V prvej časti sme uvažovali o niektorých teoretických materiáloch, o substitučnej metóde, ako aj o metóde sčítania systémových rovníc po členoch. Všetkým, ktorí sa na stránku dostali cez túto stránku, odporúčam prečítať si prvú časť. Možno sa niektorým návštevníkom bude zdať materiál príliš jednoduchý, ale v priebehu riešenia systémov lineárne rovnice Uviedol som niekoľko veľmi dôležitých poznámok a záverov týkajúcich sa riešenia matematických problémov vo všeobecnosti.

A teraz si rozoberieme Cramerovo pravidlo, ako aj riešenie sústavy lineárnych rovníc pomocou inverznej matice (maticová metóda). Všetky materiály sú prezentované jednoducho, podrobne a jasne, takmer všetci čitatelia sa budú môcť naučiť riešiť systémy pomocou vyššie uvedených metód.

Najprv podrobne zvážime Cramerovo pravidlo pre systém dvoch lineárnych rovníc o dvoch neznámych. Prečo? - Po všetkom najjednoduchší systém možno riešiť školskou metódou, termínovým sčítaním!

Faktom je, že aj keď niekedy, ale existuje taká úloha - vyriešiť systém dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi pomocou Cramerových vzorcov. Po druhé, jednoduchší príklad vám pomôže pochopiť, ako použiť Cramerovo pravidlo pre zložitejší prípad – systém troch rovníc s tromi neznámymi.

Okrem toho existujú sústavy lineárnych rovníc s dvoma premennými, ktoré je vhodné riešiť presne podľa Cramerovho pravidla!

Zvážte sústavu rovníc

V prvom kroku vypočítame determinant , tzv hlavným determinantom systému.

Gaussova metóda.

Ak , potom má systém jedinečné riešenie a na nájdenie koreňov musíme vypočítať ďalšie dva determinanty:
A

V praxi možno označiť aj vyššie uvedené determinanty latinské písmeno.

Korene rovnice sa nachádzajú podľa vzorcov:
,

Príklad 7

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc

Riešenie: Vidíme, že koeficienty rovnice sú dosť veľké, na pravej strane sú desatinné miesta s čiarkou. Čiarka je pomerne zriedkavým hosťom v praktických úlohách z matematiky, tento systém som prevzal z ekonometrickej úlohy.

Ako vyriešiť takýto systém? Môžete sa pokúsiť vyjadriť jednu premennú pomocou druhej, ale v tomto prípade určite dostanete strašné efektné zlomky, s ktorými je mimoriadne nepohodlné pracovať a návrh riešenia bude vyzerať hrozne. Druhú rovnicu môžete vynásobiť 6 a odčítať člen po člene, ale tu sa objavia rovnaké zlomky.

Čo robiť? V takýchto prípadoch prichádzajú na pomoc Cramerove vzorce.

;

;

Odpoveď: ,

Oba korene majú nekonečné chvosty a nachádzajú sa približne, čo je celkom prijateľné (a dokonca bežné) pre problémy ekonometrie.

Komentáre tu nie sú potrebné, keďže úloha sa rieši podľa hotových vzorcov, je tu však jedno upozornenie. Pri použití túto metódu, povinné Fragment zadania je nasledujúci fragment: "takže systém má jedinečné riešenie". V opačnom prípade vás recenzent môže potrestať za nerešpektovanie Cramerovej vety.

Nebude zbytočné kontrolovať, čo je vhodné vykonať na kalkulačke: približné hodnoty nahradíme ľavá strana každá rovnica systému. V dôsledku toho by sa s malou chybou mali získať čísla, ktoré sú na pravej strane.

Príklad 8

Vyjadrite svoju odpoveď v obyčajných nesprávnych zlomkoch. Vykonajte kontrolu.

Toto je príklad samostatného riešenia (príklad jemného dizajnu a odpovede na konci hodiny).

Prejdeme k úvahe o Cramerovom pravidle pre systém troch rovníc s tromi neznámymi:

Nájdeme hlavný determinant systému:

Ak , potom systém má nekonečne veľa riešení alebo je nekonzistentný (nemá žiadne riešenia). V tomto prípade Cramerovo pravidlo nepomôže, treba použiť Gaussovu metódu.

