Leņķa mērs starp plaknēm ir akūts leņķis, ko veido divas taisnes, kas atrodas šajās plaknēs un ir novilktas perpendikulāri to krustojuma līnijai.

Konstrukcijas algoritms

1. No patvaļīga punkta K katrai no dotajām plaknēm tiek novilkti perpendikuli.
2. Rotējot ap līmeņa līniju, tiek noteikts leņķis γ° ar virsotni punktā K.
3. Aprēķiniet leņķi starp plaknēm ϕ° = 180 – γ°, ja γ° > 90°. Ja γ°< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

Attēlā parādīts gadījums, kad plaknes α un β ir dotas ar pēdām. Visas nepieciešamās konstrukcijas tika veiktas saskaņā ar algoritmu un ir aprakstītas zemāk.

Risinājums

1. Patvaļīgā vietā zīmējumā atzīmējiet punktu K. No tā attiecīgi nolaižam perpendikulus m un n uz plaknēm α un β. Projekciju m un n virziens ir šāds: m""⊥f 0α , m"⊥h 0α , n""⊥f 0β , n"⊥h 0β .
2. Mēs nosakām faktisko izmēru ∠γ° starp līnijām m un n. Lai to izdarītu, ap frontālo f pagriežam leņķa plakni ar virsotni K pozīcijā, kas ir paralēla projekcijas frontālajai plaknei. Punkta K rotācijas rādiuss R ir vienāds ar taisnleņķa trijstūra O""K""K 0 hipotenūzas izmēru, kura mala ir K""K 0 = y K – y O .
3. Vēlamais leņķis ir ϕ° = ∠γ°, jo ∠γ° ir akūts.

Zemāk redzamajā attēlā parādīts problēmas risinājums, kurā jāatrod leņķis γ° starp plaknēm α un β, kas norādīts attiecīgi ar paralēlām un krustojošām taisnēm.

Risinājums

1. Nosakām plaknēm α un β piederošo horizontāļu h 1, h 2 un frontu f 1, f 2 projekciju virzienu bultiņu norādītajā secībā. No patvaļīga punkta K laukumā. α un β izlaižam perpendikulus e un k. Šajā gadījumā e""⊥f"" 1 , e"⊥h" 1 un k""⊥f""" 2 , k"⊥h" 2 .
2. Mēs definējam ∠γ° starp līnijām e un k. Lai to izdarītu, novelciet horizontālu līniju h 3 un ap to pagriežam punktu K pozīcijā K 1, kurā △CKD kļūs paralēls horizontālajai plaknei un tiks atspoguļots uz tās dabiskajā izmērā - △C"K" 1 D ". Rotācijas centra projekcija O" atrodas uz novilktās uz h" 3 perpendikulāri K"O". Rādiusu R nosaka no taisnleņķa trijstūra O"K"K 0, kura mala K"K 0 = Z O – Z K.
3. Vēlamās vērtības vērtība ir ∠ϕ° = ∠γ°, jo leņķis γ° ir akūts.

Risinot ģeometriskās problēmas telpā, mēs bieži sastopamies ar tādām, kur nepieciešams aprēķināt leņķus starp dažādiem telpiskajiem objektiem. Šajā rakstā mēs apskatīsim jautājumu par leņķu atrašanu starp plaknēm un starp tām un taisnu līniju.

Taisna līnija telpā

Ir zināms, ka pilnīgi jebkuru taisnu līniju plaknē var definēt ar šādu vienādību:

Šeit a un b ir daži skaitļi. Ja mēs iedomāsimies taisnu līniju telpā, izmantojot to pašu izteiksmi, mēs iegūsim plakni, kas ir paralēla z asij. Priekš matemātiskā definīcija telpiskā taisne, tiek izmantota cita risināšanas metode nekā divdimensiju gadījumā. Tas sastāv no jēdziena “virziena vektors” izmantošanas.

Problēmu risināšanas piemēri par plakņu krustošanās leņķa noteikšanu

Zinot, kā atrast leņķi starp plaknēm, mēs atrisināsim šādu problēmu. Dotas divas plaknes, kuru vienādojumiem ir šāda forma:

3 * x + 4 * y - z + 3 = 0;

X - 2 * y + 5 * z +1 = 0

Kāds ir leņķis starp plaknēm?

Lai atbildētu uz problēmas jautājumu, atcerieties, ka koeficienti, kas saistīti ar mainīgajiem lielumiem vispārējā plaknes vienādojumā, ir virzošā vektora koordinātas. Šīm lidmašīnām mums ir šādas to normālu koordinātas:

n 1 ¯(3; 4; -1);

n 2 ¯(-1; -2; 5)

Tagad mēs atrodam šo vektoru un to moduļu skalāro reizinājumu, mums ir:

(n 1 ¯ * n 2 ¯) = -3 -8 -5 = -16;

|n 1 ¯| = √(9 + 16 + 1) = √26;

|n 2 ¯| = √(1 + 4 + 25) = √30

Tagad jūs varat aizstāt atrastos skaitļus iepriekšējā punktā norādītajā formulā. Mēs iegūstam:

α = arccos (|-16 | / (√26 * √30) ≈ 55,05 o

Iegūtā vērtība atbilst problēmas paziņojumā norādītajam plakņu krustošanās asajam leņķim.

