Kas galvenais punkts formulas?
Šī formula ļauj jums atrast jebkura PĒC VIŅA NUMURA " n" .
Protams, jāzina arī pirmais termins a 1 un progresēšanas atšķirība d, bez šiem parametriem jūs nevarat pierakstīt konkrētu progresu.
Ar šīs formulas iegaumēšanu (vai apraudāšanu) nepietiek. Jums ir jāsaprot tā būtība un jāpiemēro formula dažādās problēmās. Un arī neaizmirst īstajā brīdī, jā...) Kā neaizmirsti- Es nezinu. Un šeit kā atcerēties Ja vajadzēs, noteikti sniegšu padomu. Tiem, kas pabeidz nodarbību līdz beigām.)
Tātad, apskatīsim n-tā termiņa formulu aritmētiskā progresija.
Kas vispār ir formula? Starp citu, ieskatieties, ja neesat to lasījis. Tur viss ir vienkārši. Atliek noskaidrot, kas tas ir n-tais termiņš.
Progresēšana iekšā vispārējs skats var uzrakstīt kā skaitļu virkni:
1, 2, 3, 4, 5, ......
a 1- apzīmē aritmētiskās progresijas pirmo terminu, a 3- trešais dalībnieks, a 4- ceturtais un tā tālāk. Ja mūs interesē piektais termiņš, teiksim, mēs strādājam ar a 5, ja simts divdesmitais - s a 120.
Kā mēs to varam definēt vispārīgi? jebkura aritmētiskās progresijas termiņš, ar jebkura numurs? Ļoti vienkārši! Kā šis:
a n
Tā tas ir aritmētiskās progresijas n-tais loceklis. Burts n slēpj visus dalībnieku numurus uzreiz: 1, 2, 3, 4 utt.
Un ko šāds ieraksts mums dod? Padomājiet, cipara vietā viņi pierakstīja burtu...
Šis apzīmējums sniedz mums jaudīgu rīku darbam ar aritmētisko progresiju. Izmantojot apzīmējumu a n, mēs varam ātri atrast jebkura biedrs jebkura aritmētiskā progresija. Un atrisiniet virkni citu progresēšanas problēmu. Tālāk tu redzēsi pats.
Aritmētiskās progresijas n-tā vārda formulā:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- aritmētiskās progresijas pirmais loceklis;
n- biedra numurs.
Formula savieno galvenos jebkuras progresēšanas parametrus: a n ; a 1; d Un n. Visas progresēšanas problēmas ir saistītas ar šiem parametriem.
N-tā termina formulu var izmantot arī, lai uzrakstītu konkrētu progresiju. Piemēram, problēma var teikt, ka progresēšanu nosaka nosacījums:
a n = 5 + (n-1) 2.
Tāda problēma var būt strupceļš... Nav ne sērijas, ne atšķirības... Bet, salīdzinot nosacījumu ar formulu, ir viegli saprast, ka šajā progresijā a 1 = 5 un d = 2.
Un tas var būt vēl sliktāk!) Ja mēs pieņemam to pašu nosacījumu: a n = 5 + (n-1) 2, Jā, atveriet iekavas un atnesiet līdzīgas? Mēs iegūstam jaunu formulu:
a n = 3 + 2n.
Šis Tikai ne vispārīgi, bet gan konkrētai virzībai. Šeit slēpjas slazds. Daži cilvēki domā, ka pirmais termins ir trīs. Lai gan patiesībā pirmais termins ir pieci... Nedaudz zemāk strādāsim ar šādu modificētu formulu.
Progresēšanas problēmās ir vēl viens apzīmējums - a n+1. Tas, kā jūs uzminējāt, ir progresēšanas termins “n plus pirmais”. Tā nozīme ir vienkārša un nekaitīga.) Šis ir progresijas dalībnieks, kura skaitlis ir par vienu lielāku par skaitli n. Piemēram, ja mēs ņemam vērā kādu problēmu a n tad piektais termiņš a n+1 būs sestais dalībnieks. utt.
Visbiežāk apzīmējums a n+1 atrodami atkārtošanās formulās. Nebaidieties no šī biedējošā vārda!) Tas ir tikai veids, kā izteikt aritmētiskās progresijas dalībnieku caur iepriekšējo. Pieņemsim, ka mums ir dota aritmētiskā progresija šajā formā, izmantojot atkārtotu formulu:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11
Ceturtais - caur trešo, piektais - caur ceturto utt. Kā mēs varam uzreiz saskaitīt, teiksim, divdesmito termiņu? a 20? Bet nav iespējas!) Kamēr mēs neuzzināsim 19. termiņu, mēs nevaram skaitīt 20. termiņu. Šī ir galvenā atšķirība starp atkārtoto formulu un n-tā termina formulu. Atkārtoti darbojas tikai caur iepriekšējā termins, un n-tā termina formula ir cauri vispirms un atļauj uzreiz atrodiet jebkuru dalībnieku pēc tā numura. Neaprēķinot visu skaitļu sēriju pēc kārtas.
Aritmētiskajā progresijā atkārtotu formulu ir viegli pārvērst par parastu. Saskaitiet secīgu terminu pāri, aprēķiniet starpību d, atrast, ja nepieciešams, pirmo termiņu a 1, ierakstiet formulu parastajā formā, un strādāt ar viņu. Ar šādiem uzdevumiem bieži nākas saskarties Valsts Zinātņu akadēmijā.
Aritmētiskās progresijas n-tā vārda formulas pielietojums.
Pirmkārt, apskatīsim tieša pielietošana formulas. Iepriekšējās nodarbības beigās radās problēma:
Tiek dota aritmētiskā progresija (a n). Atrodiet 121, ja 1 = 3 un d = 1/6.
Šo uzdevumu var atrisināt bez formulām, vienkārši pamatojoties uz aritmētiskās progresijas nozīmi. Pievienojiet un pievienojiet... Stundu vai divas.)
Un saskaņā ar formulu risinājums prasīs mazāk nekā minūti. Jūs varat noteikt laiku.) Izlemsim.
Nosacījumi sniedz visus datus formulas lietošanai: a 1 = 3, d = 1/6. Atliek izdomāt, kas ir vienāds n. Nekādu problēmu! Mums jāatrod a 121. Tātad mēs rakstām:
Lūdzu, pievērsiet uzmanību! Indeksa vietā n parādījās konkrēts skaitlis: 121. Kas ir diezgan loģiski.) Mūs interesē aritmētiskās progresijas dalībnieks. numurs simts divdesmit viens.Šis būs mūsu n.Šī ir jēga n= 121 mēs aizstāsim tālāk formulā, iekavās. Mēs aizstājam visus skaitļus formulā un aprēķinām:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Tieši tā. Tikpat ātri varēja atrast piecsimt desmito termiņu un tūkstoš trešo – jebkuru. Mēs ievietojam vietā n vēlamais skaitlis burta rādītājā " a" un iekavās, un mēs skaitām.
Ļaujiet man jums atgādināt būtību: šī formula ļauj jums atrast jebkura aritmētiskās progresijas termins PĒC VIŅA NUMURA " n" .
Atrisināsim problēmu viltīgākā veidā. Ļaujiet mums saskarties ar šādu problēmu:
Atrast aritmētiskās progresijas pirmo biedru (a n), ja a 17 =-2; d=-0,5.
Ja jums ir kādas grūtības, es jums pateikšu pirmo soli. Uzraksti aritmētiskās progresijas n-tā vārda formulu! Jā jā. Pierakstiet ar rokām tieši savā piezīmju grāmatiņā:
| a n = a 1 + (n-1)d |
Un tagad, aplūkojot formulas burtus, mēs saprotam, kādi dati mums ir un kas trūkst? Pieejams d=-0,5, ir septiņpadsmitais dalībnieks... Vai tas tā ir? Ja domājat, ka tā ir, tad problēmu neatrisināsiet, jā...
