Ar šo tiešsaistes kalkulators jūs varat atrast attālumu starp taisnām līnijām telpā. Tiek sniegts detalizēts risinājums ar paskaidrojumiem. Lai aprēķinātu attālumu starp līnijām telpā, iestatiet līniju vienādojuma veidu ("kanoniskais" vai "parametrisks"), ievadiet šūnās līniju vienādojumu koeficientus un noklikšķiniet uz pogas "Atrisināt".
×
Brīdinājums
Vai dzēst visas šūnas?
Aizvērt Notīrīt
Datu ievades instrukcijas. Skaitļi tiek ievadīti kā veseli skaitļi (piemēri: 487, 5, -7623 utt.), decimāldaļas (piem., 67., 102,54 utt.) vai daļskaitļi. Daļa jāievada formā a/b, kur a un b (b>0) ir veseli skaitļi vai decimālskaitļi. Piemēri 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 utt.
Attālums starp līnijām telpā - teorija, piemēri un risinājumi
Dota Dekarta taisnstūra koordinātu sistēma Oxyz L 1 un L 2:
| . | (1) |
 ,
| (2) |
Kur M 1 (x 1 , y 1 , z 1) un M 2 (x 2 , y 2 , z 2) − punkti, kas atrodas uz taisnēm L 1 un L 2, a q 1 ={m 1 , lpp 1 , l 1) un q 2 ={m 2 , lpp 2 , l 2 ) – taisnu līniju virziena vektori L 1 un L 2, attiecīgi.
Līnijas (1) un (2) telpā var sakrist, būt paralēlas, krustoties vai krustoties. Ja līnijas telpā krustojas vai sakrīt, tad attālums starp tām ir nulle. Mēs izskatīsim divus gadījumus. Pirmais ir tas, ka līnijas ir paralēlas, un otrais ir tas, ka līnijas krustojas. Pārējie ir izplatīti gadījumi. Ja, aprēķinot attālumu starp paralēlām līnijām, mēs iegūstam attālumu, kas vienāds ar nulli, tad tas nozīmē, ka šīs līnijas sakrīt. Ja attālums starp krustojošām taisnēm ir nulle, tad šīs līnijas krustojas.
1. Attālums starp paralēlām līnijām telpā
Apskatīsim divas metodes attāluma starp līnijām aprēķināšanai.
1. metode. No punkta M 1 taisni L 1 uzzīmējiet plakni α , perpendikulāri līnijai L 2. Punkta atrašana M 3 (x 3 , y 3 , y 3) plakņu krustojumi α un taisni L 3. Būtībā mēs atrodam punkta projekciju M 1 taisni L 2. Kā atrast punkta projekciju uz taisnes, skatieties. Tālāk mēs aprēķinām attālumu starp punktiem M 1 (x 1 , y 1 , z 1) un M 3 (x 3 , y 3 , z 3):
Piemērs 1. Atrodiet attālumu starp līnijām L 1 un L 2:Taisni L 2 iet caur punktu M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M
Vērtību aizstāšana m 2 , lpp 2 , l 2 , x 1 , y 1 , z 1 in (5) mēs iegūstam:
Atradīsim taisnes krustpunktu L 2 un plakne α , šim nolūkam mēs izveidojam taisnes parametru vienādojumu L 2 .
Lai atrastu taisnes krustpunktu L 2 un plakne α , aizstājiet mainīgo vērtības x, y, z no (7) līdz (6):
Iegūtās vērtības aizstāšana t punktā (7) iegūstam taisnes krustpunktu L 2 un plakne α :
 |
Atliek atrast attālumu starp punktiem M 1 un M 3:
  |
L 1 un L 2 vienāds d=7.2506.
2. metode. Atrodiet attālumu starp līnijām L 1 un L 2 (vienādojums (1) un (2)). Pirmkārt, mēs pārbaudām līniju paralēlismu L 1 un L 2. Ja taisnu līniju virziena vektori L 1 un L 2 ir kolineāri, t.i. ja ir tāds skaitlis λ, ka vienādība q 1 =λ q 2, tad taisni L 1 un L 2 ir paralēli.