Tagad aplūkosim citu piemēru. Ir dotas divas lidmašīnas:

Vai tie krustojas? Pierakstīsim to virziena vektoru koordinātu vērtības, aprēķināsim to skalāro reizinājumu un moduļus:

n 1 ¯(1; 1; 0);

n2¯(3; 3; 0);

(n 1 ¯ * n 2 ¯) = 3 + 3 + 0 = 6;

|n 1 ¯| = √2;

|n 2 ¯| = √18

Tad krustošanās leņķis ir:

α = arccos(|6| / (√2 * √18) =0 o .

Šis leņķis norāda, ka plaknes nekrustojas, bet ir paralēlas. To, ka tie nesakrīt viens ar otru, ir viegli pārbaudīt. Lai to izdarītu, ņem patvaļīgu punktu, kas pieder pirmajam no tiem, piemēram, P(0; 3; 2). Aizvietojot tās koordinātas otrajā vienādojumā, mēs iegūstam:

3 * 0 +3 * 3 + 8 = 17 ≠ 0

Tas ir, punkts P pieder tikai pirmajai plaknei.

Tādējādi divas plaknes ir paralēlas, ja to normālie ir tādi.

Plakans un taisns

Apsvēršanas gadījumā relatīvā pozīcija Starp plakni un taisni ir nedaudz vairāk iespēju nekā ar divām plaknēm. Šis fakts ir saistīts ar faktu, ka taisna līnija ir viendimensijas objekts. Taisne un plakne var būt:

• savstarpēji paralēli, šajā gadījumā plakne nekrusto taisni;
• pēdējais var piederēt plaknei, bet tas būs arī paralēls tai;
• abi objekti var krustoties kādā leņķī.

Vispirms apskatīsim pēdējo gadījumu, jo tas prasa krustošanās leņķa jēdziena ieviešanu.

Taisna līnija un plakne, leņķa vērtība starp tām

Ja plakne krusto taisnu līniju, tad to sauc par slīpu attiecībā pret to. Krustpunktu parasti sauc par slīpās līnijas pamatni. Lai noteiktu leņķi starp šiem ģeometriskajiem objektiem, no jebkura punkta uz plakni ir jānolaiž taisns perpendikuls. Tad perpendikula krustpunkts ar plakni un slīpās līnijas krustpunkts ar to veido taisni. Pēdējo sauc par sākotnējās līnijas projekciju uz aplūkojamo plakni. Sharp un tā projekcija ir vēlamā.

Nedaudz mulsinošā leņķa definīcija starp plakni un slīpi tiks precizēta attēlā zemāk.

Šeit leņķis ABO ir leņķis starp taisni AB un plakni a.

Lai pierakstītu tā formulu, apsveriet piemēru. Lai ir taisne un plakne, kuras apraksta ar vienādojumiem:

(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + λ * (a; b; c);

A * x + B * x + C * x + D = 0

Jūs varat viegli aprēķināt vēlamo leņķi šiem objektiem, ja atrodat skalāro reizinājumu starp taisnes virziena vektoriem un plakni. Iegūtais akūts leņķis ir jāatņem no 90 o, tad to iegūst starp taisni un plakni.

Augšējā attēlā parādīts aprakstītais algoritms attiecīgā leņķa atrašanai. Šeit β ir leņķis starp normālu un taisni, un α ir starp līniju un tās projekciju uz plakni. Var redzēt, ka to summa ir 90 o.

Iepriekš tika parādīta formula, kas atbild uz jautājumu, kā atrast leņķi starp plaknēm. Tagad mēs sniedzam atbilstošo izteiksmi taisnes un plaknes gadījumam:

α = arcsin(|a * A + b * B + c * C| / (√(a 2 + b 2 + c 2) * √(A 2 + B 2 + C 2)))

Formulas modulis ļauj aprēķināt tikai akūtos leņķus. Arkosīna vietā parādījās arkosīna funkcija, pateicoties atbilstošas ​​samazināšanas formulas izmantošanai starp trigonometriskās funkcijas(cos(β) = sin(90 o-β) = sin(α)).

Problēma: plakne krusto līniju

Tagad mēs parādīsim, kā strādāt ar doto formulu. Atrisināsim uzdevumu: mums jāaprēķina leņķis starp y asi un plakni, ko dod vienādojums:

Šī plakne ir parādīta attēlā.

Var redzēt, ka tas krusto y un z asis attiecīgi punktos (0; -12; 0) un (0; 0; 12) un ir paralēls x asij.

