Prezentované sú hlavné typy nerovností, vrátane nerovností Bernoulliho, Cauchyho-Bunyakovského, Minkovského, Čebyševa. Zvažujú sa vlastnosti nerovností a pôsobenie na ne. Uvádzame hlavné metódy riešenia nerovností.

Vzorce pre základné nerovnosti

Vzorce pre univerzálne nerovnosti

Univerzálne nerovnosti sú splnené pre akékoľvek hodnoty množstiev, ktoré sú v nich zahrnuté. Hlavné typy univerzálnych nerovností sú uvedené nižšie.

1) | a b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |

2) |a| + |b| ≥ | a-b | ≥ | |a| - |b| |

3)
Rovnosť nastáva len vtedy, keď a 1 = a 2 = ... = a n .

4) Cauchyho-Bunyakovského nerovnosť

Rovnosť platí práve vtedy, ak α a k = β b k pre všetky k = 1, 2, ..., n a niektoré α, β, |α| + |β| > 0.

5) Minkowského nerovnosť, pre p ≥ 1

Vzorce pre zvládnuteľné nerovnosti

Splniteľné nerovnosti sú splnené pre určité hodnoty množstiev, ktoré sú v nich zahrnuté.

1) Bernoulliho nerovnosť:
.
Vo viac všeobecný pohľad:
,
kde , čísla rovnakého znamienka a väčšie ako -1 : .
Bernoulliho lemma:
.
Pozri "Dôkazy nerovností a Bernoulliho lemma".

2)
pre a i > 0 (i = 1, 2, ..., n).

3) Čebyševova nerovnosť
pri 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n A 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
O 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n A b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Generalizované Čebyševove nerovnosti
pri 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n A 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n a k prirodzené
.
O 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n A b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Vlastnosti nerovností

Vlastnosti nerovností sú súborom tých pravidiel, ktoré sú splnené pri ich transformácii. Nižšie sú uvedené vlastnosti nerovností. Rozumie sa, že počiatočné nerovnosti sú splnené pre hodnoty x i (i = 1, 2, 3, 4) patriace do nejakého vopred určeného intervalu.

1) Pri zmene poradia strán sa znamienko nerovnosti obráti.
Ak x 1< x 2 , то x 2 >x 1.
Ak x 1 ≤ x 2, potom x 2 ≥ x 1.
Ak x 1 ≥ x 2, potom x 2 ≤ x 1.
Ak x 1 > x 2, potom x 2< x 1 .

2) Jedna rovnosť je ekvivalentná dvom neprísnym nerovnostiam iné znamenie.
Ak x 1 = x 2, potom x 1 ≤ x 2 a x 1 ≥ x 2.
Ak x 1 ≤ x 2 a x 1 ≥ x 2, potom x 1 = x 2.

3) Vlastnosť tranzitivity
Ak x 1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Ak x 1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Ak x 1 ≤ x 2 a x 2< x 3 , то x 1 < x 3 .
Ak x 1 ≤ x 2 a x 2 ≤ x 3, potom x 1 ≤ x 3 .

4) K obom častiam nerovnice môžete pridať (odčítať) rovnaké číslo.
Ak x 1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Ak x 1 ≤ x 2, potom x 1 + A ≤ x 2 + A .
Ak x 1 ≥ x 2, potom x 1 + A ≥ x 2 + A .
Ak x 1 > x 2, potom x 1 + A > x 2 + A.

5) Ak existujú dve alebo viac nerovností so znamienkom rovnakého smeru, potom je možné ich ľavú a pravú časť pridať.
Ak x 1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Ak x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Ak x 1 ≤ x 2, x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Ak x 1 ≤ x 2 , x 3 ≤ x 4 , potom x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4 .
Podobné výrazy sa vyskytujú pre znaky ≥, >.
Ak počiatočné nerovnosti obsahujú znaky neprísnych nerovností a aspoň jednu striktnú nerovnosť (ale všetky znaky majú rovnaký smer), výsledkom sčítania je prísna nerovnosť.

6) Obe časti nerovnosti možno vynásobiť (vydeliť) kladným číslom.
Ak x 1< x 2 и A >0, potom A x 1< A · x 2 .
Ak x 1 ≤ x 2 a A > 0, potom A x 1 ≤ A x 2 .
Ak x 1 ≥ x 2 a A > 0, potom A x 1 ≥ A x 2.
Ak x 1 > x 2 a A > 0, potom A x 1 > A x 2.

7) Obe časti nerovnosti možno vynásobiť (vydeliť). záporné číslo. V tomto prípade sa znamienko nerovnosti zmení na opak.
Ak x 1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >A · x 2.
Ak x 1 ≤ x 2 a A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Ak x 1 ≥ x 2 a A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Ak x 1 > x 2 a A< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) Ak existujú dve alebo viac nerovností s kladnými členmi, so znamienkom rovnakého smeru, ich ľavá a pravá časť sa môžu navzájom vynásobiť.
Ak x 1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 potom x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Ak x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 potom x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Ak x 1 ≤ x 2, x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 potom x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Ak x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0, potom x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
Podobné výrazy sa vyskytujú pre znaky ≥, >.
Ak počiatočné nerovnosti obsahujú znaky neprísnych nerovností a aspoň jednu striktnú nerovnosť (ale všetky znaky majú rovnaký smer), výsledkom násobenia je prísna nerovnosť.

9) Nech f(x) je monotónne rastúca funkcia. To znamená, že pre ľubovoľné x 1 > x 2, f(x 1) > f(x 2) . Potom je možné túto funkciu aplikovať na obe časti nerovnosti, od ktorých sa znamienko nerovnosti nemení.
Ak x 1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Ak x 1 ≤ x 2, potom f(x 1) ≤ f(x 2) .
Ak x 1 ≥ x 2, potom f(x 1) ≥ f(x 2) .
Ak x 1 > x 2, potom f(x 1) > f(x 2) .

