Nájdite definíciu každej matice 2x2. Každý prvok akejkoľvek matice, vrátane transponovanej, je spojený so zodpovedajúcou maticou 2x2. Ak chcete nájsť maticu 2x2, ktorá zodpovedá konkrétnemu prvku, prečiarknite riadok a stĺpec, v ktorom sa tento prvok nachádza, to znamená, že musíte prečiarknuť päť prvkov pôvodnej matice 3x3. Štyri prvky, ktoré sú prvkami zodpovedajúcej matice 2x2, zostanú neprečiarknuté.

• Napríklad, ak chcete nájsť maticu 2x2 pre prvok, ktorý sa nachádza v priesečníku druhého riadka a prvého stĺpca, preškrtnite päť prvkov, ktoré sú v druhom riadku a prvom stĺpci. Zvyšné štyri prvky sú prvkami zodpovedajúcej matice 2x2.
• Nájdite determinant každej matice 2x2. Za týmto účelom odpočítajte súčin prvkov vedľajšej uhlopriečky od súčinu prvkov hlavnej uhlopriečky (pozri obrázok).
• Podrobné informácie o maticách 2x2 zodpovedajúcich určitým prvkom matice 3x3 možno nájsť na internete.

Vytvorte maticu kofaktorov. Zaznamenajte výsledky získané skôr vo forme novej matice kofaktorov. Za týmto účelom napíšte nájdený determinant každej matice 2x2, kde sa nachádzal zodpovedajúci prvok matice 3x3. Napríklad, ak je pre prvok (1,1) uvažovaná matica 2x2, zapíšte si jeho determinant na pozíciu (1,1). Potom zmeňte znaky zodpovedajúcich prvkov podľa určitého vzoru, ktorý je znázornený na obrázku.

• Schéma zmeny znamienka: znamienko prvého prvku prvého riadku sa nemení; znamienko druhého prvku prvého riadku je obrátené; znamienko tretieho prvku prvého riadku sa nemení a tak ďalej riadok po riadku. Upozorňujeme, že znamienka „+“ a „-“, ktoré sú zobrazené na obrázku (pozri obrázok), neznamenajú, že príslušný prvok bude kladný alebo záporný. V tomto prípade znamienko „+“ znamená, že znamienko prvku sa nemení, a znamienko „-“ znamená, že sa znamienko prvku zmenilo.
• Podrobné informácie o kofaktorových matriciach nájdete na internete.
• Takto nájdete súvisiacu maticu pôvodnej matice. Niekedy sa nazýva komplexná konjugovaná matica. Takáto matica sa označuje ako adj(M).

Vydeľte každý prvok adjungovanej matice determinantom. Determinant matice M bol vypočítaný na samom začiatku, aby sa to overilo inverzná matica existuje. Teraz vydeľte každý prvok pripojenej matice týmto determinantom. Zaznamenajte výsledok každej operácie delenia tam, kde sa nachádza príslušný prvok. Takže nájdete maticu, inverznú k originálu.

• Determinant matice znázornenej na obrázku je 1. Tu je teda pridružená matica inverzná matica (pretože delenie ľubovoľného čísla číslom 1 ho nezmení).
• V niektorých zdrojoch je operácia delenia nahradená operáciou násobenia 1/det(M). V tomto prípade sa konečný výsledok nemení.

Zapíšte inverznú maticu. Prvky nachádzajúce sa v pravej polovici veľkej matice zapíšte ako samostatnú maticu, ktorá je inverznou maticou.

Zadajte pôvodnú maticu do pamäte kalkulačky. Ak to chcete urobiť, kliknite na tlačidlo Matrix, ak je k dispozícii. V prípade kalkulačky Texas Instruments možno budete musieť stlačiť 2. tlačidlo a tlačidlo Matrix.

Vyberte ponuku Upraviť. Urobte to pomocou tlačidiel so šípkami alebo príslušného funkčného tlačidla umiestneného v hornej časti klávesnice kalkulačky (umiestnenie tlačidla závisí od modelu kalkulačky).

Zadajte označenie matrice. Väčšina grafických kalkulačiek môže pracovať s 3-10 maticami, ktoré možno označiť písmená A-J. Ako všeobecné pravidlo stačí vybrať [A] na označenie pôvodnej matice. Potom stlačte tlačidlo Enter.

