Tiešsaistes kalkulators.
Aritmētiskās progresijas atrisināšana.
Dots: a n , d, n
Atrodi: a 1

Šī matemātiskā programma atrod \(a_1\) no aritmētiskās progresijas, pamatojoties uz lietotāja norādītajiem skaitļiem \(a_n, d\) un \(n\).
Skaitļus \(a_n\) un \(d\) var norādīt ne tikai kā veselus skaitļus, bet arī kā daļskaitļus. Turklāt, daļskaitlis var ievadīt kā decimāldaļu (\(2,5\)) un kā kopējā frakcija(\(-5\frac(2)(7)\)).

Programma ne tikai sniedz atbildi uz problēmu, bet arī parāda risinājuma atrašanas procesu.

Šis tiešsaistes kalkulators var būt noderīgs vidusskolēniem vidusskolas gatavojoties testiem un eksāmeni, pārbaudot zināšanas pirms Vienotā valsts eksāmena, vecākiem, lai kontrolētu daudzu matemātikas un algebras uzdevumu risināšanu. Vai varbūt jums ir pārāk dārgi algot pasniedzēju vai iegādāties jaunas mācību grāmatas? Vai arī jūs vienkārši vēlaties pēc iespējas ātrāk pabeigt matemātikas vai algebras mājasdarbus? Šajā gadījumā varat izmantot arī mūsu programmas ar detalizētiem risinājumiem.

Tādā veidā jūs varat vadīt savu un/vai savu apmācību. jaunākie brāļi vai māsas, savukārt izglītības līmenis risināmo problēmu jomā paaugstinās.

Ja neesat pazīstams ar ciparu ievadīšanas noteikumiem, iesakām ar tiem iepazīties.

Noteikumi ciparu ievadīšanai

Skaitļus \(a_n\) un \(d\) var norādīt ne tikai kā veselus skaitļus, bet arī kā daļskaitļus.
Skaitlis \(n\) var būt tikai pozitīvs vesels skaitlis.

Decimāldaļskaitļu ievadīšanas noteikumi.
Veselas un daļdaļas decimāldaļdaļās var atdalīt ar punktu vai komatu.
Piemēram, varat ievadīt decimāldaļas tātad 2,5 vai tā 2,5

Parasto daļskaitļu ievadīšanas noteikumi.
Tikai vesels skaitlis var darboties kā frakcijas skaitītājs, saucējs un vesels skaitlis.

Saucējs nevar būt negatīvs.

Ieejot skaitliskā daļa Skaitītāju no saucēja atdala ar dalījuma zīmi: /
Ievade:
Rezultāts: \(-\frac(2) (3)\)

Visa daļa ir atdalīta no frakcijas ar & zīmi: &
Ievade:
Rezultāts: \(-1\frac(2) (3)\)

Ievadiet ciparus a n , d, n

Atrodi 1

Tika atklāts, ka daži skripti, kas nepieciešami šīs problēmas risināšanai, netika ielādēti un programma var nedarboties.
Iespējams, jums ir iespējots AdBlock.
Šādā gadījumā atspējojiet to un atsvaidziniet lapu.

JavaScript jūsu pārlūkprogrammā ir atspējots.
Lai risinājums tiktu parādīts, jums ir jāiespējo JavaScript.
Šeit ir sniegti norādījumi, kā pārlūkprogrammā iespējot JavaScript.

Jo Ir daudz cilvēku, kas vēlas atrisināt problēmu, jūsu pieprasījums ir ievietots rindā.
Pēc dažām sekundēm zemāk parādīsies risinājums.
Lūdzu uzgaidiet sek...

Ja jūs pamanīja kļūdu risinājumā, tad par to varat rakstīt atsauksmju veidlapā.
Neaizmirsti norādiet, kurš uzdevums tu izlem ko ievadiet laukos.

Mūsu spēles, puzles, emulatori:

Nedaudz teorijas.

Skaitļu secība

Ikdienas praksē nereti tiek izmantota dažādu objektu numerācija, lai norādītu, kādā secībā tie ir sakārtoti. Piemēram, mājas katrā ielā ir numurētas. Bibliotēkā lasītāju abonementi tiek numurēti un pēc tam sakārtoti piešķirto numuru secībā speciālos kartotēkos.

Krājbankā, izmantojot noguldītāja personīgo konta numuru, varat viegli atrast šo kontu un redzēt, kāds depozīts tajā atrodas. Lai kontā Nr.1 ​​ir depozīts a1 rublis, kontā Nr.2 ir depozīts a2 rubļi utt.. Izrādās numuru secība
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
kur N ir visu kontu skaits. Šeit katrs naturāls skaitlis n no 1 līdz N ir saistīts ar skaitli a n.

Mācījies arī matemātikā bezgalīgas skaitļu virknes:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Tiek izsaukts skaitlis a 1 pirmais sērijas dalībnieks, numurs a 2 - secības otrais termins, numurs a 3 - secības trešais termins utt.
Tiek izsaukts skaitlis a n n-tais (n-tais) secības dalībnieks, un naturālais skaitlis n ir tā numuru.

Piemēram, naturālu skaitļu kvadrātu secībā 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... un 1 = 1 ir secības pirmais loceklis; un n = n 2 ir n-tais termiņš sekvences; a n+1 = (n + 1) 2 ir secības (n + 1) (n plus pirmais) termins. Bieži vien secību var norādīt ar tās n-tā termiņa formulu. Piemēram, formula \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) definē secību \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac(1)(3) , \frac(1)(4), \dots,\frac(1)(n), \dots \;

Aritmētiskā progresija

Gada garums ir aptuveni 365 dienas. Vairāk precīza vērtība ir vienāds ar \(365\frac(1)(4)\) dienām, tāpēc ik pēc četriem gadiem uzkrājas vienas dienas kļūda.

Lai ņemtu vērā šo kļūdu, katram ceturtajam gadam tiek pievienota diena, un pagarināto gadu sauc par garo gadu.

Piemēram, trešajā tūkstošgadē garie gadi ir gadi 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

Šajā secībā katrs dalībnieks, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo, pievienots tam pašam skaitlim 4. Šādas secības sauc aritmētiskās progresijas.

Definīcija.
Tiek izsaukta skaitļu secība a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... aritmētiskā progresija, ja visiem dabiskajiem n vienlīdzību
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
kur d ir kāds skaitlis.

No šīs formulas izriet, ka a n+1 - a n = d. Skaitli d sauc par starpību aritmētiskā progresija.

Pēc aritmētiskās progresijas definīcijas mums ir:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
kur
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), kur \(n>1 \)

Tādējādi katrs aritmētiskās progresijas loceklis, sākot no otrā, ir vienāds ar divu blakus esošo terminu vidējo aritmētisko. Tas izskaidro nosaukumu "aritmētiskā" progresija.

Ņemiet vērā, ka, ja ir doti a 1 un d, tad atlikušos aritmētiskās progresijas nosacījumus var aprēķināt, izmantojot atkārtotu formulu a n+1 = a n + d. Tādā veidā nav grūti aprēķināt pirmos progresijas nosacījumus, taču, piemēram, 100 jau prasīs daudz aprēķinu. Parasti šim nolūkam tiek izmantota n-tā termina formula. Pēc aritmētiskās progresijas definīcijas
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
utt.
Pavisam,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
jo n-tais termiņš aritmētiskā progresija tiek iegūta no pirmā vārda, saskaitot (n-1) reizināto skaitli d.
Šo formulu sauc aritmētiskās progresijas n-tā vārda formula.

Aritmētiskās progresijas pirmo n vārdu summa

Atrodiet visu naturālo skaitļu summu no 1 līdz 100.
Rakstīsim šo summu divos veidos:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Saskaitīsim šīs vienādības pa vārdam:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Šajā summā ir 100 termini
Tāpēc 2S = 101 * 100, tātad S = 101 * 50 = 5050.

Tagad aplūkosim patvaļīgu aritmētisko progresiju
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Lai S n ir šīs progresijas pirmo n vārdu summa:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Tad aritmētiskās progresijas pirmo n vārdu summa ir vienāda ar
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Tā kā \(a_n=a_1+(n-1)d\), tad, aizstājot n šajā formulā, mēs iegūstam citu formulu atrašanai aritmētiskās progresijas pirmo n vārdu summa:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Grāmatas (mācību grāmatas) Vienotā valsts eksāmena un vienotā valsts eksāmena testu tēzes tiešsaistē Spēles, puzles Funkciju grafiku zīmēšana Krievu valodas pareizrakstības vārdnīca Jauniešu slenga vārdnīca Krievu skolu katalogs Krievijas vidējo izglītības iestāžu katalogs Krievijas universitāšu katalogs Saraksts uzdevumiem

Pirmais līmenis

Aritmētiskā progresija. Detalizēta teorija ar piemēriem (2019)

Skaitļu secība

Tātad, apsēdīsimies un sāksim rakstīt dažus skaitļus. Piemēram:
Jūs varat rakstīt jebkurus ciparus, un to var būt tik daudz, cik vēlaties (mūsu gadījumā tie ir). Neatkarīgi no tā, cik skaitļus mēs rakstām, mēs vienmēr varam pateikt, kurš no tiem ir pirmais, kurš ir otrais un tā tālāk līdz pēdējam, tas ir, mēs varam tos numurēt. Šis ir skaitļu secības piemērs:

Skaitļu secība
Piemēram, mūsu secībai:

Piešķirtais numurs ir raksturīgs tikai vienam numuram secībā. Citiem vārdiem sakot, secībā nav trīs sekunžu skaitļu. Otrais cipars (tāpat kā th cipars) vienmēr ir vienāds.
Skaitli ar skaitli sauc par secības th terminu.