10) Nech f (x) je monotónne klesajúca funkcia, teda pre ľubovoľné x 1 > x 2, f (x 1)< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Ak x 1< x 2 , то f(x 1) >f(x2) .
Ak x 1 ≤ x 2, potom f(x 1) ≥ f(x 2) .
Ak x 1 ≥ x 2, potom f(x 1) ≤ f(x 2) .
Ak x 1 > x 2, potom f(x 1)< f(x 2) .

Metódy riešenia nerovností

Riešenie nerovníc intervalovou metódou

Intervalová metóda je použiteľná, ak nerovnosť obsahuje jednu premennú, ktorú označíme ako x a má tvar:
f(x) > 0
kde f(x) - nepretržitá funkcia, ktorý má konečný počet bodov nespojitosti. Znamienko nerovnosti môže byť čokoľvek: >, ≥,<, ≤ .

Intervalová metóda je nasledovná.

1) Nájdite definičný obor funkcie f(x) a označte ho intervalmi na reálnej osi.

2) Nájdite body nespojitosti funkcie f(x) . Napríklad, ak ide o zlomok, nájdeme body, v ktorých menovateľ zmizne. Tieto body označíme na číselnej osi.

3) Vyriešte rovnicu
f(x) = 0.
Korene tejto rovnice sú vyznačené na číselnej osi.

4) V dôsledku toho bude číselná os rozdelená podľa bodov na intervaly (segmenty). V rámci každého intervalu zahrnutého v definičnom obore vyberieme ľubovoľný bod a v tomto bode vypočítame hodnotu funkcie. Ak je táto hodnota väčšia ako nula, potom nad segment (interval) umiestnime znamienko „+“. Ak je táto hodnota menšia ako nula, potom nad segment (interval) umiestnime znamienko "-".

5) Ak má nerovnosť tvar: f(x) > 0 , vyberte intervaly so znamienkom „+“. Riešením nerovnosti je spojenie týchto intervalov, ktoré nezahŕňajú ich hranice.
Ak má nerovnosť tvar: f(x) ≥ 0 , tak k riešeniu pridáme body, kde f(x) = 0 . To znamená, že niektoré z intervalov môžu mať uzavreté hranice (hranica patrí intervalu). druhá časť môže mať otvorené hranice (hranica nepatrí do intervalu).
Podobne, ak je nerovnosť: f(x)< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Ak nerovnosť vyzerá takto: f(x) ≤ 0 , tak do riešenia pridáme body, kde f(x) = 0 .

Riešenie nerovností aplikáciou ich vlastností

Táto metóda je použiteľná na nerovnosti akejkoľvek zložitosti. Spočíva v aplikácii vlastností (uvedených vyššie) na zníženie nerovností do jednoduchšej formy a získanie riešenia. Je dosť možné, že z toho vznikne nie jedna, ale systém nerovností. Toto je univerzálna metóda. Platí pre akékoľvek nerovnosti.

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov vysokých škôl, Lan, 2009.

Jednou z tém, ktorá si od žiakov vyžaduje maximálnu pozornosť a vytrvalosť, je riešenie nerovností. Tak podobné rovniciam a zároveň sa od nich veľmi líšia. Pretože ich riešenie si vyžaduje špeciálny prístup.

Vlastnosti potrebné na nájdenie odpovede

Všetky sa používajú na nahradenie existujúceho záznamu ekvivalentným záznamom. Väčšina z nich je podobná tomu, čo bolo v rovniciach. Existujú však aj rozdiely.

• K obom častiam pôvodnej nerovnosti možno pridať funkciu, ktorá je definovaná v DPV, alebo ľubovoľné číslo.
• Podobne je možné aj násobenie, ale len kladnou funkciou alebo číslom.
• Ak sa táto akcia vykoná so zápornou funkciou alebo číslom, znamienko nerovnosti sa musí obrátiť.
• Funkcie, ktoré nie sú negatívne, môžu byť povýšené na kladnú moc.

Niekedy je riešenie nerovností sprevádzané akciami, ktoré dávajú cudzie odpovede. Treba ich vylúčiť porovnaním oblasť ODZ a veľa riešení.

Pomocou metódy rozstupov

Jeho podstatou je zníženie nerovnosti na rovnicu, v ktorej je nula na pravej strane.

1. Určite oblasť, kde ležia prípustné hodnoty premenných, to znamená ODZ.
2. Transformujte nerovnosť pomocou matematických operácií tak, aby jej pravá strana bola nulová.
3. Nahraďte znamienko nerovnosti "=" a vyriešte zodpovedajúcu rovnicu.
4. Na číselnej osi vyznačte všetky odpovede, ktoré boli získané pri riešení, ako aj intervaly ODZ. V prípade striktnej nerovnosti musia byť body nakreslené prepichnuté. Ak existuje znamienko rovnosti, potom sa predpokladá, že budú premaľované.
5. Určte znamienko pôvodnej funkcie na každom intervale vyplývajúcej z bodov ODZ a odpovedí, ktoré ju delia. Ak sa znamienko funkcie pri prechode bodom nezmení, potom vstúpi do odpovede. V opačnom prípade je to vylúčené.
6. Hraničné body pre ODZ je potrebné dodatočne skontrolovať a až potom zaradiť alebo nezaradiť do reakcie.
7. Získaná odpoveď musí byť napísaná vo forme spojených množín.