Zadajte veľkosť matice. Tento článok hovorí o matriciach 3x3. Ale grafické kalkulačky môžu pracovať s maticami veľké veľkosti. Zadajte počet riadkov, stlačte tlačidlo Enter, potom zadajte počet stĺpcov a znova stlačte tlačidlo Enter.

Zadajte každý prvok matice. Na obrazovke kalkulačky sa zobrazí matica. Ak už bola matica zadaná do kalkulačky, zobrazí sa na obrazovke. Kurzor zvýrazní prvý prvok matice. Zadajte hodnotu prvého prvku a stlačte Enter. Kurzor sa automaticky presunie na ďalší prvok matice.

Definícia 1: Matica sa nazýva degenerovaná, ak je jej determinant nula.

Definícia 2: Matica sa nazýva nesingulárna, ak sa jej determinant nerovná nule.

Matica "A" sa nazýva inverzná matica, ak je splnená podmienka A*A-1 = A-1 *A = E (matica identity).

Štvorcová matica je invertibilná iba vtedy, ak nie je jednotná.

Schéma na výpočet inverznej matice:

1) Vypočítajte determinant matice "A" ak ∆ A = 0, potom inverzná matica neexistuje.

2) Nájdite všetky algebraické doplnky matice "A".

3) Zostavte maticu algebraických sčítaní (Aij)

4) Transponujte maticu algebraických doplnkov (Aij )T

5) Vynásobte transponovanú maticu prevrátenou hodnotou determinantu tejto matice.

6) Spustite kontrolu:

Na prvý pohľad sa môže zdať, že je to ťažké, ale v skutočnosti je všetko veľmi jednoduché. Všetky riešenia sú založené na jednoduchých aritmetických operáciách, hlavnou vecou pri riešení je nezamieňať sa so znamienkami "-" a "+" a nestratiť ich.

A teraz poďme spolu s vami vyriešiť praktickú úlohu výpočtom inverznej matice.

Úloha: nájdite inverznú maticu "A", zobrazenú na obrázku nižšie:

1. Prvá vec, ktorú musíte urobiť, je nájsť determinant matice "A":

Vysvetlenie:

Náš determinant sme zjednodušili použitím jeho hlavných funkcií. Najprv sme do 2. a 3. riadku pridali prvky prvého radu, vynásobené jedným číslom.

Po druhé, zmenili sme 2. a 3. stĺpec determinantu a podľa jeho vlastností sme zmenili znamienko pred ním.

Po tretie, vyňali sme spoločný faktor (-1) druhého radu, čím sme opäť zmenili znamienko a stalo sa kladným. Rovnakým spôsobom ako na začiatku príkladu sme zjednodušili aj 3. riadok.

Máme trojuholníkový determinant, v ktorom sa prvky pod uhlopriečkou rovnajú nule a podľa vlastnosti 7 sa rovnajú súčinu prvkov uhlopriečky. V dôsledku toho sme dostali ∆ A = 26, preto existuje inverzná matica.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11

A13 = 1 x 1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1 x 2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. Ďalším krokom je zostavenie matice z výsledných doplnkov:

5. Túto maticu vynásobíme prevrátenou hodnotou determinantu, teda 1/26:

6. Teraz už len musíme skontrolovať:

Počas overovania sme dostali maticu identity, takže rozhodnutie bolo urobené absolútne správne.

2 spôsob výpočtu inverznej matice.

1. Elementárna transformácia matíc

2. Inverzná matica cez elementárny prevodník.

Transformácia elementárnej matice zahŕňa:

1. Násobenie reťazca nenulovým číslom.

2. Pridanie do ľubovoľného riadku iného riadku, vynásobené číslom.

3. Výmena riadkov matice.

4. Aplikovaním reťazca elementárnych transformácií získame ďalšiu maticu.

A -1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A -1 )

2. A -1*A=E

Zvážte to praktický príklad s reálnymi číslami.

Cvičenie: Nájdite inverznú maticu.

Riešenie:

Skontrolujme to:

Malé vysvetlenie k riešeniu:

Najprv sme vymenili riadky 1 a 2 matice, potom sme prvý riadok vynásobili (-1).

Potom bol prvý riadok vynásobený (-2) a pridaný k druhému riadku matice. Potom sme 2. riadok vynásobili 1/4.

Záverečnou fázou transformácie bolo vynásobenie druhého radu 2 a sčítanie z prvého. Výsledkom je, že maticu identity máme vľavo, takže inverzná matica je matica vpravo.