Mums joprojām ir numurs n! Stāvoklī a 17 =-2 paslēptas divi parametri.Šī ir gan septiņpadsmitā vārda vērtība (-2), gan tā skaitlis (17). Tie. n=17.Šis “sīkums” bieži paslīd garām galvai, un bez tā (bez “nieka”, nevis galvas!) problēmu nevar atrisināt. Lai gan... un arī bez galvas.)
Tagad mēs varam vienkārši muļķīgi aizstāt savus datus formulā:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
O jā, a 17 mēs zinām, ka ir -2. Labi, aizstāsim:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Tas būtībā arī viss. Atliek no formulas izteikt pirmo aritmētiskās progresijas biedru un to aprēķināt. Atbilde būs: a 1 = 6.
Šis paņēmiens – formulas pierakstīšana un zināmo datu vienkārši aizstāšana – lieliski palīdz vienkāršos uzdevumos. Nu, protams, jāprot izteikt mainīgo no formulas, bet ko darīt!? Bez šīs prasmes matemātiku var nemaz nemācīties...
Vēl viena populāra mīkla:
Atrast aritmētiskās progresijas starpību (a n), ja a 1 =2; a 15 = 12.
Ko mēs darām? Jūs būsiet pārsteigti, mēs rakstām formulu!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Apsvērsim to, ko mēs zinām: a 1 = 2; a 15 = 12; un (es īpaši izcelšu!) n=15. Jūtieties brīvi aizstāt to ar formulu:
12=2 + (15-1)d
Mēs veicam aritmētiku.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Šī ir pareizā atbilde.
Tātad, uzdevumi priekš a n, a 1 Un d nolēma. Atliek tikai uzzināt, kā atrast numuru:
Skaitlis 99 ir aritmētiskās progresijas (a n) dalībnieks, kur a 1 =12; d=3. Atrodiet šī dalībnieka numuru.
Mēs aizvietojam mums zināmos daudzumus n-tā vārda formulā:
a n = 12 + (n-1) 3
No pirmā acu uzmetiena šeit ir divi nezināmi daudzumi: a n un n. Bet a n- tas ir kāds progresijas dalībnieks ar skaitli n...Un mēs zinām šo progresijas biedru! Tas ir 99. Mēs nezinām tā numuru. n, Tātad šis numurs ir tas, kas jums jāatrod. Progresijas terminu 99 aizstājam formulā:
99 = 12 + (n-1) 3
Mēs izsakām no formulas n, mēs domājam. Mēs saņemam atbildi: n=30.
Un tagad problēma par to pašu tēmu, bet radošāka):
Nosakiet, vai skaitlis 117 ir aritmētiskās progresijas (a n) dalībnieks:
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Rakstīsim formulu vēlreiz. Ko, nav parametru? Hm... Kāpēc mums ir dotas acis?) Vai mēs redzam progresijas pirmo termiņu? Mēs redzam. Tas ir -3,6. Droši varat rakstīt: a 1 = -3,6. Atšķirība d Vai jūs varat pateikt pēc sērijas? Tas ir vienkārši, ja zināt, kāda ir aritmētiskās progresijas atšķirība:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Tātad, mēs izdarījām visvienkāršāko lietu. Atliek ar to tikt galā nezināms numurs n un nesaprotamais skaitlis 117. Iepriekšējā uzdevumā vismaz bija zināms, ka tika dots progresijas termiņš. Bet te mēs pat nezinām... Ko darīt!? Nu ko darīt, ko darīt... Ieslēdziet Radošās prasmes!)
Mēs pieņemsim ka 117 galu galā ir mūsu progresa dalībnieks. Ar nezināmu numuru n. Un, tāpat kā iepriekšējā uzdevumā, mēģināsim atrast šo numuru. Tie. mēs rakstām formulu (jā, jā!)) un aizstājam savus skaitļus:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Atkal mēs izsakām no formulasn, mēs saskaitām un iegūstam:
Hmm! Skaitlis izrādījās daļēja! Simts ar pusi. Un daļskaitļi progresijā nevar būt. Kādu secinājumu mēs varam izdarīt? Jā! 117. numurs nav mūsu progresa biedrs. Tas ir kaut kur starp simts pirmo un simt otro terminu. Ja skaitlis izrādījās dabisks, t.i. ir pozitīvs vesels skaitlis, tad skaitlis būtu progresijas dalībnieks ar atrasto skaitli. Un mūsu gadījumā atbilde uz problēmu būs: Nē.
Uzdevums, kas balstīts uz reālu GIA versiju:
Aritmētisko progresiju nosaka nosacījums:
a n = -4 + 6,8n
Atrodiet progresijas pirmo un desmito terminu.
Šeit progresija ir iestatīta neparastā veidā. Kaut kāda formula... Gadās.) Tomēr šī formula (kā rakstīju augstāk) - arī aritmētiskās progresijas n-tā vārda formulu! Viņa arī atļauj atrodiet jebkuru progresijas dalībnieku pēc tā numura.
Meklējam pirmo dalībnieku. Tas, kurš domā. ka pirmais loceklis ir mīnus četri, ir liktenīgi kļūdījies!) Jo uzdevumā esošā formula ir modificēta. Pirmais aritmētiskās progresijas termiņš tajā paslēptas. Tas ir labi, mēs to tagad atradīsim.)
Tāpat kā iepriekšējās problēmās, mēs aizstājam n=1šajā formulā:
a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8
Šeit! Pirmais termiņš ir 2,8, nevis -4!
Mēs meklējam desmito terminu tādā pašā veidā:
a 10 = -4 + 6,8 10 = 64
Tieši tā.
Un tagad tiem, kas ir izlasījuši šīs rindas, solītā prēmija.)
Pieņemsim, ka sarežģītā valsts pārbaudījuma vai vienotā valsts pārbaudījuma kaujas situācijā esat aizmirsis noderīgo formulu aritmētiskās progresijas n-tajam termiņam. Es kaut ko atceros, bet kaut kā nedroši... Vai n tur, vai n+1 vai n-1... Kā būt!?
Mierīgi! Šo formulu ir viegli iegūt. Tas nav ļoti stingrs, taču ar to noteikti pietiek pārliecībai un pareizam lēmumam!) Lai izdarītu secinājumu, pietiek atcerēties aritmētiskās progresijas elementāro nozīmi un atvēlēt pāris minūtes laika. Jums vienkārši jāuzzīmē attēls. Skaidrības labad.
Uzzīmējiet skaitļa līniju un atzīmējiet uz tās pirmo. otrais, trešais utt. biedri. Un mēs atzīmējam atšķirību d starp biedriem. Kā šis:
Mēs skatāmies uz attēlu un domājam: ar ko līdzinās otrais termins? Otrkārt viens d:
a 2 =a 1 + 1 d
Kāds ir trešais termins? Trešais termiņš ir vienāds ar pirmo termiņu plus divi d.
a 3 =a 1 + 2 d
Vai jūs to saprotat? Ne velti es izceļu dažus vārdus treknrakstā. Labi, vēl viens solis).
Kāds ir ceturtais termins? Ceturtais termiņš ir vienāds ar pirmo termiņu plus trīs d.
a 4 =a 1 + 3 d
Ir pienācis laiks saprast, ka spraugu skaits, t.i. d, Vienmēr par vienu mazāk nekā meklējamā dalībnieka skaits n. Tas ir, uz numuru n, atstarpju skaits gribu n-1. Tāpēc formula būs (bez variācijām!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Kopumā vizuālie attēli ļoti palīdz daudzu matemātikas problēmu risināšanā. Nepalaidiet uzmanību attēliem. Bet, ja ir grūti uzzīmēt attēlu, tad... tikai formula!) Turklāt n-tā termina formula ļauj risinājumam savienot visu jaudīgo matemātikas arsenālu - vienādojumus, nevienādības, sistēmas utt. Jūs nevarat ievietot attēlu vienādojumā...
