V tomto videu budeme analyzovať celý súbor lineárnych rovníc, ktoré sa riešia pomocou rovnakého algoritmu - preto sa nazývajú najjednoduchšie.

Na začiatok definujme: čo je lineárna rovnica a ktorá z nich by sa mala nazývať najjednoduchšia?

Lineárna rovnica je taká, v ktorej existuje iba jedna premenná a iba v prvom stupni.

Najjednoduchšia rovnica znamená konštrukciu:

Všetky ostatné lineárne rovnice sú redukované na najjednoduchšie pomocou algoritmu:

1. Otvorené zátvorky, ak existujú;
2. Presuňte výrazy obsahujúce premennú na jednu stranu znamienka rovnosti a výrazy bez premennej na druhú;
3. Preneste podobné výrazy naľavo a napravo od znamienka rovnosti;
4. Výslednú rovnicu vydeľte koeficientom premennej $x$ .

Samozrejme, tento algoritmus nie vždy pomáha. Faktom je, že niekedy sa po všetkých týchto machináciách koeficient premennej $x$ rovná nule. V tomto prípade sú možné dve možnosti:

1. Rovnica nemá vôbec žiadne riešenia. Napríklad, keď dostanete niečo ako $0\cdot x=8$, t.j. vľavo je nula a vpravo je nenulové číslo. Vo videu nižšie sa pozrieme na niekoľko dôvodov, prečo je táto situácia možná.
2. Riešením sú všetky čísla. Jediný prípad, kedy je to možné, je, keď bola rovnica zredukovaná na konštrukciu $0\cdot x=0$. Je celkom logické, že bez ohľadu na to, aké $x$ dosadíme, stále to vyjde „nula sa rovná nule“, t.j. správna číselná rovnosť.

A teraz sa pozrime, ako to celé funguje na príklade reálnych problémov.

Príklady riešenia rovníc

Dnes sa zaoberáme lineárnymi rovnicami, a to len tými najjednoduchšími. Vo všeobecnosti lineárna rovnica znamená akúkoľvek rovnosť, ktorá obsahuje práve jednu premennú a ide len do prvého stupňa.

Takéto konštrukcie sú riešené približne rovnakým spôsobom:

1. Najprv musíte otvoriť zátvorky, ak nejaké existujú (ako v našom poslednom príklade);
2. Potom prineste podobné
3. Nakoniec izolujte premennú, t.j. všetko, čo je s premennou spojené – pojmy, v ktorých je obsiahnutá – sa prenesie na jednu stranu a všetko, čo zostane bez nej, sa prenesie na druhú stranu.

Potom spravidla musíte priniesť podobnú na každej strane výslednej rovnosti a potom zostáva len rozdeliť koeficientom v "x" a dostaneme konečnú odpoveď.

Teoreticky to vyzerá pekne a jednoducho, ale v praxi môžu aj skúsení stredoškoláci robiť útočné chyby v celkom jednoduchých lineárnych rovniciach. Zvyčajne sa chyby robia buď pri otváraní zátvoriek, alebo pri počítaní „plusov“ a „mínusov“.

Navyše sa stáva, že lineárna rovnica nemá vôbec žiadne riešenia, alebo tak, že riešením je celá číselná os, t.j. ľubovoľné číslo. Tieto jemnosti budeme analyzovať v dnešnej lekcii. Ale začneme, ako ste už pochopili, s väčšinou jednoduché úlohy.

Schéma riešenia jednoduchých lineárnych rovníc

Na začiatok mi dovoľte ešte raz napísať celú schému riešenia najjednoduchších lineárnych rovníc:

1. Ak existujú, rozbaľte zátvorky.
2. Samostatné premenné, t.j. všetko, čo obsahuje „x“, sa prenesie na jednu stranu a bez „x“ na druhú.
3. Uvádzame podobné pojmy.
4. Všetko vydelíme koeficientom pri „x“.

Samozrejme, táto schéma nie vždy funguje, má určité jemnosti a triky a teraz sa s nimi zoznámime.

Riešenie reálnych príkladov jednoduchých lineárnych rovníc

Úloha č.1

V prvom kroku sme povinní otvoriť zátvorky. Ale nie sú v tomto príklade, takže tento krok preskočíme. V druhom kroku musíme izolovať premenné. Poznámka: rozprávame sa len o jednotlivých komponentoch. Píšme:

Naľavo aj napravo uvádzame podobné výrazy, ale už to tu bolo urobené. Preto pristúpime k štvrtému kroku: rozdelenie faktorom:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Tu sme dostali odpoveď.

Úloha č. 2

V tejto úlohe môžeme pozorovať zátvorky, tak ich rozviňme:

Naľavo aj napravo vidíme približne rovnakú konštrukciu, ale konajme podľa algoritmu, t.j. sekvestračné premenné:

Tu sú niektoré ako:

Na akých koreňoch to funguje? Odpoveď: pre akékoľvek. Preto môžeme napísať, že $x$ je ľubovoľné číslo.

Úloha č. 3

Tretia lineárna rovnica je už zaujímavejšia:

\[\vľavo(6-x \vpravo)+\vľavo(12+x \vpravo)-\vľavo(3-2x \vpravo)=15\]

Zátvoriek je tu viacero, ale nie sú ničím znásobené, len majú pred sebou rôzne znaky. Poďme si ich rozobrať:

Vykonávame druhý krok, ktorý je nám známy:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Poďme počítať:

Vykonávame posledný krok- všetko vydeľte koeficientom v "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Na čo treba pamätať pri riešení lineárnych rovníc

Ak ignorujeme príliš jednoduché úlohy, rád by som povedal nasledovné:

• Ako som povedal vyššie, nie každá lineárna rovnica má riešenie - niekedy jednoducho neexistujú žiadne korene;
• Aj keď sú korene, môže sa medzi nich dostať nula – na tom nie je nič zlé.

Nula je rovnaké číslo ako ostatné, nemali by ste to nejako rozlišovať alebo predpokladať, že ak dostanete nulu, urobili ste niečo zle.

Ďalšia vlastnosť súvisí s rozširovaním zátvoriek. Upozornenie: keď je pred nimi „mínus“, odstránime ho, ale v zátvorkách zmeníme znaky na opak. A potom ho môžeme otvoriť podľa štandardných algoritmov: dostaneme to, čo sme videli vo výpočtoch vyššie.

