Vai aritmētika ir sakārtotas skaitliskās secības veids, kuras īpašības tiek pētītas skolas algebras kursā. Šajā rakstā ir detalizēti aplūkots jautājums par to, kā atrast summu aritmētiskā progresija.

Kas tas par progresu?

Pirms pāriet pie jautājuma (kā atrast aritmētiskās progresijas summu), ir vērts saprast, par ko mēs runājam.

Jebkuru reālu skaitļu secību, kas iegūta, saskaitot (atņemot) kādu vērtību no katra iepriekšējā skaitļa, sauc par algebrisko (aritmētisko) progresiju. Šī definīcija, tulkojot matemātiskā valodā, izpaužas šādā formā:

Šeit es - sērijas numurs sērijas elements a i . Tādējādi, zinot tikai vienu sākuma numuru, jūs varat viegli atjaunot visu sēriju. Parametru d formulā sauc par progresijas starpību.

Var viegli parādīt, ka aplūkojamai skaitļu sērijai ir spēkā šāda vienādība:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Tas ir, lai secībā atrastu n-tā elementa vērtību, starpība d jāpievieno pirmajam elementam a 1 n-1 reizi.

Kāda ir aritmētiskās progresijas summa: formula

Pirms norādītās summas formulas došanas ir vērts apsvērt vienkāršu īpašs gadījums. Tiek dota progresija naturālie skaitļi no 1 līdz 10, jums jāatrod to summa. Tā kā progresijā (10) ir maz terminu, problēmu ir iespējams atrisināt uzreiz, tas ir, summēt visus elementus secībā.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Ir vērts apsvērt vienu interesantu lietu: tā kā katrs termins atšķiras no nākamā ar tādu pašu vērtību d = 1, tad pirmā summēšana pa pāriem ar desmito, otro ar devīto un tā tālāk dos tādu pašu rezultātu. Tiešām:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kā redzat, šīs summas ir tikai 5, tas ir, tieši divas reizes mazāk nekā sērijas elementu skaits. Pēc tam, reizinot summu skaitu (5) ar katras summas rezultātu (11), jūs iegūsit pirmajā piemērā iegūto rezultātu.

Ja mēs vispārinām šos argumentus, mēs varam uzrakstīt šādu izteiksmi:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Šī izteiksme parāda, ka nemaz nav nepieciešams summēt visus elementus pēc kārtas, pietiek zināt pirmā a 1 un pēdējā a n vērtību, kā arī kopējais skaits n termini.

Tiek uzskatīts, ka Gauss bija pirmais, kas domāja par šo vienlīdzību, kad viņš meklēja risinājumu konkrētai problēmai. skolas skolotājs uzdevums: summējiet pirmos 100 veselos skaitļus.

Elementu summa no m līdz n: formula

Iepriekšējā rindkopā dotā formula atbild uz jautājumu, kā atrast aritmētiskās progresijas summu (pirmos elementus), taču bieži vien uzdevumos ir nepieciešams summēt skaitļu virkni progresijas vidū. Kā to izdarīt?

Vienkāršākais veids, kā atbildēt uz šo jautājumu, ir, ņemot vērā šādu piemēru: lai būtu nepieciešams atrast terminu summu no m-tā līdz n-tajai. Lai atrisinātu problēmu, jums jāiesniedz dotais progresijas segments no m līdz n jaunas skaitļu sērijas veidā. Tādā m-tā pārstāvniecība vārds a m būs pirmais, un a n tiks numurēts ar n-(m-1). Šajā gadījumā, piemērojot summas standarta formulu, tiks iegūta šāda izteiksme:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Formulu izmantošanas piemērs

Zinot, kā atrast aritmētiskās progresijas summu, ir vērts apsvērt vienkāršu iepriekš minēto formulu izmantošanas piemēru.

Zemāk ir dota numuru secība, jums vajadzētu atrast tā terminu summu, sākot no 5. līdz 12. datumam:

Dotie skaitļi norāda, ka starpība d ir vienāda ar 3. Izmantojot n-tā elementa izteiksmi, var atrast progresijas 5. un 12. vārda vērtības. Izrādās:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Zinot skaitļu vērtības dotā galos algebriskā progresija, kā arī zinot, kādus skaitļus rindā tie aizņem, varat izmantot iepriekšējā punktā iegūtās summas formulu. Izrādīsies:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Ir vērts atzīmēt, ka šo vērtību var iegūt citādi: vispirms atrodiet pirmo 12 elementu summu, izmantojot standarta formulu, pēc tam aprēķiniet pirmo 4 elementu summu, izmantojot to pašu formulu, pēc tam atņemiet otro no pirmās summas.

Pirms sākam pieņemt lēmumu aritmētiskās progresijas problēmas, apskatīsim, kas ir skaitļu secība, jo aritmētiskā progresija ir īpašs skaitļu virknes gadījums.

Ciparu secība ir skaitļu kopa, kuras katram elementam ir savs sērijas numurs. Šīs kopas elementus sauc par secības dalībniekiem. Secības elementa sērijas numuru norāda indekss:

Pirmais secības elements;

Secības piektais elements;

- secības “n-tais” elements, t.i. elements "stāv rindā" ar numuru n.

Pastāv saistība starp secības elementa vērtību un tā kārtas numuru. Tāpēc secību varam uzskatīt par funkciju, kuras arguments ir secības elementa kārtas numurs. Citiem vārdiem sakot, mēs to varam teikt secība ir dabiskā argumenta funkcija:

Secību var iestatīt trīs veidos:

1 . Secību var norādīt, izmantojot tabulu.Šajā gadījumā mēs vienkārši iestatām katra secības dalībnieka vērtību.

Piemēram, Kāds nolēma uzņemties personīgo laika pārvaldību un sākumā saskaitīt, cik daudz laika viņš nedēļas laikā pavada vietnē VKontakte. Ierakstot laiku tabulā, viņš saņems secību, kas sastāv no septiņiem elementiem:

Tabulas pirmajā rindā ir norādīts nedēļas dienas numurs, otrajā - laiks minūtēs. Mēs redzam, ka, tas ir, pirmdien Kāds VKontakte pavadīja 125 minūtes, tas ir, ceturtdien - 248 minūtes, un tas ir, piektdien tikai 15.

2 . Secību var norādīt, izmantojot n-tā termina formulu.

Šajā gadījumā secības elementa vērtības atkarība no tā skaita tiek izteikta tieši formulas veidā.

Piemēram, ja , tad

Lai atrastu secības elementa vērtību ar noteiktu skaitli, elementa numuru aizstājam n-tā vārda formulā.

Mēs darām to pašu, ja mums ir jāatrod funkcijas vērtība, ja argumenta vērtība ir zināma. Argumenta vērtību aizstājam funkcijas vienādojumā:

Ja, piemēram, , Tas

Ļaujiet man vēlreiz atzīmēt, ka secībā, atšķirībā no patvaļīgas skaitliskās funkcijas, arguments var būt tikai naturāls skaitlis.

3 . Secību var norādīt, izmantojot formulu, kas izsaka secības locekļa numura n vērtības atkarību no iepriekšējo dalībnieku vērtībām. Šajā gadījumā mums nepietiek tikai ar secības locekļa numuru, lai atrastu tā vērtību. Mums jānorāda secības pirmais dalībnieks vai daži pirmie dalībnieki.

Piemēram, apsveriet secību ,

Mēs varam atrast secības dalībnieku vērtības secībā, sākot no trešā:

Tas ir, katru reizi, lai atrastu secības n-tā vārda vērtību, mēs atgriežamies pie iepriekšējiem diviem. Šo secības noteikšanas metodi sauc atkārtojas, no latīņu vārda recurro- Atgriezies.

Tagad mēs varam definēt aritmētisko progresiju. Aritmētiskā progresija ir vienkāršs skaitļu virknes īpašs gadījums.

Aritmētiskā progresija ir skaitliska secība, kuras katrs dalībnieks, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo, kas pievienots tam pašam skaitlim.

Numurs tiek izsaukts aritmētiskās progresijas atšķirība. Aritmētiskās progresijas starpība var būt pozitīva, negatīva vai vienāda ar nulli.

If title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} pieaug.

Piemēram, 2; 5; 8; vienpadsmit;...

Ja , tad katrs aritmētiskās progresijas loceklis ir mazāks par iepriekšējo, un progresija ir samazinās.

Piemēram, 2; -1; -4; -7;...

Ja , tad visi progresijas nosacījumi ir vienādi ar vienu un to pašu skaitli, un progresija ir stacionārs.

Piemēram, 2;2;2;2;...

Aritmētiskās progresijas galvenā īpašība:

Apskatīsim attēlu.

Mēs to redzam

, un tajā pašā laikā

Saskaitot šīs divas vienādības, mēs iegūstam:

.

Sadalīsim abas vienādības puses ar 2:

Tātad katrs aritmētiskās progresijas loceklis, sākot no otrā, ir vienāds ar divu blakus esošo divu vidējo aritmētisko:

Turklāt kopš

, un tajā pašā laikā

, Tas

, un tāpēc

Katrs aritmētiskās progresijas termins, kas sākas ar title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Termina formula.

Mēs redzam, ka aritmētiskās progresijas nosacījumi apmierina šādas attiecības:

un visbeidzot

Mēs saņēmām n-tā termina formula.

SVARĪGS! Jebkuru aritmētiskās progresijas locekli var izteikt ar un. Zinot pirmo terminu un aritmētiskās progresijas atšķirību, varat atrast jebkuru no tā terminiem.

Aritmētiskās progresijas n vārdu summa.

Patvaļīgā aritmētiskā progresijā terminu summas, kas atrodas vienādā attālumā no galējiem, ir vienādas viena ar otru:

Apsveriet aritmētisko progresiju ar n vārdiem. Ļaujiet šīs progresijas n punktu summai būt vienādai ar .