Uzdevumi patstāvīgam risinājumam.
Lai iesildītos:
1. Aritmētiskajā progresijā (a n) a 2 =3; a 5 = 5,1. Atrodi 3.
Padoms: pēc bildes problēmu var atrisināt 20 sekundēs... Pēc formulas sanāk grūtāk. Bet formulas apguvei tas ir noderīgāk.) 555. sadaļā šī problēma ir atrisināta, izmantojot gan attēlu, gan formulu. Sajūti atšķirību!)
Un šī vairs nav iesildīšanās.)
2. Aritmētiskajā progresijā (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Atrodiet 3.
Ko, jūs nevēlaties zīmēt attēlu?) Protams! Labāk pēc formulas, jā...
3. Aritmētisko progresiju nosaka nosacījums:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Atrodiet šīs progresēšanas simts divdesmit piekto termiņu.
Šajā uzdevumā progresija tiek norādīta atkārtoti. Bet skaitot līdz simts divdesmit piektajam termiņam... Ne katrs ir spējīgs uz tādu varoņdarbu.) Bet n-tā termiņa formula ir katram pa spēkam!
4. Dota aritmētiskā progresija (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Atrodiet progresijas mazākā pozitīvā termiņa skaitli.
5. Atbilstoši 4. uzdevuma nosacījumiem atrodiet progresijas mazāko pozitīvo un lielāko negatīvo vārdu summu.
6. Pieaugošas aritmētiskās progresijas piektā un divpadsmitā locekļa reizinājums ir vienāds ar -2,5, un trešā un vienpadsmitā vārda summa ir vienāda ar nulli. Atrodiet 14.
Nav vieglākais uzdevums, jā...) "Pirkstgala" metode šeit nedarbosies. Jums būs jāraksta formulas un jāatrisina vienādojumi.
Atbildes (nekārtīgi):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Vai notika? Tas ir jauki!)
Vai viss neizdodas? Notiek. Starp citu, pēdējā uzdevumā ir viens smalks punkts. Izlasot problēmu, būs nepieciešama piesardzība. Un loģika.
Visu šo problēmu risinājums ir detalizēti apspriests 555. sadaļā. Un fantāzijas elements ceturtajam un smalkais punkts sestajam, un vispārīgas pieejas jebkuru problēmu risināšanai, kas saistītas ar n-tā termina formulu - viss ir aprakstīts. ES iesaku.
Ja jums patīk šī vietne...
Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)
Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīsimies - ar interesi!)
Var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.
Daži cilvēki vārdu “progresēšana” izturas piesardzīgi, jo tas ir ļoti sarežģīts termins no sadaļām augstākā matemātika. Tikmēr vienkāršākā aritmētiskā progresija ir taksometra skaitītāja darbs (kur tie joprojām pastāv). Un saproti būtību (un matemātikā nav nekā svarīgāka par “būtības iegūšanu”) aritmētiskā secība Tas nav tik grūti, ja saprotat dažus pamatjēdzienus.
Matemātiskā skaitļu secība
Skaitlisku secību parasti sauc par skaitļu sēriju, no kurām katrai ir savs numurs.
a 1 ir secības pirmais dalībnieks;
un 2 ir secības otrais loceklis;
un 7 ir secības septītais dalībnieks;
un n ir secības n-tais dalībnieks;
Tomēr neviena patvaļīga skaitļu un skaitļu kopa mūs neinteresē. Mēs pievērsīsim uzmanību skaitliskai secībai, kurā n-tā vārda vērtība ir saistīta ar tā kārtas skaitli ar matemātiski skaidri formulējamu sakarību. Citiem vārdiem sakot: skaitliskā vērtība N-tais skaitlis ir kāda funkcija no n.
a ir skaitliskās secības locekļa vērtība;
n - viņa sērijas numurs;
f(n) ir funkcija, kur kārtas skaitlis skaitliskā secībā n ir arguments.
Definīcija
Aritmētisko progresiju parasti sauc par ciparu secību, kurā katrs nākamais loceklis ir par tādu pašu skaitli lielāks (mazāks) par iepriekšējo. Aritmētiskās secības n-tā vārda formula ir šāda:
a n - aritmētiskās progresijas pašreizējā locekļa vērtība;
a n+1 - nākamā skaitļa formula;
d - atšķirība (noteikts skaitlis).
Ir viegli noteikt, ka, ja starpība ir pozitīva (d>0), tad katrs nākamais aplūkojamās rindas dalībnieks būs lielāks par iepriekšējo un šāda aritmētiskā progresija pieaugs.
Zemāk esošajā diagrammā ir viegli saprast, kāpēc numuru secība sauc par "palielinošu".
Gadījumos, kad starpība ir negatīva (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Norādītā dalībnieka vērtība
Dažreiz ir nepieciešams noteikt jebkura aritmētiskās progresijas patvaļīga vārda a n vērtību. To var izdarīt, secīgi aprēķinot visu aritmētiskās progresijas dalībnieku vērtības, sākot no pirmā līdz vajadzīgajam. Taču šis ceļš ne vienmēr ir pieņemams, ja, piemēram, ir jāatrod piectūkstošā vai astoņmiljonā termiņa vērtība. Tradicionālie aprēķini prasīs daudz laika. Tomēr konkrētu aritmētisko progresiju var izpētīt, izmantojot noteiktas formulas. Ir arī formula n-tajam vārdam: jebkura aritmētiskās progresijas vārda vērtību var noteikt kā progresijas pirmā vārda summu ar progresijas starpību, kas reizināta ar vēlamā vārda skaitu, kas samazināta ar viens.
Formula ir universāla progresēšanas palielināšanai un samazināšanai.
Dotā termina vērtības aprēķināšanas piemērs
Atrisināsim šādu aritmētiskās progresijas n-tā vārda vērtības atrašanas uzdevumu.
Nosacījums: ir aritmētiskā progresija ar parametriem:
Secības pirmais loceklis ir 3;
Skaitļu sēriju atšķirība ir 1,2.
Uzdevums: jāatrod 214 terminu vērtība
Risinājums: lai noteiktu dotā termina vērtību, mēs izmantojam formulu:
a(n) = a1 + d(n-1)
Aizstājot datus no problēmas paziņojuma izteiksmē, mēs iegūstam:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Atbilde: Secības 214. termins ir vienāds ar 258,6.
Šīs aprēķina metodes priekšrocības ir acīmredzamas - viss risinājums aizņem ne vairāk kā 2 rindas.
Noteikta terminu skaita summa
Ļoti bieži noteiktā aritmētiskajā sērijā ir jānosaka dažu tās segmentu vērtību summa. Lai to izdarītu, nav arī jāaprēķina katra termina vērtības un pēc tam tās jāsaskaita. Šo metodi var izmantot, ja terminu skaits, kuru summa jāatrod, ir mazs. Citos gadījumos ērtāk ir izmantot šādu formulu.
Aritmētiskās progresijas vārdu summa no 1 līdz n ir vienāda ar pirmā un n-tā vārda summu, kas reizināta ar vārda n skaitu un dalīta ar divi. Ja formulā n-tā vārda vērtību aizstāj ar izteiksmi no raksta iepriekšējās rindkopas, mēs iegūstam:
Aprēķinu piemērs
Piemēram, atrisināsim problēmu ar šādiem nosacījumiem:
Secības pirmais loceklis ir nulle;
Atšķirība ir 0,5.
