Tiek parādīti galvenie nevienlīdzību veidi, tostarp Bernulli, Košī - Bunjakovska, Minkovska, Čebiševa nevienlīdzības. Aplūkotas nevienlīdzību īpašības un darbības uz tām. Dotas nevienādību risināšanas pamatmetodes.

Pamatnevienādību formulas

Universālo nevienlīdzību formulas

Universālās nevienādības ir izpildītas jebkurām tajās iekļauto daudzumu vērtībām. Tālāk ir uzskaitīti galvenie universālo nevienlīdzību veidi.

1) | a b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |

2) |a| + |b| ≥ | a - b | ≥ | |a| - |b| |

3)
Vienlīdzība notiek tikai tad, ja a 1 = a 2 = ... = a n.

4) Košī-Buņakovska nevienlīdzība

Vienādība pastāv tad un tikai tad, ja α a k = β b k visiem k = 1, 2, ..., n un dažiem α, β, |α| + |β| > 0.

5) Minkovska nevienlīdzība, ja p ≥ 1

Apmierināmo nevienādību formulas

Apmierinošas nevienādības ir izpildītas noteiktām tajās iekļauto daudzumu vērtībām.

1) Bernulli nevienlīdzība:
.
Vairāk vispārējs skats:
,
kur , skaitļi ar tādu pašu zīmi un lielāks par -1 : .
Bernulli lemma:
.
Skatiet sadaļu "Nevienādību pierādījumi un Bernulli lemma".

2)
ja a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .

3) Čebiševa nevienlīdzība
plkst 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Un 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
Plkst 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Un b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Vispārinātās Čebiševa nevienlīdzības
plkst 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Un 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n un k dabisks
.
Plkst 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Un b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Nevienādību īpašības

Nevienādību īpašības ir noteikumu kopums, kas tiek izpildīts, tos pārveidojot. Zemāk ir norādītas nevienlīdzību īpašības. Tiek saprasts, ka sākotnējās nevienādības ir izpildītas vērtībām x i (i = 1, 2, 3, 4), kas pieder kādam iepriekš noteiktam intervālam.

1) Kad mainās malu secība, nevienlīdzības zīme mainās uz pretējo.
Ja x 1< x 2 , то x 2 >x 1 .
Ja x 1 ≤ x 2, tad x 2 ≥ x 1.
Ja x 1 ≥ x 2, tad x 2 ≤ x 1.
Ja x 1 > x 2, tad x 2< x 1 .

2) Viena vienlīdzība ir līdzvērtīga divām vājām nevienādībām atšķirīga zīme.
Ja x 1 = x 2, tad x 1 ≤ x 2 un x 1 ≥ x 2.
Ja x 1 ≤ x 2 un x 1 ≥ x 2, tad x 1 = x 2.

3) Transitivitātes īpašība
Ja x 1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Ja x 1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Ja x 1 ≤ x 2 un x 2< x 3 , то x 1 < x 3 .
Ja x 1 ≤ x 2 un x 2 ≤ x 3, tad x 1 ≤ x 3.

4) abām nevienādības pusēm var pievienot (atņemt) vienu un to pašu skaitli.
Ja x 1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Ja x 1 ≤ x 2, tad x 1 + A ≤ x 2 + A.
Ja x 1 ≥ x 2, tad x 1 + A ≥ x 2 + A.
Ja x 1 > x 2, tad x 1 + A > x 2 + A.

5) Ja ir divas vai vairākas nevienādības ar viena virziena zīmi, tad var saskaitīt to kreiso un labo pusi.
Ja x 1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Ja x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Ja x 1 ≤ x 2, x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Ja x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, tad x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4.
Līdzīgi izteicieni attiecas uz zīmēm ≥, >.
Ja sākotnējās nevienādībās ir nevienlīdzības pazīmes un vismaz viena stingra nevienādība (bet visām zīmēm ir vienāds virziens), tad pievienošanas rezultātā rodas stingra nevienādība.

6) Abas nevienādības puses var reizināt (dalīt) ar pozitīvu skaitli.
Ja x 1< x 2 и A >0, tad A x 1< A · x 2 .
Ja x 1 ≤ x 2 un A > 0, tad A x 1 ≤ A x 2.
Ja x 1 ≥ x 2 un A > 0, tad A x 1 ≥ A x 2.
Ja x 1 > x 2 un A > 0, tad A · x 1 > A · x 2.

7) Abas nevienādības puses var reizināt (dalīt) ar negatīvs skaitlis. Šajā gadījumā nevienlīdzības zīme mainīsies uz pretējo.
Ja x 1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >A x 2.
Ja x 1 ≤ x 2 un A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Ja x 1 ≥ x 2 un A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Ja x 1 > x 2 un A< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) Ja ir divas vai vairākas nevienādības ar pozitīviem vārdiem, ar viena virziena zīmi, tad to kreiso un labo pusi var reizināt vienu ar otru.
Ja x 1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0, tad x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Ja x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0, tad x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Ja x 1 ≤ x 2, x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0, tad x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Ja x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0, tad x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
Līdzīgi izteicieni attiecas uz zīmēm ≥, >.
Ja sākotnējās nevienādībās ir nevienlīdzības pazīmes un vismaz viena stingra nevienādība (bet visām zīmēm ir vienāds virziens), tad reizināšanas rezultātā rodas stingra nevienādība.

9) Lai f(x) ir monotoni augoša funkcija. Tas ir, jebkuram x 1 > x 2, f(x 1) > f(x 2). Tad šo funkciju var attiecināt uz abām nevienlīdzības pusēm, kas nemainīs nevienlīdzības zīmi.
Ja x 1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Ja x 1 ≤ x 2, tad f(x 1) ≤ f(x 2) .
Ja x 1 ≥ x 2, tad f(x 1) ≥ f(x 2) .
Ja x 1 > x 2, tad f(x 1) > f(x 2).

10) Lai f(x) ir monotoni dilstoša funkcija, tas ir, jebkuram x 1 > x 2, f(x 1)< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Ja x 1< x 2 , то f(x 1) >f(x 2) .
Ja x 1 ≤ x 2, tad f(x 1) ≥ f(x 2) .
Ja x 1 ≥ x 2, tad f(x 1) ≤ f(x 2) .
Ja x 1 > x 2, tad f(x 1)< f(x 2) .

Nevienādību risināšanas metodes

Nevienādību risināšana, izmantojot intervālu metodi

Intervālu metode ir piemērojama, ja nevienādība ietver vienu mainīgo, ko mēs apzīmējam kā x, un tam ir šāda forma:
f(x) > 0
kur f(x) - nepārtraukta funkcija, kam ir ierobežots pārtraukuma punktu skaits. Nevienlīdzības zīme var būt jebkura: >, ≥,<, ≤ .

Intervālu metode ir šāda.

1) Atrodiet funkcijas f(x) definīcijas apgabalu un atzīmējiet to ar intervāliem uz skaitļa ass.

2) Atrodiet funkcijas f(x) pārtraukuma punktus. Piemēram, ja šī ir daļa, mēs atrodam punktus, kuros saucējs kļūst par nulli. Mēs atzīmējam šos punktus uz skaitļu ass.