Taisnes y virziena vektoram ir koordinātas (0; 1; 0). Vektors perpendikulārs dotā lidmašīna, ko raksturo koordinātas (0; 1; -1). Mēs izmantojam taisnas līnijas un plaknes krustošanās leņķa formulu, iegūstam:

α = arcsin(|1| / (√1 * √2)) = arcsin(1 / √2) = 45 o

Problēma: taisne, kas ir paralēla plaknei

Tagad mēs atrisināsim problēmu, kas ir līdzīga iepriekšējai, par kuru jautājums tiek uzdots citādi. Plaknes un taisnes vienādojumi ir zināmi:

x + y - z - 3 = 0;

(x; y; z) = (1; 0; 0) + λ * (0; 2; 2)

Jānoskaidro, vai šie ģeometriskie objekti ir paralēli viens otram.

Mums ir divi vektori: virzošā līnija ir vienāda ar (0; 2; 2) un virzošā plakne ir vienāda ar (1; 1; -1). Mēs atrodam viņu skalāro produktu:

0 * 1 + 1 * 2 - 1 * 2 = 0

Iegūtā nulle norāda, ka leņķis starp šiem vektoriem ir 90 o, kas pierāda taisnes un plaknes paralēlismu.

Tagad pārbaudīsim, vai šī līnija ir tikai paralēla vai arī atrodas plaknē. Lai to izdarītu, atlasiet patvaļīgu punktu uz līnijas un pārbaudiet, vai tas pieder plaknei. Piemēram, pieņemsim, ka λ = 0, tad punkts P(1; 0; 0) pieder pie taisnes. Mēs aizvietojam plakni P vienādojumā:

Punkts P nepieder plaknei, un tāpēc visa līnija tajā neatrodas.

Kur ir svarīgi zināt leņķus starp aplūkotajiem ģeometriskiem objektiem?

Iepriekš minētās formulas un problēmu risināšanas piemēri ir ne tikai teorētiskas intereses. Tos bieži izmanto, lai noteiktu svarīgu fizikālie lielumi reālas tilpuma figūras, piemēram, prizmas vai piramīdas. Aprēķinot figūru tilpumus un to virsmu laukumus, svarīgi ir spēt noteikt leņķi starp plaknēm. Turklāt, ja taisnas prizmas gadījumā norādīto lielumu noteikšanai šīs formulas var neizmantot, tad jebkura veida piramīdai to izmantošana izrādās neizbēgama.

Tālāk mēs aplūkosim piemēru, kā izmantot izklāstīto teoriju, lai noteiktu piramīdas stūrus ar kvadrātveida pamatni.

Piramīda un tās stūri

Zemāk redzamajā attēlā redzama piramīda, kuras pamatnē atrodas kvadrāts ar malu a. Figūras augstums ir h. Jums jāatrod divi leņķi:

• starp sānu virsmu un pamatni;
• starp sānu ribu un pamatni.

Lai atrisinātu problēmu, vispirms jāievieš koordinātu sistēma un jānosaka atbilstošo virsotņu parametri. Attēlā redzams, ka izcelsme sakrīt ar punktu kvadrātveida pamatnes centrā. Šajā gadījumā pamata plakni apraksta ar vienādojumu:

Tas ir, jebkuram x un y trešās koordinātas vērtība vienmēr ir nulle. Sānu plakne ABC krusto z asi punktā B(0; 0; h), bet y asi punktā ar koordinātām (0; a/2; 0). Tas nekrustojas ar x asi. Tas nozīmē, ka ABC plaknes vienādojumu var uzrakstīt šādi:

y/(a/2) + z/h = 1 vai

2 * h * y + a * z - a * h = 0

Vektors AB¯ ir sānu mala. Tā sākuma un beigu koordinātas ir vienādas: A(a/2; a/2; 0) un B(0; 0; h). Tad paša vektora koordinātas:

Mēs esam atraduši visus nepieciešamos vienādojumus un vektorus. Tagad atliek izmantot aplūkotās formulas.

Vispirms aprēķināsim leņķi piramīdā starp pamatnes un sānu plaknēm. Atbilstošie normālvektori ir vienādi: n 1 ¯(0; 0; 1) un n 2 ¯(0; 2*h; a). Tad leņķis būs:

α = arccos(a / √(4 * h 2 + a 2))

Leņķis starp plakni un malu AB būs vienāds ar:

β = arcsin(h / √(a 2 / 2 + h 2))

Lai iegūtu vajadzīgos leņķus, atliek aizstāt pamatnes malas a un augstuma h īpašās vērtības.

Koordinātu metodes izmantošana, aprēķinot leņķi

starp lidmašīnām

Lielākā daļa vispārīga metode leņķa atrašanastarp plaknēm - koordinātu metode (dažreiz izmantojot vektorus). To var izmantot, kad visi pārējie ir izmēģināti. Bet ir situācijas, kurās koordinātu metodi ir jēga pielietot uzreiz, proti, kad koordinātu sistēma ir dabiski saistīta ar uzdevuma formulējumā norādīto daudzskaldni, t.i. Ir skaidri redzamas trīs pāru perpendikulāras līnijas, uz kurām var norādīt koordinātu asis. Šādi daudzskaldņi ir taisnstūra paralēlskaldnis un regulāra četrstūra piramīda. Pirmajā gadījumā koordinātu sistēmu var norādīt ar malām, kas stiepjas no vienas virsotnes (1. att.), otrajā - pēc pamatnes augstuma un diagonālēm (2. att.)