Problēma prasa noteikt rindas nosacījumu summu no 56 līdz 101.
Risinājums. Progresijas apjoma noteikšanai izmantosim formulu:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Pirmkārt, mēs nosakām progresijas 101 vārda vērtību summu, aizstājot mūsu problēmas dotos nosacījumus formulā:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2525
Acīmredzot, lai noskaidrotu progresijas terminu summu no 56. uz 101., no S 101 ir jāatņem S 55.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Tādējādi šī piemēra aritmētiskās progresijas summa ir:
s 101 - s 55 = 2525 - 742,5 = 1782,5
Aritmētiskās progresijas praktiskā pielietojuma piemērs
Raksta beigās atgriezīsimies pie pirmajā rindkopā dotā aritmētiskās secības piemēra - taksometra skaitītāja (taksometra skaitītājs). Apskatīsim šo piemēru.
Iekāpšana taksometrā (kas ietver 3 km braucienu) maksā 50 rubļus. Par katru nākamo kilometru maksā 22 rubļi/km. Brauciena attālums ir 30 km. Aprēķiniet ceļojuma izmaksas.
1. Atmetīsim pirmos 3 km, kuru cena ir iekļauta nosēšanās izmaksās.
30 - 3 = 27 km.
2. Tālākais aprēķins nav nekas cits kā aritmētisko skaitļu sērijas parsēšana.
Dalībnieka numurs - nobraukto kilometru skaits (atskaitot pirmos trīs).
Dalībnieka vērtība ir summa.
Pirmais termins šajā uzdevumā būs vienāds ar 1 = 50 rubļiem.
Progresijas starpība d = 22 r.
mūs interesējošais skaitlis ir aritmētiskās progresijas (27+1) vārda vērtība - skaitītāja rādījums 27. kilometra beigās ir 27,999... = 28 km.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
Kalendāra datu aprēķini patvaļīgi ilgam periodam ir balstīti uz formulām, kas apraksta noteiktas skaitliskās secības. Astronomijā orbītas garums ir ģeometriski atkarīgs no debess ķermeņa attāluma līdz zvaigznei. Turklāt dažādas skaitļu rindas veiksmīgi tiek izmantotas statistikā un citās lietišķās matemātikas jomās.
Cits skaitļu secības veids ir ģeometrisks
Ģeometrisko progresiju raksturo lielāks izmaiņu ātrums, salīdzinot ar aritmētisko progresiju. Nav nejaušība, ka politikā, socioloģijā un medicīnā, lai parādītu kādas konkrētas parādības, piemēram, slimības epidēmijas laikā, lielo izplatības ātrumu, saka, ka process attīstās ģeometriskā progresijā.
Ģeometrisko skaitļu sērijas N-tais loceklis atšķiras no iepriekšējā ar to, ka tas tiek reizināts ar kādu konstantu skaitli - saucējs, piemēram, pirmais loceklis ir 1, saucējs attiecīgi ir vienāds ar 2, tad:
n = 1: 1 ∙ 2 = 2
n = 2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n = 5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - ģeometriskās progresijas pašreizējā termiņa vērtība;
b n+1 - ģeometriskās progresijas nākamā vārda formula;
q ir ģeometriskās progresijas saucējs (konstants skaitlis).
Ja aritmētiskās progresijas grafiks ir taisna līnija, tad ģeometriskā progresija veido nedaudz atšķirīgu attēlu:
Tāpat kā aritmētikas gadījumā, ģeometriskā progresija ir formula patvaļīga vārda vērtībai. Jebkurš ģeometriskās progresijas n-tais loceklis ir vienāds ar pirmā vārda un progresijas saucēja reizinājumu līdz pakāpei n, kas samazināts par vienu:
Piemērs. Mums ir ģeometriskā progresija, kuras pirmais loceklis ir vienāds ar 3 un progresijas saucējs ir vienāds ar 1,5. Atradīsim progresijas 5. terminu
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Izmantojot īpašu formulu, tiek aprēķināta arī noteikta terminu skaita summa. Ģeometriskās progresijas pirmo n vārdu summa ir vienāda ar starpību starp progresijas n-tā vārda un tā saucēja reizinājumu un progresijas pirmo daļu, kas dalīta ar saucēju, kas samazināts ar vienu:
Ja b n tiek aizstāts, izmantojot iepriekš aprakstīto formulu, aplūkojamās skaitļu sērijas pirmo n vārdu summas vērtība būs šāda:
Piemērs. Ģeometriskā progresija sākas ar pirmo vārdu, kas vienāds ar 1. Saucējs ir iestatīts uz 3. Atradīsim pirmo astoņu vārdu summu.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3 -1) = 3 280
Aritmētiskās progresijas summa.
Aritmētiskās progresijas summa ir vienkārša lieta. Gan pēc nozīmes, gan pēc formulas. Bet par šo tēmu ir visādi uzdevumi. No pamata līdz diezgan cietam.
Vispirms sapratīsim summas nozīmi un formulu. Un tad mēs izlemsim. Savam priekam.) Summas nozīme ir vienkārša kā moo. Lai atrastu aritmētiskās progresijas summu, jums vienkārši rūpīgi jāsaskaita visi tās termini. Ja šo vienumu ir maz, varat pievienot bez formulām. Bet, ja ir daudz, vai daudz... papildinājums ir kaitinošs.) Šajā gadījumā formula nāk palīgā.
Summas formula ir vienkārša:
Izdomāsim, kādi burti ir iekļauti formulā. Tas daudz ko noskaidros.
S n - aritmētiskās progresijas summa. Papildinājuma rezultāts visi biedri, ar vispirms Autors Pēdējais. Tas ir svarīgi. Viņi precīzi saskaita Visi dalībnieki pēc kārtas, neizlaižot vai neizlaižot. Un, precīzi, sākot no vispirms. Tādos problēmās kā trešā un astotā vārda summas vai piektā līdz divdesmitā termina summas atrašana formulas tieša piemērošana radīs vilšanos.)
a 1 - vispirms progresijas dalībnieks. Šeit viss ir skaidrs, tas ir vienkārši vispirms rindas numurs.
a n- Pēdējais progresijas dalībnieks. Sērijas pēdējais numurs. Nav ļoti pazīstams nosaukums, bet, ja to attiecina uz summu, tas ir ļoti piemērots. Tad tu redzēsi pats.
n - pēdējā dalībnieka numurs. Ir svarīgi saprast, ka formulā šis skaitlis sakrīt ar pievienoto terminu skaitu.
Definēsim jēdzienu Pēdējais biedrs a n. Viltīgs jautājums: kurš dalībnieks būs Pēdējais ja dota bezgalīgs aritmētiskā progresija?)
Lai atbildētu pārliecinoši, jāsaprot aritmētiskās progresijas elementārā nozīme un... rūpīgi jāizlasa uzdevums!)
Uzdevumā atrast aritmētiskās progresijas summu vienmēr parādās pēdējais termins (tieši vai netieši), kas būtu jāierobežo. Citādi galīga, konkrēta summa vienkārši neeksistē. Risinājumam nav nozīmes tam, vai ir dota progresija: ierobežota vai bezgalīga. Nav svarīgi, kā tas tiek dots: skaitļu virkne vai n-tā vārda formula.
Vissvarīgākais ir saprast, ka formula darbojas no pirmā progresijas termiņa līdz terminam ar skaitli n. Faktiski formulas pilns nosaukums izskatās šādi: aritmētiskās progresijas pirmo n vārdu summa.Šo pašu pirmo biedru skaits, t.i. n, nosaka tikai un vienīgi uzdevums. Uzdevumā visa šī vērtīgā informācija bieži vien tiek šifrēta, jā... Bet vienalga, zemāk esošajos piemēros mēs atklājam šos noslēpumus.)