Ak , potom má systém jedinečné riešenie a na nájdenie koreňov musíme vypočítať ďalšie tri determinanty:
, ,

A nakoniec sa odpoveď vypočíta podľa vzorcov:

Ako vidíte, prípad „tri po troch“ sa v zásade nelíši od prípadu „dva po dvoch“, stĺpec voľných výrazov postupne „prechádza“ zľava doprava pozdĺž stĺpcov hlavného determinantu.

Príklad 9

Vyriešte systém pomocou Cramerových vzorcov.

Riešenie: Riešime sústavu pomocou Cramerových vzorcov.

, takže systém má jedinečné riešenie.

Odpoveď: .

Vlastne tu opäť nie je nič zvláštne komentovať, vzhľadom na to, že sa rozhoduje podľa hotových vzorcov. Ale je tu pár poznámok.

Stáva sa, že v dôsledku výpočtov sa získajú „zlé“ neredukovateľné frakcie, napríklad: .
Odporúčam nasledujúci "liečebný" algoritmus. Ak nie je po ruke počítač, urobíme toto:

1) Vo výpočtoch môže byť chyba. Akonáhle narazíte na „zlý“ výstrel, musíte okamžite skontrolovať, či je podmienka prepísaná správne. Ak je podmienka prepísaná bez chýb, potom je potrebné prepočítať determinanty pomocou rozšírenia v inom riadku (stĺpci).

2) Ak sa v dôsledku kontroly nezistili žiadne chyby, pravdepodobne došlo k preklepu v podmienke zadania. V tomto prípade pokojne a OPATRNE vyriešte úlohu až do konca a potom určite skontrolujte a po rozhodnutí ho vyhotoví na čistopis. Samozrejme, kontrola zlomkovej odpovede je nepríjemná úloha, ale bude to odzbrojujúci argument pre učiteľa, ktorý, no, naozaj rád dáva mínus za každú zlú vec. Ako zaobchádzať so zlomkami je podrobne uvedené v odpovedi na príklad 8.

Ak máte po ruke počítač, potom na jeho kontrolu použite automatizovaný program, ktorý si môžete zadarmo stiahnuť hneď na začiatku lekcie. Mimochodom, najvýhodnejšie je použiť program hneď (ešte pred spustením riešenia), hneď uvidíte medzikrok, v ktorom ste urobili chybu! Rovnaká kalkulačka automaticky vypočíta riešenie sústavy pomocou maticovej metódy.

Druhá poznámka. Z času na čas existujú systémy, v ktorých rovnice niektoré premenné chýbajú, napr.

Tu v prvej rovnici nie je žiadna premenná, v druhej nie je žiadna premenná. V takýchto prípadoch je veľmi dôležité správne a POZORNE zapísať hlavný determinant:
– namiesto chýbajúcich premenných sa vložia nuly.
Mimochodom, je racionálne otvárať determinanty s nulami podľa riadku (stĺpca), v ktorom je nula umiestnená, pretože existuje výrazne menej výpočtov.

Príklad 10

Vyriešte systém pomocou Cramerových vzorcov.

Toto je príklad pre sebarozhodovanie (dokončenie ukážky a odpoveď na konci hodiny).

V prípade systému 4 rovníc so 4 neznáme vzorce Cramer's sú písané podľa podobných princípov. Živý príklad si môžete pozrieť v lekcii Vlastnosti determinantov. Zmenšenie poradia determinantu – päť determinantov 4. rádu je celkom riešiteľných. Hoci úloha už veľmi pripomína profesorskú topánku na hrudi šťastného študenta.

Riešenie sústavy pomocou inverznej matice

Metóda inverznej matice je v podstate špeciálny prípad maticová rovnica(Pozri príklad č. 3 uvedenej lekcie).

Na preštudovanie tejto časti musíte byť schopní rozšíriť determinanty, nájsť inverznú maticu a vykonať násobenie matice. Príslušné odkazy budú uvedené v priebehu vysvetľovania.

Príklad 11

Riešte sústavu maticovou metódou

Riešenie: Systém zapíšeme v maticovom tvare:
, Kde

Pozrite si systém rovníc a matíc. Akým princípom zapisujeme prvky do matíc, myslím, že každý chápe. Jediná poznámka: ak by v rovniciach chýbali nejaké premenné, museli by sa na príslušné miesta v matici dosadiť nuly.

Inverznú maticu nájdeme podľa vzorca:
, kde je transponovaná matica algebraické sčítania zodpovedajúce prvky matice .

Najprv sa pozrime na determinant:

Tu je determinant rozšírený o prvý riadok.