Trochu o dvojitých nerovnostiach

V zázname používajú naraz dva znaky nerovnosti. To znamená, že niektorá funkcia je obmedzená podmienkami dvakrát naraz. Takéto nerovnosti sa riešia systémom dvoch, kedy sa pôvodná rozdelí na časti. A v metóde intervalov sú uvedené odpovede z riešenia oboch rovníc.

Na ich vyriešenie je tiež prípustné použiť vlastnosti uvedené vyššie. S ich pomocou je vhodné znížiť nerovnosť na nulu.

Čo s nerovnosťami, ktoré majú modul?

V tomto prípade riešenie nerovníc využíva nasledujúce vlastnosti a tie platia pre kladnú hodnotu „a“.

Ak zaberie "x". algebraický výraz, potom sú platné nasledujúce substitúcie:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > a na x< -a или х >a.

Ak nerovnosti nie sú striktné, tak sú aj vzorce pravdivé, len sa v nich okrem väčšieho alebo menšieho znamienka objaví „=“.

Ako je vyriešený systém nerovností?

Tieto znalosti sa budú vyžadovať v prípadoch, keď je zadaná takáto úloha alebo je zaznamenaná dvojitá nerovnosť alebo sa v zázname objaví modul. V takejto situácii budú riešením také hodnoty premenných, ktoré by uspokojili všetky nerovnosti v zázname. Ak takéto čísla neexistujú, potom systém nemá riešenia.

Plán, podľa ktorého sa vykonáva riešenie sústavy nerovností:

• vyriešiť každý z nich samostatne;
• znázorniť všetky intervaly na číselnej osi a určiť ich priesečníky;
• napíšte odpoveď systému, ktorá bude spojením toho, čo sa stalo v druhom odseku.

A čo zlomkové nerovnosti?

Keďže pri ich riešení môže byť potrebné zmeniť znamienko nerovnosti, je potrebné veľmi pozorne a pozorne dodržiavať všetky body plánu. V opačnom prípade môžete dostať opačnú odpoveď.

Pri riešení zlomkových nerovností sa využíva aj intervalová metóda. A akčný plán by bol:

• Pomocou opísaných vlastností dajte zlomku taký tvar, aby napravo od znamienka zostala iba nula.
• Nahraďte nerovnosť znakom "=" a určte body, v ktorých sa funkcia bude rovnať nule.
• Označte ich na súradnicovej osi. V tomto prípade budú čísla vyplývajúce z výpočtov v menovateli vždy vyrazené. Všetky ostatné sú založené na podmienke nerovnosti.
• Určte intervaly stálosti.
• Ako odpoveď napíšte spojenie tých intervalov, ktorých znamienko zodpovedá tomu, ktorý bol v pôvodnej nerovnosti.

Situácie, keď sa v nerovnosti objavuje iracionalita

Inými slovami, v zázname je matematický koreň. Keďže v kurze školskej algebry väčšina z nichúlohy ide na druhú odmocninu, potom sa bude brať do úvahy.

Riešenie iracionálnych nerovností spočíva v získaní systému dvoch alebo troch, ktorý bude ekvivalentný pôvodnému.

Počiatočná nerovnosť	stave	ekvivalentný systém
√ n (x)< m(х)	m(x) je menšie alebo rovné 0	žiadne riešenia
	m(x) je väčšie ako 0	n(x) je väčšie alebo rovné 0 n(x)< (m(х)) 2
√ n(x) > m(x)		m(x) je väčšie alebo rovné 0 n(x) > (m(x)) 2
		n(x) je väčšie alebo rovné 0 m(x) je menšie ako 0
√n(х) ≤ m(х)	m(x) je menšie ako 0	žiadne riešenia
	m(x) je väčšie alebo rovné 0	n(x) je väčšie alebo rovné 0 n(х) ≤ (m(х)) 2
√n(x) ≥ m(x)		m(x) je väčšie alebo rovné 0 n(x) ≥ (m(x)) 2
		n(x) je väčšie alebo rovné 0 m(x) je menšie ako 0
√ n (x)< √ m(х)		n(x) je väčšie alebo rovné 0 n(x) je menšie ako m(x)
√n(x) * m(x)< 0		n(x) je väčšie ako 0 m(x) je menšie ako 0
√n(x) * m(x) > 0		n(x) je väčšie ako 0 m(x) je väčšie ako 0
√n(х) * m(х) ≤ 0		n(x) je väčšie ako 0
		n(x) je 0 m(x) -akýkoľvek
√n(x) * m(x) ≥ 0		n(x) je väčšie ako 0
		n(x) je 0 m(x) -akýkoľvek

Príklady riešenia rôznych druhov nerovností

Aby bola teória o riešení nerovností objasnená, nižšie sú uvedené príklady.

Prvý príklad. 2x - 4 > 1 + x

Riešenie: Ak chcete určiť DHS, stačí sa pozorne pozrieť na nerovnosť. Tvorí sa z lineárne funkcie, takže je definovaný pre všetky hodnoty premennej.

Teraz z oboch strán nerovnosti musíte odpočítať (1 + x). Ukazuje sa: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Po otvorení zátvoriek a uvedení podobných výrazov bude mať nerovnosť tento tvar: x - 5 > 0.

Ak to prirovnáme k nule, je ľahké nájsť riešenie: x = 5.

Teraz by mal byť tento bod s číslom 5 označený na lúči súradníc. Potom skontrolujte znaky pôvodnej funkcie. Na prvom intervale od mínus nekonečna do 5 môžete vziať číslo 0 a dosadiť ho do nerovnosti získanej po transformáciách. Po výpočtoch to vychádza -7 >0. pod oblúkom intervalu musíte podpísať znamienko mínus.

Na ďalšom intervale od 5 do nekonečna si môžete zvoliť číslo 6. Potom sa ukáže, že 1 > 0. Znamienko „+“ je podpísané pod oblúkom. Tento druhý interval bude odpoveďou na nerovnosť.