Uzdevumu piemēri par aritmētiskās progresijas summu.
Pirmkārt, noderīga informācija:
Galvenās grūtības uzdevumos, kas saistīti ar aritmētiskās progresijas summu, ir pareiza formulas elementu noteikšana.
Uzdevumu autori šifrē tieši šos elementus ar neierobežotu iztēli.) Šeit galvenais ir nebaidīties. Izprotot elementu būtību, pietiek tos vienkārši atšifrēt. Apskatīsim dažus piemērus sīkāk. Sāksim ar uzdevumu, kura pamatā ir reāls GIA.
1. Aritmētisko progresiju dod nosacījums: a n = 2n-3.5. Atrodiet tā pirmo 10 vārdu summu.
Labs darbs. Viegli.) Lai noteiktu summu, izmantojot formulu, kas mums jāzina? Pirmais dalībnieks a 1, pēdējais termiņš a n, jā pēdējā dalībnieka numurs n.
Kur es varu iegūt pēdējā dalībnieka numuru? n? Jā, tieši tur, ar nosacījumu! Tas saka: atrodiet summu pirmie 10 dalībnieki. Nu ar kādu numuru tas būs? Pēdējais, desmitais dalībnieks?) Jūs neticēsiet, viņa numurs ir desmitais!) Tāpēc tā vietā a n Mēs aizvietosim formulā a 10, un tā vietā n- desmit. Es atkārtoju, pēdējā biedra skaits sakrīt ar biedru skaitu.
Atliek noteikt a 1 Un a 10. To var viegli aprēķināt, izmantojot n-tā termina formulu, kas ir dota problēmas izklāstā. Vai nezināt, kā to izdarīt? Apmeklējiet iepriekšējo nodarbību, bez šīs nav iespējas.
a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
a 10=2·10 - 3,5 =16,5
S n = S 10.
Mēs esam noskaidrojuši visu aritmētiskās progresijas summas formulas elementu nozīmi. Atliek tikai tos aizstāt un saskaitīt:
Tieši tā. Atbilde: 75.
Vēl viens uzdevums, kas balstīts uz GIA. Nedaudz sarežģītāk:
2. Dota aritmētiskā progresija (a n), kuras starpība ir 3,7; a 1 = 2,3. Atrodiet tā pirmo 15 terminu summu.
Mēs nekavējoties rakstām summas formulu:
Šī formula ļauj mums atrast jebkura termina vērtību pēc tā skaitļa. Mēs meklējam vienkāršu aizstāšanu:
a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1
Atliek aizstāt visus elementus aritmētiskās progresijas summas formulā un aprēķināt atbildi:
Atbilde: 423.
Starp citu, ja summas formulā vietā a n Mēs vienkārši aizstājam formulu ar n-to terminu un iegūstam:
Parādīsim līdzīgus un iegūsim jaunu formulu aritmētiskās progresijas terminu summai:
 |
Kā redzat, n-tais termins šeit nav vajadzīgs a n. Dažās problēmās šī formula ļoti palīdz, jā... Jūs varat atcerēties šo formulu. Vai arī varat to vienkārši parādīt īstajā laikā, piemēram, šeit. Galu galā jums vienmēr ir jāatceras summas formula un n-tā termina formula.)
Tagad uzdevums īsas šifrēšanas veidā):
3. Atrodiet visu to pozitīvo divciparu skaitļu summu, kas ir trīs reizes.
Oho! Ne jūsu pirmais biedrs, ne pēdējais, ne progresija vispār... Kā dzīvot!?
Būs jādomā ar galvu un jāizvelk no nosacījuma visi aritmētiskās progresijas summas elementi. Mēs zinām, kas ir divciparu skaitļi. Tie sastāv no diviem cipariem.) Kāds būs divciparu skaitlis vispirms? 10, domājams.) A pēdējā lieta divciparu skaitlis? 99, protams! Viņam sekos trīsciparu...
Trīs reizes... Hm... Tie ir skaitļi, kas dalās ar trīs, lūk! Desmit nedalās ar trīs, 11 nedalās... 12... dalās! Tātad, kaut kas parādās. Jūs jau varat pierakstīt sēriju atbilstoši problēmas apstākļiem:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Vai šī sērija būs aritmētiskā progresija? Noteikti! Katrs termins atšķiras no iepriekšējā stingri par trim. Ja terminam pievieno 2 vai 4, teiksim, rezultāts, t.i. jaunais skaitlis vairs nedalās ar 3. Jūs varat uzreiz noteikt aritmētiskās progresijas starpību: d = 3. Tas noderēs!)
Tātad, mēs varam droši pierakstīt dažus progresēšanas parametrus:
Kāds būs numurs? n pēdējais dalībnieks? Ikviens, kurš domā, ka 99, ir liktenīgi kļūdījies... Skaitļi vienmēr iet pēc kārtas, bet mūsu biedri lec pāri trīs. Tie nesakrīt.
Šeit ir divi risinājumi. Viens veids ir īpaši strādīgiem. Varat pierakstīt progresu, visu skaitļu sēriju un ar pirkstu saskaitīt dalībnieku skaitu.) Otrs veids ir domāts pārdomātajiem. Jums jāatceras n-tā termina formula. Ja mēs pielietojam formulu savai problēmai, mēs atklājam, ka 99 ir progresijas trīsdesmitais loceklis. Tie. n = 30.
Apskatīsim aritmētiskās progresijas summas formulu:
Skatāmies un priecājamies.) No problēmas izklāsta izvilkām visu nepieciešamo summas aprēķināšanai:
a 1= 12.
a 30= 99.
S n = S 30.
Atliek tikai elementārā aritmētika. Mēs aizstājam skaitļus formulā un aprēķinām:
Atbilde: 1665
Cits populāru mīklu veids:
4. Dota aritmētiskā progresija:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Atrodiet terminu summu no divdesmitā līdz trīsdesmit četriem.
Skatāmies summas formulu un... sarūgtinām.) Formula, atgādināšu, aprēķina summu no pirmā biedrs. Un uzdevumā jums jāaprēķina summa kopš divdesmitā... Formula nedarbosies.
Jūs, protams, varat izrakstīt visu progresu sērijā un pievienot terminus no 20 līdz 34. Bet... tas ir kaut kā muļķīgi un prasa ilgu laiku, vai ne?)
Ir elegantāks risinājums. Sadalīsim mūsu sēriju divās daļās. Pirmā daļa būs no pirmā termiņa līdz deviņpadsmitajam. Otrā daļa - no divdesmit līdz trīsdesmit četriem. Ir skaidrs, ka, ja mēs aprēķinām pirmās daļas nosacījumu summu S 1-19, saskaitīsim to ar otrās daļas terminu summu S 20-34, mēs iegūstam progresijas summu no pirmā termina līdz trīsdesmit ceturtajam S 1-34. Kā šis:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
No tā mēs varam redzēt, ka atrast summu S 20-34 var izdarīt ar vienkāršu atņemšanu
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Tiek ņemtas vērā abas summas labajā pusē no pirmā biedrs, t.i. standarta summas formula tiem ir diezgan piemērojama. Sāksim?
Mēs izņemam progresēšanas parametrus no problēmas paziņojuma:
d = 1,5.
a 1= -21,5.