Vispirms sakārtosim progresēšanas nosacījumus skaitļu augošā secībā un pēc tam dilstošā secībā:

Saskaitīsim pa pāriem:

Summa katrā iekavā ir , pāru skaits ir n.

Mēs iegūstam:

Tātad, aritmētiskās progresijas n vārdu summu var atrast, izmantojot formulas:

Apsvērsim aritmētiskās progresijas uzdevumu risināšana.

1 . Secību nosaka ar n-tā vārda formulu: . Pierādiet, ka šī secība ir aritmētiskā progresija.

Pierādīsim, ka starpība starp diviem blakus esošajiem secības vārdiem ir vienāda ar vienu un to pašu skaitli.

Mēs atklājām, ka atšķirība starp diviem blakus esošajiem secības locekļiem nav atkarīga no to skaita un ir konstante. Tāpēc pēc definīcijas šī secība ir aritmētiskā progresija.

2 . Dota aritmētiskā progresija -31; -27;...

a) Atrodi 31 progresijas biedru.

b) Nosakiet, vai skaitlis 41 ir iekļauts šajā progresijā.

A) Mēs to redzam;

Pierakstīsim mūsu progresijas n-tā termiņa formulu.

Vispār

Mūsu gadījumā , Tāpēc

Mēs iegūstam:

b) Pieņemsim, ka skaitlis 41 ir secības dalībnieks. Atradīsim viņa numuru. Lai to izdarītu, atrisināsim vienādojumu:

Mēs saņēmām n naturālo vērtību, tāpēc, jā, skaitlis 41 ir progresijas dalībnieks. Ja atrastā n vērtība nebūtu naturāls skaitlis, tad mēs atbildētu, ka skaitlis 41 NAV progresijas dalībnieks.

3 . a) Starp skaitļiem 2 un 8 ievietojiet 4 skaitļus, lai tie kopā ar šiem skaitļiem veidotu aritmētisko progresiju.

b) Atrodiet iegūtās progresijas vārdu summu.

A) Starp skaitļiem 2 un 8 ievietosim četrus skaitļus:

Mēs saņēmām aritmētisko progresiju ar 6 vārdiem.

Noskaidrosim šīs progresijas atšķirību. Lai to izdarītu, mēs izmantojam n-tā termina formulu:

Tagad ir viegli atrast skaitļu nozīmi:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

b)

Atbilde: a) jā; b) 30

4. Kravas automašīna pārvadā 240 tonnu smagu šķembu kravu, katru dienu palielinot transportēšanas ātrumu par tikpat tonnu. Zināms, ka pirmajā dienā tika transportētas 2 tonnas šķembu. Nosakiet, cik tonnu šķembu tika transportēts divpadsmitajā dienā, ja viss darbs tika pabeigts 15 dienās.

Atbilstoši problēmas stāvoklim šķembu daudzums, ko kravas automašīna pārvadā, katru dienu palielinās par tikpat daudz. Tāpēc mums ir darīšana ar aritmētisko progresiju.

Formulēsim šo problēmu aritmētiskās progresijas izteiksmē.

Pirmās dienas laikā tika transportētas 2 tonnas šķembu: a_1=2.

Visi darbi tika pabeigti 15 dienu laikā: .

Kravas automašīna pārvadā šķembu partiju, kas sver 240 tonnas:

Mums jāatrod.

Pirmkārt, noskaidrosim progresijas atšķirību. Izmantosim progresijas n vārdu summas formulu.

Mūsu gadījumā:

Jā, jā: aritmētiskā progresija tev nav rotaļlieta :)

Nu, draugi, ja jūs lasāt šo tekstu, tad iekšējie cap-evidence man saka, ka jūs vēl nezināt, kas ir aritmētiskā progresija, bet jūs patiešām (nē, tā: TŪLĪGI!) vēlaties zināt. Tāpēc nemocīšu jūs ar gariem ievadiem un ķeršos pie lietas.

Pirmkārt, pāris piemēri. Apskatīsim vairākas skaitļu kopas:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Kas kopīgs visiem šiem komplektiem? No pirmā acu uzmetiena nekas. Bet patiesībā ir kaut kas. Proti: katrs nākamais elements atšķiras no iepriekšējā ar tādu pašu numuru.

Spriediet paši. Pirmajā komplektā ir vienkārši secīgi skaitļi, katrs nākamais ir par vienu vairāk nekā iepriekšējais. Otrajā gadījumā starpība starp blakus esošajiem skaitļiem jau ir pieci, taču šī atšķirība joprojām ir nemainīga. Trešajā gadījumā saknes ir pavisam. Tomēr $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ un $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, t.i. un šajā gadījumā katrs nākamais elements vienkārši palielinās par $\sqrt(2)$ (un nebaidieties, ka šis skaitlis ir neracionāls).

Tātad: visas šādas secības sauc par aritmētisko progresiju. Sniegsim stingru definīciju:

Definīcija. Skaitļu secību, kurā katrs nākamais atšķiras no iepriekšējā tieši ar tādu pašu summu, sauc par aritmētisko progresiju. Pati summa, par kādu skaitļi atšķiras, tiek saukta par progresijas starpību un visbiežāk tiek apzīmēta ar burtu $d$.

Apzīmējums: $\left(((a)_(n)) \right)$ ir pati progresija, $d$ ir tās atšķirība.

Un tikai dažas svarīgas piezīmes. Pirmkārt, tiek ņemta vērā tikai progresēšana pasūtīts ciparu secība: tos ir atļauts lasīt stingri tādā secībā, kādā tie ir rakstīti - un nekas cits. Numurus nevar pārkārtot vai apmainīt.

Otrkārt, pati secība var būt gan ierobežota, gan bezgalīga. Piemēram, kopa (1; 2; 3) acīmredzami ir ierobežota aritmētiskā progresija. Bet, ja jūs kaut ko pierakstāt garā (1; 2; 3; 4; ...) - tas jau ir bezgalīga progresija. Elipse pēc četrinieka, šķiet, norāda uz to, ka ir vēl daži skaitļi. Bezgala daudz, piemēram. :)

Es arī vēlos atzīmēt, ka progresēšana var palielināties vai samazināties. Mēs jau esam redzējuši pieaugošus - tas pats komplekts (1; 2; 3; 4; ...). Tālāk ir sniegti progresēšanas samazināšanās piemēri:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Labi, labi: pēdējais piemērs var šķist pārāk sarežģīts. Bet pārējo, manuprāt, jūs saprotat. Tāpēc mēs ieviešam jaunas definīcijas:

Definīcija. Aritmētisko progresiju sauc:

1. palielinās, ja katrs nākamais elements ir lielāks par iepriekšējo;
2. samazinās, ja, gluži pretēji, katrs nākamais elements ir mazāks par iepriekšējo.

Turklāt ir tā sauktās “stacionārās” secības - tās sastāv no viena un tā paša atkārtojoša skaitļa. Piemēram, (3; 3; 3; ...).

Atliek tikai viens jautājums: kā atšķirt pieaugošu progresu no samazinoša? Par laimi, šeit viss ir atkarīgs tikai no skaitļa $d$ zīmes, t.i. progresēšanas atšķirības:

1. Ja $d \gt 0$, tad progresija palielinās;
2. Ja $d \lt 0$, tad progresija acīmredzami samazinās;
3. Visbeidzot, ir gadījums $d=0$ - šajā gadījumā visa progresija tiek reducēta līdz stacionārai identisku skaitļu secībai: (1; 1; 1; 1; ...) utt.

Mēģināsim aprēķināt starpību $d$ trim iepriekš norādītajām lejupejošām progresijām. Lai to izdarītu, pietiek paņemt divus blakus esošos elementus (piemēram, pirmo un otro) un atņemt kreisajā pusē esošo skaitli no skaitļa labajā pusē. Tas izskatīsies šādi:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Kā redzam, visos trīs gadījumos starpība faktiski izrādījās negatīva. Un tagad, kad esam vairāk vai mazāk izdomājuši definīcijas, ir pienācis laiks izdomāt, kā tiek aprakstītas progresijas un kādas īpašības tām piemīt.

Progresēšanas termini un atkārtošanās formula

Tā kā mūsu secību elementus nevar apmainīt, tos var numurēt:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \pa labi\)\]

Atsevišķos šīs kopas elementus sauc par progresijas dalībniekiem. Tie ir apzīmēti ar numuru: pirmais dalībnieks, otrais dalībnieks utt.

Turklāt, kā mēs jau zinām, blakus esošie progresijas termini ir saistīti ar formulu:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Labā bultiņa ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Īsāk sakot, lai atrastu progresijas $n$. daļu, jums jāzina $n-1$. termins un atšķirība $d$. Šo formulu sauc par atkārtotu, jo ar tās palīdzību jūs varat atrast jebkuru skaitli, tikai zinot iepriekšējo (un faktiski visus iepriekšējos). Tas ir ļoti neērti, tāpēc ir viltīgāka formula, kas visus aprēķinus samazina līdz pirmajam terminam un starpībai:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Jūs, iespējams, jau esat saskāries ar šo formulu. Viņiem patīk to dot visādās uzziņu grāmatās un risinājumu grāmatās. Un jebkurā saprātīgā matemātikas mācību grāmatā tas ir viens no pirmajiem.

Tomēr es iesaku jums nedaudz trenēties.

Uzdevums Nr.1. Pierakstiet pirmos trīs aritmētiskās progresijas vārdus $\left(((a)_(n)) \right)$, ja $((a)_(1))=8,d=-5$.

Risinājums. Tātad, mēs zinām pirmo terminu $((a)_(1))=8$ un progresijas starpību $d=-5$. Izmantosim tikko doto formulu un aizstāsim $n=1$, $n=2$ un $n=3$:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(līdzināt)\]

Atbilde: (8; 3; -2)

Tas ir viss! Lūdzu, ņemiet vērā: mūsu attīstība samazinās.

