Kas galvenais punkts formulas?
Šī formula ļauj jums atrast jebkura PĒC VIŅA NUMURA " n" .
Protams, jāzina arī pirmais termins a 1 un progresēšanas atšķirība d, bez šiem parametriem jūs nevarat pierakstīt konkrētu progresu.
Ar šīs formulas iegaumēšanu (vai apraudāšanu) nepietiek. Jums ir jāsaprot tā būtība un jāpiemēro formula dažādās problēmās. Un arī neaizmirst īstajā brīdī, jā...) Kā neaizmirsti- Es nezinu. Un šeit kā atcerēties Ja vajadzēs, noteikti sniegšu padomu. Tiem, kas pabeidz nodarbību līdz beigām.)
Tātad, aplūkosim aritmētiskās progresijas n-tā termiņa formulu.
Kas vispār ir formula? Starp citu, ieskatieties, ja neesat to lasījis. Tur viss ir vienkārši. Atliek noskaidrot, kas tas ir n-tais termiņš.
Progresēšana iekšā vispārējs skats var uzrakstīt kā skaitļu virkni:
1, 2, 3, 4, 5, ......
a 1- apzīmē aritmētiskās progresijas pirmo biedru, a 3- trešais dalībnieks, a 4- ceturtais un tā tālāk. Ja mūs interesē piektais termiņš, teiksim, mēs strādājam ar a 5, ja simts divdesmitais - s a 120.
Kā mēs to varam definēt vispārīgi? jebkura aritmētiskās progresijas termiņš, ar jebkura numurs? Ļoti vienkārši! Kā šis:
a n
Tā tas ir aritmētiskās progresijas n-tais loceklis. Burts n slēpj visus dalībnieku numurus uzreiz: 1, 2, 3, 4 utt.
Un ko šāds ieraksts mums dod? Padomājiet, cipara vietā viņi pierakstīja burtu...
Šis apzīmējums sniedz mums spēcīgu rīku darbam ar aritmētisko progresiju. Izmantojot apzīmējumu a n, mēs varam ātri atrast jebkura biedrs jebkura aritmētiskā progresija. Un atrisiniet virkni citu progresēšanas problēmu. Tālāk tu redzēsi pats.
Aritmētiskās progresijas n-tā vārda formulā:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- aritmētiskās progresijas pirmais loceklis;
n- biedra numurs.
Formula savieno galvenos jebkuras progresēšanas parametrus: a n ; a 1; d Un n. Visas progresēšanas problēmas ir saistītas ar šiem parametriem.
N-tā termina formulu var izmantot arī, lai uzrakstītu konkrētu progresiju. Piemēram, problēma var teikt, ka progresēšanu nosaka nosacījums:
a n = 5 + (n-1) 2.
Tāda problēma var būt strupceļš... Nav ne sērijas, ne atšķirības... Bet, salīdzinot nosacījumu ar formulu, ir viegli saprast, ka šajā progresijā a 1 = 5 un d = 2.
Un tas var būt vēl sliktāk!) Ja mēs pieņemam to pašu nosacījumu: a n = 5 + (n-1) 2, Jā, atvērt iekavas un dot līdzīgas? Mēs iegūstam jaunu formulu:
a n = 3 + 2n.
Šis Tikai ne vispārīgi, bet gan konkrētai virzībai. Šeit slēpjas slazds. Daži cilvēki domā, ka pirmais termins ir trīs. Lai gan patiesībā pirmais termins ir pieci... Nedaudz zemāk strādāsim ar šādu modificētu formulu.
Progresēšanas problēmās ir vēl viens apzīmējums - a n+1. Tas, kā jūs uzminējāt, ir progresēšanas termins “n plus pirmais”. Tā nozīme ir vienkārša un nekaitīga.) Šis ir progresijas dalībnieks, kura skaitlis ir par vienu skaitli lielāks par n. Piemēram, ja kādā problēmā mēs ņemam a n tad piektais termiņš a n+1 būs sestais dalībnieks. utt.
Visbiežāk apzīmējums a n+1 atrodami atkārtošanās formulās. Nebaidieties no šī biedējošā vārda!) Tas ir tikai veids, kā izteikt aritmētiskās progresijas dalībnieku caur iepriekšējo. Pieņemsim, ka mums ir dota aritmētiskā progresija šajā formā, izmantojot atkārtotu formulu:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11
Ceturtais - caur trešo, piektais - caur ceturto utt. Kā mēs varam uzreiz saskaitīt, teiksim, divdesmito termiņu? a 20? Bet nav iespējas!) Kamēr mēs neuzzināsim 19. termiņu, mēs nevaram skaitīt 20. termiņu. Šī ir galvenā atšķirība starp atkārtoto formulu un n-tā termina formulu. Atkārtoti darbojas tikai caur iepriekšējā termins, un n-tā termina formula ir cauri vispirms un atļauj uzreiz atrodiet jebkuru dalībnieku pēc tā numura. Neaprēķinot visu skaitļu sēriju pēc kārtas.
Aritmētiskajā progresijā atkārtotu formulu ir viegli pārvērst par parastu. Saskaitiet secīgu terminu pāri, aprēķiniet starpību d, atrast, ja nepieciešams, pirmo termiņu a 1, ierakstiet formulu parastajā formā, un strādāt ar viņu. Ar šādiem uzdevumiem bieži nākas saskarties Valsts Zinātņu akadēmijā.
Aritmētiskās progresijas n-tā vārda formulas pielietojums.
Pirmkārt, apskatīsim tieša pielietošana formulas. Iepriekšējās nodarbības beigās radās problēma:
Tiek dota aritmētiskā progresija (a n). Atrodiet 121, ja 1 = 3 un d = 1/6.
Šo uzdevumu var atrisināt bez formulām, vienkārši pamatojoties uz aritmētiskās progresijas nozīmi. Pievienojiet un pievienojiet... Stundu vai divas.)
Un saskaņā ar formulu risinājums prasīs mazāk nekā minūti. Jūs varat noteikt laiku.) Izlemsim.
Nosacījumi sniedz visus datus formulas lietošanai: a 1 = 3, d = 1/6. Atliek izdomāt, kas ir vienāds n. Nekādu problēmu! Mums jāatrod a 121. Tātad mēs rakstām:
Lūdzu, pievērsiet uzmanību! Indeksa vietā n parādījās konkrēts skaitlis: 121. Kas ir diezgan loģiski.) Mūs interesē aritmētiskās progresijas dalībnieks. numurs simts divdesmit viens.Šis būs mūsu n.Šī ir jēga n= 121 mēs aizstāsim tālāk formulā, iekavās. Mēs aizstājam visus skaitļus formulā un aprēķinām:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Tieši tā. Tikpat ātri varēja atrast piecsimt desmito termiņu un tūkstoš trešo – jebkuru. Vietā liekam n vēlamais skaitlis burta rādītājā " a" un iekavās, un mēs skaitām.
Ļaujiet man jums atgādināt būtību: šī formula ļauj jums atrast jebkura aritmētiskās progresijas termins PĒC VIŅA NUMURA " n" .
Atrisināsim problēmu viltīgākā veidā. Ļaujiet mums saskarties ar šādu problēmu:
Atrodi aritmētiskās progresijas pirmo biedru (a n), ja a 17 =-2; d=-0,5.
Ja jums ir kādas grūtības, es jums pateikšu pirmo soli. Uzraksti aritmētiskās progresijas n-tā vārda formulu! Jā jā. Pierakstiet ar rokām tieši savā piezīmju grāmatiņā:
| a n = a 1 + (n-1)d |
Un tagad, aplūkojot formulas burtus, mēs saprotam, kādi dati mums ir un kas trūkst? Pieejams d=-0,5, ir septiņpadsmitais dalībnieks... Vai tas ir? Ja domājat, ka tā ir, tad problēmu neatrisināsiet, jā...