Koordinātu metodes pielietojums ir šāds.

Tiek ieviesta taisnstūra koordinātu sistēma telpā. Ieteicams to ieviest “dabiskā” veidā - “saistīt” ar pāru perpendikulāru līniju trio, kurām ir kopīgs punkts.

Katrai plaknei, starp kurām tiek meklēts leņķis, tiek sastādīts vienādojums. Vienkāršākais veids, kā izveidot šādu vienādojumu, ir zināt trīs plaknes punktu koordinātas, kas neatrodas uz vienas taisnes.

Plaknes vienādojums iekšā vispārējs skats izskatās kā Ax + By + Cz + D = 0.

Koeficienti A, B, Cs šajā vienādojumā ir plaknes normālā vektora koordinātas (vektors, kas ir perpendikulārs plaknei). Pēc tam mēs nosakām normālo vektoru garumus un skalāro reizinājumu plaknēm, starp kurām tiek meklēts leņķis. Ja šo vektoru koordinātas(A 1, B 1; C 1) un (A 2; B 2; C 2 ), pēc tam vajadzīgo leņķiaprēķina pēc formulas

komentēt. Jāatceras, ka leņķis starp vektoriem (pretstatā leņķim starp plaknēm) var būt neass, un, lai izvairītos no iespējamās nenoteiktības, skaitītājs formulas labajā pusē satur moduli.

Atrisiniet šo problēmu, izmantojot koordinātu metodi.

Uzdevums 1. Dots kubs ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Punkts K ir malas AD vidus, punkts L ir malas CD vidus. Kāds ir leņķis starp plaknēm A? 1 KL un A 1 AD?

Risinājums . Ļaujiet koordinātu sistēmas sākumam atrasties punktā A, un koordinātu asis iet pa stariem AD, AB, AA 1 (3. att.). Pieņemsim, ka kuba mala ir vienāda ar 2 (ir ērti to sadalīt uz pusēm). Tad punktu koordinātas A1, K, L ir šādi: A 1 (0; 0; 2), K(1; 0; 0), L(2; 1; 0).

Rīsi. 3

Pierakstīsim plaknes vienādojumu A 1 K L vispār. Tad mēs tajā aizstājam šīs plaknes atlasīto punktu koordinātas. Mēs iegūstam trīs vienādojumu sistēmu ar četriem nezināmajiem:

Izteiksim koeficientus A, B, C līdz D un mēs nonākam pie vienādojuma

Sadalot abas daļas D (kāpēc D = 0?) un pēc tam reizinot ar -2, iegūstam plaknes vienādojumu A 1 KL: 2x - 2 y + z - 2 = 0. Tad šīs plaknes normālvektoram ir koordinātes (2: -2; 1). Plaknes vienādojums 1 REKLĀMA ir: y=0, un tā normālā vektora koordinātas, piemēram, (0; 2: 0). Saskaņā ar iepriekš minēto formulu leņķa kosinusam starp plaknēm mēs iegūstam:

Videokursā “Saņem A” ir iekļautas visas veiksmīgai tēmai nokārtojot vienoto valsts eksāmenu matemātikā par 60-65 ballēm. Pilnīgi visi profila vienotā valsts eksāmena matemātikas uzdevumi 1-13. Piemērots arī matemātikas vienotā valsts eksāmena kārtošanai. Ja vēlies vienoto valsts eksāmenu nokārtot ar 90-100 punktiem, 1.daļa jāatrisina 30 minūtēs un bez kļūdām!

Sagatavošanas kurss Vienotajam valsts eksāmenam 10.-11.klasei, kā arī skolotājiem. Viss, kas nepieciešams, lai atrisinātu Vienotā valsts eksāmena 1. daļu matemātikā (pirmie 12 uzdevumi) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ir vairāk nekā 70 punkti vienotajā valsts eksāmenā, un bez tiem nevar iztikt ne 100 ballu students, ne humanitāro zinātņu students.

Visa nepieciešamā teorija. Ātri veidi Vienotā valsts eksāmena risinājumi, kļūmes un noslēpumi. Ir analizēti visi aktuālie FIPI uzdevumu bankas 1. daļas uzdevumi. Kurss pilnībā atbilst Vienotā valsts eksāmena 2018 prasībām.

Kursā ir 5 lielas tēmas, katra 2,5 stundas. Katra tēma ir dota no nulles, vienkārši un skaidri.