Mēs parasti saucam visu secību ar kādu burtu (piemēram,), un katrs šīs secības dalībnieks ir viens un tas pats burts ar indeksu, kas vienāds ar šī elementa numuru: .

Mūsu gadījumā:

Pieņemsim, ka mums ir skaitļu secība, kurā starpība starp blakus esošajiem skaitļiem ir vienāda un vienāda.
Piemēram:

utt.
Šo skaitļu secību sauc par aritmētisko progresiju.
Terminu "progresēšana" ieviesa romiešu autors Boetijs tālajā 6. gadsimtā un plašākā nozīmē to saprata kā bezgalīgu ciparu secību. Nosaukums "aritmētika" tika pārcelts no nepārtraukto proporciju teorijas, kuru pētīja senie grieķi.

Šī ir skaitļu virkne, kuras katrs dalībnieks ir vienāds ar iepriekšējo, kas pievienots tam pašam skaitlim. Šo skaitli sauc par aritmētiskās progresijas starpību un apzīmē.

Mēģiniet noteikt, kuras skaitļu secības ir aritmētiskā progresija un kuras nav:

a)
b)
c)
d)

Sapratu? Salīdzināsim mūsu atbildes:
Ir aritmētiskā progresija - b, c.
Nav aritmētiskā progresija - a, d.

Atgriezīsimies pie dotās progresijas () un mēģināsim atrast tās th vārda vērtību. Pastāv divi veids, kā to atrast.

1. Metode

Mēs varam pievienot progresijas skaitli iepriekšējai vērtībai, līdz mēs sasniedzam progresijas th. Labi, ka mums nav daudz ko apkopot - tikai trīs vērtības:

Tātad aprakstītās aritmētiskās progresijas th loceklis ir vienāds ar.

2. Metode

Ko darīt, ja mums būtu jāatrod progresijas th termina vērtība? Summēšana mums aizņemtu vairāk nekā vienu stundu, un tas nav fakts, ka mēs nekļūdītos, saskaitot skaitļus.
Protams, matemātiķi ir izdomājuši veidu, kā aritmētiskās progresijas starpību nav nepieciešams pievienot iepriekšējai vērtībai. Apskatiet uzzīmēto attēlu vērīgāk... Noteikti jau esat pamanījuši noteiktu rakstu, proti:

Piemēram, paskatīsimies, no kā sastāv šīs aritmētiskās progresijas th termiņa vērtība:


Citiem vārdiem sakot:

Mēģiniet pats šādā veidā atrast dotās aritmētiskās progresijas locekļa vērtību.

Vai jūs aprēķinājāt? Salīdziniet savas piezīmes ar atbildi:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka jūs saņēmāt tieši tādu pašu skaitli kā iepriekšējā metodē, kad mēs secīgi pievienojām aritmētiskās progresijas nosacījumus iepriekšējai vērtībai.
Mēģināsim “depersonalizēt” šo formulu - formulēsim to vispārīgā formā un iegūsim:

Aritmētiskās progresijas vienādojums.

Aritmētiskā progresija var palielināties vai samazināties.

Pieaug- progresijas, kurās katra nākamā terminu vērtība ir lielāka par iepriekšējo.
Piemēram:

Dilstoša- progresijas, kurās katra nākamā terminu vērtība ir mazāka par iepriekšējo.
Piemēram:

Atvasinātā formula tiek izmantota aritmētiskās progresijas terminu aprēķināšanai gan pieaugošajos, gan samazinošajos termiņos.
Pārbaudīsim to praksē.
Mums tiek dota aritmētiskā progresija, kas sastāv no šādiem skaitļiem: Pārbaudīsim, kāds būs šīs aritmētiskās progresijas skaitlis, ja izmantosim formulu, lai to aprēķinātu:

Kopš tā laika:

Tādējādi esam pārliecināti, ka formula darbojas gan dilstošā, gan pieaugošā aritmētiskajā progresijā.
Mēģiniet pats atrast šīs aritmētiskās progresijas th un th nosacījumus.

Salīdzināsim rezultātus:

Aritmētiskās progresijas īpašība

Sarežģīsim uzdevumu – atvasināsim aritmētiskās progresijas īpašību.
Pieņemsim, ka mums ir šāds nosacījums:
- aritmētiskā progresija, atrodiet vērtību.
Vienkārši, jūs sakāt un sāciet skaitīt pēc formulas, kuru jau zināt:

Ļaujiet, ah, tad:

Pilnīga taisnība. Sanāk, ka vispirms atrodam, tad pievienojam pirmajam ciparam un iegūstam to, ko meklējam. Ja progresiju attēlo mazas vērtības, tad tajā nav nekā sarežģīta, bet ja nu nosacījumā mums ir doti skaitļi? Piekrītu, aprēķinos ir iespējama kļūda.
Tagad padomājiet, vai šo problēmu ir iespējams atrisināt vienā solī, izmantojot jebkuru formulu? Protams, jā, un tieši to mēs tagad mēģināsim izcelt.

Apzīmēsim vajadzīgo aritmētiskās progresijas terminu kā mums zināmo formulu tā atrašanai - šī ir tā pati formula, ko mēs atvasinājām sākumā:
, Tad:

• iepriekšējais progresēšanas termiņš ir:
• nākamais progresēšanas termiņš ir:

Apkoposim iepriekšējos un turpmākos progresēšanas nosacījumus:

Izrādās, ka iepriekšējo un nākamo progresijas nosacījumu summa ir starp tiem esošā progresijas vārda dubultā vērtība. Citiem vārdiem sakot, lai atrastu progresijas vārda vērtību ar zināmām iepriekšējām un nākamajām vērtībām, tās ir jāpievieno un jādala ar.

Tieši tā, mums ir vienāds numurs. Nostiprināsim materiālu. Aprēķiniet progresēšanas vērtību pats, tas nepavisam nav grūti.

Labi padarīts! Jūs zināt gandrīz visu par progresu! Atliek noskaidrot tikai vienu formulu, kuru, saskaņā ar leģendu, viegli izsecināja viens no visu laiku izcilākajiem matemātiķiem, “matemātiķu karalis” - Karls Gauss...

Kad Kārlim Gausam bija 9 gadi, skolotājs, kas bija aizņemts ar citu klašu skolēnu darbu pārbaudīšanu, stundā uzdeva šādu uzdevumu: “Aprēķiniet visu naturālo skaitļu summu no līdz (saskaņā ar citiem avotiem līdz) ieskaitot.” Iedomājieties skolotāja pārsteigumu, kad viens no viņa audzēkņiem (tas bija Kārlis Gauss) minūti vēlāk sniedza pareizo atbildi uz uzdevumu, savukārt lielākā daļa pārdrošnieka klasesbiedru pēc ilgiem aprēķiniem saņēma nepareizu rezultātu...

Jaunais Karls Gauss pamanīja noteiktu modeli, ko arī jūs varat viegli pamanīt.
Pieņemsim, ka mums ir aritmētiskā progresija, kas sastāv no --ajiem vārdiem: Mums jāatrod šo aritmētiskās progresijas nosacījumu summa. Protams, mēs varam manuāli summēt visas vērtības, bet ja uzdevums prasa atrast tā terminu summu, kā to meklēja Gauss?

Attēlosim mums doto progresu. Uzmanīgi apskatiet izceltos skaitļus un mēģiniet ar tiem veikt dažādas matemātiskas darbības.


Vai esat to izmēģinājis? Ko jūs pamanījāt? Pa labi! Viņu summas ir vienādas

Tagad sakiet, cik mums dotajā progresijā kopumā ir šādu pāru? Protams, tieši puse no visiem skaitļiem, tas ir.
Pamatojoties uz to, ka aritmētiskās progresijas divu vārdu summa ir vienāda un līdzīgi pāri ir vienādi, mēs iegūstam, ka kopējā summa ir vienāda ar:
.
Tādējādi jebkuras aritmētiskās progresijas pirmo vārdu summas formula būs:

Dažās problēmās mēs nezinām th terminu, bet mēs zinām progresijas atšķirību. Mēģiniet aizstāt th termina formulu ar summas formulu.
Ko tu dabūji?

Labi padarīts! Tagad atgriezīsimies pie problēmas, kas tika uzdota Karlam Gausam: aprēķiniet paši, ar ko ir vienāda skaitļu summa, kas sākas no -th, un skaitļu summa, kas sākas no -th.

Cik tu saņēmi?
Gauss atklāja, ka terminu summa ir vienāda, un terminu summa. Vai tā nolēmāt?

Faktiski aritmētiskās progresijas terminu summas formulu jau 3. gadsimtā pierādīja sengrieķu zinātnieks Diofants, un visu šo laiku asprātīgi cilvēki pilnībā izmantoja aritmētiskās progresijas īpašības.
Piemēram, iedomājieties Senā Ēģipte un tā laika lielākais būvprojekts - piramīdas celtniecība... Attēlā redzama tās viena puse.

Kur te ir progresija, jūs sakāt? Paskatieties uzmanīgi un atrodiet smilšu bloku skaitu katrā piramīdas sienas rindā.


Kāpēc ne aritmētiskā progresija? Aprēķiniet, cik bloku nepieciešams vienas sienas uzbūvēšanai, ja pie pamatnes ir likti bloku ķieģeļi. Es ceru, ka jūs neskaitīsit, pārvietojot pirkstu pa monitoru, atceraties pēdējo formulu un visu, ko mēs teicām par aritmētisko progresiju?

Šajā gadījumā progresēšana izskatās šādi: .
Aritmētiskās progresijas atšķirība.
Aritmētiskās progresijas terminu skaits.
Aizstāsim savus datus pēdējās formulās (bloku skaitu aprēķināsim divos veidos).

1. metode.

2. metode.

