Taču daudzi naturālie skaitļi dalās arī ar citiem naturāliem skaitļiem.

Piemēram:

Skaitlis 12 dalās ar 1, ar 2, ar 3, ar 4, ar 6, ar 12;

Skaitlis 36 dalās ar 1, ar 2, ar 3, ar 4, ar 6, ar 12, ar 18, ar 36.

Tiek saukti skaitļi, ar kuriem skaitlis dalās ar veselu (12, tie ir 1, 2, 3, 4, 6 un 12). skaitļu dalītāji. Dabiska skaitļa dalītājs a- ir naturāls skaitlis, kas dala doto skaitli a bez pēdām. Tiek izsaukts naturāls skaitlis, kuram ir vairāk nekā divi dalītāji salikts .

Lūdzu, ņemiet vērā, ka skaitļiem 12 un 36 ir kopīgi faktori. Šie skaitļi ir: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Šo skaitļu lielākais dalītājs ir 12. Šo divu skaitļu kopējais dalītājs a Un b- šis ir skaitlis, ar kuru abi dotie skaitļi tiek dalīti bez atlikuma a Un b.

Kopējie daudzkārtņi vairāki skaitļi ir skaitlis, kas dalās ar katru no šiem skaitļiem. Piemēram, skaitļiem 9, 18 un 45 ir kopīgs reizinājums 180. Taču 90 un 360 ir arī to kopīgie reizinātāji. Starp visiem kopīgajiem reizinātājiem vienmēr ir mazākais, šajā gadījumā tas ir 90. Šo skaitli sauc mazākaiskopīgs daudzkārtnis (CMM).

LCM vienmēr ir naturāls skaitlis, kuram ir jābūt lielākam par lielāko no skaitļiem, kuriem tas ir definēts.

Mazāk izplatītais daudzkārtnis (LCM). Īpašības.

Komutativitāte:

Asociativitāte:

Jo īpaši, ja un ir pirmskaitļi, tad:

Divu veselu skaitļu mazākais kopīgais reizinājums m Un n ir visu pārējo kopējo daudzkārtņu dalītājs m Un n. Turklāt kopējo reizinātāju kopa m, n sakrīt ar LCM( m, n).

Asimptotiku var izteikt ar dažām skaitļu teorētiskajām funkcijām.

Tātad, Čebiševa funkcija. Un:

Tas izriet no Landau funkcijas definīcijas un īpašībām g(n).

Kas izriet no pirmskaitļu sadalījuma likuma.

Vismazākā daudzkārtējā (LCM) atrašana.

NOC( a, b) var aprēķināt vairākos veidos:

1. Ja ir zināms lielākais kopīgais dalītājs, varat izmantot tā savienojumu ar LCM:

2. Lai ir zināma abu skaitļu kanoniskā sadalīšana pirmfaktoros:

Kur p 1 ,...,p k- dažādi pirmskaitļi un d 1 ,...,d k Un e 1 ,...,e k— nenegatīvi veseli skaitļi (tie var būt nulles, ja attiecīgais pirmskaitlis nav izvērsumā).

Tad NOC ( a,b) aprēķina pēc formulas:

Citiem vārdiem sakot, LCM dekompozīcija satur visus primāros faktorus, kas iekļauti vismaz vienā no skaitļu dekompozīcijām. a, b, un tiek ņemts lielākais no diviem šī reizinātāja eksponentiem.

Piemērs:

Aprēķinot vairāku skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni, var reducēt uz vairākiem secīgiem divu skaitļu LCM aprēķiniem:

Noteikums. Lai atrastu skaitļu sērijas LCM, jums ir nepieciešams:

- sadalīt skaitļus pirmfaktoros;

- pārnest lielāko paplašinājumu (vēlamā produkta faktoru reizinājumu) vēlamā produkta faktoros liels skaits no dotajiem), un pēc tam pievienojiet faktorus no citu skaitļu izvēršanas, kas neparādās pirmajā ciparā vai parādās tajā retāk;

— pirmfaktoru reizinājums būs doto skaitļu LCM.

Jebkuri divi vai vairāk naturālie skaitļi ir savs NOC. Ja skaitļi nav viens otra reizinājums vai tiem nav vienādu izplešanās faktoru, tad to LCM ir vienāds ar šo skaitļu reizinājumu.

Skaitļa 28 pirmfaktori (2, 2, 7) tiek papildināti ar koeficientu 3 (skaitlis 21), iegūtais reizinājums (84) būs mazākais skaitlis, kas dalās ar 21 un 28.