3) Atrisiniet vienādojumu
f(x) = 0 .
Mēs atzīmējam šī vienādojuma saknes uz skaitļa ass.

4) Rezultātā skaitļu ass tiks sadalīta intervālos (segmentos) pa punktiem. Katrā definīcijas apgabalā iekļautajā intervālā mēs izvēlamies jebkuru punktu un šajā brīdī aprēķinām funkcijas vērtību. Ja šī vērtība ir lielāka par nulli, virs segmenta (intervāla) ievietojam zīmi “+”. Ja šī vērtība ir mazāka par nulli, virs segmenta (intervāla) ievietojam zīmi “-”.

5) Ja nevienādībai ir forma: f(x) > 0, tad atlasiet intervālus ar “+” zīmi. Nevienlīdzības risinājums ir apvienot šos intervālus, kas neietver to robežas.
Ja nevienādībai ir forma: f(x) ≥ 0, tad risinājumam pievienojam punktus, kuros f(x) = 0. Tas ir, dažiem intervāliem var būt slēgtas robežas (robeža pieder pie intervāla). otrai daļai var būt atvērtas robežas (robeža nepieder pie intervāla).
Līdzīgi, ja nevienādībai ir šāda forma: f(x)< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Ja nevienādībai ir forma: f(x) ≤ 0, tad risinājumam pievieno punktus, kuros f(x) = 0.

Nevienādību risināšana, izmantojot to īpašības

Šī metode ir piemērojama jebkuras sarežģītības nevienādībām. Tas sastāv no īpašību (iepriekš uzrādīto) pielietošanas, lai samazinātu nevienlīdzības vienkāršāk un iegūtu risinājumu. Pilnīgi iespējams, ka rezultātā radīsies ne tikai viena, bet nevienlīdzības sistēma. Šī ir universāla metode. Tas attiecas uz jebkuru nevienlīdzību.

Atsauces:
I.N. Bronšteins, K.A. Semendjajevs, Matemātikas rokasgrāmata inženieriem un koledžas studentiem, “Lan”, 2009.

Viena no tēmām, kas no studentiem prasa maksimālu uzmanību un neatlaidību, ir nevienlīdzības risināšana. Tik līdzīgs vienādojumiem un tajā pašā laikā ļoti atšķirīgs no tiem. Jo to risināšanai nepieciešama īpaša pieeja.

Īpašības, kas būs nepieciešamas, lai atrastu atbildi

Visi no tiem tiek izmantoti, lai aizstātu esošo ierakstu ar līdzvērtīgu. Lielākā daļa no tiem ir līdzīgi tiem, kas bija vienādojumos. Taču ir arī atšķirības.

• Funkciju, kas ir definēta ODZ, vai jebkuru skaitli var pievienot abām sākotnējās nevienlīdzības pusēm.
• Tāpat ir iespējama reizināšana, bet tikai ar pozitīvu funkciju vai skaitli.
• Ja šī darbība tiek veikta ar negatīvu funkciju vai skaitli, tad nevienlīdzības zīme jāaizstāj ar pretējo.
• Funkcijas, kas nav negatīvas, var paaugstināt līdz pozitīvam jaudu.

Dažkārt nevienlīdzību risināšanu pavada darbības, kas sniedz svešas atbildes. Tie ir jāizslēdz, salīdzinot ODZ zona un daudzi risinājumi.

Intervālu metodes izmantošana

Tās būtība ir samazināt nevienlīdzību līdz vienādojumam, kurā labajā pusē ir nulle.

1. Nosakiet apgabalu, kurā atrodas mainīgo lielumu, tas ir, ODZ, pieļaujamās vērtības.
2. Pārveidojiet nevienādību, izmantojot matemātiskas darbības, lai labajā pusē būtu nulle.
3. Aizstājiet nevienlīdzības zīmi ar “=” un atrisiniet atbilstošo vienādojumu.
4. Uz skaitliskās ass atzīmējiet visas risinājuma laikā iegūtās atbildes, kā arī OD intervālus. Stingras nevienlīdzības gadījumā punkti jāvelk kā caurdurti. Ja ir vienādības zīme, tad tās jāpārkrāso.
5. Nosakiet sākotnējās funkcijas zīmi katrā intervālā, kas iegūts no ODZ punktiem un atbildēm, kas to sadala. Ja, ejot cauri punktam, funkcijas zīme nemainās, tad to iekļauj atbildē. Pretējā gadījumā tas ir izslēgts.
6. ODZ robežpunkti ir vēl jāpārbauda un tikai pēc tam jāiekļauj vai neiekļauj atbildē.
7. Iegūtā atbilde jāraksta kombinēto komplektu veidā.

Mazliet par dubulto nevienlīdzību

Viņi izmanto divas nevienlīdzības zīmes vienlaikus. Tas nozīmē, ka dažas funkcijas vienlaikus divas reizes ierobežo nosacījumi. Šādas nevienādības tiek atrisinātas kā divu sistēmu, kad oriģināls tiek sadalīts daļās. Un intervālu metodē ir norādītas atbildes no abu vienādojumu risināšanas.

Lai tos atrisinātu, ir atļauts izmantot arī iepriekš norādītās īpašības. Ar viņu palīdzību ir ērti samazināt nevienlīdzību līdz nullei.

Kā ar nevienlīdzībām, kurām ir modulis?

Šajā gadījumā nevienādību risinājumam tiek izmantotas šādas īpašības, un tās ir derīgas pozitīvai “a” vērtībai.

Ja "x" ņem algebriskā izteiksme, tad ir derīgi šādi aizvietojumi:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > no a līdz x< -a или х >a.

Ja nevienādības nav stingras, tad arī formulas ir pareizas, tikai tajās papildus lielākai vai mazākai zīmei parādās “=”.

Kā tiek atrisināta nevienlīdzību sistēma?

Šīs zināšanas būs nepieciešamas gadījumos, kad tiek dots šāds uzdevums vai ir fiksēts dubultās nevienlīdzības ieraksts vai ierakstā parādās modulis. Šādā situācijā risinājums būs mainīgo lielumu vērtības, kas apmierinātu visas ieraksta nevienādības. Ja šādu skaitļu nav, tad sistēmai nav risinājumu.

Plāns, saskaņā ar kuru tiek veikts nevienlīdzību sistēmas risinājums:

• atrisināt katru no tiem atsevišķi;
• attēlo visus intervālus uz skaitļu ass un nosaka to krustpunktus;
• pierakstiet sistēmas atbildi, kas būs otrajā rindkopā notikušā kombinācija.

Ko darīt ar daļēju nevienādību?

Tā kā to risināšanai var būt nepieciešams mainīt nevienlīdzības zīmi, jums ļoti rūpīgi un rūpīgi jāievēro visi plāna punkti. Pretējā gadījumā jūs varat saņemt pretēju atbildi.