Mums joprojām ir numurs n! Stāvoklī a 17 =-2 paslēptas divi parametri.Šī ir gan septiņpadsmitā vārda vērtība (-2), gan tā skaitlis (17). Tie. n=17.Šis “sīkums” bieži paslīd garām galvai, un bez tā (bez “nieka”, nevis galvas!) problēmu nevar atrisināt. Lai gan... un arī bez galvas.)
Tagad mēs varam vienkārši muļķīgi aizstāt savus datus formulā:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
O jā, a 17 mēs zinām, ka ir -2. Labi, aizstāsim:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Tas būtībā arī viss. Atliek no formulas izteikt pirmo aritmētiskās progresijas biedru un to aprēķināt. Atbilde būs: a 1 = 6.
Šis paņēmiens – formulas pierakstīšana un zināmo datu vienkārši aizstāšana – lieliski palīdz vienkāršos uzdevumos. Nu, protams, jāprot izteikt mainīgo no formulas, bet ko darīt!? Bez šīs prasmes matemātiku var nemaz nemācīties...
Vēl viena populāra mīkla:
Atrast aritmētiskās progresijas starpību (a n), ja a 1 =2; a 15 = 12.
Ko mēs darām? Jūs būsiet pārsteigti, mēs rakstām formulu!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Apsvērsim to, ko mēs zinām: a 1 = 2; a 15 = 12; un (es īpaši izcelšu!) n=15. Jūtieties brīvi aizstāt to ar formulu:
12=2 + (15-1)d
Mēs veicam aritmētiku.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Šī ir pareizā atbilde.
Tātad, uzdevumi priekš a n, a 1 Un d nolēma. Atliek tikai uzzināt, kā atrast numuru:
Skaitlis 99 ir aritmētiskās progresijas (a n) dalībnieks, kur a 1 =12; d=3. Atrodiet šī dalībnieka numuru.
Mēs aizvietojam mums zināmos daudzumus n-tā vārda formulā:
a n = 12 + (n-1) 3
No pirmā acu uzmetiena šeit ir divi nezināmi daudzumi: a n un n. Bet a n- tas ir kāds progresijas dalībnieks ar skaitli n...Un mēs zinām šo progresijas biedru! Tas ir 99. Mēs nezinām tā numuru. n, Tātad šis numurs ir tas, kas jums jāatrod. Progresijas terminu 99 aizstājam formulā:
99 = 12 + (n-1) 3
Mēs izsakām no formulas n, mēs domājam. Mēs saņemam atbildi: n=30.
Un tagad problēma par to pašu tēmu, bet radošāka):
Nosakiet, vai skaitlis 117 ir aritmētiskās progresijas (a n) dalībnieks:
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Rakstīsim formulu vēlreiz. Ko, nav parametru? Hm... Kāpēc mums tiek dotas acis?) Vai mēs redzam progresijas pirmo termiņu? Mēs redzam. Tas ir -3,6. Droši varat rakstīt: a 1 = -3,6. Atšķirība d vai pēc sērijas var noteikt? Tas ir vienkārši, ja zināt, kāda ir aritmētiskās progresijas atšķirība:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Tātad, mēs izdarījām visvienkāršāko lietu. Atliek ar to tikt galā nezināms numurs n un nesaprotamais skaitlis 117. Iepriekšējā uzdevumā vismaz bija zināms, ka tika dots progresijas termiņš. Bet te mēs pat nezinām... Ko darīt!? Nu ko darīt, ko darīt... Ieslēdziet Radošās prasmes!)
Mēs pieņemsim ka 117 galu galā ir mūsu progresa dalībnieks. Ar nezināmu numuru n. Un, tāpat kā iepriekšējā uzdevumā, mēģināsim atrast šo numuru. Tie. mēs rakstām formulu (jā, jā!)) un aizstājam savus skaitļus:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Atkal mēs izsakām no formulasn, mēs saskaitām un iegūstam:
Ak! Skaitlis izrādījās daļēja! Simts ar pusi. Un daļskaitļi progresijā nevar būt. Kādu secinājumu mēs varam izdarīt? Jā! 117. numurs nav mūsu progresa biedrs. Tas ir kaut kur starp simts pirmo un simt otro terminu. Ja skaitlis izrādījās dabisks, t.i. ir pozitīvs vesels skaitlis, tad skaitlis būtu progresijas dalībnieks ar atrasto skaitli. Un mūsu gadījumā atbilde uz problēmu būs: Nē.
Uzdevums, kas balstīts uz reālu GIA versiju:
Aritmētiskā progresija ko nosaka nosacījums:
a n = -4 + 6,8n
Atrodiet progresijas pirmo un desmito terminu.
Šeit progresija ir iestatīta neparastā veidā. Kaut kāda formula... Gadās.) Tomēr šī formula (kā rakstīju augstāk) - arī aritmētiskās progresijas n-tā vārda formulu! Viņa arī atļauj atrodiet jebkuru progresijas dalībnieku pēc tā numura.
Meklējam pirmo dalībnieku. Tas, kurš domā. ka pirmais loceklis ir mīnus četri, ir liktenīgi kļūdījies!) Jo uzdevumā esošā formula ir modificēta. Pirmais aritmētiskās progresijas termiņš tajā paslēptas. Tas ir labi, mēs to tagad atradīsim.)
Tāpat kā iepriekšējās problēmās, mēs aizstājam n=1šajā formulā:
a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8
Šeit! Pirmais termiņš ir 2,8, nevis -4!
Mēs meklējam desmito terminu tādā pašā veidā:
a 10 = -4 + 6,8 10 = 64
Tieši tā.
Un tagad tiem, kas ir izlasījuši šīs rindas, solītā prēmija.)
Pieņemsim, ka sarežģītā valsts pārbaudījuma vai vienotā valsts eksāmena kaujas situācijā esat aizmirsis noderīgo formulu aritmētiskās progresijas n-tajam termiņam. Es kaut ko atceros, bet kaut kā nedroši... Vai n tur, vai n+1 vai n-1... Kā būt!?
Mierīgi! Šo formulu ir viegli iegūt. Tas nav ļoti stingrs, taču ar to noteikti pietiek pārliecībai un pareizam lēmumam!) Lai izdarītu secinājumu, pietiek atcerēties aritmētiskās progresijas elementāro nozīmi un atvēlēt pāris minūtes laika. Jums vienkārši jāuzzīmē attēls. Skaidrības labad.
Uzzīmējiet skaitļa līniju un atzīmējiet uz tās pirmo. otrais, trešais utt. biedri. Un mēs atzīmējam atšķirību d starp biedriem. Kā šis:
Mēs skatāmies uz attēlu un domājam: ko nozīmē otrais termins? Otrkārt viens d:
a 2 =a 1 + 1 d
Kāds ir trešais termins? Trešais termiņš ir vienāds ar pirmo termiņu plus divi d.
a 3 =a 1 + 2 d
Vai jūs to saprotat? Ne velti es izceļu dažus vārdus treknrakstā. Labi, vēl viens solis).