Pochopenie tohto jednoduchého faktu vám pomôže vyhnúť sa hlúpym a zraňujúcim chybám na strednej škole, keď sa takéto konanie považuje za samozrejmosť.

Riešenie zložitých lineárnych rovníc

Prejdime k zložitejším rovniciam. Teraz sa konštrukcie skomplikujú a pri rôznych transformáciách sa objaví kvadratická funkcia. Nemali by ste sa toho však báť, pretože ak podľa zámeru autora vyriešime lineárnu rovnicu, v procese transformácie sa nevyhnutne zredukujú všetky monomály obsahujúce kvadratickú funkciu.

Príklad č. 1

Je zrejmé, že prvým krokom je otvorenie zátvoriek. Urobme to veľmi opatrne:

Teraz sa pozrime na súkromie:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Tu sú niektoré ako:

Je zrejmé, že táto rovnica nemá žiadne riešenia, takže v odpovedi píšeme takto:

\[\odroda \]

alebo bez koreňov.

Príklad č. 2

Vykonávame rovnaké kroky. Prvý krok:

Presuňme všetko s premennou doľava a bez nej - doprava:

Tu sú niektoré ako:

Je zrejmé, že táto lineárna rovnica nemá riešenie, takže ju napíšeme takto:

\[\varnothing\],

alebo bez koreňov.

Nuansy riešenia

Obe rovnice sú úplne vyriešené. Na príklade týchto dvoch výrazov sme sa opäť presvedčili, že ani v najjednoduchších lineárnych rovniciach nemôže byť všetko také jednoduché: môže byť buď jeden, alebo žiadny, alebo nekonečne veľa. V našom prípade sme zvažovali dve rovnice, v oboch jednoducho nie sú žiadne korene.

Chcel by som vás však upozorniť na inú skutočnosť: ako pracovať so zátvorkami a ako ich rozširovať, ak je pred nimi znamienko mínus. Zvážte tento výraz:

Pred otvorením je potrebné všetko vynásobiť „x“. Poznámka: násobte každý jednotlivý termín. Vo vnútri sú dva pojmy - respektíve dva pojmy a je znásobené.

A až po dokončení týchto zdanlivo elementárnych, no veľmi dôležitých a nebezpečných premien možno zátvorku otvoriť z toho pohľadu, že je za ňou znamienko mínus. Áno, áno: až teraz, keď sú transformácie hotové, si pamätáme, že pred zátvorkami je znamienko mínus, čo znamená, že všetko nižšie iba mení znamienka. Zároveň zmiznú samotné zátvorky a čo je najdôležitejšie, zmizne aj predné „mínus“.

To isté urobíme s druhou rovnicou:

Nie náhodou venujem pozornosť týmto malým, zdanlivo bezvýznamným skutočnostiam. Pretože riešenie rovníc je vždy sledom elementárnych transformácií, kde nemožnosť jasne a kompetentne vykonávať jednoduché kroky vedie k tomu, že za mnou chodia stredoškoláci a učia sa opäť riešiť takéto jednoduché rovnice.

Samozrejme, príde deň, keď tieto zručnosti zdokonalíte do automatizácie. Už nemusíte zakaždým vykonávať toľko premien, všetko napíšete do jedného riadku. Ale kým sa len učíte, musíte si každú akciu napísať samostatne.

Riešenie aj zložitejších lineárnych rovníc

To, čo teraz vyriešime, možno len ťažko nazvať najjednoduchšou úlohou, no význam zostáva rovnaký.

Úloha č.1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Vynásobme všetky prvky v prvej časti:

Urobme si ústup:

Tu sú niektoré ako:

Urobme posledný krok:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Tu je naša konečná odpoveď. A napriek tomu, že v procese riešenia sme mali koeficienty s kvadratickou funkciou, navzájom sa rušili, čím je rovnica presne lineárna, nie štvorcová.

Úloha č. 2

\[\vľavo(1-4x \vpravo)\vľavo(1-3x \vpravo)=6x\vľavo(2x-1 \vpravo)\]

Urobme prvý krok opatrne: vynásobte každý prvok v prvej zátvorke každým prvkom v druhej zátvorke. Celkovo by sa po transformáciách mali získať štyri nové výrazy:

A teraz opatrne vykonajte násobenie v každom termíne:

Presuňme výrazy s "x" doľava a bez - doprava:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Tu sú podobné výrazy:

Dostali sme definitívnu odpoveď.

Nuansy riešenia

Najdôležitejšia poznámka o týchto dvoch rovniciach je táto: akonáhle začneme násobiť zátvorky, v ktorých je viac ako jeden člen, potom sa to robí podľa nasledujúceho pravidla: vezmeme prvý člen z prvého a násobíme každým prvkom z druhého; potom vezmeme druhý prvok z prvého a podobne vynásobíme každým prvkom z druhého. Výsledkom sú štyri termíny.

Na algebraickom súčte

V poslednom príklade by som chcel žiakom pripomenúť, čo je algebraický súčet. V klasickej matematike pod pojmom $1-7$ rozumieme jednoduchú konštrukciu: od jednej odpočítame sedem. V algebre tým myslíme nasledovné: k číslu „jedna“ pridáme ďalšie číslo, a to „mínus sedem“. Tento algebraický súčet sa líši od bežného aritmetického súčtu.

Akonáhle pri vykonávaní všetkých transformácií, každého sčítania a násobenia, začnete vidieť konštrukcie podobné tým, ktoré sú popísané vyššie, jednoducho nebudete mať problémy v algebre pri práci s polynómami a rovnicami.

Na záver sa pozrime na niekoľko ďalších príkladov, ktoré budú ešte zložitejšie ako tie, na ktoré sme sa práve pozreli, a aby sme ich vyriešili, budeme musieť mierne rozšíriť náš štandardný algoritmus.