Daļējo nevienādību risināšanai tiek izmantota arī intervāla metode. Un rīcības plāns būs šāds:

• Izmantojot aprakstītās īpašības, piešķiriet frakcijai tādu formu, lai pa labi no zīmes paliek tikai nulle.
• Aizstājiet nevienādību ar “=” un nosakiet punktus, kuros funkcija būs vienāda ar nulli.
• Atzīmējiet tos uz koordinātu ass. Šajā gadījumā aprēķinu rezultātā iegūtie skaitļi saucējā vienmēr tiks izspiesti. Visi pārējie ir balstīti uz nevienlīdzības nosacījumu.
• Nosakiet zīmes noturības intervālus.
• Atbildot uz to, pierakstiet to intervālu savienību, kuru zīme atbilst sākotnējās nevienādības zīmei.

Situācijas, kad nevienlīdzībā parādās iracionalitāte

Citiem vārdiem sakot, apzīmējumā ir matemātiska sakne. Kopš skolas algebras kursā Lielākā daļa uzdevumi ir kvadrātsaknei, tad tas tiks ņemts vērā.

Iracionālās nevienlīdzības risinājums ir divu vai trīs sistēmu iegūšana, kas būs līdzvērtīga sākotnējai.

Sākotnējā nevienlīdzība	stāvokli	līdzvērtīga sistēma
√ n(x)< m(х)	m(x) mazāks vai vienāds ar 0	nekādu risinājumu
	m(x) lielāks par 0	n(x) ir lielāks vai vienāds ar 0 n(x)< (m(х)) 2
√ n(x) > m(x)		m(x) lielāks vai vienāds ar 0 n(x) > (m(x)) 2
		n(x) ir lielāks vai vienāds ar 0 m(x) mazāks par 0
√n(x) ≤ m(x)	m(x) mazāks par 0	nekādu risinājumu
	m(x) lielāks vai vienāds ar 0	n(x) ir lielāks vai vienāds ar 0 n(x) ≤ (m(x)) 2
√n(x) ≥ m(x)		m(x) lielāks vai vienāds ar 0 n(x) ≥ (m(x)) 2
		n(x) ir lielāks vai vienāds ar 0 m(x) mazāks par 0
√ n(x)< √ m(х)		n(x) ir lielāks vai vienāds ar 0 n(x) mazāks par m(x)
√n(x) * m(x)< 0		n(x) lielāks par 0 m(x) mazāks par 0
√n(x) * m(x) > 0		n(x) lielāks par 0 m(x) lielāks par 0
√n(x) * m(x) ≤ 0		n(x) lielāks par 0
		n(x) ir vienāds ar 0 m(x) — jebkura
√n(x) * m(x) ≥ 0		n(x) lielāks par 0
		n(x) ir vienāds ar 0 m(x) — jebkura

Dažādu veidu nevienlīdzību risināšanas piemēri

Lai pievienotu skaidrību teorijai par nevienlīdzību risināšanu, tālāk ir sniegti piemēri.

Pirmais piemērs. 2x - 4 > 1 + x

Risinājums: Lai noteiktu ADI, viss, kas jums jādara, ir rūpīgi jāizpēta nevienlīdzība. Tas veidojas no lineārās funkcijas, tāpēc definēts visām mainīgā vērtībām.

Tagad jums ir jāatņem (1 + x) no abām nevienlīdzības pusēm. Izrādās: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Pēc iekavu atvēršanas un līdzīgu terminu došanas nevienādība iegūs šādu formu: x - 5 > 0.

Pielīdzinot to nullei, ir viegli atrast tā risinājumu: x = 5.

Tagad šis punkts ar skaitli 5 ir jāatzīmē koordinātu starā. Pēc tam pārbaudiet sākotnējās funkcijas pazīmes. Pirmajā intervālā no mīnus bezgalības līdz 5 var ņemt skaitli 0 un aizstāt to ar nevienādību, kas iegūta pēc transformācijām. Pēc aprēķiniem izrādās -7 >0. zem intervāla loka jums jāparaksta mīnusa zīme.

Nākamajā intervālā no 5 līdz bezgalībai var izvēlēties skaitli 6. Tad izrādās, ka 1 > 0. Zem loka ir “+” zīme. Šis otrais intervāls būs atbilde uz nevienlīdzību.

Atbilde: x atrodas intervālā (5; ∞).

Otrais piemērs. Ir nepieciešams atrisināt divu vienādojumu sistēmu: 3x + 3 ≤ 2x + 1 un 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Risinājums. Šo nevienādību VA atrodas arī jebkuru skaitļu reģionā, jo ir dotas lineāras funkcijas.

Otrā nevienādība būs šāda vienādojuma formā: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Pēc transformācijas: -x - 4 =0. Tādējādi mainīgajam tiek iegūta vērtība, kas vienāda ar -4.

Šie divi skaitļi ir jāatzīmē uz ass, attēlojot intervālus. Tā kā nevienlīdzība nav stingra, visi punkti ir jāieēno. Pirmais intervāls ir no mīnus bezgalības līdz -4. Lai tiek izvēlēts skaitlis -5. Pirmā nevienādība dos vērtību -3, bet otrā 1. Tas nozīmē, ka šis intervāls atbildē nav iekļauts.

Otrais intervāls ir no -4 līdz -2. Jūs varat izvēlēties skaitli -3 un aizstāt to abās nevienādībās. Pirmajā un otrajā vērtība ir -1. Tas nozīmē, ka zem loka “-”.

Pēdējā intervālā no -2 līdz bezgalībai labākais skaitlis ir nulle. Jums tas jāaizstāj un jāatrod nevienlīdzību vērtības. Pirmais no tiem rada pozitīvu skaitli, bet otrais - nulli. Šī plaisa arī ir jāizslēdz no atbildes.

No trim intervāliem tikai viens ir nevienlīdzības risinājums.

Atbilde: x pieder [-4; -2].

Trešais piemērs. |1 - x| > 2 |x - 1|.

Risinājums. Pirmais solis ir noteikt punktus, kuros funkcijas pazūd. Kreisajam šis skaitlis būs 2, labajam - 1. Tie jāatzīmē uz sijas un jānosaka zīmes noturības intervāli.

Pirmajā intervālā no mīnus bezgalības līdz 1 funkcijai nevienlīdzības kreisajā pusē ir pozitīvas vērtības, un funkcijai labajā pusē ir negatīvas vērtības. Zem loka jums blakus jāraksta divas zīmes “+” un “-”.

Nākamais intervāls ir no 1 līdz 2. Uz tā abām funkcijām ir pozitīvas vērtības. Tas nozīmē, ka zem loka ir divi plusi.

Trešais intervāls no 2 līdz bezgalībai dos šādu rezultātu: kreisā funkcija- negatīvs, pareizi - pozitīvs.

Ņemot vērā iegūtās zīmes, jums jāaprēķina nevienlīdzības vērtības visiem intervāliem.

Pirmais rada šādu nevienādību: 2 - x > - 2 (x - 1). Mīnuss pirms diviem otrajā nevienādībā ir saistīts ar to, ka šī funkcija ir negatīva.

Pēc transformācijas nevienādība izskatās šādi: x > 0. Tā uzreiz dod mainīgā vērtības. Tas ir, no šī intervāla tiks atbildēts tikai uz intervālu no 0 līdz 1.

Otrajā: 2 — x > 2 (x — 1). Pārveidojumi dos šādu nevienādību: -3x + 4 ir lielāks par nulli. Tā nulle būs x = 4/3. Ņemot vērā nevienlīdzības zīmi, izrādās, ka x ir jābūt mazākam par šo skaitli. Tas nozīmē, ka šis intervāls tiek samazināts līdz intervālam no 1 līdz 4/3.

