Pēc sākotnējās informācijas iegūšanas par nevienādībām ar mainīgajiem, mēs pārejam pie jautājuma par to risināšanu. Mēs analizēsim lineāro nevienādību risinājumu ar vienu mainīgo un visas to risināšanas metodes ar algoritmiem un piemēriem. Tiks ņemti vērā tikai lineāri vienādojumi ar vienu mainīgo.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kas ir lineārā nevienlīdzība?

Pirmkārt, jums ir jādefinē lineārais vienādojums un jānoskaidro tā standarta forma un kā tas atšķirsies no citiem. No skolas kursa izriet, ka starp nevienlīdzībām nav principiālas atšķirības, tāpēc ir jāizmanto vairākas definīcijas.

1. definīcija

Lineārā nevienādība ar vienu mainīgo x ir nevienādība formā a · x + b > 0, ja > vietā tiek izmantota jebkura nevienlīdzības zīme< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

2. definīcija

Nevienādības a x< c или a · x >c, kur x ir mainīgais un a un c ir daži skaitļi, tiek izsaukts lineāras nevienādības ar vienu mainīgo.

Tā kā nekas nav teikts par to, vai koeficients var būt vienāds ar 0, tad stingra nevienādība formā 0 x > c un 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

To atšķirības ir šādas:

• apzīmējumu forma a · x + b > 0 pirmajā, bet a · x > c – otrajā;
• koeficienta a pieļaujamība ir vienāda ar nulli, a ≠ 0 - pirmajā un a = 0 - otrajā.

Tiek uzskatīts, ka nevienādības a · x + b > 0 un a · x > c ir ekvivalentas, jo tās iegūst, pārnesot terminu no vienas daļas uz otru. Nevienādības 0 x + 5 > 0 atrisināšana novedīs pie tā, ka tā būs jāatrisina, un gadījums a = 0 nedarbosies.

3. definīcija

Tiek uzskatīts, ka lineārās nevienādības vienā mainīgajā x ir formas nevienādības a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0 Un a x + b ≥ 0, kur a un b ir reāli skaitļi. X vietā var būt parasts skaitlis.

Pamatojoties uz noteikumu, mums ir, ka 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 sauc par reducējamiem uz lineāru.

Kā atrisināt lineāro nevienlīdzību

Galvenais veids, kā atrisināt šādas nevienādības, ir izmantot ekvivalentas transformācijas, lai atrastu elementārās nevienādības x< p (≤ , >, ≥) , p kas ir noteikts skaitlis, ja a ≠ 0, un forma a< p (≤ , >, ≥), ja a = 0.

Lai atrisinātu nevienādības vienā mainīgajā, varat izmantot intervāla metodi vai attēlot to grafiski. Jebkuru no tiem var izmantot atsevišķi.

Izmantojot līdzvērtīgas transformācijas

Atrisināt formas a x + b lineāro nevienādību< 0 (≤ , >, ≥), nepieciešams piemērot ekvivalentas nevienādības transformācijas. Koeficients var būt nulle vai nebūt nulle. Apskatīsim abus gadījumus. Lai to uzzinātu, jums jāievēro shēma, kas sastāv no 3 punktiem: procesa būtības, algoritma un paša risinājuma.

4. definīcija

Algoritms lineārās nevienādības risināšanai a x + b< 0 (≤ , >, ≥), ja ≠ 0

• numurs b tiks pārvietots uz labā puse nevienādības ar pretējo zīmi, kas ļaus nonākt pie ekvivalenta a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• Abas nevienlīdzības puses tiks dalītas ar skaitli, kas nav vienāds ar 0. Turklāt, ja a ir pozitīva, zīme paliek, ja a ir negatīva, tā mainās uz pretējo.

Izskatīsim pieteikumu no šī algoritma par piemēru risināšanu.

1. piemērs

Atrisiniet formas 3 x + 12 ≤ 0 nevienādību.

Risinājums

Šai lineārajai nevienādībai ir a = 3 un b = 12. Tas nozīmē, ka koeficients a no x nav vienāds ar nulli. Pielietosim iepriekš minētos algoritmus un atrisināsim to.