Pozor! Ak , potom inverzná matica neexistuje a systém nie je možné vyriešiť maticovou metódou. V tomto prípade je systém riešený elimináciou neznámych (Gaussova metóda).

Teraz musíte vypočítať 9 maloletých a zapísať ich do matice maloletých

Referencia: Je užitočné poznať význam dvojitých indexov v lineárnej algebre. Prvá číslica je číslo riadku, v ktorom sa prvok nachádza. Druhá číslica je číslo stĺpca, v ktorom sa prvok nachádza:

To znamená, že dvojitý dolný index označuje, že prvok je v prvom riadku, treťom stĺpci, zatiaľ čo napríklad prvok je v 3. riadku, 2. stĺpci

S počtom rovníc zhodným s počtom neznámych s hlavným determinantom matice, ktorý sa nerovná nule, sú koeficienty sústavy (pre takéto rovnice existuje riešenie a je len jedno).

Cramerova veta.

Keď je determinant matice štvorcového systému nenulový, potom je systém kompatibilný a má jedno riešenie a možno ho nájsť pomocou Cramerove vzorce:

kde Δ - determinant systémovej matice,

Δ i- determinant matice sústavy, v ktorej namiesto i stĺpec je stĺpec pravých častí.

Keď je determinant systému nula, potom sa systém môže stať konzistentným alebo nekonzistentným.

Táto metóda sa zvyčajne používa pre malé systémy s výpočtami objemu a ak je potrebné určiť 1 z neznámych. Zložitosť metódy spočíva v tom, že je potrebné vypočítať veľa determinantov.

Popis Cramerovej metódy.

Existuje systém rovníc:

Systém 3 rovníc možno vyriešiť Cramerovou metódou, ktorá bola diskutovaná vyššie pre systém 2 rovníc.

Determinant poskladáme z koeficientov neznámych:

Bude to systémový kvalifikátor. Kedy D≠0, takže systém je konzistentný. Teraz vytvoríme 3 ďalšie determinanty:

,,

Riešime systém tým Cramerove vzorce:

Príklady riešenia sústav rovníc Cramerovou metódou.

Príklad 1.

Daný systém:

Riešime to Cramerovou metódou.

Najprv musíte vypočítať determinant matice systému:

Pretože Δ≠0, teda z Cramerovej vety je systém kompatibilný a má jedno riešenie. Vypočítame ďalšie determinanty. Determinant Δ 1 sa získa z determinantu Δ nahradením jeho prvého stĺpca stĺpcom voľných koeficientov. Dostaneme:

Rovnakým spôsobom získame determinant Δ 2 z determinantu matice systému, pričom druhý stĺpec nahradíme stĺpcom voľných koeficientov:

Cramerova metóda je založená na použití determinantov pri riešení sústav lineárnych rovníc. To výrazne urýchľuje proces riešenia.

Cramerovu metódu možno použiť na riešenie systému toľkých lineárnych rovníc, koľko je neznámych v každej rovnici. Ak sa determinant sústavy nerovná nule, potom možno pri riešení použiť Cramerovu metódu, ak sa rovná nule, tak nie. Okrem toho možno Cramerovu metódu použiť na riešenie systémov lineárnych rovníc, ktoré majú jedinečné riešenie.

Definícia. Determinant zložený z koeficientov neznámych sa nazýva determinant systému a označuje sa (delta).

Determinanty

sa získajú nahradením koeficientov pri zodpovedajúcich neznámych voľnými členmi:

;

.

Cramerova veta. Ak je determinant sústavy nenulový, potom sústava lineárnych rovníc má jediné riešenie a neznáma sa rovná pomeru determinantov. Menovateľ je determinant systému a čitateľ je determinant získaný z determinantu systému nahradením koeficientov neznámym voľnými členmi. Táto veta platí pre sústavu lineárnych rovníc ľubovoľného rádu.

Príklad 1 Vyriešte sústavu lineárnych rovníc:

Podľa Cramerova veta máme:

Takže riešenie systému (2):

online kalkulačka, rozhodujúca metóda Kramer.

Tri prípady pri riešení sústav lineárnych rovníc

Ako vyplýva z Cramerove vety, pri riešení sústavy lineárnych rovníc môžu nastať tri prípady:

Prvý prípad: sústava lineárnych rovníc má jedinečné riešenie

(systém je konzistentný a jednoznačný)

Druhý prípad: sústava lineárnych rovníc má nekonečný počet riešení

(systém je konzistentný a neurčitý)

** ,

tie. koeficienty neznámych a voľných členov sú úmerné.