Riešenie rovníc zlomkom

Na vyriešenie takýchto úloh bude potrebné do nášho algoritmu pridať ešte jeden krok. Najprv však pripomeniem náš algoritmus:

1. Otvorené zátvorky.
2. Samostatné premenné.
3. Prineste podobné.
4. Rozdeliť faktorom.

Bohužiaľ, tento úžasný algoritmus, napriek svojej účinnosti, nie je úplne vhodný, keď máme pred sebou zlomky. A v tom, čo uvidíme nižšie, máme v oboch rovniciach zlomok vľavo a vpravo.

Ako v tomto prípade pracovať? Áno, je to veľmi jednoduché! Aby ste to dosiahli, musíte do algoritmu pridať ešte jeden krok, ktorý je možné vykonať pred prvou akciou aj po nej, konkrétne zbaviť sa zlomkov. Algoritmus teda bude nasledovný:

1. Zbavte sa zlomkov.
2. Otvorené zátvorky.
3. Samostatné premenné.
4. Prineste podobné.
5. Rozdeliť faktorom.

Čo znamená „zbaviť sa zlomkov“? A prečo je to možné urobiť po aj pred prvým štandardným krokom? V skutočnosti sú v našom prípade všetky zlomky z hľadiska menovateľa číselné, t.j. všade je menovateľom len číslo. Ak teda vynásobíme obe časti rovnice týmto číslom, zbavíme sa zlomkov.

Príklad č. 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Zbavme sa zlomkov v tejto rovnici:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Pozor: všetko sa násobí „štyri“ raz, t.j. to, že máte dve zátvorky, neznamená, že musíte každú z nich vynásobiť „štyri“. Píšme:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Teraz to otvoríme:

Vykonávame vylúčenie premennej:

Vykonávame redukciu podobných výrazov:

\[-4x=-1\vľavo| :\vľavo(-4 \vpravo) \vpravo.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Dostali sme konečné riešenie, prejdeme k druhej rovnici.

Príklad č. 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Tu vykonávame všetky rovnaké akcie:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problém je vyriešený.

To je vlastne všetko, čo som dnes chcel povedať.

Kľúčové body

Hlavné zistenia sú nasledovné:

• Poznať algoritmus na riešenie lineárnych rovníc.
• Možnosť otvárania zátvoriek.
• Nebojte sa, ak niekde máte kvadratické funkcie, s najväčšou pravdepodobnosťou sa v procese ďalších transformácií znížia.
• Korene v lineárnych rovniciach, dokonca aj tie najjednoduchšie, sú troch typov: jeden jediný koreň, celá číselná os je koreň, neexistujú žiadne korene.

Dúfam, že vám táto lekcia pomôže zvládnuť jednoduchú, no veľmi dôležitú tému pre ďalšie pochopenie celej matematiky. Ak niečo nie je jasné, prejdite na stránku a vyriešte príklady, ktoré sú tam uvedené. Zostaňte naladení, čaká na vás ešte veľa zaujímavých vecí!

Lineárne rovnice. Riešenie, príklady.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Lineárne rovnice.

Lineárne rovnice- nie je to najťažšia téma školská matematika. Existuje však niekoľko trikov, ktoré dokážu zmiasť aj trénovaného študenta. Prídeme na to?)

Lineárna rovnica sa zvyčajne definuje ako rovnica v tvare:

sekera + b = 0 Kde a a b- ľubovoľné čísla.

2x + 7 = 0. Tu a=2, b = 7

0,1x - 2,3 = 0 Tu a=0,1, b = -2,3

12x + 1/2 = 0 tu a=12, b = 1/2

Nič zložité, však? Najmä ak si nevšimnete slová: "kde a a b sú ľubovoľné čísla"... A ak si všimnete, ale bezstarostne o tom premýšľate?) Koniec koncov, ak a=0, b = 0(sú možné nejaké čísla?), potom dostaneme vtipný výraz:

Ale to nie je všetko! Ak povedzme a=0, A b=5, z toho vychádza niečo celkom absurdné:

Čo namáha a podkopáva dôveru v matematiku, áno ...) Najmä na skúškach. Ale z týchto zvláštnych výrazov musíte nájsť aj X! Ktorý vôbec neexistuje. A prekvapivo, toto X je veľmi ľahké nájsť. Naučíme sa, ako na to. V tejto lekcii.

Ako rozpoznať lineárnu rovnicu vo vzhľade? Záleží na čom vzhľad.) Trik je v tom, že lineárne rovnice sa nazývajú nielen rovnice tvaru sekera + b = 0 , ale aj akékoľvek rovnice, ktoré sa transformáciou a zjednodušením redukujú do tohto tvaru. A kto vie, či je znížená alebo nie?)

V niektorých prípadoch možno jasne rozpoznať lineárnu rovnicu. Povedzme, že ak máme rovnicu, v ktorej sú len neznáme na prvom stupni, áno čísla. A rovnica nie zlomky delené o neznámy , to je dôležité! A rozdelenie podľa číslo, alebo číselný zlomok - to je všetko! Napríklad:

Toto je lineárna rovnica. Sú tu zlomky, ale nie sú x v štvorci, v kocke atď., a v menovateľoch nie sú x, t.j. Nie delenie x. A tu je rovnica

nemožno nazvať lineárnym. Tu sú x všetky na prvom stupni, ale je delenie výrazom s x. Po zjednodušeniach a transformáciách môžete získať lineárnu rovnicu a kvadratickú rovnicu a čokoľvek, čo sa vám páči.

Ukazuje sa, že je nemožné nájsť lineárnu rovnicu v nejakom zložitom príklade, kým ju takmer nevyriešite. Je to znepokojujúce. Ale v zadaniach sa spravidla nepýtajú na formu rovnice, však? V úlohách sú rovnice usporiadané rozhodnúť. Toto ma robí šťastným.)

Riešenie lineárnych rovníc. Príklady.

Celé riešenie lineárnych rovníc pozostáva z identických transformácií rovníc. Mimochodom, tieto transformácie (až dve!) sú základom riešení všetky matematické rovnice. Inými slovami, rozhodnutie akýkoľvek rovnica začína tými istými transformáciami. V prípade lineárnych rovníc to (riešenie) na týchto transformáciách končí plnohodnotnou odpoveďou. Dáva zmysel nasledovať odkaz, nie?) Okrem toho sú tam aj príklady riešenia lineárnych rovníc.