Nepieciešams pārvietot 12. terminu uz citu nevienlīdzības daļu un nomainīt zīmi tās priekšā. Tad iegūstam nevienādību formā 3 x ≤ − 12. Abas daļas ir jāsadala ar 3. Zīme nemainīsies, jo 3 ir pozitīvs skaitlis. Mēs iegūstam, ka (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3, kas dod rezultātu x ≤ − 4.

Nevienādība formā x ≤ − 4 ir ekvivalenta. Tas nozīmē, ka atrisinājums 3 x + 12 ≤ 0 ir jebkurš reāls skaitlis, kas ir mazāks vai vienāds ar 4. Atbildi raksta kā nevienādību x ≤ − 4 vai formas (− ∞, − 4] skaitlisko intervālu).

Viss iepriekš aprakstītais algoritms ir uzrakstīts šādi:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ – 12; x ≤ – 4 .

Atbilde: x ≤ − 4 vai (− ∞ , − 4 ] .

2. piemērs

Norādiet visus pieejamos risinājumus nevienādībai − 2, 7 · z > 0.

Risinājums

No nosacījuma mēs redzam, ka koeficients a z ir vienāds ar - 2,7 un b nepārprotami nav vai ir vienāds ar nulli. Jūs nevarat izmantot pirmo algoritma soli, bet nekavējoties pāriet uz otro.

Mēs sadalām abas vienādojuma puses ar skaitli - 2, 7. Tā kā skaitlis ir negatīvs, ir nepieciešams apgriezt nevienlīdzības zīmi. Tas ir, mēs iegūstam, ka (− 2, 7 z): (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Mēs ierakstīsim visu algoritmu īsā forma:

− 2, 7 z > 0; z< 0 .

Atbilde: z< 0 или (− ∞ , 0) .

3. piemērs

Atrisiniet nevienādību - 5 x - 15 22 ≤ 0.

Risinājums

Atbilstoši nosacījumam redzam, ka ir jāatrisina nevienādība ar koeficientu a mainīgajam x, kas ir vienāds ar - 5, ar koeficientu b, kas atbilst daļai - 15 22. Nevienādību nepieciešams atrisināt, vadoties pēc algoritma, tas ir: pārvietot - 15 22 uz citu daļu ar pretēju zīmi, abas daļas dalīt ar - 5, mainīt nevienādības zīmi:

5 x ≤ 15 22; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Pēdējās labās puses pārejas laikā tiek izmantots noteikums skaitļa dalīšanai ar dažādām zīmēm 15 22: - 5 = - 15 22: 5, pēc kura mēs veicam dalīšanu. kopējā frakcija uz naturālo skaitli - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

Atbilde: x ≥ - 3 22 un [ - 3 22 + ∞) .

Apskatīsim gadījumu, kad a = 0. Formas a x + b lineāra izteiksme< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Visa pamatā ir nevienlīdzības risinājuma noteikšana. Jebkurai x vērtībai mēs iegūstam formas b skaitlisko nevienādību< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Mēs izskatīsim visus spriedumus lineāro nevienādību 0 x + b risināšanas algoritma veidā< 0 (≤ , > , ≥) :

5. definīcija

Formas skaitliskā nevienādība b< 0 (≤ , >, ≥) ir patiesa, tad sākotnējai nevienādībai ir risinājums jebkurai vērtībai, un tā ir nepatiesa, ja sākotnējai nevienādībai nav atrisinājumu.

4. piemērs

Atrisiniet nevienādību 0 x + 7 > 0.

Risinājums

Šai lineārajai nevienādībai 0 x + 7 > 0 var būt jebkura vērtība x. Tad iegūstam nevienādību formā 7 > 0. Pēdējā nevienlīdzība tiek uzskatīta par patiesu, kas nozīmē, ka tās risinājums var būt jebkurš skaitlis.

Atbilde: intervāls (− ∞ , + ∞) .

5. piemērs

Atrodiet risinājumu nevienādībai 0 x − 12, 7 ≥ 0.

Risinājums

Aizstājot jebkura skaitļa mainīgo x, iegūstam, ka nevienādība iegūst formu − 12, 7 ≥ 0. Tas ir nepareizi. Tas ir, 0 x − 12, 7 ≥ 0 nav atrisinājumu.

Atbilde: risinājumu nav.

