Trīs bērni devās mežā ogot. Vecākā meita atrada 18 ogas, vidējā - 15, un jaunākais brālis- 3 ogas (skat. 1. att.). Viņi atnesa ogas mammai, kura nolēma ogas sadalīt vienādi. Cik ogu saņēma katrs bērns?

Rīsi. 1. Problēmas ilustrācija

Risinājums

(Yag.) - bērni savāca visu

2) Sadalīt Kopā ogas uz bērnu skaitu:

(Yag.) gāja pie katra bērna

Atbilde: Katrs bērns saņems 12 ogas.

1. uzdevumā atbildē iegūtais skaitlis ir vidējais aritmētiskais.

Vidējais aritmētiskais vairāki skaitļi ir šo skaitļu summas dalījums ar to skaitu.

1. piemērs

Mums ir divi skaitļi: 10 un 12. Atrodiet to vidējo aritmētisko.

Risinājums

1) Noteiksim šo skaitļu summu: .

2) Šo skaitļu skaits ir 2, tāpēc šo skaitļu vidējais aritmētiskais ir: .

Atbilde: vidēji aritmētiskie skaitļi 10 un 12 ir cipars 11.

2. piemērs

Mums ir pieci skaitļi: 1, 2, 3, 4 un 5. Atrodiet to vidējo aritmētisko.

Risinājums

1) Šo skaitļu summa ir vienāda ar: .

2) Pēc definīcijas vidējais aritmētiskais ir skaitļu summas dalījums ar to skaitu. Mums ir pieci skaitļi, tāpēc vidējais aritmētiskais ir:

Atbilde: skaitļu nosacījuma datu vidējais aritmētiskais ir 3.

Papildus tam, ka to nemitīgi tiek ieteikts atrast stundās, vidējā aritmētiskā atrašana ir ļoti noderīga Ikdiena. Piemēram, pieņemsim, ka vēlamies doties atvaļinājumā uz Grieķiju. Lai izvēlētos piemērotu apģērbu, skatāmies, kāda temperatūra šobrīd ir šajā valstī. Taču kopējo laika ainu mēs nezinām. Tāpēc ir jānoskaidro gaisa temperatūra Grieķijā, piemēram, nedēļai, un jāatrod šo temperatūru vidējais aritmētiskais.

3. piemērs

Temperatūra Grieķijā nedēļā: pirmdiena - ; otrdiena - ; trešdiena - ; ceturtdiena - ; piektdiena - ; sestdiena - ; Svētdien -. Aprēķiniet nedēļas vidējo temperatūru.

Risinājums

1) Aprēķināsim temperatūru summu: .

2) Sadaliet iegūto summu ar dienu skaitu: .

Atbilde: Nedēļas vidējā temperatūra ir apm.

Spēja atrast vidējo aritmētisko var būt nepieciešama arī, lai noteiktu futbola komandas spēlētāju vidējo vecumu, tas ir, lai noteiktu, vai komanda ir pieredzējusi vai nē. Ir nepieciešams summēt visu spēlētāju vecumu un dalīt ar to skaitu.

2. problēma

Tirgotājs pārdeva ābolus. Sākumā viņš tos pārdeva par cenu 85 rubļi par 1 kg. Tātad viņš pārdeva 12 kg. Tad viņš samazināja cenu līdz 65 rubļiem un pārdeva atlikušos 4 kg ābolu. Kāda bija vidējā cena āboliem?

Risinājums

1) Aprēķināsim, cik naudas komersants kopā nopelnīja. Viņš pārdeva 12 kilogramus par cenu 85 rubļi par 1 kg: (berzēt.).

Viņš pārdeva 4 kilogramus par cenu 65 rubļi par 1 kg: (rubļi).

Tāpēc kopējā nopelnītās naudas summa ir vienāda ar: (rub.).

2) Pārdoto ābolu kopējais svars ir vienāds ar: .

3) Saņemto naudas summu sadali ar pārdoto ābolu kopējo svaru un iegūsti vidējo cenu par 1 kg ābolu: (rubļi).

Atbilde: 1 kg pārdoto ābolu vidējā cena ir 80 rubļi.

Vidējais aritmētiskais palīdz novērtēt datus kopumā, neņemot vērā katru vērtību atsevišķi.