Pēdējais dod šādu nevienādību: - (2 - x) > 2 (x - 1). Tā transformācija noved pie sekojošā: -x > 0. Tas ir, vienādojums ir patiess, ja x ir mazāks par nulli. Tas nozīmē, ka vajadzīgajā intervālā nevienlīdzība nesniedz risinājumus.

Pirmajos divos intervālos limita numurs izrādījās 1. Tas ir jāpārbauda atsevišķi. Tas ir, aizstājiet to ar sākotnējo nevienlīdzību. Izrādās: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Skaitīšana parāda, ka 1 ir lielāks par 0. Šis apgalvojums ir patiess, tāpēc atbildē ir iekļauts viens.

Atbilde: x atrodas intervālā (0; 4/3).

Daudzumus un daudzumus, risinot praktiskas problēmas, bijis nepieciešams salīdzināt jau kopš seniem laikiem. Tajā pašā laikā parādījās tādi vārdi kā vairāk un mazāk, augstāk un zemāk, vieglāk un smagāki, klusāki un skaļāki, lētāki un dārgāki utt., kas apzīmē viendabīgu daudzumu salīdzināšanas rezultātus.

Jēdzieni vairāk un mazāk radās saistībā ar objektu skaitīšanu, lielumu mērīšanu un salīdzināšanu. Piemēram, Senās Grieķijas matemātiķi zināja, ka jebkura trīsstūra mala ir mazāka par pārējo divu malu summu un ka lielākā mala atrodas pretī trijstūra lielākajam leņķim. Arhimēds, aprēķinot apkārtmēru, konstatēja, ka jebkura apļa perimetrs ir vienāds ar trīskāršu diametru ar pārsniegumu, kas ir mazāks par septīto daļu no diametra, bet vairāk nekā desmit septiņdesmit reizes lielāks par diametru.

Simboliski uzrakstiet attiecības starp skaitļiem un daudzumiem, izmantojot zīmes > un b. Ieraksti, kuros divus skaitļus savieno viena no zīmēm: > (lielāks par), Jūs arī sastapāties ar skaitliskām nevienādībām junioru klases. Jūs zināt, ka nevienlīdzība var būt patiesa, vai arī tā var būt nepatiesa. Piemēram, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) ir pareiza skaitliskā nevienādība, 0,23 > 0,235 ir nepareiza skaitliskā nevienādība.

Nevienlīdzība, kas saistīta ar nezināmajiem, var būt patiesa attiecībā uz dažām nezināmā vērtībām un nepatiesa attiecībā uz citām. Piemēram, nevienādība 2x+1>5 ir patiesa, ja x = 3, bet nepatiesa, ja x = -3. Nevienādībai ar vienu nezināmo varat uzstādīt uzdevumu: atrisināt nevienlīdzību. Nevienādību risināšanas problēmas praksē tiek izvirzītas un atrisinātas ne retāk kā vienādojumu risināšanas problēmas. Piemēram, daudzas ekonomiskās problēmas ir saistītas ar sistēmu izpēti un risināšanu lineārās nevienādības. Daudzās matemātikas nozarēs nevienlīdzības ir biežākas nekā vienādojumi.

Dažas nevienlīdzības kalpo kā vienīgā palīgierīce, kas ļauj pierādīt vai atspēkot noteikta objekta esamību, piemēram, vienādojuma sakni.

Skaitliskās nevienādības

Vai varat salīdzināt veselus skaitļus? decimāldaļas. Vai jūs zināt salīdzināšanas noteikumus? parastās frakcijas ar vienādiem saucējiem, bet atšķirīgiem skaitītājiem; ar tiem pašiem skaitītājiem, bet dažādi saucēji. Šeit jūs uzzināsit, kā salīdzināt jebkurus divus skaitļus, atrodot to atšķirības zīmi.

Praksē plaši tiek izmantota skaitļu salīdzināšana. Piemēram, ekonomists salīdzina plānotos rādītājus ar faktiskajiem, ārsts salīdzina pacienta temperatūru ar normālo, virpotājs salīdzina apstrādātas detaļas izmērus ar standartu. Visos šādos gadījumos tiek salīdzināti daži skaitļi. Skaitļu salīdzināšanas rezultātā rodas skaitliskās nevienādības.

Definīcija. Skaitlis a vairāk numuru b, ja atšķirība a-b pozitīvs. Skaitlis a mazāks skaitlis b, ja starpība a-b ir negatīva.

Ja a ir lielāks par b, tad viņi raksta: a > b; ja a ir mazāks par b, tad viņi raksta: a Tādējādi nevienādība a > b nozīmē, ka starpība a - b ir pozitīva, t.i. a - b > 0. Nevienādība a Jebkuriem diviem skaitļiem a un b no sekojošām trim sakarībām a > b, a = b, a Salīdzināt skaitļus a un b nozīmē noskaidrot, kura no zīmēm >, = vai Teorēma. Ja a > b un b > c, tad a > c.

Teorēma. Ja abām nevienlīdzības pusēm pievienojat vienādu skaitli, nevienlīdzības zīme nemainīsies.
Sekas. Jebkuru terminu var pārvietot no vienas nevienlīdzības daļas uz citu, mainot šī vārda zīmi uz pretējo.

Teorēma. Ja abas nevienlīdzības puses reizina ar vienu un to pašu pozitīvo skaitli, tad nevienlīdzības zīme nemainās. Ja abas nevienlīdzības puses reizina ar vienu un to pašu negatīvo skaitli, tad nevienlīdzības zīme mainīsies uz pretējo.
Sekas. Ja abas nevienlīdzības puses dala ar vienu un to pašu pozitīvo skaitli, tad nevienlīdzības zīme nemainīsies. Ja abas nevienlīdzības puses dala ar vienu un to pašu negatīvo skaitli, tad nevienlīdzības zīme mainīsies uz pretējo.

Jūs zināt, ka skaitliskās vienādības var saskaitīt un reizināt ar terminu. Tālāk jūs uzzināsit, kā veikt līdzīgas darbības ar nevienlīdzību. Praksē bieži tiek izmantota iespēja saskaitīt un reizināt nevienādības. Šīs darbības palīdz atrisināt izteicienu nozīmju izvērtēšanas un salīdzināšanas problēmas.

Risinot dažādas problēmas, nereti nākas saskaitīt vai reizināt nevienādību kreiso un labo pusi termiņā. Tajā pašā laikā dažreiz tiek teikts, ka nevienlīdzība summējas vai vairojas. Piemēram, ja tūrists pirmajā dienā nostaigāja vairāk nekā 20 km, bet otrajā - vairāk nekā 25 km, tad mēs varam teikt, ka divās dienās viņš nostaigāja vairāk nekā 45 km. Tāpat, ja taisnstūra garums ir mazāks par 13 cm un platums ir mazāks par 5 cm, tad varam teikt, ka šī taisnstūra laukums ir mazāks par 65 cm2.