Lielākā skaitļa 30 pirmkoeficientus papildina ar skaitļa 25 koeficientu 5, iegūtais reizinājums 150 ir lielāks par lielāko skaitli 30 un dalās ar visiem dotajiem skaitļiem bez atlikuma. Šis vismazākais produkts no iespējamā (150, 250, 300...), kam visi dotie skaitļi ir reizinātāji.

Skaitļi 2,3,11,37 ir pirmskaitļi, tāpēc to LCM ir vienāds ar doto skaitļu reizinājumu.

Noteikums. Lai aprēķinātu pirmskaitļu LCM, visi šie skaitļi ir jāreizina kopā.

Vēl viena iespēja:

Lai atrastu vairāku skaitļu vismazāko kopskaitu (LCM), jums ir nepieciešams:

1) attēlojiet katru skaitli kā tā galveno faktoru reizinājumu, piemēram:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) pierakstiet visu primāro faktoru pakāpes:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) pierakstiet visus katra šī skaitļa pirmdalītājus (reizinātājus);

4) izvēlieties katra no tiem lielāko pakāpi, kas atrodama visos šo skaitļu paplašinājumos;

5) reizināt šīs pilnvaras.

Piemērs. Atrodiet skaitļu LCM: 168, 180 un 3024.

Risinājums. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Mēs pierakstām visu galveno dalītāju lielākās pakāpes un reizinām:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Apsvērsim šādas problēmas risināšanu. Puiša solis ir 75 cm, bet meitenes solis ir 60 cm.. Jāatrod mazākais attālums, kurā abi sper veselu soļu skaitu.

Risinājums. Visam ceļam, ko bērni iet cauri, ir jādalās ar 60 un 70, jo katram ir jāveic vesels soļu skaits. Citiem vārdiem sakot, atbildei ir jābūt reizinātai ar 75 un 60.

Vispirms pierakstīsim visus skaitļa 75 reizinātājus. Iegūsim:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Tagad pierakstīsim skaitļus, kas būs 60 reizinātāji. Mēs iegūstam:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Tagad mēs atrodam skaitļus, kas atrodas abās rindās.

• Kopējie skaitļu daudzkārtņi būtu 300, 600 utt.

Mazākais no tiem ir skaitlis 300. Šajā gadījumā tas tiks saukts par skaitļu 75 un 60 mazāko kopējo daudzkārtni.

Atgriežoties pie problēmas stāvokļa, mazākais attālums, kurā puiši veiks veselu soļu skaitu, būs 300 cm.Zēns šo ceļu veiks 4 soļos, bet meitenei vajadzēs spert 5 soļus.

Vismazāk izplatīto daudzu noteikšana

• Divu naturālu skaitļu a un b mazākais kopīgais reizinājums ir mazākais naturālais skaitlis, kas ir gan a, gan b reizinājums.

Lai atrastu divu skaitļu mazāko kopīgo reizinātāju, nav nepieciešams pēc kārtas pierakstīt visus šo skaitļu daudzkārtņus.

Varat izmantot šādu metodi.

Kā atrast mazāko kopējo daudzkārtni

Vispirms šie skaitļi ir jāieskaita galvenajos faktoros.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Tagad pierakstīsim visus faktorus, kas ir pirmā skaitļa (2,2,3,5) izvērsumā, un pievienosim tam visus trūkstošos faktorus no otrā skaitļa (5) izvērsuma.

Rezultātā mēs iegūstam pirmskaitļu virkni: 2,2,3,5,5. Šo skaitļu reizinājums būs vismazāk izplatītais faktors šiem skaitļiem. 2*2*3*5*5 = 300.

Vispārīga shēma mazākā kopīgā daudzskaitļa atrašanai

• 1. Sadaliet skaitļus pirmfaktoros.
• 2. Pierakstiet galvenos faktorus, kas ir daļa no viena no tiem.
• 3. Pievienojiet šiem faktoriem visus tos, kas ir pārējo paplašinājumā, bet ne atlasītajā.
• 4. Atrodiet visu uzrakstīto faktoru reizinājumu.

Šī metode ir universāla. To var izmantot, lai atrastu mazāko kopējo daudzkārtni jebkuram naturālu skaitļu skaitam.

Definīcija. Tiek izsaukts lielākais naturālais skaitlis, ar kuru skaitļus a un b dala bez atlikuma lielākais kopīgais dalītājs (GCD)šie skaitļi.