Un tagad jūs varat aprēķināt monitorā: salīdziniet iegūtās vērtības ar bloku skaitu, kas atrodas mūsu piramīdā. Sapratu? Labi darīts, jūs esat apguvis aritmētiskās progresijas n-to vārdu summu.
Protams, jūs nevarat uzbūvēt piramīdu no blokiem pie pamatnes, bet no tā? Mēģiniet aprēķināt, cik smilšu ķieģeļu ir nepieciešams, lai izveidotu sienu ar šo nosacījumu.
Vai jums izdevās?
Pareizā atbilde ir bloki:

Apmācība

Uzdevumi:

1. Maša iegūst formu vasarai. Katru dienu viņa palielina pietupienu skaitu par. Cik reizes Maša veiks pietupienus nedēļā, ja viņa veica pietupienus pirmajā treniņā?
2. Kāda ir visu nepāra skaitļu summa, kas ietverta.
3. Uzglabājot baļķus, mežizstrādātāji tos sakrauj tā, lai katrs augšējais slānis satur par vienu žurnālu mazāk nekā iepriekšējā. Cik baļķu ir vienā mūrī, ja mūra pamats ir baļķi?

Atbildes:

1. Definēsim aritmētiskās progresijas parametrus. Šajā gadījumā
   (nedēļas = dienas).

   Atbilde: Divu nedēļu laikā Mašai reizi dienā jāveic pietupieni.

2. Pirmais nepāra skaitlis, pēdējais skaitlis.
   Aritmētiskās progresijas atšķirība.
   Nepāra skaitļu skaits ir uz pusi, tomēr pārbaudīsim šo faktu, izmantojot formulu aritmētiskās progresijas biedra atrašanai:

   Cipari satur nepāra skaitļus.
   Aizstāsim pieejamos datus formulā:

   Atbilde: Visu nepāra skaitļu summa ir vienāda.

3. Atcerēsimies problēmu par piramīdām. Mūsu gadījumā a , jo katrs virsējais slānis ir samazināts par vienu baļķi, tad kopā ir slāņu ķekars, tas ir.
   Aizstāsim datus formulā:

   Atbilde: Mūrē ir baļķi.

Apkoposim to

1. - skaitļu secība, kurā starpība starp blakus esošajiem skaitļiem ir vienāda un vienāda. Tas var palielināties vai samazināties.
2. Formulas atrašana Aritmētiskās progresijas th termiņu raksta ar formulu - , kur ir skaitļu skaits progresijā.
3. Aritmētiskās progresijas locekļu īpašība- - kur ir progresējošo skaitļu skaits.
4. Aritmētiskās progresijas vārdu summa var atrast divos veidos:
   
   , kur ir vērtību skaits.

ARITMĒTISKĀ PROGRESIJA. VIDĒJAIS LĪMENIS

Skaitļu secība

Apsēdīsimies un sāksim rakstīt dažus skaitļus. Piemēram:

Jūs varat rakstīt jebkurus ciparus, un to var būt tik daudz, cik vēlaties. Bet mēs vienmēr varam pateikt, kurš ir pirmais, kurš otrais un tā tālāk, tas ir, mēs varam tos numurēt. Šis ir skaitļu virknes piemērs.

Skaitļu secība ir skaitļu kopa, katram no kuriem var piešķirt unikālu numuru.

Citiem vārdiem sakot, katru skaitli var saistīt ar noteiktu naturālu skaitli un unikālu. Un mēs nepiešķirsim šo numuru nevienam citam numuram no šī komplekta.

Skaitli ar skaitli sauc par secības th locekli.

Mēs parasti saucam visu secību ar kādu burtu (piemēram,), un katrs šīs secības dalībnieks ir viens un tas pats burts ar indeksu, kas vienāds ar šī elementa numuru: .

Tas ir ļoti ērti, ja secības th vārdu var norādīt ar kādu formulu. Piemēram, formula

nosaka secību:

Un formula ir šāda secība:

Piemēram, aritmētiskā progresija ir secība (pirmais termins šeit ir vienāds, un atšķirība ir). Vai (, atšķirība).

Formulas n-tais termiņš

Mēs saucam par atkārtotu formulu, kurā, lai uzzinātu th terminu, jums jāzina iepriekšējais vai vairāki iepriekšējie:

Lai, piemēram, atrastu progresijas th terminu, izmantojot šo formulu, mums būs jāaprēķina iepriekšējie deviņi. Piemēram, ļaujiet tam. Pēc tam:

Nu, vai tagad ir skaidrs, kāda ir formula?

Katrā rindā mēs pievienojam, reizinot ar kādu skaitli. Kurš? Ļoti vienkārši: šis ir pašreizējā dalībnieka numurs mīnus:

Tagad daudz ērtāk, vai ne? Mēs pārbaudām:

Izlemiet paši:

Aritmētiskajā progresijā atrodiet n-tā vārda formulu un simto daļu.

Risinājums:

Pirmais termiņš ir vienāds. Kāda ir atšķirība? Lūk, kas:

(Tāpēc to sauc par atšķirību, jo tā ir vienāda ar secīgu progresijas nosacījumu starpību).

Tātad, formula:

Tad simtais loceklis ir vienāds ar:

Kāda ir visu naturālo skaitļu summa no līdz?

Saskaņā ar leģendu, izcilais matemātiķis Karls Gauss, būdams 9 gadus vecs zēns, šo summu aprēķināja dažu minūšu laikā. Viņš pamanīja, ka pirmā un pēdējā skaitļa summa ir vienāda, otrā un priekšpēdējā summa ir vienāda, trešā un 3. summa no beigām ir vienāda un tā tālāk. Cik tādu pāru kopumā ir? Tieši tā, tieši puse no visu skaitļu skaita, tas ir. Tātad,

Jebkuras aritmētiskās progresijas pirmo vārdu summas vispārējā formula būs:

Piemērs:
Atrodiet visu summu divciparu skaitļi, daudzkārtēji.

Risinājums:

Pirmais šāds skaitlis ir šis. Katru nākamo skaitli iegūst, pievienojot iepriekšējam skaitlim. Tādējādi mūs interesējošie skaitļi veido aritmētisko progresiju ar pirmo biedru un starpību.

Šīs progresēšanas termiņa formula:

Cik terminu ir progresijā, ja tiem visiem ir jābūt divciparu skaitlim?

Ļoti viegli: .

Pēdējais progresēšanas termiņš būs vienāds. Tad summa:

Atbilde:.

Tagad izlemiet paši:

1. Katru dienu sportists noskrien vairāk metru nekā iepriekšējā dienā. Cik kopumā kilometrus viņš noskries nedēļā, ja pirmajā dienā noskrēja km m?
2. Velosipēdists katru dienu nobrauc vairāk kilometru nekā iepriekšējā dienā. Pirmajā dienā viņš nobrauca km. Cik dienas viņam jābrauc, lai nobrauktu kilometru? Cik kilometrus viņš nobrauks pēdējā ceļojuma dienā?
3. Ledusskapja cena veikalā katru gadu samazinās par tādu pašu summu. Nosakiet, par cik katru gadu samazinājās ledusskapja cena, ja, laists pārdošanā par rubļiem, pēc sešiem gadiem tas tika pārdots par rubļiem.

Atbildes:

1. Šeit vissvarīgākais ir atpazīt aritmētisko progresiju un noteikt tās parametrus. Šajā gadījumā (nedēļas = dienas). Jums ir jānosaka šīs progresēšanas pirmo nosacījumu summa:
   .
   Atbilde:
2. Šeit ir dots: , jāatrod.
   Acīmredzot jums ir jāizmanto tā pati summas formula kā iepriekšējā uzdevumā:
   .
   Aizstāt vērtības:

   Sakne acīmredzami neder, tāpēc atbilde ir.
   Aprēķināsim pēdējās dienas laikā noieto ceļu, izmantojot th termina formulu:
   (km).
   Atbilde:

3. Ņemot vērā:. Atrast: .
   Tas nevar būt vienkāršāk:
   (berzēt).
   Atbilde:

ARITMĒTISKĀ PROGRESIJA. ĪSUMĀ PAR GALVENĀM LIETĀM

Šī ir skaitļu secība, kurā starpība starp blakus esošajiem skaitļiem ir vienāda un vienāda.

Aritmētiskā progresija var palielināties () un samazināties ().

Piemēram:

Formula aritmētiskās progresijas n-tā vārda atrašanai

tiek uzrakstīts pēc formulas, kur ir progresējošo skaitļu skaits.

Aritmētiskās progresijas locekļu īpašība

Tas ļauj viegli atrast progresijas terminu, ja ir zināmi tā blakus vārdi - kur ir progresijas skaitļu skaits.

Aritmētiskās progresijas terminu summa

Ir divi veidi, kā atrast summu:

Kur ir vērtību skaits.

Kur ir vērtību skaits.

Pirmais līmenis

Aritmētiskā progresija. Detalizēta teorija ar piemēriem (2019)

Skaitļu secība

Tātad, apsēdīsimies un sāksim rakstīt dažus skaitļus. Piemēram:
Jūs varat rakstīt jebkurus ciparus, un to var būt tik daudz, cik vēlaties (mūsu gadījumā tie ir). Neatkarīgi no tā, cik skaitļus mēs rakstām, mēs vienmēr varam pateikt, kurš no tiem ir pirmais, kurš ir otrais un tā tālāk līdz pēdējam, tas ir, mēs varam tos numurēt. Šis ir skaitļu secības piemērs:

Skaitļu secība
Piemēram, mūsu secībai:

Piešķirtais numurs ir raksturīgs tikai vienam numuram secībā. Citiem vārdiem sakot, secībā nav trīs sekunžu skaitļu. Otrais cipars (tāpat kā th cipars) vienmēr ir vienāds.
Skaitli ar skaitli sauc par secības th terminu.