Lai aprēķinātu pirmo 19 un pirmo 34 terminu summas, mums būs nepieciešams 19. un 34. termins. Mēs tos aprēķinām, izmantojot n-tā termina formulu, kā tas ir 2. uzdevumā:
a 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5
a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28
Nekas nav palicis pāri. No 34 terminu summas atņemiet 19 terminu summu:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Atbilde: 262,5
Viena svarīga piezīme! Šīs problēmas risināšanai ir ļoti noderīgs triks. Tiešā aprēķina vietā kas jums nepieciešams (S 20-34), mēs saskaitījām kaut kas, šķiet, nav vajadzīgs - S 1-19. Un tad viņi noteica S 20-34, atmetot nevajadzīgo no pilnīga rezultāta. Šāda veida “mānīšanās ar ausīm” bieži izglābj jūs no ļaunām problēmām.)
Šajā nodarbībā aplūkojām problēmas, kurām pietiek saprast aritmētiskās progresijas summas nozīmi. Nu, jums jāzina dažas formulas.)
Praktiski padomi:
Risinot jebkuru uzdevumu, kas saistīts ar aritmētiskās progresijas summu, es iesaku nekavējoties no šīs tēmas izrakstīt divas galvenās formulas.
n-tā termiņa formula:
Šīs formulas uzreiz pateiks, ko meklēt un kādā virzienā domāt, lai problēmu atrisinātu. Palīdz.
Un tagad uzdevumi patstāvīgam risinājumam.
5. Atrodiet visu divciparu skaitļu summu, kas nedalās ar trīs.
Forši?) Mājiens ir paslēpts piezīmē uz 4. problēmu. Nu, 3. problēma palīdzēs.
6. Aritmētisko progresiju uzrāda nosacījums: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Atrodiet tā pirmo 24 vārdu summu.
Neparasti?) Šī ir atkārtota formula. Par to var lasīt iepriekšējā nodarbībā. Neignorējiet saiti, šādas problēmas bieži sastopamas Valsts Zinātņu akadēmijā.
7. Vasja sakrāja naudu svētkiem. Tik daudz kā 4550 rubļi! Un es nolēmu savam mīļākajam cilvēkam (sev) dot dažas laimes dienas). Dzīvo skaisti, sev neko neliedzot. Pirmajā dienā iztērējiet 500 rubļus, un katrā nākamajā dienā iztērējiet par 50 rubļiem vairāk nekā iepriekšējā! Kamēr nauda beigsies. Cik daudz laimes dienu bija Vasijai?
Vai tas ir grūti?) Papildu formula no 2. uzdevuma palīdzēs.
Atbildes (nekārtīgi): 7, 3240, 6.
Ja jums patīk šī vietne...
Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)
Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīsimies - ar interesi!)
Var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.
Tiešsaistes kalkulators.
Aritmētiskās progresijas atrisināšana.
Dots: a n , d, n
Atrodi: a 1
Šī matemātiskā programma atrod \(a_1\) no aritmētiskās progresijas, pamatojoties uz lietotāja norādītajiem skaitļiem \(a_n, d\) un \(n\).
Skaitļus \(a_n\) un \(d\) var norādīt ne tikai kā veselus skaitļus, bet arī kā daļskaitļus. Turklāt daļskaitli var ievadīt decimāldaļskaitļa formā (\(2,5\)) un parastā daļskaitļa formā (\(-5\frac(2) (7)\)).
Programma ne tikai sniedz atbildi uz problēmu, bet arī parāda risinājuma atrašanas procesu.
Šis tiešsaistes kalkulators var noderēt vidusskolēniem vidusskolās, gatavojoties ieskaitēm un eksāmeniem, pārbaudot zināšanas pirms Vienotā valsts eksāmena, kā arī vecākiem, lai kontrolētu daudzu matemātikas un algebras uzdevumu risināšanu. Vai varbūt jums ir pārāk dārgi algot pasniedzēju vai iegādāties jaunas mācību grāmatas? Vai arī jūs vienkārši vēlaties pēc iespējas ātrāk paveikt matemātikas vai algebras mājasdarbus? Šajā gadījumā varat izmantot arī mūsu programmas ar detalizētiem risinājumiem.
Tādā veidā jūs varat vadīt savu apmācību un/vai jaunāko brāļu vai māsu apmācību, vienlaikus paaugstinot izglītības līmeni problēmu risināšanas jomā.
Ja neesat pazīstams ar ciparu ievadīšanas noteikumiem, iesakām ar tiem iepazīties.
Noteikumi ciparu ievadīšanai
Skaitļus \(a_n\) un \(d\) var norādīt ne tikai kā veselus skaitļus, bet arī kā daļskaitļus.
Skaitlis \(n\) var būt tikai pozitīvs vesels skaitlis.
Decimāldaļskaitļu ievadīšanas noteikumi.
Veselas un daļdaļas decimāldaļdaļās var atdalīt ar punktu vai komatu.
Piemēram, varat ievadīt decimāldaļas, piemēram, 2,5 vai 2,5
Parasto daļskaitļu ievadīšanas noteikumi.
Tikai vesels skaitlis var darboties kā frakcijas skaitītājs, saucējs un vesels skaitlis.
Saucējs nevar būt negatīvs.
Ievadot skaitlisko daļu, skaitītājs tiek atdalīts no saucēja ar dalījuma zīmi: /
Ievade:
Rezultāts: \(-\frac(2) (3)\)
Visa daļa ir atdalīta no frakcijas ar & zīmi: &
Ievade:
Rezultāts: \(-1\frac(2)(3)\)
Tika atklāts, ka daži skripti, kas nepieciešami šīs problēmas risināšanai, netika ielādēti un programma var nedarboties.
Iespējams, jums ir iespējots AdBlock.
Šādā gadījumā atspējojiet to un atsvaidziniet lapu.
Lai risinājums tiktu parādīts, jums ir jāiespējo JavaScript.
Šeit ir sniegti norādījumi par to, kā pārlūkprogrammā iespējot JavaScript.
Jo Ir daudz cilvēku, kas vēlas atrisināt problēmu, jūsu pieprasījums ir ievietots rindā.
Pēc dažām sekundēm zemāk parādīsies risinājums.
Lūdzu uzgaidiet sek...
Ja jūs pamanīja kļūdu risinājumā, tad par to varat rakstīt atsauksmju veidlapā.
Neaizmirsti norādiet, kurš uzdevums tu izlem ko ievadiet laukos.
Mūsu spēles, puzles, emulatori:
Nedaudz teorijas.
Skaitļu secība
Ikdienas praksē nereti tiek izmantota dažādu objektu numerācija, lai norādītu, kādā secībā tie ir sakārtoti. Piemēram, mājas katrā ielā ir numurētas. Bibliotēkā lasītāju abonementi tiek numurēti un pēc tam sakārtoti piešķirto numuru secībā speciālos kartotēkos.
Krājbankā, izmantojot noguldītāja personīgo konta numuru, varat viegli atrast šo kontu un redzēt, kāds depozīts tajā atrodas. Lai kontā Nr.1 ir depozīts a1 rublis, kontā Nr.2 ir depozīts a2 rubļi utt.. Izrādās numuru secība
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
kur N ir visu kontu skaits. Šeit katrs naturāls skaitlis n no 1 līdz N ir saistīts ar skaitli a n.
Mācījies arī matemātikā bezgalīgas skaitļu virknes:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Tiek izsaukts skaitlis a 1 secības pirmais termins, numurs a 2 - secības otrais termins, numurs a 3 - secības trešais termins utt.
Tiek izsaukts skaitlis a n n-tais (n-tais) secības dalībnieks, un naturālais skaitlis n ir tā numuru.
Piemēram, naturālu skaitļu kvadrātu secībā 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... un 1 = 1 ir secības pirmais loceklis; un n = n 2 ir n-tais termiņš sekvences; a n+1 = (n + 1) 2 ir secības (n + 1) (n plus pirmais) termins. Bieži vien secību var norādīt ar tās n-tā termiņa formulu. Piemēram, formula \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) definē secību \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac(1)(3) , \; \frac(1)(4) , \punkti,\frac(1)(n), \punkti \)
Aritmētiskā progresija
Gada garums ir aptuveni 365 dienas. Precīzāka vērtība ir \(365\frac(1)(4)\) dienas, tāpēc ik pēc četriem gadiem uzkrājas vienas dienas kļūda.