Kāds ir ceturtais termins? Ceturtais termiņš ir vienāds ar pirmo termiņu plus trīs d.
a 4 =a 1 + 3 d
Ir pienācis laiks saprast, ka spraugu skaits, t.i. d, Vienmēr par vienu mazāk nekā meklējamā dalībnieka skaits n. Tas ir, uz numuru n, atstarpju skaits gribu n-1. Tāpēc formula būs (bez variācijām!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Kopumā vizuālie attēli ļoti palīdz daudzu matemātikas problēmu risināšanā. Nepalaidiet uzmanību attēliem. Bet, ja ir grūti uzzīmēt attēlu, tad... tikai formula!) Turklāt n-tā termina formula ļauj risinājumam savienot visu jaudīgo matemātikas arsenālu - vienādojumus, nevienādības, sistēmas utt. Jūs nevarat ievietot attēlu vienādojumā...
Uzdevumi patstāvīgam risinājumam.
Lai iesildītos:
1. Aritmētiskajā progresijā (a n) a 2 =3; a 5 = 5,1. Atrodi 3.
Padoms: pēc bildes problēmu var atrisināt 20 sekundēs... Pēc formulas sanāk grūtāk. Bet formulas apgūšanai tas ir noderīgāks.) 555. sadaļā šī problēma ir atrisināta, izmantojot gan attēlu, gan formulu. Sajūti atšķirību!)
Un šī vairs nav iesildīšanās.)
2. Aritmētiskajā progresijā (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Atrodiet 3.
Ko, jūs nevēlaties zīmēt attēlu?) Protams! Labāk pēc formulas, jā...
3. Aritmētisko progresiju nosaka nosacījums:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Atrodiet šīs progresēšanas simts divdesmit piekto termiņu.
Šajā uzdevumā progresija tiek norādīta atkārtotā veidā. Bet skaitot līdz simt divdesmit piektajam termiņam... Ne visi ir spējīgi uz tādu varoņdarbu.) Bet n-tā termiņa formula ir katram pa spēkam!
4. Dota aritmētiskā progresija (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Atrodiet progresijas mazākā pozitīvā termiņa skaitli.
5. Atbilstoši 4. uzdevuma nosacījumiem atrodiet progresijas mazāko pozitīvo un lielāko negatīvo vārdu summu.
6. Pieaugošas aritmētiskās progresijas piektā un divpadsmitā locekļa reizinājums ir vienāds ar -2,5, bet trešā un vienpadsmitā vārda summa ir vienāda ar nulli. Atrodiet 14.
Nav vieglākais uzdevums, jā...) "Pirkstgala" metode šeit nedarbosies. Jums būs jāraksta formulas un jāatrisina vienādojumi.
Atbildes (nekārtīgi):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Vai notika? Tas ir jauki!)
Vai viss neizdodas? Notiek. Starp citu, pēdējā uzdevumā ir viens smalks punkts. Izlasot problēmu, būs nepieciešama piesardzība. Un loģika.
Visu šo problēmu risinājums ir detalizēti apspriests 555. sadaļā. Un fantāzijas elements ceturtajam un smalkais punkts sestajam, un vispārīgas pieejas jebkuru problēmu risināšanai, kas saistītas ar n-tā termina formulu - viss ir aprakstīts. ES iesaku.
Ja jums patīk šī vietne...
Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)
Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīsimies - ar interesi!)
Var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.
Daži cilvēki vārdu “progresēšana” izturas piesardzīgi, jo tas ir ļoti sarežģīts termins no sadaļām augstākā matemātika. Tikmēr visvienkāršākā aritmētiskā progresija ir taksometra skaitītāja darbs (kur tie joprojām pastāv). Un saproti būtību (un matemātikā nav nekā svarīgāka par “būtības iegūšanu”) aritmētiskā secība Tas nav tik grūti, ja saprotat dažus pamatjēdzienus.
Matemātiskā skaitļu secība
Ciparu secību parasti sauc par skaitļu sēriju, no kurām katrai ir savs numurs.
a 1 ir secības pirmais dalībnieks;
un 2 ir secības otrais loceklis;
a 7 ir secības septītais dalībnieks;
un n ir secības n-tais dalībnieks;
Tomēr neviena patvaļīga skaitļu un skaitļu kopa mūs neinteresē. Mēs pievērsīsim uzmanību skaitliskai secībai, kurā n-tā vārda vērtība ir saistīta ar tā kārtas skaitli ar matemātiski skaidri formulējamu sakarību. Citiem vārdiem sakot: skaitliskā vērtība N-tais skaitlis ir kāda funkcija no n.
a ir skaitliskās secības locekļa vērtība;
n ir tā sērijas numurs;
f(n) ir funkcija, kur kārtas skaitlis skaitliskā secībā n ir arguments.
Definīcija
Aritmētisko progresiju parasti sauc par ciparu secību, kurā katrs nākamais loceklis ir par tādu pašu skaitli lielāks (mazāks) nekā iepriekšējais. Aritmētiskās secības n-tā vārda formula ir šāda:
a n - aritmētiskās progresijas pašreizējā locekļa vērtība;
a n+1 - nākamā skaitļa formula;
d - atšķirība (noteikts skaitlis).
Ir viegli noteikt, ka, ja starpība ir pozitīva (d>0), tad katrs nākamais aplūkojamās rindas dalībnieks būs lielāks par iepriekšējo un šāda aritmētiskā progresija pieaugs.
Zemāk esošajā diagrammā ir viegli saprast, kāpēc numuru secība sauc par "palielinošu".
Gadījumos, kad starpība ir negatīva (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Norādītā dalībnieka vērtība
Dažreiz ir nepieciešams noteikt jebkura aritmētiskās progresijas patvaļīga vārda a n vērtību. To var izdarīt, secīgi aprēķinot visu aritmētiskās progresijas dalībnieku vērtības, sākot no pirmā līdz vajadzīgajam. Taču šis ceļš ne vienmēr ir pieņemams, ja, piemēram, ir jāatrod piectūkstošā vai astoņmiljonā termiņa vērtība. Tradicionālie aprēķini prasīs daudz laika. Tomēr konkrētu aritmētisko progresiju var izpētīt, izmantojot noteiktas formulas. Ir arī formula n-tajam vārdam: jebkura aritmētiskās progresijas vārda vērtību var noteikt kā progresijas pirmā vārda summu ar progresijas starpību, kas reizināta ar vēlamā vārda skaitu, kas samazināta ar viens.
Formula ir universāla progresēšanas palielināšanai un samazināšanai.
Dotā termina vērtības aprēķināšanas piemērs
Atrisināsim šādu aritmētiskās progresijas n-tā vārda vērtības atrašanas uzdevumu.
Nosacījums: ir aritmētiskā progresija ar parametriem:
Secības pirmais loceklis ir 3;
Skaitļu sēriju atšķirība ir 1,2.
Uzdevums: jāatrod 214 terminu vērtība
Risinājums: lai noteiktu dotā termina vērtību, mēs izmantojam formulu:
a(n) = a1 + d(n-1)
Aizstājot datus no problēmas paziņojuma izteiksmē, mēs iegūstam:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Atbilde: Secības 214. loceklis ir vienāds ar 258,6.
Šīs aprēķina metodes priekšrocības ir acīmredzamas - viss risinājums aizņem ne vairāk kā 2 rindas.
Noteikta terminu skaita summa
Ļoti bieži noteiktā aritmētiskajā sērijā ir jānosaka dažu tās segmentu vērtību summa. Lai to izdarītu, nav arī jāaprēķina katra termina vērtības un pēc tam tās jāsaskaita. Šo metodi var izmantot, ja terminu skaits, kuru summa jāatrod, ir mazs. Citos gadījumos ērtāk ir izmantot šādu formulu.
Aritmētiskās progresijas vārdu summa no 1 līdz n ir vienāda ar pirmā un n-tā vārda summu, kas reizināta ar vārda n skaitu un dalīta ar divi. Ja formulā n-tā vārda vērtību aizstāj ar izteiksmi no raksta iepriekšējās rindkopas, mēs iegūstam:
Aprēķinu piemērs
Piemēram, atrisināsim problēmu ar šādiem nosacījumiem:
Secības pirmais loceklis ir nulle;
Atšķirība ir 0,5.