Šī attāluma starp paralēliem vektoriem aprēķināšanas metode ir balstīta uz vektoru vektoru reizinājuma koncepciju. Zināms, ka vektoru vektorreizinājuma norma un q 1 parāda šo vektoru veidotā paralelograma laukumu (2. att.). Kad jūs zināt paralelograma laukumu, varat atrast paralelograma virsotni d, dalot laukumu ar pamatni q 1 paralelograms.
q 1:
 .
|
Attālums starp līnijām L 1 un L 2 ir vienāds:
| , |
 ,
|
2. piemērs. Atrisināsim 1. piemēru, izmantojot 2. metodi. Atrodiet attālumu starp līnijām
Taisni L 2 iet caur punktu M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M 2 (8, 4, 1), un tam ir virziena vektors
| q 2 ={m 2 , lpp 2 , l 2 }={2, −4, 8} |
Vektori q 1 un q 2 ir kolineāri. Tāpēc taisni L 1 un L 2 ir paralēli. Lai aprēķinātu attālumu starp paralēlām līnijām, mēs izmantojam vektoru reizinājumu.
Izveidosim vektoru =( x 2 −x 1 , y 2 −y 1 , z 2 −z 1 }={7, 2, 0}.
Aprēķināsim vektoru vektorreizinājumu un q 1 . Lai to izdarītu, mēs izveidojam 3×3 matricu, kuras pirmā rinda ir bāzes vektori i, j, k, un atlikušās līnijas ir aizpildītas ar vektoru elementiem un q 1:
Tādējādi vektoru reizinājuma rezultāts un q 1 būs vektors:
Atbilde: attālums starp rindām L 1 un L 2 vienāds d=7.25061.
2. Attālums starp līniju krustošanos telpā
Dota Dekarta taisnstūra koordinātu sistēma Oxyz un šajā koordinātu sistēmā lai dotas taisnes L 1 un L 2 (vienādojums (1) un (2)).
Ļaujiet taisni L 1 un L 2 nav paralēlas (mēs apspriedām paralēlas līnijas iepriekšējā punktā). Lai atrastu attālumu starp līnijām L 1 un L 2 jums ir jāveido paralēlas plaknes α 1 un α 2, lai tas būtu taisns L 1 gulēja lidmašīnā α 1 taisni L 2 - lidmašīnā α 2. Tad attālums starp līnijām L 1 un L 2 ir vienāds ar attālumu starp plaknēm L 1 un L 2 (3. att.).
Kur n 1 ={A 1 , B 1 , C 1 ) − plaknes normālvektors α 1 . Lai lidmašīnai α 1 izbrauca cauri taisnai līnijai L 1, normāls vektors n 1 ir jābūt ortogonālam virziena vektoram q 1 taisni L 1, t.i. šo vektoru skalārajam reizinājumam jābūt vienādam ar nulli:
Sistēmas atrisināšana lineārie vienādojumi(27)−(29), ar trim vienādojumiem un četriem nezināmajiem A 1 , B 1 , C 1 , D 1, un aizstājot vienādojumā
Lidmašīnas α 1 un α 2 ir paralēli, tāpēc iegūtie normālie vektori n 1 ={A 1 , B 1 , C 1) un n 2 ={A 2 , B 2 , C 2) šīs plaknes ir kolineāras. Ja šie vektori nav vienādi, mēs varam reizināt (31) ar noteiktu skaitli, lai iegūtu normālu vektoru n 2 sakrita ar vienādojuma (30) normālo vektoru.
Tad attālums starp paralēlas plaknes aprēķina pēc formulas:
 | (33) |
Risinājums. Taisni L 1 iet caur punktu M 1 (x 1 , y 1 , z 1)=M 1 (2, 1, 4), un tam ir virziena vektors q 1 ={m 1 , lpp 1 , l 1 }={1, 3, −2}.
Taisni L 2 iet caur punktu M 2 (x 2 , y 2 , z 2)=M 2 (6, −1, 2), un tam ir virziena vektors q 2 ={m 2 , lpp 2 , l 2 }={2, −3, 7}.
Būvēsim lidmašīnu α 1, kas iet caur līniju L 1, paralēli taisnei L 2 .
Kopš lidmašīnas α 1 iet caur līniju L 1, tad tas arī iet caur punktu M 1 (x 1 , y 1 , z 1)=M 1 (2, 1, 4) un normāls vektors n 1 ={m 1 , lpp 1 , l 1) lidmašīna α 1 perpendikulāri virziena vektoram q 1 taisni L 1 . Tad plaknes vienādojumam jāizpilda nosacījums:
Kopš lidmašīnas α 1 jābūt paralēlai līnijai L 2, tad ir jāievēro šāds nosacījums:
Attēlosim šos vienādojumus matricas formā:
 | (40) |
Atrisināsim lineāro vienādojumu sistēmu (40) attiecībā pret A 1 , B 1 , C 1 , D 1.