Lai ņemtu vērā šo kļūdu, katram ceturtajam gadam tiek pievienota diena, un pagarināto gadu sauc par garo gadu.
Piemēram, trešajā tūkstošgadē garie gadi ir 2004., 2008., 2012., 2016., ....
Šajā secībā katrs dalībnieks, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo, pievienots tam pašam skaitlim 4. Šādas secības sauc aritmētiskās progresijas.
Definīcija.
Tiek izsaukta skaitļu secība a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... aritmētiskā progresija, ja visiem dabiskajiem n vienlīdzību
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
kur d ir kāds skaitlis.
No šīs formulas izriet, ka a n+1 - a n = d. Skaitli d sauc par starpību aritmētiskā progresija.
Pēc aritmētiskās progresijas definīcijas mums ir:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
kur
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), kur \(n>1 \)
Tādējādi katrs aritmētiskās progresijas loceklis, sākot no otrā, ir vienāds ar divu blakus esošo terminu vidējo aritmētisko. Tas izskaidro nosaukumu "aritmētiskā" progresija.
Ņemiet vērā, ka, ja ir doti a 1 un d, tad atlikušos aritmētiskās progresijas nosacījumus var aprēķināt, izmantojot atkārtotu formulu a n+1 = a n + d. Tādā veidā nav grūti aprēķināt pirmos progresijas nosacījumus, taču, piemēram, 100 jau prasīs daudz aprēķinu. Parasti šim nolūkam tiek izmantota n-tā termina formula. Pēc aritmētiskās progresijas definīcijas
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
utt.
Pavisam,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
jo aritmētiskās progresijas n-to daļu iegūst no pirmā biedra, saskaitot (n-1) reizinot skaitli d.
Šo formulu sauc aritmētiskās progresijas n-tā vārda formula.
Aritmētiskās progresijas pirmo n vārdu summa
Atrodiet visu naturālo skaitļu summu no 1 līdz 100.
Rakstīsim šo summu divos veidos:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Saskaitīsim šīs vienādības pa vārdam:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Šajā summā ir 100 termini
Tāpēc 2S = 101 * 100, tātad S = 101 * 50 = 5050.
Tagad aplūkosim patvaļīgu aritmētisko progresiju
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Lai S n ir šīs progresijas pirmo n vārdu summa:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Tad aritmētiskās progresijas pirmo n vārdu summa ir vienāda ar
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)
Tā kā \(a_n=a_1+(n-1)d\), tad, aizstājot n šajā formulā, mēs iegūstam citu formulu atrašanai aritmētiskās progresijas pirmo n vārdu summa:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)
Ja katram naturālajam skaitlim n atbilst reālam skaitlim a n , tad saka, ka ir dots numuru secība :
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .
Tātad skaitļu secība ir dabiskā argumenta funkcija.
Numurs a 1 sauca secības pirmais termins , numurs a 2 — secības otrais termins , numurs a 3 — trešais un tā tālāk. Numurs a n sauca n-tais secības dalībnieks , un naturāls skaitlis n — viņa numurs .
No diviem blakus biedriem a n Un a n +1 secības dalībnieks a n +1 sauca sekojošais (pret a n ), A a n — iepriekšējā (pret a n +1 ).
Lai definētu secību, ir jānorāda metode, kas ļauj atrast secības dalībnieku ar jebkuru skaitli.
Bieži secība tiek norādīta, izmantojot n-tā termina formulas , tas ir, formula, kas ļauj noteikt secības dalībnieku pēc tā skaitļa.
Piemēram,
pozitīvo nepāra skaitļu secību var iegūt pēc formulas
a n= 2n- 1,
un pārmaiņu secība 1 Un -1 - formula
b n = (-1)n +1 . ◄
Secību var noteikt atkārtota formula, tas ir, formula, kas izsaka jebkuru secības locekli, sākot ar dažiem, izmantojot iepriekšējos (vienu vai vairākus) dalībniekus.
Piemēram,
Ja a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5
a 1 = 1,
a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Ja a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tad ciparu secības pirmos septiņus vārdus nosaka šādi:
a 1 = 1,
a 2 = 1,
a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,
a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,
a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,
a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,
a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Secības var būt galīgais Un bezgalīgs .
Secība tiek saukta galīgais , ja tajā ir ierobežots dalībnieku skaits. Secība tiek saukta bezgalīgs , ja tajā ir bezgalīgi daudz dalībnieku.
Piemēram,
divciparu naturālo skaitļu secība:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
galīgais.
Pirmskaitļu secība:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
bezgalīgs. ◄
Secība tiek saukta pieaug , ja katrs tā dalībnieks, sākot no otrā, ir lielāks par iepriekšējo.
Secība tiek saukta samazinās , ja katrs tā dalībnieks, sākot no otrā, ir mazāks par iepriekšējo.
Piemēram,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — pieaugoša secība;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — samazinās secība. ◄
Tiek izsaukta secība, kuras elementi, palielinoties skaitam, nesamazinās vai, gluži pretēji, nepalielinās monotona secība .
Jo īpaši monotoniskās sekvences ir pieaugošas un samazinošas sekvences.
Aritmētiskā progresija
Aritmētiskā progresija ir secība, kurā katrs dalībnieks, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo, kuram tiek pievienots tāds pats skaitlis.
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .
ir aritmētiskā progresija, ja tāda ir dabiskais skaitlis n nosacījums ir izpildīts:
a n +1 = a n + d,
Kur d - noteikts skaitlis.
Tādējādi atšķirība starp dotās aritmētiskās progresijas nākamajiem un iepriekšējiem nosacījumiem vienmēr ir nemainīga:
a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.
Numurs d sauca aritmētiskās progresijas atšķirība.
Lai definētu aritmētisko progresiju, pietiek norādīt tās pirmo terminu un atšķirību.
Piemēram,
Ja a 1 = 3, d = 4 , tad secības pirmos piecus vārdus atrodam šādi:
a 1 =3,
a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,
a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,
a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,
a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄
Aritmētiskajai progresijai ar pirmo termiņu a 1 un atšķirība d viņa n
a n = a 1 + (n- 1)d.
Piemēram,
atrast aritmētiskās progresijas trīsdesmito daļu
1, 4, 7, 10, . . .
a 1 =1, d = 3,
a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄
a n-1 = a 1 + (n- 2)d,
a n= a 1 + (n- 1)d,
a n +1 = a 1 + nd,
tad acīmredzot
| a n=
| a n-1 + a n+1
|
| 2
|
Katrs aritmētiskās progresijas loceklis, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo un nākamo locekļu vidējo aritmētisko.
skaitļi a, b un c ir kādas aritmētiskās progresijas secīgi dalībnieki tad un tikai tad, ja viens no tiem ir vienāds ar pārējo divu vidējo aritmētisko.
Piemēram,
a n = 2n- 7 , ir aritmētiskā progresija.
Izmantosim iepriekš minēto apgalvojumu. Mums ir:
a n = 2n- 7,
a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,
a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.
Tāpēc
| a n+1 + a n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = a n,
|
| 2
| 2
|
◄
Pieraksti to n Aritmētiskās progresijas th var atrast ne tikai caur a 1 , bet arī jebkuru iepriekšējo a k
a n = a k + (n- k)d.