Protams, $n=1$ nevarēja aizstāt - pirmais termins mums jau ir zināms. Tomēr, aizstājot vienotību, mēs pārliecinājāmies, ka pat pirmajā termiņā mūsu formula darbojas. Citos gadījumos viss nonāca līdz banālai aritmētikai.

Uzdevums Nr.2. Pierakstiet pirmos trīs aritmētiskās progresijas vārdus, ja tās septītais loceklis ir vienāds ar –40 un septiņpadsmitais ir vienāds ar –50.

Risinājums. Uzrakstīsim problēmas nosacījumu pazīstamos terminos:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(līdzināt) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(līdzināt) \pa labi.\]

\[\left\( \begin(līdzināt) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(līdzināt) \pa labi.\]

Es ievietoju sistēmas zīmi, jo šīs prasības ir jāizpilda vienlaikus. Tagad ņemsim vērā, ka, ja mēs atņemam pirmo no otrā vienādojuma (mums ir tiesības to darīt, jo mums ir sistēma), mēs iegūstam šo:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(līdzināt)\]

Tik vienkārši ir atrast progresijas atšķirību! Atliek tikai aizstāt atrasto skaitli jebkurā no sistēmas vienādojumiem. Piemēram, pirmajā:

\[\begin(matrica) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrica)\]

Tagad, zinot pirmo terminu un atšķirību, atliek atrast otro un trešo terminu:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(līdzināt)\]

Gatavs! Problēma ir atrisināta.

Atbilde: (-34; -35; -36)

Ievērojiet interesanto progresijas īpašību, ko mēs atklājām: ja ņemam $n$th un $m$th un atņemam tos vienu no otra, mēs iegūstam progresijas starpību, kas reizināta ar $n-m$ skaitli:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Vienkārši, bet ļoti noderīgs īpašums, kas noteikti jāzina – ar tās palīdzību var ievērojami paātrināt daudzu progresēšanas problēmu risināšanu. Šeit ir skaidrs piemērs tam:

Uzdevums Nr.3. Aritmētiskās progresijas piektais loceklis ir 8,4, bet desmitais ir 14,4. Atrodiet šīs progresijas piecpadsmito termiņu.

Risinājums. Tā kā $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ un mums ir jāatrod $((a)_(15))$, mēs atzīmējam sekojošo:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(līdzināt)\]

Bet pēc nosacījuma $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, tātad $5d=6$, no kā mums ir:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(līdzināt)\]

Atbilde: 20.4

Tas ir viss! Mums nebija jāveido vienādojumu sistēmas un jāaprēķina pirmais termins un starpība - viss tika atrisināts tikai pāris rindās.

Tagad apskatīsim cita veida problēmas – progresa negatīvo un pozitīvo terminu meklēšanu. Nav noslēpums, ka, ja progresija palielinās un tās pirmais termiņš ir negatīvs, tad agri vai vēlu tajā parādīsies pozitīvi termini. Un otrādi: progresēšanas samazināšanās nosacījumi agrāk vai vēlāk kļūs negatīvi.

Tajā pašā laikā, secīgi izejot cauri elementiem, šo brīdi ne vienmēr ir iespējams atrast “uz priekšu”. Bieži uzdevumi tiek rakstīti tā, ka, nezinot formulas, aprēķini aizņemtu vairākas papīra lapas — mēs vienkārši aizmigtu, kamēr atrodam atbildi. Tāpēc mēģināsim šīs problēmas atrisināt ātrāk.

Uzdevums Nr.4. Cik negatīvu vārdu ir aritmētiskajā progresijā −38,5; −35,8; ...?

Risinājums. Tātad, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, no kurienes mēs uzreiz atrodam atšķirību:

Ņemiet vērā, ka atšķirība ir pozitīva, tāpēc progresēšana palielinās. Pirmais termins ir negatīvs, tāpēc patiešām kādā brīdī mēs paklupsim uz pozitīviem skaitļiem. Jautājums tikai, kad tas notiks.

Mēģināsim noskaidrot, cik ilgi (t.i., līdz kādam naturālajam skaitlim $n$) saglabājas terminu negatīvisms:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(n)) \lt 0\labā bultiņa ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \pa labi. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Labā bultiņa ((n)_(\max ))=15. \\ \end(līdzināt)\]

Pēdējā rindiņa prasa zināmu skaidrojumu. Tātad mēs zinām, ka $n \lt 15\frac(7)(27)$. No otras puses, mūs apmierina tikai veselas skaitļa vērtības (turklāt: $n\in \mathbb(N)$), tāpēc lielākais pieļaujamais skaitlis ir tieši $n=15$ un nekādā gadījumā 16. .

Uzdevums Nr.5. Aritmētiskajā progresijā $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Atrodiet šīs progresijas pirmā pozitīvā termiņa skaitli.

Šī būtu tieši tāda pati problēma kā iepriekšējā, taču mēs nezinām $((a)_(1))$. Bet blakus termini ir zināmi: $((a)_(5))$ un $((a)_(6))$, tāpēc mēs varam viegli atrast progresijas atšķirību:

Turklāt mēģināsim izteikt piekto terminu caur pirmo un starpību, izmantojot standarta formulu:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(līdzināt)\]

Tagad mēs turpinām pēc analoģijas ar iepriekšējo uzdevumu. Noskaidrosim, kurā mūsu secības punktā parādīsies pozitīvi skaitļi:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Labā bultiņa ((n)_(\min ))=56. \\ \end(līdzināt)\]

Šīs nevienlīdzības minimālais veselais skaitļa risinājums ir skaitlis 56.

Lūdzu, ņemiet vērā: pēdējā uzdevumā tas viss beidzās stingra nevienlīdzība, tāpēc opcija $n=55$ mums nederēs.

Tagad, kad esam iemācījušies atrisināt vienkāršas problēmas, pāriesim pie sarežģītākām. Bet vispirms izpētīsim vēl vienu ļoti noderīgu aritmētiskās progresijas īpašību, kas nākotnē ietaupīs mums daudz laika un nevienlīdzīgas šūnas. :)

Vidējais aritmētiskais un vienādi atkāpi

Apskatīsim vairākus secīgus pieaugošās aritmētiskās progresijas $\left(((a)_(n)) \right)$ nosacījumus. Mēģināsim tos atzīmēt skaitļu rindā:

Aritmētiskās progresijas noteikumi uz skaitļu taisnes

Es īpaši atzīmēju patvaļīgus terminus $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, nevis kādus $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ utt. Jo noteikums, par kuru es jums pastāstīšu tagad, attiecas uz visiem “segmentiem”.

Un noteikums ir ļoti vienkāršs. Atcerēsimies atkārtoto formulu un pierakstīsim to visiem atzīmētajiem terminiem:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(līdzināt)\]

Tomēr šīs vienlīdzības var pārrakstīt atšķirīgi:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(līdzināt)\]

Nu un ko? Un tas, ka termini $((a)_(n-1))$ un $((a)_(n+1))$ atrodas vienādā attālumā no $((a)_(n)) $ . Un šis attālums ir vienāds ar $d$. To pašu var teikt par jēdzieniem $((a)_(n-2))$ un $((a)_(n+2))$ - tie arī tiek noņemti no $((a)_(n) )$ tādā pašā attālumā, kas vienāds ar $2d$. Mēs varam turpināt līdz bezgalībai, bet nozīmi labi ilustrē attēls

Progresēšanas nosacījumi atrodas vienādā attālumā no centra

Ko tas mums nozīmē? Tas nozīmē, ka $((a)_(n))$ var atrast, ja ir zināmi blakus esošie skaitļi:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Mēs esam ieguvuši lielisku apgalvojumu: katrs aritmētiskās progresijas vārds ir vienāds ar blakus esošo vārdu vidējo aritmētisko! Turklāt: mēs varam atkāpties no mūsu $((a)_(n))$ pa kreisi un pa labi nevis par vienu soli, bet par $k$ soļiem - un formula joprojām būs pareiza:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Tie. mēs varam viegli atrast $((a)_(150))$, ja zinām $((a)_(100))$ un $((a)_(200))$, jo $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. No pirmā acu uzmetiena var šķist, ka šis fakts mums neko noderīgu nedod. Tomēr praksē daudzas problēmas ir īpaši pielāgotas, lai izmantotu vidējo aritmētisko. Paskaties:

Uzdevums Nr.6. Atrodiet visas $x$ vērtības, kurām skaitļi $-6((x)^(2))$, $x+1$ un $14+4((x)^(2))$ ir secīgi aritmētiskā progresija (norādītajā secībā).

Risinājums. Tā kā šie skaitļi ir progresijas locekļi, tiem ir izpildīts vidējais aritmētiskais nosacījums: centrālo elementu $x+1$ var izteikt ar blakus elementiem:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(līdzināt)\]

Tas izrādījās klasisks kvadrātvienādojums. Tās saknes: $x=2$ un $x=-3$ ir atbildes.

Atbilde: −3; 2.

Uzdevums Nr.7. Atrodiet $$ vērtības, kurām skaitļi $-1;4-3;(()^(2))+1$ veido aritmētisko progresiju (šajā secībā).

Risinājums. Vēlreiz izteiksim vidējo terminu, izmantojot blakus esošo terminu vidējo aritmētisko:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(līdzināt)\]

Atkal kvadrātvienādojums. Un atkal ir divas saknes: $x=6$ un $x=1$.

Atbilde: 1; 6.

Ja problēmas risināšanas procesā jūs izdomājat dažus brutālus skaitļus vai neesat pilnībā pārliecināts par atrasto atbilžu pareizību, tad ir brīnišķīgs paņēmiens, kas ļauj pārbaudīt: vai mēs esam pareizi atrisinājuši problēmu?

