taisni un kubveida. Arī kubs un romboedrs pieder paralēlskaldnim un ir tā šķirne.

Pirms pāriet pie pamatjēdzieniem, sniegsim dažas definīcijas:

Paralēles diagonāle ir segments, kas apvieno paralēlskaldņa virsotnes, kas atrodas viena otrai pretī.
Ja divām skaldnēm ir kopīga mala, tad tās var saukt par blakus esošajām malām. Ja nav kopīgas malas, tad sejas sauc par pretējām.
Divas virsotnes, kas neatrodas vienā sejā, sauc par pretējām.

Kādas īpašības piemīt paralēlskaldnis?

Pretējās pusēs guļoša paralēlskaldņa sejas ir paralēlas viena otrai un ir vienādas.
Ja jūs velciet diagonāles no vienas virsotnes uz otru, tad šo diagonāļu krustošanās punkts sadalīs tās uz pusēm.
Paralēlskaldņa malas, kas atrodas vienā leņķī pret pamatni, būs vienādas. Citiem vārdiem sakot, kopīgi virzīto malu leņķi būs vienādi viens ar otru.

Kādi paralēlskaldņu veidi pastāv?

Tagad izdomāsim, kāda veida paralēlskaldņi pastāv. Kā minēts iepriekš, ir vairāki šīs figūras veidi: taisns, taisnstūrveida, slīps paralēlskaldnis, kā arī kubs un romboedrs. Kā tie atšķiras viens no otra? Tas viss ir par plaknēm, kas tos veido, un to veidotajiem leņķiem.

Apskatīsim sīkāk katru no uzskaitītajiem paralēlskaldņu veidiem.

Kā jau ir skaidrs no nosaukuma, slīpam paralēlskaldnim ir slīpas sejas, proti, tās, kas nav 90 grādu leņķī attiecībā pret pamatni.
Bet labajam paralēlskaldnim leņķis starp pamatni un malu ir tieši deviņdesmit grādi. Šī iemesla dēļ šāda veida paralēlskaldnim ir šāds nosaukums.
Ja visas paralēlskaldņa skaldnes ir identiski kvadrāti, tad šo figūru var uzskatīt par kubu.
Taisnstūra paralēlskaldnis saņēma šo nosaukumu plakņu dēļ, kas to veido. Ja tie visi ir taisnstūri (ieskaitot pamatni), tad tas ir kuboīds. Šāda veida paralēlskaldnis nav sastopams ļoti bieži. Tulkojumā no grieķu valodas romboedrs nozīmē seju vai pamatni. Tā sauc trīsdimensiju figūru, kuras sejas ir rombi.

Paralēlskaldņa pamatformulas

Paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar pamatnes laukuma un tā augstuma perpendikulāri pamatnei reizinājumu.

Sānu virsmas laukums būs vienāds ar pamatnes perimetra un augstuma reizinājumu.
Zinot pamata definīcijas un formulas, varat aprēķināt bāzes laukumu un tilpumu. Bāzi var izvēlēties pēc saviem ieskatiem. Tomēr kā pamats parasti tiek izmantots taisnstūris.

Prizma un paralēlskaldnis

Paralēlskaldņa īpašības

Paralēlstūrim:

1) pretējās skaldnes ir vienādas un paralēlas;

2) visas četras diagonāles krustojas vienā punktā un sadalās tajā uz pusēm.

Pierādījums:

1) Aplūkosim, piemēram, divas paralēlskaldņa pretējās skaldnes un (5. att.).

Tā kā visas paralēlskaldņa skaldnes ir paralelogrami, tad taisne AD ir paralēla taisnei BC un taisne ir paralēla taisnei. No tā izriet, ka aplūkojamo seju plaknes ir paralēlas.

No tā, ka paralēlskaldņa skaldnes ir paralelogrami, izriet, ka AB un CD ir gan paralēli, gan vienādi. No tā mēs secinām, ka seja ir apvienota ar paralēlu translāciju gar malu AB ar seju. Tāpēc šīs malas ir vienādas.