Apskatīsim lineāro nevienādību risināšanu, kur abi koeficienti ir vienādi ar nulli.

6. piemērs

Nosakiet neatrisināmo nevienādību no 0 x + 0 > 0 un 0 x + 0 ≥ 0.

Risinājums

Aizvietojot jebkuru skaitli x vietā, iegūstam divas nevienādības formā 0 > 0 un 0 ≥ 0. Pirmais ir nepareizs. Tas nozīmē, ka 0 x + 0 > 0 nav atrisinājumu, un 0 x + 0 ≥ 0 ir bezgalīgs atrisinājumu skaits, tas ir, jebkurš skaitlis.

Atbilde: nevienādībai 0 x + 0 > 0 nav atrisinājumu, bet 0 x + 0 ≥ 0 ir atrisinājumi.

Šī metode izskatīts skolas matemātikas kursā. Intervālu metode spēj atrisināt Dažādi nevienādības, arī lineāras.

Intervālu metodi izmanto lineārām nevienādībām, ja koeficienta x vērtība nav vienāda ar 0. Pretējā gadījumā jums būs jāaprēķina, izmantojot citu metodi.

6. definīcija

Intervāla metode ir šāda:

• ieviešot funkciju y = a · x + b ;
• nulles meklēšana, lai sadalītu definīcijas domēnu intervālos;
• zīmju definīcija to jēdzieniem par intervāliem.

Saliksim algoritmu lineāro vienādojumu a x + b risināšanai< 0 (≤ , >, ≥) ja ≠ 0, izmantojot intervāla metodi:

• funkcijas y = a · x + b nulles atrašana, lai atrisinātu vienādojumu formā a · x + b = 0 . Ja a ≠ 0, tad risinājums būs viena sakne, kas saņems apzīmējumu x 0;
• koordinātu taisnes konstruēšana ar punkta attēlu ar koordinātu x 0, ar stingru nevienādību punkts tiek apzīmēts ar caurdurtu, ar nestingru nevienādību – ar ēnotu;
• funkcijas y = a · x + b zīmju noteikšana uz intervāliem; šim nolūkam ir jāatrod funkcijas vērtības intervāla punktos;
• nevienādības atrisināšana ar zīmēm > vai ≥ uz koordinātu līnijas, pievienojot ēnojumu pozitīvajam intervālam,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Apskatīsim vairākus piemērus lineāro nevienādību risināšanai, izmantojot intervālu metodi.

6. piemērs

Atrisiniet nevienādību − 3 x + 12 > 0.

Risinājums

No algoritma izriet, ka vispirms ir jāatrod vienādojuma sakne − 3 x + 12 = 0. Mēs iegūstam, ka − 3 · x = − 12 , x = 4 . Ir nepieciešams novilkt koordinātu līniju, kur atzīmējam punktu 4. Tas tiks pārdurts, jo nevienlīdzība ir stingra. Apsveriet tālāk redzamo zīmējumu.

Ir nepieciešams noteikt zīmes ar intervāliem. Lai to noteiktu intervālā (− ∞, 4), jāaprēķina funkcija y = − 3 x + 12 pie x = 3. No šejienes mēs iegūstam, ka − 3 3 + 12 = 3 > 0. Intervāla zīme ir pozitīva.

Mēs nosakām zīmi no intervāla (4, + ∞), pēc tam aizstājam vērtību x = 5. Mums ir, ka − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Mēs atrisinām nevienādību ar > zīmi, un ēnojums tiek veikts pozitīvā intervālā. Apsveriet tālāk redzamo zīmējumu.

No zīmējuma ir skaidrs, ka vēlamajam risinājumam ir forma (− ∞ , 4) vai x< 4 .

Atbilde: (− ∞ , 4) vai x< 4 .

Lai saprastu, kā attēlot grafiski, jāņem vērā 4. piemērs lineārās nevienādības: 0,5 x - 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 un 0, 5 x − 1 ≥ 0. Viņu risinājumi būs x vērtības< 2 , x ≤ 2 , x >2 un x ≥ 2. Lai to izdarītu, uzzīmēsim lineāro funkciju y = 0, 5 x − 1, kas parādīta zemāk.