Tretí prípad: sústava lineárnych rovníc nemá riešenia

(systém je nekonzistentný)

Takže systém m lineárne rovnice s n premenné sa nazývajú nezlučiteľné ak nemá žiadne riešenia a kĺb ak má aspoň jedno riešenie. Spoločná sústava rovníc, ktorá má len jedno riešenie, sa nazýva istý, a viac ako jeden neistý.

Príklady riešenia sústav lineárnych rovníc Cramerovou metódou

Nechajte systém

.

Na základe Cramerovej vety

………….
,

Kde
-

systémový identifikátor. Zvyšné determinanty sa získajú nahradením stĺpca koeficientmi zodpovedajúcej premennej (neznáme) s voľnými členmi:

Príklad 2

.

Preto je systém definitívny. Aby sme našli riešenie, vypočítame determinanty

Podľa Cramerových vzorcov nájdeme:

Takže (1; 0; -1) je jediné riešenie systému.

Na kontrolu riešení sústav rovníc 3 X 3 a 4 X 4 môžete použiť online kalkulačku, metódu Cramerovho riešenia.

Ak v systéme lineárnych rovníc v jednej alebo viacerých rovniciach nie sú žiadne premenné, potom v determinante sú im zodpovedajúce prvky rovné nule! Toto je ďalší príklad.

Príklad 3 Riešte sústavu lineárnych rovníc Cramerovou metódou:

.

Riešenie. Nájdeme determinant systému:

Pozorne sa pozrite na sústavu rovníc a na determinant sústavy a zopakujte odpoveď na otázku, v ktorých prípadoch sa jeden alebo viac prvkov determinantu rovná nule. Takže determinant sa nerovná nule, preto je systém určitý. Aby sme našli riešenie, vypočítame determinanty pre neznáme

Podľa Cramerových vzorcov nájdeme:

Riešenie sústavy je teda (2; -1; 1).

Na kontrolu riešení sústav rovníc 3 X 3 a 4 X 4 môžete použiť online kalkulačku, metódu Cramerovho riešenia.

Začiatok stránky

Pokračujeme v riešení systémov Cramerovou metódou spoločne

Ako už bolo spomenuté, ak je determinant systému rovný nule a determinanty pre neznáme nie sú rovné nule, systém je nekonzistentný, to znamená, že nemá žiadne riešenia. Ilustrujme si to na nasledujúcom príklade.

Príklad 6 Riešte sústavu lineárnych rovníc Cramerovou metódou:

Riešenie. Nájdeme determinant systému:

Determinant systému je rovný nule, preto je systém lineárnych rovníc buď nekonzistentný a určitý, alebo nekonzistentný, to znamená, že nemá riešenia. Pre objasnenie vypočítame determinanty pre neznáme

Determinanty pre neznáme sa nerovnajú nule, preto je systém nekonzistentný, to znamená, že nemá žiadne riešenia.

Na kontrolu riešení sústav rovníc 3 X 3 a 4 X 4 môžete použiť online kalkulačku, metódu Cramerovho riešenia.

V úlohách o sústavách lineárnych rovníc sú aj také, kde sú okrem písmen označujúcich premenné aj iné písmená. Tieto písmená predstavujú nejaké číslo, najčastejšie skutočné číslo. V praxi takéto rovnice a sústavy rovníc vedú k problémom nájsť všeobecné vlastnosti akýchkoľvek javov a objektov. Teda, vymysleli ste nejaké nový materiál alebo zariadenie a na popis jeho vlastností, ktoré sú bežné bez ohľadu na veľkosť či počet kópií, je potrebné vyriešiť sústavu lineárnych rovníc, kde namiesto nejakých koeficientov pre premenné sú písmená. Príklady netreba hľadať ďaleko.

Ďalší príklad je pre podobný problém, len sa zvyšuje počet rovníc, premenných a písmen označujúcich nejaké reálne číslo.

Príklad 8 Riešte sústavu lineárnych rovníc Cramerovou metódou:

Riešenie. Nájdeme determinant systému:

Hľadanie determinantov pre neznáme

Aby ste tento odsek zvládli, musíte vedieť otvárať kvalifikátory „dva po dvoch“ a „tri po troch“. Ak sú kvalifikácie zlé, preštudujte si lekciu Ako vypočítať determinant?