2) Ņemsim divas paralēlskaldņa diagonāles (5. att.), piemēram, un, un novelkam papildu taisnes un. AB un attiecīgi ir vienādi un paralēli malai DC, tāpēc tie ir vienādi un paralēli viens otram; Rezultātā attēls ir paralelograms, kurā taisnes un ir diagonāles, un paralelogrammā diagonāles krustpunktā ir sadalītas uz pusēm. Līdzīgi mēs varam pierādīt, ka pārējās divas diagonāles krustojas vienā punktā un ir sadalītas uz pusēm ar šo punktu. Katra diagonāles pāra krustošanās punkts atrodas diagonāles vidū. Tādējādi visas četras paralēlskaldņa diagonāles krustojas vienā punktā O un tiek dalītas ar šo punktu. Tādējādi paralēlskaldņa diagonāļu krustpunkts ir tā simetrijas centrs.

Taisnstūra paralēlskaldņa diagonāles kvadrāts ir vienāds ar tā trīs dimensiju kvadrātu summu.

Pierādījums:

Tas izriet no Pitagora telpiskās teorēmas. Ja ir taisnstūra paralēlskaldņa diagonāle, tad ir tā projekcijas uz trim pāriem perpendikulārām līnijām (6. att.). Līdz ar to,.

Piezīme: taisnstūra paralēlskaldī visas diagonāles ir vienādas.

Binomiālie koeficienti

Cnk skaitļiem ir vairākas ievērojamas īpašības. Šīs īpašības galu galā izsaka dažādas attiecības starp noteiktās kopas X apakškopām. Tās var pierādīt tieši, pamatojoties uz formulu (1)...

Binomiālie koeficienti

1. Izplešanās koeficientu (a + b)n summa ir vienāda ar 2n. Lai to pierādītu, pietiek ar a = b = 1. Tad binoma izplešanās labajā pusē mums būs binoma koeficientu summa, bet kreisajā pusē: (1 + 1)n = 2n. 2.Biedru koeficienti...

Daudzskaldņu veidi

Sānu virsmas laukums (vai vienkārši sānu virsma) prizmas (paralēlcaurules) ir visu tās sānu virsmu laukumu summa...

Daudzdimensiju Fibonači secības

Izveidosim secību un sauksim to par trīsdimensiju Fibonači secību. Šī secība sastāvēs no kopām M1, M2, ... un tā tālāk. Komplekts M1 sastāv tikai no viena piedevu trīskārša (2,1,1)...

Nenegatīvu reālo skaitļu reizināšanas pusgrupas

Ļaujiet S būt komutatīvai reizinātai nereducējamai pusgrupai ar 1 un bez vienības dalītājiem. Šādas pusgrupas sauc par integrālām vai koniskām. Tiek uzskatīts, ka S elementi ir relatīvi pirmskaitļi, ja gcd(,)=1...

Neeiklīda ģeometrija

Apskatīsim dažas īpašības, jēdzienus un faktus, kas attiecas uz Lobačevska ģeometriju. Šajā gadījumā es apsvēru īpašības, pamatojoties uz Kleina modeli. Lielākā daļa no tām tiks veiktas uz citiem ne-eiklīda ģeometrijas modeļiem...

Dažas brīnišķīgas līknes

Paskāla gliemežnīcas normāls savā punktā M (7. att.) iet caur galvenā apļa K punktu N, diametrāli pretēji punktam P, kur OM krustojas ar galveno apli...

Determinanti un to pielietojums algebrā un ģeometrijā

Determinantam ir vairākas īpašības: 1) Determinants nemainās, transportējot matricas (rindas un kolonnas). 2) Ja viena no kolonnām (rindām) sastāv no nullēm, tad determinants ir nulle...