Tas ir skaidrs

7. definīcija

• atrisinot nevienādību 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• risinājumu 0, 5 x − 1 ≤ 0 uzskata par intervālu, kurā funkcija y = 0, 5 x − 1 ir mazāka par O x vai sakrīt;
• risinājums 0, 5 · x − 1 > 0 uzskatāms par intervālu, funkcija atrodas virs O x;
• risinājums 0, 5 · x − 1 ≥ 0 tiek uzskatīts par intervālu, kurā grafiks virs O x vai sakrīt.

Nevienādību grafiskās atrisināšanas mērķis ir atrast intervālus, kas jāattēlo grafikā. Šajā gadījumā mēs to saņemam kreisā puse ir y = a · x + b, bet labajā ir y = 0, un tas sakrīt ar O x.

Tiek attēlots funkcijas y = a x + b grafiks:

• vienlaikus risinot nevienādību a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• risinot nevienādību a · x + b ≤ 0, nosaka intervālu, kur grafiks attēlots zem O x ass vai sakrīt;
• risinot nevienādību a · x + b > 0, nosaka intervālu, kur grafiks attēlots virs O x;
• Atrisinot nevienādību a · x + b ≥ 0, nosaka intervālu, kur grafiks atrodas virs O x vai sakrīt.

7. piemērs

Atrisiniet nevienādību - 5 · x - 3 > 0, izmantojot grafiku.

Risinājums

Nepieciešams izveidot lineārās funkcijas grafiku - 5 · x - 3 > 0. Šī līnija samazinās, jo koeficients x ir negatīvs. Lai noteiktu tā krustošanās punkta koordinātas ar O x - 5 · x - 3 > 0, iegūstam vērtību - 3 5. Attēlosim to grafiski.

Atrisinot nevienādību ar > zīmi, tad jāpievērš uzmanība intervālam virs O x. Ļaujiet mums iezīmēt vajadzīgo plaknes daļu sarkanā krāsā un iegūt to

Nepieciešamā atstarpe ir daļa O x sarkanā krāsā. Tas nozīmē, ka atvērtais skaitļu stars - ∞ , - 3 5 būs nevienlīdzības risinājums. Ja saskaņā ar nosacījumu mums būtu nevienlīdzība, tad arī punkta vērtība - 3 5 būtu nevienlīdzības risinājums. Un tas sakristu ar O x.

Atbilde: - ∞ , - 3 5 vai x< - 3 5 .

Grafiskais risinājums tiek izmantots, ja kreisā puse atbilst funkcijai y = 0 x + b, tas ir, y = b. Tad taisne būs paralēla O x vai sakritīs pie b = 0. Šie gadījumi parāda, ka nevienlīdzībai var nebūt atrisinājumu vai risinājums var būt jebkurš skaitlis.

8. piemērs

Nosakiet no nevienādībām 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Risinājums

y = 0 x + 7 attēlojums ir y = 7, tad tiks dota koordinātu plakne ar taisni, kas ir paralēla O x un atrodas virs O x. Tātad 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Funkcijas y = 0 x + 0 grafiku uzskata par y = 0, tas ir, taisne sakrīt ar O x. Tas nozīmē, ka nevienādībai 0 x + 0 ≥ 0 ir daudz atrisinājumu.

Atbilde: Otrajai nevienādībai ir risinājums jebkurai x vērtībai.

Nevienādības, kas samazinās līdz lineārai

Nevienādību risinājumu var reducēt uz risinājumu lineārais vienādojums, ko sauc par nevienādībām, kas reducējas uz lineārām.

Šīs nevienlīdzības tika aplūkotas skolas kursā, jo tās bija īpašs nevienlīdzību risināšanas gadījums, kā rezultātā tika atvērtas iekavas un samazināti līdzīgi termini. Piemēram, ņemiet vērā, ka 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.

Iepriekš norādītās nevienādības vienmēr tiek reducētas līdz lineāra vienādojuma formai. Pēc tam tiek atvērtas iekavas un tiek doti līdzīgi termini, kas tiek pārsūtīti no dažādas daļas, mainot zīmi uz pretējo.