Šajā rakstā, izmantojot vienotā valsts pārbaudījuma uzdevuma C2 risināšanas piemēru, ir analizēta atrašanas metode, izmantojot koordinātu metodi. Atcerieties, ka taisnas līnijas ir šķības, ja tās neatrodas vienā plaknē. Jo īpaši, ja viena taisne atrodas plaknē un otrā taisne šķērso šo plakni punktā, kas neatrodas pirmajā taisnē, tad šādas līnijas krustojas (sk. attēlu).
Atrast attālumi starp krustojuma līnijām nepieciešams:
- Novelciet plakni caur vienu no krustojošām taisnēm, kas ir paralēla otrai krustojošajai līnijai.
- Nometiet perpendikulu no jebkura otrās līnijas punkta uz iegūto plakni. Šī perpendikula garums būs nepieciešamais attālums starp līnijām.
Sakārtosim to šis algoritms Uzziniet vairāk, izmantojot matemātikas vienotā valsts eksāmena uzdevuma C2 risināšanas piemēru.
Attālums starp līnijām telpā
Uzdevums. Vienības kubā ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 atrodiet attālumu starp līnijām BA. 1 un D.B. 1 .
Rīsi. 1. Zīmējums uzdevumam
Risinājums. Caur kuba diagonāles vidu D.B. 1 (punkts O) novelciet taisnei paralēlu līniju A 1 B. Šīs līnijas krustošanās punkti ar malām B.C. Un A 1 D 1 ir attiecīgi apzīmēts N Un M. Taisni MN atrodas plaknē MNB 1 un paralēli līnijai A 1 B, kas neguļ šajā plaknē. Tas nozīmē, ka taisna līnija A 1 B paralēli plaknei MNB 1, pamatojoties uz taisnes un plaknes paralēlismu (2. att.).
Rīsi. 2. Nepieciešamais attālums starp krustojošām līnijām ir vienāds ar attālumu no jebkura atlasītās līnijas punkta līdz attēlotajai plaknei
Tagad mēs meklējam attālumu no kāda līnijas punkta A 1 B lidmašīnai MNB 1 . Šis attālums pēc definīcijas būs nepieciešamais attālums starp krustojuma līnijām.
Lai atrastu šo attālumu, mēs izmantosim koordinātu metodi. Ieviesīsim taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmu tā, lai tās sākums sakristu ar punktu B, asi X tika novirzīts gar malu BA., ass Y- gar malu B.C., ass Z- gar malu BB 1 (3. att.).
Rīsi. 3. Izvēlamies taisnstūrveida Dekarta koordinātu sistēmu, kā parādīts attēlā
Plaknes vienādojuma atrašana MNB 1 šajā koordinātu sistēmā. Lai to izdarītu, vispirms nosaka punktu koordinātas M, N Un B 1: 
Mēs aizvietojam iegūtās koordinātas ar taisnes vispārējo vienādojumu un iegūstam šādu vienādojumu sistēmu:
No sistēmas otrā vienādojuma mēs iegūstam no trešā, pēc kura no pirmā iegūstam Iegūtās vērtības aizstājiet vispārējā taisnes vienādojumā:
Mēs atzīmējam, ka pretējā gadījumā lidmašīna MNB 1 izietu cauri izcelsmei. Sadaliet abas šī vienādojuma puses ar un iegūstam:
Attālumu no punkta līdz plaknei nosaka pēc formulas.
Lai izmantotu prezentāciju priekšskatījumus, izveidojiet Google kontu un piesakieties tajā: https://accounts.google.com
Slaidu paraksti:
Stereometrija Attālums starp krustojuma līnijām
Divu krustojošo līniju kopējais perpendikuls ir segments ar galiem uz šīm taisnēm, kas ir perpendikulārs katrai no tām. a b A B Attālums starp krustošanās līnijām ir to kopējā perpendikula garums.