Problēma prasa noteikt rindas nosacījumu summu no 56 līdz 101.
Risinājums. Progresijas apjoma noteikšanai izmantosim formulu:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Pirmkārt, mēs nosakām progresijas 101 vārda vērtību summu, aizstājot mūsu problēmas dotos nosacījumus formulā:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2525
Acīmredzot, lai noskaidrotu progresijas terminu summu no 56. uz 101., no S 101 ir jāatņem S 55.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Tādējādi šī piemēra aritmētiskās progresijas summa ir:
s 101 - s 55 = 2525 - 742,5 = 1782,5
Aritmētiskās progresijas praktiskā pielietojuma piemērs
Raksta beigās atgriezīsimies pie pirmajā rindkopā dotā aritmētiskās secības piemēra - taksometra skaitītājs (taksometra skaitītājs). Apskatīsim šo piemēru.
Iekāpšana taksometrā (kas ietver 3 km braucienu) maksā 50 rubļus. Par katru nākamo kilometru maksā 22 rubļi/km. Brauciena attālums 30 km. Aprēķiniet ceļojuma izmaksas.
1. Atmetīsim pirmos 3 km, kuru cena ir iekļauta nosēšanās izmaksās.
30 - 3 = 27 km.
2. Tālākais aprēķins nav nekas cits kā aritmētisko skaitļu sērijas parsēšana.
Dalībnieka numurs - nobraukto kilometru skaits (atskaitot pirmos trīs).
Dalībnieka vērtība ir summa.
Pirmais termins šajā uzdevumā būs vienāds ar a 1 = 50 rubļiem.
Progresijas starpība d = 22 r.
mūs interesējošais skaitlis ir aritmētiskās progresijas (27+1) vārda vērtība - skaitītāja rādījums 27. kilometra beigās ir 27,999... = 28 km.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
Kalendāra datu aprēķini patvaļīgi ilgam periodam ir balstīti uz formulām, kas apraksta noteiktas skaitliskās secības. Astronomijā orbītas garums ir ģeometriski atkarīgs no debess ķermeņa attāluma līdz zvaigznei. Turklāt dažādas skaitļu rindas veiksmīgi tiek izmantotas statistikā un citās lietišķās matemātikas jomās.
Cits skaitļu secības veids ir ģeometrisks
Ģeometrisko progresiju raksturo lielāks izmaiņu ātrums, salīdzinot ar aritmētisko progresiju. Nav nejaušība, ka politikā, socioloģijā un medicīnā, lai parādītu kādas konkrētas parādības, piemēram, slimības epidēmijas laikā, lielo izplatības ātrumu, mēdz teikt, ka process attīstās ģeometriskā progresijā.
Ģeometrisko skaitļu sērijas N-tais loceklis atšķiras no iepriekšējā ar to, ka tas tiek reizināts ar kādu konstantu skaitli - saucējs, piemēram, pirmais loceklis ir 1, saucējs attiecīgi ir vienāds ar 2, tad:
n = 1: 1 ∙ 2 = 2
n = 2: 2 ∙ 2 = 4
n = 3: 4 ∙ 2 = 8
n = 4: 8 ∙ 2 = 16
n = 5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - ģeometriskās progresijas pašreizējā termiņa vērtība;
b n+1 - ģeometriskās progresijas nākamā vārda formula;
q ir ģeometriskās progresijas saucējs (konstants skaitlis).
Ja aritmētiskās progresijas grafiks ir taisna līnija, tad ģeometriskā progresija veido nedaudz atšķirīgu attēlu:
Tāpat kā aritmētikas gadījumā, ģeometriskajai progresijai ir patvaļīga vārda vērtības formula. Jebkurš ģeometriskās progresijas n-tais loceklis ir vienāds ar pirmā vārda un progresijas saucēja reizinājumu līdz pakāpei n, kas samazināts par vienu:
Piemērs. Mums ir ģeometriskā progresija, kuras pirmais loceklis ir vienāds ar 3 un progresijas saucējs ir vienāds ar 1,5. Atradīsim progresijas 5. terminu
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Izmantojot īpašu formulu, tiek aprēķināta arī noteikta terminu skaita summa. Ģeometriskās progresijas pirmo n vārdu summa ir vienāda ar starpību starp progresijas n-tā vārda un tā saucēja reizinājumu un progresijas pirmo daļu, kas dalīta ar saucēju, kas samazināts ar vienu:
Ja b n tiek aizstāts, izmantojot iepriekš aprakstīto formulu, aplūkojamās skaitļu sērijas pirmo n vārdu summas vērtība būs šāda:
Piemērs. Ģeometriskā progresija sākas ar pirmo biedru, kas vienāds ar 1. Saucējs ir iestatīts uz 3. Atradīsim pirmo astoņu vārdu summu.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3 -1) = 3 280
Piemēram, secība \(2\); \(5\); \(8\); \(vienpadsmit\); \(14\)... ir aritmētiskā progresija, jo katrs nākamais elements no iepriekšējā atšķiras par trīs (var iegūt no iepriekšējā, pievienojot trīs):
Šajā progresijā starpība \(d\) ir pozitīva (vienāda ar \(3\)), un tāpēc katrs nākamais termins ir lielāks par iepriekšējo. Šādas progresijas sauc pieaug.
Tomēr var būt arī \(d\). negatīvs skaitlis. Piemēram, aritmētiskā progresijā \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... progresijas starpība \(d\) ir vienāda ar mīnus seši.
Un šajā gadījumā katrs nākamais elements būs mazāks nekā iepriekšējais. Šīs progresijas sauc samazinās.
Aritmētiskās progresijas apzīmējums
Progresiju norāda ar mazu latīņu burtu.
Tiek saukti skaitļi, kas veido progresiju biedri(vai elementi).
Tie ir apzīmēti ar vienu un to pašu burtu kā aritmētiskā progresija, bet ar skaitlisko indeksu, kas vienāds ar elementa numuru secībā.
Piemēram, aritmētiskā progresija \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) sastāv no elementiem \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) un tā tālāk.
Citiem vārdiem sakot, progresijai \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
Aritmētiskās progresijas uzdevumu risināšana
Principā iepriekš sniegtā informācija jau ir pietiekama, lai atrisinātu gandrīz jebkuru aritmētiskās progresijas problēmu (ieskaitot tos, kas tiek piedāvāti OGE).
Piemērs (OGE).
Aritmētisko progresiju nosaka nosacījumi \(b_1=7; d=4\). Atrodiet \(b_5\).
Risinājums:
Atbilde: \(b_5=23\)
Piemērs (OGE).
Ir doti pirmie trīs aritmētiskās progresijas locekļi: \(62; 49; 36…\) Atrodiet šīs progresijas pirmā negatīvā vārda vērtību.
Risinājums:
|
Mums ir doti pirmie secības elementi un zinām, ka tā ir aritmētiskā progresija. Tas nozīmē, ka katrs elements atšķiras no kaimiņa ar tādu pašu numuru. Noskaidrosim, kurš, no nākamā elementa atņemot iepriekšējo: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Tagad mēs varam atjaunot savu progresu uz mums nepieciešamo (pirmo negatīvo) elementu. |
|
|
Gatavs. Jūs varat uzrakstīt atbildi. |
Atbilde: \(-3\)
Piemērs (OGE).
Doti vairāki secīgi aritmētiskās progresijas elementi: \(…5; x; 10; 12,5...\) Atrodiet elementa vērtību, kas apzīmēta ar burtu \(x\).