Odpoveď: x leží v intervale (5; ∞).

Druhý príklad. Je potrebné vyriešiť systém dvoch rovníc: 3x + 3 ≤ 2x + 1 a 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Riešenie. ODZ týchto nerovností tiež leží v oblasti ľubovoľných čísel, pretože sú dané lineárne funkcie.

Druhá nerovnosť bude mať tvar nasledujúcej rovnice: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Po transformácii: -x - 4 =0. Vytvára hodnotu pre premennú rovnú -4.

Tieto dve čísla by mali byť vyznačené na osi, znázorňujúce intervaly. Keďže nerovnosť nie je striktná, všetky body musia byť zatienené. Prvý interval je od mínus nekonečna do -4. Nech je zvolené číslo -5. Prvá nerovnosť dá hodnotu -3 a druhá 1. Tento interval teda nie je zahrnutý v odpovedi.

Druhý interval je od -4 do -2. Môžete si zvoliť číslo -3 a nahradiť ho v oboch nerovnostiach. V prvom a v druhom sa získa hodnota -1. Takže pod oblúkom "-".

Na poslednom intervale od -2 do nekonečna je nula najlepšie číslo. Musíte ho nahradiť a nájsť hodnoty nerovností. V prvom z nich sa získa kladné číslo a v druhom nula. Tento interval by sa mal tiež vylúčiť z odpovede.

Z troch intervalov je len jeden riešením nerovnosti.

Odpoveď: x patrí do [-4; -2].

Tretí príklad. |1 – x| > 2 |x - 1|.

Riešenie. Prvým krokom je určiť body, v ktorých funkcie zmiznú. Pre ľavú stranu bude toto číslo 2, pre pravú - 1. Musia byť označené na nosníku a musia byť určené intervaly stálosti.

Na prvom intervale, od mínus nekonečna do 1, má funkcia z ľavej strany nerovnosti kladné hodnoty a z pravej strany záporné. Pod oblúkom musíte napísať dve znamienka „+“ a „-“ vedľa seba.

Ďalší interval je od 1 do 2. Na ňom obe funkcie nadobúdajú kladné hodnoty. Takže pod oblúkom sú dve plusy.

Tretí interval od 2 do nekonečna poskytne nasledujúci výsledok: ľavá funkcia- negatívny, správny - pozitívny.

Berúc do úvahy výsledné znaky, je potrebné vypočítať hodnoty nerovností pre všetky intervaly.

Na prvom sa získa nasledujúca nerovnosť: 2 - x\u003e - 2 (x - 1). Mínus pred dvojkou v druhej nerovnosti je spôsobený tým, že táto funkcia je záporná.

Po transformácii nerovnosť vyzerá takto: x > 0. Okamžite dáva hodnoty premennej. To znamená, že z tohto intervalu bude odpoveďou iba interval od 0 do 1.

Na druhom: 2 - x\u003e 2 (x - 1). Transformácie dajú takú nerovnosť: -3x + 4 je väčšie ako nula. Jeho nula bude hodnota x = 4/3. Vzhľadom na znamienko nerovnosti sa ukazuje, že x musí byť menšie ako toto číslo. To znamená, že tento interval sa zníži na interval od 1 do 4/3.

Ten dáva nasledujúci záznam nerovnosti: - (2 - x) > 2 (x - 1). Jej transformácia vedie k tomuto: -x > 0. To znamená, že rovnica platí pre x menšie ako nula. To znamená, že nerovnosť nedáva riešenia na požadovanom intervale.

Na prvých dvoch intervaloch bolo číslo hranice 1. Musí sa skontrolovať samostatne. To znamená dosadiť do pôvodnej nerovnosti. Ukazuje sa: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Počítanie dáva, že 1 je väčšia ako 0. Toto je pravdivé tvrdenie, preto je v odpovedi zahrnuté aj jedno.

Odpoveď: x leží v intervale (0; 4/3).

Od staroveku bolo potrebné porovnávať hodnoty a množstvá pri riešení praktických problémov. Zároveň sa objavili také slová ako viac a menej, vyššie a nižšie, ľahšie a ťažšie, tichšie a hlasnejšie, lacnejšie a drahšie atď., ktoré označujú výsledky porovnávania homogénnych veličín.

Pojmy viac a menej vznikli v súvislosti s počítaním predmetov, meraním a porovnávaním veličín. Napríklad matematici starovekého Grécka vedeli, že strana akéhokoľvek trojuholníka je menšia ako súčet ostatných dvoch strán a že väčšia strana trojuholníka leží oproti väčšiemu uhlu. Archimedes pri výpočte obvodu kruhu zistil, že obvod každého kruhu sa rovná trojnásobku priemeru s prebytkom, ktorý je menší ako sedmina priemeru, ale viac ako desať sedemdesiatich jedna prvého priemeru.

Symbolicky napíšte vzťahy medzi číslami a veličinami pomocou znakov > a b. Zápisy, v ktorých sú dve čísla spojené jedným zo znakov: > (väčšie ako), S číselnými nerovnosťami ste sa stretli aj v nižších ročníkov. Viete, že nerovnosti môžu a nemusia byť pravdivé. Napríklad \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) je platná číselná nerovnosť, 0,23 > 0,235 je neplatná číselná nerovnosť.