Atradīsim lielāko kopīgs dalītājs numuri 24 un 35.
24 dalītāji ir skaitļi 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, bet 35 dalītāji ir skaitļi 1, 5, 7, 35.
Mēs redzam, ka skaitļiem 24 un 35 ir tikai viens kopīgs dalītājs - skaitlis 1. Tādus skaitļus sauc savstarpēji galvenais.

Definīcija. Tiek saukti naturālie skaitļi savstarpēji galvenais, ja to lielākais kopīgais dalītājs (GCD) ir 1.

Lielākais kopīgais dalītājs (GCD) var atrast, neizrakstot visus doto skaitļu dalītājus.

Faktorējot skaitļus 48 un 36, mēs iegūstam:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
No faktoriem, kas iekļauti pirmā no šiem skaitļiem, izsvītrojam tos, kas nav iekļauti otrā skaitļa izvēršanā (t.i., divi divnieki).
Atlikušie faktori ir 2 * 2 * 3. To reizinājums ir vienāds ar 12. Šis skaitlis ir lielākais skaitļu 48 un 36 kopīgais dalītājs. Tiek atrasts arī lielākais trīs vai vairāku skaitļu kopējais dalītājs.

Atrast lielākais kopīgais dalītājs

2) no faktoriem, kas iekļauti viena no šo skaitļu izvēršanā, izsvītro tos, kas nav iekļauti citu skaitļu izvēršanā;
3) atrast atlikušo faktoru reizinājumu.

Ja visi dotie skaitļi dalās ar vienu no tiem, tad šis skaitlis ir lielākais kopīgais dalītājs dotos skaitļus.
Piemēram, skaitļu 15, 45, 75 un 180 lielākais kopīgais dalītājs ir skaitlis 15, jo visi pārējie skaitļi dalās ar to: 45, 75 un 180.

Mazāk izplatītais daudzkārtnis (LCM)

Definīcija. Mazāk izplatītais daudzkārtnis (LCM) naturālie skaitļi a un b ir mazākais naturālais skaitlis, kas ir gan a, gan b reizinājums. Skaitļu 75 un 60 mazāko kopīgo reizinātāju (LCM) var atrast, nepierakstot šo skaitļu daudzkārtņus pēc kārtas. Lai to izdarītu, koeficientus 75 un 60 veidosim primārajos koeficientos: 75 = 3 * 5 * 5 un 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Pierakstīsim pirmā no šiem skaitļiem izvērsumā iekļautos faktorus un pieskaitīsim tiem trūkstošos faktorus 2 un 2 no otrā skaitļa izvērsuma (t.i., faktorus apvienojam).
Mēs iegūstam piecus faktorus 2 * 2 * 3 * 5 * 5, kuru reizinājums ir 300. Šis skaitlis ir skaitļu 75 un 60 mazākais kopīgais reizinājums.

Viņi arī atrod trīs vai vairāku skaitļu mazāko kopīgo reizinātāju.

Uz atrast vismazāko kopskaitu vairāki naturālie skaitļi, jums ir nepieciešams:
1) faktorēt tos primārajos faktoros;
2) pierakstiet viena no skaitļiem izvērsumā iekļautos faktorus;
3) pievienojiet tiem trūkstošos faktorus no atlikušo skaitļu paplašinājumiem;
4) atrast iegūto faktoru reizinājumu.

Ņemiet vērā: ja viens no šiem skaitļiem dalās ar visiem pārējiem skaitļiem, tad šis skaitlis ir šo skaitļu mazākais kopīgais reizinājums.
Piemēram, skaitļu 12, 15, 20 un 60 mazākais kopīgais reizinājums ir 60, jo tas dalās ar visiem šiem skaitļiem.

