Trapeces viduslīnija ir vienāda ar pusi no summas pamatojums. Tas savieno trapecveida malu viduspunktus un vienmēr ir paralēls pamatnēm.

Ja trapeces pamati ir vienādi ar a un b, tad vidējā līnija m ir vienāda ar m=(a+b)/2.

Ja ir zināms trapeces laukums, tad var atrast vidējo līniju un citā veidā dalot trapeces S laukumu ar trapeces h augstumu:



Tas ir, trapeces viduslīnija m=S/h

Ir daudzi veidi, kā atrast trapeces viduslīnijas garumu. Metodes izvēle ir atkarīga no sākotnējiem datiem.

Šeit trapeces viduslīnijas garuma formulas:

Lai atrastu trapeces viduslīniju, varat izmantot vienu no piecām formulām (tās neizrakstīšu, jo tās jau ir citās atbildēs), bet tas ir tikai gadījumos, kad mums ir nepieciešamas sākotnējo datu vērtības. ir zināmi.

Praksē mums ir jāatrisina daudzas problēmas, ja nav pietiekami daudz datu un pareizais izmērs vēl jāatrod.

Šeit ir šādas iespējas

soli pa solim risinājums, lai viss tiktu iekļauts formulā;

izmantojot citas formulas, sastādiet un atrisiniet nepieciešamos vienādojumus.

atrast trapeces vidus garumu, izmantojot mums nepieciešamo formulu ar citu zināšanu palīdzību par ģeometriju un lietošanu algebriskie vienādojumi:

Mums ir vienādsānu trapece, tās diagonāles krustojas taisnā leņķī, tās augstums ir 9 cm.

Mēs izveidojam zīmējumu un redzam, ka šo problēmu nevar atrisināt uzreiz (nav pietiekami daudz datu)



Tāpēc mēs nedaudz vienkāršosim un zīmēsim augstumu caur diagonāļu krustošanās punktu.

Šis ir pirmais svarīgais solis, kas ved uz ātru risinājumu.

apzīmēsim augstumu ar diviem nezināmajiem, redzēsim vajadzīgos vienādsānu trīsstūrus ar malām X Un plkst



un mēs to varam viegli atrast pamatojumu summa trapeces

tas ir vienāds 2х+2у

Un tikai tagad varam pielietot formulu kur

un tas ir vienāds x+y un saskaņā ar uzdevuma nosacījumiem tas ir augstuma garums, kas vienāds ar 9 cm.

Un tagad mēs esam atvasinājuši vairākus momentus vienādsānu trapecei, kuras diagonāles krustojas taisnā leņķī

tādās trapecās

vidējā līnija vienmēr ir vienāda ar augstumu

laukums vienmēr ir vienāds ar augstuma kvadrātu.

Trapeces viduslīnija ir segments, kas savieno trapeces malu viduspunktus.

Jebkuras trapeces viduslīnija ir viegli atrodama, ja izmantojat formulu:

m = (a + b)/2

m ir trapeces viduslīnijas garums;

a, b trapeces pamatu garumi.

Tātad, trapeces viduslīnijas garums ir vienāds ar pusi no pamatu garumu summas.

Trapeces viduslīnijas formulas pamatformula: trapeces viduslīnijas garums ir vienāds ar pusi no pamatu a un b summas: MN=(a+b)2. Šīs formulas pierādījums ir trijstūra viduslīnijas formula. Jebkuru trapeci var attēlot pēc tam, kad no galiem ir novilkta mazāka augstuma bāze uz lielāku pamatni. Tiek apskatīti 2 iegūtie trīsstūri un taisnstūris. Pēc tam tiek iegūta trapeces viduslīnijas formula viegli pierādīts.

Lai atrastu trapeces viduslīniju, mums jāzina bāzu vērtības.

Kad esam atraduši šīs vērtības vai varbūt tās mums bija zināmas, mēs saskaitām šos skaitļus un vienkārši sadalām uz pusēm.

Tā tas notiks trapeces viduslīnija.

Cik atceros savas skolas ģeometrijas stundas, lai atrastu trapeces viduslīnijas garumu, jāsaskaita pamatņu garumi un jādala ar divi. Tādējādi trapeces viduslīnijas garums ir vienāds ar pusi no pamatu summas.

Šajā rakstā mēs centīsimies pēc iespējas pilnīgāk atspoguļot trapeces īpašības. Jo īpaši mēs runāsim par vispārīgas pazīmes un trapeces īpašības, kā arī par ievilktas trapeces un par trapecveidā ierakstīta apļa īpašībām. Pieskarsimies arī vienādsānu un taisnstūrveida trapeces īpašībām.

Problēmas risināšanas piemērs, izmantojot apspriestos rekvizītus, palīdzēs sakārtot to pa vietām jūsu galvā un labāk atcerēties materiālu.

Trapece un viss-viss-viss

Sākumā īsi atcerēsimies, kas ir trapecveida forma un kādi citi jēdzieni ar to ir saistīti.

Tātad trapece ir četrstūra figūra, kuras divas malas ir paralēlas viena otrai (tās ir pamatnes). Un tie divi nav paralēli – tās ir malas.

Trapecveida formā augstumu var pazemināt - perpendikulāri pamatnēm. Tiek novilkta centra līnija un diagonāles. Bisektoru var uzzīmēt arī no jebkura trapeces leņķa.

Tagad mēs runāsim par dažādām īpašībām, kas saistītas ar visiem šiem elementiem un to kombinācijām.

Trapecveida diagonāļu īpašības

Lai būtu skaidrāk, lasīšanas laikā uz papīra uzzīmējiet trapecveida formu ACME un uzzīmējiet tajā diagonāles.

1. Ja atrodat katras diagonāles viduspunktus (sauksim šos punktus X un T) un savienojat tos, iegūstat segmentu. Viena no trapeces diagonāļu īpašībām ir tā, ka segments HT atrodas uz viduslīnijas. Un tā garumu var iegūt, dalot bāzu starpību ar diviem: ХТ = (a – b)/2.
2. Pirms mums ir tā pati trapece ACME. Diagonāles krustojas punktā O. Apskatīsim trijstūrus AOE un MOK, ko veido diagonāļu segmenti kopā ar trapeces pamatiem. Šie trīsstūri ir līdzīgi. Trīsstūru līdzības koeficientu k izsaka ar trapeces pamatu attiecību: k = AE/KM.
   Trijstūru AOE un MOK laukumu attiecību raksturo koeficients k 2 .
3. Tāda pati trapece, tās pašas diagonāles, kas krustojas punktā O. Tikai šoreiz apskatīsim trijstūrus, kurus diagonāļu segmenti veidoja kopā ar trapeces malām. Trijstūriem AKO un EMO laukumi ir vienādi – to laukumi ir vienādi.
4. Vēl viena trapeces īpašība ir diagonāļu konstrukcija. Tātad, ja turpināsiet AK un ME malas mazākās bāzes virzienā, tad agri vai vēlu tās krustosies noteiktā punktā. Pēc tam novelciet taisnu līniju caur trapecveida pamatnes vidu. Tas krusto bāzes punktos X un T.
   Ja tagad pagarināsim taisni XT, tad tā savienos kopā trapeces O diagonāļu krustpunktu, punktu, kurā krustojas X un T pamatu malu pagarinājumi un vidus.
5. Caur diagonāļu krustpunktu novelkam nogriezni, kas savienos trapeces pamatus (T atrodas uz mazākā pamata KM, X uz lielākā AE). Diagonāļu krustošanās punkts dala šo segmentu šādā proporcijā: TO/OX = KM/AE.
6. Tagad caur diagonāļu krustošanās punktu mēs novilksim segmentu, kas ir paralēls trapeces (a un b) pamatiem. Krustpunkts sadalīs to divās vienādās daļās. Segmenta garumu var atrast, izmantojot formulu 2ab/(a + b).

Trapeces viduslīnijas īpašības

Novelciet vidējo līniju trapecveidā paralēli tās pamatiem.

1. Trapeces viduslīnijas garumu var aprēķināt, saskaitot pamatņu garumus un dalot tos uz pusēm: m = (a + b)/2.
2. Ja velciet jebkuru segmentu (piemēram, augstumu) caur abām trapeces pamatnēm, vidējā līnija to sadalīs divās vienādās daļās.

Trapecveida bisektora īpašums

Izvēlieties jebkuru trapeces leņķi un uzzīmējiet bisektrisi. Ņemsim, piemēram, mūsu trapeces ACME leņķi KAE. Pats pabeidzot konstrukciju, varat viegli pārbaudīt, vai bisektrise no pamatnes (vai tās turpinājuma uz taisnas līnijas ārpus pašas figūras) nogriež segmentu, kura garums ir vienāds ar sānu.

Trapecveida leņķu īpašības

1. Neatkarīgi no tā, kuru no diviem leņķu pāriem, kas atrodas blakus jūsu izvēlētajai pusei, pāra leņķu summa vienmēr ir 180 0: α + β = 180 0 un γ + δ = 180 0.
2. Savienosim trapecveida pamatu viduspunktus ar nogriezni TX. Tagad apskatīsim leņķus trapeces pamatnēs. Ja leņķu summa jebkuram no tiem ir 90 0, segmenta TX garumu var viegli aprēķināt, pamatojoties uz pamatu garumu starpību, kas sadalīta uz pusēm: TX = (AE – KM)/2.
3. Ja caur trapecveida leņķa malām tiek novilktas paralēlas līnijas, tās sadalīs leņķa malas proporcionālos segmentos.

Vienādsānu (vienādmalu) trapeces īpašības

1. Vienādsānu trapecē leņķi jebkurā pamatnē ir vienādi.
2. Tagad atkal izveidojiet trapecveida formu, lai būtu vieglāk iedomāties, par ko mēs runājam. Uzmanīgi apskatiet bāzes AE – pretējās bāzes M virsotne tiek projicēta uz noteiktu punktu uz līnijas, kas satur AE. Attālums no virsotnes A līdz virsotnes M projekcijas punktam un vienādsānu trapeces viduslīnijai ir vienāds.
3. Daži vārdi par vienādsānu trapeces diagonāļu īpašību - to garumi ir vienādi. Un arī šo diagonāļu slīpuma leņķi pret trapeces pamatni ir vienādi.
4. Apli var aprakstīt tikai ap vienādsānu trapeci, jo četrstūra pretējo leņķu summa ir 180 0 - tas ir priekšnoteikums.
5. Vienādsānu trapeces īpašība izriet no iepriekšējās rindkopas - ja trapeces tuvumā var aprakstīt apli, tas ir vienādsānu.
6. No vienādsānu trapeces pazīmēm izriet trapeces augstuma īpašība: ja tās diagonāles krustojas taisnā leņķī, tad augstuma garums ir vienāds ar pusi no pamatu summas: h = (a + b)/2.
7. Atkal novelciet nogriezni TX caur trapeces pamatu viduspunktiem - vienādsānu trapecē tas ir perpendikulārs pamatiem. Un tajā pašā laikā TX ir vienādsānu trapeces simetrijas ass.
8. Šoreiz nolaidiet augstumu no trapeces pretējās virsotnes uz lielāko pamatni (sauksim to par a). Jūs iegūsit divus segmentus. Viena garumu var atrast, ja saskaita pamatņu garumus un sadala uz pusēm: (a + b)/2. Otro mēs iegūstam, kad no lielākās bāzes atņemam mazāko un iegūto starpību sadalām ar diviem: (a – b)/2.

Aplī ierakstītas trapeces īpašības

Tā kā mēs jau runājam par trapecveida formu, kas ierakstīta aplī, ļaujiet mums pakavēties pie šī jautājuma sīkāk. Jo īpaši, kur apļa centrs atrodas attiecībā pret trapecveida formu. Arī šeit ir ieteicams atvēlēt laiku, lai paņemtu zīmuli un uzzīmētu to, kas tiks apspriests tālāk. Tādā veidā jūs ātrāk sapratīsit un labāk atcerēsities.

1. Apļa centra atrašanās vietu nosaka trapecveida diagonāles slīpuma leņķis uz sāniem. Piemēram, diagonāle var stiepties no trapeces augšdaļas taisnā leņķī uz sāniem. Šajā gadījumā lielākā bāze krusto apļa centru tieši vidū (R = ½AE).
2. Diagonāle un mala var satikties arī akūtā leņķī – tad apļa centrs atrodas trapeces iekšpusē.
3. Ierobežotā apļa centrs var atrasties ārpus trapeces, aiz tās lielākās pamatnes, ja starp trapeces diagonāli un malu ir strups leņķis.
4. Leņķis, ko veido trapeces ACME diagonāle un lielākā pamatne (ierakstītais leņķis), ir uz pusi mazāks centrālais leņķis, kas tam atbilst: MAE = ½ MOE.
5. Īsumā par diviem veidiem, kā atrast ierobežota apļa rādiusu. Pirmā metode: uzmanīgi apskatiet savu zīmējumu - ko jūs redzat? Jūs varat viegli pamanīt, ka diagonāle sadala trapeci divos trīsstūros. Rādiusu var atrast pēc trijstūra malas attiecības pret pretējā leņķa sinusu, reizinot ar divi. Piemēram, R = AE/2*sinAME. Līdzīgā veidā formulu var uzrakstīt jebkurai no abu trīsstūru malām.
6. Otrā metode: atrodiet ierobežotā apļa rādiusu caur trijstūra laukumu, ko veido trapeces diagonāle, mala un pamatne: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Ap apli norobežotas trapeces īpašības

Apli var ievietot trapecē, ja ir izpildīts viens nosacījums. Lasiet vairāk par to zemāk. Un kopā šai figūru kombinācijai ir vairākas interesantas īpašības.

1. Ja aplis ir ierakstīts trapecveida formā, tā viduslīnijas garumu var viegli atrast, saskaitot malu garumus un iegūto summu dalot uz pusēm: m = (c + d)/2.
2. Trapecei ACME, kas aprakstīta ap apli, pamatu garumu summa ir vienāda ar malu garumu summu: AK + ME = KM + AE.
3. No šīs trapeces pamatu īpašības izriet apgriezts apgalvojums: trapecveidā var ierakstīt apli, kura pamatu summa ir vienāda ar tās malu summu.
4. Trapecē ierakstītais riņķa rādiusa r pieskares punkts sadala malu divos segmentos, sauksim tos par a un b. Apļa rādiusu var aprēķināt, izmantojot formulu: r = √ab.
5. Un vēl viens īpašums. Lai izvairītos no neskaidrībām, uzzīmējiet šo piemēru arī pats. Mums ir vecā labā trapece ACME, kas aprakstīta ap apli. Tajā ir diagonāles, kas krustojas punktā O. Trijstūri AOK un EOM, ko veido diagonāļu segmenti un sānu malas, ir taisnstūrveida.
   Šo trīsstūru augstumi, nolaisti līdz hipotenūzām (t.i., trapeces sānu malām), sakrīt ar ierakstītā apļa rādiusiem. Un trapeces augstums sakrīt ar ierakstītā apļa diametru.

Taisnstūra trapeces īpašības

Trapecveida formu sauc par taisnstūri, ja viens no tās leņķiem ir taisns. Un tā īpašības izriet no šī apstākļa.

1. Taisnstūra trapeces viena no malām ir perpendikulāra tās pamatnei.
2. Trapeces augstums un sānu mala blakus pareizā leņķī, ir vienādi. Tas ļauj aprēķināt taisnstūra trapeces laukumu (vispārējā formula S = (a + b) * h/2) ne tikai caur augstumu, bet arī caur malu, kas atrodas blakus taisnam leņķim.
3. Taisnstūra trapecveida formai ir svarīgas jau iepriekš aprakstītās trapeces diagonāļu vispārīgās īpašības.

Pierādījumi par dažām trapeces īpašībām

Leņķu vienādība vienādsānu trapeces pamatnē:

• Jūs droši vien jau uzminējāt, ka šeit mums atkal būs nepieciešama AKME trapece - uzzīmējiet vienādsānu trapeci. Novelciet taisni MT no virsotnes M paralēli AK malai (MT || AK).

Iegūtais četrstūris AKMT ir paralelograms (AK || MT, KM || AT). Tā kā ME = KA = MT, ∆ MTE ir vienādsānu un MET = MTE.

AK || MT, tāpēc MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Kur AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Tagad, pamatojoties uz vienādsānu trapeces īpašību (diagonāļu vienādība), mēs pierādām, ka trapecveida ACME ir vienādsānu:

• Vispirms novelkam taisnu līniju MX – MX || KE. Iegūstam paralelogramu KMHE (bāze – MX || KE un KM || EX).

∆AMX ir vienādsānu, jo AM = KE = MX un MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, tāpēc MAE = MXE.

Izrādījās, ka trijstūri AKE un EMA ir vienādi, jo AM = KE un AE – kopējā puse divi trīsstūri. Un arī MAE = MXE. Varam secināt, ka AK = ME, un no tā izriet, ka trapece AKME ir vienādsānu.

Pārskatiet uzdevumu

Trapecveida ACME pamati ir 9 cm un 21 cm, sānu mala KA, kas vienāda ar 8 cm, veido 150 0 leņķi ar mazāko pamatni. Jums jāatrod trapeces laukums.

Risinājums: No virsotnes K nolaižam augstumu līdz lielākajai trapeces pamatnei. Un sāksim aplūkot trapeces leņķus.

Leņķi AEM un KAN ir vienpusēji. Tas nozīmē, ka kopā viņi dod 180 0. Tāpēc KAN = 30 0 (pamatojoties uz trapecveida leņķu īpašību).

Tagad apskatīsim taisnstūrveida ∆ANC (es uzskatu, ka lasītājiem šis punkts ir acīmredzams bez papildu pierādījumiem). No tā mēs atradīsim trapeces KH augstumu - trijstūrī tā ir kāja, kas atrodas pretī 30 0 leņķim. Tāpēc KH = ½AB = 4 cm.

Mēs atrodam trapeces laukumu, izmantojot formulu: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Pēcvārds

Ja rūpīgi un pārdomāti izpētījāt šo rakstu, nebija pārāk slinks, lai ar zīmuli rokās uzzīmētu trapeces visām dotajām īpašībām un analizētu tās praksē, jums vajadzēja labi apgūt materiālu.

Protams, šeit ir daudz informācijas, daudzveidīga un dažreiz pat mulsinoša: nav tik grūti sajaukt aprakstītās trapeces īpašības ar ierakstītās īpašības. Bet jūs pats esat redzējis, ka atšķirība ir milzīga.

Tagad jums ir detalizēts visu trapeces vispārējo īpašību izklāsts. Kā arī specifiskas īpašības un raksturlielumi vienādsānu un taisnstūrveida trapecveida formām. Tas ir ļoti ērti lietojams, lai sagatavotos ieskaitēm un eksāmeniem. Izmēģiniet to pats un kopīgojiet saiti ar draugiem!

blog.site, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz oriģinālo avotu.

Taisnes atzaru, kas savieno trapeces sānu malu viduspunktus, sauc par trapeces viduslīniju. Tālāk mēs jums pateiksim, kā atrast trapeces viduslīniju un kā tā ir saistīta ar citiem šī attēla elementiem.

Viduslīnijas teorēma

Uzzīmēsim trapecveida formu, kurā AD ir lielākā bāze, BC ir mazākā bāze, EF ir vidējā līnija. Pagarināsim bāzi AD aiz punkta D. Novelkam taisni BF un turpinām to, līdz tā krustojas ar bāzes AD turpinājumu punktā O. Aplūkosim trijstūrus ∆BCF un ∆DFO. Leņķi ∟BCF = ∟DFO kā vertikāls. CF = DF, ∟BCF = ∟FDО, jo VS // AS. Tāpēc trijstūri ∆BCF = ∆DFO. Tādējādi malas BF = FO.

Tagad apsveriet ∆ABO un ∆EBF. ∟ABO ir kopīgs abiem trijstūriem. BE/AB = ½ pēc nosacījuma, BF/BO = ½, jo ∆BCF = ∆DFO. Tāpēc trīsstūri ABO un EFB ir līdzīgi. Tādējādi partiju attiecība EF/AO = ½, kā arī pārējo partiju attiecība.

Mēs atrodam EF = ½ AO. Zīmējumā redzams, ka AO = AD + DO. DO = BC kā malas vienādi trīsstūri, kas nozīmē AO = AD + BC. Tādējādi EF = ½ AO = ½ (AD + BC). Tie. trapeces viduslīnijas garums ir vienāds ar pusi no pamatu summas.

Vai trapeces viduslīnija vienmēr ir vienāda ar pusi no pamatu summas?

Pieņemsim, ka tāds ir īpašs gadījums, kad EF ≠ ½ (AD + BC). Tad BC ≠ DO, tāpēc ∆BCF ≠ ∆DCF. Bet tas nav iespējams, jo starp tiem ir divi vienādi leņķi un malas. Tāpēc teorēma ir patiesa visos apstākļos.

Viduslīnijas problēma

Pieņemsim, ka mūsu trapecē ABCD AD // BC, ∟A = 90°, ∟C = 135°, AB = 2 cm, diagonāle AC ir perpendikulāra malai. Atrodiet trapeces EF viduslīniju.

Ja ∟A = 90°, tad ∟B = 90°, kas nozīmē, ka ∆ABC ir taisnstūrveida.

∟BCA = ∟BCD – ∟ACD. ∟ACD = 90° pēc vienošanās, tāpēc ∟BCA = ∟BCD - ∟ACD = 135° - 90° = 45°.

Ja taisnleņķa trijstūrī ∆ABC viens leņķis ir vienāds ar 45°, tad tajā esošās kājas ir vienādas: AB = BC = 2 cm.

Hipotenūza AC = √(AB² + BC²) = √8 cm.

Apskatīsim ∆ACD. ∟ACD = 90° atbilstoši stāvoklim. ∟CAD = ∟BCA = 45° kā leņķi, ko veido trapeces paralēlo pamatu šķērsvirziens. Tāpēc kājas AC = CD = √8.

Hipotenūza AD = √(AC² + CD²) = √(8 + 8) = √16 = 4 cm.

Trapeces viduslīnija EF = ½ (AD + BC) = ½ (2 + 4) = 3 cm.

Nodarbības mērķi:

1) iepazīstināt studentus ar trapeces viduslīnijas jēdzienu, apsvērt tās īpašības un pierādīt tās;

2) iemācīt veidot trapeces viduslīniju;

3) attīstīt studentu prasmi izmantot trapeces viduslīnijas definīciju un trapeces viduslīnijas īpašības, risinot uzdevumus;

4) turpināt attīstīt studentu prasmi kompetenti runāt, izmantojot nepieciešamos matemātikas terminus; pierādīt savu viedokli;

5) attīstīties loģiskā domāšana, atmiņa, uzmanība.

Nodarbību laikā

1. Nodarbības laikā tiek pārbaudīts mājas darbs. Mājas darbs bija mutisks, atcerieties:

a) trapeces definīcija; trapecveida formas;

b) trijstūra viduslīnijas noteikšana;

c) trijstūra viduslīnijas īpašība;

d) trijstūra viduslīnijas zīme.

2. Jauna materiāla apguve.

a) Tāfele parāda trapecveida ABCD.

b) Skolotājs lūdz atcerēties trapeces definīciju. Katram rakstāmgaldam ir ieteikumu diagramma, kas palīdzēs atcerēties pamatjēdzienus tēmā “Trapece” (skat. 1. pielikumu). Katram galdam tiek izsniegts 1. pielikums.

Skolēni savās burtnīcās zīmē trapecveida ABCD.

c) Skolotājs lūdz atcerēties, kurā tēmā tika sastapts viduslīnijas jēdziens (“Trīsstūra viduslīnija”). Studenti atceras trijstūra viduslīnijas definīciju un tās īpašības.

e) Pierakstiet trapeces viduslīnijas definīciju, zīmējot to piezīmju grāmatiņā.

Vidējā līnija Trapece ir segments, kas savieno tā malu viduspunktus.

Trapeces viduslīnijas īpašība šajā posmā paliek nepierādīta, tāpēc nākamais nodarbības posms ietver darbu pie trapeces viduslīnijas īpašību pierādīšanas.

Teorēma. Trapeces viduslīnija ir paralēla tās pamatiem un vienāda ar to pussummu.

Ņemot vērā: ABCD – trapecveida,

MN – viduslīnija ABCD

Pierādīt, Kas:

1. BC || MN || A.D.

2. MN = (AD + BC).

Mēs varam pierakstīt dažas sekas, kas izriet no teorēmas nosacījumiem:

AM = MB, CN = ND, BC || A.D.

Nav iespējams pierādīt prasīto, pamatojoties tikai uz uzskaitītajām īpašībām. Jautājumu un vingrinājumu sistēmai jārada skolēni pie vēlmes savienot trapecveida viduslīniju ar kāda trijstūra viduslīniju, kura īpašības viņi jau zina. Ja priekšlikumu nav, tad var uzdot jautājumu: kā izveidot trijstūri, kuram segments MN būtu viduslīnija?

Pierakstīsim papildu konstrukciju vienam no gadījumiem.

Novelkam taisni BN, kas krusto malas AD turpinājumu punktā K.

Parādās papildu elementi - trīsstūri: ABD, BNM, DNK, BCN. Ja mēs pierādīsim, ka BN = NK, tad tas nozīmēs, ka MN ir ABD viduslīnija, un tad mēs varam izmantot trijstūra viduslīnijas īpašību un pierādīt nepieciešamo.

Pierādījums:

1. Apsveriet BNC un DNK, tie satur:

a) CNB =DNK (īpašums vertikālie leņķi);

b) BCN = NDK (iekšējo šķērsenisko leņķu īpašība);

c) CN = ND (kas izriet no teorēmas nosacījumiem).

Tas nozīmē BNC =DNK (pie sāniem un diviem blakus leņķiem).

Q.E.D.

Pierādījumu var veikt mutiski stundā, un to var rekonstruēt un pierakstīt piezīmju grāmatiņā mājās (pēc skolotāja ieskatiem).

Jāsaka par citiem iespējamiem šīs teorēmas pierādīšanas veidiem:

1. Uzzīmējiet vienu no trapeces diagonālēm un izmantojiet trijstūra viduslīnijas zīmi un īpašību.

2. Veikt CF || BA un apsveriet paralelogramu ABCF un DCF.

3. Veikt EF || BA un apsveriet FND un ENC vienlīdzību.

g) Šajā posmā tiek uzdots mājas darbs: 84. punkts, mācību grāmatas izd. Atanasjans L.S. (trapeces viduslīnijas īpašību pierādījums, izmantojot vektora metodi), pierakstiet to savā piezīmju grāmatiņā.

h) Uzdevumus risinām, izmantojot trapeces viduslīnijas definīciju un īpašības, izmantojot gatavus rasējumus (skat. 2. pielikumu). Katram skolēnam tiek izsniegts 2. pielikums, un uzdevumu risinājums īsā formā tiek izrakstīts uz vienas lapas.

Trapecveida forma ir īpašs četrstūra gadījums, kurā viens malu pāris ir paralēls. Termins "trapecveida" nāk no grieķu vārda τράπεζα, kas nozīmē "galds", "galds". Šajā rakstā mēs apskatīsim trapeces veidus un to īpašības. Turklāt mēs izdomāsim, kā aprēķināt atsevišķus elementus, piemēram, vienādsānu trapeces diagonāli, viduslīniju, laukumu utt. Materiāls tiek pasniegts elementāras tautas ģeometrijas stilā, t.i., viegli pieejamā formā. .

Galvenā informācija

Vispirms izdomāsim, kas ir četrstūris. Šis skaitlis ir īpašs daudzstūra gadījums, kurā ir četras malas un četras virsotnes. Divas četrstūra virsotnes, kas nav blakus, sauc par pretējām. To pašu var teikt par divām blakus esošajām pusēm. Galvenie četrstūra veidi ir paralelograms, taisnstūris, rombs, kvadrāts, trapecveida un deltveida.

Tātad atgriezīsimies pie trapecveida formām. Kā jau teicām, šim skaitlim ir divas paralēlas malas. Tos sauc par bāzēm. Pārējās divas (neparalēlas) ir sānu malas. Eksāmenu materiālos un dažādos testiemļoti bieži var atrast ar trapecām saistītas problēmas, kuru risināšanai studentam bieži vien ir nepieciešamas programmā neparedzētas zināšanas. Skolas ģeometrijas kurss iepazīstina studentus ar leņķu un diagonāļu īpašībām, kā arī vienādsānu trapeces viduslīniju. Bet, papildus tam, minētajai ģeometriskajai figūrai ir arī citas pazīmes. Bet par tiem vairāk nedaudz vēlāk...

Trapeces veidi

Ir daudz šo figūru veidu. Tomēr visbiežāk ir pieņemts uzskatīt divus no tiem - vienādsānu un taisnstūrveida.

1. Taisnstūra trapecveida forma ir figūra, kurā viena no malām ir perpendikulāra pamatnēm. Viņas divi leņķi vienmēr ir vienādi ar deviņdesmit grādiem.

2. Vienādsānu trapece ir ģeometriska figūra, kuras malas ir vienādas viena ar otru. Tas nozīmē, ka arī leņķi pie pamatnēm ir vienādi pa pāriem.

Trapecveida īpašību izpētes metodikas galvenie principi

Galvenais princips ietver tā sauktās uzdevumu pieejas izmantošanu. Faktiski nav nepieciešams ieviest jaunas šīs figūras īpašības ģeometrijas teorētiskajā kursā. Tos var atklāt un formulēt dažādu (vēlams sistēmisku) problēmu risināšanas procesā. Tajā pašā laikā ir ļoti svarīgi, lai skolotājs zinātu, kādi uzdevumi vienā vai otrā reizē ir jāuzdod skolēniem izglītības process. Turklāt katru trapecveida īpašību var attēlot kā galveno uzdevumu uzdevumu sistēmā.

Otrs princips ir trapecveida “ievērojamo” īpašību izpētes tā sauktā spirālveida organizācija. Tas nozīmē atgriešanos mācību procesā pie konkrētās ģeometriskās figūras individuālajām iezīmēm. Tādējādi skolēniem ir vieglāk tos atcerēties. Piemēram, četru punktu īpašība. To var pierādīt gan pētot līdzību, gan pēc tam izmantojot vektorus. Un trijstūri, kas atrodas blakus figūras sānu malām, var pierādīt, izmantojot ne tikai vienāda augstuma trīsstūru īpašības, kas novilktas uz malām, kas atrodas vienā taisnē, bet arī izmantojot formulu S = 1/2( ab*sinα). Turklāt jūs varat strādāt pie ierakstītas trapeces vai taisnleņķa trīsstūra uz ierakstītas trapeces utt.

Ģeometriskās figūras “ārpusstundu” pazīmju izmantošana skolas kursa saturā ir uz uzdevumiem balstīta tehnoloģija to mācīšanai. Pastāvīga atsaukšanās uz pētāmajām īpašībām, izejot cauri citām tēmām, ļauj studentiem iegūt dziļākas zināšanas par trapecveida formu un nodrošina sekmīgu uzdevumu risināšanu. Tātad, sāksim pētīt šo brīnišķīgo figūru.

Vienādsānu trapeces elementi un īpašības

Kā mēs jau atzīmējām, šai ģeometriskajai figūrai ir vienādas malas. To sauc arī par pareizo trapecveida formu. Kāpēc tas ir tik ievērojams un kāpēc tas ieguva šādu nosaukumu? Šīs figūras īpatnība ir tāda, ka ne tikai malas un leņķi pie pamatnēm ir vienādi, bet arī diagonāles. Turklāt vienādsānu trapeces leņķu summa ir 360 grādi. Bet tas vēl nav viss! No visām zināmajām trapecēm tikai vienu vienādsānu var raksturot kā apli. Tas ir saistīts ar faktu, ka šī skaitļa pretējo leņķu summa ir vienāda ar 180 grādiem, un tikai ar šo nosacījumu var aprakstīt apli ap četrstūri. Nākamā aplūkojamās ģeometriskās figūras īpašība ir tāda, ka attālums no pamatnes virsotnes līdz pretējās virsotnes projekcijai uz taisnes, kas satur šo pamatni, būs vienāds ar viduslīniju.

Tagad izdomāsim, kā atrast vienādsānu trapeces leņķus. Apskatīsim šīs problēmas risinājumu, ja ir zināmi figūras malu izmēri.

Risinājums

Parasti četrstūri parasti apzīmē ar burtiem A, B, C, D, kur BS un AD ir bāze. Vienādsānu trapecē malas ir vienādas. Mēs pieņemsim, ka to izmērs ir vienāds ar X, un pamatņu izmēri ir vienādi ar Y un Z (attiecīgi mazāki un lielāki). Lai veiktu aprēķinu, jānovelk augstums H no leņķa B. Rezultāts ir taisnleņķa trīsstūris ABN, kur AB ir hipotenūza, bet BN un AN ir kājas. Mēs aprēķinām kājas izmēru AN: no lielākās bāzes atņemam mazāko un rezultātu sadalām ar 2. Rakstām formulas veidā: (Z-Y)/2 = F. Tagad, lai aprēķinātu akūtu trijstūra leņķi, mēs izmantojam cos funkciju. Mēs iegūstam šādu ierakstu: cos(β) = X/F. Tagad mēs aprēķinām leņķi: β=arcos (X/F). Turklāt, zinot vienu leņķi, mēs varam noteikt otro, šim nolūkam mēs veicam elementāru aritmētisko darbību: 180 - β. Visi leņķi ir noteikti.

Šai problēmai ir otrs risinājums. Pirmkārt, mēs to nolaižam no stūra līdz augstumam H. Mēs aprēķinām kājas vērtību BN. Mēs zinām, ka hipotenūzas kvadrāts taisnleņķa trīsstūris vienāds ar summu kāju kvadrāti. Mēs iegūstam: BN = √(X2-F2). Tālāk mēs izmantojam trigonometriskā funkcija tg. Rezultātā mums ir: β = arctāns (BN/F). Ass stūris atrasts. Tālāk mēs to definējam līdzīgi kā pirmajā metodē.

Vienādsānu trapeces diagonāļu īpašība

Vispirms pierakstīsim četrus noteikumus. Ja vienādsānu trapeces diagonāles ir perpendikulāras, tad:

Figūras augstums būs vienāds ar bāzu summu, kas dalīta ar divi;

Tā augstums un viduslīnija ir vienādi;

Apļa centrs ir punkts, kurā ;

Ja sānu malu sadala ar pieskares punktu segmentos H un M, tad tas ir vienāds ar kvadrātsaknešo segmentu produkti;

Četrstūris, ko veido pieskares punkti, trapeces virsotne un ierakstītā apļa centrs, ir kvadrāts, kura mala ir vienāda ar rādiusu;

Figūras laukums ir vienāds ar pamatu reizinājumu un reizinājumu ar pusi no bāzu summas un tās augstuma.

Līdzīgas trapeces

Šī tēma ir ļoti ērta, lai izpētītu šīs īpašības. Piemēram, diagonāles sadala trapeci četros trīsstūros, un tie, kas atrodas blakus pamatnēm, ir līdzīgi, un tie, kas atrodas blakus malām, ir vienāda izmēra. Šo apgalvojumu var saukt par trīsstūru īpašību, kurā trapece ir sadalīta ar tās diagonālēm. Šī apgalvojuma pirmā daļa ir pierādīta ar līdzības zīmi divos leņķos. Lai pierādītu otro daļu, labāk ir izmantot tālāk norādīto metodi.

Teorēmas pierādījums

Mēs pieņemam, ka skaitlis ABSD (AD un BS ir trapeces pamati) ir dalīts ar diagonālēm VD un AC. To krustpunkts ir O. Mēs iegūstam četrus trīsstūrus: AOS - apakšējā pamatnē, BOS - augšējā pamatnē, ABO un SOD sānos. Trijstūriem SOD un BOS ir kopīgs augstums, ja segmenti BO un OD ir to pamati. Mēs atklājam, ka starpība starp to laukumiem (P) ir vienāda ar starpību starp šiem segmentiem: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Tāpēc PSOD = PBOS/K. Līdzīgi trijstūriem BOS un AOB ir kopīgs augstums. Par pamatu ņemam segmentus CO un OA. Mēs iegūstam PBOS/PAOB = CO/OA = K un PAOB = PBOS/K. No tā izriet, ka PSOD = PAOB.

Materiāla konsolidācijai studentiem ieteicams atrast savienojumu starp iegūto trīsstūru laukumiem, kuros trapece sadalīta ar tās diagonālēm, risinot šādu uzdevumu. Ir zināms, ka trijstūriem BOS un AOD ir vienādi laukumi, ir jāatrod trapeces laukums. Tā kā PSOD = PAOB, tas nozīmē, ka PABSD = PBOS + PAOD + 2 * PSOD. No trīsstūru BOS un AOD līdzības izriet, ka BO/OD = √(PBOS/PAOD). Tāpēc PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Mēs iegūstam PSOD = √ (PBOS * PAOD). Tad PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Līdzības īpašības

Turpinot attīstīt šo tēmu, var pierādīt citu interesantas funkcijas trapecveida. Tātad, izmantojot līdzību, jūs varat pierādīt segmenta īpašību, kas iet caur punktu, ko veido krustojumsšīs ģeometriskās figūras diagonāles, paralēli pamatiem. Lai to izdarītu, atrisināsim šādu uzdevumu: jāatrod segmenta RK garums, kas iet caur punktu O. No trīsstūru AOD un BOS līdzības izriet, ka AO/OS = AD/BS. No trīsstūru AOP un ASB līdzības izriet, ka AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). No šejienes mēs iegūstam, ka RO=BS*BP/(BS+BP). Līdzīgi no trīsstūru DOC un DBS līdzības izriet, ka OK = BS*AD/(BS+AD). No šejienes mēs iegūstam, ka RO=OK un RK=2*BS*AD/(BS+AD). Segmentu, kas iet caur diagonāļu krustpunktu, paralēli pamatiem un savieno divas sānu malas, dala uz pusēm ar krustpunktu. Tās garums ir figūras pamatu harmoniskais vidējais lielums.

Apsveriet šādu trapeces īpašību, ko sauc par četru punktu īpašību. Diagonāļu krustpunkti (O), malu turpinājuma krustpunkts (E), kā arī pamatu viduspunkti (T un F) vienmēr atrodas uz vienas taisnes. To var viegli pierādīt ar līdzības metodi. Iegūtie trīsstūri BES un AED ir līdzīgi, un katrā no tiem mediānas ET un EJ sadala virsotnes leņķi E vienādās daļās. Tāpēc punkti E, T un F atrodas vienā taisnē. Tādā pašā veidā uz vienas taisnes atrodas punkti T, O un Zh. Tas viss izriet no trīsstūru BOS un AOD līdzības. No šejienes mēs secinām, ka visi četri punkti - E, T, O un F - atrodas uz vienas taisnes.

Izmantojot līdzīgas trapeces, varat lūgt studentiem atrast segmenta garumu (LS), kas sadala figūru divos līdzīgos. Šim segmentam jābūt paralēlam pamatnēm. Tā kā iegūtās trapeces ALFD un LBSF ir līdzīgas, tad BS/LF = LF/AD. No tā izriet, ka LF=√(BS*AD). Mēs atklājam, ka segmentam, kas sadala trapeci divās līdzīgās daļās, garums ir vienāds ar figūras pamatu garumu ģeometrisko vidējo.

Apsveriet šādu līdzības īpašību. Tas ir balstīts uz segmentu, kas sadala trapeci divos vienādos skaitļos. Mēs pieņemam, ka trapecveida ABSD segments EH ir sadalīts divos līdzīgos. No virsotnes B tiek izlaists augstums, kas ar segmentu EN tiek sadalīts divās daļās - B1 un B2. Mēs iegūstam: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 un PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Tālāk mēs izveidojam sistēmu, kuras pirmais vienādojums ir (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 un otrais (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. No tā izriet, ka B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) un BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Atklājam, ka nogriežņa garums, kas sadala trapecveida divās vienādās daļās, ir vienāds ar pamatu garumu vidējo kvadrātu: √((BS2+AD2)/2).

Līdzības konstatējumi

Tādējādi mēs esam pierādījuši, ka:

1. Nogrieznis, kas savieno trapeces sānu malu viduspunktus, ir paralēls AD un BS un ir vienāds ar BS un AD vidējo aritmētisko (trapeces pamatnes garums).

2. Taisne, kas iet caur AD un BS paralēlo diagonāļu krustpunkta punktu O, būs vienāda ar skaitļu AD un BS vidējo harmonisko vērtību (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. Nogrieznim, kas sadala trapecveida līdzīgos, ir bāzu BS un AD ģeometriskā vidējā garums.

4. Elementam, kas sadala figūru divās vienādās daļās, ir skaitļu AD un BS vidējā kvadrāta garums.

Lai nostiprinātu materiālu un izprastu saikni starp aplūkotajiem segmentiem, studentam tie jākonstruē konkrētai trapecveida formai. Viņš var viegli parādīt vidējo līniju un segmentu, kas iet caur punktu O - figūras diagonāļu krustpunktu - paralēli pamatiem. Bet kur atradīsies trešais un ceturtais? Šī atbilde novedīs skolēnu pie vēlamās attiecības starp vidējām vērtībām atklāšanas.

Nogrieznis, kas savieno trapeces diagonāļu viduspunktus

Apsveriet šādu šī attēla īpašību. Mēs pieņemam, ka segments MH ir paralēls pamatnēm un sadala diagonāles uz pusēm. Sauksim krustošanās punktus Ш un Ш. Šis segments būs vienāds ar pusi no bāzu starpības. Apskatīsim to sīkāk. MS ir ABS trīsstūra vidējā līnija, tā ir vienāda ar BS/2. MSH ir trijstūra ABD vidējā līnija, tā ir vienāda ar AD/2. Tad mēs iegūstam, ka ShShch = MSh-MSh, tāpēc ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Smaguma centrs

Apskatīsim, kā šis elements tiek noteikts konkrētai ģeometriskai figūrai. Lai to izdarītu, ir nepieciešams paplašināt pamatojumu pretējās puses. Ko tas nozīmē? Jums jāpievieno apakšējā pamatne augšējai pamatnei - jebkurā virzienā, piemēram, pa labi. Un apakšējo pagarinām par augšējās garumu pa kreisi. Tālāk mēs savienojam tos pa diagonāli. Šī segmenta krustpunkts ar figūras viduslīniju ir trapeces smaguma centrs.

Ierakstītas un norobežotas trapeces

Uzskaitīsim šādu figūru iezīmes:

1. Trapecveida formu var ierakstīt aplī tikai tad, ja tā ir vienādsānu.

2. Trapecveida formu var aprakstīt ap apli, ja to pamatu garumu summa ir vienāda ar malu garumu summu.

Apļa sekas:

1. Aprakstītās trapeces augstums vienmēr ir vienāds ar diviem rādiusiem.

2. Aprakstītās trapeces malu novēro no apļa centra taisnā leņķī.

Pirmais secinājums ir acīmredzams, bet, lai pierādītu otro, ir jānosaka, ka SOD leņķis ir pareizs, kas patiesībā arī nav grūti. Bet zināšanas par šo īpašumu ļaus jums izmantot taisnleņķa trīsstūri, risinot problēmas.

Tagad precizēsim šīs sekas vienādsānu trapecei, kas ierakstīta aplī. Mēs atklājam, ka augstums ir attēla pamatu ģeometriskais vidējais: H=2R=√(BS*AD). Praktizējot trapecveida uzdevumu risināšanas pamattehniku ​​(divu augstumu zīmēšanas principu), studentam jāatrisina sekojošs uzdevums. Mēs pieņemam, ka BT ir vienādsānu figūras ABSD augstums. Ir nepieciešams atrast segmentus AT un TD. Izmantojot iepriekš aprakstīto formulu, to izdarīt nebūs grūti.

Tagad izdomāsim, kā noteikt apļa rādiusu, izmantojot ierobežotās trapeces laukumu. Mēs pazeminām augstumu no virsotnes B līdz pamatnei AD. Tā kā aplis ir ierakstīts trapecē, tad BS+AD = 2AB vai AB = (BS+AD)/2. No trijstūra ABN atrodam sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Mēs iegūstam PABSD = (BS+BP)*R, no tā izriet, ka R = PABSD/(BS+BP).

Visas formulas trapeces viduslīnijai

Tagad ir pienācis laiks pāriet uz šīs ģeometriskās figūras pēdējo elementu. Izdomāsim, ar ko ir vienāda trapeces (M) vidējā līnija:

1. Caur pamatnēm: M = (A+B)/2.

2. Caur augstumu, pamatni un stūriem:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Caur augstumu, diagonāles un leņķi starp tām. Piemēram, D1 un D2 ir trapeces diagonāles; α, β - leņķi starp tiem:

M = D1*D2*sinα/2N = D1*D2*sinβ/2N.

4. Caurlaides laukums un augstums: M = P/N.