Tomēr ne vienmēr ir iespējams izmantot vidējā aritmētiskā jēdzienu.

4. piemērs

Strēlnieks izšāva divus šāvienus mērķī (skat. 2. att.): pirmajā reizē viņš trāpīja metru virs mērķa, bet otro reizi - metru zemāk. Vidējais aritmētiskais rādīs, ka viņš precīzi trāpīja pa centru, lai gan abas reizes sita garām.

Rīsi. 2. Piemēram, ilustrācija

Šajā nodarbībā mēs uzzinājām par vidējā aritmētiskā jēdzienu. Mēs uzzinājām šī jēdziena definīciju, uzzinājām, kā aprēķināt vidējo aritmētisko vairākiem skaitļiem. Mēs arī mācījāmies praktiska izmantošanašo koncepciju.

1. N.Ya. Viļenkins. Matemātika: mācību grāmata. 5. klasei. vispārējā izglītība uchr. - Ed. 17. - M.: Mnemosyne, 2005.
)
2. Igoram līdzi bija 45 rubļi, Andrejam – 28, Denisam – 17.
3. Par visu naudu viņi nopirka 3 kinobiļetes. Cik maksāja viena biļete?

Vidējā aritmētiskā un ģeometriskā vidējā tēma iekļauta matemātikas programmā 6.-7.klasei. Tā kā rindkopa ir diezgan viegli uztverama, tai ātri tiek pāri, un līdz mācību gada beigām skolēni to ir aizmirsuši. Bet zināšanas par pamata statistiku ir nepieciešamas nokārtojot vienoto valsts eksāmenu, un arī par starptautiskie eksāmeni SAT. Un ikdienas dzīvē attīstīta analītiskā domāšana nekad nenāk par ļaunu.

Kā aprēķināt skaitļu vidējo aritmētisko un ģeometrisko vidējo

Pieņemsim, ka ir skaitļu virkne: 11, 4 un 3. Vidējais aritmētiskais ir visu skaitļu summa, kas dalīta ar doto skaitļu skaitu. Tas ir, skaitļu 11, 4, 3 gadījumā atbilde būs 6. Kā iegūt 6?

Risinājums: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Saucējam jāsatur skaitlis, kas vienāds ar skaitļu skaitu, kuru vidējais rādītājs ir jāatrod. Summa dalās ar 3, jo ir trīs vārdi.

Tagad mums ir jāizdomā ģeometriskais vidējais. Pieņemsim, ka ir skaitļu virkne: 4, 2 un 8.

Skaitļu ģeometriskais vidējais ir visu doto skaitļu reizinājums, kas atrodas zem saknes ar jaudu, kas vienāda ar doto skaitļu skaitu.Tas ir, skaitļu 4, 2 un 8 gadījumā atbilde būs 4. Lūk, kā tas izslēdzās:

Risinājums: ∛(4 × 2 × 8) = 4

Abos variantos mēs saņēmām veselas atbildes, jo piemēram tika ņemti īpaši skaitļi. Tas ne vienmēr notiek. Vairumā gadījumu atbilde ir jānoapaļo vai jāatstāj saknē. Piemēram, skaitļiem 11, 7 un 20 vidējais aritmētiskais ir ≈ 12,67, bet ģeometriskais vidējais ir ∛1540. Un uz skaitļiem 6 un 5 atbildes būs attiecīgi 5,5 un √30.

Vai var gadīties, ka vidējais aritmētiskais kļūst vienāds ar ģeometrisko vidējo?

Protams, ka var. Bet tikai divos gadījumos. Ja ir skaitļu virkne, kas sastāv tikai no vieniniekiem vai nullēm. Jāatzīmē arī tas, ka atbilde nav atkarīga no to skaita.

Pierādījums ar mērvienībām: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (vidējais aritmētiskais).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (vidējais ģeometriskais).

Pierādījums ar nullēm: (0 + 0) / 2=0 (vidējais aritmētiskais).

√(0 × 0) = 0 (vidējais ģeometriskais).

Citas iespējas nav un nevar būt.

Visvairāk vienād. Praksē mums ir jāizmanto vidējais aritmētiskais, ko var aprēķināt kā vienkāršu un svērto vidējo aritmētisko.