Začnime s najjednoduchším príkladom. Bez akýchkoľvek nástrah. Povedzme, že potrebujeme vyriešiť nasledujúcu rovnicu.

x - 3 = 2 - 4x

Toto je lineárna rovnica. X sú všetky na prvú mocninu, neexistuje žiadne delenie X. Ale v skutočnosti nás nezaujíma, aká je rovnica. Musíme to vyriešiť. Schéma je tu jednoduchá. Pozbierajte všetko s x na ľavej strane rovnice, všetko bez x (čísel) napravo.

Ak to chcete urobiť, musíte preniesť - 4x in ľavá strana, so zmenou znamenia, samozrejme, a - 3 - doprava. Mimochodom, toto je prvá identická transformácia rovníc. Prekvapený? Takže nesledovali odkaz, ale márne ...) Dostávame:

x + 4x = 2 + 3

Dávame podobné, zvažujeme:

Čo potrebujeme, aby sme boli úplne šťastní? Áno, takže vľavo je čisté X! Päť sa postaví do cesty. Zbavte sa piatich s druhá identická transformácia rovníc. Totiž obe časti rovnice vydelíme 5. Dostaneme hotovú odpoveď:

Samozrejme elementárny príklad. Toto je na zahriatie.) Nie je celkom jasné, prečo som si tu spomenul na rovnaké premeny? OK. Berieme býka za rohy.) Poďme sa rozhodnúť pre niečo pôsobivejšie.

Napríklad tu je táto rovnica:

kde začneme? S X - doľava, bez X - doprava? Môže to tak byť. Malé kroky po dlhej ceste. A môžete okamžite, univerzálne a mocným spôsobom. Pokiaľ, samozrejme, vo vašom arzenáli nie sú identické transformácie rovníc.

Položím vám kľúčovú otázku: Čo sa vám na tejto rovnici najviac nepáči?

95 ľudí zo 100 odpovie: zlomky ! Odpoveď je správna. Tak sa ich zbavme. Začneme teda hneď s druhá identická transformácia. Čím treba vynásobiť zlomok vľavo, aby sa menovateľ úplne zmenšil? Správne, 3. A vpravo? 4. Ale matematika nám umožňuje vynásobiť obe strany rovnaké číslo. Ako sa dostaneme von? Vynásobme obe strany 12! Tie. na spoločného menovateľa. Potom sa tri znížia a štyri. Nezabudnite, že každú časť musíte vynásobiť úplne. Prvý krok vyzerá takto:

Rozšírenie zátvoriek:

Poznámka! Čitateľ (x+2) Vzal som v zátvorkách! Pri násobení zlomkov sa totiž čitateľ násobí celkom, úplne! A teraz môžete znížiť zlomky a znížiť:

Otvorenie zostávajúcich zátvoriek:

Nie príklad, ale čisté potešenie!) Teraz si pripomíname kúzlo z nižších ročníkov: s x - doľava, bez x - doprava! A použite túto transformáciu:

Tu sú niektoré ako:

A obe časti delíme 25, t.j. znova použite druhú transformáciu:

To je všetko. odpoveď: X=0,16

Vezmite na vedomie: aby sme dostali pôvodnú mätúcu rovnicu do príjemnej podoby, použili sme dve (iba dve!) identické premeny- preklad zľava doprava so zmenou znamienka a násobením-delenie rovnice rovnakým číslom. Toto univerzálny spôsob! Budeme pracovať týmto spôsobom akýkoľvek rovnice! Absolútne akékoľvek. Preto tieto identické premeny neustále opakujem.)

Ako vidíte, princíp riešenia lineárnych rovníc je jednoduchý. Zoberieme rovnicu a zjednodušíme ju pomocou identických transformácií, kým nedostaneme odpoveď. Hlavné problémy sú tu vo výpočtoch a nie v princípe riešenia.

Ale ... V procese riešenia tých najelementárnejších lineárnych rovníc sú také prekvapenia, že môžu priviesť až do silného stuporu ...) Našťastie, takéto prekvapenia môžu byť len dve. Nazvime ich špeciálne prípady.

Špeciálne prípady pri riešení lineárnych rovníc.

Najprv prekvapenie.

Predpokladajme, že narazíte na elementárnu rovnicu, niečo ako:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Mierne znudený presunieme s X doľava, bez X - doprava ... So zmenou znamienka je všetko brada-chinar ... Dostávame:

2x-5x+3x=5-2-3

Veríme, a ... ach jaj! Dostaneme:

Táto rovnosť sama osebe nie je sporná. Nula je naozaj nula. Ale X je preč! A do odpovede musíme napísať, čomu sa x rovná. Inak sa riešenie neráta, áno...) Slepá ulička?

Pokojne! V takýchto pochybných prípadoch šetria najvšeobecnejšie pravidlá. Ako riešiť rovnice? Čo znamená vyriešiť rovnicu? To znamená, nájdite všetky hodnoty x, ktoré nám po dosadení do pôvodnej rovnice dajú správnu rovnosť.

Ale máme správnu rovnosť už Stalo! 0=0, kde naozaj?! Zostáva zistiť, pri akom x sa to získa. Do akých hodnôt x možno dosadiť originálny rovnica, ak sú tieto x stále sa zmenšovať na nulu? Poď?)

Áno!!! Xs môžu byť substituované akýkoľvek!Čo chceš. Aspoň 5, aspoň 0,05, aspoň -220. Stále sa budú zmenšovať. Ak mi neveríte, môžete si to overiť.) Nahraďte ľubovoľné hodnoty x v originálny rovnica a výpočet. Po celý čas sa získa čistá pravda: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 atď.

Tu je vaša odpoveď: x je ľubovoľné číslo.

Odpoveď môže byť napísaná rôznymi matematickými symbolmi, podstata sa nemení. Toto je úplne správna a úplná odpoveď.

Prekvapenie druhé.

Zoberme si rovnakú elementárnu lineárnu rovnicu a zmeňme v nej iba jedno číslo. Takto sa rozhodneme:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Po rovnakých identických transformáciách dostaneme niečo zaujímavé:

Páči sa ti to. Vyriešil som lineárnu rovnicu, dostal zvláštnu rovnosť. Matematicky povedané, máme nesprávna rovnosť. A rozprávanie jednoduchý jazyk, to nie je pravda. Rave. Ale napriek tomu je tento nezmysel celkom dobrým dôvodom na správne riešenie rovnice.)