Pitagors (VI gs. p.m.ē.) un viņa skolēni pētīja jautājumu par skaitļu dalāmību. numurs, vienāds ar summu Viņi sauca visus tā dalītājus (bez paša skaitļa) par perfektu skaitli. Piemēram, skaitļi 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) ir ideāli. Nākamie ideālie skaitļi ir 496, 8128, 33 550 336. Pitagorieši zināja tikai pirmos trīs ideālos skaitļus. Ceturtais - 8128 - kļuva zināms 1. gadsimtā. n. e. Piektais - 33 550 336 - tika atrasts 15. gadsimtā. 1983. gadā jau bija zināmi 27 ideāli skaitļi. Taču zinātnieki joprojām nezina, vai ir nepāra ideālie skaitļi vai arī lielākais ideālais skaitlis.
Seno matemātiķu interese par pirmskaitļiem ir saistīta ar to, ka jebkurš skaitlis ir vai nu pirmskaitļu reizinājums, vai arī to var attēlot kā pirmskaitļu reizinājumu, t.i., pirmskaitļi ir kā ķieģeļi, no kuriem būvē pārējos naturālos skaitļus.
Droši vien pamanījāt, ka pirmskaitļi naturālo skaitļu rindās rodas nevienmērīgi – dažās sērijas daļās to ir vairāk, citās – mazāk. Bet, jo tālāk virzāmies pa skaitļu sērijām, jo ​​retāk ir pirmskaitļi. Rodas jautājums: vai pastāv pēdējais (lielākais) pirmskaitlis? Sengrieķu matemātiķis Eiklīds (3. gs. p.m.ē.) savā grāmatā “Elementi”, kas divus tūkstošus gadu bija galvenā matemātikas mācību grāmata, pierādīja, ka pirmskaitļu ir bezgalīgi daudz, t.i., aiz katra pirmskaitļa ir vēl lielāks pirmskaitlis. numuru.
Lai atrastu pirmskaitļus, cits tā paša laika grieķu matemātiķis Eratostens nāca klajā ar šo metodi. Viņš pierakstīja visus skaitļus no 1 līdz kādam skaitlim un pēc tam izsvītroja vienu, kas nav ne pirmskaitļi, ne salikts numurs, pēc tam izsvītrojiet caur vienu visus skaitļus, kas nāk aiz 2 (skaitļi, kas ir 2 reizinātāji, t.i., 4, 6, 8 utt.). Pirmais atlikušais skaitlis pēc 2 bija 3. Pēc tam pēc diviem tika izsvītroti visi skaitļi, kas nāk pēc 3 (skaitļi, kas bija 3 reizinātāji, t.i., 6, 9, 12 utt.). beigās nešķērsoti palika tikai pirmskaitļi.

Kopējie daudzkārtņi

Vienkārši sakot, jebkurš vesels skaitlis, kas dalās ar katru no dotajiem skaitļiem, ir kopīgs daudzkārtnis doti veseli skaitļi.

Jūs varat atrast divu vai vairāku veselu skaitļu kopējo daudzkārtni.

1. piemērs

Aprēķiniet divu skaitļu kopējo reizinājumu: $2$ un $5$.

Risinājums.

Pēc definīcijas $2$ un $5$ kopīgais reizinājums ir $10$, jo tas ir skaitļa $2$ un skaitļa $5$ reizinājums:

Kopējie skaitļu $2$ un $5$ reizinātāji būs arī skaitļi $–10, 20, –20, 30, –30$ utt., jo tie visi ir sadalīti skaitļos $2$ un $5$.

1. piezīme

Nulle ir jebkura skaita veselu skaitļu, kas nav nulle, kopīgs daudzkārtnis.

Atbilstoši dalāmības īpašībām, ja noteikts skaitlis ir vairāku skaitļu kopīgs daudzkārtnis, tad zīmē pretējais skaitlis arī būs doto skaitļu kopskaitlis. To var redzēt no aplūkotā piemēra.

Dotiem veseliem skaitļiem jūs vienmēr varat atrast to kopējo daudzkārtni.

2. piemērs

Aprēķiniet kopējo reizinātāju $111$ un $55$.

Risinājums.

Sareizināsim dotos skaitļus: $111\div 55=6105$. Ir viegli pārbaudīt, vai skaitlis $6105$ dalās ar skaitli $111$ un skaitli $55$:

6105 USD\div 111=55 USD;

6105 USD\div 55=111 USD.

Tādējādi $ 6105 $ ir kopīgs $ 111 $ un $ 55 reizinājums.

Atbilde: $111$ un $55$ kopīgais dalījums ir 6105$.

Bet, kā mēs jau redzējām no iepriekšējā piemēra, šis kopīgais daudzkārtnis nav viens. Citi parastie reizinātāji būtu –6105, 12210, –12210, 61050, –61050 USD utt. Tādējādi mēs nonācām pie šāda secinājuma:

2. piezīme

Jebkurai veselu skaitļu kopai ir bezgalīgs kopīgu reizinājumu skaits.

Praksē tie aprobežojas ar tikai pozitīvu veselu (dabisku) skaitļu kopīgu reizinājumu atrašanu, jo dotā skaitļa un tā pretstata reizinātāju kopas sakrīt.

Vismazāk izplatīto daudzu noteikšana

No visiem doto skaitļu reizinātājiem visbiežāk tiek izmantots mazākais kopskaits (LCM).

2. definīcija

Vismazāk pozitīvais doto veselo skaitļu kopējais daudzkārtnis ir mazākais kopskaitlisšie skaitļi.