Mēs parasti saucam visu secību ar kādu burtu (piemēram,), un katrs šīs secības dalībnieks ir viens un tas pats burts ar indeksu, kas vienāds ar šī elementa numuru: .

Mūsu gadījumā:

Pieņemsim, ka mums ir skaitļu secība, kurā starpība starp blakus esošajiem skaitļiem ir vienāda un vienāda.
Piemēram:

utt.
Šo skaitļu secību sauc par aritmētisko progresiju.
Terminu "progresēšana" ieviesa romiešu autors Boetijs tālajā 6. gadsimtā un plašākā nozīmē to saprata kā bezgalīgu ciparu secību. Nosaukums "aritmētika" tika pārcelts no nepārtraukto proporciju teorijas, kuru pētīja senie grieķi.

Šī ir skaitļu virkne, kuras katrs dalībnieks ir vienāds ar iepriekšējo, kas pievienots tam pašam skaitlim. Šo skaitli sauc par aritmētiskās progresijas starpību un apzīmē.

Mēģiniet noteikt, kuras skaitļu secības ir aritmētiskā progresija un kuras nav:

a)
b)
c)
d)

Sapratu? Salīdzināsim mūsu atbildes:
Ir aritmētiskā progresija - b, c.
Nav aritmētiskā progresija - a, d.

Atgriezīsimies pie dotās progresijas () un mēģināsim atrast tās th vārda vērtību. Pastāv divi veids, kā to atrast.

1. Metode

Mēs varam pievienot progresijas skaitli iepriekšējai vērtībai, līdz mēs sasniedzam progresijas th. Labi, ka mums nav daudz ko apkopot - tikai trīs vērtības:

Tātad aprakstītās aritmētiskās progresijas th loceklis ir vienāds ar.

2. Metode

Ko darīt, ja mums būtu jāatrod progresijas th termina vērtība? Summēšana mums aizņemtu vairāk nekā vienu stundu, un tas nav fakts, ka mēs nekļūdītos, saskaitot skaitļus.
Protams, matemātiķi ir izdomājuši veidu, kā aritmētiskās progresijas starpību nav nepieciešams pievienot iepriekšējai vērtībai. Apskatiet uzzīmēto attēlu vērīgāk... Noteikti jau esat pamanījuši noteiktu rakstu, proti:

Piemēram, paskatīsimies, no kā sastāv šīs aritmētiskās progresijas th termiņa vērtība:


Citiem vārdiem sakot:

Mēģiniet pats šādā veidā atrast dotās aritmētiskās progresijas locekļa vērtību.

Vai jūs aprēķinājāt? Salīdziniet savas piezīmes ar atbildi:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka jūs saņēmāt tieši tādu pašu skaitli kā iepriekšējā metodē, kad mēs secīgi pievienojām aritmētiskās progresijas nosacījumus iepriekšējai vērtībai.
Mēģināsim “depersonalizēt” šo formulu - formulēsim to vispārīgā formā un iegūsim:

Aritmētiskās progresijas vienādojums.

Aritmētiskā progresija var palielināties vai samazināties.

Pieaug- progresijas, kurās katra nākamā terminu vērtība ir lielāka par iepriekšējo.
Piemēram:

Dilstoša- progresijas, kurās katra nākamā terminu vērtība ir mazāka par iepriekšējo.
Piemēram:

Atvasinātā formula tiek izmantota aritmētiskās progresijas terminu aprēķināšanai gan pieaugošajos, gan samazinošajos termiņos.
Pārbaudīsim to praksē.
Mums tiek dota aritmētiskā progresija, kas sastāv no šādiem skaitļiem: Pārbaudīsim, kāds būs šīs aritmētiskās progresijas skaitlis, ja izmantosim formulu, lai to aprēķinātu:

Kopš tā laika:

Tādējādi esam pārliecināti, ka formula darbojas gan dilstošā, gan pieaugošā aritmētiskajā progresijā.
Mēģiniet pats atrast šīs aritmētiskās progresijas th un th nosacījumus.

Salīdzināsim rezultātus:

Aritmētiskās progresijas īpašība

Sarežģīsim uzdevumu – atvasināsim aritmētiskās progresijas īpašību.
Pieņemsim, ka mums ir šāds nosacījums:
- aritmētiskā progresija, atrodiet vērtību.
Vienkārši, jūs sakāt un sāciet skaitīt pēc formulas, kuru jau zināt:

Ļaujiet, ah, tad:

Pilnīga taisnība. Sanāk, ka vispirms atrodam, tad pievienojam pirmajam ciparam un iegūstam to, ko meklējam. Ja progresiju attēlo mazas vērtības, tad tajā nav nekā sarežģīta, bet ja nu nosacījumā mums ir doti skaitļi? Piekrītu, aprēķinos ir iespējama kļūda.
Tagad padomājiet, vai šo problēmu ir iespējams atrisināt vienā solī, izmantojot jebkuru formulu? Protams, jā, un tieši to mēs tagad mēģināsim izcelt.

Apzīmēsim vajadzīgo aritmētiskās progresijas terminu kā mums zināmo formulu tā atrašanai - šī ir tā pati formula, ko mēs atvasinājām sākumā:
, Tad:

• iepriekšējais progresēšanas termiņš ir:
• nākamais progresēšanas termiņš ir:

Apkoposim iepriekšējos un turpmākos progresēšanas nosacījumus:

Izrādās, ka iepriekšējo un nākamo progresijas nosacījumu summa ir starp tiem esošā progresijas vārda dubultā vērtība. Citiem vārdiem sakot, lai atrastu progresijas vārda vērtību ar zināmām iepriekšējām un nākamajām vērtībām, tās ir jāpievieno un jādala ar.

Tieši tā, mums ir vienāds numurs. Nostiprināsim materiālu. Aprēķiniet progresēšanas vērtību pats, tas nepavisam nav grūti.

Labi padarīts! Jūs zināt gandrīz visu par progresu! Atliek noskaidrot tikai vienu formulu, kuru, saskaņā ar leģendu, viegli izsecināja viens no visu laiku izcilākajiem matemātiķiem, “matemātiķu karalis” - Karls Gauss...

Kad Kārlim Gausam bija 9 gadi, skolotājs, kas bija aizņemts ar citu klašu skolēnu darbu pārbaudīšanu, stundā uzdeva šādu uzdevumu: “Aprēķiniet visu naturālo skaitļu summu no līdz (saskaņā ar citiem avotiem līdz) ieskaitot.” Iedomājieties skolotāja pārsteigumu, kad viens no viņa audzēkņiem (tas bija Kārlis Gauss) minūti vēlāk sniedza pareizo atbildi uz uzdevumu, savukārt lielākā daļa pārdrošnieka klasesbiedru pēc ilgiem aprēķiniem saņēma nepareizu rezultātu...

Jaunais Karls Gauss pamanīja noteiktu modeli, ko arī jūs varat viegli pamanīt.
Pieņemsim, ka mums ir aritmētiskā progresija, kas sastāv no --ajiem vārdiem: Mums jāatrod šo aritmētiskās progresijas nosacījumu summa. Protams, mēs varam manuāli summēt visas vērtības, bet ja uzdevums prasa atrast tā terminu summu, kā to meklēja Gauss?

Attēlosim mums doto progresu. Uzmanīgi apskatiet izceltos skaitļus un mēģiniet ar tiem veikt dažādas matemātiskas darbības.


Vai esat to izmēģinājis? Ko jūs pamanījāt? Pa labi! Viņu summas ir vienādas

Tagad sakiet, cik mums dotajā progresijā kopumā ir šādu pāru? Protams, tieši puse no visiem skaitļiem, tas ir.
Pamatojoties uz to, ka aritmētiskās progresijas divu vārdu summa ir vienāda un līdzīgi pāri ir vienādi, mēs iegūstam, ka kopējā summa ir vienāda ar:
.
Tādējādi jebkuras aritmētiskās progresijas pirmo vārdu summas formula būs:

Dažās problēmās mēs nezinām th terminu, bet mēs zinām progresijas atšķirību. Mēģiniet aizstāt th termina formulu ar summas formulu.
Ko tu dabūji?

Labi padarīts! Tagad atgriezīsimies pie problēmas, kas tika uzdota Karlam Gausam: aprēķiniet paši, ar ko ir vienāda skaitļu summa, kas sākas no -th, un skaitļu summa, kas sākas no -th.

Cik tu saņēmi?
Gauss atklāja, ka terminu summa ir vienāda, un terminu summa. Vai tā nolēmāt?

Faktiski aritmētiskās progresijas terminu summas formulu jau 3. gadsimtā pierādīja sengrieķu zinātnieks Diofants, un visu šo laiku asprātīgi cilvēki pilnībā izmantoja aritmētiskās progresijas īpašības.
Piemēram, iedomājieties Seno Ēģipti un tā laika lielāko būvprojektu - piramīdas būvniecību... Attēlā redzama viena puse.

Kur te ir progresija, jūs sakāt? Paskatieties uzmanīgi un atrodiet smilšu bloku skaitu katrā piramīdas sienas rindā.


Kāpēc ne aritmētiskā progresija? Aprēķiniet, cik bloku nepieciešams vienas sienas uzbūvēšanai, ja pie pamatnes ir likti bloku ķieģeļi. Es ceru, ka jūs neskaitīsit, pārvietojot pirkstu pa monitoru, atceraties pēdējo formulu un visu, ko mēs teicām par aritmētisko progresiju?

Šajā gadījumā progresēšana izskatās šādi: .
Aritmētiskās progresijas atšķirība.
Aritmētiskās progresijas terminu skaits.
Aizstāsim savus datus pēdējās formulās (bloku skaitu aprēķināsim divos veidos).

1. metode.

2. metode.