Aritmētiskais vidējais (SA)-n Visizplatītākais vidējā rādītāja veids. To izmanto gadījumos, kad mainīgas īpašības apjoms visai populācijai ir tās atsevišķo vienību raksturlielumu vērtību summa. Sociālajām parādībām ir raksturīga mainīga raksturlieluma apjomu summitāte (kopums), kas nosaka SA piemērošanas jomu un izskaidro tā kā vispārēja rādītāja izplatību, piemēram: vispārējais algu fonds ir visu darbinieku algu summa.

Lai aprēķinātu SA, visu pazīmju vērtību summa jāsadala ar to skaitu. SA tiek izmantots 2 formās.

Vispirms apskatīsim vienkāršu vidējo aritmētisko.

1-CA vienkārša (sākotnējā, definējošā forma) ir vienāda ar vidējo rādītāju individuālo vērtību summu, kas dalīta ar šo vērtību kopējo skaitu (izmanto, ja ir negrupētas raksturlieluma indeksa vērtības):

Veiktos aprēķinus var vispārināt šādā formulā:

(1)

Kur - mainīgā raksturlieluma vidējā vērtība, t.i., vienkāršais vidējais aritmētiskais;

nozīmē summēšanu, t.i., individuālo pazīmju pievienošanu;

x- mainīgas īpašības individuālās vērtības, ko sauc par variantiem;

n - iedzīvotāju vienību skaits

1. piemērs, nepieciešams atrast viena strādnieka (mehāniķa) vidējo izlaidi, ja ir zināms, cik detaļu katrs no 15 strādniekiem saražoja, t.i. dota virkne ind. atribūtu vērtības, gab.: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Vienkāršo SA aprēķina pēc formulas (1), gab.:

Piemērs2. Aprēķināsim SA, pamatojoties uz nosacītajiem datiem par 20 tirdzniecības uzņēmumā iekļautajiem veikaliem (1. tabula). 1. tabula

Tirdzniecības uzņēmuma "Vesna" veikalu sadalījums pa tirdzniecības platībām, kv. M

Veikals Nr.		Veikals Nr.

Lai aprēķinātu vidējo veikala platību ( ) jāsaskaita visu veikalu platības un iegūtais rezultāts jāsadala ar veikalu skaitu:

Tādējādi šīs mazumtirdzniecības uzņēmumu grupas vidējā veikala platība ir 71 kv.m.

Tāpēc, lai noteiktu vienkāršu SA, ir nepieciešama visu vērtību summa no šīs īpašības dalīts ar vienību skaitu, kurām piemīt šis raksturlielums.

2

Kur f 1 , f 2 , … ,f n – svars (identisku zīmju atkārtošanās biežums);

– pazīmju lieluma un to biežuma reizinājumu summa;

– kopējais iedzīvotāju vienību skaits.

- SA svērtais - Ar Opciju vidus, kas tiek atkārtots atšķirīgu reižu skaitu vai, kā saka, ar dažādu svaru. Svari ir vienību skaits dažādas grupas agregāti (identiskas iespējas tiek apvienotas grupā). SA svērtais – grupēto vērtību vidējais rādītājs x 1 , x 2 , .., x n, – aprēķināts: (2)

Kur X- opcijas;

f- biežums (svars).

Svērtais SA ir koeficients, kurā opciju un to atbilstošo frekvenču reizinājumu summa tiek dalīta ar visu frekvenču summu. Frekvences ( f), kas parādās SA formulā, parasti sauc svari, kā rezultātā SA, kas aprēķināta, ņemot vērā svarus, sauc par svērto.

Mēs ilustrēsim svērtā SA aprēķināšanas paņēmienu, izmantojot iepriekš apskatīto piemēru 1. Lai to izdarītu, mēs sagrupēsim sākotnējos datus un ievietosim tos tabulā.

Sagrupēto datu vidējo lielumu nosaka šādi: vispirms opcijas reizina ar frekvencēm, tad saskaita reizinājumus un iegūto summu dala ar frekvenču summu.