Metodes attāluma aprēķināšanai starp krustojošām līnijām. Attālums starp krustojošām līnijām ir vienāds ar attālumu no jebkura punkta vienā no šīm taisnēm līdz plaknei, kas iet caur otro līniju, kas ir paralēla pirmajai līnijai.
Metodes attāluma aprēķināšanai starp krustojošām līnijām. Attālums starp krustošanās līnijām ir vienāds ar attālumu starp divām paralēlām plaknēm, kas satur šīs līnijas.
Nr.1 Vienības kubā atrodiet
Nr.2 Vienības kubā atrodiet
Nr.3 Vienības kubā atrodiet
Nr. 4 Vienības kubā atrodiet
Divu šķību līniju kopējais perpendikuls ir segments, kas savieno segmentu viduspunktus un E - viduspunkts F - viduspunkts
Nr.5 Vienības kubā atrodiet ~
Metodes attāluma aprēķināšanai starp krustojošām līnijām. Attālums starp krustojošām līnijām ir vienāds ar attālumu starp to projekcijām uz plakni, kas ir perpendikulāra vienai no tām.
Nr. 5 Vienības kubā atrodiet O - taisnes AC projekciju uz plakni
Nr.6 Dana regulāra piramīda PABC ar sānu malu PA = 3 un pamatnes malu 2. Atrast
Taisnstūrveida - taisnstūrveida - taisnstūrveida
Nr.7 Vienības kubā atrodiet attālumu starp līnijām un
Par tēmu: metodiskā attīstība, prezentācijas un piezīmes
Leņķis starp krustojošām līnijām
Prezentācija, kurai sagatavoties nokārtojot vienoto valsts eksāmenu matemātikā par tēmu "Leņķis starp šķībām līnijām"...
Izstrādāts kopā ar 11. klases skolēniem. Apsvērts dažādas metodes problēmu risināšana par šo tēmu....
Raksta mērķis ir noteikt attālumu starp krustojuma līnijām, izmantojot koordinātu metodi. Tiks apskatīta attāluma noteikšana starp šīm līnijām, iegūsim algoritmu, ar kura palīdzību transformēsim attāluma noteikšanu starp krustojuma līnijām. Konsolidēsim tēmu, risinot līdzīgus piemērus.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Vispirms ir jāpierāda teorēma, kas definē saikni starp dotajām krustojuma līnijām.
nodaļa relatīvā pozīcija taisnas līnijas telpā saka, ka, ja divas taisnes sauc par krustojošām, ja to atrašanās vieta neatrodas vienā plaknē.
Teorēma
Caur katru krustojošo taisnu pāri var iziet plakni, kas ir paralēla dotajai, un tikai viena.
Pierādījums
Pēc nosacījuma mums ir dotas šķībās līnijas a un b. Ir jāpierāda vienas plaknes caurlaidība caur taisni b, kas ir paralēla noteiktai taisnei a. Līdzīgs pierādījums jāpiemēro taisnei a, caur kuru iet plakne, kas ir paralēla noteiktai taisnei b.
Vispirms uz līnijas b jāatzīmē punkts Q. Ja mēs sekojam no taisnes paralēlisma definīcijas, mēs atklājam, ka caur telpas punktu ir iespējams novilkt taisni, kas ir paralēla noteiktai taisnei, un tikai vienu. Tas nozīmē, ka tikai viena taisne iet caur punktu Q, paralēli taisnei a. Pieņemsim apzīmējumu a a 1 .
Sadaļā par plaknes noteikšanas metodēm tika teikts, ka vienas plaknes pāreja ir iespējama caur divām krustojošām līnijām. Tas nozīmē, ka mēs atklājam, ka līnijas b un a 1 ir krustojošas līnijas, caur kurām iet plakne, kas apzīmēta ar χ.
Pamatojoties uz zīmi, ka taisne ir paralēla plaknei, varam secināt, ka dotā taisne a ir paralēla plaknei χ, jo taisne a ir paralēla taisnei a 1, kas atrodas plaknē χ.
χ plakne ir unikāla, jo līnija, kas iet caur noteiktu līniju, kas atrodas telpā, ir paralēla dotajai taisnei. Apskatīsim tālāk sniegto attēlu.
Pārejot no attāluma noteikšanas starp krustojošām taisnēm, mēs nosakām attālumu caur attālumu starp taisni un tai paralēlo plakni.
1. definīcija
Tiek saukts attālums starp vienu no krustojošām taisnēm un tai paralēlu plakni, kas iet caur otru taisni.