Reducējot nevienādību 5 − 2 x > 0 uz lineāru, mēs to attēlojam tā, lai tai būtu forma − 2 x + 5 > 0, un, lai samazinātu otro, iegūstam, ka 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Jāatver iekavas, jāienes līdzīgi termini, jāpārvieto visi termini uz kreiso pusi un jāatnes līdzīgi. Tas izskatās šādi:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Tas noved pie risinājuma pie lineāras nevienlīdzības.

Šīs nevienādības tiek uzskatītas par lineārām, jo ​​tām ir vienāds risinājuma princips, pēc kura tās var reducēt līdz elementārām nevienādībām.

Lai atrisinātu šāda veida nevienlīdzību, ir nepieciešams to samazināt līdz lineārai. Tas jādara šādi:

9. definīcija

• atvērtas iekavas;
• savākt mainīgos pa kreisi un skaitļus labajā pusē;
• dot līdzīgus terminus;
• dala abas puses ar koeficientu x.

9. piemērs

Atrisiniet nevienādību 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1.

Risinājums

Atveram iekavas, tad iegūstam nevienādību formā 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1. Pēc līdzīgu terminu samazināšanas mēs iegūstam 6 x + 15 ≤ 6 x − 17. Pēc terminu pārvietošanas no kreisās puses uz labo mēs atklājam, ka 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0. Tādējādi ir nevienādība formā 32 ≤ 0 no tās, kas iegūta, aprēķinot 0 x + 32 ≤ 0. Var redzēt, ka nevienlīdzība ir nepatiesa, kas nozīmē, ka nosacījuma dotajai nevienādībai nav atrisinājumu.

Atbilde: nav risinājumu.

Ir vērts atzīmēt, ka ir daudz citu veidu nevienlīdzības, kuras var reducēt līdz lineārām vai iepriekš parādītā veida nevienādībām. Piemēram, 5 2 x − 1 ≥ 1 ir eksponenciālais vienādojums, kas reducējas līdz atrisinājumam lineārā formā 2 x − 1 ≥ 0. Šie gadījumi tiks ņemti vērā, risinot šāda veida nevienlīdzības.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Viena no tēmām, kas no studentiem prasa maksimālu uzmanību un neatlaidību, ir nevienlīdzības risināšana. Tik līdzīgs vienādojumiem un tajā pašā laikā ļoti atšķirīgs no tiem. Jo to risināšanai nepieciešama īpaša pieeja.

Īpašības, kas būs nepieciešamas, lai atrastu atbildi

Visi no tiem tiek izmantoti, lai aizstātu esošo ierakstu ar līdzvērtīgu. Lielākā daļa no tiem ir līdzīgi tiem, kas bija vienādojumos. Taču ir arī atšķirības.

• Funkciju, kas ir definēta ODZ, vai jebkuru skaitli var pievienot abām sākotnējās nevienlīdzības pusēm.
• Tāpat ir iespējama reizināšana, bet tikai ar pozitīvu funkciju vai skaitli.
• Ja šī darbība tiek veikta ar negatīvu funkciju vai skaitli, tad nevienlīdzības zīme jāaizstāj ar pretējo.
• Funkcijas, kas nav negatīvas, var paaugstināt līdz pozitīvam jaudu.

Dažkārt nevienlīdzību risināšanu pavada darbības, kas sniedz svešas atbildes. Tie ir jāizslēdz, salīdzinot ODZ zona un daudzi risinājumi.

Intervālu metodes izmantošana

Tās būtība ir samazināt nevienlīdzību līdz vienādojumam, kurā labajā pusē ir nulle.

1. Nosakiet apgabalu, kurā atrodas mainīgo lielumu, tas ir, ODZ, pieļaujamās vērtības.
2. Pārveidojiet nevienādību, izmantojot matemātiskas darbības, lai labajā pusē būtu nulle.
3. Aizstājiet nevienlīdzības zīmi ar “=” un atrisiniet atbilstošo vienādojumu.
4. Uz skaitliskās ass atzīmējiet visas risinājuma laikā iegūtās atbildes, kā arī OD intervālus. Stingras nevienlīdzības gadījumā punkti jāvelk kā caurdurti. Ja ir vienādības zīme, tad tās jāpārkrāso.
5. Nosakiet sākotnējās funkcijas zīmi katrā intervālā, kas iegūts no ODZ punktiem un atbildēm, kas to sadala. Ja, ejot cauri punktam, funkcijas zīme nemainās, tad to iekļauj atbildē. Pretējā gadījumā tas ir izslēgts.
6. ODZ robežpunkti ir vēl jāpārbauda un tikai pēc tam jāiekļauj vai neiekļauj atbildē.
7. Iegūtā atbilde jāraksta kombinēto komplektu veidā.