Saskaņā ar formulu (2) svērtais SA ir vienāds, gab.:

Strādnieku sadale detaļu ražošanai

P

Iepriekšējā 2. piemērā sniegtos datus var apvienot viendabīgās grupās, kuras ir parādītas tabulā. Tabula

Vesnas veikalu sadalījums pa tirdzniecības platībām, kv. m

Tādējādi rezultāts bija tāds pats. Tomēr tā jau būs svērtā aritmētiskā vidējā vērtība.

Iepriekšējā piemērā mēs aprēķinājām vidējo aritmētisko ar nosacījumu, ka ir zināmas absolūtās frekvences (veikalu skaits). Tomēr vairākos gadījumos absolūtās frekvences nav, bet ir zināmas relatīvās frekvences vai, kā tās parasti sauc, frekvences, kas parāda proporciju vai frekvenču īpatsvars visā komplektā.

Aprēķinot SA svērto izmantošanu frekvencesļauj vienkāršot aprēķinus, ja frekvence ir izteikta lielos daudzciparu skaitļos. Aprēķins tiek veikts tādā pašā veidā, taču, tā kā izrādās, ka vidējā vērtība ir palielināta par 100 reizēm, rezultāts jādala ar 100.

Tad vidējā aritmētiskā svērtā formula izskatīsies šādi:

Kur d- biežums, t.i. katras frekvences īpatsvars visu frekvenču kopējā summā.

(3)

Mūsu 2. piemērā vispirms nosakām veikalu īpatsvaru pa grupām kopējā uzņēmuma Vesna veikalu skaitā. Tātad pirmajai grupai īpatnējais svars atbilst 10%.
. Mēs iegūstam šādus datus 3. tabula

) un parauga vidējais(-ie).

Enciklopēdisks YouTube

• 1 / 5

  Apzīmēsim datu kopu X = (x 1 , x 2 , …, x n), tad izlases vidējo lielumu parasti norāda ar horizontālu joslu virs mainīgā (izrunā " x ar līniju").

  Grieķu burtu μ izmanto, lai apzīmētu visas populācijas vidējo aritmētisko. Gadījuma lieluma gadījumā, kuram ir noteikta vidējā vērtība, μ ir varbūtības vidējais rādītājs vai gadījuma lieluma matemātiskās cerības. Ja komplekts X ir nejaušu skaitļu kopums ar varbūtības vidējo μ, tad jebkuram paraugam x i no šīs kopas μ = E( x i) ir šī parauga matemātiskā cerība.

  Praksē atšķirība starp μ un x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) ir tas, ka μ ir tipisks mainīgais, jo jūs varat redzēt paraugu, nevis visu populāciju. Tāpēc, ja izlase ir nejauša (varbūtību teorijas ziņā), tad x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))(bet ne μ) var uzskatīt par nejaušu lielumu ar varbūtības sadalījumu pa paraugu (vidējā varbūtības sadalījums).

  Abi šie daudzumi tiek aprēķināti tādā pašā veidā:

  x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

  Piemēri

  • Trīs skaitļiem tie ir jāpievieno un jādala ar 3:
  x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).
  • Četriem skaitļiem tie ir jāpievieno un jādala ar 4:
  x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).

  Vai vienkāršāk 5+5=10, 10:2. Tā kā mēs pievienojām 2 skaitļus, kas nozīmē, cik skaitļus mēs pievienojam, mēs dalām ar tik daudz.

  Nepārtraukts gadījuma mainīgais

  f (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

  Dažas problēmas, izmantojot vidējo rādītāju

  Izturības trūkums

  Lai gan vidējos aritmētiskos bieži izmanto kā vidējos rādītājus vai galvenās tendences, šis jēdziens nav stabila statistika, kas nozīmē, ka vidējo aritmētisko lielumu ietekmē "lielas novirzes". Jāatzīmē, ka sadalījumiem ar lielu šķībuma koeficientu vidējais aritmētiskais var neatbilst jēdzienam “vidējais”, un vidējās vērtības no stabilas statistikas (piemēram, mediāna) var labāk raksturot centrālo vērtību. tendence.