Risinājums:
|
|
Lai atrastu \(x\), mums jāzina, cik ļoti nākamais elements atšķiras no iepriekšējā, citiem vārdiem sakot, progresijas atšķirība. Atradīsim to no diviem zināmiem blakus elementiem: \(d=12,5-10=2,5\). |
|
|
Un tagad mēs varam viegli atrast to, ko meklējam: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
Gatavs. Jūs varat uzrakstīt atbildi. |
Atbilde: \(7,5\).
Piemērs (OGE).
Aritmētisko progresiju nosaka šādi nosacījumi: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Atrodiet šīs progresijas pirmo sešu vārdu summu.
Risinājums:
|
Mums jāatrod progresa pirmo sešu terminu summa. Bet mēs nezinām to nozīmi; mums ir dots tikai pirmais elements. Tāpēc vispirms mēs aprēķinām vērtības pa vienam, izmantojot to, kas mums ir dots: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Nepieciešamā summa ir atrasta. |
Atbilde: \(S_6=9\).
Piemērs (OGE).
Aritmētiskajā progresijā \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Atrodiet šīs progresijas atšķirību.
Risinājums:
Atbilde: \(d=7\).
Svarīgas aritmētiskās progresijas formulas
Kā redzat, daudzas aritmētiskās progresijas problēmas var atrisināt, vienkārši saprotot galveno - ka aritmētiskā progresija ir skaitļu ķēde, un katrs nākamais elements šajā ķēdē tiek iegūts, pievienojot to pašu skaitli iepriekšējam ( progresijas atšķirība).
Tomēr dažreiz ir situācijas, kad ir ļoti neērti izlemt "uz galvu". Piemēram, iedomājieties, ka pašā pirmajā piemērā mums jāatrod nevis piektais elements \(b_5\), bet trīs simti astoņdesmit sestais \(b_(386)\). Vai mums ir jāpievieno četras \(385\) reizes? Vai arī iedomājieties, ka priekšpēdējā piemērā jums jāatrod pirmo septiņdesmit trīs elementu summa. Tev būs apnicis skaitīt...
Tāpēc šādos gadījumos viņi nerisina lietas “uz priekšu”, bet izmanto īpašas formulas, kas iegūtas aritmētiskajai progresijai. Un galvenās ir progresijas n-tā vārda formula un \(n\) pirmo terminu summas formula.
\(n\)-tā termina formula: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kur \(a_1\) ir progresijas pirmais loceklis;
\(n\) – vajadzīgā elementa numurs;
\(a_n\) – progresijas termins ar skaitli \(n\).
Šī formula ļauj ātri atrast pat trīssimto vai miljono elementu, zinot tikai pirmo un progresijas starpību.
Piemērs.
Aritmētisko progresiju nosaka nosacījumi: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Atrodiet \(b_(246)\).
Risinājums:
Atbilde: \(b_(246)=1850\).
Pirmo n vārdu summas formula: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kur
\(a_n\) – pēdējais summētais termins;
Piemērs (OGE).
Aritmētisko progresiju nosaka nosacījumi \(a_n=3,4n-0,6\). Atrodiet šīs progresijas pirmo \(25\) vārdu summu.
Risinājums:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\) |
Lai aprēķinātu pirmo divdesmit piecu terminu summu, mums jāzina pirmā un divdesmit piektā termina vērtība. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\) |
Tagad atradīsim divdesmit piekto terminu, aizstājot divdesmit piecus \(n\) vietā. |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\) |
Nu, tagad mēs varam viegli aprēķināt nepieciešamo summu. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Atbilde ir gatava. |
Atbilde: \(S_(25)=1090\).
Pirmo terminu summai \(n\) varat iegūt citu formulu: jums vienkārši nepieciešams \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) vietā aizstājiet formulu \(a_n=a_1+(n-1)d\). Mēs iegūstam:
Pirmo n vārdu summas formula: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kur
\(S_n\) – nepieciešamā \(n\) pirmo elementu summa;
\(a_1\) – pirmais summētais termins;
\(d\) – progresijas atšķirība;
\(n\) – elementu skaits summā.
Piemērs.
Atrodiet aritmētiskās progresijas pirmo \(33\)-ex vārdu summu: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Risinājums:
Atbilde: \(S_(33)=-231\).
Sarežģītākas aritmētiskās progresijas problēmas
Tagad jums ir visa nepieciešamā informācija, lai atrisinātu gandrīz jebkuru aritmētiskās progresijas uzdevumu. Pabeigsim tēmu, apsverot problēmas, kurās ne tikai jāpielieto formulas, bet arī nedaudz jāpadomā (matemātikā tas var noderēt ☺)
Piemērs (OGE).
Atrodiet visu progresijas negatīvo vārdu summu: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Risinājums:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Uzdevums ir ļoti līdzīgs iepriekšējam. Mēs sākam risināt to pašu: vispirms atrodam \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\) |
Tagad es gribētu summas formulā aizstāt \(d\)... un šeit parādās neliela nianse - mēs nezinām \(n\). Citiem vārdiem sakot, mēs nezinām, cik vienumu būs jāpievieno. Kā to noskaidrot? Padomāsim. Mēs pārtrauksim pievienot elementus, kad sasniegsim pirmo pozitīvo elementu. Tas ir, jums ir jānoskaidro šī elementa numurs. Kā? Pierakstīsim formulu jebkura aritmētiskās progresijas elementa aprēķināšanai: \(a_n=a_1+(n-1)d\) mūsu gadījumā. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\) |
Mums ir nepieciešams \(a_n\), lai tas būtu lielāks par nulli. Noskaidrosim, kad \(n\) tas notiks. |
|
|
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\) |
||
|
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\) |
Mēs sadalām abas nevienādības puses ar \(0,3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) |
Pārskaitām mīnus viens, neaizmirstot nomainīt zīmes |
|
|
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\) |
Parēķināsim... |
|
|
\(n>65 333…\) |
...un izrādās, ka pirmajam pozitīvajam elementam būs skaitlis \(66\). Attiecīgi pēdējam negatīvajam ir \(n=65\). Katram gadījumam, pārbaudīsim šo. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) |
Tāpēc mums jāpievieno pirmie \(65\) elementi. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Atbilde ir gatava. |
Atbilde: \(S_(65)=-630,5\).
Piemērs (OGE).
Aritmētisko progresiju nosaka nosacījumi: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Atrodiet summu no \(26\) līdz elementam \(42\) ieskaitot.
Risinājums:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Šajā uzdevumā jāatrod arī elementu summa, taču sākot nevis no pirmā, bet gan no \(26\)th. Šādam gadījumam mums nav formulas. Kā izlemt? |
|
|
Mūsu progresijai \(a_1=-33\) un starpībai \(d=4\) (galu galā mēs pievienojam četrus iepriekšējam elementam, lai atrastu nākamo). Zinot to, mēs atrodam pirmo \(42\)-y elementu summu. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Tagad pirmo \(25\) elementu summa. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
Un visbeidzot mēs aprēķinām atbildi. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Atbilde: \(S=1683\).
Aritmētiskajai progresijai ir vēl vairākas formulas, kuras mēs šajā rakstā neņēmām vērā to zemās praktiskās lietderības dēļ. Tomēr jūs varat tos viegli atrast.
Uzmanību!
Ir papildu
materiāli speciālajā 555. sadaļā.
Tiem, kas ir ļoti "ne ļoti..."
Un tiem, kas “ļoti…”)
Aritmētiskā progresija ir skaitļu virkne, kurā katrs skaitlis ir par tādu pašu summu lielāks (vai mazāks) par iepriekšējo.