Piemēram,
Priekš a 5 var pierakstīt
a 5 = a 1 + 4d,
a 5 = a 2 + 3d,
a 5 = a 3 + 2d,
a 5 = a 4 + d. ◄
a n = a n-k + kd,
a n = a n+k - kd,
tad acīmredzot
| a n=
| a n-k
+ a n+k
|
| 2
|
jebkurš aritmētiskās progresijas loceklis, sākot no otrās, ir vienāds ar pusi no šīs aritmētiskās progresijas locekļu summas, kas atrodas vienādi.
Turklāt jebkurai aritmētiskajai progresijai ir spēkā šāda vienādība:
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l.
Piemēram,
aritmētiskajā progresijā
1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;
2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, jo
a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,
5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,
vispirms n aritmētiskās progresijas termini ir vienādi ar pusi no galējo terminu summas un terminu skaita:
No šejienes jo īpaši izriet, ka, ja jums ir nepieciešams summēt noteikumus
a k, a k +1 , . . . , a n,
tad iepriekšējā formula saglabā savu struktūru:
Piemēram,
aritmētiskajā progresijā 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Ja ir dota aritmētiskā progresija, tad lielumus a 1 , a n, d, n UnS n savienotas ar divām formulām:
Tāpēc, ja ir norādītas trīs šo lielumu vērtības, tad no šīm formulām tiek noteiktas pārējo divu lielumu atbilstošās vērtības, kas apvienotas divu vienādojumu sistēmā ar diviem nezināmiem.
Aritmētiskā progresija ir monotona secība. Kurā:
- Ja d > 0 , tad tas palielinās;
- Ja d < 0 , tad tas samazinās;
- Ja d = 0 , tad secība būs stacionāra.
Ģeometriskā progresija
Ģeometriskā progresija ir secība, kurā katrs dalībnieks, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo, kas reizināts ar to pašu skaitli.
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .
ir ģeometriskā progresija jebkuram naturālam skaitlim n nosacījums ir izpildīts:
b n +1 = b n · q,
Kur q ≠ 0 - noteikts skaitlis.
Tādējādi noteiktās ģeometriskās progresijas nākamā termiņa attiecība pret iepriekšējo ir nemainīgs skaitlis:
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.
Numurs q sauca ģeometriskās progresijas saucējs.
Lai definētu ģeometrisko progresiju, pietiek norādīt tās pirmo terminu un saucēju.
Piemēram,
Ja b 1 = 1, q = -3 , tad secības pirmos piecus vārdus atrodam šādi:
b 1 = 1,
b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,
b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,
b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 un saucējs q viņa n Terminu var atrast, izmantojot formulu:
b n = b 1 · qn -1 .
Piemēram,
atrast ģeometriskās progresijas septīto biedru 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, q = 2,
b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
b n-1 = b 1 · qn -2 ,
b n = b 1 · qn -1 ,
b n +1 = b 1 · qn,
tad acīmredzot
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
katrs ģeometriskās progresijas elements, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo un nākamo elementu ģeometrisko vidējo (proporcionālo).
Tā kā ir arī otrādi, tad spēkā ir šāds apgalvojums:
skaitļi a, b un c ir kādas ģeometriskas progresijas secīgi dalībnieki tad un tikai tad, ja viena no tiem kvadrāts ir vienāds ar pārējo divu reizinājumu, tas ir, viens no skaitļiem ir pārējo divu ģeometriskais vidējais.
Piemēram,
Pierādīsim, ka ar formulu dotā secība b n= -3 2 n , ir ģeometriska progresija. Izmantosim iepriekš minēto apgalvojumu. Mums ir:
b n= -3 2 n,
b n -1 = -3 2 n -1 ,
b n +1 = -3 2 n +1 .
Tāpēc
b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
kas pierāda vēlamo apgalvojumu. ◄
Pieraksti to n Ģeometriskās progresijas th terminu var atrast ne tikai caur b 1 , bet arī jebkurš iepriekšējais dalībnieks b k , kam pietiek izmantot formulu
b n = b k · qn - k.
Piemēram,
Priekš b 5 var pierakstīt
b 5 = b 1 · q 4 ,
b 5 = b 2 · q 3,
b 5 = b 3 · q 2,
b 5 = b 4 · q. ◄
b n = b k · qn - k,
b n = b n - k · q k,
tad acīmredzot
b n 2 = b n - k· b n + k
jebkura ģeometriskās progresijas vārda kvadrāts, sākot no otrās, ir vienāds ar šīs progresijas vārdu reizinājumu vienādā attālumā no tā.
Turklāt jebkurai ģeometriskai progresijai ir taisnība:
b m· b n= b k· b l,
m+ n= k+ l.
Piemēram,
ģeometriskā progresijā
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , jo
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n
vispirms n ģeometriskās progresijas locekļi ar saucēju q ≠ 0 aprēķina pēc formulas:
Un tad, kad q = 1 - pēc formulas
S n= nb 1
Ņemiet vērā, ka, ja jums ir nepieciešams summēt noteikumus
b k, b k +1 , . . . , b n,
tad tiek izmantota formula:
| S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k · | 1 - qn -
k +1
| . |
| 1 - q
|
Piemēram,
ģeometriskā progresijā 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Ja ir dota ģeometriskā progresija, tad lielumus b 1 , b n, q, n Un S n savienotas ar divām formulām:
Tāpēc, ja ir norādītas kādu trīs no šiem daudzumiem vērtības, tad no šīm formulām tiek noteiktas pārējo divu lielumu atbilstošās vērtības, kas apvienotas divu vienādojumu sistēmā ar diviem nezināmiem.
Ģeometriskajai progresijai ar pirmo termiņu b 1 un saucējs q notiek sekojošais monotonitātes īpašības :
- progresēšana palielinās, ja ir izpildīts viens no šiem nosacījumiem:
b 1 > 0 Un q> 1;
b 1 < 0 Un 0 < q< 1;
- Progresēšana samazinās, ja ir izpildīts viens no šiem nosacījumiem:
b 1 > 0 Un 0 < q< 1;
b 1 < 0 Un q> 1.
Ja q< 0 , tad ģeometriskā progresija ir mainīga: tās vārdiem ar nepāra skaitļiem ir tāda pati zīme kā pirmajam vārdam, un vārdiem ar pāra skaitļiem ir pretēja zīme. Ir skaidrs, ka mainīga ģeometriskā progresija nav monotona.
Pirmā prece n ģeometriskās progresijas nosacījumus var aprēķināt, izmantojot formulu:
P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .
Piemēram,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija
Bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija sauc par bezgalīgu ģeometrisko progresiju, kuras saucēja modulis ir mazāks 1 , tas ir
|q| < 1 .
Ņemiet vērā, ka bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija var nebūt dilstoša secība. Tas atbilst gadījumam
1 < q< 0 .
Ar šādu saucēju secība ir mainīga. Piemēram,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas summa nosauciet skaitli, kuram bez ierobežojumiem tuvojas pirmo summa n progresijas dalībnieki ar neierobežotu skaita pieaugumu n . Šis skaitlis vienmēr ir ierobežots un tiek izteikts ar formulu
| S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b 1
| . |
| 1 - q
|
Piemēram,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Aritmētiskās un ģeometriskās progresijas attiecības
Aritmētiskā un ģeometriskā progresija ir cieši saistītas. Apskatīsim tikai divus piemērus.
a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Tas
ba 1 , ba 2 , ba 3 , . . . b d .
Piemēram,
1, 3, 5, . . . - aritmētiskā progresija ar starpību 2 Un
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - ģeometriskā progresija ar saucēju 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . - ģeometriskā progresija ar saucēju q , Tas
log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - aritmētiskā progresija ar starpību žurnāls aq .
Piemēram,
2, 12, 72, . . . - ģeometriskā progresija ar saucēju 6 Un
lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmētiskā progresija ar starpību lg 6 . ◄