Tas ir, attālums starp taisni un plakni ir attālums no dots punkts uz lidmašīnu. Tad ir piemērojams formulējums attāluma noteikšanai starp krustojuma līnijām.
2. definīcija
Attālums starp krustojuma līnijām izsaukt attālumu no noteikta krustojošo līniju punkta līdz plaknei, kas iet caur citu līniju, kas ir paralēla pirmajai līnijai.
Sīkāk apskatīsim līnijas a un b. Punkts M 1 atrodas uz taisnes a, caur taisni b ir novilkta plakne χ paralēli taisnei a. No punkta M 1 novelkam plaknei χ perpendikulu M 1 H 1. Šī perpendikula garums ir attālums starp krustojuma līnijām a un b. Apskatīsim attēlu zemāk.
Attāluma atrašana starp krustojuma līnijām - teorija, piemēri, risinājumi
Attālumus starp krustojošām līnijām nosaka, veidojot segmentu. Nepieciešamais attālums ir vienāds ar šī segmenta garumu. Atbilstoši uzdevuma nosacījumiem tā garumu nosaka Pitagora teorēma, trīsstūru vienādības vai līdzības zīmes vai citi.
Ja mums ir trīsdimensiju telpa ar koordinātu sistēmu O x y z ar tajā dotām taisnēm a un b, tad aprēķini jāveic, sākot no attāluma starp dotajām krustojuma vietām, izmantojot koordinātu metodi. Apskatīsim sīkāk.
Ar nosacījumu χ ir plakne, kas iet caur taisni b, kas ir paralēla taisnei a. Nepieciešamais attālums starp krustojuma taisnēm a un b ir vienāds ar attālumu no punkta M 1, kas atrodas uz taisnes a, līdz plaknei _ χ. Lai iegūtu χ plaknes normālo vienādojumu, jānosaka uz taisnes a izvietotā punkta M 1 (x 1, y 1, z 1) koordinātas. Tad iegūstam cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0, kas nepieciešams, lai noteiktu attālumu M 1 H 1 no punkta M 1 x 1, y 1, z 1 līdz χ plaknei. . Aprēķini tiek veikti, izmantojot formulu M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p. Nepieciešamais attālums ir vienāds ar nepieciešamo attālumu starp krustojuma līnijām.
Šis uzdevums ietver punktu M 1 koordināšu iegūšanu, kas atrodas uz taisnes a, un plaknes χ normālā vienādojuma atrašanu.
Punkta M 1 koordinātu noteikšana ir nepieciešama un iespējama, ja ir zināmi telpas taisnes vienādojumu pamatveidi. Lai iegūtu χ plaknes vienādojumu, nepieciešams tuvāk apskatīt aprēķina algoritmu.
Ja koordinātas x 2 , y 2 , z 2 nosaka, izmantojot punktu M 2, caur kuru novilkta plakne χ, iegūstam plaknes χ normālvektoru vektora n → = (A, B, C) formā. ). No tā mēs varam uzrakstīt χ plaknes vispārējo vienādojumu formā A · x - x 2 + B · (y - y 2) + C · (z - z 2) = 0.
Punkta M 2 vietā var ņemt jebkuru citu punktu, kas pieder pie taisnes b, jo caur to iet plakne χ. Tas nozīmē, ka ir atrastas punkta M 2 koordinātas. Jāturpina atrast plaknes χ normālo vektoru.
Mums ir, ka plakne χ iet caur taisni b un ir paralēla taisnei a. Tas nozīmē, ka plaknes χ normālvektors ir perpendikulārs taisnes a virziena vektoram, kas apzīmēts a →, un taisnes b virziena vektoram, kas apzīmēts ar b →. Vektors n → būs vienāds ar a → un b → vektorreizinājumu, kas nozīmē n → = a → × b →. Pēc doto taisnes a un b virziena vektoru koordinātu a x , a y , a z un b x , b y , b z noteikšanas aprēķinām
n → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z
No šejienes atrodam χ plaknes normālā vektora koordinātu A, B, C vērtību.
Mēs zinām, ka χ plaknes vispārīgajam vienādojumam ir forma A · (x - x 2) + B · (y - y 2) + C · (z - z 2) = 0.
Vienādojumu nepieciešams novest normālā formā cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 . Tad jums jāaprēķina nepieciešamais attālums starp krustojuma līnijām a un b, pamatojoties uz formulu M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p.