Apsverot šos piemērus, tika izmantoti šādi: teorēmas par nevienādību saskaitīšanu un reizināšanu:

Teorēma. Saskaitot vienas zīmes nevienādības, iegūst vienas un tās pašas zīmes nevienādību: ja a > b un c > d, tad a + c > b + d.

Teorēma. Reizinot vienas zīmes nevienādības, kuru kreisā un labā puse ir pozitīvas, iegūst vienas un tās pašas zīmes nevienādību: ja a > b, c > d un a, b, c, d ir pozitīvi skaitļi, tad ac > bd.

Nevienādības ar zīmi > (lielāka par) un 1/2, 3/4 b, c Kopā ar stingras nevienādības zīmēm > un Tādā pašā veidā nevienādība \(a \geq b \) nozīmē, ka skaitlis a ir lielāks vai vienāds ar b, t.i., .un ne mazāks b.

Nevienādības, kas satur zīmi \(\geq \) vai \(\leq \) zīmi, sauc par nevienlīdzīgām. Piemēram, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) nav stingras nevienādības.

Visas stingrās nevienādības īpašības ir spēkā arī nevienādībām. Turklāt, ja stingrām nevienādībām zīmes > tika uzskatītas par pretējām un jūs zināt, ka, lai atrisinātu vairākas lietišķas problēmas, jums ir jāizveido matemātisks modelis vienādojuma vai vienādojumu sistēmas veidā. Tālāk jūs to uzzināsit matemātiskie modeļi Daudzu problēmu risināšanai pastāv nevienlīdzība ar nezināmo. Tiks iepazīstināts ar nevienlīdzības risināšanas jēdzienu un parādīts, kā pārbaudīt, vai dotais skaitlis ir konkrētas nevienlīdzības risinājums.

Formu nevienlīdzības
\(ax > b, \quad ax, kurā a un b ir doti skaitļi un x ir nezināms, tiek saukti lineāras nevienādības ar vienu nezināmo.

Definīcija. Nevienādības ar vienu nezināmo risinājums ir nezināmā vērtība, pie kuras šī nevienlīdzība kļūst par patiesu skaitlisku nevienādību. Atrisināt nevienlīdzību nozīmē atrast visus tās risinājumus vai konstatēt, ka tādu nav.

Jūs atrisinājāt vienādojumus, samazinot tos līdz vienkāršākajiem vienādojumiem. Tāpat, risinot nevienādības, tās mēģina reducēt, izmantojot īpašības, līdz vienkāršu nevienādību formā.

Otrās pakāpes nevienādību atrisināšana ar vienu mainīgo

Formu nevienlīdzības
\(ax^2+bx+c >0 \) un \(ax^2+bx+c kur x ir mainīgais, a, b un c ir daži skaitļi un \(a \neq 0 \), ko sauc otrās pakāpes nevienādības ar vienu mainīgo.

Risinājums nevienlīdzībai
\(ax^2+bx+c >0 \) vai \(ax^2+bx+c) var uzskatīt par intervālu atrašanu, kuros funkcijai \(y= ax^2+bx+c \) ir pozitīva vai negatīva vērtības Lai to izdarītu, pietiek analizēt, kā funkcijas \(y= ax^2+bx+c\) grafiks atrodas koordinātu plaknē: kur ir vērsti parabolas zari - uz augšu vai uz leju, vai parabola krustojas ar x asi un, ja krustojas, tad kādos punktos.

Algoritms otrās pakāpes nevienādību risināšanai ar vienu mainīgo:
1) atrodiet kvadrāttrīnoma \(ax^2+bx+c\) diskriminantu un noskaidrojiet, vai trinomam ir saknes;
2) ja trinomālam ir saknes, tad atzīmējiet tās uz x ass un caur iezīmētajiem punktiem uzzīmējiet shematisku parabolu, kuras zari ir vērsti uz augšu, ja > 0 vai uz leju, ja ir 0, vai uz leju, ja ir 3) atrast intervālus uz x ass, kuriem punktu parabolas atrodas virs x ass (ja tās atrisina nevienādību \(ax^2+bx+c >0\)) vai zem x ass (ja tās atrisina nevienlīdzība
\(ax^2+bx+c Nevienādību atrisināšana, izmantojot intervāla metodi

Apsveriet funkciju
f(x) = (x + 2) (x - 3) (x - 5)

Šīs funkcijas domēns ir visu skaitļu kopa. Funkcijas nulles ir skaitļi -2, 3, 5. Tās sadala funkcijas definīcijas apgabalu intervālos \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) un \( (5; +\infty)\)

Noskaidrosim, kādas ir šīs funkcijas zīmes katrā no norādītajiem intervāliem.

Izteiksme (x + 2) (x - 3) (x - 5) ir trīs faktoru reizinājums. Katra no šiem faktoriem zīme aplūkotajos intervālos ir norādīta tabulā:

Kopumā ļaujiet funkciju dot ar formulu
f(x) = (x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n),
kur x ir mainīgais, un x 1, x 2, ..., x n ir skaitļi, kas nav vienādi viens ar otru. Skaitļi x 1 , x 2 , ..., x n ir funkcijas nulles. Katrā no intervāliem, kuros definīcijas apgabals ir sadalīts ar funkcijas nullēm, funkcijas zīme tiek saglabāta, un, izejot cauri nullei, tās zīme mainās.

Šo īpašību izmanto, lai atrisinātu formas nevienādības
(x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n) kur x 1, x 2, ..., x n ir skaitļi, kas nav vienādi viens ar otru

Apsvērtā metode nevienādību atrisināšanu sauc par intervālu metodi.

Sniegsim piemērus nevienādību risināšanai, izmantojot intervālu metodi.

Atrisiniet nevienlīdzību:

\(x(0,5-x)(x+4) Acīmredzot funkcijas f(x) = x(0,5-x)(x+4) nulles ir punkti \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Funkcijas nulles uzzīmējam uz skaitļu ass un aprēķinām katra intervāla zīmi:

Izvēlamies tos intervālus, kuros funkcija ir mazāka vai vienāda ar nulli, un pierakstām atbildi.

Atbilde:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Kas jums jāzina par nevienlīdzības ikonām? Nevienlīdzības ar ikonu vairāk (> ), vai mazāk (< ) tiek saukti stingri. Ar ikonām vairāk vai vienāds (≥ ), mazāks vai vienāds (≤ ) tiek saukti nav stingri. Ikona nav vienāds (≠ ) izceļas atsevišķi, taču arī piemēri ar šo ikonu visu laiku jārisina. Un mēs izlemsim.)

Pašai ikonai nav lielas ietekmes uz risinājuma procesu. Bet lēmuma beigās, izvēloties galīgo atbildi, ikonas nozīme parādās pilnā spēkā! Tas ir tas, ko mēs redzēsim tālāk piemēros. Tur ir daži joki...

Nevienlīdzība, tāpat kā vienlīdzība, pastāv uzticīgs un neuzticīgs.Šeit viss ir vienkārši, bez trikiem. Teiksim, 5 > 2 ir patiesa nevienlīdzība. 5 < 2 - nepareizi.