Teiksim, uzdevumā Nr. 6 saņēmām atbildes −3 un 2. Kā mēs varam pārbaudīt, vai šīs atbildes ir pareizas? Vienkārši pievienosim tos sākotnējā stāvoklī un redzēsim, kas notiks. Atgādināšu, ka mums ir trīs skaitļi ($-6(()^(2))$, $+1$ un $14+4(()^(2))$), kuriem jāveido aritmētiskā progresija. Aizstāsim $x=-3$:

\[\begin(līdzināt) & x=-3\labā bultiņa \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(līdzināt)\]

Mēs saņēmām skaitļus -54; −2; 50, kas atšķiras ar 52, neapšaubāmi ir aritmētiska progresija. Tas pats notiek ar $x=2$:

\[\begin(līdzināt) & x=2\labā bultiņa \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(līdzināt)\]

Atkal progresija, bet ar starpību 27. Tādējādi problēma tika atrisināta pareizi. Tie, kas vēlas, var paši pārbaudīt otro problēmu, bet es teikšu uzreiz: arī tur viss ir pareizi.

Vispār, risinot pēdējās problēmas, saskārāmies ar citu interesants fakts, kas arī jāatceras:

Ja trīs skaitļi ir tādi, ka otrais ir vidējais vispirms aritmētika un pēdējais, tad šie skaitļi veido aritmētisko progresiju.

Nākotnē šī apgalvojuma izpratne ļaus mums burtiski “konstruēt” nepieciešamos virzienus, pamatojoties uz problēmas apstākļiem. Taču, pirms ķeramies pie šādas “būvniecības”, jāpievērš uzmanība vēl vienam faktam, kas tieši izriet no jau apspriestā.

Elementu grupēšana un summēšana

Atkal atgriezīsimies pie skaitļu ass. Atzīmēsim tur vairākus progresijas dalībniekus, starp kuriem, iespējams. ir daudzu citu dalībnieku vērts:

Uz skaitļu līnijas ir atzīmēti 6 elementi

Mēģināsim izteikt “kreiso asti” caur $((a)_(n))$ un $d$, bet “labo asti” caur $((a)_(k))$ un $d$. Tas ir ļoti vienkārši:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(līdzināt)\]

Tagad ņemiet vērā, ka šādas summas ir vienādas:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(līdzināt)\]

Vienkārši sakot, ja mēs par sākumu uzskatām divus progresijas elementus, kas kopā ir vienādi ar kādu skaitli $S$, un tad sākam pāriet no šiem elementiem uz pretējās puses(pret otru vai otrādi, lai attālinātos), tad elementu summas, uz kurām mēs paklupsim, arī būs vienādas$S$. Visskaidrāk to var attēlot grafiski:

Vienādas atkāpes dod vienādas summas

Šī fakta izpratne ļaus mums atrisināt principiāli augstākas sarežģītības problēmas nekā tās, kuras mēs aplūkojām iepriekš. Piemēram, šie:

Uzdevums Nr.8. Nosakiet atšķirību aritmētiskajai progresijai, kurā pirmais loceklis ir 66, bet otrā un divpadsmitā vārda reizinājums ir mazākais iespējamais.

Risinājums. Pierakstīsim visu, ko zinām:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(līdzināt)\]

Tātad, mēs nezinām progresijas starpību $d$. Faktiski viss risinājums tiks veidots, pamatojoties uz atšķirību, jo produktu $((a)_(2))\cdot ((a)_(12)) $ var pārrakstīt šādi:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(līdzināt)\]

Tiem, kas atrodas tvertnē: es no otrās kronšteina izņēmu kopējo reizinātāju 11. Tādējādi vēlamais reizinājums ir kvadrātfunkcija attiecībā pret mainīgo $d$. Tāpēc apsveriet funkciju $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - tās grafiks būs parabola ar zariem uz augšu, jo ja mēs paplašinām iekavas, mēs iegūstam:

\[\begin(līdzināt) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(līdzināt)\]

Kā redzat, augstākā termiņa koeficients ir 11 - tas ir pozitīvs skaitlis, tāpēc mums patiešām ir darīšana ar parabolu ar augšupvērstiem zariem:

grafiks kvadrātiskā funkcija- parabola

Lūdzu, ņemiet vērā: šī parabola iegūst minimālo vērtību tās virsotnē ar abscisu $((d)_(0))$. Protams, mēs varam aprēķināt šo abscisu, izmantojot standarta shēmu (ir formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), taču daudz saprātīgāk būtu atzīmēt ka vēlamā virsotne atrodas uz parabolas ass simetrijas, tāpēc punkts $((d)_(0))$ atrodas vienādā attālumā no vienādojuma $f\left(d \right)=0$ saknēm:

\[\begin(līdzināt) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(līdzināt)\]

Tāpēc es īpaši nesteidzos atvērt kronšteinus: to sākotnējā formā saknes bija ļoti, ļoti viegli atrast. Tāpēc abscisa ir vienāda ar vidējo aritmētiskie skaitļi–66 un –6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Ko mums dod atklātais skaitlis? Ar to ņem nepieciešamo produktu mazākā vērtība(starp citu, mēs nekad neskaitījām $((y)_(\min ))$ - tas no mums netiek prasīts). Tajā pašā laikā šis skaitlis ir sākotnējās progresijas starpība, t.i. atradām atbildi. :)

Atbilde: −36

Uzdevums Nr.9. Starp skaitļiem $-\frac(1)(2)$ un $-\frac(1)(6)$ ievietojiet trīs skaitļus, lai kopā ar šiem skaitļiem tie veidotu aritmētisko progresiju.

Risinājums. Būtībā mums ir jāizveido piecu skaitļu secība ar jau zināmu pirmo un pēdējo numuru. Apzīmēsim trūkstošos skaitļus ar mainīgajiem $x$, $y$ un $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Ņemiet vērā, ka skaitlis $y$ ir mūsu secības “vidējais” — tas atrodas vienādā attālumā no skaitļiem $x$ un $z$, kā arī no skaitļiem $-\frac(1)(2)$ un $-\frac. (1) (6) $. Un, ja mēs pašlaik nevaram iegūt $y$ no skaitļiem $x$ un $z$, tad situācija ir citāda ar progresijas galiem. Atcerēsimies vidējo aritmētisko:

Tagad, zinot $y$, mēs atradīsim atlikušos skaitļus. Ņemiet vērā, ka $x$ atrodas starp skaitļiem $-\frac(1)(2)$ un $y=-\frac(1)(3)$, ko tikko atradām. Tāpēc

Izmantojot līdzīgu argumentāciju, mēs atrodam atlikušo skaitli:

Gatavs! Mēs atradām visus trīs skaitļus. Atbildē ierakstīsim tos tādā secībā, kādā tie jāievieto starp oriģinālajiem cipariem.

Atbilde: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Uzdevums Nr.10. Starp skaitļiem 2 un 42 ievietojiet vairākus skaitļus, kas kopā ar šiem skaitļiem veido aritmētisko progresiju, ja zināt, ka pirmā, otrā un pēdējā ievietoto skaitļu summa ir 56.

Risinājums. Vēl sarežģītāka problēma, kas tomēr tiek atrisināta pēc tādas pašas shēmas kā iepriekšējās - caur vidējo aritmētisko. Problēma ir tā, ka mēs precīzi nezinām, cik skaitļu ir jāievieto. Tāpēc pieņemsim skaidrības labad, ka pēc visa ievietošanas būs tieši $n$ skaitļi, un pirmais no tiem ir 2, bet pēdējais ir 42. Šajā gadījumā nepieciešamo aritmētisko progresiju var attēlot formā:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \labais\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Tomēr ņemiet vērā, ka skaitļi $((a)_(2))$ un $((a)_(n-1))$ tiek iegūti no skaitļiem 2 un 42 malās pa vienu soli viens pret otru, t.i. uz secības centru. Un tas nozīmē to

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Bet tad iepriekš uzrakstīto izteiksmi var pārrakstīt šādi:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(līdzināt)\]

Zinot $((a)_(3))$ un $((a)_(1))$, mēs varam viegli atrast progresijas atšķirību:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Labā bultiņa d=5. \\ \end(līdzināt)\]

Atliek tikai atrast atlikušos terminus:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(līdzināt)\]

Līdz ar to jau 9. solī nonāksim pie virknes kreisā gala - skaitļa 42. Kopumā bija jāievieto tikai 7 skaitļi: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Atbilde: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Vārdu problēmas ar progresēšanu

Noslēgumā es gribētu apsvērt pāris nosacīti vienkāršus uzdevumus. Nu, tik vienkārši: lielākajai daļai skolēnu, kuri mācās matemātiku skolā un nav izlasījuši iepriekš rakstīto, šīs problēmas var šķist grūtas. Tomēr šie ir problēmu veidi, kas parādās OGE un vienotajā valsts eksāmenā matemātikā, tāpēc iesaku ar tiem iepazīties.

Uzdevums Nr.11. Komanda janvārī saražoja 62 detaļas un katrā nākamajā mēnesī par 14 daļām vairāk nekā iepriekšējā mēnesī. Cik detaļu komanda saražoja novembrī?

Risinājums. Acīmredzot pa mēnešiem uzskaitīto daļu skaits atspoguļos pieaugošu aritmētisko progresiju. Turklāt:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(līdzināt)\]

Novembris ir gada 11. mēnesis, tāpēc mums jāatrod $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Līdz ar to novembrī tiks saražotas 202 detaļas.

12.uzdevums. Grāmatu iesiešanas darbnīca janvārī iesēja 216 grāmatas, un katrā nākamajā mēnesī iesēja par 4 grāmatām vairāk nekā iepriekšējā mēnesī. Cik grāmatu darbnīca iesēja decembrī?