Šī tēma bieži šķiet sarežģīta un nesaprotama. Burtu indeksi, progresijas n-tais loceklis, progresijas starpība - tas viss kaut kā mulsina, jā... Izdomāsim aritmētiskās progresijas nozīmi un uzreiz viss kļūs labāk.)
Aritmētiskās progresijas jēdziens.
Aritmētiskā progresija ir ļoti vienkāršs un skaidrs jēdziens. Vai jums ir kādas šaubas? Velti.) Skatieties paši.
Es uzrakstīšu nepabeigtu skaitļu sēriju:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Vai varat pagarināt šo sēriju? Kādi skaitļi būs nākamie pēc pieciem? Visi... uh..., īsi sakot, visi sapratīs, ka nākamie nāks skaitļi 6, 7, 8, 9 utt.
Sarežģīsim uzdevumu. Es dodu jums nepabeigtu skaitļu sēriju:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Jūs varēsiet noķert modeli, paplašināt sēriju un nosaukt septītais rindas numurs?
Ja sapratāt, ka šis skaitlis ir 20, apsveicam! Jūs ne tikai jutāt galvenie punkti aritmētiskā progresija, bet arī veiksmīgi izmantoja tos biznesā! Ja neesat to sapratis, lasiet tālāk.
Tagad pārtulkosim galvenos punktus no sajūtām matemātikā.)
Pirmais galvenais punkts.
Aritmētiskā progresija attiecas uz skaitļu sērijām. Sākumā tas ir mulsinoši. Mēs esam pieraduši risināt vienādojumus, zīmēt grafikus un visu to... Bet šeit mēs pagarinām sēriju, atrodam sērijas numuru...
Ir labi. Vienkārši progresijas ir pirmā iepazīšanās ar jaunu matemātikas nozari. Sadaļa saucas "Sērija", un tā darbojas īpaši ar skaitļu un izteiksmju sērijām. Pierodi.)
Otrais galvenais punkts.
Aritmētiskajā progresijā jebkurš skaitlis atšķiras no iepriekšējā par tādu pašu summu.
Pirmajā piemērā šī atšķirība ir viena. Neatkarīgi no tā, kādu skaitli paņemat, tas ir par vienu vairāk nekā iepriekšējais. Otrajā - trīs. Jebkurš skaitlis ir par trīs vairāk nekā iepriekšējais. Faktiski tieši šis brīdis dod mums iespēju aptvert modeli un aprēķināt turpmākos skaitļus.
Trešais galvenais punkts.
Šis brīdis nav uzkrītošs, jā... Bet tas ir ļoti, ļoti svarīgi. Šeit viņš ir: katrs progresijas numurs stāv savā vietā. Ir pirmais numurs, ir septītais, ir četrdesmit piektais utt. Ja tos nejauši sajaucat, raksts pazudīs. Pazudīs arī aritmētiskā progresija. Tas, kas palicis, ir tikai skaitļu virkne.
Tā ir visa būtība.
Protams, iekšā jauna tēma parādās jauni termini un apzīmējumi. Jums tie ir jāzina. Pretējā gadījumā jūs nesapratīsit uzdevumu. Piemēram, jums būs jāizlemj, piemēram:
Pierakstiet aritmētiskās progresijas (a n) pirmos sešus vārdus, ja a 2 = 5, d = -2,5.
Iedvesmojošs?) Burti, daži rādītāji... Un uzdevums, starp citu, nevarētu būt vienkāršāks. Jums vienkārši jāsaprot terminu un apzīmējumu nozīme. Tagad mēs apgūsim šo lietu un atgriezīsimies pie uzdevuma.
Noteikumi un apzīmējumi.
Aritmētiskā progresija ir skaitļu virkne, kurā katrs skaitlis atšķiras no iepriekšējā par tādu pašu summu.
Šo daudzumu sauc . Apskatīsim šo koncepciju sīkāk.
Aritmētiskās progresijas atšķirība.
Aritmētiskās progresijas atšķirība ir summa, par kādu jebkurš progresijas skaitlis vairāk iepriekšējā.
Viens svarīgs punkts. Lūdzu, pievērsiet uzmanību vārdam "vairāk". Matemātiski tas nozīmē, ka katrs progresijas skaitlis ir pievienojot aritmētiskās progresijas atšķirība līdz iepriekšējam skaitlim.
Lai aprēķinātu, teiksim otrais sērijas numuriem, jums ir nepieciešams vispirms numuru pievienotšī aritmētiskās progresijas atšķirība. Aprēķinam piektais- atšķirība ir nepieciešama pievienot Uz ceturtais, nu utt.
Aritmētiskās progresijas atšķirība Var būt pozitīvs, tad katrs sērijas numurs izrādīsies īsts vairāk nekā iepriekšējā.Šo progresēšanu sauc pieaug. Piemēram:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Šeit tiek iegūts katrs skaitlis pievienojot pozitīvs skaitlis, +5 pret iepriekšējo.
Atšķirība var būt negatīvs, tad katrs sērijas numurs būs mazāk nekā iepriekšējā.Šo progresu sauc (jūs neticēsit!) samazinās.
Piemēram:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Šeit tiek iegūts arī katrs skaitlis pievienojot uz iepriekšējo, bet jau negatīvs skaitlis, -5.
Starp citu, strādājot ar progresēšanu, ir ļoti noderīgi uzreiz noteikt tās būtību – vai tas palielinās vai samazinās. Tas ļoti palīdz orientēties lēmuma pieņemšanā, pamanīt savas kļūdas un izlabot tās, pirms nav par vēlu.
Aritmētiskās progresijas atšķirība parasti apzīmē ar burtu d.
Kā atrast d? Ļoti vienkārši. Ir nepieciešams atņemt no jebkura skaitļa sērijā iepriekšējā numuru. Atņemt. Starp citu, atņemšanas rezultātu sauc par "starpību".)
Definēsim, piemēram, d aritmētiskās progresijas palielināšanai:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Mēs ņemam jebkuru skaitli no sērijas, ko vēlamies, piemēram, 11. Mēs no tā atņemam iepriekšējais numurs tie. 8:
Šī ir pareizā atbilde. Šai aritmētiskajai progresijai atšķirība ir trīs.
Jūs varat to ņemt jebkurš progresijas numurs, jo konkrētai progresijai d-vienmēr tas pats. Vismaz kaut kur rindas sākumā, vismaz vidū, vismaz jebkur. Jūs nevarat ņemt tikai pašu pirmo numuru. Vienkārši tāpēc, ka pats pirmais numurs neviena iepriekšējā.)
Starp citu, to zinot d=3, atrast šīs progresijas septīto skaitli ir ļoti vienkārši. Piektajam skaitlim pievienosim 3 - iegūstam sesto, būs 17. Sestajam skaitlim pieskaitīsim trīs, iegūstam septīto skaitli - divdesmit.
Definēsim d dilstošai aritmētiskajai progresijai:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Atgādinu, ka neatkarīgi no pazīmēm, lai noteiktu d nepieciešams no jebkura numura atņem iepriekšējo. Izvēlieties jebkuru progresijas skaitli, piemēram, -7. Viņa iepriekšējais numurs ir -2. Pēc tam:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Aritmētiskās progresijas starpība var būt jebkurš skaitlis: vesels skaitlis, daļskaitlis, iracionāls, jebkurš skaitlis.
Citi termini un apzīmējumi.
Katrs sērijas numurs tiek izsaukts aritmētiskās progresijas dalībnieks.