3. piemērs

Aprēķiniet LCM no skaitļiem $4$ un $7$.

Risinājums.

Jo šiem skaitļiem nav kopīgu dalītāju, tad $LCM(4,7)=28$.

Atbilde: NOK $ (4,7)=28 $.

NOC atrašana, izmantojot GCD

Jo ir savienojums starp LCM un GCD, ar tā palīdzību var aprēķināt Divu pozitīvu veselu skaitļu LCM:

3. piezīme

4. piemērs

Aprēķiniet LCM no skaitļiem $232$ un $84$.

Risinājums.

Izmantosim formulu, lai atrastu LCM, izmantojot GCD:

$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(GCD (a,b))$

Atradīsim skaitļu $232$ un $84$ GCD, izmantojot Eiklīda algoritmu:

$232=84\cdot 2+64$,

$84=64\cdot 1+20$,

64 $=20\cdot 3+4 $,

Tie. $GCD(232, 84)=4$.

Atradīsim $LCC (232, 84)$:

$NOK (232.84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$

Atbilde: NOK $ (232,84) = 4872 $.

5. piemērs

Aprēķiniet $LCD(23, 46)$.

Risinājums.

Jo $46$ dalās ar $23$, tad $gcd (23, 46)=23$. Atradīsim LOC:

$NOK (23,46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$

Atbilde: NOK $ (23,46) = 46 $.

Tādējādi var formulēt noteikums:

4. piezīme

Divu skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis ir tieši saistīts ar šo skaitļu lielāko kopīgo dalītāju. Šis savienojums starp GCD un NOC tiek noteikts ar sekojošu teorēmu.

Teorēma.

Divu pozitīvu veselu skaitļu a un b mazākais kopīgais reizinājums ir vienāds ar a un b reizinājumu, kas dalīts ar a un b lielāko kopīgo dalītāju, tas ir, LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

Pierādījums.

Ļaujiet M ir daži skaitļu a un b daudzkārtņi. Tas ir, M dalās ar a, un pēc dalāmības definīcijas ir kāds vesels skaitlis k, kurā vienādība M=a·k ir patiesa. Bet M arī dalās ar b, tad a·k dalās ar b.

Apzīmēsim gcd(a, b) kā d. Tad varam uzrakstīt vienādības a=a 1 ·d un b=b 1 ·d, un a 1 =a:d un b 1 =b:d būs nosacīti pirmskaitļi. Līdz ar to iepriekšējā punktā iegūto nosacījumu, ka a · k dalās ar b, var pārformulēt šādi: a 1 · d · k dala ar b 1 · d , un tas dalāmības īpašību dēļ ir līdzvērtīgs nosacījumam. ka a 1 · k dalās ar b 1 .

Jums arī jāpieraksta divas svarīgas teorēmas sekas.

Divu skaitļu kopējie reizinātāji ir tādi paši kā to mazākā kopīgā reizinājuma reizinājumi.

Tā tas tiešām ir, jo jebkuru skaitļu a un b kopējo M daudzkārtni nosaka ar vienādību M=LMK(a, b)·t kādai veselai skaitļa vērtībai t.

Savstarpēji pirmskaitļu pozitīvo skaitļu a un b mazākais kopīgais reizinājums ir vienāds ar to reizinājumu.

Šī fakta pamatojums ir diezgan acīmredzams. Tā kā a un b ir relatīvi pirmskaitļi, tad gcd(a, b)=1, tāpēc GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Trīs vai vairāku skaitļu mazākais kopīgais reizinājums

Trīs vai vairāku skaitļu mazākā kopīgā reizinājuma atrašanu var reducēt līdz divu skaitļu LCM secīgai atrašanai. Kā tas tiek darīts, norādīts sekojošā teorēmā: a 1 , a 2 , …, a k sakrīt ar skaitļu m k-1 kopējiem reizinātājiem un a k , tātad sakrīt ar skaitļa m k kopējiem reizinātājiem. Un tā kā skaitļa m k mazākais pozitīvais daudzkārtnis ir pats skaitlis m k, tad skaitļu a 1, a 2, ..., a k mazākais kopīgais daudzkārtnis ir m k.

Bibliogrāfija.

• Viļenkins N.Ya. un citi.. Matemātika. 6. klase: mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm.
• Vinogradovs I.M. Skaitļu teorijas pamati.
• Mihelovičs Sh.H. Skaitļu teorija.
• Kuļikovs L.Ja. un citi. Algebras un skaitļu teorijas uzdevumu apkopojums: Apmācība fizikas un matemātikas studentiem. pedagoģisko institūtu specialitātes.