Risinājums. Viss tas pats:

$\begin(līdzināt) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(līdzināt)$

Decembris ir gada pēdējais, 12. mēnesis, tāpēc mēs meklējam $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Šī ir atbilde – decembrī tiks iesietas 260 grāmatas.

Nu, ja esat izlasījis tik tālu, es steidzos jūs apsveikt: jūs esat veiksmīgi pabeidzis "jaunā cīnītāja kursu" aritmētiskajā progresijā. Jūs varat droši pāriet uz nākamo nodarbību, kurā mēs pētīsim progresa summas formulu, kā arī svarīgas un ļoti noderīgas sekas no tās.

Uzmanību!
Ir papildu
materiāli speciālajā 555. sadaļā.
Tiem, kas ir ļoti "ne ļoti..."
Un tiem, kas “ļoti…”)

Aritmētiskā progresija ir skaitļu virkne, kurā katrs skaitlis ir par tādu pašu summu lielāks (vai mazāks) par iepriekšējo.

Šī tēma bieži šķiet sarežģīta un nesaprotama. Burtu indeksi n-tais termiņš progresijas, progresijas atšķirības - tas viss ir kaut kā mulsinoši, jā... Noskaidrosim aritmētiskās progresijas nozīmi un viss uzreiz kļūs labāk.)

Aritmētiskās progresijas jēdziens.

Aritmētiskā progresija ir ļoti vienkāršs un skaidrs jēdziens. Vai jums ir kādas šaubas? Velti.) Skatieties paši.

Es uzrakstīšu nepabeigtu skaitļu sēriju:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Vai varat pagarināt šo sēriju? Kādi skaitļi būs nākamie pēc pieciem? Visi... uh..., īsi sakot, visi sapratīs, ka nākamie nāks skaitļi 6, 7, 8, 9 utt.

Sarežģīsim uzdevumu. Es dodu jums nepabeigtu skaitļu sēriju:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Jūs varēsiet noķert modeli, paplašināt sēriju un nosaukt septītais rindas numurs?

Ja sapratāt, ka šis skaitlis ir 20, apsveicam! Jūs ne tikai jutāt galvenie punkti aritmētiskā progresija, bet arī veiksmīgi izmantoja tos biznesā! Ja neesat to izdomājis, lasiet tālāk.

Tagad pārtulkosim galvenos punktus no sajūtām matemātikā.)

Pirmais galvenais punkts.

Aritmētiskā progresija attiecas uz skaitļu sērijām. Sākumā tas ir mulsinoši. Mēs esam pieraduši risināt vienādojumus, zīmēt grafikus un visu to... Bet šeit mēs pagarinām sēriju, atrodam sērijas numuru...

Ir labi. Vienkārši progresijas ir pirmā iepazīšanās ar jaunu matemātikas nozari. Sadaļa saucas "Sērija", un tā darbojas īpaši ar skaitļu un izteiksmju sērijām. Pierodi.)

Otrais galvenais punkts.

Aritmētiskajā progresijā jebkurš skaitlis atšķiras no iepriekšējā par tādu pašu summu.

Pirmajā piemērā šī atšķirība ir viena. Neatkarīgi no tā, kādu skaitli paņemat, tas ir par vienu vairāk nekā iepriekšējais. Otrajā - trīs. Jebkurš skaitlis ir par trim vairāk nekā iepriekšējais. Faktiski tieši šis brīdis dod mums iespēju aptvert modeli un aprēķināt turpmākos skaitļus.

Trešais galvenais punkts.

Šis brīdis nav uzkrītošs, jā... Bet tas ir ļoti, ļoti svarīgi. Šeit viņš ir: Katrs progresijas numurs ir savā vietā. Ir pirmais numurs, ir septītais, ir četrdesmit piektais utt. Ja tos sajaucat nejauši, raksts pazudīs. Pazudīs arī aritmētiskā progresija. Tas, kas palicis, ir tikai skaitļu virkne.

Tā ir visa būtība.

Protams, iekšā jauna tēma parādās jauni termini un apzīmējumi. Jums tie ir jāzina. Pretējā gadījumā jūs nesapratīsit uzdevumu. Piemēram, jums būs jāizlemj, piemēram:

Pierakstiet aritmētiskās progresijas (a n) pirmos sešus vārdus, ja a 2 = 5, d = -2,5.

Iedvesmojošs?) Burti, daži rādītāji... Un uzdevums, starp citu, nevarētu būt vienkāršāks. Jums vienkārši jāsaprot terminu un apzīmējumu nozīme. Tagad mēs apgūsim šo lietu un atgriezīsimies pie uzdevuma.

Noteikumi un apzīmējumi.

Aritmētiskā progresija ir skaitļu virkne, kurā katrs skaitlis atšķiras no iepriekšējā par tādu pašu summu.

Šo daudzumu sauc . Apskatīsim šo koncepciju sīkāk.

Aritmētiskās progresijas atšķirība.

Aritmētiskās progresijas atšķirība ir summa, par kādu jebkurš progresijas skaitlis vairāk iepriekšējā.

Viens svarīgs punkts. Lūdzu, pievērsiet uzmanību vārdam "vairāk". Matemātiski tas nozīmē, ka katrs progresijas skaitlis ir pievienojot aritmētiskās progresijas atšķirība līdz iepriekšējam skaitlim.

Lai aprēķinātu, teiksim otrais sērijas numuriem, jums ir nepieciešams vispirms numuru pievienotšī aritmētiskās progresijas atšķirība. Aprēķinam piektais- atšķirība ir nepieciešama pievienot Uz ceturtais, nu utt.

Aritmētiskās progresijas atšķirība Var būt pozitīvs, tad katrs sērijas numurs izrādīsies īsts vairāk nekā iepriekšējā.Šo progresu sauc pieaug. Piemēram:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Šeit tiek iegūts katrs skaitlis pievienojot pozitīvs skaitlis, +5 pret iepriekšējo.

Atšķirība var būt negatīvs, tad katrs sērijas numurs būs mazāk nekā iepriekšējā.Šo progresu sauc (jūs neticēsit!) samazinās.

Piemēram:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Šeit tiek iegūts arī katrs skaitlis pievienojot uz iepriekšējo, bet jau negatīvs skaitlis, -5.

Starp citu, strādājot ar progresēšanu, ir ļoti noderīgi uzreiz noteikt tās būtību – vai tas palielinās vai samazinās. Tas ļoti palīdz orientēties lēmumā, pamanīt savas kļūdas un izlabot tās, pirms nav par vēlu.

Aritmētiskās progresijas atšķirība parasti apzīmē ar burtu d.

Kā atrast d? Ļoti vienkārši. Ir nepieciešams atņemt no jebkura skaitļa sērijā iepriekšējā numuru. Atņemt. Starp citu, atņemšanas rezultātu sauc par "starpību".)

Definēsim, piemēram, d aritmētiskās progresijas palielināšanai:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Mēs ņemam jebkuru skaitli no sērijas, ko vēlamies, piemēram, 11. Mēs no tā atņemam iepriekšējais numurs tie. 8:

Šī ir pareizā atbilde. Šai aritmētiskajai progresijai atšķirība ir trīs.

Jūs varat to ņemt jebkurš progresijas numurs, jo konkrētai progresijai d-vienmēr tas pats. Vismaz kaut kur rindas sākumā, vismaz vidū, vismaz jebkur. Jūs nevarat ņemt tikai pašu pirmo numuru. Vienkārši tāpēc, ka pats pirmais numurs neviena iepriekšējā.)

Starp citu, to zinot d=3, atrast šīs progresijas septīto skaitli ir ļoti vienkārši. Piektajam skaitlim pievienosim 3 - iegūstam sesto, būs 17. Sestajam skaitlim pieskaitīsim trīs, iegūstam septīto skaitli - divdesmit.

Definēsim d dilstošai aritmētiskajai progresijai:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Atgādinu, ka neatkarīgi no pazīmēm, lai noteiktu d nepieciešams no jebkura numura atņem iepriekšējo. Izvēlieties jebkuru progresijas skaitli, piemēram, -7. Viņa iepriekšējais numurs ir -2. Pēc tam:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Aritmētiskās progresijas starpība var būt jebkurš skaitlis: vesels skaitlis, daļskaitlis, iracionāls, jebkurš skaitlis.

Citi termini un apzīmējumi.

Katrs sērijas numurs tiek izsaukts aritmētiskās progresijas dalībnieks.

Katrs progresijas dalībnieks ir savs numurs. Skaitļi ir stingri kārtībā, bez trikiem. Pirmā, otrā, trešā, ceturtā utt. Piemēram, progresijā 2, 5, 8, 11, 14, ... divi ir pirmais vārds, pieci ir otrais, vienpadsmit ir ceturtais, labi, jūs saprotat...) Lūdzu, skaidri saprotiet - paši skaitļi var būt pilnīgi jebkas, vesels, daļējs, negatīvs, jebkas, bet skaitļu numerācija- stingri kārtībā!

Kā uzrakstīt progresu vispārīgā formā? Nekādu problēmu! Katrs sērijas numurs ir rakstīts kā burts. Lai apzīmētu aritmētisko progresiju, parasti izmanto burtu a. Dalībnieka numurs ir norādīts ar indeksu apakšējā labajā stūrī. Mēs rakstām terminus, atdalot tos ar komatiem (vai semikolu), šādi:

1, 2, 3, 4, 5, ......

a 1- šis ir pirmais numurs, a 3- trešais utt. Nekas grezns. Šo sēriju var īsi uzrakstīt šādi: (a n).

Progresijas notiek ierobežots un bezgalīgs.

Galīgais progresijai ir ierobežots dalībnieku skaits. Pieci, trīsdesmit astoņi, vienalga. Bet tas ir ierobežots skaitlis.