Nerovnosti, ktoré zahŕňajú neznáme, môžu byť pravdivé pre niektoré hodnoty neznámych a nepravdivé pre iné. Napríklad nerovnosť 2x+1>5 je pravdivá pre x = 3, ale nepravdivá pre x = -3. Pre nerovnosť s jednou neznámou si môžete nastaviť úlohu: vyriešte nerovnosť. Problémy riešenia nerovníc v praxi sú kladené a riešené nemenej často ako problémy riešenia rovníc. Napríklad mnohé ekonomické problémy sa redukujú na štúdium a riešenie systémov lineárne nerovnosti. V mnohých odvetviach matematiky sú nerovnosti bežnejšie ako rovnice.

Niektoré nerovnosti sú jediné pomocné prostriedky, ktorý vám umožňuje dokázať alebo vyvrátiť existenciu určitého objektu, napríklad koreňa rovnice.

Numerické nerovnosti

Viete porovnať celé čísla? desatinné miesta. Poznať pravidlá porovnávania obyčajné zlomky s rovnakými menovateľmi, ale rôznymi čitateľmi; s rovnakými čitateľmi, ale rôznych menovateľov. Tu sa dozviete, ako porovnať ľubovoľné dve čísla nájdením znamienka ich rozdielu.

Porovnávanie čísel je v praxi široko používané. Napríklad ekonóm porovnáva plánované ukazovatele so skutočnými, lekár porovnáva teplotu pacienta s normálom, sústružník porovnáva rozmery opracovaného dielu so štandardom. Vo všetkých takýchto prípadoch sa porovnávajú niektoré čísla. V dôsledku porovnávania čísel vznikajú číselné nerovnosti.

Definícia.Číslo a ďalšie číslo b ak rozdiel a-b pozitívne. Číslo a menej ako číslo b ak je rozdiel a-b záporný.

Ak je a väčšie ako b, potom píšu: a > b; ak je a menšie ako b, tak píšu: a Nerovnosť a > b teda znamená, že rozdiel a - b je kladný, t.j. a - b > 0. Nerovnosť a Pre ľubovoľné dve čísla a a b z nasledujúcich troch vzťahov a > b, a = b, a Veta. Ak a > b a b > c, potom a > c.

Veta. Ak sa na obe strany nerovnosti pridá rovnaké číslo, znamienko nerovnosti sa nezmení.
Dôsledok. Ktorýkoľvek člen môže byť prenesený z jednej časti nerovnosti na druhú zmenou znamienka tohto termínu na opačný.

Veta. Ak sú obe strany nerovnosti vynásobené rovnakým kladným číslom, potom sa znamienko nerovnosti nemení. Ak sa obe strany nerovnosti vynásobia rovnakým záporným číslom, znamienko nerovnosti sa zmení na opačné.
Dôsledok. Ak sú obe časti nerovnosti delené rovnakým kladným číslom, potom sa znamienko nerovnosti nemení. Ak sú obe časti nerovnosti delené rovnakým záporným číslom, potom sa znamienko nerovnosti zmení na opačné.

Viete, že číselné rovnosti je možné sčítať a vynásobiť výrazom. Ďalej sa dozviete, ako vykonávať podobné akcie s nerovnosťami. V praxi sa často využíva možnosť sčítania a násobenia nerovností člen po člen. Tieto akcie vám pomôžu vyriešiť problémy s vyhodnocovaním a porovnávaním hodnôt výrazov.

Pri riešení rôznych problémov je často potrebné pripočítať alebo vynásobiť člen po člene ľavú a pravú časť nerovností. Niekedy sa hovorí, že nerovnosti sa pridávajú alebo násobia. Napríklad, ak turista prešiel prvý deň viac ako 20 km a druhý deň viac ako 25 km, potom možno tvrdiť, že za dva dni prešiel viac ako 45 km. Podobne, ak je dĺžka obdĺžnika menšia ako 13 cm a šírka je menšia ako 5 cm, potom možno tvrdiť, že plocha tohto obdĺžnika je menšia ako 65 cm2.

Pri zvažovaní týchto príkladov, nasledujúce vety o sčítaní a násobení nerovností:

Veta. Pri sčítaní nerovníc rovnakého znamienka dostaneme nerovnosť toho istého znamienka: ak a > b a c > d, potom a + c > b + d.

Veta. Pri násobení nerovností toho istého znamienka, pre ktoré sú ľavá a pravá strana kladné, dostaneme nerovnosť toho istého znamienka: ak a > b, c > d a a, b, c, d sú kladné čísla, potom ac > bd.

Nerovnosti so znamienkom > (väčšie ako) a 1/2, 3/4 b, c Spolu s prísnymi znamienkami nerovnosti > a Rovnakým spôsobom nerovnosť \(a \geq b \) znamená, že číslo a je väčšie ako alebo rovné b, t.j. a nie menšie ako b.

Nerovnice obsahujúce znamienko \(\geq \) alebo znamienko \(\leq \) sa nazývajú neprísne. Napríklad \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) nie sú striktné nerovnosti.

Všetky vlastnosti striktných nerovností sú platné aj pre neprísne nerovnosti. Navyše, ak pre striktné nerovnosti boli znamienka > považované za opačné a viete, že na vyriešenie množstva aplikovaných problémov musíte zostaviť matematický model vo forme rovnice alebo sústavy rovníc. Ďalej to zistíte matematické modely na vyriešenie mnohých problémov sú nerovnosti s neznámymi. Predstavíme si koncept riešenia nerovnice a ukážeme si, ako skontrolovať, či dané číslo je riešením konkrétnej nerovnosti.

Nerovnosti formy
Volá sa \(ax > b, \quad ax, kde a a b sú dané číslami a x je neznáme lineárne nerovnosti s jednou neznámou.

Definícia. Riešenie nerovnosti s jednou neznámou je hodnota neznámej, pre ktorú sa táto nerovnosť zmení na skutočnú číselnú nerovnosť. Vyriešiť nerovnosť znamená nájsť všetky jej riešenia alebo zistiť, že žiadne neexistujú.