Katrs progresijas dalībnieks ir savs numurs. Skaitļi ir stingri kārtībā, bez trikiem. Pirmā, otrā, trešā, ceturtā utt. Piemēram, progresijā 2, 5, 8, 11, 14, ... divi ir pirmais vārds, pieci ir otrais, vienpadsmit ir ceturtais, labi, jūs saprotat...) Lūdzu, skaidri saprotiet - paši skaitļi var būt pilnīgi jebkas, vesels, daļējs, negatīvs, jebkas, bet skaitļu numerācija- stingri kārtībā!
Kā uzrakstīt progresu vispārīgā formā? Nekādu problēmu! Katrs sērijas numurs ir rakstīts kā burts. Lai apzīmētu aritmētisko progresiju, parasti izmanto burtu a. Dalībnieka numurs ir norādīts ar indeksu apakšējā labajā stūrī. Mēs rakstām terminus, atdalot tos ar komatiem (vai semikolu), šādi:
1, 2, 3, 4, 5, ......
a 1- šis ir pirmais numurs, a 3- trešais utt. Nekas grezns. Šo sēriju var īsi uzrakstīt šādi: (a n).
Progresijas notiek ierobežots un bezgalīgs.
Galīgais progresijai ir ierobežots dalībnieku skaits. Pieci, trīsdesmit astoņi, vienalga. Bet tas ir ierobežots skaitlis.
Bezgalīgs progresija — ir bezgalīgs dalībnieku skaits, kā jūs varētu nojaust.)
Jūs varat uzrakstīt šādu sēriju galīgo progresu, visus terminus un punktu beigās:
1, 2, 3, 4, 5.
Vai šādi, ja ir daudz dalībnieku:
a 1, a 2, ... a 14, a 15.
Īsajā ierakstā papildus būs jānorāda dalībnieku skaits. Piemēram (divdesmit dalībniekiem) šādi:
(a n), n = 20
Bezgalīgu progresu var atpazīt pēc elipses rindas beigās, kā tas ir norādīts šīs nodarbības piemēros.
Tagad jūs varat atrisināt uzdevumus. Uzdevumi ir vienkārši, lai saprastu aritmētiskās progresijas nozīmi.
Aritmētiskās progresijas uzdevumu piemēri.
Apskatīsim iepriekš sniegto uzdevumu sīkāk:
1. Izrakstiet aritmētiskās progresijas (a n) pirmos sešus vārdus, ja a 2 = 5, d = -2,5.
Mēs nododam uzdevumu uz skaidra valoda. Tiek dota bezgalīga aritmētiskā progresija. Ir zināms šīs progresa otrais numurs: a 2 = 5. Progresēšanas atšķirība ir zināma: d = -2,5. Mums ir jāatrod šīs progresa pirmais, trešais, ceturtais, piektais un sestais termins.
Skaidrības labad pierakstīšu sēriju atbilstoši problēmas apstākļiem. Pirmie seši termini, kur otrais termiņš ir pieci:
1, 5, 3, 4, 5, 6,...
a 3 = a 2 + d
Aizstāt ar izteiksmi a 2 = 5 Un d = -2,5. Neaizmirstiet par mīnusiem!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Trešais termiņš izrādījās mazāks par otro. Viss ir loģiski. Ja skaitlis ir lielāks par iepriekšējo negatīvs vērtība, kas nozīmē, ka pats skaitlis būs mazāks par iepriekšējo. Progresēšana samazinās. Labi, ņemsim to vērā.) Mēs ieskaitām mūsu sērijas ceturto termiņu:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
a 5 = a 4 + d
a 5=0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = a 5 + d
a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Tātad tika aprēķināti termiņi no trešā līdz sestajam. Rezultāts ir šāda sērija:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Atliek atrast pirmo terminu a 1 saskaņā ar labi zināmo otro. Tas ir solis otrā virzienā, pa kreisi.) Tātad aritmētiskās progresijas atšķirība d nevajadzētu pievienot a 2, A atņemt:
a 1 = a 2 - d
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Tieši tā. Uzdevuma atbilde:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Garāmejot vēlos atzīmēt, ka mēs šo uzdevumu atrisinājām atkārtojas veidā. Šis briesmīgais vārds nozīmē tikai progresa biedra meklēšanu atbilstoši iepriekšējam (blakus esošajam) numuram. Tālāk apskatīsim citus veidus, kā strādāt ar progresēšanu.
No šī vienkāršā uzdevuma var izdarīt vienu svarīgu secinājumu.
Atcerieties:
Ja zinām vismaz vienu terminu un aritmētiskās progresijas starpību, mēs varam atrast jebkuru šīs progresijas terminu.
Vai tu atceries? Šis vienkāršais secinājums ļauj atrisināt lielāko daļu skolas kursa problēmu par šo tēmu. Visi uzdevumi ir saistīti ar trim galvenajiem parametriem: aritmētiskās progresijas loceklis, progresijas starpība, progresijas locekļa numurs. Visi.
Protams, visa iepriekšējā algebra netiek atcelta.) Nevienādības, vienādojumi un citas lietas ir saistītas ar progresēšanu. Bet atbilstoši pašai progresijai- viss griežas ap trim parametriem.
Piemēram, apskatīsim dažus populārus uzdevumus par šo tēmu.
2. Uzrakstiet galīgo aritmētisko progresiju kā sēriju, ja n=5, d = 0,4 un a 1 = 3,6.
Šeit viss ir vienkārši. Viss jau ir dots. Jums jāatceras, kā tiek skaitīti aritmētiskās progresijas locekļi, tie jāsaskaita un jāpieraksta. Uzdevuma nosacījumos vēlams nepalaist garām vārdus: “fināls” un “ n=5". Lai neskaitītu, līdz esat pilnīgi zils sejā.) Šajā progresā ir tikai 5 (pieci) dalībnieki:
a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4
a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Atliek pierakstīt atbildi:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Vēl viens uzdevums:
3. Nosakiet, vai skaitlis 7 būs aritmētiskās progresijas (a n) dalībnieks, ja a 1 = 4,1; d = 1,2.
Hmm... Kas zina? Kā kaut ko noteikt?
Kā-kā... Pieraksti progresu sērijas veidā un paskaties, būs vai nebūs septītnieks! Mēs uzskaitām:
a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3
a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5
a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Tagad ir skaidri redzams, ka esam tikai septiņi izslīdēja cauri no 6,5 līdz 7,7! Septiņi neietilpa mūsu skaitļu sērijā, un tāpēc septiņi nebūs dotās progresijas dalībnieki.
Atbilde: nē.
Un šeit ir problēma, kuras pamatā ir reāla GIA versija:
4. Tiek izrakstīti vairāki secīgi aritmētiskās progresijas termini:
...; 15; X; 9; 6; ...
Šeit ir sērija, kas rakstīta bez beigām un sākuma. Nav dalībnieku numuru, nav atšķirības d. Ir labi. Lai atrisinātu problēmu, pietiek saprast aritmētiskās progresijas nozīmi. Apskatīsim un redzēsim, kas ir iespējams zināt no šīs sērijas? Kādi ir trīs galvenie parametri?
Dalībnieku numuri? Šeit nav neviena numura.
Bet ir trīs skaitļi un - uzmanību! - vārds "konsekventi" stāvoklī. Tas nozīmē, ka skaitļi ir stingri sakārtoti, bez atstarpēm. Vai šajā rindā ir divi? kaimiņos zināmi cipari? Jā, man ir! Tie ir 9 un 6. Tāpēc mēs varam aprēķināt aritmētiskās progresijas starpību! Atņemiet no sešiem iepriekšējā numurs, t.i. deviņi:
Ir palikuši tikai sīkumi. Kāds skaitlis būs iepriekšējais X? Piecpadsmit. Tas nozīmē, ka X var viegli atrast, vienkārši pievienojot. Pievienojiet aritmētiskās progresijas starpību 15:
Tas ir viss. Atbilde: x=12
Tālāk norādītās problēmas risinām paši. Piezīme: šīs problēmas nav balstītas uz formulām. Tīri, lai saprastu aritmētiskās progresijas nozīmi.) Mēs vienkārši pierakstām ciparu un burtu virkni, skatāmies un izdomājam.
5. Atrast pirmo pozitīvo aritmētiskās progresijas biedru, ja a 5 = -3; d = 1,1.
6. Ir zināms, ka skaitlis 5,5 ir aritmētiskās progresijas (a n) dalībnieks, kur a 1 = 1,6; d = 1,3. Nosakiet šī locekļa skaitli n.
7. Ir zināms, ka aritmētiskajā progresijā a 2 = 4; a 5 = 15,1. Atrodi 3.
8. Izraksti vairākus secīgus aritmētiskās progresijas terminus:
...; 15,6; X; 3,4; ...
Atrodiet progresijas termiņu, kas apzīmēts ar burtu x.
9. Vilciens sāka kustēties no stacijas, vienmērīgi palielinot ātrumu par 30 metriem minūtē. Kāds būs vilciena ātrums pēc piecām minūtēm? Sniedziet atbildi km/h.
10. Zināms, ka aritmētiskajā progresijā a 2 = 5; a 6 = -5. Atrodi 1.
Atbildes (nekārtīgi): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.
Viss izdevās? Apbrīnojami! Varat apgūt aritmētisko progresiju, lai iegūtu vairāk augsts līmenis, turpmākajās nodarbībās.
Vai viss neizdevās? Nekādu problēmu. Speciālajā 555. sadaļā visas šīs problēmas ir sakārtotas pa gabalu.) Un, protams, ir aprakstīts vienkāršs praktisks paņēmiens, kas uzreiz skaidri, skaidri, vienā mirklī izceļ šādu uzdevumu risinājumu!
Starp citu, vilcienu mīklā ir divas problēmas, par kurām cilvēki bieži paklūp. Viens ir tikai progresēšanas ziņā, bet otrs ir vispārīgs attiecībā uz visām matemātikas un arī fizikas problēmām. Šis ir izmēru tulkojums no viena uz otru. Tas parāda, kā šīs problēmas būtu jārisina.
Šajā nodarbībā aplūkojām aritmētiskās progresijas elementāro nozīmi un tās galvenos parametrus. Tas ir pietiekami, lai atrisinātu gandrīz visas problēmas par šo tēmu. Pievienot d uz cipariem, uzraksti sēriju, viss atrisināsies.
Pirkstu risinājums labi darbojas ļoti īsām rindas daļām, kā tas ir norādīts šīs apmācības piemēros. Ja sērija ir garāka, aprēķini kļūst sarežģītāki. Piemēram, ja jautājuma 9. uzdevumā mēs aizstājam "piecas minūtes" ieslēgts "trīsdesmit piecas minūtes" problēma ievērojami pasliktināsies.)
Un ir arī uzdevumi, kas pēc būtības ir vienkārši, bet aprēķinu ziņā absurdi, piemēram:
Tiek dota aritmētiskā progresija (a n). Atrodiet 121, ja 1 = 3 un d = 1/6.
Nu ko, vai mēs pievienosim 1/6 daudzas, daudzas reizes?! Vai tu vari nogalināt sevi!?
Jūs varat.) Ja nezināt vienkāršu formulu, pēc kuras jūs varat atrisināt šādus uzdevumus minūtē. Šī formula būs nākamajā nodarbībā. Un tur šī problēma ir atrisināta. Vienā minūtē.)
Ja jums patīk šī vietne...
Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)
Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīsimies - ar interesi!)
Var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.
Instrukcijas
Aritmētiskā progresija ir secība formā a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Numura d solis progresēšanu.Ir skaidrs, ka aritmētikas patvaļīga n-tā termina vispārīgais progresēšanu ir šāda forma: An = A1+(n-1)d. Tad zinot vienu no biedriem progresēšanu, biedrs progresēšanu un soli progresēšanu, varat, tas ir, progresa dalībnieka numurs. Acīmredzot to noteiks pēc formulas n = (An-A1+d)/d.
Lai tagad ir zināms m-tais termins progresēšanu un vēl viens biedrs progresēšanu- nth, bet n , tāpat kā iepriekšējā gadījumā, bet ir zināms, ka n un m nesakrīt progresēšanu var aprēķināt, izmantojot formulu: d = (An-Am)/(n-m). Tad n = (An-Am+md)/d.
Ja ir zināma aritmētiskā vienādojuma vairāku elementu summa progresēšanu, kā arī tā pirmo un pēdējo, tad var noteikt arī šo elementu skaitu Aritmētikas summu progresēšanu būs vienāds ar: S = ((A1+An)/2)n. Tad n = 2S/(A1+An) - chdenov progresēšanu. Izmantojot faktu, ka An = A1+(n-1)d, šo formulu var pārrakstīt šādi: n = 2S/(2A1+(n-1)d). No tā mēs varam izteikt n, risinot kvadrātvienādojums.
Aritmētiskā secība ir sakārtota skaitļu kopa, kuras katrs dalībnieks, izņemot pirmo, atšķiras no iepriekšējā par tādu pašu summu. Šo nemainīgo vērtību sauc par progresijas vai tās soļa starpību, un to var aprēķināt no zināmajiem aritmētiskās progresijas nosacījumiem.
Instrukcijas
Ja no uzdevuma nosacījumiem ir zināmas pirmā un otrā vai jebkura cita blakus esošo terminu pāra vērtības, lai aprēķinātu starpību (d), vienkārši atņemiet iepriekšējo no nākamā termina. Rezultātā iegūtā vērtība var būt pozitīvs vai negatīvs skaitlis — tas ir atkarīgs no tā, vai progresēšana palielinās. IN vispārējā forma uzrakstiet atrisinājumu patvaļīgi izvēlētam progresijas blakus terminu pārim (aᵢ un aᵢ₊₁) šādi: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.
Šādas progresijas terminu pārim, no kuriem viens ir pirmais (a₁), bet otrs ir jebkurš cits patvaļīgi izvēlēts, var arī izveidot formulu atšķirības (d) atrašanai. Tomēr šajā gadījumā ir jāzina patvaļīgi izvēlēta secības dalībnieka sērijas numurs (i). Lai aprēķinātu starpību, saskaitiet abus skaitļus un izdaliet iegūto rezultātu ar patvaļīga vārda kārtas skaitli, kas samazināts par vienu. Parasti rakstiet šo formulu šādi: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).
Ja papildus patvaļīgam aritmētiskās progresijas loceklim ar kārtas skaitli i ir zināms vēl viens loceklis ar kārtas skaitli u, attiecīgi mainiet iepriekšējās darbības formulu. Šajā gadījumā progresijas starpība (d) būs šo divu terminu summa, kas dalīta ar starpību starp tiem sērijas numuri: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).
Formula starpības (d) aprēķināšanai kļūst nedaudz sarežģītāka, ja uzdevuma nosacījumi dod tā pirmā locekļa vērtību (a₁) un aritmētiskās secības pirmo daļu dotā skaitļa (i) summu (Sᵢ). Lai iegūtu vēlamo vērtību, sadaliet summu ar to veidojošo vārdu skaitu, atņemiet secības pirmā skaitļa vērtību un dubultojiet rezultātu. Sadaliet iegūto vērtību ar terminu skaitu, kas veido summu, kas samazināta par vienu. Vispārīgi rakstiet formulu diskriminanta aprēķināšanai šādi: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).