Opäť si myslíme, že od všeobecné pravidlá. Čo nám dá x po dosadení do pôvodnej rovnice správne rovnosť? Áno, žiadne! Také xe neexistujú. Čokoľvek nahradíte, všetko sa zredukuje, zostanú nezmysly.)

Tu je vaša odpoveď: neexistujú žiadne riešenia.

Toto je tiež úplne správna odpoveď. V matematike sa takéto odpovede často vyskytujú.

Páči sa ti to. Teraz vás dúfam strata X v procese riešenia akejkoľvek (nielen lineárnej) rovnice nebude vôbec trápiť. Vec je známa.)

Teraz, keď sme sa vysporiadali so všetkými úskaliami v lineárnych rovniciach, má zmysel ich riešiť.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Lineárna rovnica je algebraická rovnica, ktorej plný stupeň polynómov sa rovná jednej. Riešenie lineárnych rovníc - časť školské osnovy a nie najťažšie. Niektorí však stále majú ťažkosti s prechodom na túto tému. Dúfame, že po prečítaní tohto materiálu zostanú všetky ťažkosti pre vás v minulosti. Takže, poďme na to. ako riešiť lineárne rovnice.

Všeobecná forma

Lineárna rovnica je znázornená ako:

• ax + b = 0, kde a a b sú ľubovoľné čísla.

Aj keď a a b môžu byť ľubovoľné číslo, ich hodnoty ovplyvňujú počet riešení rovnice. Existuje niekoľko špeciálnych prípadov riešenia:

• Ak a=b=0, rovnica má nekonečný počet riešení;
• Ak a=0, b≠0, rovnica nemá riešenie;
• Ak a≠0, b=0, rovnica má riešenie: x = 0.

V prípade, že obe čísla majú nenulové hodnoty, je potrebné vyriešiť rovnicu, aby sa odvodil konečný výraz pre premennú.

Ako sa rozhodnúť?

Riešenie lineárnej rovnice znamená nájsť, čomu sa premenná rovná. Ako to spraviť? Áno, je to veľmi jednoduché – pomocou jednoduchých algebraických operácií a dodržiavaním pravidiel prenosu. Ak sa rovnica objavila pred vami vo všeobecnej forme, máte šťastie, všetko, čo musíte urobiť, je:

1. Presuňte b na pravá strana rovnice, nezabudnúť na zmenu znamienka (prenosové pravidlo!), Teda z výrazu v tvare ax + b = 0 by sa malo získať vyjadrenie v tvare ax = -b.
2. Použite pravidlo: ak chcete nájsť jeden z faktorov (x - v našom prípade), musíte rozdeliť súčin (v našom prípade -b) iným faktorom (a - v našom prípade). Malo by sa teda získať vyjadrenie tvaru: x \u003d -b / a.

To je všetko - riešenie sa našlo!

Teraz sa pozrime na konkrétny príklad:

1. 2x + 4 = 0 - pohyb b, ktorý je v tomto prípade 4, doprava
2. 2x = -4 - vydeľte b a (nezabudnite na znamienko mínus)
3. x=-4/2=-2

To je všetko! Naše riešenie: x = -2.

Ako vidíte, nájsť riešenie lineárnej rovnice s jednou premennou je celkom jednoduché, ale všetko je také jednoduché, ak máme to šťastie, že rovnicu stretneme vo všeobecnej forme. Vo väčšine prípadov je pred riešením rovnice v dvoch vyššie popísaných krokoch tiež potrebné uviesť existujúci výraz do všeobecnej podoby. To však tiež nie je náročná úloha. Pozrime sa na niektoré špeciálne prípady s príkladmi.

Riešenie špeciálnych prípadov

Najprv sa pozrime na prípady, ktoré sme opísali na začiatku článku a vysvetlíme si, čo znamená mať nekonečné množstvo riešení a žiadne riešenie.

• Ak a=b=0, rovnica bude vyzerať takto: 0x + 0 = 0. Po vykonaní prvého kroku dostaneme: 0x = 0. Čo znamená tento nezmysel, zvoláte! Koniec koncov, bez ohľadu na to, aké číslo vynásobíte nulou, vždy dostanete nulu! Správny! Preto hovoria, že rovnica má nekonečný počet riešení - bez ohľadu na číslo, ktoré si vezmete, rovnosť bude pravdivá, 0x \u003d 0 alebo 0 \u003d 0.
• Ak a=0, b≠0, rovnica bude vyzerať takto: 0x + 3 = 0. Vykonáme prvý krok, dostaneme 0x = -3. Opäť nezmysel! Je zrejmé, že táto rovnosť nebude nikdy pravdivá! Preto hovoria, že rovnica nemá riešenia.
• Ak a≠0, b=0, rovnica bude vyzerať takto: 3x + 0 = 0. Prvým krokom je: 3x = 0. Aké je riešenie? Je to jednoduché, x = 0.

Ťažkosti s prekladom

Opísané konkrétne prípady nie sú všetko, čím nás môžu lineárne rovnice prekvapiť. Niekedy je rovnica vo všeobecnosti na prvý pohľad ťažko identifikovateľná. Vezmime si príklad:

• 12x - 14 = 2x + 6

Je to lineárna rovnica? Ale čo nula na pravej strane? Nebudeme sa ponáhľať k záverom, budeme konať - prenesieme všetky zložky našej rovnice na ľavú stranu. Dostaneme:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Ak teraz odpočítame like od like, dostaneme:

• 10x - 20 = 0

Učil sa? Najlineárnejšia rovnica všetkých čias! Čí riešenie: x = 20/10 = 2.

Čo ak máme tento príklad:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 – 3x/4)

Áno, toto je tiež lineárna rovnica, len je potrebné urobiť viac transformácií. Najprv rozvinieme zátvorky:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - teraz vykonajte prenos:
4. 25x - 4 = 0 - zostáva nájsť riešenie podľa už známej schémy:
5. 25x=4
6. x = 4/25 = 0,16

Ako vidíte, všetko je vyriešené, hlavnou vecou nie je obávať sa, ale konať. Pamätajte, že ak vaša rovnica obsahuje iba premenné prvého stupňa a čísla, ide o lineárnu rovnicu, ktorú je možné bez ohľadu na to, ako na začiatku vyzerá, zredukovať na všeobecnú formu a vyriešiť ju. Dúfame, že vám všetko vyjde! Veľa štastia!