Najprv podrobne zvážime Cramerovo pravidlo pre systém dvoch lineárnych rovníc o dvoch neznámych. Prečo? „Najjednoduchší systém sa dá predsa vyriešiť školskou metódou, sčítaním po semestri!

Faktom je, že aj keď niekedy, ale existuje taká úloha - vyriešiť systém dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi pomocou Cramerových vzorcov. Po druhé, jednoduchší príklad vám pomôže pochopiť, ako použiť Cramerovo pravidlo pre zložitejší prípad – systém troch rovníc s tromi neznámymi.

Okrem toho existujú sústavy lineárnych rovníc s dvoma premennými, ktoré je vhodné riešiť presne podľa Cramerovho pravidla!

Zvážte sústavu rovníc

V prvom kroku vypočítame determinant , tzv hlavným determinantom systému.

Gaussova metóda.

Ak , potom má systém jedinečné riešenie a na nájdenie koreňov musíme vypočítať ďalšie dva determinanty:
A

V praxi môžu byť vyššie uvedené kvalifikátory označené aj latinkou.

Korene rovnice sa nachádzajú podľa vzorcov:
,

Príklad 7

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc

Riešenie: Vidíme, že koeficienty rovnice sú dosť veľké, na pravej strane sú desatinné zlomky s čiarkou. Čiarka je pomerne zriedkavým hosťom v praktických úlohách z matematiky, tento systém som prevzal z ekonometrickej úlohy.

Ako vyriešiť takýto systém? Môžete sa pokúsiť vyjadriť jednu premennú pomocou druhej, ale v tomto prípade určite dostanete strašné efektné zlomky, s ktorými je mimoriadne nepohodlné pracovať a návrh riešenia bude vyzerať hrozne. Druhú rovnicu môžete vynásobiť 6 a odčítať člen po člene, ale tu sa objavia rovnaké zlomky.

Čo robiť? V takýchto prípadoch prichádzajú na pomoc Cramerove vzorce.

;

;

Odpoveď: ,

Oba korene majú nekonečné chvosty a nachádzajú sa približne, čo je celkom prijateľné (a dokonca bežné) pre problémy ekonometrie.

Komentáre tu nie sú potrebné, keďže úloha sa rieši podľa hotových vzorcov, je tu však jedno upozornenie. Pri použití tejto metódy povinné Fragment zadania je nasledujúci fragment: "takže systém má jedinečné riešenie". V opačnom prípade vás recenzent môže potrestať za nerešpektovanie Cramerovej vety.

Nebude zbytočné kontrolovať, čo je vhodné vykonať na kalkulačke: nahradíme približné hodnoty na ľavej strane každej rovnice systému. V dôsledku toho by sa s malou chybou mali získať čísla, ktoré sú na pravej strane.

Príklad 8

Vyjadrite svoju odpoveď v obyčajných nesprávnych zlomkoch. Vykonajte kontrolu.

Toto je príklad samostatného riešenia (príklad jemného dizajnu a odpovede na konci hodiny).

Prejdeme k úvahe o Cramerovom pravidle pre systém troch rovníc s tromi neznámymi:

Nájdeme hlavný determinant systému:

Ak , potom systém má nekonečne veľa riešení alebo je nekonzistentný (nemá žiadne riešenia). V tomto prípade Cramerovo pravidlo nepomôže, treba použiť Gaussovu metódu.

Ak , potom má systém jedinečné riešenie a na nájdenie koreňov musíme vypočítať ďalšie tri determinanty:
, ,

A nakoniec sa odpoveď vypočíta podľa vzorcov:

Ako vidíte, prípad „tri po troch“ sa v zásade nelíši od prípadu „dva po dvoch“, stĺpec voľných výrazov postupne „prechádza“ zľava doprava pozdĺž stĺpcov hlavného determinantu.

Príklad 9

Vyriešte systém pomocou Cramerových vzorcov.

Riešenie: Riešime sústavu pomocou Cramerových vzorcov.

, takže systém má jedinečné riešenie.

Odpoveď: .

Vlastne tu opäť nie je nič zvláštne komentovať, vzhľadom na to, že sa rozhoduje podľa hotových vzorcov. Ale je tu pár poznámok.