Mazliet par dubulto nevienlīdzību

Viņi izmanto divas nevienlīdzības zīmes vienlaikus. Tas nozīmē, ka dažas funkcijas vienlaikus divas reizes ierobežo nosacījumi. Šādas nevienādības tiek atrisinātas kā divu sistēmu, kad oriģināls tiek sadalīts daļās. Un intervālu metodē ir norādītas atbildes no abu vienādojumu risināšanas.

Lai tos atrisinātu, ir atļauts izmantot arī iepriekš norādītās īpašības. Ar viņu palīdzību ir ērti samazināt nevienlīdzību līdz nullei.

Kā ar nevienlīdzībām, kurām ir modulis?

Šajā gadījumā nevienādību risinājumam tiek izmantotas šādas īpašības, un tās ir derīgas pozitīvai “a” vērtībai.

Ja "x" ņem algebriskā izteiksme, tad ir derīgi šādi aizvietojumi:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > no a līdz x< -a или х >a.

Ja nevienādības nav stingras, tad arī formulas ir pareizas, tikai tajās papildus lielākai vai mazākai zīmei parādās “=”.

Kā tiek atrisināta nevienlīdzību sistēma?

Šīs zināšanas būs nepieciešamas gadījumos, kad tiek dots šāds uzdevums vai ir fiksēts dubultās nevienlīdzības ieraksts vai ierakstā parādās modulis. Šādā situācijā risinājums būs mainīgo lielumu vērtības, kas apmierinātu visas ieraksta nevienādības. Ja šādu skaitļu nav, tad sistēmai nav risinājumu.

Plāns, saskaņā ar kuru tiek veikts nevienlīdzību sistēmas risinājums:

• atrisināt katru no tiem atsevišķi;
• attēlo visus intervālus uz skaitļu ass un nosaka to krustpunktus;
• pierakstiet sistēmas atbildi, kas būs otrajā rindkopā notikušā kombinācija.

Ko darīt ar daļēju nevienādību?

Tā kā to risināšanai var būt nepieciešams mainīt nevienlīdzības zīmi, jums ļoti rūpīgi un rūpīgi jāievēro visi plāna punkti. Pretējā gadījumā jūs varat saņemt pretēju atbildi.

Daļējo nevienādību risināšanai tiek izmantota arī intervāla metode. Un rīcības plāns būs šāds:

• Izmantojot aprakstītās īpašības, piešķiriet frakcijai tādu formu, lai pa labi no zīmes paliek tikai nulle.
• Aizstājiet nevienādību ar “=” un nosakiet punktus, kuros funkcija būs vienāda ar nulli.
• Atzīmējiet tos uz koordinātu ass. Šajā gadījumā aprēķinu rezultātā iegūtie skaitļi saucējā vienmēr tiks izspiesti. Visi pārējie ir balstīti uz nevienlīdzības nosacījumu.
• Nosakiet zīmes noturības intervālus.
• Atbildot uz to, pierakstiet to intervālu savienību, kuru zīme atbilst sākotnējās nevienādības zīmei.

Situācijas, kad nevienlīdzībā parādās iracionalitāte

Citiem vārdiem sakot, apzīmējumā ir matemātiska sakne. Kopš skolas algebras kursā Lielākā daļa uzdevumi ir kvadrātsaknei, tad tas tiks ņemts vērā.

Iracionālās nevienlīdzības risinājums ir divu vai trīs sistēmu iegūšana, kas būs līdzvērtīga sākotnējai.

Dažādu veidu nevienlīdzību risināšanas piemēri

Lai pievienotu skaidrību teorijai par nevienlīdzību risināšanu, tālāk ir sniegti piemēri.

Pirmais piemērs. 2x - 4 > 1 + x

Risinājums: Lai noteiktu ADI, viss, kas jums jādara, ir rūpīgi jāizpēta nevienlīdzība. Tas veidojas no lineārās funkcijas, tāpēc definēts visām mainīgā vērtībām.