Rovnice ste vyriešili tak, že ste ich zredukovali na najjednoduchšie rovnice. Podobne pri riešení nerovností má človek tendenciu ich redukovať pomocou vlastností do podoby najjednoduchších nerovností.

Riešenie nerovností druhého stupňa s jednou premennou

Nerovnosti formy
\(ax^2+bx+c >0 \) a \(ax^2+bx+c, kde x je premenná, a, b a c sú nejaké čísla a \(a \neq 0 \) sa nazývajú nerovnosti druhého stupňa s jednou premennou.

Riešenie nerovnosti
\(ax^2+bx+c >0 \) alebo \(ax^2+bx+c \) možno považovať za hľadanie medzier, kde funkcia \(y= ax^2+bx+c \) nadobúda kladnú hodnotu alebo záporné hodnoty Na to stačí analyzovať, ako sa graf funkcie \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) nachádza v rovine súradníc: kde sú vetvy paraboly nasmerované - nahor alebo nadol , či parabola pretína os x a ak sa pretína, tak v akých bodoch.

Algoritmus na riešenie nerovností druhého stupňa s jednou premennou:
1) nájdite diskriminant štvorcového trojčlenu \(ax^2+bx+c\) a zistite, či má trojčlen korene;
2) ak má trojčlen korene, označte ich na osi x a cez označené body nakreslite schematickú parabolu, ktorej vetvy smerujú nahor v bode a > 0 alebo nadol v bode a 0 alebo nižšie v bode a 3) nájdite medzery na os x, pre ktorú sú bodové paraboly umiestnené nad osou x (ak riešia nerovnosť \(ax^2+bx+c >0 \)) alebo pod osou x (ak riešia nerovnosť
\(ax^2+bx+c Riešenie nerovníc metódou intervalov

Zvážte funkciu
f(x) = (x + 2) (x - 3) (x - 5)

Doménou tejto funkcie je množina všetkých čísel. Nuly funkcie sú čísla -2, 3, 5. Rozdeľujú definičný obor funkcie na intervaly \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5 ) \) a \( (5; +\infty)\)

Poďme zistiť, aké sú znaky tejto funkcie v každom z uvedených intervalov.

Výraz (x + 2) (x - 3) (x - 5) je súčinom troch faktorov. Znamienko každého z týchto faktorov v uvažovaných intervaloch je uvedené v tabuľke:

Vo všeobecnosti nech je funkcia daná vzorcom
f(x) = (x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n),
kde x je premenná a x 1 , x 2 , ..., x n nie sú rovnaké čísla. Čísla x 1 , x 2 , ..., x n sú nuly funkcie. V každom z intervalov, do ktorých je definičný obor delený nulami funkcie, sa zachováva znamienko funkcie a pri prechode nulou sa mení jej znamienko.

Táto vlastnosť sa používa na riešenie nerovností formulára
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) kde x 1 , x 2 , ..., x n nie sú rovnaké čísla

Uvažovaná metóda riešenie nerovníc sa nazýva metóda intervalov.

Uveďme príklady riešenia nerovníc intervalovou metódou.

Vyriešte nerovnosť:

\(x(0,5-x)(x+4) Je zrejmé, že nuly funkcie f(x) = x(0,5-x)(x+4) sú body \frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Vynesieme nuly funkcie na reálnu os a vypočítame znamienko na každom intervale:

Vyberieme tie intervaly, na ktorých je funkcia menšia alebo rovná nule a zapíšeme odpoveď.

odpoveď:
\(x \v \left(-\infty; \; 1 \vpravo) \pohár \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Čo potrebujete vedieť o ikonách nerovnosti? Nerovnosti ikon viac (> ), alebo menej (< ) sa volajú prísny. S ikonami viac alebo rovné (≥ ), menšie alebo rovnaké (≤ ) sa volajú neprísne. Ikona nerovná sa (≠ ) stojí samostatne, ale príklady s takouto ikonou musíte neustále riešiť. A budeme.)

Samotná ikona nemá veľký vplyv na proces riešenia. Ale na konci riešenia, pri výbere konečnej odpovede, sa význam ikony objaví v plnej sile! Ako uvidíme nižšie, v príkladoch. Je tam pár vtipov...

Nerovnosti, rovnako ako rovnosť, sú verný a neverný. Všetko je tu jednoduché, bez trikov. Povedzme 5 > 2 je správna nerovnosť. 5 < 2 je nesprávne.

Takáto príprava funguje pri nerovnostiach akýkoľvek druh a jednoduché až hororové.) Stačí správne vykonať dve (iba dve!) základné akcie. Tieto akcie sú známe každému. Ale, čo je typické, zárubne v týchto akciách sú hlavnou chybou pri riešení nerovností, áno... Preto je potrebné tieto akcie opakovať. Tieto akcie sa nazývajú takto:

Identitné transformácie nerovností.

Identitné transformácie nerovností sú veľmi podobné identitným transformáciám rovníc. V skutočnosti je to hlavný problém. Rozdiely prepadli cez hlavu a ... prišli.) Preto vyzdvihnem najmä tieto rozdiely. Takže prvá identická transformácia nerovností:

1. K obom častiam nerovnice možno pridať (odčítať) rovnaké číslo alebo výraz. Akýkoľvek. Znak nerovnosti sa nezmení.

V praxi sa toto pravidlo uplatňuje ako presun pojmov z ľavej strany nerovnice na pravú stranu (a naopak) so zmenou znamienka. So zmenou znamienka pojmu, nie nerovnosť! Pravidlo jeden na jedného je rovnaké ako pravidlo pre rovnice. Nasledujúce identické transformácie v nerovnostiach sa však výrazne líšia od tých v rovniciach. Preto ich zvýrazním červenou farbou:

2. Obe časti nerovnosti možno vynásobiť (vydeliť) rovnakopozitívnečíslo. Pre akékoľvekpozitívne nezmení sa.

3. Obe časti nerovnosti možno vynásobiť (vydeliť) rovnakonegatívnečíslo. Pre akékoľveknegatívnečíslo. Znak nerovnosti z tohosa zmení na opak.