Bezgalīgs progresija — ir bezgalīgs dalībnieku skaits, kā jūs varētu nojaust.)

Jūs varat uzrakstīt šādu sēriju galīgo progresu, visus terminus un punktu beigās:

1, 2, 3, 4, 5.

Vai šādi, ja ir daudz dalībnieku:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

Īsajā ierakstā papildus būs jānorāda dalībnieku skaits. Piemēram (divdesmit dalībniekiem) šādi:

(a n), n = 20

Bezgalīgu progresu var atpazīt pēc elipses rindas beigās, kā tas ir norādīts šīs nodarbības piemēros.

Tagad jūs varat atrisināt uzdevumus. Uzdevumi ir vienkārši, lai saprastu aritmētiskās progresijas nozīmi.

Aritmētiskās progresijas uzdevumu piemēri.

Apskatīsim iepriekš sniegto uzdevumu sīkāk:

1. Izrakstiet aritmētiskās progresijas (a n) pirmos sešus vārdus, ja a 2 = 5, d = -2,5.

Mēs nododam uzdevumu uz skaidra valoda. Tiek dota bezgalīga aritmētiskā progresija. Ir zināms šīs progresa otrais numurs: a 2 = 5. Progresēšanas atšķirība ir zināma: d = -2,5. Mums jāatrod šīs progresa pirmais, trešais, ceturtais, piektais un sestais termins.

Skaidrības labad pierakstīšu sēriju atbilstoši problēmas apstākļiem. Pirmie seši termini, kur otrais termiņš ir pieci:

1, 5, 3, 4, 5, 6,...

a 3 = a 2 + d

Aizstāt ar izteiksmi a 2 = 5 Un d = -2,5. Neaizmirstiet par mīnusiem!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Trešais termiņš izrādījās mazāks par otro. Viss ir loģiski. Ja skaitlis ir lielāks par iepriekšējo negatīvs vērtība, kas nozīmē, ka pats skaitlis būs mazāks par iepriekšējo. Progresēšana samazinās. Labi, ņemsim to vērā.) Mēs ieskaitām mūsu sērijas ceturto termiņu:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Tātad tika aprēķināti termiņi no trešā līdz sestajam. Rezultāts ir šāda sērija:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Atliek atrast pirmo terminu a 1 saskaņā ar labi zināmo otro. Tas ir solis otrā virzienā, pa kreisi.) Tātad aritmētiskās progresijas atšķirība d nevajadzētu pievienot a 2, A atņemt:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Tieši tā. Uzdevuma atbilde:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Garāmejot vēlos atzīmēt, ka mēs šo uzdevumu atrisinājām atkārtojas veidā. Šis briesmīgais vārds nozīmē tikai progresa biedra meklēšanu atbilstoši iepriekšējam (blakus esošajam) numuram. Tālāk apskatīsim citus veidus, kā strādāt ar progresēšanu.

No šī vienkāršā uzdevuma var izdarīt vienu svarīgu secinājumu.

Atcerieties:

Ja zinām vismaz vienu terminu un aritmētiskās progresijas starpību, mēs varam atrast jebkuru šīs progresijas terminu.

Vai tu atceries? Šis vienkāršais secinājums ļauj atrisināt lielāko daļu skolas kursa problēmu par šo tēmu. Visi uzdevumi ir saistīti ar trim galvenajiem parametriem: aritmētiskās progresijas loceklis, progresijas starpība, progresijas locekļa numurs. Visi.

Protams, visa iepriekšējā algebra netiek atcelta.) Nevienādības, vienādojumi un citas lietas ir saistītas ar progresēšanu. Bet atbilstoši pašai progresijai- viss griežas ap trim parametriem.

Piemēram, apskatīsim dažus populārus uzdevumus par šo tēmu.

2. Uzrakstiet galīgo aritmētisko progresiju kā sēriju, ja n=5, d = 0,4 un a 1 = 3,6.

Šeit viss ir vienkārši. Viss jau ir dots. Jums jāatceras, kā tiek skaitīti aritmētiskās progresijas locekļi, tie jāsaskaita un jāpieraksta. Uzdevuma nosacījumos vēlams nepalaist garām vārdus: “fināls” un “ n=5". Lai neskaitītu, līdz esat pilnīgi zils sejā.) Šajā progresā ir tikai 5 (pieci) dalībnieki:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Atliek pierakstīt atbildi:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Vēl viens uzdevums:

3. Nosakiet, vai skaitlis 7 būs aritmētiskās progresijas (a n) dalībnieks, ja a 1 = 4,1; d = 1,2.

Hmm... Kas zina? Kā kaut ko noteikt?

Kā-kā... Pieraksti progresu sērijas veidā un paskaties, būs vai nebūs septītnieks! Mēs uzskaitām:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Tagad ir skaidri redzams, ka esam tikai septiņi izslīdēja cauri no 6,5 līdz 7,7! Septiņi neietilpa mūsu skaitļu sērijā, un tāpēc septiņi nebūs dotās progresijas dalībnieki.

Atbilde: nē.

Un šeit ir problēma, kuras pamatā ir reāla GIA versija:

4. Tiek izrakstīti vairāki secīgi aritmētiskās progresijas termini:

...; 15; X; 9; 6; ...

Šeit ir sērija, kas rakstīta bez beigām un sākuma. Nav dalībnieku numuru, nav atšķirības d. Ir labi. Lai atrisinātu problēmu, pietiek saprast aritmētiskās progresijas nozīmi. Apskatīsim un redzēsim, kas ir iespējams zināt no šīs sērijas? Kādi ir trīs galvenie parametri?

Dalībnieku numuri? Šeit nav neviena numura.

Bet ir trīs skaitļi un - uzmanību! - vārds "konsekventi" stāvoklī. Tas nozīmē, ka skaitļi ir stingri sakārtoti, bez atstarpēm. Vai šajā rindā ir divi? kaimiņos zināmi cipari? Jā, man ir! Tie ir 9 un 6. Tāpēc mēs varam aprēķināt aritmētiskās progresijas starpību! Atņemiet no sešiem iepriekšējā numurs, t.i. deviņi:

Ir palikuši tikai sīkumi. Kāds skaitlis būs iepriekšējais X? Piecpadsmit. Tas nozīmē, ka X var viegli atrast, vienkārši pievienojot. Pievienojiet aritmētiskās progresijas starpību 15:

Tas ir viss. Atbilde: x=12

Tālāk norādītās problēmas risinām paši. Piezīme: šīs problēmas nav balstītas uz formulām. Tīri, lai saprastu aritmētiskās progresijas nozīmi.) Mēs vienkārši pierakstām ciparu un burtu virkni, skatāmies un izdomājam.

5. Atrodiet pirmo pozitīvo aritmētiskās progresijas biedru, ja a 5 = -3; d = 1,1.

6. Ir zināms, ka skaitlis 5,5 ir aritmētiskās progresijas (a n) dalībnieks, kur a 1 = 1,6; d = 1,3. Nosakiet šī locekļa skaitli n.

7. Ir zināms, ka aritmētiskajā progresijā a 2 = 4; a 5 = 15,1. Atrodi 3.

8. Izraksti vairākus secīgus aritmētiskās progresijas terminus:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Atrodiet progresijas termiņu, kas apzīmēts ar burtu x.

9. Vilciens sāka kustēties no stacijas, vienmērīgi palielinot ātrumu par 30 metriem minūtē. Kāds būs vilciena ātrums pēc piecām minūtēm? Sniedziet atbildi km/h.

10. Zināms, ka aritmētiskajā progresijā a 2 = 5; a 6 = -5. Atrodi 1.

Atbildes (nekārtīgi): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Viss izdevās? Apbrīnojami! Varat apgūt aritmētisko progresiju, lai iegūtu vairāk augsts līmenis, turpmākajās nodarbībās.

Vai viss neizdevās? Nekādu problēmu. Speciālajā 555. sadaļā visas šīs problēmas ir sakārtotas pa gabalu.) Un, protams, ir aprakstīts vienkāršs praktisks paņēmiens, kas uzreiz skaidri, nepārprotami, vienā mirklī izceļ šādu uzdevumu risinājumu!

Starp citu, vilcienu mīklā ir divas problēmas, par kurām cilvēki bieži paklūp. Viens ir tikai progresēšanas ziņā, bet otrs ir vispārīgs attiecībā uz visām matemātikas un arī fizikas problēmām. Šis ir izmēru tulkojums no viena uz otru. Tas parāda, kā šīs problēmas būtu jārisina.

Šajā nodarbībā aplūkojām aritmētiskās progresijas elementāro nozīmi un tās galvenos parametrus. Tas ir pietiekami, lai atrisinātu gandrīz visas problēmas par šo tēmu. Pievienot d uz cipariem, uzraksti sēriju, viss atrisināsies.

Pirkstu risinājums labi darbojas ļoti īsām rindas daļām, kā tas ir šīs apmācības piemēros. Ja sērija ir garāka, aprēķini kļūst sarežģītāki. Piemēram, ja jautājuma 9. uzdevumā mēs aizstājam "piecas minūtes" ieslēgts "trīsdesmit piecas minūtes" problēma ievērojami pasliktināsies.)

Un ir arī uzdevumi, kas pēc būtības ir vienkārši, bet aprēķinu ziņā absurdi, piemēram:

Tiek dota aritmētiskā progresija (a n). Atrodiet 121, ja 1 = 3 un d = 1/6.

Nu ko, vai mēs pievienosim 1/6 daudzas, daudzas reizes?! Vai tu vari nogalināt sevi!?

Jūs varat.) Ja nezināt vienkāršu formulu, pēc kuras jūs varat atrisināt šādus uzdevumus minūtē. Šī formula būs nākamajā nodarbībā. Un tur šī problēma ir atrisināta. Vienā minūtē.)