Tagad jums ir jāatņem (1 + x) no abām nevienlīdzības pusēm. Izrādās: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Pēc iekavu atvēršanas un līdzīgu terminu došanas nevienādība iegūs šādu formu: x - 5 > 0.

Pielīdzinot to nullei, ir viegli atrast tā risinājumu: x = 5.

Tagad šis punkts ar skaitli 5 ir jāatzīmē koordinātu starā. Pēc tam pārbaudiet sākotnējās funkcijas pazīmes. Pirmajā intervālā no mīnus bezgalības līdz 5 var ņemt skaitli 0 un aizstāt to ar nevienādību, kas iegūta pēc transformācijām. Pēc aprēķiniem izrādās -7 >0. zem intervāla loka jums jāparaksta mīnusa zīme.

Nākamajā intervālā no 5 līdz bezgalībai var izvēlēties skaitli 6. Tad izrādās, ka 1 > 0. Zem loka ir “+” zīme. Šis otrais intervāls būs atbilde uz nevienlīdzību.

Atbilde: x atrodas intervālā (5; ∞).

Otrais piemērs. Ir nepieciešams atrisināt divu vienādojumu sistēmu: 3x + 3 ≤ 2x + 1 un 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Risinājums. Šo nevienādību VA atrodas arī jebkuru skaitļu reģionā, jo ir dotas lineāras funkcijas.

Otrā nevienādība būs šāda vienādojuma formā: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Pēc transformācijas: -x - 4 =0. Tādējādi mainīgajam tiek iegūta vērtība, kas vienāda ar -4.

Šie divi skaitļi ir jāatzīmē uz ass, attēlojot intervālus. Tā kā nevienlīdzība nav stingra, visi punkti ir jāieēno. Pirmais intervāls ir no mīnus bezgalības līdz -4. Lai tiek izvēlēts skaitlis -5. Pirmā nevienādība dos vērtību -3, bet otrā 1. Tas nozīmē, ka šis intervāls atbildē nav iekļauts.

Otrais intervāls ir no -4 līdz -2. Jūs varat izvēlēties skaitli -3 un aizstāt to abās nevienādībās. Pirmajā un otrajā vērtība ir -1. Tas nozīmē, ka zem loka “-”.

Pēdējā intervālā no -2 līdz bezgalībai labākais skaitlis ir nulle. Jums tas jāaizstāj un jāatrod nevienlīdzību vērtības. Pirmais no tiem rada pozitīvu skaitli, bet otrais - nulli. Šī plaisa arī ir jāizslēdz no atbildes.

No trim intervāliem tikai viens ir nevienlīdzības risinājums.

Atbilde: x pieder [-4; -2].

Trešais piemērs. |1 - x| > 2 |x - 1|.

Risinājums. Pirmais solis ir noteikt punktus, kuros funkcijas pazūd. Kreisajam šis skaitlis būs 2, labajam - 1. Tie jāatzīmē uz sijas un jānosaka zīmes noturības intervāli.

Pirmajā intervālā no mīnus bezgalības līdz 1 funkcijai nevienlīdzības kreisajā pusē ir pozitīvas vērtības, un funkcijai labajā pusē ir negatīvas vērtības. Zem loka jums blakus jāraksta divas zīmes “+” un “-”.

Nākamais intervāls ir no 1 līdz 2. Uz tā abām funkcijām ir pozitīvas vērtības. Tas nozīmē, ka zem loka ir divi plusi.

Trešais intervāls no 2 līdz bezgalībai dos šādu rezultātu: kreisā funkcija- negatīvs, pareizi - pozitīvs.

Ņemot vērā iegūtās zīmes, jums jāaprēķina nevienlīdzības vērtības visiem intervāliem.

Pirmais rada šādu nevienādību: 2 - x > - 2 (x - 1). Mīnuss pirms diviem otrajā nevienādībā ir saistīts ar to, ka šī funkcija ir negatīva.

Pēc transformācijas nevienādība izskatās šādi: x > 0. Tā uzreiz dod mainīgā vērtības. Tas ir, no šī intervāla tiks atbildēts tikai uz intervālu no 0 līdz 1.