Un tagad jūs varat aprēķināt monitorā: salīdziniet iegūtās vērtības ar bloku skaitu, kas atrodas mūsu piramīdā. Sapratu? Labi darīts, jūs esat apguvis aritmētiskās progresijas n-to vārdu summu.
Protams, jūs nevarat uzbūvēt piramīdu no blokiem pie pamatnes, bet no tā? Mēģiniet aprēķināt, cik smilšu ķieģeļu ir nepieciešams, lai izveidotu sienu ar šo nosacījumu.
Vai jums izdevās?
Pareizā atbilde ir bloki:

Apmācība

Uzdevumi:

1. Maša iegūst formu vasarai. Katru dienu viņa palielina pietupienu skaitu par. Cik reizes Maša veiks pietupienus nedēļā, ja viņa veica pietupienus pirmajā treniņā?
2. Kāda ir visu nepāra skaitļu summa, kas ietverta.
3. Uzglabājot baļķus, mežizstrādātāji tos sakrauj tā, lai katrā augšējā slānī būtu par vienu baļķi mazāk nekā iepriekšējā. Cik baļķu ir vienā mūrī, ja mūra pamats ir baļķi?

Atbildes:

1. Definēsim aritmētiskās progresijas parametrus. Šajā gadījumā
   (nedēļas = dienas).

   Atbilde: Divu nedēļu laikā Mašai reizi dienā jāveic pietupieni.

2. Pirmais nepāra skaitlis, pēdējais skaitlis.
   Aritmētiskās progresijas atšķirība.
   Nepāra skaitļu skaits ir uz pusi, tomēr pārbaudīsim šo faktu, izmantojot formulu aritmētiskās progresijas biedra atrašanai:

   Cipari satur nepāra skaitļus.
   Aizstāsim pieejamos datus formulā:

   Atbilde: Visu nepāra skaitļu summa ir vienāda.

3. Atcerēsimies problēmu par piramīdām. Mūsu gadījumā a , jo katrs virsējais slānis ir samazināts par vienu baļķi, tad kopā ir slāņu ķekars, tas ir.
   Aizstāsim datus formulā:

   Atbilde: Mūrē ir baļķi.

Apkoposim to

1. - skaitļu secība, kurā starpība starp blakus esošajiem skaitļiem ir vienāda un vienāda. Tas var palielināties vai samazināties.
2. Formulas atrašana Aritmētiskās progresijas th termiņu raksta ar formulu - , kur ir skaitļu skaits progresijā.
3. Aritmētiskās progresijas locekļu īpašība- - kur ir progresējošo skaitļu skaits.
4. Aritmētiskās progresijas vārdu summa var atrast divos veidos:
   
   , kur ir vērtību skaits.

ARITMĒTISKĀ PROGRESIJA. VIDĒJAIS LĪMENIS

Skaitļu secība

Apsēdīsimies un sāksim rakstīt dažus skaitļus. Piemēram:

Jūs varat rakstīt jebkurus ciparus, un to var būt tik daudz, cik vēlaties. Bet mēs vienmēr varam pateikt, kurš ir pirmais, kurš otrais un tā tālāk, tas ir, mēs varam tos numurēt. Šis ir skaitļu virknes piemērs.

Skaitļu secība ir skaitļu kopa, katram no kuriem var piešķirt unikālu numuru.

Citiem vārdiem sakot, katru skaitli var saistīt ar noteiktu naturālu skaitli un unikālu. Un mēs nepiešķirsim šo numuru nevienam citam numuram no šī komplekta.

Skaitli ar skaitli sauc par secības th locekli.

Mēs parasti saucam visu secību ar kādu burtu (piemēram,), un katrs šīs secības dalībnieks ir viens un tas pats burts ar indeksu, kas vienāds ar šī elementa numuru: .

Tas ir ļoti ērti, ja secības th vārdu var norādīt ar kādu formulu. Piemēram, formula

nosaka secību:

Un formula ir šāda secība:

Piemēram, aritmētiskā progresija ir secība (pirmais termins šeit ir vienāds, un atšķirība ir). Vai (, atšķirība).

Formulas n-tais termiņš

Mēs saucam par atkārtotu formulu, kurā, lai uzzinātu th terminu, jums jāzina iepriekšējais vai vairāki iepriekšējie:

Lai, piemēram, atrastu progresijas th terminu, izmantojot šo formulu, mums būs jāaprēķina iepriekšējie deviņi. Piemēram, ļaujiet tam. Pēc tam:

Nu, vai tagad ir skaidrs, kāda ir formula?

Katrā rindā mēs pievienojam, reizinot ar kādu skaitli. Kurš? Ļoti vienkārši: šis ir pašreizējā dalībnieka numurs mīnus:

Tagad daudz ērtāk, vai ne? Mēs pārbaudām:

Izlemiet paši:

Aritmētiskajā progresijā atrodiet n-tā vārda formulu un simto daļu.

Risinājums:

Pirmais termiņš ir vienāds. Kāda ir atšķirība? Lūk, kas:

(Tāpēc to sauc par atšķirību, jo tā ir vienāda ar secīgu progresijas nosacījumu starpību).

Tātad, formula:

Tad simtais loceklis ir vienāds ar:

Kāda ir visu naturālo skaitļu summa no līdz?

Saskaņā ar leģendu, izcilais matemātiķis Karls Gauss, būdams 9 gadus vecs zēns, šo summu aprēķināja dažu minūšu laikā. Viņš pamanīja, ka pirmā un pēdējā skaitļa summa ir vienāda, otrā un priekšpēdējā summa ir vienāda, trešā un 3. summa no beigām ir vienāda un tā tālāk. Cik tādu pāru kopumā ir? Tieši tā, tieši puse no visu skaitļu skaita, tas ir. Tātad,

Jebkuras aritmētiskās progresijas pirmo vārdu summas vispārējā formula būs:

Piemērs:
Atrodiet visu divciparu reizinājumu summu.

Risinājums:

Pirmais šāds skaitlis ir šis. Katru nākamo skaitli iegūst, pievienojot iepriekšējam skaitlim. Tādējādi mūs interesējošie skaitļi veido aritmētisko progresiju ar pirmo biedru un starpību.

Šīs progresēšanas termiņa formula:

Cik terminu ir progresijā, ja tiem visiem ir jābūt divciparu skaitlim?

Ļoti viegli: .

Pēdējais progresēšanas termiņš būs vienāds. Tad summa:

Atbilde:.

Tagad izlemiet paši:

1. Katru dienu sportists noskrien vairāk metru nekā iepriekšējā dienā. Cik kopumā kilometrus viņš noskries nedēļā, ja pirmajā dienā noskrēja km m?
2. Velosipēdists katru dienu nobrauc vairāk kilometru nekā iepriekšējā dienā. Pirmajā dienā viņš nobrauca km. Cik dienas viņam jābrauc, lai nobrauktu kilometru? Cik kilometrus viņš nobrauks pēdējā ceļojuma dienā?
3. Ledusskapja cena veikalā katru gadu samazinās par tādu pašu summu. Nosakiet, par cik katru gadu samazinājās ledusskapja cena, ja, laists pārdošanā par rubļiem, pēc sešiem gadiem tas tika pārdots par rubļiem.

Atbildes:

1. Šeit vissvarīgākais ir atpazīt aritmētisko progresiju un noteikt tās parametrus. Šajā gadījumā (nedēļas = dienas). Jums ir jānosaka šīs progresēšanas pirmo nosacījumu summa:
   .
   Atbilde:
2. Šeit ir dots: , jāatrod.
   Acīmredzot jums ir jāizmanto tā pati summas formula kā iepriekšējā uzdevumā:
   .
   Aizstāt vērtības:

   Sakne acīmredzami neder, tāpēc atbilde ir.
   Aprēķināsim pēdējās dienas laikā noieto ceļu, izmantojot th termina formulu:
   (km).
   Atbilde:

3. Ņemot vērā:. Atrast: .
   Tas nevar būt vienkāršāk:
   (berzēt).
   Atbilde:

ARITMĒTISKĀ PROGRESIJA. ĪSUMĀ PAR GALVENĀM LIETĀM

Šī ir skaitļu secība, kurā starpība starp blakus esošajiem skaitļiem ir vienāda un vienāda.

Aritmētiskā progresija var palielināties () un samazināties ().

Piemēram:

Formula aritmētiskās progresijas n-tā vārda atrašanai

tiek uzrakstīts pēc formulas, kur ir progresējošo skaitļu skaits.

Aritmētiskās progresijas locekļu īpašība

Tas ļauj viegli atrast progresijas terminu, ja ir zināmi tā blakus vārdi - kur ir progresijas skaitļu skaits.

Aritmētiskās progresijas terminu summa

Ir divi veidi, kā atrast summu:

Kur ir vērtību skaits.

Kur ir vērtību skaits.

Instrukcijas

Aritmētiskā progresija ir secība formā a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Numura d solis progresēšanu.Ir skaidrs, ka aritmētikas patvaļīga n-tā termina vispārīgais progresēšanu ir forma: An = A1+(n-1)d. Tad zinot vienu no biedriem progresēšanu, biedrs progresēšanu un soli progresēšanu, varat, tas ir, progresa dalībnieka numurs. Acīmredzot to noteiks pēc formulas n = (An-A1+d)/d.

Lai tagad ir zināms m-tais termins progresēšanu un vēl viens biedrs progresēšanu- nth, bet n , tāpat kā iepriekšējā gadījumā, bet ir zināms, ka n un m nesakrīt progresēšanu var aprēķināt, izmantojot formulu: d = (An-Am)/(n-m). Tad n = (An-Am+md)/d.