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīsimies - ar interesi!)

Var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Pirmais līmenis

Aritmētiskā progresija. Detalizēta teorija ar piemēriem (2019)

Skaitļu secība

Tātad, apsēdīsimies un sāksim rakstīt dažus skaitļus. Piemēram:
Jūs varat rakstīt jebkurus ciparus, un to var būt tik daudz, cik vēlaties (mūsu gadījumā tie ir). Neatkarīgi no tā, cik skaitļus mēs rakstām, mēs vienmēr varam pateikt, kurš no tiem ir pirmais, kurš ir otrais un tā tālāk līdz pēdējam, tas ir, mēs varam tos numurēt. Šis ir skaitļu secības piemērs:

Skaitļu secība
Piemēram, mūsu secībai:

Piešķirtais numurs ir raksturīgs tikai vienam numuram secībā. Citiem vārdiem sakot, secībā nav trīs sekunžu skaitļu. Otrais cipars (tāpat kā th cipars) vienmēr ir vienāds.
Skaitli ar skaitli sauc par secības th terminu.

Mēs parasti saucam visu secību ar kādu burtu (piemēram,), un katrs šīs secības dalībnieks ir viens un tas pats burts ar indeksu, kas vienāds ar šī elementa numuru: .

Mūsu gadījumā:

Pieņemsim, ka mums ir skaitļu secība, kurā starpība starp blakus esošajiem skaitļiem ir vienāda un vienāda.
Piemēram:

utt.
Šo skaitļu secību sauc par aritmētisko progresiju.
Terminu "progresēšana" ieviesa romiešu autors Boetijs tālajā 6. gadsimtā, un plašākā nozīmē to saprata kā bezgalīgu ciparu secību. Nosaukums "aritmētika" tika pārcelts no nepārtraukto proporciju teorijas, kuru pētīja senie grieķi.

Šī ir skaitļu virkne, kuras katrs dalībnieks ir vienāds ar iepriekšējo, kas pievienots tam pašam skaitlim. Šo skaitli sauc par aritmētiskās progresijas starpību un apzīmē.

Mēģiniet noteikt, kuras skaitļu secības ir aritmētiskā progresija un kuras nav:

a)
b)
c)
d)

Sapratu? Salīdzināsim mūsu atbildes:
Ir aritmētiskā progresija - b, c.
Nav aritmētiskā progresija - a, d.

Atgriezīsimies pie dotās progresijas () un mēģināsim atrast tās th vārda vērtību. Pastāv divi veids, kā to atrast.

1. Metode

Mēs varam pievienot progresijas skaitli iepriekšējai vērtībai, līdz mēs sasniedzam progresijas th. Labi, ka mums nav daudz ko apkopot - tikai trīs vērtības:

Tātad aprakstītās aritmētiskās progresijas th loceklis ir vienāds ar.

2. Metode

Ko darīt, ja mums būtu jāatrod progresijas th termina vērtība? Summēšana mums aizņemtu vairāk nekā vienu stundu, un tas nav fakts, ka mēs nekļūdītos, saskaitot skaitļus.
Protams, matemātiķi ir izdomājuši veidu, kā aritmētiskās progresijas starpību nav nepieciešams pievienot iepriekšējai vērtībai. Apskatiet uzzīmēto attēlu tuvāk... Noteikti jau esat pamanījuši noteiktu rakstu, proti:

Piemēram, paskatīsimies, no kā sastāv šīs aritmētiskās progresijas th termiņa vērtība:


Citiem vārdiem sakot:

Mēģiniet pats šādā veidā atrast dotās aritmētiskās progresijas locekļa vērtību.

Vai jūs aprēķinājāt? Salīdziniet savas piezīmes ar atbildi:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka jūs saņēmāt tieši tādu pašu skaitli kā iepriekšējā metodē, kad mēs secīgi pievienojām aritmētiskās progresijas nosacījumus iepriekšējai vērtībai.
Mēģināsim “depersonalizēt” šo formulu – iekļausim to vispārējā forma un mēs iegūstam:

Aritmētiskās progresijas vienādojums.

Aritmētiskā progresija var palielināties vai samazināties.

Pieaug- progresijas, kurās katra nākamā terminu vērtība ir lielāka par iepriekšējo.
Piemēram:

Dilstoša- progresijas, kurās katra nākamā terminu vērtība ir mazāka par iepriekšējo.
Piemēram:

Atvasinātā formula tiek izmantota aritmētiskās progresijas terminu aprēķināšanai gan pieaugošajos, gan samazinošajos termiņos.
Pārbaudīsim to praksē.
Mums ir dota aritmētiskā progresija, kas sastāv no šādiem skaitļiem: Pārbaudīsim, kāds būs šīs aritmētiskās progresijas skaitlis, ja izmantosim formulu, lai to aprēķinātu:

Kopš tā laika:

Tādējādi esam pārliecināti, ka formula darbojas gan dilstošā, gan pieaugošā aritmētiskajā progresijā.
Mēģiniet pats atrast šīs aritmētiskās progresijas th un th nosacījumus.

Salīdzināsim rezultātus:

Aritmētiskās progresijas īpašība

Sarežģīsim uzdevumu – atvasināsim aritmētiskās progresijas īpašību.
Pieņemsim, ka mums ir šāds nosacījums:
- aritmētiskā progresija, atrodiet vērtību.
Vienkārši, jūs sakāt un sāciet skaitīt pēc formulas, kuru jau zināt:

Ļaujiet, ah, tad:

Pilnīga taisnība. Sanāk, ka vispirms atrodam, tad pievienojam pirmajam ciparam un iegūstam to, ko meklējam. Ja progresiju attēlo mazas vērtības, tad tajā nav nekā sarežģīta, bet ja nu nosacījumā mums ir doti skaitļi? Piekrītu, aprēķinos ir iespējama kļūda.
Tagad padomājiet, vai šo problēmu ir iespējams atrisināt vienā solī, izmantojot jebkuru formulu? Protams, jā, un tieši to mēs tagad mēģināsim izcelt.

Apzīmēsim vajadzīgo aritmētiskās progresijas terminu kā mums zināmo formulu tā atrašanai - šī ir tā pati formula, ko mēs atvasinājām sākumā:
, Tad:

• iepriekšējais progresēšanas termiņš ir:
• nākamais progresēšanas termiņš ir:

Apkoposim iepriekšējos un turpmākos progresēšanas nosacījumus:

Izrādās, ka iepriekšējo un nākamo progresijas nosacījumu summa ir starp tiem esošā progresijas vārda dubultā vērtība. Citiem vārdiem sakot, lai atrastu progresijas vārda vērtību ar zināmām iepriekšējām un secīgām vērtībām, tās ir jāpievieno un jādala ar.

Tieši tā, mums ir vienāds numurs. Nostiprināsim materiālu. Aprēķiniet progresa vērtību pats, tas nepavisam nav grūti.

Labi padarīts! Jūs zināt gandrīz visu par progresu! Atliek noskaidrot tikai vienu formulu, kuru, saskaņā ar leģendu, viegli izsecināja viens no visu laiku izcilākajiem matemātiķiem, “matemātiķu karalis” - Karls Gauss...

Kad Kārlim Gausam bija 9 gadi, skolotājs, kas bija aizņemts ar citu klašu skolēnu darbu pārbaudīšanu, stundā uzdeva šādu uzdevumu: “Aprēķiniet visu naturālo skaitļu summu no līdz (saskaņā ar citiem avotiem līdz) ieskaitot.” Iedomājieties skolotāja pārsteigumu, kad viens no viņa audzēkņiem (tas bija Kārlis Gauss) minūti vēlāk sniedza pareizo atbildi uz uzdevumu, savukārt lielākā daļa pārdrošnieka klasesbiedru pēc ilgiem aprēķiniem saņēma nepareizu rezultātu...

Jaunais Karls Gauss pamanīja noteiktu modeli, ko arī jūs varat viegli pamanīt.
Pieņemsim, ka mums ir aritmētiskā progresija, kas sastāv no --ajiem vārdiem: Mums jāatrod šo aritmētiskās progresijas nosacījumu summa. Protams, mēs varam manuāli summēt visas vērtības, bet ja uzdevums prasa atrast tā terminu summu, kā to meklēja Gauss?

Attēlosim mums doto progresu. Uzmanīgi apskatiet izceltos skaitļus un mēģiniet ar tiem veikt dažādas matemātiskas darbības.


Vai esat to mēģinājuši? Ko jūs pamanījāt? Pa labi! Viņu summas ir vienādas

Tagad sakiet, cik mums dotajā progresijā kopumā ir šādu pāru? Protams, tieši puse no visiem skaitļiem, tas ir.
Pamatojoties uz to, ka aritmētiskās progresijas divu vārdu summa ir vienāda un līdzīgi pāri ir vienādi, mēs iegūstam, ka kopējā summa ir vienāda ar:
.
Tādējādi jebkuras aritmētiskās progresijas pirmo vārdu summas formula būs šāda:

Dažās problēmās mēs nezinām th terminu, bet mēs zinām progresijas atšķirību. Mēģiniet aizstāt th termina formulu ar summas formulu.
Ko tu dabūji?

Labi padarīts! Tagad atgriezīsimies pie uzdevuma, kas tika uzdots Karlam Gausam: aprēķiniet paši, ar ko ir vienāda skaitļu summa, sākot no th, un skaitļu summa, kas sākas no th.

Cik tu dabūji?
Gauss atklāja, ka terminu summa ir vienāda, un terminu summa. Vai tā nolēmāt?

Faktiski aritmētiskās progresijas terminu summas formulu jau 3. gadsimtā pierādīja sengrieķu zinātnieks Diofants, un visu šo laiku asprātīgi cilvēki pilnībā izmantoja aritmētiskās progresijas īpašības.
Piemēram, iedomājieties Senā Ēģipte un tā laika lielākais būvprojekts - piramīdas celtniecība... Bildē redzama viena puse.