A tak ďalej, je logické zoznámiť sa s rovnicami iných typov. Ďalšie v poradí sú lineárne rovnice, ktorej cieľavedomé štúdium začína na hodinách algebry v 7. ročníku.

Je jasné, že najprv musíte vysvetliť, čo je lineárna rovnica, uviesť definíciu lineárnej rovnice, jej koeficienty, ukázať ju všeobecná forma. Potom môžete zistiť, koľko riešení má lineárna rovnica v závislosti od hodnôt koeficientov a od toho, ako sa nachádzajú korene. To vám umožní prejsť k riešeniu príkladov, a tým upevniť študovanú teóriu. V tomto článku to urobíme: podrobne sa budeme zaoberať všetkými teoretickými a praktickými bodmi týkajúcimi sa lineárnych rovníc a ich riešenia.

Povedzme hneď, že tu budeme brať do úvahy iba lineárne rovnice s jednou premennou a v samostatnom článku budeme študovať princípy riešenia lineárne rovnice v dvoch premenných.

Navigácia na stránke.

Čo je lineárna rovnica?

Definícia lineárnej rovnice je daná formou jej zápisu. Navyše v rôznych učebniciach matematiky a algebry majú formulácie definícií lineárnych rovníc určité rozdiely, ktoré neovplyvňujú podstatu problému.

Napríklad v učebnici algebry pre 7. ročník od Yu. N. Makarycheva a ďalších je lineárna rovnica definovaná takto:

Definícia.

Zadajte rovnicu ax=b, kde x je premenná, a a b sú nejaké čísla, sa nazýva lineárna rovnica s jednou premennou.

Uveďme príklady lineárnych rovníc zodpovedajúcich znenej definícii. Napríklad 5 x=10 je lineárna rovnica s jednou premennou x , tu je koeficient a 5 a číslo b je 10. Ďalší príklad: −2,3 y=0 je tiež lineárna rovnica, ale s premennou y , kde a=−2,3 a b=0 . A v lineárnych rovniciach x=−2 a −x=3,33 a nie sú explicitne prítomné a sú rovné 1 a −1, zatiaľ čo v prvej rovnici b=−2 a v druhej - b=3,33.

O rok skôr sa v učebnici matematiky od N. Ya.Vilenkina považovali okrem rovníc tvaru a x = b aj lineárne rovnice s jednou neznámou za rovnice, ktoré možno do tohto tvaru zredukovať prenesením členov z jednej časti. rovnice na inú s opačným znamienkom, ako aj redukciou podobných členov. Podľa tejto definície rovnice tvaru 5 x=2 x+6 atď. sú tiež lineárne.

Nasledujúca definícia je uvedená v učebnici algebry pre 7 tried od A. G. Mordkovicha:

Definícia.

Lineárna rovnica s jednou premennou x je rovnica v tvare a x+b=0, kde a a b sú nejaké čísla, nazývané koeficienty lineárnej rovnice.

Napríklad lineárne rovnice tohto druhu sú 2 x - 12 = 0, tu sa koeficient a rovná 2 a b sa rovná -12 a 0,2 y + 4,6 = 0 s koeficientmi a = 0,2 a b = 4,6. Zároveň však existujú príklady lineárnych rovníc, ktoré nemajú tvar a x+b=0, ale ax=b, napríklad 3 x=12.

Aby sme v budúcnosti nemali nezrovnalosti, pod lineárnou rovnicou s jednou premennou x a koeficientmi a a b budeme chápať rovnicu v tvare a x+b=0 . Tento typ lineárnej rovnice sa zdá byť najoprávnenejší, pretože lineárne rovnice sú algebraické rovnice prvý stupeň. A všetky ostatné vyššie uvedené rovnice, ako aj rovnice, ktoré sú pomocou ekvivalentných transformácií redukované do tvaru a x+b=0, sa budú nazývať rovnice redukujúce na lineárne rovnice. S týmto prístupom je rovnica 2 x + 6 = 0 lineárna rovnica a 2 x = -6, 4 + 25 y = 6 + 24 y, 4 (x + 5) = 12 atď. sú lineárne rovnice.

Ako riešiť lineárne rovnice?

Teraz je čas zistiť, ako sa riešia lineárne rovnice a x+b=0. Inými slovami, je čas zistiť, či lineárna rovnica má korene, a ak áno, koľko a ako ich nájsť.

Prítomnosť koreňov lineárnej rovnice závisí od hodnôt koeficientov a a b. V tomto prípade má lineárna rovnica a x+b=0

• jediný koreň na a≠0 ,
• nemá korene pre a=0 a b≠0 ,
• má nekonečne veľa koreňov pre a=0 a b=0 , v takom prípade je každé číslo koreňom lineárnej rovnice.

Vysvetlíme, ako sa tieto výsledky dosiahli.

Vieme, že na riešenie rovníc je možné prejsť z pôvodnej rovnice na ekvivalentné rovnice, teda na rovnice s rovnakými koreňmi alebo, ako tá pôvodná, bez koreňov. Na tento účel môžete použiť nasledujúce ekvivalentné transformácie:

• prevod člena z jednej časti rovnice do druhej s opačným znamienkom,
• a tiež násobenie alebo delenie oboch strán rovnice rovnakým nenulovým číslom.

Takže v lineárnej rovnici s jednotkou typ premennej a x+b=0 môžeme presunúť člen b z ľavej strany na pravá strana s opačným znamienkom. V tomto prípade bude mať rovnica tvar a x=−b.

A potom sa navrhne delenie oboch častí rovnice číslom a. Ale je tu jedna vec: číslo a sa môže rovnať nule, v takom prípade je takéto delenie nemožné. Aby sme sa vyrovnali s týmto problémom, najprv budeme predpokladať, že číslo a je iné ako nula, a prípad nuly a zvážime samostatne o niečo neskôr.