Po preverení sme sa presvedčili o správnosti rozhodnutia.

Ako vidíte, výpočet inverznej matice je veľmi jednoduchý.

Na záver tejto prednášky by som sa chcel trochu venovať aj vlastnostiam takejto matrice.

Inverzná matica pre danú maticu je taká matica, vynásobením pôvodnej matice, ktorá dáva maticu identity: Povinnou a dostatočnou podmienkou pre prítomnosť inverznej matice je nerovnosť determinantu pôvodnej (ktorá zase znamená, že matica musí byť štvorcová). Ak sa determinant matice rovná nule, potom sa nazýva degenerovaná a takáto matica nemá inverznú hodnotu. IN vyššia matematika inverzné matice sú dôležité a používajú sa na riešenie množstva problémov. Napríklad na nájdenie inverznej matice je zostrojená maticová metóda na riešenie sústav rovníc. Naša servisná stránka to umožňuje vypočítajte inverznú maticu online dve metódy: Gauss-Jordanova metóda a použitie matice algebraických sčítaní. Prvý naznačuje veľké množstvo elementárne transformácie vo vnútri matice, druhá - výpočet determinantu a algebraické sčítania všetkých prvkov. Na výpočet determinantu matice online môžete využiť našu ďalšiu službu - Výpočet determinantu matice online

Nájdite inverznú maticu na webe

webovej stránky umožňuje nájsť inverzná matica online rýchlo a zadarmo. Na stránke naša služba vykoná výpočty a výsledok sa zobrazí s podrobným riešením na nájdenie inverzná matica. Server vždy dáva len presnú a správnu odpoveď. V úlohách podľa definície inverzná matica online, je potrebné, aby determinant matice bola iná ako nula, inak webovej stránky bude hlásiť nemožnosť nájsť inverznú maticu z dôvodu, že determinant pôvodnej matice je rovný nule. Hľadanie úlohy inverzná matica nachádza v mnohých odvetviach matematiky, je jedným z najzákladnejších pojmov algebry a matematickým nástrojom v aplikovaných problémoch. Nezávislý definícia inverznej matice vyžaduje značné úsilie, veľa času, výpočtov a veľkú starostlivosť, aby nedošlo k šmyku alebo malej chybe vo výpočtoch. Preto naša služba nájsť inverznú maticu online výrazne uľahčí vašu úlohu a stane sa nepostrádateľným nástrojom pri riešení matematických problémov. Aj keď ty nájsť inverznú maticu sami, odporúčame skontrolovať svoje riešenie na našom serveri. Zadajte svoju pôvodnú maticu na našej stránke Calculate Inverse Matrix Online a skontrolujte svoju odpoveď. Náš systém sa nikdy nemýli a nájde inverzná matica daný rozmer v režime online okamžite! Na strane webovej stránky v prvkoch sú povolené znaky matice, v tomto prípade inverzná matica online budú prezentované vo všeobecnej symbolickej forme.

Podobné ako inverzné v mnohých vlastnostiach.

Encyklopedický YouTube

1 / 5

✪ Ako nájsť inverznú maticu - bezbotvy

✪ Inverzná matica (2 spôsoby, ako nájsť)

✪ Inverzná matica #1

✪ 28.01.2015. Inverzná matica 3x3

✪ 27.01.2015. Inverzná matica 2x2

titulky

Vlastnosti inverznej matice

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Kde det (\displaystyle \ \det ) označuje determinant.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) pre dve štvorcové invertibilné matice A (\displaystyle A) A B (\displaystyle B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Kde (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) označuje transponovanú maticu.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) pre akýkoľvek koeficient k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \ E^(-1)=E).
• Ak je potrebné riešiť sústavu lineárnych rovníc , (b je nenulový vektor) kde x (\displaystyle x) je požadovaný vektor a ak A − 1 (\displaystyle A^(-1)) existuje teda x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). V opačnom prípade je buď rozmer priestoru riešenia väčší ako nula, alebo neexistujú žiadne.

Spôsoby, ako nájsť inverznú maticu

Ak je matica invertovateľná, potom na nájdenie inverznej matice môžete použiť jednu z nasledujúcich metód:

Presné (priame) metódy

Gauss-Jordanova metóda

Zoberme si dve matice: seba A a slobodný E. Prinesieme matricu A na maticu identity Gauss-Jordanovou metódou aplikovaním transformácií v riadkoch (môžete použiť aj transformácie v stĺpcoch, ale nie v kombinácii). Po použití každej operácie na prvú maticu aplikujte rovnakú operáciu na druhú. Keď je redukcia prvej matice na formu identity dokončená, druhá matica sa bude rovnať A -1.