Šī sagatavošana darbojas pret nevienlīdzību jebkāda veida un vienkārši līdz šausmām.) Vajag tikai pareizi veikt divas (tikai divas!) elementāras darbības. Šīs darbības ir zināmas ikvienam. Bet, raksturīgi, kļūdas šajās darbībās ir galvenā kļūda nevienlīdzību risināšanā, jā... Tāpēc šīs darbības ir jāatkārto. Šīs darbības sauc šādi:

Identiskas nevienādību transformācijas.

Identiskas nevienādību transformācijas ir ļoti līdzīgas identiskām vienādojumu transformācijām. Patiesībā šī ir galvenā problēma. Atšķirības iet pāri galvai un... lūk.) Tāpēc šīs atšķirības īpaši izcelšu. Tātad, pirmā identiska nevienlīdzību transformācija:

1. Abām nevienādības pusēm var pievienot (atņemt) vienu un to pašu skaitli vai izteiksmi. Jebkurš. Tas nemainīs nevienlīdzības zīmi.

Praksē šo noteikumu izmanto kā terminu pārnešanu no nevienlīdzības kreisās puses uz labo (un otrādi) ar zīmes maiņu. Ar termina zīmes maiņu, nevis nevienlīdzību! Viens pret vienu noteikums ir tāds pats kā vienādojumu noteikums. Taču šādas identiskas pārvērtības nevienādībās būtiski atšķiras no vienādojumos veiktajām transformācijām. Tāpēc es tos izceļu sarkanā krāsā:

2. Abas nevienādības puses var reizināt (dalīt) ar vienu un to pašupozitīvsnumuru. Jebkurampozitīvs Nemainīsies.

3. Abas nevienlīdzības puses var reizināt (dalīt) ar vienu un to pašunegatīvs numuru. Jebkuramnegatīvsnumuru. Nevienlīdzības zīme no šīmainīsies uz pretējo.

Jūs atceraties (es ceru...), ka vienādojumu var reizināt/dalīt ar jebko. Un jebkuram skaitlim un izteiksmei ar X. Ja tikai tā nebūtu nulle. Tas padara viņu, vienādojumu, ne karstu, ne aukstu.) Tas nemainās. Bet nevienlīdzības ir jutīgākas pret reizināšanu/dalīšanu.

Spilgts piemērs garai atmiņai. Rakstīsim nevienlīdzību apšaubāms:

5 > 2

Reiziniet abas puses ar +3, mēs iegūstam:

15 > 6

Ir kādi iebildumi? Nav iebildumu.) Un, ja abas sākotnējās nevienādības puses reizinām ar -3, mēs iegūstam:

15 > -6

Un tie ir klaji meli.) Pilnīgi meli! Tautas maldināšana! Bet, tiklīdz jūs nomaināt nevienlīdzības zīmi uz pretējo, viss nostājas savās vietās:

15 < -6

Es ne tikai zvēru par meliem un maldināšanu.) "Aizmirsu nomainīt vienādības zīmi..."-Šo mājas kļūda nevienādību risināšanā. Šis triviālais un vienkāršais noteikums ir ievainojis tik daudz cilvēku! Ko viņi aizmirsa...) Tāpēc es zvēru. Varbūt atcerēšos...)

Īpaši uzmanīgi cilvēki pamanīs, ka nevienlīdzību nevar reizināt ar izteiksmi ar X. Respekts tiem, kas ir vērīgi!) Kāpēc ne? Atbilde ir vienkārša. Mēs nezinām šīs izteiksmes zīmi ar X. Tas var būt pozitīvs, negatīvs... Tāpēc mēs nezinām, kuru nevienlīdzības zīmi likt pēc reizināšanas. Vai man to mainīt vai nē? Nezināms. Protams, šo ierobežojumu (aizliegumu reizināt/dalīt nevienādību ar izteiksmi ar x) var apiet. Ja jums tas tiešām ir nepieciešams. Bet šī ir citu stundu tēma.

Tās ir visas identiskās nevienlīdzību pārvērtības. Ļaujiet man vēlreiz atgādināt, ka viņi strādā jebkura nevienlīdzības Tagad varat pāriet uz konkrētiem veidiem.

Lineārās nevienādības. Risinājums, piemēri.

Lineārās nevienādības ir nevienādības, kurās x ir pirmajā pakāpē un nav dalīšanas ar x. Veids:

x+3 > 5x-5

Kā šādas nevienlīdzības tiek atrisinātas? Tās ir ļoti viegli atrisināt! Proti: ar palīdzību samazinām mulsinošāko lineāro nevienlīdzību tieši uz atbildi. Tas ir risinājums. Es izcelšu lēmuma galvenos punktus. Lai izvairītos no muļķīgām kļūdām.)

Atrisināsim šo nevienlīdzību:

x+3 > 5x-5

Mēs to atrisinām tieši tāpat kā lineāro vienādojumu. Ar vienīgo atšķirību:

Mēs rūpīgi uzraugām nevienlīdzības zīmi!

Pirmais solis ir visizplatītākais. Ar X - pa kreisi, bez X - pa labi... Šī ir pirmā identiska transformācija, vienkārša un bez problēmām.) Tikai neaizmirstiet nomainīt pārnesto terminu zīmes.

Nevienlīdzības zīme paliek:

x-5x > -5-3

Šeit ir līdzīgi.

Nevienlīdzības zīme paliek:

4x > -8

Atliek piemērot pēdējo identisko transformāciju: sadaliet abas puses ar -4.

Sadalīt ar negatīvs numuru.

Nevienlīdzības zīme mainīsies uz pretējo:

X < 2

Šī ir atbilde.

Tādā veidā tiek atrisinātas visas lineārās nevienādības.

Uzmanību! 2. punkts ir uzzīmēts baltā krāsā, t.i. nekrāsots. Tukšs iekšā. Tas nozīmē, ka viņa nav iekļauta atbildē! Es viņu speciāli uzzīmēju tik veselīgu. Tādu punktu (tukšs, neveselīgs!)) matemātikā sauc caurdurts punkts.

Atlikušos skaitļus uz ass var atzīmēt, bet tas nav nepieciešams. Ārēji skaitļi, kas nav saistīti ar mūsu nevienlīdzību, var būt mulsinoši, jā... Tikai jāatceras, ka skaitļi palielinās bultiņas virzienā, t.i. skaitļi 3, 4, 5 utt. ir pa labi ir divi, un skaitļi ir 1, 0, -1 utt. - pa kreisi.

Nevienlīdzība x < 2 - stingrs. X ir stingri mazāks par diviem. Ja rodas šaubas, pārbaude ir vienkārša. Mēs apšaubāmo skaitli aizstājam ar nevienlīdzību un domājam: "Divi ir mazāk nekā divi? Nē, protams!" Tieši tā. Nevienlīdzība 2 < 2 nepareizi. Divi pretī nav piemēroti.

Vai viens ir kārtībā? Noteikti. Mazāk... Un nulle ir labi, un -17, un 0,34... Jā, visi skaitļi, kas ir mazāki par diviem, ir labi! Un pat 1,9999.... Vismaz mazliet, bet mazāk!

Tātad atzīmēsim visus šos skaitļus uz skaitļu ass. Kā? Šeit ir iespējas. Pirmais variants ir ēnojums. Pārvietojam peli virs attēla (vai pieskaramies attēlam planšetdatorā) un redzam, ka visu x, kas atbilst nosacījumam x, laukums ir ieēnots. < 2 . Tas ir viss.