Takže, keď sa a nerovná nule, potom môžeme obe časti rovnice a x=−b vydeliť a , potom sa prevedie do tvaru x=(−b):a , tento výsledok možno zapísať pomocou a plná čiara ako .

Pre a≠0 je teda lineárna rovnica a·x+b=0 ekvivalentná rovnici , z ktorej je viditeľný jej koreň.

Je ľahké ukázať, že tento koreň je jedinečný, to znamená, že lineárna rovnica nemá žiadne iné korene. To vám umožní urobiť opačnú metódu.

Označme koreň ako x 1 . Predpokladajme, že existuje ďalší koreň lineárnej rovnice, ktorý označíme x 2, a x 2 ≠ x 1, ktorý v dôsledku definície rovnaké čísla cez rozdiel je ekvivalentná podmienke x 1 − x 2 ≠0 . Keďže x 1 a x 2 sú korene lineárnej rovnice a x+b=0, potom nastávajú číselné rovnosti a x 1 +b=0 a a x 2 +b=0. Zodpovedajúce časti týchto rovníc môžeme odčítať, čo nám vlastnosti číselných rovníc umožňujú, máme a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , odkiaľ a (x 1 −x 2)+( b-b)=0 a potom a(x1-x2)=0. A táto rovnosť nie je možná, keďže a≠0 aj x 1 − x 2 ≠0. Dostali sme sa teda k rozporu, ktorý dokazuje jedinečnosť koreňa lineárnej rovnice a·x+b=0 pre a≠0 .

Vyriešili sme teda lineárnu rovnicu a x+b=0 s a≠0 . Prvý výsledok uvedený na začiatku tohto pododdielu je opodstatnený. Sú ešte dve, ktoré spĺňajú podmienku a=0 .

Pre a=0 sa lineárna rovnica a·x+b=0 zmení na 0·x+b=0. Z tejto rovnice a vlastnosti násobenia čísel nulou vyplýva, že bez ohľadu na to, aké číslo berieme ako x, keď ho dosadíme do rovnice 0 x+b=0, dostaneme číselnú rovnosť b=0. Táto rovnosť je pravdivá, keď b=0, a v ostatných prípadoch, keď b≠0 je táto rovnosť nepravdivá.

Preto pre a=0 ab=0 je každé číslo koreňom lineárnej rovnice a x+b=0, keďže za týchto podmienok dosadenie ľubovoľného čísla namiesto x dáva správnu číselnú rovnosť 0=0. A pre a=0 a b≠0 lineárna rovnica a x+b=0 nemá korene, pretože za týchto podmienok dosadenie akéhokoľvek čísla namiesto x vedie k nesprávnej číselnej rovnosti b=0.

Vyššie uvedené zdôvodnenia umožňujú vytvoriť postupnosť akcií, ktorá umožňuje vyriešiť akúkoľvek lineárnu rovnicu. takže, Algoritmus na riešenie lineárnej rovnice je:

• Najprv napísaním lineárnej rovnice nájdeme hodnoty koeficientov a a b.
• Ak a=0 a b=0, potom táto rovnica má nekonečne veľa koreňov, konkrétne každé číslo je koreňom tejto lineárnej rovnice.
• Ak je a odlišné od nuly, potom
• koeficient b sa prenesie na pravú stranu s opačným znamienkom, pričom lineárna rovnica sa transformuje do tvaru a x=−b ,
• po ktorom sa obe časti výslednej rovnice vydelia nenulovým číslom a, čím sa získa požadovaný koreň pôvodnej lineárnej rovnice.

Napísaný algoritmus je vyčerpávajúcou odpoveďou na otázku, ako riešiť lineárne rovnice.

Na záver tohto odseku je vhodné povedať, že podobný algoritmus sa používa na riešenie rovníc v tvare a x=b. Jeho rozdiel spočíva v tom, že keď a≠0, obe časti rovnice sa okamžite delia týmto číslom, tu b je už v požadovanej časti rovnice a nie je potrebné ho prenášať.

Na riešenie rovníc tvaru a x=b sa používa nasledujúci algoritmus:

• Ak a=0 a b=0 , potom rovnica má nekonečne veľa koreňov, ktorými sú ľubovoľné čísla.
• Ak a=0 a b≠0 , potom pôvodná rovnica nemá korene.
• Ak a je nenulové, potom sa obe strany rovnice delia nenulovým číslom a, z ktorého sa nájde jediný koreň rovnice rovný b / a.

Príklady riešenia lineárnych rovníc

Prejdime k praxi. Poďme analyzovať, ako sa používa algoritmus na riešenie lineárnych rovníc. Uveďme riešenia typických príkladov zodpovedajúcich rôzne významy koeficienty lineárnych rovníc.

Príklad.

Riešte lineárnu rovnicu 0 x−0=0 .

Riešenie.

V tejto lineárnej rovnici a=0 a b=−0 , čo je rovnaké ako b=0 . Preto má táto rovnica nekonečne veľa koreňov, každé číslo je koreňom tejto rovnice.

odpoveď:

x je ľubovoľné číslo.

Príklad.

Má lineárna rovnica 0 x+2,7=0 riešenia?

Riešenie.

V tomto prípade sa koeficient a rovná nule a koeficient b tejto lineárnej rovnice sa rovná 2,7, to znamená, že sa líši od nuly. Preto lineárna rovnica nemá korene.

Pri riešení lineárnych rovníc sa snažíme nájsť koreň, teda hodnotu premennej, ktorá prevedie rovnicu do správnej rovnosti.

Ak chcete nájsť koreň rovnice, potrebujete ekvivalentné transformácie prinesú nám danú rovnicu do tvaru

\(x=[číslo]\)

Toto číslo bude koreňom.

To znamená, že rovnicu transformujeme, čím ju zjednodušujeme každým krokom, až kým ju nezredukujeme na úplne primitívnu rovnicu „x = číslo“, kde je koreň zrejmý. Pri riešení lineárnych rovníc sa najčastejšie používajú tieto transformácie:

Napríklad: pridajte \(5\) na obe strany rovnice \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Upozorňujeme, že rovnaký výsledok by sme mohli získať rýchlejšie – jednoducho napísaním päťky na druhú stranu rovnice a zmenou jej znamienka v procese. V skutočnosti sa presne takto robí škola „prestup cez rovný so zmenou znamienka na opačný“.