  Klasisks piemērs ir vidējo ienākumu aprēķināšana. Vidējo aritmētisko var nepareizi interpretēt kā mediānu, kas var likt secināt, ka cilvēku ar lielākiem ienākumiem ir vairāk nekā patiesībā. “Vidējie” ienākumi tiek interpretēti tādējādi, ka lielākajai daļai cilvēku ienākumi ir ap šo skaitli. Šie “vidējie” (vidējā aritmētiskā izpratnē) ienākumi ir lielāki par vairuma cilvēku ienākumiem, jo ​​augsti ienākumi ar lielu novirzi no vidējā padara vidējo aritmētisko ļoti nešķīstu (turpretī vidējie ienākumi pie mediānas “pretojas” šādai šķībai). Tomēr šie "vidējie" ienākumi neko nepasaka par cilvēku skaitu, kas ir tuvu vidējiem ienākumiem (un neko nesaka par cilvēku skaitu, kas ir tuvu modālajiem ienākumiem). Tomēr, ja jēdzienus “vidējais” un “lielākā daļa cilvēku” uztverat viegli, jūs varat izdarīt nepareizu secinājumu, ka lielākajai daļai cilvēku ienākumi ir lielāki, nekā tie ir patiesībā. Piemēram, pārskats par "vidējiem" neto ienākumiem Medinā, Vašingtonā, kas aprēķināts kā visu iedzīvotāju gada neto ienākumu vidējais aritmētiskais rādītājs, pārsteidzoši iegūs. liels skaitlis Bila Geitsa dēļ. Apsveriet paraugu (1, 2, 2, 2, 3, 9). Vidējais aritmētiskais ir 3,17, bet piecas no sešām vērtībām ir zemākas par šo vidējo.

  Saliktie procenti

  Ja skaitļi vairoties, bet ne salocīt, jums jāizmanto ģeometriskais vidējais, nevis vidējais aritmētiskais. Visbiežāk šis incidents notiek, aprēķinot atdevi no ieguldījumiem finansēs.

  Piemēram, ja akciju vērtība pirmajā gadā kritās par 10%, bet otrajā pieauga par 30%, tad ir nepareizi aprēķināt “vidējo” pieaugumu šajos divos gados kā vidējo aritmētisko (-10% + 30%) / 2 = 10%; pareizo vidējo šajā gadījumā dod saliktais gada pieauguma temps, kas dod gada pieauguma tempu tikai aptuveni 8,16653826392% ≈ 8,2%.

  Iemesls tam ir tas, ka procentiem katru reizi ir jauns sākumpunkts: 30% ir 30% no skaitļa, kas ir mazāks par cenu pirmā gada sākumā: ja akciju cena sākās ar USD 30 un nokritās par 10%, otrā gada sākumā tās vērtība ir USD 27. Ja akcijas pieaugtu par 30%, otrā gada beigās to vērtība būtu 35,1 USD. Šī pieauguma vidējais aritmētiskais ir 10%, bet, tā kā akcijas 2 gadu laikā ir pieaugušas tikai par USD 5,1, vidējais pieaugums par 8,2% dod gala rezultātu 35,1 USD:

  [30 ASV dolāri (1–0,1) (1 + 0,3) = 30 ASV dolāri (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 ASV dolāri]. Ja vidēji izmantojam tāpat aritmētiskā vērtība 10%, mēs neiegūsim faktisko vērtību: [$30 (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 ASV dolāri].

  Saliktie procenti 2 gadu beigās: 90% * 130% = 117%, tas ir, kopējais pieaugums ir 17%, un vidējie gada saliktie procenti 117% ≈ 108,2% (\displaystyle (\sqrt (117\%))\aptuveni 108,2\%), tas ir, vidējais gada pieaugums par 8,2%.Šis skaitlis ir nepareizs divu iemeslu dēļ.

  Vidējā vērtība cikliskajam mainīgajam, kas aprēķināta, izmantojot iepriekš minēto formulu, tiks mākslīgi novirzīta attiecībā pret reālo vidējo vērtību skaitliskā diapazona vidū. Šī iemesla dēļ vidējo vērtību aprēķina citādi, proti, skaitli ar mazāko novirzi ( centra punkts). Tāpat atņemšanas vietā tiek izmantots modulārais attālums (tas ir, apkārtmēra attālums). Piemēram, modulārais attālums starp 1° un 359° ir 2°, nevis 358° (uz apļa starp 359° un 360°==0° - viens grāds, starp 0° un 1° - arī 1°, kopā -2 °).