Apskatīsim otro iespēju, izmantojot otro piemēru:

X ≥ -0,5

Uzzīmējiet asi un atzīmējiet skaitli -0,5. Kā šis:

Pamanāt atšķirību?) Nu jā, to ir grūti nepamanīt... Šis punkts ir melns! Pārkrāsots. Tas nozīmē -0,5 ir iekļauts atbildē.Šeit, starp citu, pārbaude var kādu sajaukt. Aizstāsim:

-0,5 ≥ -0,5

Kā tā? -0,5 ir ne vairāk kā -0,5! Un ir vēl ikona...

Ir labi. Vājā nevienlīdzībā ir piemērots viss, kas atbilst ikonai. UN vienāds labi, un vairāk labi. Tāpēc atbildē ir iekļauts -0,5.

Tātad uz ass atzīmējām -0,5; atliek atzīmēt visus skaitļus, kas ir lielāki par -0,5. Šoreiz es atzīmēju piemēroto x vērtību apgabalu priekšgala(no vārda loka), nevis ēnojumu. Novietojam kursoru virs zīmējuma un redzam šo loku.

Starp ēnojumu un rokām nav īpašas atšķirības. Dariet, kā skolotājs saka. Ja skolotāja nav, zīmē arkas. Sarežģītākos uzdevumos ēnojums ir mazāk pamanāms. Jūs varat apjukt.

Tādā veidā uz ass tiek uzzīmētas lineārās nevienādības. Pāriesim pie nākamās nevienlīdzības pazīmes.

Atbildes rakstīšana nevienlīdzībām.

Vienādojumi bija labi.) Mēs atradām x un pierakstījām atbildi, piemēram: x=3. Ir divi veidi, kā rakstīt atbildes uz nevienlīdzību. Viens no tiem ir galīgās nevienlīdzības formā. Piemērots vienkāršiem gadījumiem. Piemēram:

X< 2.

Šī ir pilnīga atbilde.

Dažkārt vajag pierakstīt vienu un to pašu, bet citā formā, ar ciparu intervāliem. Tad ieraksts sāk izskatīties ļoti zinātnisks):

x ∈ (-∞; 2)

Zem ikonas ∈ vārds ir paslēpts "pieder".

Ieraksts skan šādi: x pieder intervālam no mīnus bezgalības līdz diviem neskaitot. Diezgan loģiski. X var būt jebkurš skaitlis no visiem iespējamiem skaitļiem no mīnus bezgalības līdz diviem. Nevar būt dubultā X, ko mums saka vārds "neieskaitot".

Un kur atbilde ir skaidrs, ka "neieskaitot"? Šis fakts ir atzīmēts atbildē raunds iekavās uzreiz aiz diviem. Ja abi būtu iekļauti, kronšteins būtu kvadrāts. Kā šis: ]. Nākamajā piemērā tiek izmantota šāda iekava.

Pierakstīsim atbildi: x ≥ -0,5 ar intervāliem:

x ∈ [-0,5; +∞)

Lasa: x pieder intervālam no mīnus 0,5, ieskaitot, līdz plus bezgalībai.

Bezgalību nekad nevar ieslēgt. Tas nav cipars, tas ir simbols. Tāpēc šādos apzīmējumos bezgalība vienmēr atrodas blakus iekavām.

Šis ierakstīšanas veids ir ērts sarežģītām atbildēm, kas sastāv no vairākām atstarpēm. Bet – tikai galīgām atbildēm. Starprezultātos, kur gaidāms tālāks risinājums, labāk izmantot parasto formu, formā vienkārša nevienlīdzība. Mēs to aplūkosim attiecīgajās tēmās.

Populāri uzdevumi ar nevienlīdzību.

Pašas lineārās nevienādības ir vienkāršas. Tāpēc uzdevumi bieži kļūst grūtāki. Tāpēc bija jādomā. Tas, ja neesat pieradis, nav īpaši patīkami.) Bet tas ir noderīgi. Es parādīšu šādu uzdevumu piemērus. Ne jau tev tās jāmācās, tas ir lieki. Un lai nebūtu jābaidās, satiekot šādus piemērus. Padomājiet mazliet - un tas ir vienkārši!)

1. Atrodiet jebkurus divus atrisinājumus nevienādībai 3x - 3< 0

Ja nav īsti skaidrs, ko darīt, atcerieties galveno matemātikas noteikumu:

Ja nezināt, kas jums nepieciešams, dariet to, ko varat!)

X < 1

Un kas? Nekas īpašs. Ko viņi mums jautā? Mums tiek lūgts atrast divus konkrētus skaitļus, kas ir nevienlīdzības risinājums. Tie. atbilstu atbildei. Divas jebkura cipariem. Patiesībā tas ir mulsinoši.) Ir piemēroti pāris 0 un 0,5. Pāris -3 un -8. Šo pāru ir bezgalīgi daudz! Kura atbilde ir pareizā?!

Es atbildu: viss! Jebkurš skaitļu pāris, no kuriem katrs ir mazāks par vienu, būs pareizā atbilde. Uzrakstiet, kuru vēlaties. Ejam tālāk.

2. Atrisiniet nevienlīdzību:

4x-3 ≠ 0

Uzdevumi šajā formā ir reti. Bet kā palīgnevienādības, piemēram, atrodot ODZ vai atrodot funkcijas definīcijas domēnu, tās rodas visu laiku. Šādu lineāro nevienādību var atrisināt kā parastu lineāru vienādojumu. Tikai visur, izņemot zīmi "=" ( vienāds) ielieciet zīmi " ≠ " (nav vienāds). Lūk, kā jūs pieeja atbildei ar nevienlīdzības zīmi:

X ≠ 0,75

Vairāk sarežģīti piemēri, labāk darīt lietas savādāk. Izveidojiet nevienlīdzību no vienlīdzības. Kā šis:

4x-3 = 0

Mierīgi atrisiniet to, kā mācīts, un saņemiet atbildi:

x = 0,75

Galvenais ir pašās beigās, pierakstot galīgo atbildi, neaizmirstiet, ka mēs atradām x, kas dod vienlīdzība. Un mums vajag - nevienlīdzība. Tāpēc mums šis X īsti nav vajadzīgs.) Un mums tas ir jāpieraksta ar pareizo simbolu:

X ≠ 0,75

Šī pieeja rada mazāk kļūdu. Tie, kas vienādojumus atrisina automātiski. Un tiem, kas neatrisina vienādojumus, nevienlīdzības patiesībā neder...) Vēl viens populāra uzdevuma piemērs:

3. Atrodiet nevienādības mazāko veselo skaitļu risinājumu:

3 (x - 1) < 5x + 9

Vispirms mēs vienkārši atrisinām nevienlīdzību. Atveram kronšteinus, pabīdām, atnesam līdzīgus... Iegūstam:

X > - 6

Vai tad tā neizdevās!? Vai sekoji zīmēm!? Un aiz biedru zīmēm, un aiz nevienlīdzības zīmes...