Ja ir zināma aritmētiskā vienādojuma vairāku elementu summa progresēšanu, kā arī tā pirmo un pēdējo, tad var noteikt arī šo elementu skaitu Aritmētikas summu progresēšanu būs vienāds ar: S = ((A1+An)/2)n. Tad n = 2S/(A1+An) - chdenov progresēšanu. Izmantojot faktu, ka An = A1+(n-1)d, šo formulu var pārrakstīt šādi: n = 2S/(2A1+(n-1)d). No tā mēs varam izteikt n, risinot kvadrātvienādojums.

Aritmētiskā secība ir sakārtota skaitļu kopa, kuras katrs dalībnieks, izņemot pirmo, atšķiras no iepriekšējā par tādu pašu summu. Šo nemainīgo vērtību sauc par progresijas vai tās soļa starpību, un to var aprēķināt no zināmajiem aritmētiskās progresijas nosacījumiem.

Instrukcijas

Ja no uzdevuma nosacījumiem ir zināmas pirmā un otrā vai jebkura cita blakus esošo terminu pāra vērtības, lai aprēķinātu starpību (d), vienkārši atņemiet iepriekšējo no nākamā termina. Iegūtā vērtība var būt pozitīva vai negatīvs skaitlis- tas ir atkarīgs no tā, vai progresēšana palielinās. IN vispārējā forma uzrakstiet atrisinājumu patvaļīgi izvēlētam progresijas blakus terminu pārim (aᵢ un aᵢ₊₁) šādi: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Šādas progresijas terminu pārim, no kuriem viens ir pirmais (a₁), bet otrs ir jebkurš cits patvaļīgi izvēlēts, var arī izveidot formulu atšķirības (d) atrašanai. Tomēr šajā gadījumā ir jāzina patvaļīgi izvēlēta secības dalībnieka sērijas numurs (i). Lai aprēķinātu starpību, saskaitiet abus skaitļus un izdaliet iegūto rezultātu ar patvaļīga vārda kārtas skaitli, kas samazināts par vienu. IN vispārējs skats uzrakstiet šo formulu šādi: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Ja papildus patvaļīgam aritmētiskās progresijas loceklim ar kārtas skaitli i ir zināms vēl viens loceklis ar kārtas skaitli u, attiecīgi mainiet iepriekšējās darbības formulu. Šajā gadījumā progresijas starpība (d) būs šo divu terminu summa, kas dalīta ar starpību starp tiem sērijas numuri: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Formula starpības (d) aprēķināšanai kļūs nedaudz sarežģītāka, ja uzdevuma nosacījumi dos tā pirmā vārda (a₁) vērtību un pirmo vārdu dotā skaitļa (i) summu (Sᵢ). aritmētiskā secība. Lai iegūtu vēlamo vērtību, sadaliet summu ar to veidojošo vārdu skaitu, atņemiet secības pirmā skaitļa vērtību un dubultojiet rezultātu. Sadaliet iegūto vērtību ar terminu skaitu, kas veido summu, kas samazināta par vienu. Kopumā rakstiet formulu diskriminanta aprēķināšanai šādi: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Jā, jā: aritmētiskā progresija tev nav rotaļlieta :)

Nu, draugi, ja jūs lasāt šo tekstu, tad iekšējie cap-evidence man saka, ka jūs vēl nezināt, kas ir aritmētiskā progresija, bet jūs patiešām (nē, tā: TŪLĪGI!) vēlaties zināt. Tāpēc nemocīšu jūs ar gariem ievadiem un ķeršos pie lietas.

Pirmkārt, pāris piemēri. Apskatīsim vairākas skaitļu kopas:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Kas kopīgs visiem šiem komplektiem? No pirmā acu uzmetiena nekas. Bet patiesībā kaut kas ir. Proti: katrs nākamais elements atšķiras no iepriekšējā ar tādu pašu numuru.

Spriediet paši. Pirmajā komplektā ir vienkārši secīgi skaitļi, katrs nākamais ir par vienu vairāk nekā iepriekšējais. Otrajā gadījumā starpība starp blakus esošajiem skaitļiem jau ir pieci, taču šī atšķirība joprojām ir nemainīga. Trešajā gadījumā saknes ir pavisam. Tomēr $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ un $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, t.i. un šajā gadījumā katrs nākamais elements vienkārši palielinās par $\sqrt(2)$ (un nebaidieties, ka šis skaitlis ir neracionāls).

Tātad: visas šādas secības sauc par aritmētisko progresiju. Sniegsim stingru definīciju:

Definīcija. Skaitļu secību, kurā katrs nākamais atšķiras no iepriekšējā tieši ar tādu pašu summu, sauc par aritmētisko progresiju. Pati summa, ar kuru skaitļi atšķiras, tiek saukta par progresijas starpību un visbiežāk tiek apzīmēta ar burtu $d$.

Apzīmējums: $\left(((a)_(n)) \right)$ ir pati progresija, $d$ ir tās atšķirība.

Un tikai dažas svarīgas piezīmes. Pirmkārt, tiek ņemta vērā tikai progresēšana pasūtīts ciparu secība: tos ir atļauts lasīt stingri tādā secībā, kādā tie ir rakstīti - un nekas cits. Numurus nevar pārkārtot vai apmainīt.

Otrkārt, pati secība var būt gan ierobežota, gan bezgalīga. Piemēram, kopa (1; 2; 3) acīmredzami ir ierobežota aritmētiskā progresija. Bet, ja jūs kaut ko pierakstāt garā (1; 2; 3; 4; ...) - tas jau ir bezgalīga progresija. Elipse pēc četrinieka, šķiet, norāda uz to, ka ir vēl daži skaitļi. Bezgala daudz, piemēram :)

Es arī vēlos atzīmēt, ka progresēšana var palielināties vai samazināties. Mēs jau esam redzējuši pieaugošus - tas pats komplekts (1; 2; 3; 4; ...). Tālāk ir sniegti progresēšanas samazināšanās piemēri:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Labi, labi: pēdējais piemērs var šķist pārāk sarežģīts. Bet pārējo, manuprāt, jūs saprotat. Tāpēc mēs ieviešam jaunas definīcijas:

Definīcija. Aritmētisko progresiju sauc:

1. palielinās, ja katrs nākamais elements ir lielāks par iepriekšējo;
2. samazinās, ja, gluži pretēji, katrs nākamais elements ir mazāks par iepriekšējo.

Turklāt ir tā sauktās “stacionārās” secības - tās sastāv no viena un tā paša atkārtojoša skaitļa. Piemēram, (3; 3; 3; ...).

Atliek tikai viens jautājums: kā atšķirt pieaugošu progresu no samazinoša? Par laimi, šeit viss ir atkarīgs tikai no skaitļa $d$ zīmes, t.i. progresēšanas atšķirības:

1. Ja $d \gt 0$, tad progresija palielinās;
2. Ja $d \lt 0$, tad progresija acīmredzami samazinās;
3. Visbeidzot, ir gadījums $d=0$ - šajā gadījumā visa progresija tiek reducēta līdz stacionārai identisku skaitļu secībai: (1; 1; 1; 1; ...) utt.

Mēģināsim aprēķināt starpību $d$ trim iepriekš norādītajām lejupejošām progresijām. Lai to izdarītu, pietiek paņemt divus blakus esošos elementus (piemēram, pirmo un otro) un atņemt kreisajā pusē esošo skaitli no skaitļa labajā pusē. Tas izskatīsies šādi:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Kā redzam, visos trīs gadījumos starpība faktiski izrādījās negatīva. Un tagad, kad esam vairāk vai mazāk izdomājuši definīcijas, ir pienācis laiks izdomāt, kā tiek aprakstītas progresijas un kādas īpašības tām piemīt.

Progresēšanas termini un atkārtošanās formula

Tā kā mūsu secību elementus nevar apmainīt, tos var numurēt:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \pa labi\)\]

Atsevišķos šīs kopas elementus sauc par progresijas dalībniekiem. Tie ir apzīmēti ar numuru: pirmais dalībnieks, otrais dalībnieks utt.

Turklāt, kā mēs jau zinām, blakus esošie progresijas termini ir saistīti ar formulu:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Labā bultiņa ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Īsāk sakot, lai atrastu progresijas $n$. daļu, jums jāzina $n-1$. termins un atšķirība $d$. Šo formulu sauc par atkārtotu, jo ar tās palīdzību jūs varat atrast jebkuru skaitli, tikai zinot iepriekšējo (un faktiski visus iepriekšējos). Tas ir ļoti neērti, tāpēc ir viltīgāka formula, kas visus aprēķinus samazina līdz pirmajam terminam un starpībai:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Jūs, iespējams, jau esat saskāries ar šo formulu. Viņiem patīk to dot visādās uzziņu grāmatās un risinājumu grāmatās. Un jebkurā saprātīgā matemātikas mācību grāmatā tas ir viens no pirmajiem.

Tomēr es iesaku jums nedaudz trenēties.

Uzdevums Nr.1. Pierakstiet pirmos trīs aritmētiskās progresijas vārdus $\left(((a)_(n)) \right)$, ja $((a)_(1))=8,d=-5$.

Risinājums. Tātad, mēs zinām pirmo terminu $((a)_(1))=8$ un progresijas starpību $d=-5$. Izmantosim tikko doto formulu un aizstāsim $n=1$, $n=2$ un $n=3$:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(līdzināt)\]

Atbilde: (8; 3; -2)

Tas ir viss! Lūdzu, ņemiet vērā: mūsu attīstība samazinās.

Protams, $n=1$ nevarēja aizstāt - pirmais termins mums jau ir zināms. Tomēr, aizstājot vienotību, mēs pārliecinājāmies, ka pat pirmajā termiņā mūsu formula darbojas. Citos gadījumos viss nonāca līdz banālai aritmētikai.

Uzdevums Nr.2. Pierakstiet pirmos trīs aritmētiskās progresijas vārdus, ja tās septītais loceklis ir vienāds ar –40 un septiņpadsmitais ir vienāds ar –50.