Lai atrastu attālumu starp līniju a un b krustošanos, jums jāievēro algoritms:
- punktu M 1 un M 2, kas atrodas attiecīgi uz taisnēm a un b, koordinātu (x 1, y 1, z 1) un x 2, y 2, z 2 noteikšana;
- iegūstot taisnes a un b virziena vektoriem piederošās koordinātas a x , a y , a z un b x , b y , b z ;
- vektoram n → piederošo koordinātu A, B, C atrašana plaknē χ, kas iet caur taisnei b, kas atrodas paralēli a, pēc vienādības n → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z;
- ieraksts vispārējais vienādojums plakne χ formā A · x - x 2 + B · (y - y 2) + C · (z - z 2) = 0;
- iegūto χ plaknes vienādojumu pielīdzinot normālformas vienādojumam cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0;
- aprēķinot attālumu M 1 H 1 no M 1 x 1, y 1, z 1 līdz χ plaknei, pamatojoties uz formulu M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - lpp.
Trīsdimensiju telpas taisnstūra koordinātu sistēmā O x y z ir divas krustojuma līnijas. Taisni a nosaka ar parametru vienādojumu līnijai telpā x = - 2 y = 1 + 2 · λ z = 4 - 3 · λ, taisne b, izmantojot kanonisko vienādojumu līnijai telpā x 1 = y - 1 - 2 = z + 4 6. Atrodiet attālumu starp krustojošām līnijām.
Risinājums
Ir skaidrs, ka taisne a krusto punktu M 1 (- 2, 1, 4) ar virziena vektoru a → = (0, 2, - 3), un taisne b krusto punktu M 2 (0, 1, - 4) ) ar virziena vektoru b → = (1 , - 2 , 6) .
Vispirms, izmantojot formulu, jāaprēķina virziena vektori a → = (0, 2, - 3) un b → = (1, - 2, 6). Tad mēs to saņemam
a → × b → = i → j → k → 0 2 - 3 1 - 2 6 = 6 i → - 3 j → - 2 k →
No šejienes mēs iegūstam, ka n → = a → × b → ir plaknes χ vektors, kas iet caur taisni b, kas ir paralēla a ar koordinātām 6, - 3, - 2. Mēs iegūstam:
6 (x - 0) - 3 (y - 1) - 2 (z - (- 4)) = 0 ⇔ 6 x - 3 y - 2 z - 5 = 0
Plaknes vispārīgajam vienādojumam 6 x - 3 y - 2 z - 5 = 0 atrodam normalizējošo koeficientu. Aprēķināsim, izmantojot formulu 1 6 2 + - 3 2 + - 2 2 = 1 7. Tas nozīmē, ka parastais vienādojums būs 6 7 x - 3 7 y - 2 7 z - 5 7 = 0.
Ir nepieciešams izmantot formulu, lai atrastu attālumu no punkta M 1 - 2, 1, 4 līdz plaknei, kas dota ar vienādojumu 6 7 x - 3 7 y - 2 7 z - 5 7 = 0. Mēs to saņemam
M 1 H 1 = 6 7 (- 2) - 3 7 1 - 2 7 4 - 5 7 = - 28 7 = 4
No tā izriet, ka nepieciešamais attālums ir attālums starp dotajām krustojuma līnijām, vērtība ir 4.
Atbilde: 4 .
Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter
Ģeometrija. 11. klase
Nodarbības tēma: Attālums starp krustojuma līnijām
Ter-Ovanesjans G.L., skolotājs augstākā kategorija, Sorosa fonda balvas laureāts
Maskava
Apskatīsim problēmu, kā atrast attālumu starp krustošanās līnijām. Attālums starp krustojuma līnijām ir kopīgās perpendikulāras garums šīm līnijām.
Dosim mums kubu ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, kura mala ir vienāda ar vienību AB = 1. Jums jāatrod attālums starp taisnēm AB un DC 1: ρ(AB;DC 1) - ?