Pamätáte si (dúfate...), že rovnica sa dá vynásobiť/rozdeliť čímkoľvek. A pre ľubovoľné číslo a pre výraz s x. Pokiaľ to nie je nula. On, rovnica, nie je z toho ani horúca, ani studená.) Nezmení sa. Ale nerovnosti sú citlivejšie na násobenie/delenie.

Dobrý príklad na dlhú pamäť. Napíšeme nerovnosť pochybný:

5 > 2

Vynásobte obe strany +3, dostaneme:

15 > 6

Sú nejaké námietky? Neexistujú žiadne námietky.) A ak obe časti pôvodnej nerovnosti vynásobíme o -3, dostaneme:

15 > -6

A toto je vyslovená lož.) Úplná lož! Oblbovanie ľudí! Ale akonáhle sa znamienko nerovnosti obráti, všetko zapadne na svoje miesto:

15 < -6

O klamstvách a klamstve - nielen prisahám.) "Zabudol som zmeniť znamienko nerovnosti..."- Toto Domov chyba pri riešení nerovností. Toto maličké a nekomplikované pravidlo ublížilo toľkým ľuďom! Kto ste zabudli...) Tak prisahám. Možno si spomeniete...)

Tí obzvlášť pozorní si všimnú, že nerovnosť nemožno vynásobiť výrazom s x. Rešpektujte pozorný!) A prečo nie? Odpoveď je jednoduchá. Znamienko tohto výrazu s x nepoznáme. Môže byť pozitívna, negatívna... Preto nevieme, aké znamienko nerovnosti dať po násobení. Zmeniť alebo nie? Neznámy. Samozrejme, toto obmedzenie (zákaz násobenia / delenia nerovnice výrazom s x) sa dá obísť. Ak to naozaj potrebujete. Ale to je téma na iné hodiny.

To všetko sú identické transformácie nerovností. Dovoľte mi znova pripomenúť, že pracujú pre akýkoľvek nerovnosti. A teraz môžete prejsť na konkrétne typy.

Lineárne nerovnosti. Riešenie, príklady.

Lineárne nerovnosti sa nazývajú nerovnosti, v ktorých x je na prvom stupni a neexistuje delenie x. Typ:

x+3 > 5x-5

Ako sa riešia tieto nerovnosti? Sú veľmi ľahko riešiteľné! Totiž: s pomocou znížime najzmätenejšiu lineárnu nerovnosť rovno k odpovedi. To je celé riešenie. Vyzdvihnem hlavné body riešenia. Aby ste sa vyhli hlúpym chybám.)

Riešime túto nerovnosť:

x+3 > 5x-5

Riešime rovnakým spôsobom ako lineárnu rovnicu. S jediným rozdielom:

Venujte veľkú pozornosť značke nerovnosti!

Prvý krok je najbežnejší. S x - doľava, bez x - doprava ... Toto je prvá identická transformácia, jednoduchá a bezproblémová.) Len nezabudnite zmeniť znamienka prenesených členov.

Znak nerovnosti sa zachová:

x-5x > -5-3

Predstavujeme podobné.

Znak nerovnosti sa zachová:

4x > -8

Zostáva použiť poslednú identickú transformáciu: vydeľte obe časti -4.

Deliť podľa negatívnečíslo.

Znamienko nerovnosti bude obrátené:

X < 2

Toto je odpoveď.

Takto sa riešia všetky lineárne nerovnosti.

Pozor! Bod 2 je nakreslený bielou farbou, t.j. nenamaľované. Vo vnútri prázdno. To znamená, že nie je zahrnutá v odpovedi! Takúto zdravú som ju nakreslil zámerne. Takýto bod (prázdny, nie zdravý!)) v matematike sa nazýva vyrazený bod.

Zostávajúce čísla na osi je možné označiť, ale nie je to potrebné. Cudzie čísla, ktoré nesúvisia s našou nerovnosťou, môžu byť mätúce, áno ... Len si treba uvedomiť, že nárast čísel ide v smere šípky, t.j. čísla 3, 4, 5 atď. sú doprava dvojky a čísla 1, 0, -1 atď. - doľava.

Nerovnosť x < 2 - prísny. X je striktne menej ako dva. V prípade pochybností je kontrola jednoduchá. Do nerovnice dosadíme pochybné číslo a pomyslíme si: "Dva je menej ako dva? Samozrejme, že nie!" presne tak. Nerovnosť 2 < 2 nesprávne. Dvojka nie je dobrá ako odpoveď.

Je single dosť dobrý? určite. Menej ... A nula je dobrá a -17 a 0,34 ... Áno, všetky čísla, ktoré sú menšie ako dve, sú dobré! A dokonca 1,9999 .... Aspoň trochu, ale menej!

Všetky tieto čísla teda označíme na číselnej osi. Ako? Tu sú možnosti. Prvou možnosťou je šrafovanie. Ukážeme myšou na obrázok (alebo sa dotkneme obrázka na tablete) a vidíme, že oblasť guľôčok x, ktorá zodpovedá podmienke x, je zatienená < 2 . To je všetko.