Risinājums. Uzrakstīsim problēmas nosacījumu pazīstamos terminos:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(līdzināt) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(līdzināt) \pa labi.\]

\[\left\( \begin(līdzināt) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(līdzināt) \pa labi.\]

Es ievietoju sistēmas zīmi, jo šīs prasības ir jāizpilda vienlaikus. Tagad ņemsim vērā, ka, ja mēs atņemam pirmo no otrā vienādojuma (mums ir tiesības to darīt, jo mums ir sistēma), mēs iegūstam šo:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(līdzināt)\]

Tik vienkārši ir atrast progresijas atšķirību! Atliek tikai aizstāt atrasto skaitli jebkurā no sistēmas vienādojumiem. Piemēram, pirmajā:

\[\begin(matrica) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrica)\]

Tagad, zinot pirmo terminu un atšķirību, atliek atrast otro un trešo terminu:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(līdzināt)\]

Gatavs! Problēma ir atrisināta.

Atbilde: (-34; -35; -36)

Ievērojiet interesanto progresijas īpašību, ko mēs atklājām: ja ņemam $n$th un $m$th vārdus un atņemam tos vienu no otra, mēs iegūstam progresijas starpību, kas reizināta ar $n-m$ skaitli:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Vienkārši, bet ļoti noderīgs īpašums, kas noteikti jāzina – ar tās palīdzību var ievērojami paātrināt daudzu progresēšanas problēmu risināšanu. Šeit ir skaidrs piemērs tam:

Uzdevums Nr.3. Aritmētiskās progresijas piektais loceklis ir 8,4, bet desmitais ir 14,4. Atrodiet šīs progresijas piecpadsmito termiņu.

Risinājums. Tā kā $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ un mums ir jāatrod $((a)_(15))$, mēs atzīmējam sekojošo:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(līdzināt)\]

Bet pēc nosacījuma $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, tātad $5d=6$, no kā mums ir:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(līdzināt)\]

Atbilde: 20.4

Tas ir viss! Mums nebija jāveido vienādojumu sistēmas un jāaprēķina pirmais termins un starpība - viss tika atrisināts tikai pāris rindās.

Tagad apskatīsim cita veida problēmas – progresa negatīvo un pozitīvo terminu meklēšanu. Nav noslēpums, ka, ja progresija palielinās un tās pirmais termiņš ir negatīvs, tad agri vai vēlu tajā parādīsies pozitīvi termini. Un otrādi: progresēšanas samazināšanās nosacījumi agrāk vai vēlāk kļūs negatīvi.

Tajā pašā laikā, secīgi izejot cauri elementiem, šo brīdi ne vienmēr ir iespējams atrast “uz priekšu”. Bieži uzdevumi tiek rakstīti tā, ka, nezinot formulas, aprēķini aizņemtu vairākas papīra lapas — mēs vienkārši aizmigtu, kamēr atrodam atbildi. Tāpēc mēģināsim šīs problēmas atrisināt ātrāk.

Uzdevums Nr.4. Cik negatīvu vārdu ir aritmētiskajā progresijā −38,5; −35,8; ...?

Risinājums. Tātad $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, no kurienes mēs uzreiz atrodam atšķirību:

Ņemiet vērā, ka atšķirība ir pozitīva, tāpēc progresēšana palielinās. Pirmais termins ir negatīvs, tāpēc patiešām kādā brīdī mēs paklupsim uz pozitīviem skaitļiem. Jautājums tikai, kad tas notiks.

Mēģināsim noskaidrot: līdz kuram laikam (t.i., līdz kuram dabiskais skaitlis$n$) terminu negatīvums tiek saglabāts:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(n)) \lt 0\labā bultiņa ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \pa labi. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Labā bultiņa ((n)_(\max ))=15. \\ \end(līdzināt)\]

Pēdējā rindiņa prasa zināmu skaidrojumu. Tātad mēs zinām, ka $n \lt 15\frac(7)(27)$. No otras puses, mūs apmierina tikai veselas skaitļa vērtības (turklāt: $n\in \mathbb(N)$), tāpēc lielākais pieļaujamais skaitlis ir tieši $n=15$ un nekādā gadījumā 16. .

Uzdevums Nr.5. Aritmētiskajā progresijā $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Atrodiet šīs progresijas pirmā pozitīvā termiņa skaitli.

Šī būtu tieši tāda pati problēma kā iepriekšējā, bet mēs nezinām $((a)_(1))$. Bet blakus termini ir zināmi: $((a)_(5))$ un $((a)_(6))$, tāpēc mēs varam viegli atrast progresijas atšķirību:

Turklāt mēģināsim izteikt piekto terminu caur pirmo un starpību, izmantojot standarta formulu:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(līdzināt)\]

Tagad mēs turpinām pēc analoģijas ar iepriekšējo uzdevumu. Noskaidrosim, kurā mūsu secības punktā parādīsies pozitīvi skaitļi:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Labā bultiņa ((n)_(\min ))=56. \\ \end(līdzināt)\]

Šīs nevienlīdzības minimālais veselais skaitļa risinājums ir skaitlis 56.

Lūdzu, ņemiet vērā: pēdējā uzdevumā tas viss beidzās stingra nevienlīdzība, tāpēc opcija $n=55$ mums nederēs.

Tagad, kad esam iemācījušies atrisināt vienkāršas problēmas, pāriesim pie sarežģītākām. Bet vispirms izpētīsim vēl vienu ļoti noderīgu aritmētiskās progresijas īpašību, kas ietaupīs mums daudz laika un nevienlīdzīgas šūnas :)

Vidējais aritmētiskais un vienādi atkāpi

Apskatīsim vairākus secīgus pieaugošās aritmētiskās progresijas $\left(((a)_(n)) \right)$ nosacījumus. Mēģināsim tos atzīmēt skaitļu rindā:

Aritmētiskās progresijas noteikumi uz skaitļu taisnes

Es īpaši atzīmēju patvaļīgus terminus $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, nevis kādus $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ utt. Jo noteikums, par kuru es jums pastāstīšu tagad, attiecas uz visiem “segmentiem”.

Un noteikums ir ļoti vienkāršs. Atcerēsimies atkārtoto formulu un pierakstīsim to visiem atzīmētajiem terminiem:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(līdzināt)\]

Tomēr šīs vienlīdzības var pārrakstīt atšķirīgi:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(līdzināt)\]

Nu un ko? Un tas, ka termini $((a)_(n-1))$ un $((a)_(n+1))$ atrodas vienādā attālumā no $((a)_(n)) $ . Un šis attālums ir vienāds ar $d$. To pašu var teikt par jēdzieniem $((a)_(n-2))$ un $((a)_(n+2))$ - tie arī tiek noņemti no $((a)_(n) )$ tādā pašā attālumā, kas vienāds ar $2d$. Mēs varam turpināt līdz bezgalībai, bet nozīmi labi ilustrē attēls

Progresēšanas nosacījumi atrodas vienādā attālumā no centra

Ko tas mums nozīmē? Tas nozīmē, ka $((a)_(n))$ var atrast, ja ir zināmi blakus esošie skaitļi:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Mēs esam ieguvuši lielisku apgalvojumu: katrs aritmētiskās progresijas vārds ir vienāds ar blakus esošo vārdu vidējo aritmētisko! Turklāt: mēs varam atkāpties no mūsu $((a)_(n))$ pa kreisi un pa labi nevis par vienu soli, bet par $k$ soļiem - un formula joprojām būs pareiza:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Tie. mēs varam viegli atrast $((a)_(150))$, ja zinām $((a)_(100))$ un $((a)_(200))$, jo $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. No pirmā acu uzmetiena var šķist, ka šis fakts mums neko noderīgu nedod. Tomēr praksē daudzas problēmas ir īpaši pielāgotas, lai izmantotu vidējo aritmētisko. Paskaties:

Uzdevums Nr.6. Atrodiet visas $x$ vērtības, kurām skaitļi $-6((x)^(2))$, $x+1$ un $14+4((x)^(2))$ ir secīgi aritmētiskā progresija (norādītajā secībā).

Risinājums. Tā kā šie skaitļi ir progresijas locekļi, tiem ir izpildīts vidējais aritmētiskais nosacījums: centrālo elementu $x+1$ var izteikt ar blakus esošajiem elementiem:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(līdzināt)\]

Rezultāts ir klasisks kvadrātvienādojums. Tās saknes: $x=2$ un $x=-3$ ir atbildes.

Atbilde: −3; 2.

Uzdevums Nr.7. Atrodiet $$ vērtības, kurām skaitļi $-1;4-3;(()^(2))+1$ veido aritmētisko progresiju (šajā secībā).

Risinājums. Vēlreiz izteiksim vidējo terminu, izmantojot blakus esošo terminu vidējo aritmētisko:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(līdzināt)\]

Atkal kvadrātvienādojums. Un atkal ir divas saknes: $x=6$ un $x=1$.

Atbilde: 1; 6.

Ja problēmas risināšanas procesā jūs izdomājat dažus brutālus skaitļus vai neesat pilnībā pārliecināts par atrasto atbilžu pareizību, tad ir brīnišķīgs paņēmiens, kas ļauj pārbaudīt: vai mēs esam pareizi atrisinājuši problēmu?

Teiksim, uzdevumā Nr. 6 saņēmām atbildes −3 un 2. Kā mēs varam pārbaudīt, vai šīs atbildes ir pareizas? Vienkārši pievienosim tos sākotnējā stāvoklī un redzēsim, kas notiks. Atgādināšu, ka mums ir trīs skaitļi ($-6(()^(2))$, $+1$ un $14+4(()^(2))$), kuriem jāveido aritmētiskā progresija. Aizstāsim $x=-3$:

\[\begin(līdzināt) & x=-3\labā bultiņa \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(līdzināt)\]

Mēs saņēmām skaitļus -54; −2; 50, kas atšķiras ar 52, neapšaubāmi ir aritmētiska progresija. Tas pats notiek ar $x=2$:

\[\begin(līdzināt) & x=2\labā bultiņa \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(līdzināt)\]

Atkal progresija, bet ar starpību 27. Tādējādi problēma tika atrisināta pareizi. Tie, kas vēlas, var paši pārbaudīt otro problēmu, bet es teikšu uzreiz: arī tur viss ir pareizi.