Transformācijas, kas palielina plaknes algebrisko līkņu secību

Apsvērsim vienkāršākais veids cisoīda veidošanās - līkne, ko atklāja senie cilvēki, meklējot risinājumu slavenajai kuba dubultošanas problēmai. Ņemsim apli (sauktu par ģenerējošu) ar diametru un pieskares tam...

Prizma un paralēlskaldnis

Ja prizmas pamatne ir paralelograms, tad to sauc par paralēlskaldni. Visas paralēlskaldņa skaldnes ir paralelogrami. 3. attēlā parādīts slīps paralēlskaldnis, bet 4. attēlā - taisns paralēlskaldnis. Paralēlskaldņa sejas...

Dabisko sēriju sadalīšana

Šajā sadaļā mēs runāsim par problēmām, kas veltītas dabiskas sērijas sadalīšanai secībās, un teorēmu, kas tās pierāda...

Ārkārtēja problēma indeksēšanas klasēs

Mums būs nepieciešami divi fakti no . 1. Ikvienam ir unikāls DF. 2. Ja, tad kopa ir vienelementa. Ja, tad ir nepārtrauktas viena parametra ģimenes (t.i., for un (simbols apzīmē vāju konverģenci)) un DF, piemēram...

Šajā nodarbībā ikviens varēs apgūt tēmu “Taisnstūra paralēlskaldnis”. Nodarbības sākumā atkārtosim, kas ir patvaļīgi un taisni paralēlskaldņi, atcerēsimies to pretējo skaldņu un paralēlskaldņu diagonāļu īpašības. Pēc tam apskatīsim, kas ir kuboīds, un apspriedīsim tā pamatīpašības.

Tēma: Līniju un plakņu perpendikularitāte

Nodarbība: Kuboīds

Virsmu, kas sastāv no diviem vienādiem paralelogramiem ABCD un A 1 B 1 C 1 D 1 un četriem paralelogramiem ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 sauc. paralēlskaldnis(1. att.).

Rīsi. 1 Parallelelepiped

Tas ir: mums ir divi vienādi paralelogrami ABCD un A 1 B 1 C 1 D 1 (bāzes), tie atrodas paralēlās plaknēs tā, lai sānu malas AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 būtu paralēlas. Tādējādi tiek saukta virsma, kas sastāv no paralelogramiem paralēlskaldnis.

Tādējādi paralēlskaldņa virsma ir visu paralelogramu summa, kas veido paralēlskaldni.

1. Paralēlskaldņa pretējās malas ir paralēlas un vienādas.

(formas ir vienādas, tas ir, tās var apvienot, pārklājoties)

Piemēram:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (pēc definīcijas vienādi paralelogrami),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (tā kā AA 1 B 1 B un DD 1 C 1 C ir paralēlskaldņa pretējās malas),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (tā kā AA 1 D 1 D un BB 1 C 1 C ir paralēlskaldņa pretējās virsmas).

2. Paralēlskaldņa diagonāles krustojas vienā punktā un ar šo punktu tās sadala uz pusēm.

Paralēlskaldņa diagonāles AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B krustojas vienā punktā O, un katra diagonāle ar šo punktu tiek dalīta uz pusēm (2. att.).

Rīsi. 2 Paralēlskaldņa diagonāles krustojas un tiek dalītas uz pusēm ar krustošanās punktu.

3. Ir trīs paralēlskaldņu vienādu un paralēlu malu četrkārši: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Definīcija. Paralēlskaldni sauc par taisnu, ja tā sānu malas ir perpendikulāras pamatiem.

Sānu malai AA 1 jābūt perpendikulārai pamatnei (3. att.). Tas nozīmē, ka taisne AA 1 ir perpendikulāra taisnēm AD un AB, kas atrodas pamatnes plaknē. Tas nozīmē, ka sānu virsmās ir taisnstūri. Un bāzēs ir patvaļīgi paralelogrami. Apzīmēsim ∠BAD = φ, leņķis φ var būt jebkurš.