Otrajā: 2 — x > 2 (x — 1). Pārveidojumi dos šādu nevienādību: -3x + 4 ir lielāks par nulli. Tā nulle būs x = 4/3. Ņemot vērā nevienlīdzības zīmi, izrādās, ka x ir jābūt mazākam par šo skaitli. Tas nozīmē, ka šis intervāls tiek samazināts līdz intervālam no 1 līdz 4/3.

Pēdējais dod šādu nevienādību: - (2 - x) > 2 (x - 1). Tā transformācija noved pie sekojošā: -x > 0. Tas ir, vienādojums ir patiess, ja x ir mazāks par nulli. Tas nozīmē, ka vajadzīgajā intervālā nevienlīdzība nesniedz risinājumus.

Pirmajos divos intervālos limita numurs izrādījās 1. Tas ir jāpārbauda atsevišķi. Tas ir, aizstājiet to ar sākotnējo nevienlīdzību. Izrādās: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Skaitīšana parāda, ka 1 ir lielāks par 0. Šis apgalvojums ir patiess, tāpēc atbildē ir iekļauts viens.

Atbilde: x atrodas intervālā (0; 4/3).

Tiek izsaukta jebkura nevienlīdzība, kas ietver funkciju zem saknes neracionāli. Pastāv divu veidu šādas nevienlīdzības:

Pirmajā gadījumā sakne mazāk funkciju g (x), otrajā - vairāk. Ja g(x) - nemainīgs, nevienlīdzība ir ievērojami vienkāršota. Lūdzu, ņemiet vērā: ārēji šīs nevienlīdzības ir ļoti līdzīgas, taču to risināšanas shēmas būtiski atšķiras.

Šodien mēs iemācīsimies atrisināt pirmā veida iracionālās nevienlīdzības - tās ir visvienkāršākās un saprotamākās. Nevienlīdzības zīme var būt stingra vai nestingra. Uz viņiem attiecas šāds apgalvojums:

Teorēma. Jebkura iracionāla formas nevienlīdzība

Ekvivalents nevienlīdzību sistēmai:

Nav vājš? Apskatīsim, no kurienes šī sistēma nāk:

1. f (x) ≤ g 2 (x) - šeit viss ir skaidrs. Šī ir sākotnējā nevienlīdzība kvadrātā;
2. f (x) ≥ 0 ir saknes ODZ. Atgādināšu: aritmētika Kvadrātsakne pastāv tikai no nenegatīvs skaitļi;
3. g(x) ≥ 0 ir saknes diapazons. Nosakot nevienlīdzību kvadrātā, mēs sadedzinām negatīvos. Tā rezultātā var parādīties papildu saknes. Nevienādība g(x) ≥ 0 tos nogriež.

Daudzi skolēni “uzķeras” pie pirmās sistēmas nevienādības: f (x) ≤ g 2 (x) - un pilnībā aizmirst pārējās divas. Rezultāts ir paredzams: nepareizs lēmums, zaudēti punkti.

Tā kā iracionālās nevienlīdzības ir diezgan sarežģīta tēma, aplūkosim uzreiz 4 piemērus. No pamata līdz patiešām sarežģītam. Visas problēmas tiek ņemtas no Maskavas Valsts universitātes iestājeksāmeniem. M. V. Lomonosovs.

Problēmu risināšanas piemēri

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

Mūsu priekšā ir klasika iracionālā nevienlīdzība: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 - konstante. Mums ir:

No trim nevienādībām risinājuma beigās palika tikai divas. Jo vienmēr pastāv nevienādība 2 ≥ 0. Šķērsosim atlikušās nevienādības:

Tātad, x ∈ [−1,5; 0,5]. Visi punkti ir iekrāsoti, jo nevienlīdzība nav stingra.

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

Mēs izmantojam teorēmu:

Atrisināsim pirmo nevienlīdzību. Lai to izdarītu, mēs atklāsim starpības kvadrātu. Mums ir:

2x 2 - 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 - 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 - 10x< 0;
x (x–10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Tagad atrisināsim otro nevienlīdzību. Arī tur kvadrātveida trinomāls:

2x 2 - 18x + 16 ≥ 0;
x 2 - 9x + 8 ≥ 0;
(x - 8) (x - 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)