2. Násobenie alebo delenie oboch strán rovnice rovnakým číslom alebo výrazom.

Napríklad: Vydeľte rovnicu \(-2x=8\) mínus dvoma

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Zvyčajne sa tento krok robí na samom konci, keď už bola rovnica zredukovaná na \(ax=b\), a delíme \(a\), aby sme ju odstránili zľava.

3. Používanie vlastností a zákonov matematiky: otváranie zátvoriek, zmenšovanie podobných pojmov, zmenšovanie zlomkov atď.

Pridajte \(2x\) doľava a doprava

Odčítajte \(24\) od oboch strán rovnice

Opäť uvádzame podobné pojmy

Teraz rovnicu vydelíme \ (-3 \), čím odstránime pred x na ľavej strane.

Odpoveď : \(7\)

Odpoveď sa našla. Poďme si to však overiť. Ak je sedmička naozaj koreň, potom jej dosadením namiesto x v pôvodnej rovnici by mala vzniknúť správna rovnosť – rovnaké čísla vľavo a vpravo. Skúsime.

Vyšetrenie:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Dohodnuté. To znamená, že sedem je skutočne koreňom pôvodnej lineárnej rovnice.

Nebuďte leniví skontrolovať odpovede, ktoré ste našli pomocou suplovania, najmä ak riešite rovnicu na teste alebo skúške.

Otázkou zostáva - ako určiť, čo robiť s rovnicou v ďalšom kroku? Ako to presne previesť? Zdieľať niečo? Alebo odčítať? A čo presne odpočítať? Čo zdieľať?

Odpoveď je jednoduchá:

Vaším cieľom je dostať rovnicu do tvaru \(x=[číslo]\), to znamená vľavo x bez koeficientov a čísel a vpravo iba číslo bez premenných. Pozrite sa teda, čo vám bráni a robiť opak toho, čo robí rušivý komponent.

Aby sme to lepšie pochopili, poďme krok za krokom vyriešiť lineárnu rovnicu \(x+3=13-4x\).

Zamyslime sa: ako sa táto rovnica líši od \(x=[číslo]\)? Čo nám v tom bráni? Čo je zle?

No po prvé, trojka prekáža, keďže naľavo by malo byť len osamelé X bez čísel. A čo robí trojka? Pridané do xx. Takže, aby som to odstránil - odčítať rovnaké trio. Ale ak odpočítame trojku zľava, tak ju musíme odpočítať sprava, aby sa neporušila rovnosť.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Dobre. Čo ti v tom bráni? \(4x\) vpravo, pretože by mal obsahovať iba čísla. \(4x\) odpočítané- odstrániť pridávanie.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Teraz dávame rovnaké výrazy vľavo a vpravo.

Už je to skoro hotové. Zostáva odstrániť päťku vľavo. Čo ona robí"? znásobené na x. Tak to odstránime divízie.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Riešenie je hotové, koreň rovnice je dva. Môžete skontrolovať pomocou náhrady.

Všimni si najčastejšie je v lineárnych rovniciach len jeden koreň. Môžu však nastať dva špeciálne prípady.

Špeciálny prípad 1 - v lineárnej rovnici nie sú žiadne korene.

Príklad . Vyriešte rovnicu \(3x-1=2(x+3)+x\)

Riešenie :

Odpoveď : bez koreňov.

V skutočnosti to, že k takémuto výsledku dospejeme, bolo vidieť skôr, aj keď sme dostali \(3x-1=3x+6\). Zamyslite sa nad tým: ako sa môže rovnať \(3x\), od ktorého sa \(1\) odpočítalo a \(3x\), ku ktorému bolo pridané \(6\)? Samozrejme, v žiadnom prípade, pretože s tou istou vecou robili rôzne akcie! Je jasné, že výsledky sa budú líšiť.

Špeciálny prípad 2 - lineárna rovnica má nekonečný počet koreňov.

Príklad . Vyriešte lineárnu rovnicu \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

Riešenie :

Odpoveď : ľubovoľné číslo.

Mimochodom, bolo to badateľné ešte skôr, v štádiu: \(8x+12=8x+12\). Skutočne, ľavá a pravá strana sú rovnaké výrazy. Akékoľvek x dosadíte, tam aj tam bude rovnaké číslo.

Zložitejšie lineárne rovnice.

Pôvodná rovnica nie vždy okamžite vyzerá ako lineárna, niekedy je „prezlečená“ za inú, viac zložité rovnice. V procese transformácie však maskovanie ustupuje.

Príklad . Nájdite koreň rovnice \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Riešenie :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		Zdá sa, že tu je x ​​na druhú - toto nie je lineárna rovnica! Ale neponáhľajte sa. Poďme sa prihlásiť
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		Prečo je výsledok rozšírenia \((x-4)^(2)\) v zátvorke, ale výsledok \((3+x)^(2)\) nie je? Pretože pred prvým štvorcom je mínus, ktorý zmení všetky znamenia. A aby sme na to nezabudli, výsledok berieme do zátvoriek, ktoré teraz otvárame.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		Dávame podobné podmienky
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		Opäť sú tu podobné.
		Páči sa ti to. Ukazuje sa, že pôvodná rovnica je celkom lineárna a x na druhú nie je nič iné ako obrazovka, ktorá nás má zmiasť. :) Riešenie dokončíme vydelením rovnice \(2\), a dostaneme odpoveď.

Odpoveď : \(x=5\)

Príklad . Vyriešte lineárnu rovnicu \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)( 6)\)

Riešenie :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		Rovnica nevyzerá ako lineárna, nejaké zlomky ... Zbavme sa však menovateľov tak, že obe časti rovnice vynásobíme spoločným menovateľom všetkých - šiestimi
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\)\(\cbodka 6\)		Otvorte držiak vľavo
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Teraz zredukujeme menovateľov
\(3(x+2)-2=9+7x\)		Teraz to vyzerá ako obyčajný lineárny! Poďme to vyriešiť.
		Prevodom cez rovná sa zbierame x vpravo a čísla vľavo
		Vydelením \ (-4 \) pravej a ľavej časti dostaneme odpoveď

Odpoveď : \(x=-1,25\)