Šīs divas taisnes atrodas paralēlās plaknēs: AB atrodas plaknē AA 1 B 1 B, DC 1 atrodas plaknē D 1 DC 1 C. Vispirms atradīsim perpendikulu šīm divām plaknēm. Attēlā ir daudz šādu perpendikulu. Šis ir segments BC, B 1 C 1, A 1 D 1 un AD. No tiem ir jēga izvēlēties segmentu, kas ir ne tikai perpendikulārs šīm plaknēm un līdz ar to perpendikulārs mūsu taisnēm AB un DC 1, bet arī iet caur šīm taisnēm. Šāds segments ir AD. Tā vienlaikus ir perpendikulāra taisnei AB, jo ir perpendikulāra plaknei AA 1 B 1 B un taisnei DC 1, jo ir perpendikulāra plaknei D 1 DC 1 C. Tas nozīmē, ka AD ir kopējā perpendikulāri krustojošām taisnēm AB un DC 1. Attālums starp šīm taisnēm ir šī perpendikula garums, tas ir, posma AD garums. Bet AD ir kuba mala. Tāpēc attālums ir 1:
ρ(AB;DC 1)=AD=1
Apskatīsim vēl vienu problēmu, nedaudz sarežģītāku, par attāluma atrašanu starp krustojošām līnijām.
Atkal dosim kubu, kura mala ir vienāda ar vienu. Jums jāatrod attālums starp pretējo seju diagonālēm. Tas ir, dots kubs ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Mala AB=1. Jums jāatrod attālums starp taisnēm BA 1 un DC 1: ρ(A 1 B; DC 1) - ?
Šīs divas līnijas krustojas, kas nozīmē, ka attālums ir kopējā perpendikula garums. Jūs nevarat uzzīmēt vispārīgu perpendikulu, bet noformulēt to šādi: tas ir perpendikula garums starp paralēlajām plaknēm, kurās atrodas šīs līnijas. Taisne BA 1 atrodas plaknē АВВ 1 А 1 , un taisne DC 1 atrodas plaknē D 1 DCC 1 . Tie ir paralēli, kas nozīmē, ka attālums starp tiem ir attālums starp šīm taisnēm. Un attālums starp kuba virsmām ir malas garums. Piemēram, ribas garums BC. Jo BC ir perpendikulāra gan plaknei АВВ 1 А 1, gan plaknei DСС 1 D 1. Tas nozīmē, ka nosacījumā norādītais attālums starp taisnēm ir vienāds ar attālumu starp paralēlām plaknēm un ir vienāds ar 1:
ρ(A 1 B;DC 1)=BC=1
Apskatīsim vēl vienu problēmu par attāluma atrašanu starp krustojuma līnijām.
Ļaujiet mums dot pareizo trīsstūrveida prizma, kuram ir zināmas visas malas. Jums jāatrod attālums starp augšējās un apakšējās pamatnes malām. Tas ir, mums ir dota prizma ABCA 1 B 1 C 1. Turklāt AB = 3 = AA 1. Jums jāatrod attālums starp taisnēm BC un A 1 C 1: ρ(BC;A 1 C 1) - ?
Tā kā šīs līnijas krustojas, attālums starp tām ir kopējā perpendikula garums vai perpendikula garums paralēlajām plaknēm, kurās tās atrodas. Atradīsim šīs paralēlās plaknes.
Taisne BC atrodas plaknē ABC, un taisne A 1 C 1 atrodas plaknē A 1 B 1 C 1. Šīs divas plaknes ir paralēlas, jo tās ir prizmas augšējā un apakšējā pamatne. Tas nozīmē, ka attālums starp mūsu taisnēm ir attālums starp šīm paralēlajām plaknēm. Un attālums starp tiem ir tieši vienāds ar sānu malas garumu AA 1, tas ir, vienāds ar 3:
ρ(BC;A 1 C 1)=AA 1 =3
Šajā konkrētajā uzdevumā var atrast ne tikai kopējā perpendikula garumu, bet arī to izveidot. Lai to izdarītu, no visām sānu malām mēs izvēlamies to, kam ir kopīgi punkti ar taisni BC un A 1 C 1. Mūsu attēlā tā ir mala CC 1. Tā būs perpendikulāra taisnei A 1 C 1, jo tā ir perpendikulāra augšējās pamatnes plaknei, un taisnei BC, jo tā ir perpendikulāra apakšējās pamatnes plaknei. Tādējādi mēs varam atrast ne tikai attālumu, bet arī izveidot šo vispārīgo perpendikulu.
Šodien nodarbībā atcerējāmies, kā atrast kopīgā perpendikula garumu starp krustojošām līnijām.