Stáva sa, že v dôsledku výpočtov sa získajú „zlé“ neredukovateľné frakcie, napríklad: .
Odporúčam nasledujúci "liečebný" algoritmus. Ak nie je po ruke počítač, urobíme toto:

1) Vo výpočtoch môže byť chyba. Akonáhle narazíte na „zlý“ výstrel, musíte okamžite skontrolovať, či je podmienka prepísaná správne. Ak je podmienka prepísaná bez chýb, potom je potrebné prepočítať determinanty pomocou rozšírenia v inom riadku (stĺpci).

2) Ak sa v dôsledku kontroly nezistili žiadne chyby, pravdepodobne došlo k preklepu v podmienke zadania. V tomto prípade pokojne a OPATRNE vyriešte úlohu až do konca a potom určite skontrolujte a po rozhodnutí ho vyhotoví na čistopis. Samozrejme, kontrola zlomkovej odpovede je nepríjemná úloha, ale bude to odzbrojujúci argument pre učiteľa, ktorý, no, naozaj rád dáva mínus za každú zlú vec. Ako zaobchádzať so zlomkami je podrobne uvedené v odpovedi na príklad 8.

Ak máte po ruke počítač, potom na jeho kontrolu použite automatizovaný program, ktorý si môžete zadarmo stiahnuť hneď na začiatku lekcie. Mimochodom, najvýhodnejšie je použiť program hneď (ešte pred spustením riešenia), hneď uvidíte medzikrok, v ktorom ste urobili chybu! Rovnaká kalkulačka automaticky vypočíta riešenie sústavy pomocou maticovej metódy.

Druhá poznámka. Z času na čas existujú systémy, v ktorých rovnice niektoré premenné chýbajú, napr.

Tu v prvej rovnici nie je žiadna premenná, v druhej nie je žiadna premenná. V takýchto prípadoch je veľmi dôležité správne a POZORNE zapísať hlavný determinant:
– namiesto chýbajúcich premenných sa vložia nuly.
Mimochodom, je racionálne otvárať determinanty s nulami podľa riadku (stĺpca), v ktorom je nula umiestnená, pretože existuje výrazne menej výpočtov.

Príklad 10

Vyriešte systém pomocou Cramerových vzorcov.

Toto je príklad pre sebarozhodovanie (dokončenie ukážky a odpoveď na konci hodiny).

Pre prípad sústavy 4 rovníc so 4 neznámymi sú Cramerove vzorce napísané podľa podobných princípov. Živý príklad si môžete pozrieť v lekcii Vlastnosti determinantov. Zmenšenie poradia determinantu – päť determinantov 4. rádu je celkom riešiteľných. Hoci úloha už veľmi pripomína profesorskú topánku na hrudi šťastného študenta.

Riešenie sústavy pomocou inverznej matice

Metóda inverznej matice je v podstate špeciálny prípad maticová rovnica(Pozri príklad č. 3 uvedenej lekcie).

Na preštudovanie tejto časti musíte byť schopní rozšíriť determinanty, nájsť inverznú maticu a vykonať násobenie matice. Príslušné odkazy budú uvedené v priebehu vysvetľovania.

Príklad 11

Riešte sústavu maticovou metódou

Riešenie: Systém zapíšeme v maticovom tvare:
, Kde

Pozrite si systém rovníc a matíc. Akým princípom zapisujeme prvky do matíc, myslím, že každý chápe. Jediná poznámka: ak by v rovniciach chýbali nejaké premenné, museli by sa na príslušné miesta v matici dosadiť nuly.

Inverznú maticu nájdeme podľa vzorca:
, kde je transponovaná matica algebraických doplnkov zodpovedajúcich prvkov matice .

Najprv sa pozrime na determinant:

Tu je determinant rozšírený o prvý riadok.

Pozor! Ak , potom inverzná matica neexistuje a systém nie je možné vyriešiť maticovou metódou. V tomto prípade je systém riešený elimináciou neznámych (Gaussova metóda).

Teraz musíte vypočítať 9 maloletých a zapísať ich do matice maloletých

Referencia: Je užitočné poznať význam dvojitých indexov v lineárnej algebre. Prvá číslica je číslo riadku, v ktorom sa prvok nachádza. Druhá číslica je číslo stĺpca, v ktorom sa prvok nachádza:

To znamená, že dvojitý dolný index označuje, že prvok je v prvom riadku, treťom stĺpci, zatiaľ čo napríklad prvok je v 3. riadku, 2. stĺpci

V priebehu riešenia je lepšie podrobne popísať výpočet maloletých, aj keď s určitými skúsenosťami ich možno upraviť tak, aby rátali s chybami aj ústne.