Simtiem vienotā valsts eksāmena uzdevumu. Vārdu uzdevumi un varbūtību teorija. Vienkārši un viegli iegaumējami algoritmi problēmu risināšanai. Ģeometrija. Teorija, izziņas materiāls, visu veidu vienotā valsts pārbaudījuma uzdevumu analīze. Stereometrija. Viltīgi risinājumi, noderīgas krāpšanās lapas, telpiskās iztēles attīstība. Trigonometrija no nulles līdz problēmai 13. Sapratne, nevis pieblīvēšanās. Vizuāls skaidrojums sarežģīti jēdzieni. Algebra. Saknes, pakāpes un logaritmi, funkcija un atvasinājums. Pamats Vienotā valsts eksāmena 2. daļas sarežģītu problēmu risināšanai.

Darba veids: 14
Tēma: Leņķis starp plaknēm

Stāvoklis

Ja ir dota regulāra prizma ABCDA_1B_1C_1D_1, M un N ir attiecīgi malu AB un BC viduspunkti, punkts K ir MN viduspunkts.

A) Pierādīt, ka taisnes KD_1 un MN ir perpendikulāras.

b) Atrodiet leņķi starp plaknēm MND_1 un ABC, ja AB=8, AA_1=6\sqrt 2.

Risinājums

A)\triangle DCN un \triangle MAD mums ir: \angle C=\angle A=90^(\circ), CN=AM=\frac12AB, CD=DA.

Tādējādi \triangle DCN=\trijstūris MAD uz divām kājām. Tad MD=DN, \trijstūris DMN vienādsānu. Tas nozīmē, ka mediāna DK ir arī augstums. Tāpēc DK \perp MN.

DD_1 \perp MND pēc nosacījuma, D_1K - slīps, KD - projekcija, DK \perp MN.

Tādējādi pēc teorēmas par trim perpendikuliem MN\perp D_1K.

b) Kā tika pierādīts A), DK \perp MN un MN \perp D_1K, bet MN ir plakņu MND_1 un ABC krustošanās līnija, kas nozīmē, ka \angle DKD_1 ir divskaldņa leņķa lineārais leņķis starp plaknēm MND_1 un ABC.

\trijstūrī DAM saskaņā ar Pitagora teorēmu DM= \sqrt (DA^2+AM^2)= \sqrt (64+16)= 4\sqrt 5, MN= \sqrt (MB^2+BN^2)= \sqrt (16+16)= 4\sqrt 2. Tāpēc \trijstūrī DKM pēc Pitagora teorēmas DK= \sqrt (DM^2-KM^2)= \sqrt (80-8)= 6\sqrt 2. Pēc tam \trijstūrī DKD_1, tg\angle DKD_1=\frac(DD_1)(DK)=\frac(6\sqrt 2)(6\sqrt 2)=1.

Tas nozīmē \angle DKD_1=45^(\circ).

Atbilde

45^(\circ).

Darba veids: 14
Tēma: Leņķis starp plaknēm

Stāvoklis

Parastā četrstūra prizmā ABCDA_1B_1C_1D_1 pamatnes malas ir vienādas ar 4, sānu malas ir vienādas ar 6. Punkts M ir malas CC_1 vidus, punkts N ir atzīmēts uz malas BB_1 tā, ka BN:NB_1=1:2.

A) Kādā attiecībā AMN plakne dala malu DD_1?

b) Atrodiet leņķi starp plaknēm ABC un AMN.

Risinājums

A) Plakne AMN krusto malu DD_1 punktā K, kas ir dotās prizmas griezuma ceturtā virsotne ar šo plakni. Šķērsgriezums ir paralelograms ANMK, jo dotās prizmas pretējās skaldnes ir paralēlas.

BN =\frac13BB_1=2. Uzzīmēsim KL \paralēli CD, tad trijstūri ABN un KLM ir vienādi, kas nozīmē ML=BN=2, LC=MC-ML=3-2=1, KD=LC=1. Tad KD_1=6-1=5. Tagad jūs varat atrast attiecību KD:KD_1=1:5.

b) F ir taisnu līniju CD un KM krustošanās punkts. Plaknes ABC un AMN krustojas pa taisni AF. Leņķis \angle KHD =\alpha ir divskaldņa leņķa lineārais leņķis (HD\perp AF, tad pēc teorēmas, teorēmas apvērsums apmēram trīs perpendikulu, KH \perp AF ), un ir akūts leņķis taisnleņķa trīsstūris KHD, kājiņa KD=1.

Trijstūri FKD un FMC ir līdzīgi (KD \paralēlie MC), tāpēc FD:FC=KD:MC, atrisinot proporciju FD:(FD+4)=1:3, iegūstam FD=2. IN taisnleņķa trīsstūris AFD (\angle D=90^(\circ)) ar 2. un 4. kāju aprēķina hipotenūzu AF=\sqrt (4^2+2^2)=2\sqrt 5, DH= AD\cdot FD:AF= \frac(4\cdot 2)(2\sqrt 5)= \frac4(\sqrt 5).

Mēs atrodam taisnleņķa trīsstūrī KHD tg \alpha =\frac(KD)(DH)=\frac(\sqrt 5)4, tas nozīmē vēlamo leņķi \alpha =arctg\frac(\sqrt 5)4.

Atbilde

A) 1:5;

b) arctg\frac(\sqrt 5)4.

Avots: “Matemātika. Gatavošanās vienotajam valsts eksāmenam 2017. Profila līmenis." Ed. F. F. Lisenko, S. Ju. Kulabuhova.

Darba veids: 14
Tēma: Leņķis starp plaknēm

Stāvoklis

Danai ir taisnība četrstūra piramīda KMNPQ ar pamatnes sānu MNPQ, kas vienāds ar 6, un sānu ribu 3\sqrt (26).

A) Izveidojiet piramīdas posmu ar plakni, kas iet caur taisni NF paralēli diagonālei MP, ja punkts F ir malas MK vidusdaļa.

b) Atrodiet leņķi starp griezuma plakni un KMP plakni.

Risinājums

A) Lai KO ir piramīdas augstums, F ir MK viduspunkts; FE \parallel MP (PKM plaknē) . Tā kā FE ir vidējā līnija\trijstūris PKM, tad FE=\frac(MP)2.

Konstruēsim piramīdas posmu ar plakni, kas iet caur NF un paralēli MP, tas ir, plaknei NFE. L ir EF un KO krustošanās punkts. Tā kā punkti L un N pieder vēlamajam posmam un atrodas plaknē KQN, tad punkts T, kas iegūts kā LN un KQ krustpunkts, ir arī vēlamā griezuma un malas KQ krustpunkts. NETF ir vajadzīgā sadaļa.

b) Plaknes NFE un MPK krustojas pa taisni FE. Tas nozīmē, ka leņķis starp šīm plaknēm ir vienāds ar diedrālā leņķa OFEN lineāro leņķi, izveidosim to: LO\perpMP, MP\parallel FE, tātad, LO\perpFE;\trijstūris NFE ir vienādsānu (NE=NF kā vienādu trīsstūru KPN un KMN atbilstošās mediānas), NL ir tā mediāna (EL=LF, jo PO=OM, un \trijstūris KEF \sim \trijstūris KPM) . Tāpēc vēlamais ir NL \perp FE un \angle NLO.

ON=\frac12QN=\frac12MN\sqrt 2=3\sqrt 2.

\trijstūris KON - taisnstūrveida.

Kāja KO saskaņā ar Pitagora teorēmu ir vienāda ar KO=\sqrt (KN^2-ON^2).

OL= \frac12KO= \frac12\sqrt(KN^2-ON^2)= \frac12\sqrt (9\cdot 26-9\cdot 2)= \frac12\sqrt(9(26-2))= \frac32\sqrt (24)= \frac32\cdot 2\sqrt 6= 3\sqrt 6.

tg\angle NLO =\frac(ON)(OL)=\frac(3\sqrt 2)(3\sqrt 6)=\frac1(\sqrt 3),

\angle NLO=30^(\circ).

Atbilde

Avots: “Matemātika. Gatavošanās vienotajam valsts eksāmenam 2017. Profila līmenis." Ed. F. F. Lisenko, S. Ju. Kulabuhova.

Darba veids: 14
Tēma: Leņķis starp plaknēm

Stāvoklis

Visas ribas ir pareizas trīsstūrveida prizma ABCA_(1)B_(1)C_(1) ir vienādi ar 6 . Caur malu AC un BB_(1) viduspunktiem un virsotni A_(1) tiek novilkta griešanas plakne.

A) Pierādīt, ka malu BC dala ar griešanas plakni attiecībā 2:1, skaitot no virsotnes C.

b) Atrodiet leņķi starp griešanas plakni un pamatplakni.

Risinājums

A) Pieņemsim, ka D un E ir attiecīgi malu AC un BB_(1) viduspunkti.

Plaknē AA_(1)C_(1) novelkam taisni A_(1)D, kas krusto taisni CC_(1) punktā K, plaknē BB_(1)C_(1) - taisni. KE, kas krusto malu BC punktā F . Savienojot punktus A_(1) un E, kas atrodas plaknē AA_(1)B_(1), kā arī D un F, kas atrodas plaknē ABC, iegūstam posmu A_(1)EFD.

\bigtriangleup AA_(1)D=\bigtriangleup CDK gar kāju AD=DC un akūtu leņķi.

\angle ADA_(1)=\angle CDK - tāpat kā vertikālie, no tā izriet, ka AA_(1)=CK=6. \bigtriangleup CKF un \bigtriangleup BFE ir līdzīgi divos leņķos \angle FBE=\angle KCF=90^\circ,\angle BFE=\angle CFK - kā vertikālās.

\frac(CK)(BE)=\frac(6)(3)=2, tas ir, līdzības koeficients ir 2, kas nozīmē, ka CF:FB=2:1.

b) Veiksim AH \perp DF. Leņķis starp griezuma plakni un pamatplakni vienāds ar leņķi AHA_(1). Patiešām, segments AH \perp DF (DF ir šo plakņu krustošanās līnija) ir segmenta A_(1)H projekcija uz pamatplakni, tāpēc saskaņā ar trīs perpendikulu teorēmu A_(1)H \perp DF. \angle AHA_(1)=arctg\frac(AA_(1))(AH). AA_(1)=6.

Atradīsim AH. \angle ADH =\angle FDC (tāds pats kā vertikālais).

Pēc kosinusa teorēmas \bigtriangleup DFC:

DF^2=FC^2+DC^2- 2FC \cdot DC \cdot \cos 60^\circ,

DF^2=4^2+3^2-2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac(1)(2)=13.

FC^2=DF^2+DC^2- 2DF\cdot DC\cdot\cos\angle FDC,

4^2=13+9-2\sqrt(13) \cdot 3 \cdot \cos \angle FDC,

\cos \angle FDC=\frac(6)(2\sqrt(13) \cdot 3)=\frac(1)(\sqrt(13)).

No pamata trigonometriskās identitātes izriet

\sin \angle FDC=\sqrt(1-\left (\frac(1)(\sqrt(13))\right)^2)=\frac(2\sqrt(3))(\sqrt(13)) . No \bigtriangleup ADH mēs atrodam AH:

AH=AD \cdot \sin \angle ADH, (\angle FDC=\angle ADH). AH=3 \cdot \frac(2\sqrt(3))(\sqrt(13))=\frac(6\sqrt(13))(\sqrt(13)).

\angle AHA_(1)= arctg\frac(AA_(1))(AH)= arctg\frac(6 \cdot \sqrt(13))(6\sqrt(3))= arctg\frac(\sqrt(39))(3).

Atbilde

arctg\frac(\sqrt(39))(3).

Avots: “Matemātika. Gatavošanās vienotajam valsts eksāmenam 2017. Profila līmenis." Ed. F. F. Lisenko, S. Ju. Kulabuhova.

Darba veids: 14
Tēma: Leņķis starp plaknēm

Stāvoklis

Taisnās prizmas ABCDA_(1)B_(1)C_(1)D_(1) pamatne ir rombs ar neaso leņķi B, kas vienāds ar 120^\circ. Visas šīs prizmas malas ir vienādas ar 10. Punkti P un K ir attiecīgi malu CC_(1) un CD viduspunkti.

A) Pierādīt, ka taisnes PK un PB_(1) ir perpendikulāras.

b) Atrodiet leņķi starp plaknēm PKB_(1) un C_(1)B_(1)B.

Risinājums

A) Mēs izmantosim koordinātu metodi. Atradīsim vektoru \vec(PK) un \vec(PB_(1) skalāro reizinājumu un pēc tam leņķa kosinusu starp šiem vektoriem. Novirzīsim Oy asi pa CD, Oz asi pa CC_(1) un Ox asi \perp CD. C ir izcelsme.

Tad C (0;0;0); C_(1)(0;0;10); P(0;0;5); K(0;5;0); B(BC \cos 30^\circ; BC\sin 30^\circ; 0), tas ir B(5\sqrt(3); 5;0), B_(1)(5\sqrt(3); 5;10).

Atradīsim vektoru koordinātas: \vec(PK)=\(0;5;-5\); \vec(PB_(1))=\(5\sqrt(3); 5;5\).

Lai leņķis starp \vec(PK) un \vec(PB_(1)) ir vienāds ar \alpha.

Mēs saņemam \cos \alpha=\frac(\vec(PK) \cdot \vec(PB_(1)))(|\vec(PK)| \cdot |\vec(PB_(1))|)= \frac(0 \cdot 5\sqrt(3) + 5 \cdot 5-5 \cdot 5)(|\vec(PK)| \cdot |\vec(PB_(1)|)=0.

\cos \alpha =0, ​​kas nozīmē \vec(PK) \perp \vec(PB_(1)), un līnijas PK un PB_(1) ir perpendikulāras.

b) Leņķis starp plaknēm ir vienāds ar leņķi starp vektoriem, kas nav nulle, kas ir perpendikulāri šīm plaknēm (vai, ja leņķis ir neass, leņķi, kas atrodas tam blakus). Šādus vektorus sauc par plakņu normāliem. Atradīsim viņus.

Lai \vec(n_(1))=\(x; y; z\) ir perpendikulāra plaknei PKB_(1). Atradīsim to, atrisinot sistēmu \begin(cases) \vec(n_(1)) \perp \vec(PK), \\ \vec(n_(1)) \perp \vec(PB_(1)). \end(gadījumi)

\begin(cases) \vec(n_(1)) \cdot \vec(PK)=0, \\ \vec(n_(1)) \cdot \vec(PB_(1))=0; \end(gadījumi)

\begin(cases) 0x+5y-5z=0, \\ 5\sqrt(3)x+5y+5z=0; \end(gadījumi)

\begin(cases)y=z, \\ x=\frac(-y-z)(\sqrt(3)). \end(gadījumi)

Ņemsim y=1; z=1; x=\frac(-2)(\sqrt(3)), \vec(n_(1))=\left \( \frac(-2)(\sqrt(3)); 1;1 \right \).

Pieņemsim, ka \vec(n_(2))=\(x; y; z\) ir perpendikulāra plaknei C_(1)B_(1)B. Atradīsim to, atrisinot sistēmu \begin(cases) \vec(n_(2)) \perp \vec(CC_(1)), \\ \vec(n_(2)) \perp \vec(CB). \end(gadījumi)

\vec(CC_(1))=\(0;0;10\), \vec(CB)=\(5\sqrt(3); 5; 0\).

\begin(cases) \vec(n_(2)) \cdot \vec(CC_(1))=0, \\ \vec(n_(2)) \cdot \vec(CB)=0; \end(gadījumi)

\begin(cases) 0x+0y+10z=0, \\ 5\sqrt(3)x+5y+0z=0; \end(gadījumi)

\begin(cases)z=0, \\ y=-\sqrt(3)x. \end(gadījumi)

Ņemsim x=1; y=-\sqrt(3); z=0, \vec(n_(2))=\(1; -\sqrt(3);0\).

Atradīsim vēlamā leņķa kosinusu \beta (tas ir vienāds ar kosinusa moduli leņķim starp \vec(n_(1)) un \vec(n_(2)) ).

\cos \beta= \frac(|\vec(n_(1)) \cdot \vec(n_(2))|)(|\vec(n_(1))| \cdot |\vec(n_(2)|)= \frac(\left |-\dfrac(2)(\sqrt(3))\cdot 1+1 \cdot (-\sqrt(3))+1 \cdot 0 \right |)(\sqrt(\dfrac() 4)(3)+1+1) \cdot \sqrt(1+3+0))= \frac(\dfrac(5)(\sqrt(3)))(2\sqrt(\dfrac(10)(3)))= \frac(\sqrt(10))(4).

\cos \beta =\frac(\sqrt(10))(4), \beta=\arccos\frac(\sqrt(10))(4).

Atbilde

\arccos\frac(\sqrt(10))(4)

Avots: “Matemātika. Gatavošanās vienotajam valsts eksāmenam 2017. Profila līmenis." Ed. F. F. Lisenko, S. Ju. Kulabuhova.

ABCD ir kvadrāts un sānu sejas- vienādi taisnstūri.

Tā kā griezuma plakne iet caur punktiem M un D paralēli diagonālei AC, tad, lai to konstruētu plaknē A_(1)AC caur punktu M, zīmējam nogriezni MN paralēli AC. Mēs iegūstam AC \parallel (MDN), pamatojoties uz taisnes un plaknes paralēlismu.

Plakne MDN krusto paralēlās plaknes A_(1)AD un B_(1)BC, tad pēc īpašības paralēlas plaknes, plakņu A_(1)ADD_(1) un B_(1)BCC_(1) krustošanās līnijas ar MDN plakni ir paralēlas.

Zīmēsim segmentu NE paralēli segmentam MD.

Četrstūris DMEN ir vajadzīgā sadaļa.

b) Atradīsim leņķi starp griezuma plakni un pamatplakni. Ļaujiet griezuma plaknei krustot pamatplakni pa kādu taisni p, kas iet caur punktu D. AC \parallel MN, tātad, AC \parallel p (ja plakne iet caur taisni paralēli citai plaknei un šķērso šo plakni, tad plakņu krustošanās taisne ir paralēla šai taisnei). BD \perp AC kā kvadrāta diagonāles, kas nozīmē BD \perp p. BD ir ED projekcija uz plakni ABC, tad pēc trīs perpendikulu teorēmas ED \perp p, tāpēc \angle EDB ir diedrālā leņķa lineārais leņķis starp griezuma plakni un pamatplakni.

Iestatiet četrstūra DMEN veidu. MD \parallel EN, līdzīgi kā ME \parallel DN, kas nozīmē, ka DMEN ir paralelograms, un tā kā MD=DN (taisnstūra trīsstūri MAD un NCD ir vienādi uz divām kājām: AD=DC kā kvadrāta malas, AM=CN kā attālumi starp paralēlām taisnēm AC un MN), tāpēc DMEN ir rombs. Tādējādi F ir MN viduspunkts.

Pēc nosacījuma AM:MA_(1)=2:3, tad AM=\frac(2)(5)AA_(1)=\frac(2)(5) \cdot 5\sqrt(6)=2\sqrt(6).

AMNC ir taisnstūris, F ir MN vidus, O ir maiņstrāvas vidus. nozīmē, FO\parallel MA, FO\perp AC, FO=MA=2\sqrt(6).

Zinot, ka kvadrāta diagonāle ir a\sqrt(2), kur a ir kvadrāta mala, mēs iegūstam BD=4\sqrt(2). OD=\frac(1)(2)BD=\frac(1)(2) \cdot 4\sqrt(2)=2\sqrt(2).

Taisnstūra trīsstūrī FOD\enspace tg \angle FDO=\frac(FO)(OD)=\frac(2\sqrt(6))(2\sqrt(2))=\sqrt(3). Tāpēc \angle FDO=60^\circ.