Rīsi. 3 Labais paralēlskaldnis

Tātad, labais paralēlskaldnis ir paralēlskaldnis, kura sānu malas ir perpendikulāras paralēlskaldņa pamatiem.

Definīcija. Paralēlstūri sauc par taisnstūrveida, ja tā sānu malas ir perpendikulāras pamatnei. Pamati ir taisnstūri.

Paralēlstūris ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ir taisnstūrveida (4. att.), ja:

1. AA 1 ⊥ ABCD (sānu mala perpendikulāra pamatnes plaknei, tas ir, taisns paralēlskaldnis).

2. ∠BAD = 90°, t.i., pamatne ir taisnstūris.

Rīsi. 4 Taisnstūra paralēlskaldnis

Taisnstūra paralēlskaldnim ir visas patvaļīga paralēlskaldņa īpašības. Bet ir arī papildu īpašības, kas izriet no kuboīda definīcijas.

Tātad, kuboīds ir paralēlskaldnis, kura sānu malas ir perpendikulāras pamatnei. Kuboīda pamatne ir taisnstūris.

1. Taisnstūrveida paralēlskaldī visas sešas skaldnes ir taisnstūri.

ABCD un A 1 B 1 C 1 D 1 pēc definīcijas ir taisnstūri.

2. Sānu ribas perpendikulāri pamatnei. Tas nozīmē, ka visas taisnstūra paralēlskaldņa sānu malas ir taisnstūri.

3. Visi divšķautņu leņķi taisnstūra paralēlskaldņu taisnas līnijas.

Apskatīsim, piemēram, taisnstūra paralēlskaldņa ar malu AB divskaldņu leņķi, t.i., divskaldņu leņķi starp plaknēm ABC 1 un ABC.

AB ir mala, punkts A 1 atrodas vienā plaknē - plaknē ABB 1, bet punkts D otrā - plaknē A 1 B 1 C 1 D 1. Tad aplūkojamo divskaldņu leņķi var apzīmēt arī šādi: ∠A 1 ABD.

Ņemsim punktu A uz malas AB. AA 1 ir perpendikulāra malai AB plaknē АВВ-1, AD ir perpendikulāra malai AB plaknē ABC. Tas nozīmē, ka ∠A 1 AD ir dotā divskaldņa leņķa lineārais leņķis. ∠A 1 AD = 90°, kas nozīmē, ka diedrālais leņķis pie malas AB ir 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD = ∠A 1 AD = 90°.

Līdzīgi ir pierādīts, ka taisnstūra paralēlskaldņa jebkuri divstūrveida leņķi ir taisni.

Taisnstūra paralēlskaldņa diagonāles kvadrāts ir vienāds ar tā trīs dimensiju kvadrātu summu.

Piezīme. Trīs šķautņu garumi, kas izplūst no vienas kuboīda virsotnes, ir kuboīda izmēri. Tos dažreiz sauc par garumu, platumu, augstumu.

Dots: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - taisnstūrveida paralēlskaldnis (5. att.).

Pierādīt:.

Rīsi. 5 Taisnstūra paralēlskaldnis

Pierādījums:

Taisne CC 1 ir perpendikulāra plaknei ABC un līdz ar to taisnei AC. Tas nozīmē, ka trīsstūris CC 1 A ir taisnleņķis. Saskaņā ar Pitagora teorēmu:

Apsvērsim taisnleņķa trīsstūris ABC. Saskaņā ar Pitagora teorēmu:

Bet pirms mūsu ēras un mūsu ēras - pretējās puses taisnstūris. Tātad BC = AD. Pēc tam:

Jo , A , Tas. Tā kā CC 1 = AA 1, tas ir jāpierāda.

Taisnstūra paralēlskaldņa diagonāles ir vienādas.

Apzīmēsim paralēlskaldņa ABC izmērus kā a, b, c (skat. 6. att.), tad AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =