Veiktais pamatojums ir vienkāršs, taču būtiski vienkāršo logaritmisko nevienādību risinājumu.

4. piemērs.

log x (x 2-3)<0

Risinājums:

5. piemērs.

log 2 x (2x 2 -4x +6) ≤ log 2 x (x 2 +x )

Risinājums:

Atbilde. (0; 0,5) U.

6. piemērs.

Lai atrisinātu šo nevienādību, saucēja vietā mēs rakstām (x-1-1) (x-1), bet skaitītāja vietā - reizinājumu (x-1) (x-3-9 + x).

Atbilde : (3;6)

7. piemērs.

8. piemērs.

2.3. Nestandarta aizstāšana.

1. piemērs.

2. piemērs.

3. piemērs.

4. piemērs.

5. piemērs.

6. piemērs.

7. piemērs.

log 4 (3 x -1)log 0,25

Izdarīsim nomaiņu y=3 x -1; tad šī nevienlīdzība pieņems formu

Log 4 log 0,25
.

Jo log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , tad pēdējo nevienādību pārrakstām kā 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Izdarīsim aizvietojumu t =log 4 y un iegūsim nevienādību t 2 -2t +≥0, kuras atrisinājums ir intervāli - .

Tādējādi, lai atrastu y vērtības, mums ir divu vienkāršu nevienādību kopa
Šīs kopas risinājums ir intervāli 0<у≤2 и 8≤у<+.

Tāpēc sākotnējā nevienādība ir ekvivalenta divu eksponenciālu nevienādību kopai,
tas ir, agregāti

Šīs kopas pirmās nevienādības risinājums ir intervāls 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Tādējādi sākotnējā nevienādība ir izpildīta visām x vērtībām no intervāliem 0<х≤1 и 2≤х<+.

8. piemērs.

Risinājums:

Nevienlīdzība ir vienāda ar sistēmu

Atrisinājums otrajai nevienlīdzībai, kas nosaka ODZ, būs to kopa x,

priekš kam x > 0.

Lai atrisinātu pirmo nevienlīdzību, mēs veicam aizstāšanu

Tad mēs iegūstam nevienlīdzību

vai

Pēdējās nevienādības atrisinājumu kopa tiek atrasta ar metodi

intervāli: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, saņemam

vai

Daudz tādu x, kas apmierina pēdējo nevienlīdzību

pieder ODZ ( x> 0), tāpēc ir sistēmas risinājums,

un līdz ar to sākotnējā nevienlīdzība.

Atbilde:

2.4. Uzdevumi ar lamatām.

1. piemērs.

.

Risinājums. Nevienādības ODZ ir visas x, kas atbilst nosacījumam 0 . Tāpēc visi x ir no intervāla 0

2. piemērs.

baļķis 2 (2 x +1-x 2)>baļķis 2 (2 x-1 +1-x)+1.. ? Lieta tāda, ka otrais skaitlis acīmredzami ir lielāks par

Secinājums

Nebija viegli atrast konkrētas metodes C3 problēmu risināšanai no liela daudzuma dažādu izglītības avotu. Paveiktā darba gaitā varēju pētīt nestandarta metodes sarežģītu logaritmisko nevienādību risināšanai. Tie ir: ekvivalentās pārejas un vispārinātā intervālu metode, racionalizācijas metode , nestandarta aizstāšana , uzdevumi ar slazdiem uz ODZ. Šīs metodes nav iekļautas skolas mācību programmā.

Izmantojot dažādas metodes, es atrisināju 27 vienotā valsts eksāmena C daļā piedāvātās nevienādības, proti, C3. Šīs nevienādības ar risinājumiem pēc metodēm veidoja pamatu krājumam “C3 Logaritmiskās nevienādības ar risinājumiem”, kas kļuva par manas darbības projekta produktu. Apstiprinājās hipotēze, ko izvirzīju projekta sākumā: C3 problēmas var efektīvi atrisināt, ja zināt šīs metodes.

Turklāt es atklāju interesantus faktus par logaritmiem. Man bija interesanti to izdarīt. Mani projekta produkti noderēs gan skolēniem, gan skolotājiem.

Secinājumi:

Tādējādi projekta mērķis ir sasniegts un problēma ir atrisināta. Un es saņēmu vispilnīgāko un daudzveidīgāko projekta aktivitāšu pieredzi visos darba posmos. Strādājot pie projekta, mana galvenā ietekme uz attīstību bija uz garīgo kompetenci, aktivitātēm, kas saistītas ar loģiskām prāta operācijām, radošās kompetences, personīgās iniciatīvas, atbildības, neatlaidības un aktivitātes attīstību.

Veiksmes garants, veidojot pētniecisko projektu priekš Ieguvu: ievērojamu skolas pieredzi, prasmi iegūt informāciju no dažādiem avotiem, pārbaudīt tās ticamību un sarindot pēc svarīguma.

Papildus tiešajām priekšmeta zināšanām matemātikā papildināju savas praktiskās iemaņas informātikas jomā, ieguvu jaunas zināšanas un pieredzi psiholoģijas jomā, nodibināju kontaktus ar klasesbiedriem, mācījos sadarboties ar pieaugušajiem. Projekta aktivitāšu laikā tika attīstītas organizatoriskās, intelektuālās un komunikatīvās vispārizglītojošās prasmes.

Literatūra

1. Korjanovs A. G., Prokofjevs A. A. Nevienādību sistēmas ar vienu mainīgo (standarta uzdevumi C3).

2. Malkova A. G. Gatavošanās vienotajam valsts eksāmenam matemātikā.

3. Samarova S. S. Logaritmisko nevienādību risināšana.

4. Matemātika. Apmācību darbu krājums, ko rediģēja A.L. Semenovs un I.V. Jaščenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 lpp.-

Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

• Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

• Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem notikumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
• Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
• Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
• Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.

Informācijas izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

• Ja nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas procedūru, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai Krievijas Federācijas valdības iestāžu lūgumiem - izpaust savu personisko informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrībai svarīgiem mērķiem.
• Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.

Logaritmiskās nevienādības

Iepriekšējās nodarbībās iepazināmies ar logaritmiskiem vienādojumiem un tagad zinām, kas tie ir un kā tos atrisināt. Šodienas nodarbība būs veltīta logaritmisko nevienādību izpētei. Kādas ir šīs nevienādības un kāda ir atšķirība starp logaritmiskā vienādojuma atrisināšanu un nevienādību?

Logaritmiskās nevienādības ir nevienādības, kurām ir mainīgais, kas parādās zem logaritma zīmes vai tās pamatā.

Vai arī mēs varam teikt, ka logaritmiskā nevienādība ir nevienlīdzība, kurā tās nezināmā vērtība, tāpat kā logaritmiskajā vienādojumā, parādīsies zem logaritma zīmes.

Vienkāršākajām logaritmiskajām nevienādībām ir šāda forma:

kur f(x) un g(x) ir dažas izteiksmes, kas ir atkarīgas no x.

Apskatīsim to, izmantojot šo piemēru: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Logaritmisko nevienādību risināšana

Pirms logaritmisko nevienādību risināšanas ir vērts atzīmēt, ka atrisinātas tās ir līdzīgas eksponenciālām nevienādībām, proti:

Pirmkārt, pārejot no logaritmiem uz izteiksmēm zem logaritma zīmes, mums arī jāsalīdzina logaritma bāze ar vienu;

Otrkārt, risinot logaritmisko nevienādību, izmantojot mainīgo lielumu maiņu, mums ir jāatrisina nevienādības attiecībā uz izmaiņām, līdz iegūstam vienkāršāko nevienādību.

Bet jūs un es esam apsvēruši līdzīgus logaritmisko nevienādību risināšanas aspektus. Tagad pievērsīsim uzmanību diezgan būtiskai atšķirībai. Jūs un es zinām, ka logaritmiskajai funkcijai ir ierobežots definīcijas apgabals, tāpēc, pārejot no logaritmiem uz izteiksmēm zem logaritma zīmes, mums ir jāņem vērā pieļaujamo vērtību diapazons (ADV).

Tas ir, jāņem vērā, ka, risinot logaritmisko vienādojumu, mēs ar jums vispirms varam atrast vienādojuma saknes un pēc tam pārbaudīt šo risinājumu. Bet logaritmiskās nevienādības atrisināšana šādā veidā nedarbosies, jo, pārejot no logaritmiem uz izteiksmēm zem logaritma zīmes, būs jāpieraksta nevienādības ODZ.

Turklāt ir vērts atcerēties, ka nevienādību teorija sastāv no reāliem skaitļiem, kas ir pozitīvi un negatīvi skaitļi, kā arī no skaitļa 0.

Piemēram, ja skaitlis “a” ir pozitīvs, jāizmanto šāds apzīmējums: a >0. Šajā gadījumā gan šo skaitļu summa, gan reizinājums arī būs pozitīvs.

Galvenais nevienlīdzības risināšanas princips ir to aizstāt ar vienkāršāku nevienādību, bet galvenais, lai tā būtu līdzvērtīga dotajai. Tālāk mēs arī ieguvām nevienlīdzību un atkal aizstājām to ar vienkāršāku formu utt.

Risinot nevienādības ar mainīgo, jāatrod visi tā risinājumi. Ja divām nevienādībām ir vienāds mainīgais x, tad šādas nevienādības ir līdzvērtīgas, ja to risinājumi sakrīt.

Veicot logaritmisko nevienādību risināšanas uzdevumus, jāatceras, ka, ja a > 1, tad logaritmiskā funkcija palielinās, bet kad 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Logaritmisko nevienādību risināšanas metodes

Tagad apskatīsim dažas metodes, kas notiek, risinot logaritmiskās nevienādības. Labākai izpratnei un asimilācijai mēģināsim tos izprast, izmantojot konkrētus piemērus.

Mēs visi zinām, ka vienkāršākā logaritmiskā nevienādība ir šāda:

Šajā nevienādībā V ir viena no šādām nevienlīdzības zīmēm:<,>, ≤ vai ≥.

Ja dotā logaritma bāze ir lielāka par vienu (a>1), veicot pāreju no logaritmiem uz izteiksmēm zem logaritma zīmes, tad šajā versijā tiek saglabāta nevienlīdzības zīme, un nevienādībai būs šāda forma:

kas ir līdzvērtīga šai sistēmai:

Gadījumā, ja logaritma bāze ir lielāka par nulli un mazāka par vienu (0

Tas ir līdzvērtīgs šai sistēmai:

Apskatīsim vairāk piemēru vienkāršāko logaritmisko nevienādību risināšanai, kas parādīti zemāk esošajā attēlā:

Risināšanas piemēri

Vingrinājums. Mēģināsim atrisināt šo nevienlīdzību:

Pieņemamo vērtību diapazona risināšana.

Tagad mēģināsim reizināt tā labo pusi ar:

Apskatīsim, ko varam izdomāt:

Tagad pāriesim pie sublogaritmisko izteiksmju konvertēšanas. Sakarā ar to, ka logaritma bāze ir 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

Un no tā izriet, ka mūsu iegūtais intervāls pilnībā pieder ODZ un ir šādas nevienlīdzības risinājums.

Lūk, atbilde, ko saņēmām:

Kas nepieciešams, lai atrisinātu logaritmiskās nevienādības?

Tagad mēģināsim analizēt, kas mums nepieciešams, lai veiksmīgi atrisinātu logaritmiskās nevienādības?

Pirmkārt, koncentrējiet visu savu uzmanību un mēģiniet nepieļaut kļūdas, veicot pārvērtības, kas ir dotas šajā nevienlīdzībā. Tāpat jāatceras, ka, risinot šādas nevienādības, ir jāizvairās no nevienlīdzību paplašināšanās un saraušanās, kas var novest pie svešu risinājumu zaudēšanas vai iegūšanas.

Otrkārt, risinot logaritmiskās nevienādības, jums jāiemācās loģiski domāt un saprast atšķirību starp tādiem jēdzieniem kā nevienlīdzību sistēma un nevienlīdzību kopa, lai jūs varētu viegli izvēlēties nevienlīdzības risinājumus, vadoties pēc tās DL.

Treškārt, lai veiksmīgi atrisinātu šādas nevienlīdzības, katram no jums ir lieliski jāzina visas elementāro funkciju īpašības un skaidri jāsaprot to nozīme. Šādas funkcijas ietver ne tikai logaritmiskās, bet arī racionālās, jaudas, trigonometriskās utt., Vārdu sakot, visas tās, kuras mācījāties skolas algebras laikā.

Kā redzat, izpētot logaritmisko nevienādību tēmu, šīs nevienlīdzības risināšanā nav nekā sarežģīta, ja vien esat uzmanīgs un neatlaidīgs savu mērķu sasniegšanā. Lai izvairītos no problēmām nevienlīdzību risināšanā, pēc iespējas vairāk jātrenējas, risinot dažādus uzdevumus un tajā pašā laikā jāatceras šādu nevienlīdzību risināšanas pamatmetodes un to sistēmas. Ja jums neizdodas atrisināt logaritmiskās nevienādības, jums rūpīgi jāanalizē savas kļūdas, lai turpmāk pie tām neatgrieztos.

Mājasdarbs

Lai labāk izprastu tēmu un konsolidētu aplūkoto materiālu, atrisiniet šādas nevienādības:

Nodarbības mērķi:

Didaktiskais:

• 1. līmenis – iemācīt atrisināt vienkāršākās logaritmiskās nevienādības, izmantojot logaritma definīciju un logaritmu īpašības;
• 2. līmenis – risina logaritmiskās nevienādības, izvēloties savu risināšanas metodi;
• 3. līmenis – jāprot pielietot zināšanas un prasmes nestandarta situācijās.

Izglītības: attīstīt atmiņu, uzmanību, loģisko domāšanu, salīdzināšanas prasmes, prast vispārināt un izdarīt secinājumus

Izglītības: audzināt precizitāti, atbildību par veicamo uzdevumu un savstarpēju palīdzību.

Mācību metodes: verbāls , vizuāli , praktiski , daļēja meklēšana , pašpārvalde , kontrole.

Studentu izziņas darbības organizēšanas formas: frontālais , individuāls , strādāt pāros.

Aprīkojums: testa uzdevumu kopums, atsauces piezīmes, tukšas lapas risinājumiem.

Nodarbības veids: apgūt jaunu materiālu.

Nodarbību laikā

1. Organizatoriskais moments. Tiek paziņota nodarbības tēma un mērķi, stundu plāns: katram skolēnam tiek izsniegta vērtējuma lapa, kuru skolēns aizpilda stundas laikā; katram skolēnu pārim - iespiesti materiāli ar uzdevumiem, uzdevumi jāizpilda pa pāriem; tukšas šķīduma lapas; atbalsta lapas: logaritma definīcija; logaritmiskās funkcijas grafiks, tās īpašības; logaritmu īpašības; logaritmisko nevienādību risināšanas algoritms.

Visi lēmumi pēc pašnovērtējuma tiek iesniegti skolotājam.

Studenta rezultātu lapa

2. Zināšanu papildināšana.

Skolotāja norādījumi. Atgādiniet logaritma definīciju, logaritmiskās funkcijas grafiku un tās īpašības. Lai to izdarītu, izlasiet tekstu 88.–90., 98.–101. lpp. mācību grāmatā “Algebra un analīzes sākums 10–11”, ko rediģēja Sh.A Alimov, Yu.M Kolyagin un citi.

Studentiem tiek izdalītas lapas, uz kurām rakstīts: logaritma definīcija; parāda logaritmiskās funkcijas grafiku un tās īpašības; logaritmu īpašības; logaritmisko nevienādību risināšanas algoritms, piemērs logaritmiskās nevienādības atrisināšanai, kas reducējas uz kvadrātisko.

3. Jauna materiāla apguve.

Logaritmisko nevienādību risināšana balstās uz logaritmiskās funkcijas monotonitāti.

Algoritms logaritmisko nevienādību risināšanai:

A) Atrodiet nevienādības definīcijas apgabalu (sublogaritmiskā izteiksme ir lielāka par nulli).
B) Attēlojiet (ja iespējams) nevienādības kreiso un labo pusi kā vienas bāzes logaritmus.
C) Nosaki, vai logaritmiskā funkcija pieaug vai samazinās: ja t>1, tad pieaug; ja 0 1, pēc tam samazinās.
D) Pārejiet uz vienkāršāku nevienādību (sublogaritmiskas izteiksmes), ņemot vērā, ka nevienādības zīme paliks nemainīga, ja funkcija palielinās, un mainīsies, ja tā samazināsies.

Mācību elements #1.

Mērķis: konsolidēt risinājumu vienkāršākajām logaritmiskajām nevienādībām

Studentu izziņas darbības organizācijas forma: individuālais darbs.

Uzdevumi patstāvīgam darbam 10 minūtes. Katrai nevienlīdzībai ir vairākas iespējamās atbildes, jums jāizvēlas pareizā un jāpārbauda, ​​izmantojot taustiņu.

ATSLĒGA: 13321, maksimālais punktu skaits – 6 punkti.

Mācību elements #2.

Mērķis: konsolidēt logaritmisko nevienādību risinājumu, izmantojot logaritmu īpašības.

Skolotāja norādījumi. Atcerieties logaritmu pamatīpašības. Lai to izdarītu, izlasiet mācību grāmatas tekstu 92., 103.–104. lpp.

Uzdevumi patstāvīgam darbam 10 minūtes.

ATSLĒGA: 2113, maksimālais punktu skaits – 8 punkti.

Mācību elements #3.

Mērķis: izpētīt logaritmisko nevienādību atrisināšanu ar reducēšanas metodi līdz kvadrātiskajam.

Skolotāja norādījumi: nevienlīdzības reducēšanas līdz kvadrātiskajam metode ir nevienādības pārveidošana tādā formā, lai noteiktu logaritmisko funkciju apzīmētu ar jaunu mainīgo, tādējādi iegūstot kvadrātvienādību attiecībā pret šo mainīgo.

Izmantosim intervāla metodi.

Jūs esat izturējis pirmo materiāla apguves līmeni. Tagad jums būs patstāvīgi jāizvēlas logaritmisko vienādojumu risināšanas metode, izmantojot visas savas zināšanas un iespējas.

Mācību elements #4.

Mērķis: konsolidēt logaritmisko nevienādību risinājumu, patstāvīgi izvēloties racionālu risinājuma metodi.

Uzdevumi patstāvīgam darbam 10 minūtes

Mācību elements #5.

Skolotāja norādījumi. Labi padarīts! Jūs esat apguvis otrās sarežģītības pakāpes vienādojumu risināšanu. Jūsu turpmākā darba mērķis ir pielietot savas zināšanas un prasmes sarežģītākās un nestandarta situācijās.

Uzdevumi patstāvīgam risinājumam:

Skolotāja norādījumi. Tas ir lieliski, ja esat pabeidzis visu uzdevumu. Labi padarīts!

Visas nodarbības vērtējums ir atkarīgs no punktu skaita, kas iegūts par visiem izglītības elementiem:

• ja N ≥ 20, tad jūs saņemat vērtējumu “5”,
• par 16 ≤ N ≤ 19 – rezultāts “4”,
• par 8 ≤ N ≤ 15 – vērtējums “3”,
• pie N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Novērtēšanas darbus iesniedziet skolotājam.

5. Mājas darbs: ja ieguvāt ne vairāk kā 15 punktus, piestrādājiet pie savām kļūdām (risinājumus var iegūt pie skolotāja), ja ieguvāt vairāk par 15 punktiem, izpildiet radošo uzdevumu par tēmu “Logaritmiskās nevienādības”.

Starp visu logaritmisko nevienādību dažādību atsevišķi tiek pētītas nevienādības ar mainīgu bāzi. Tos risina, izmantojot īpašu formulu, kuru nez kāpēc reti māca skolā:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

Izvēles rūtiņas “∨” vietā varat ievietot jebkuru nevienlīdzības zīmi: vairāk vai mazāk. Galvenais, lai abās nevienādībās zīmes būtu vienādas.

Tādā veidā mēs atbrīvojamies no logaritmiem un samazinām problēmu līdz racionālai nevienlīdzībai. Pēdējo ir daudz vieglāk atrisināt, taču, atmetot logaritmus, var parādīties papildu saknes. Lai tās nogrieztu, pietiek ar to, lai atrastu pieņemamo vērtību diapazonu. Ja esat aizmirsis logaritma ODZ, ļoti iesaku to atkārtot - skatiet sadaļu “Kas ir logaritms”.

Viss, kas saistīts ar pieļaujamo vērtību diapazonu, ir jāizraksta un jāatrisina atsevišķi:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Šīs četras nevienlīdzības veido sistēmu, un tās ir jāizpilda vienlaikus. Kad ir atrasts pieņemamo vērtību diapazons, atliek tikai to krustot ar racionālās nevienlīdzības risinājumu - un atbilde ir gatava.

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

Vispirms uzrakstīsim logaritma ODZ:

Pirmās divas nevienādības tiek izpildītas automātiski, bet pēdējā būs jāizraksta. Tā kā skaitļa kvadrāts ir nulle tad un tikai tad, ja pats skaitlis ir nulle, mums ir:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Izrādās, ka logaritma ODZ ir visi skaitļi, izņemot nulli: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Tagad mēs atrisinām galveno nevienlīdzību:

Mēs veicam pāreju no logaritmiskās nevienlīdzības uz racionālo. Sākotnējai nevienlīdzībai ir zīme “mazāks par”, kas nozīmē, ka iegūtajai nevienlīdzībai ir jābūt arī zīmei “mazāks par”. Mums ir:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 – x 2) x 2< 0;
(3–x) · (3 + x) · x 2< 0.

Šīs izteiksmes nulles ir: x = 3; x = –3; x = 0. Turklāt x = 0 ir otrās daudzkārtības sakne, kas nozīmē, ka, izejot tai cauri, funkcijas zīme nemainās. Mums ir:

Iegūstam x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Šis komplekts ir pilnībā ietverts logaritma ODZ, kas nozīmē, ka šī ir atbilde.

Logaritmisko nevienādību konvertēšana

Bieži vien sākotnējā nevienlīdzība atšķiras no iepriekš minētās. To var viegli labot, izmantojot standarta noteikumus darbam ar logaritmiem - skatiet sadaļu "Logaritmu pamatīpašības". Proti:

1. Jebkuru skaitli var attēlot kā logaritmu ar noteiktu bāzi;
2. Logaritmu ar vienādām bāzēm summu un starpību var aizstāt ar vienu logaritmu.

Atsevišķi vēlos atgādināt par pieņemamo vērtību diapazonu. Tā kā sākotnējā nevienādībā var būt vairāki logaritmi, ir jāatrod katra no tiem VA. Tādējādi vispārējā logaritmisko nevienādību risināšanas shēma ir šāda:

1. Atrodiet katra nevienādībā iekļautā logaritma VA;
2. Samaziniet nevienādību līdz standarta, izmantojot logaritmu saskaitīšanas un atņemšanas formulas;
3. Atrisiniet iegūto nevienādību, izmantojot iepriekš norādīto shēmu.

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

Atradīsim pirmā logaritma definīcijas domēnu (DO):

Mēs risinām, izmantojot intervāla metodi. Skaitītāja nulles atrašana:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Tad - saucēja nulles:

x - 1 = 0;
x = 1.

Uz koordinātu bultiņas atzīmējam nulles un zīmes:

Iegūstam x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Otrajam logaritmam būs tāda pati VA. Ja netici, vari pārbaudīt. Tagad mēs pārveidojam otro logaritmu tā, lai bāze būtu divi:

Kā redzat, trīs logaritma bāzē un priekšā ir samazināti. Mēs saņēmām divus logaritmus ar tādu pašu bāzi. Saskaitīsim tos:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Mēs ieguvām standarta logaritmisko nevienādību. Mēs atbrīvojamies no logaritmiem, izmantojot formulu. Tā kā sākotnējā nevienlīdzība satur zīmi “mazāks par”, iegūtajai racionālajai izteiksmei arī jābūt mazākai par nulli. Mums ir:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x – 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).

Mums ir divi komplekti:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Atbildes kandidāts: x ∈ (−1; 3).

Atliek šķērsot šīs kopas - mēs saņemam īsto atbildi:

Mūs interesē kopu krustpunkts, tāpēc mēs izvēlamies intervālus, kas ir iekrāsoti uz abām bultiņām. Iegūstam x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - visi punkti ir caurdurti.