Padomāsim vēlreiz. Mums jāatrod konkrēts skaitlis, kas atbilst gan atbildei, gan nosacījumam "mazākais vesels skaitlis". Ja tas jums neparādās uzreiz, varat vienkārši paņemt jebkuru skaitli un izdomāt to. Divi virs mīnus seši? Noteikti! Vai ir piemērots mazāks numurs? Protams. Piemēram, nulle ir lielāka par -6. Un vēl mazāk? Mums vajag mazāko iespējamo! Mīnus trīs ir vairāk nekā mīnus seši! Jūs jau varat noķert modeli un beigt muļķīgi iet cauri skaitļiem, vai ne?)

Paņemsim skaitli, kas ir tuvāks -6. Piemēram, -5. Atbilde ir izpildīta, -5 > - 6. Vai ir iespējams atrast citu skaitli, kas ir mazāks par -5, bet lielāks par -6? Var, piemēram, -5,5... Stop! Mums stāsta vesels risinājums! Neripo -5,5! Kā ar mīnus seši? Uh-u! Nevienlīdzība ir stingra, mīnus 6 nekādā gadījumā nav mazāks par mīnus 6!

Tāpēc pareizā atbilde ir -5.

Cerams ar vērtību izlasi no vispārējs risinājums viss skaidrs. Vēl viens piemērs:

4. Atrisiniet nevienlīdzību:

7 < 3x+1 < 13

Oho! Šo izteiksmi sauc trīskāršā nevienlīdzība. Stingri sakot, šī ir nevienlīdzības sistēmas saīsināta forma. Bet tādas trīskāršās nevienādības dažos uzdevumos vēl ir jāatrisina... To var atrisināt bez jebkādām sistēmām. Saskaņā ar tiem pašiem identiskiem pārveidojumiem.

Mums ir jāvienkāršo, šī nevienlīdzība jāsamazina līdz tīram X. Bet... Kas kur būtu jāpārvieto?! Šeit ir pienācis laiks atcerēties, ka ir jāpārvietojas pa kreisi un pa labi īsā forma pirmā identitātes transformācija.

A pilna forma izklausās šādi: Jebkuru skaitli vai izteiksmi var pievienot/atņemt abām vienādojuma pusēm (nevienādība).

Šeit ir trīs daļas. Tātad visām trim daļām piemērosim identiskas pārvērtības!

Tātad, tiksim vaļā no nevienlīdzības vidusdaļā esošās. No visas vidusdaļas atņemsim vienu. Lai nevienlīdzība nemainītos, no atlikušajām divām daļām atņemam vienu. Kā šis:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Tas ir labāk, vai ne?) Atliek tikai sadalīt visas trīs daļas trīs:

2 < X < 4

Tas ir viss. Šī ir atbilde. X var būt jebkurš skaitlis no diviem (neieskaitot) līdz četriem (neieskaitot). Arī šī atbilde tiek rakstīta ar intervāliem; šādi ieraksti būs kvadrātvienādībās. Tur tie ir visizplatītākā lieta.

Nodarbības beigās atkārtošu pašu svarīgāko. Lineāro nevienādību risināšanas panākumi ir atkarīgi no spējas pārveidot un vienkāršot lineāros vienādojumus. Ja tajā pašā laikā skatīties uz nevienlīdzības zīmi, nekādu problēmu nebūs. To es tev novēlu. Nav problēmu.)

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīsimies - ar interesi!)

Var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Matemātiskās nevienlīdzības jēdziens radās senos laikos. Tas notika, kad primitīvajam cilvēkam, skaitot un apstrādājot dažādus priekšmetus, bija jāsalīdzina to daudzums un izmērs. Kopš seniem laikiem Arhimēds, Eiklīds un citi slaveni zinātnieki: matemātiķi, astronomi, dizaineri un filozofi savos argumentos izmantoja nevienlīdzību.

Bet viņi, kā likums, savos darbos izmantoja verbālo terminoloģiju. Pirmo reizi Anglijā tika izgudrotas un praksē ieviestas mūsdienu zīmes, kas apzīmē jēdzienus “vairāk” un “mazāk” tādā formā, kādā tos zina katrs skolēns. Matemātiķis Tomass Hariots sniedza šādu pakalpojumu saviem pēcnācējiem. Un tas notika apmēram pirms četriem gadsimtiem.

Ir zināmi daudzi nevienlīdzības veidi. Starp tiem ir vienkāršie, kas satur vienu, divus vai vairākus mainīgos, kvadrātiskās, daļskaitļus, kompleksās attiecības un pat tās, kuras attēlo izteiksmju sistēma. Labākais veids, kā saprast, kā atrisināt nevienlīdzības, ir izmantot dažādus piemērus.

Nenokavē vilcienu

Sākumā iedomāsimies, ka lauku apvidus iedzīvotājs steidzas uz dzelzceļa staciju, kas atrodas 20 km no viņa ciema. Lai nenokavētu vilcienu, kas atiet pulksten 11, viņam laicīgi jāiziet no mājas. Kurā laikā tas jādara, ja tā ātrums ir 5 km/h? Risinājums šim praktiska problēma iznāk līdz izteiksmes nosacījumu izpildei: 5 (11 - X) ≥ 20, kur X ir izbraukšanas laiks.

Tas ir saprotams, jo attālums, kas ciema iedzīvotājam jāveic līdz stacijai, ir vienāds ar kustības ātrumu, kas reizināts ar stundu skaitu ceļā. Cilvēks var ierasties agri, bet nevar kavēties. Zinot, kā atrisināt nevienlīdzības, un pielietojot savas prasmes praksē, jūs saņemsiet X ≤ 7, kas ir atbilde. Tas nozīmē, ka lauciniekam uz dzelzceļa staciju jādodas septiņos no rīta vai nedaudz agrāk.

Skaitliski intervāli uz koordinātu līnijas

Tagad noskaidrosim, kā aprakstītās attiecības kartēt uz iepriekš iegūtā nevienlīdzība nav stingra. Tas nozīmē, ka mainīgajam var būt vērtības, kas mazākas par 7, vai arī tas var būt vienāds ar šo skaitli. Sniegsim citus piemērus. Lai to izdarītu, rūpīgi apsveriet četrus zemāk redzamos skaitļus.

Pirmajā var redzēt grafiskais attēls sprauga [-7; 7]. Tas sastāv no skaitļu kopas, kas novietoti uz koordinātu līnijas un atrodas starp -7 un 7, ieskaitot robežas. Šajā gadījumā punkti diagrammā tiek attēloti kā aizpildīti apļi, un intervāls tiek reģistrēts, izmantojot

Otrais attēls ir stingrās nevienlīdzības grafisks attēlojums. Šajā gadījumā robežskaitļi -7 un 7, kas parādīti ar caurdurtiem (neaizpildītiem) punktiem, nav iekļauti norādītajā komplektā. Un pats intervāls tiek rakstīts iekavās šādi: (-7; 7).

Tas ir, izdomājuši, kā atrisināt šāda veida nevienādības un saņēmuši līdzīgu atbildi, varam secināt, ka tas sastāv no skaitļiem, kas atrodas starp attiecīgajām robežām, izņemot -7 un 7. Nākamie divi gadījumi ir jānovērtē līdzīgā veidā. Trešajā attēlā parādīti intervālu attēli (-∞; -7] U)