Kur te ir progresija, jūs sakāt? Paskatieties uzmanīgi un atrodiet smilšu bloku skaitu katrā piramīdas sienas rindā.


Kāpēc ne aritmētiskā progresija? Aprēķiniet, cik bloku nepieciešams vienas sienas uzbūvēšanai, ja pie pamatnes ir likti bloku ķieģeļi. Es ceru, ka jūs neskaitīsit, pārvietojot pirkstu pa monitoru, atceraties pēdējo formulu un visu, ko mēs teicām par aritmētisko progresiju?

Šajā gadījumā progresēšana izskatās šādi: .
Aritmētiskās progresijas atšķirība.
Aritmētiskās progresijas terminu skaits.
Aizstāsim savus datus pēdējās formulās (bloku skaitu aprēķināsim divos veidos).

1. metode.

2. metode.

Un tagad jūs varat aprēķināt monitorā: salīdziniet iegūtās vērtības ar bloku skaitu, kas atrodas mūsu piramīdā. Sapratu? Labi darīts, jūs esat apguvis aritmētiskās progresijas n-to vārdu summu.
Protams, jūs nevarat uzbūvēt piramīdu no blokiem pie pamatnes, bet no tā? Mēģiniet aprēķināt, cik smilšu ķieģeļu ir nepieciešams, lai izveidotu sienu ar šo nosacījumu.
Vai jums izdevās?
Pareizā atbilde ir bloki:

Apmācība

Uzdevumi:

1. Maša iegūst formu vasarai. Katru dienu viņa palielina pietupienu skaitu par. Cik reizes Maša veiks pietupienus nedēļā, ja viņa veica pietupienus pirmajā treniņā?
2. Kāda ir visu nepāra skaitļu summa, kas ietverta.
3. Uzglabājot baļķus, mežizstrādātāji tos sakrauj tā, lai katrs augšējais slānis satur par vienu žurnālu mazāk nekā iepriekšējā. Cik baļķu ir vienā mūrī, ja mūra pamats ir baļķi?

Atbildes:

1. Definēsim aritmētiskās progresijas parametrus. Šajā gadījumā
   (nedēļas = dienas).

   Atbilde: Divu nedēļu laikā Mašai reizi dienā jāveic pietupieni.

2. Pirmais nepāra skaitlis, pēdējais cipars.
   Aritmētiskās progresijas atšķirība.
   Nepāra skaitļu skaits ir uz pusi, tomēr pārbaudīsim šo faktu, izmantojot formulu aritmētiskās progresijas biedra atrašanai:

   Cipari satur nepāra skaitļus.
   Aizstāsim pieejamos datus formulā:

   Atbilde: Visu nepāra skaitļu summa ir vienāda.

3. Atcerēsimies problēmu par piramīdām. Mūsu gadījumā a , jo katrs virsējais slānis ir samazināts par vienu baļķi, tad kopā ir slāņu ķekars, tas ir.
   Aizstāsim datus formulā:

   Atbilde: Mūrē ir baļķi.

Apkoposim to

1. - skaitļu secība, kurā starpība starp blakus esošajiem skaitļiem ir vienāda un vienāda. Tas var palielināties vai samazināties.
2. Formulas atrašana Aritmētiskās progresijas th termiņu raksta ar formulu - , kur ir skaitļu skaits progresijā.
3. Aritmētiskās progresijas locekļu īpašība- - kur ir progresējošo skaitļu skaits.
4. Aritmētiskās progresijas vārdu summa var atrast divos veidos:
   
   , kur ir vērtību skaits.

ARITMĒTISKĀ PROGRESIJA. VIDĒJAIS LĪMENIS

Skaitļu secība

Apsēdīsimies un sāksim rakstīt dažus skaitļus. Piemēram:

Varat rakstīt jebkurus ciparus, un to var būt tik daudz, cik vēlaties. Bet mēs vienmēr varam pateikt, kurš ir pirmais, kurš otrais un tā tālāk, tas ir, mēs varam tos numurēt. Šis ir skaitļu virknes piemērs.

Skaitļu secība ir skaitļu kopa, no kuriem katram var piešķirt unikālu numuru.

Citiem vārdiem sakot, katru skaitli var saistīt ar noteiktu naturālu skaitli un unikālu. Un mēs nepiešķirsim šo numuru nevienam citam numuram no šī komplekta.

Skaitli ar skaitli sauc par secības th locekli.

Mēs parasti saucam visu secību ar kādu burtu (piemēram,), un katrs šīs secības dalībnieks ir viens un tas pats burts ar indeksu, kas vienāds ar šī elementa numuru: .

Tas ir ļoti ērti, ja secības th vārdu var norādīt ar kādu formulu. Piemēram, formula

nosaka secību:

Un formula ir šāda secība:

Piemēram, aritmētiskā progresija ir secība (pirmais termins šeit ir vienāds, un atšķirība ir). Vai (, atšķirība).

n-tā termina formula

Mēs saucam par atkārtotu formulu, kurā, lai uzzinātu th terminu, jums jāzina iepriekšējais vai vairāki iepriekšējie:

Lai, piemēram, atrastu progresijas th, izmantojot šo formulu, mums būs jāaprēķina iepriekšējie deviņi. Piemēram, ļauj tam. Pēc tam:

Nu, vai tagad ir skaidrs, kāda ir formula?

Katrā rindā mēs pievienojam, reizinot ar kādu skaitli. Kurš? Ļoti vienkārši: šis ir pašreizējā dalībnieka numurs mīnus:

Tagad daudz ērtāk, vai ne? Mēs pārbaudām:

Izlemiet paši:

Aritmētiskajā progresijā atrodiet n-tā vārda formulu un atrodiet simto daļu.

Risinājums:

Pirmais termiņš ir vienāds. Kāda ir atšķirība? Lūk, kas:

(Tāpēc to sauc par atšķirību, jo tā ir vienāda ar secīgu progresijas nosacījumu starpību).

Tātad, formula:

Tad simtais loceklis ir vienāds ar:

Kāda ir visu naturālo skaitļu summa no līdz?

Saskaņā ar leģendu, izcilais matemātiķis Karls Gauss, būdams 9 gadus vecs zēns, šo summu aprēķināja dažu minūšu laikā. Viņš pamanīja, ka pirmā un pēdējā skaitļa summa ir vienāda, otrā un priekšpēdējā summa ir vienāda, trešā un 3. summa no beigām ir vienāda un tā tālāk. Cik tādu pāru kopumā ir? Tieši tā, tieši puse no visu skaitļu skaita, tas ir. Tātad,

Jebkuras aritmētiskās progresijas pirmo vārdu summas vispārējā formula būs šāda:

Piemērs:
Atrodiet visu summu divciparu skaitļi, daudzkārtēji.

Risinājums:

Pirmais šāds skaitlis ir šis. Katru nākamo skaitli iegūst, pievienojot iepriekšējam skaitlim. Tādējādi mūs interesējošie skaitļi veido aritmētisko progresiju ar pirmo biedru un starpību.

Šīs progresēšanas termiņa formula:

Cik terminu ir progresijā, ja tiem visiem ir jābūt divciparu skaitlim?

Ļoti viegli: .

Pēdējais progresēšanas termiņš būs vienāds. Tad summa:

Atbilde: .

Tagad izlemiet paši:

1. Katru dienu sportists noskrien vairāk metru nekā iepriekšējā dienā. Cik kopumā kilometrus viņš noskries nedēļā, ja pirmajā dienā noskrēja km m?
2. Velosipēdists katru dienu nobrauc vairāk kilometru nekā iepriekšējā dienā. Pirmajā dienā viņš nobrauca km. Cik dienas viņam jābrauc, lai nobrauktu kilometru? Cik kilometrus viņš nobrauks pēdējā ceļojuma dienā?
3. Ledusskapja cena veikalā katru gadu samazinās par tādu pašu summu. Nosakiet, cik daudz ledusskapja cena samazinājās katru gadu, ja, laists pārdošanā par rubļiem, pēc sešiem gadiem tas tika pārdots par rubļiem.

Atbildes:

1. Šeit vissvarīgākais ir atpazīt aritmētisko progresiju un noteikt tās parametrus. Šajā gadījumā (nedēļas = dienas). Jums ir jānosaka šīs progresēšanas pirmo nosacījumu summa:
   .
   Atbilde:
2. Šeit ir dots: , jāatrod.
   Acīmredzot jums ir jāizmanto tā pati summas formula kā iepriekšējā uzdevumā:
   .
   Aizstāt vērtības:

   Sakne acīmredzami neder, tāpēc atbilde ir.
   Aprēķināsim pēdējās dienas laikā noieto ceļu, izmantojot th termina formulu:
   (km).
   Atbilde:

3. Ņemot vērā:. Atrast: .
   Tas nevar būt vienkāršāk:
   (berzēt).
   Atbilde:

ARITMĒTISKĀ PROGRESIJA. ĪSUMĀ PAR GALVENĀM LIETĀM

Šī ir skaitļu secība, kurā starpība starp blakus esošajiem skaitļiem ir vienāda un vienāda.

Aritmētiskā progresija var palielināties () un samazināties ().

Piemēram:

Formula aritmētiskās progresijas n-tā vārda atrašanai

tiek uzrakstīts pēc formulas, kur ir progresējošo skaitļu skaits.

Aritmētiskās progresijas locekļu īpašība

Tas ļauj viegli atrast progresijas terminu, ja ir zināmi tā blakus vārdi - kur ir progresijas skaitļu skaits.

Aritmētiskās progresijas terminu summa

Ir divi veidi, kā atrast summu:

Kur ir vērtību skaits.

Kur ir vērtību skaits.