Pozrime sa na druhú možnosť v druhom príklade:

X ≥ -0,5

Nakreslite os, označte číslo -0,5. Páči sa ti to:

Všimli ste si ten rozdiel?) No áno, je ťažké si to nevšimnúť... Táto bodka je čierna! Premaľované. To znamená, že -0,5 zahrnuté v odpovedi. Tu, mimochodom, kontrolu a zmiasť niekoho. Nahrádzame:

-0,5 ≥ -0,5

Ako to? -0,5 nie je nič viac ako -0,5! Existuje viac ikon...

Je to v poriadku. V neprísnej nerovnosti je vhodné všetko, čo sa hodí na ikonu. A rovná sa fit a viac dobre. Preto je v odpovedi zahrnutých -0,5.

Takže na osi sme označili -0,5, zostáva označiť všetky čísla, ktoré sú väčšie ako -0,5. Tentokrát označujem rozsah vhodných hodnôt x spútať(od slova oblúk) skôr ako vyliahnutie. Umiestnite kurzor myši na obrázok a uvidíte tento luk.

Medzi šrafovaním a oblúkmi nie je žiadny zvláštny rozdiel. Urobte, ako hovorí učiteľ. Ak nie je učiteľ, nakreslite ruky. Pri zložitejších úlohách je šrafovanie menej zrejmé. Môžete sa zmiasť.

Takto sa na osi vykresľujú lineárne nerovnosti. Prejdeme k ďalšej singularite nerovností.

Napíšte odpoveď na nerovnosti.

V rovniciach to bolo dobré.) Našli sme x a zapísali sme odpoveď, napríklad: x \u003d 3. V nerovnostiach existujú dve formy písania odpovedí. Jeden - vo forme konečnej nerovnosti. Dobré pre jednoduché prípady. Napríklad:

X< 2.

Toto je úplná odpoveď.

Niekedy je potrebné napísať to isté, ale v inej forme, cez číselné medzery. Potom záznam začne vyzerať veľmi vedecky):

x ∈ (-∞; 2)

Pod ikonou ∈ skrývanie slova „patrí“.

Záznam znie takto: x patrí do intervalu od mínus nekonečna do dvoch nezahrňuje. Celkom logické. X môže byť ľubovoľné číslo zo všetkých možných čísel od mínus nekonečna po dve. Dvojité X nemôže byť, čo nám hovorí slovo "nezahrňuje".

Kde je v odpovedi, že "nezahrňuje"? Táto skutočnosť je uvedená v odpovedi. okrúhly zátvorka hneď za dvojkou. Ak by bola zahrnutá dvojka, zátvorka by bola námestie. Tu je: ]. Nasledujúci príklad používa takúto zátvorku.

Zapíšme si odpoveď: x ≥ -0,5 cez intervaly:

x ∈ [-0,5; +∞)

Číta: x patrí do intervalu od mínus 0,5, počítajúc do toho, až do plus nekonečna.

Infinity sa nikdy nedá zapnúť. Nie je to číslo, je to symbol. Preto v takýchto záznamoch nekonečno vždy koexistuje so zátvorkou.

Táto forma záznamu je vhodná pre zložité odpovede pozostávajúce z niekoľkých medzier. Ale - len pre konečné odpovede. Pri medzivýsledkoch, kde sa očakáva ďalšie riešenie, je lepšie použiť obvyklú formu, vo forme jednoduchá nerovnosť. Budeme sa tomu venovať v príslušných témach.

Populárne úlohy s nerovnosťami.

Samotné lineárne nerovnosti sú jednoduché. Preto sú úlohy často ťažšie. Takže, myslieť si, že to bolo potrebné. Toto, ak je to zo zvyku, nie je veľmi príjemné.) Ale je to užitočné. Ukážem príklady takýchto úloh. Nie aby ste sa ich učili, je to zbytočné. A aby sa pri stretnutí s podobnými príkladmi nebáli. Malá myšlienka - a všetko je jednoduché!)

1. Nájdite ľubovoľné dve riešenia nerovnosti 3x - 3< 0

Ak nie je jasné, čo robiť, nezabudnite na hlavné pravidlo matematiky:

Ak nevieš, čo máš robiť, rob, čo môžeš!

X < 1

A čo? Nič zvláštne. Čo sa nás pýtajú? Sme požiadaní, aby sme našli dve konkrétne čísla, ktoré sú riešením nerovnosti. Tie. zodpovedať odpovedi. Dva akýkoľvekčísla. Vlastne je to trápne.) Pár 0 a 0,5 je vhodných. Pár -3 a -8. Áno, týchto párov je nekonečné množstvo! Aká je správna odpoveď?!

Odpovedám: všetko! Akýkoľvek pár čísel, z ktorých každé je menšie ako jedna, by bola správna odpoveď. Píšte čo chcete. Poďme ďalej.

2. Vyriešte nerovnosť:

4x - 3 ≠ 0

Takéto práce sú zriedkavé. Ale ako pomocné nerovnosti sa napríklad pri hľadaní ODZ alebo pri hľadaní domény funkcie vyskytujú neustále. Takáto lineárna nerovnosť môže byť vyriešená ako obyčajná lineárna rovnica. Iba všade, okrem znaku "=" ( rovná sa) dať znamenie " ≠ " (nerovná sa). Takže prídete k odpovedi so znakom nerovnosti:

X ≠ 0,75

Vo viac ťažké príklady lepšie to urobiť inak. Vyrovnajte nerovnosť. Páči sa ti to:

4x - 3 = 0

Pokojne to vyriešte, ako ste sa naučili, a získajte odpoveď:

x = 0,75

Hlavná vec, úplne na konci, pri zapisovaní konečnej odpovede, je nezabudnúť, že sme našli x, čo dáva rovnosť. A potrebujeme - nerovnosť. Preto toto X jednoducho nepotrebujeme.) A musíme si ho zapísať so správnou ikonou:

X ