Funkcia sa nazýva párna (nepárna), ak je akákoľvek a rovnosť

.

Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi
.

Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa pôvodu.

Príklad 6.2. Zistite, či je funkcia párna alebo nepárna

1)
; 2)
; 3)
.

Riešenie.

1) Funkcia je definovaná kedy
. nájdeme
.

Tie.
. To znamená, že táto funkcia je párna.

2) Funkcia je definovaná pre

Tie.
. Táto funkcia je teda zvláštna.

3) funkcia je definovaná pre , t.j. Pre

,
. Preto funkcia nie je ani párna, ani nepárna. Nazvime to funkcia všeobecného tvaru.

3. Štúdium funkcie pre monotónnosť.

Funkcia
sa nazýva zvyšovanie (klesanie) v určitom intervale, ak v tomto intervale každý väčšiu hodnotu argument zodpovedá väčšej (menšej) hodnote funkcie.

Funkcie rastúce (klesajúce) v určitom intervale sa nazývajú monotónne.

Ak funkcia
diferencovateľné na intervale
a má kladnú (negatívnu) deriváciu
, potom funkciu
sa v tomto intervale zvyšuje (klesá).

Príklad 6.3. Nájdite intervaly monotónnosti funkcií

1)
; 3)
.

Riešenie.

1) Táto funkcia je definovaná na celom číselnom rade. Poďme nájsť derivát.

Derivácia sa rovná nule, ak
A
. Definičnou doménou je číselná os delená bodkami
,
pre intervaly. Určme znamienko derivácie v každom intervale.

V intervale
derivácia je záporná, funkcia na tomto intervale klesá.

V intervale
derivácia je kladná, preto sa funkcia v tomto intervale zvyšuje.

2) Táto funkcia je definovaná, ak
alebo

.

V každom intervale určíme znamienko kvadratického trinomu.

Teda doména definície funkcie

Poďme nájsť derivát
,
, Ak
, t.j.
, Ale
. Určme znamienko derivácie v intervaloch
.

V intervale
derivácia je záporná, preto funkcia na intervale klesá
. V intervale
derivácia je kladná, funkcia sa v intervale zvyšuje
.

4. Štúdium funkcie na extréme.

Bodka
nazývaný maximálny (minimálny) bod funkcie
, ak existuje takéto okolie bodu že pre všetkých
z tohto susedstva platí nerovnosť

.

Maximálne a minimálne body funkcie sa nazývajú extrémne body.

Ak funkcia
v bode má extrém, potom sa derivácia funkcie v tomto bode rovná nule alebo neexistuje (nevyhnutná podmienka existencie extrému).

Body, v ktorých je derivácia nulová alebo neexistuje, sa nazývajú kritické.

5. Dostatočné podmienky pre existenciu extrému.

Pravidlo 1. Ak pri prechode (zľava doprava) cez kritický bod derivát
zmení znamienko z „+“ na „–“, potom v bode funkciu
má maximum; ak od „–“ po „+“, potom minimum; Ak
nezmení znamienko, potom neexistuje extrém.

Pravidlo 2. Nech v bode
prvá derivácia funkcie
rovná nule
a druhá derivácia existuje a je iná ako nula. Ak
, To – maximálny bod, ak
, To – minimálny bod funkcie.

Príklad 6.4. Preskúmajte maximálne a minimálne funkcie:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Riešenie.

1) Funkcia je definovaná a spojitá na intervale
.

Poďme nájsť derivát
a vyriešiť rovnicu
, t.j.
.Odtiaľ
– kritických bodov.

Určme znamienko derivácie v intervaloch ,
.

Pri prechode cez body
A
derivácia mení znamienko z „-“ na „+“, preto podľa pravidla 1
- minimálny počet bodov.

Pri prechode cez bod
derivácia zmení znamienko z „+“ na „–“, takže
- maximálny bod.

,
.

2) Funkcia je definovaná a spojitá v intervale
. Poďme nájsť derivát
.

Po vyriešení rovnice
, nájdeme
A
– kritické body. Ak je menovateľ
, t.j.
, potom derivát neexistuje. takže,
– tretí kritický bod. Určme znamienko derivácie v intervaloch.

Preto má funkcia v bode minimum
, maximálne v bodoch
A
.

3) Funkcia je definovaná a spojitá, ak
, t.j. pri
.

Poďme nájsť derivát

.

Poďme nájsť kritické body:

Okolie bodov
nepatria do oblasti definície, preto nie sú extrémy. Poďme sa teda pozrieť na kritické body
A
.

4) Funkcia je definovaná a spojitá na intervale
. Použime pravidlo 2. Nájdite deriváciu
.

Poďme nájsť kritické body:

Poďme nájsť druhú deriváciu
a určiť jej znamienko v bodoch

V bodoch
funkcia má minimum.

V bodoch
funkcia má max.

Ako vložiť matematické vzorce na stránku?

Ak niekedy potrebujete pridať jeden alebo dva matematické vzorce na webovú stránku, najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je popísaný v článku: matematické vzorce sa na stránku jednoducho vkladajú vo forme obrázkov, ktoré automaticky generuje Wolfram Alpha. . Okrem jednoduchosti aj toto univerzálna metóda pomôže zlepšiť viditeľnosť stránky v vyhľadávače. Funguje to už dlho (a myslím si, že bude fungovať navždy), ale je morálne zastarané.

Ak na svojej stránke pravidelne používate matematické vzorce, potom vám odporúčam použiť MathJax – špeciálnu knižnicu JavaScript, ktorá zobrazuje matematický zápis vo webových prehliadačoch pomocou značiek MathML, LaTeX alebo ASCIIMathML.

Existujú dva spôsoby, ako začať používať MathJax: (1) pomocou jednoduchého kódu môžete rýchlo pripojiť skript MathJax k vašej webovej stránke, ktorý sa automaticky načíta zo vzdialeného servera v správnom čase (zoznam serverov); (2) stiahnite si skript MathJax zo vzdialeného servera na váš server a pripojte ho ku všetkým stránkam vášho webu. Druhý spôsob – zložitejší a časovo náročnejší – zrýchli načítavanie stránok vášho webu a ak sa materský server MathJax z nejakého dôvodu stane dočasne nedostupným, váš vlastný web to nijako neovplyvní. Napriek týmto výhodám som zvolil prvý spôsob, keďže je jednoduchší, rýchlejší a nevyžaduje technické zručnosti. Nasledujte môj príklad a už za 5 minút budete môcť na svojej stránke využívať všetky funkcie MathJax.

Skript knižnice MathJax môžete pripojiť zo vzdialeného servera pomocou dvoch možností kódu prevzatých z hlavnej webovej stránky MathJax alebo na stránke dokumentácie:

Jednu z týchto možností kódu je potrebné skopírovať a vložiť do kódu vašej webovej stránky, najlepšie medzi značky alebo bezprostredne za značku. Podľa prvej možnosti sa MathJax načítava rýchlejšie a menej spomaľuje stránku. Ale druhá možnosť automaticky monitoruje a načítava najnovšie verzie MathJax. Ak vložíte prvý kód, bude potrebné ho pravidelne aktualizovať. Ak vložíte druhý kód, stránky sa budú načítavať pomalšie, ale nebudete musieť neustále sledovať aktualizácie MathJax.

Najjednoduchší spôsob pripojenia MathJax je v Blogger alebo WordPress: na ovládacom paneli lokality pridajte miniaplikáciu určenú na vkladanie kódu JavaScript tretej strany, skopírujte do nej prvú alebo druhú verziu vyššie uvedeného kódu na stiahnutie a umiestnite miniaplikáciu bližšie. na začiatok šablóny (mimochodom, nie je to vôbec potrebné, pretože skript MathJax sa načítava asynchrónne). To je všetko. Teraz sa naučte syntax značiek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a ste pripravení vložiť matematické vzorce do webových stránok vašej lokality.

Akýkoľvek fraktál je skonštruovaný podľa určité pravidlo, ktorý sa postupne aplikuje neobmedzený počet krát. Každý takýto čas sa nazýva iterácia.

Iteračný algoritmus na zostavenie Mengerovej špongie je celkom jednoduchý: pôvodná kocka so stranou 1 je rozdelená rovinami rovnobežnými s jej plochami na 27 rovnakých kociek. Odstráni sa z nej jedna centrálna kocka a 6 kociek, ktoré k nej priliehajú pozdĺž plôch. Výsledkom je sada pozostávajúca zo zvyšných 20 menších kociek. Ak urobíme to isté s každou z týchto kociek, dostaneme súpravu pozostávajúcu zo 400 menších kociek. Pokračujúc v tomto procese donekonečna, dostaneme Mengerovu špongiu.

Závislosť premennej y od premennej x, v ktorej každá hodnota x zodpovedá jedinej hodnote y, sa nazýva funkcia. Na označenie použite označenie y=f(x). Každá funkcia má množstvo základných vlastností, ako je monotónnosť, parita, periodicita a iné.

Pozrite sa bližšie na vlastnosť parity.

Funkcia y=f(x) sa volá aj vtedy, ak spĺňa nasledujúce dve podmienky:

2. Hodnota funkcie v bode x, patriaca do definičného oboru funkcie, sa musí rovnať hodnote funkcie v bode -x. To znamená, že pre každý bod x musí byť splnená nasledujúca rovnosť z oblasti definície funkcie: f(x) = f(-x).

Graf párnej funkcie

Ak nakreslíte graf párnej funkcie, bude symetrický okolo osi Oy.

Napríklad funkcia y=x^2 je párna. Poďme si to overiť. Oblasť definície je celá číselná os, čo znamená, že je symetrická okolo bodu O.

Zoberme si ľubovoľné x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Preto f(x) = f(-x). Obidve podmienky sú teda splnené, čo znamená, že funkcia je párna. Nižšie je uvedený graf funkcie y=x^2.

Obrázok ukazuje, že graf je symetrický okolo osi Oy.

Graf nepárnej funkcie

Funkcia y=f(x) sa nazýva nepárna, ak spĺňa tieto dve podmienky:

1. Definičný obor danej funkcie musí byť symetrický vzhľadom na bod O. To znamená, že ak niektorý bod a patrí do definičného oboru funkcie, potom do definičného oboru musí patriť aj príslušný bod -a. danej funkcie.

2. Pre každý bod x musí byť splnená nasledujúca rovnosť z oblasti definície funkcie: f(x) = -f(x).

Graf nepárnej funkcie je symetrický vzhľadom na bod O - počiatok súradníc. Napríklad funkcia y=x^3 je nepárna. Poďme si to overiť. Oblasť definície je celá číselná os, čo znamená, že je symetrická okolo bodu O.

Zoberme si ľubovoľné x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Preto f(x) = -f(x). Obidve podmienky sú teda splnené, čo znamená, že funkcia je nepárna. Nižšie je uvedený graf funkcie y=x^3.

Obrázok jasne ukazuje, že nepárna funkcia y=x^3 je symetrická podľa pôvodu.

Späť dopredu

Pozor! Ukážky snímok slúžia len na informačné účely a nemusia predstavovať všetky funkcie prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.

Ciele:

• formovať pojem parity a nepárnosti funkcie, učiť schopnosť určovať a používať tieto vlastnosti, kedy funkčný výskum, sprisahanie;
• rozvíjať tvorivú činnosť žiakov, logické myslenie, schopnosť porovnávať, zovšeobecňovať;
• pestovať tvrdú prácu a matematickú kultúru; rozvíjať komunikačné schopnosti .

Vybavenie: multimediálna inštalácia, interaktívna tabuľa, písomky.

Formy práce: frontálna a skupinová s prvkami pátracích a výskumných činností.

Zdroje informácií:

1. Algebra 9. trieda A.G. Mordkovich. Učebnica.
2. Algebra 9. ročník A.G. Mordkovich. Kniha problémov.
3. Algebra 9. ročník. Úlohy na učenie a rozvoj študentov. Belenková E.Yu. Lebedintseva E.A.

POČAS VYUČOVANIA

1. Organizačný moment

Stanovenie cieľov a cieľov pre lekciu.

2. Kontrola domácich úloh

č. 10.17 (zošit úloh 9. ročníka. A.G. Mordkovich).

A) pri = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 at X ~ 0,4
4. f(X) >0 at X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funkcia sa zvyšuje s X € [– 2; + ∞)
6. Funkcia je obmedzená zdola.
7. pri naim = – 3, pri naib neexistuje
8. Funkcia je spojitá.

(Použili ste algoritmus na skúmanie funkcií?) Šmykľavka.

2. Pozrime sa na tabuľku, na ktorú ste boli požiadaní zo snímky.

Vyplňte tabuľku
	doména	Funkčné nuly	Intervaly stálosti znamienka		Súradnice priesečníkov grafu s Oy
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Aktualizácia vedomostí

– Funkcie sú dané.
– Zadajte rozsah definície pre každú funkciu.
– Porovnajte hodnotu každej funkcie pre každý pár hodnôt argumentov: 1 a – 1; 2 a – 2.
– Pre ktorú z týchto funkcií v oblasti definície platí rovnosť f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (získané údaje zapíšte do tabuľky) Posuňte

		f(1) a f(– 1)	f(2) a f(– 2)	grafika	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		a nie sú definované

4. Nový materiál

– Vykonávanie táto práca Chlapci, identifikovali sme ešte jednu vlastnosť funkcie, ktorú nepoznáte, no nie je o nič menej dôležitá ako ostatné – ide o rovnomernosť a nepárnosť funkcie. Zapíšte si tému hodiny: „Párne a nepárne funkcie“, našou úlohou je naučiť sa určovať párnosť a nepárnosť funkcie, zistiť význam tejto vlastnosti pri štúdiu funkcií a vykresľovaní grafov.
Takže nájdime definície v učebnici a čítajme (s. 110) . Šmykľavka

Def. 1 Funkcia pri = f (X), definovaný na množine X sa nazýva dokonca, ak má nejakú hodnotu XЄ X sa vykoná rovnosť f(–x)= f(x). Uveďte príklady.

Def. 2 Funkcia y = f(x), definovaný na množine X sa nazýva zvláštny, ak má nejakú hodnotu XЄ X platí rovnosť f(–х)= –f(х). Uveďte príklady.

Kde sme sa stretli s pojmami „párne“ a „nepárne“?
Čo myslíte, ktorá z týchto funkcií bude párna? prečo? Ktoré sú zvláštne? prečo?
Pre akúkoľvek funkciu formulára pri= x n, Kde n– celé číslo, možno tvrdiť, že funkcia je nepárna kedy n– nepárne a funkcia je párna, keď n– dokonca.
– Zobrazenie funkcií pri= a pri = 2X– 3 nie sú párne ani nepárne, pretože nie sú splnené f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Štúdium toho, či je funkcia párna alebo nepárna, sa nazýva štúdium parity funkcie. Šmykľavka

V definíciách 1 a 2 sme hovorili o hodnotách funkcie na x a – x, pričom sa predpokladá, že funkcia je definovaná aj na hodnote X, a na – X.

Def 3. Ak číselná množina spolu s každým jej prvkom x obsahuje aj opačný prvok –x, potom množina X nazývaná symetrická množina.

Príklady:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) sú symetrické množiny a , [–5;4] sú asymetrické.

– Majú párne funkcie definičný obor, ktorý je symetrickou množinou? Tie zvláštne?
– Ak D( f) je asymetrická množina, aká je potom funkcia?
– Ak teda funkcia pri = f(X) – párne alebo nepárne, potom je jeho doména definície D( f) je symetrická množina. Platí opačné tvrdenie: ak je definičný obor funkcie symetrická množina, je párna alebo nepárna?
– To znamená, že prítomnosť symetrickej množiny definičnej oblasti je nevyhnutnou podmienkou, nie však dostatočnou.
– Ako teda skúmate funkciu na paritu? Skúsme vytvoriť algoritmus.

Šmykľavka

Algoritmus na štúdium funkcie pre paritu

1. Určte, či je definičný obor funkcie symetrický. Ak nie, funkcia nie je ani párna, ani nepárna. Ak áno, prejdite na krok 2 algoritmu.

2. Napíšte výraz pre f(–X).

3. Porovnaj f(–X).A f(X):

• Ak f(–X).= f(X), potom je funkcia párna;
• Ak f(–X).= – f(X), potom je funkcia nepárna;
• Ak f(–X) ≠ f(X) A f(–X) ≠ –f(X), potom funkcia nie je ani párna, ani nepárna.

Príklady:

Preskúmajte paritu funkcie a). pri= x 5+; b) pri= ; V) pri= .

Riešenie.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), symetrická množina.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => funkcia h(x) = x 5 + nepárne.

b) y =,

pri = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asymetrická množina, čo znamená, že funkcia nie je ani párna, ani nepárna.

V) f(X) = , y = f (x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Možnosť 2

1. Je daná množina symetrická: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y = x (5 – x 2). 2. Preskúmajte funkciu parity:

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. Na obr. bol vytvorený graf pri = f(X), pre všetkých X, splnenie podmienky X? 0.
Graf funkcie pri = f(X), Ak pri = f(X) je párna funkcia.

3. Na obr. bol vytvorený graf pri = f(X), pre všetky x spĺňajúce podmienku x? 0.
Graf funkcie pri = f(X), Ak pri = f(X) je zvláštna funkcia.

Vzájomná recenzia na snímke.

6. Domáca úloha: č.11.11, 11.21, 11.22;

Dôkaz geometrického významu vlastnosti parity.

*** (Pridelenie možnosti Jednotnej štátnej skúšky).

1. Na celej číselnej osi je definovaná nepárna funkcia y = f(x). Pre akúkoľvek nezápornú hodnotu premennej x sa hodnota tejto funkcie zhoduje s hodnotou funkcie g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Nájdite hodnotu funkcie h( X) = at X = 3.

7. Zhrnutie

Štúdia funkcie.

1) D(y) – Definičný obor: množina všetkých týchto hodnôt premennej x. pre ktoré dávajú zmysel algebraické výrazy f(x) a g(x).

Ak je funkcia daná vzorcom, potom oblasť definície pozostáva zo všetkých hodnôt nezávislej premennej, pre ktoré má vzorec zmysel.

2) Vlastnosti funkcie: párne/nepárne, periodicita:

Funkcie, ktorých grafy sú symetrické vzhľadom na zmeny znamienka argumentu, sa nazývajú nepárne a párne.

Nepárna funkcia je funkcia, ktorá pri zmene znamienka nezávislej premennej (symetricky voči stredu súradníc) mení svoju hodnotu na opačnú.

Párna funkcia je funkcia, ktorá nemení svoju hodnotu pri zmene znamienka nezávislej premennej (symetricky podľa ordináty).

Ani párna, ani nepárna funkcia (funkcia všeobecný pohľad) je funkcia, ktorá nemá symetriu. Táto kategória obsahuje funkcie, ktoré nespadajú pod predchádzajúce 2 kategórie.

Volajú sa funkcie, ktoré nepatria do žiadnej z vyššie uvedených kategórií ani párne, ani nepárne(alebo všeobecné funkcie).

Nepárne funkcie

Nepárna mocnina kde je ľubovoľné celé číslo.

Dokonca aj funkcie

Dokonca aj mocnina kde je ľubovoľné celé číslo.

Periodická funkcia je funkcia, ktorá opakuje svoje hodnoty po určitom pravidelnom intervale argumentov, to znamená, že nemení svoju hodnotu, keď k argumentu pridáva nejaké pevné nenulové číslo (periódu funkcie) v celej doméne definícia.

3) Nuly (korene) funkcie sú body, kde sa stáva nulou.

Nájdenie priesečníka grafu s osou Oj. Aby ste to dosiahli, musíte vypočítať hodnotu f(0). Nájdite tiež priesečníky grafu s osou Vôl, prečo nájsť korene rovnice f(X) = 0 (alebo sa uistite, že neexistujú žiadne korene).

Body, v ktorých graf pretína os, sa nazývajú nuly funkcie. Ak chcete nájsť nuly funkcie, musíte vyriešiť rovnicu, to znamená nájsť tie hodnoty „x“, pri ktorých sa funkcia stáva nulou.

4) Intervaly stálosti znakov, znaky v nich.

Intervaly, kde si funkcia f(x) zachováva svoje znamienko.

Interval konštantného znamienka je interval, v ktorom je funkcia kladná alebo záporná.

NAD osou x.

POD osou.

5) Spojitosť (body diskontinuity, charakter diskontinuity, asymptoty).

Spojitá funkcia je funkcia bez „skokov“, teda taká, v ktorej malé zmeny v argumente vedú k malým zmenám v hodnote funkcie.

Odnímateľné body zlomu

Ak je limita funkcie existuje, ale funkcia nie je v tomto bode definovaná alebo sa limit nezhoduje s hodnotou funkcie v tomto bode:

,

potom sa bod nazýva bod zlomu funkcie (v komplexnej analýze odnímateľný singulárny bod).

Ak funkciu „opravíme“ v bode odstrániteľnej diskontinuity a vložíme , potom dostaneme funkciu, ktorá je v danom bode spojitá. Táto operácia s funkciou sa volá rozšírenie funkcie na nepretržitú alebo predefinovanie funkcie kontinuitou, čo odôvodňuje názov bodu ako bod jednorazové prasknutie.

Body diskontinuity prvého a druhého druhu

Ak má funkcia v danom bode diskontinuitu (to znamená, že limita funkcie v danom bode chýba alebo sa nezhoduje s hodnotou funkcie v danom bode), potom pre numerické funkcie existujú dve možné možnosti: spojené s existenciou numerických funkcií jednostranné limity:

ak obe jednostranné limity existujú a sú konečné, potom sa takýto bod nazýva bodom diskontinuity prvého druhu. Odnímateľné body diskontinuity sú body diskontinuity prvého druhu;

ak aspoň jedna z jednostranných limitov neexistuje alebo nie je konečnou hodnotou, potom sa takýto bod nazýva bodom nespojitosti druhého druhu.

asymptota - rovno, ktorá má vlastnosť, že vzdialenosť od bodu na krivke k tomuto rovno má tendenciu k nule, keď sa bod vzďaľuje pozdĺž vetvy do nekonečna.

Vertikálne

Vertikálna asymptota - limitná čiara .

Spravidla pri určovaní vertikálnej asymptoty nehľadajú jednu limitu, ale dve jednostranné (ľavú a pravú). Toto sa robí s cieľom určiť, ako sa funkcia správa, keď sa približuje k vertikálnej asymptote z rôznych smerov. Napríklad:

Horizontálne

Horizontálna asymptota - rovno druhov, ktoré podliehajú existencii limit

.

šikmé

Šikmá asymptota - rovno druhov, ktoré podliehajú existencii limity

Poznámka: funkcia nemôže mať viac ako dve šikmé (horizontálne) asymptoty.

Poznámka: ak aspoň jedna z dvoch limitov uvedených vyššie neexistuje (alebo sa rovná ), potom šikmá asymptota v (alebo ) neexistuje.

ak v položke 2.), potom , a limit sa zistí podľa vzorca horizontálna asymptota, .

6) Hľadanie intervalov monotónnosti. Nájdite intervaly monotónnosti funkcie f(X) (teda intervaly zvyšovania a znižovania). Robí sa to skúmaním znamienka derivácie f(X). Ak to chcete urobiť, nájdite derivát f(X) a vyriešte nerovnosť f(X)0. Na intervaloch, kde je táto nerovnosť splnená, funkcia f(X) zvyšuje. Kde platí obrátená nerovnosť f(X)0, funkcia f(X) klesá.

Nájdenie lokálneho extrému. Po zistení intervalov monotónnosti môžeme okamžite určiť miestne extrémy, kde je nárast nahradený poklesom, nachádzajú sa lokálne maximá a kde je pokles nahradený nárastom, nachádzajú sa lokálne minimá. Vypočítajte hodnotu funkcie v týchto bodoch. Ak má funkcia kritické body, ktoré nie sú lokálnymi extrémnymi bodmi, potom je užitočné vypočítať hodnotu funkcie aj v týchto bodoch.

Nájdenie najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie y = f(x) na segmente (pokračovanie)

1. Nájdite deriváciu funkcie: f(X). 2. Nájdite body, v ktorých sa derivácia rovná nule: f(X)=0X 1, X 2 ,... 3. Určte vlastníctvo bodov X 1 ,X 2 , … segment [ a; b]: nech X 1a;b, A X 2a;b .