Pri použití Gaussovej metódy bude prvá matica vynásobená zľava jednou z elementárnych matíc Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(transvekčná alebo diagonálna matica s jednotkami na hlavnej diagonále, okrem jednej polohy):

Druhá matica po použití všetkých operácií bude rovná Λ (\displaystyle \Lambda ), teda bude želaný. Zložitosť algoritmu - O(n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Použitie matice algebraických sčítaní

Matica Inverzná matica A (\displaystyle A), predstavujú vo forme

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

Kde adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- pripojená matica;

Zložitosť algoritmu závisí od zložitosti algoritmu na výpočet determinantu O det a rovná sa O(n²) O det .

Použitie rozkladu LU/LUP

Maticová rovnica A X = I n (\displaystyle AX=I_(n)) pre inverznú maticu X (\displaystyle X) možno vidieť ako kolekciu n (\displaystyle n) systémy formulára A x = b (\displaystyle Ax=b). Označiť i (\displaystyle i)-tý stĺpec matice X (\displaystyle X) cez X i (\displaystyle X_(i)); Potom A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),pretože i (\displaystyle i)-tý stĺpec matice I n (\displaystyle I_(n)) je jednotkový vektor e i (\displaystyle e_(i)). inými slovami, nájdenie inverznej matice sa zredukuje na riešenie n rovníc s rovnakou maticou a rôznymi pravými stranami. Po spustení expanzie LUP (čas O(n³)) každej z n rovníc trvá vyriešenie O(n²), takže táto časť práce zaberie aj čas O(n³).

Ak je matica A nesingulárna, môžeme pre ňu vypočítať rozklad LUP P A = L U (\displaystyle PA=LU). Nechaj P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Potom z vlastností inverznej matice môžeme napísať: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Ak túto rovnosť vynásobíme U a L, potom môžeme dostať dve rovnosti tvaru U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1)) A DL = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Prvou z týchto rovníc je systém n² lineárne rovnice Pre n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) z ktorých sú známe pravé strany (z vlastností trojuholníkových matíc). Druhým je tiež systém n² lineárnych rovníc pre n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) ktorých pravé strany sú známe (aj z vlastností trojuholníkových matíc). Spolu tvoria systém n² rovnosti. Pomocou týchto rovníc môžeme rekurzívne určiť všetkých n² prvkov matice D. Potom z rovnosti (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. dostaneme rovnosť A − 1 = DP (\displaystyle A^(-1)=DP).

V prípade použitia LU rozkladu nie je potrebná permutácia stĺpcov matice D, ale riešenie sa môže rozchádzať, aj keď je matica A nesingulárna.

Zložitosť algoritmu je O(n³).

Iteračné metódy

Schultzovými metódami

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\súčet _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\koniec (prípady)))

Odhad chyby

Výber počiatočnej aproximácie

Problém výberu počiatočnej aproximácie v procesoch iteračnej maticovej inverzie, o ktorých sa tu uvažuje, nám neumožňuje považovať ich za nezávislé univerzálne metódy, ktoré konkurujú priamym inverzným metódam založeným napríklad na LU rozklade matíc. Existuje niekoľko odporúčaní na výber U 0 (\displaystyle U_(0)), zabezpečenie splnenia podmienky ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (spektrálny polomer matice je menší ako jednota), čo je nevyhnutné a dostatočné na konvergenciu procesu. V tomto prípade sa však najprv vyžaduje poznať zhora odhad pre spektrum invertibilnej matice A alebo matice A A T (\displaystyle AA^(T))(konkrétne, ak A je symetrická pozitívne definitná matica a ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), potom si môžete vziať U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Kde ; ak A je ľubovoľná nesingulárna matica a ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), potom predpokladajme U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), kde tiež α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); Samozrejme, situácia sa dá zjednodušiť a s využitím toho ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), dať U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Po druhé, pri takejto špecifikácii počiatočnej matice to nie je zaručené ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) bude malý (možno aj ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)) a vysoká miera konvergencie nebude okamžite zrejmá.

Príklady

Matica 2x2

Inverzia matice 2x2 je možná len za podmienky, že a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).