Vispār, risinot pēdējās problēmas, saskārāmies ar citu interesants fakts, kas arī jāatceras:

Ja trīs skaitļi ir tādi, ka otrais ir pirmā un pēdējā aritmētiskais vidējais, tad šie skaitļi veido aritmētisko progresiju.

Nākotnē šī apgalvojuma izpratne ļaus mums burtiski “konstruēt” nepieciešamos virzienus, pamatojoties uz problēmas apstākļiem. Taču, pirms ķeramies pie šādas “būvniecības”, jāpievērš uzmanība vēl vienam faktam, kas tieši izriet no jau apspriestā.

Elementu grupēšana un summēšana

Atkal atgriezīsimies pie skaitļu ass. Atzīmēsim tur vairākus progresijas dalībniekus, starp kuriem, iespējams. ir daudzu citu dalībnieku vērts:

Uz skaitļu līnijas ir atzīmēti 6 elementi

Mēģināsim izteikt “kreiso asti” caur $((a)_(n))$ un $d$, bet “labo asti” caur $((a)_(k))$ un $d$. Tas ir ļoti vienkārši:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(līdzināt)\]

Tagad ņemiet vērā, ka šādas summas ir vienādas:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(līdzināt)\]

Vienkārši sakot, ja mēs par sākumu uzskatām divus progresijas elementus, kas kopā ir vienādi ar kādu skaitli $S$, un tad sākam pāriet no šiem elementiem uz pretējās puses(pret otru vai otrādi, lai attālinātos), tad elementu summas, uz kurām mēs paklupsim, arī būs vienādas$S$. Visskaidrāk to var attēlot grafiski:

Vienādas atkāpes dod vienādas summas

Šī fakta izpratne ļaus mums atrisināt problēmas būtiskāk augsts līmenis grūtības nekā tās, kuras mēs aplūkojām iepriekš. Piemēram, šie:

Uzdevums Nr.8. Nosakiet atšķirību aritmētiskajai progresijai, kurā pirmais loceklis ir 66, bet otrā un divpadsmitā vārda reizinājums ir mazākais iespējamais.

Risinājums. Pierakstīsim visu, ko zinām:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(līdzināt)\]

Tātad, mēs nezinām progresijas starpību $d$. Faktiski viss risinājums tiks veidots, pamatojoties uz atšķirību, jo produktu $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ var pārrakstīt šādi:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(līdzināt)\]

Tiem, kas atrodas tvertnē: es no otrās kronšteina izņēmu kopējo reizinātāju 11. Tādējādi vēlamais reizinājums ir kvadrātfunkcija attiecībā pret mainīgo $d$. Tāpēc apsveriet funkciju $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - tās grafiks būs parabola ar zariem uz augšu, jo ja mēs paplašinām iekavas, mēs iegūstam:

\[\begin(līdzināt) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(līdzināt)\]

Kā redzat, augstākā termiņa koeficients ir 11 - tas ir pozitīvs skaitlis, tāpēc mums patiešām ir darīšana ar parabolu ar augšupvērstiem zariem:

grafiks kvadrātiskā funkcija- parabola

Lūdzu, ņemiet vērā: šī parabola iegūst minimālo vērtību tās virsotnē ar abscisu $((d)_(0))$. Protams, mēs varam aprēķināt šo abscisu, izmantojot standarta shēmu (ir formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), taču daudz saprātīgāk būtu atzīmēt ka vēlamā virsotne atrodas uz parabolas ass simetrijas, tāpēc punkts $((d)_(0))$ atrodas vienādā attālumā no vienādojuma $f\left(d \right)=0$ saknēm:

\[\begin(līdzināt) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(līdzināt)\]

Tāpēc es īpaši nesteidzos atvērt kronšteinus: to sākotnējā formā saknes bija ļoti, ļoti viegli atrast. Tāpēc abscisa ir vienāda ar vidējo aritmētiskie skaitļi–66 un –6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Ko mums dod atklātais skaitlis? Ar to ņem nepieciešamo produktu mazākā vērtība(starp citu, mēs nekad neskaitījām $((y)_(\min ))$ - tas no mums netiek prasīts). Tajā pašā laikā šis skaitlis ir sākotnējās progresijas starpība, t.i. atradām atbildi. :)

Atbilde: −36

Uzdevums Nr.9. Starp skaitļiem $-\frac(1)(2)$ un $-\frac(1)(6)$ ievietojiet trīs skaitļus, lai kopā ar šiem skaitļiem tie veidotu aritmētisko progresiju.

Risinājums. Būtībā mums ir jāizveido piecu skaitļu secība ar jau zināmu pirmo un pēdējo numuru. Apzīmēsim trūkstošos skaitļus ar mainīgajiem $x$, $y$ un $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Ņemiet vērā, ka skaitlis $y$ ir mūsu secības “vidējais” — tas atrodas vienādā attālumā no skaitļiem $x$ un $z$, kā arī no skaitļiem $-\frac(1)(2)$ un $-\frac. (1) (6) $. Un, ja mēs pašlaik nevaram iegūt $y$ no skaitļiem $x$ un $z$, tad situācija ir citāda ar progresijas galiem. Atcerēsimies vidējo aritmētisko:

Tagad, zinot $y$, mēs atradīsim atlikušos skaitļus. Ņemiet vērā, ka $x$ atrodas starp skaitļiem $-\frac(1)(2)$ un $y=-\frac(1)(3)$, ko tikko atradām. Tāpēc

Izmantojot līdzīgu argumentāciju, mēs atrodam atlikušo skaitli:

Gatavs! Mēs atradām visus trīs skaitļus. Atbildē ierakstīsim tos tādā secībā, kādā tie jāievieto starp oriģinālajiem cipariem.

Atbilde: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Uzdevums Nr.10. Starp skaitļiem 2 un 42 ievietojiet vairākus skaitļus, kas kopā ar šiem skaitļiem veido aritmētisko progresiju, ja zināt, ka pirmā, otrā un pēdējā ievietoto skaitļu summa ir 56.

Risinājums. Vēl sarežģītāka problēma, kas tomēr tiek atrisināta pēc tādas pašas shēmas kā iepriekšējās - caur vidējo aritmētisko. Problēma ir tā, ka mēs precīzi nezinām, cik skaitļu ir jāievieto. Tāpēc pieņemsim skaidrības labad, ka pēc visa ievietošanas būs tieši $n$ skaitļi, un pirmais no tiem ir 2, bet pēdējais ir 42. Šajā gadījumā nepieciešamo aritmētisko progresiju var attēlot formā:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Tomēr ņemiet vērā, ka skaitļi $((a)_(2))$ un $((a)_(n-1))$ tiek iegūti no skaitļiem 2 un 42 malās pa vienu soli viens pret otru, t.i. uz secības centru. Un tas nozīmē, ka

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Bet tad iepriekš uzrakstīto izteiksmi var pārrakstīt šādi:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(līdzināt)\]

Zinot $((a)_(3))$ un $((a)_(1))$, mēs varam viegli atrast progresijas atšķirību:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Labā bultiņa d=5. \\ \end(līdzināt)\]

Atliek tikai atrast atlikušos terminus:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(līdzināt)\]

Līdz ar to jau 9. solī nonāksim pie virknes kreisā gala - skaitļa 42. Kopumā bija jāievieto tikai 7 skaitļi: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Atbilde: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Vārdu problēmas ar progresēšanu

Noslēgumā es gribētu apsvērt pāris nosacīti vienkāršus uzdevumus. Nu, tik vienkārši: lielākajai daļai skolēnu, kuri mācās matemātiku skolā un nav izlasījuši iepriekš rakstīto, šīs problēmas var šķist grūtas. Tomēr šie ir problēmu veidi, kas parādās OGE un vienotajā valsts eksāmenā matemātikā, tāpēc iesaku ar tiem iepazīties.

Uzdevums Nr.11. Komanda janvārī saražoja 62 detaļas un katrā nākamajā mēnesī par 14 daļām vairāk nekā iepriekšējā mēnesī. Cik detaļu komanda saražoja novembrī?

Risinājums. Acīmredzot pa mēnešiem uzskaitīto daļu skaits atspoguļos pieaugošu aritmētisko progresiju. Turklāt:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(līdzināt)\]

Novembris ir gada 11. mēnesis, tāpēc mums jāatrod $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Līdz ar to novembrī tiks saražotas 202 detaļas.

Uzdevums Nr.12. Grāmatsiešanas darbnīca janvārī iesēja 216 grāmatas un katrā nākamajā mēnesī par 4 grāmatām vairāk nekā iepriekšējā mēnesī. Cik grāmatu darbnīca iesēja decembrī?

Risinājums. Viss tas pats:

$\begin(līdzināt) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(līdzināt)$

Decembris ir gada pēdējais, 12. mēnesis, tāpēc mēs meklējam $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Šī ir atbilde – decembrī tiks iesietas 260 grāmatas.

Nu, ja esat izlasījis tik tālu, es steidzos jūs apsveikt: jūs esat veiksmīgi pabeidzis “jaunā cīnītāja kursu” aritmētiskajā progresijā. Jūs varat droši pāriet uz nākamo nodarbību, kurā mēs pētīsim progresa summas formulu, kā arī svarīgas un ļoti noderīgas sekas no tās.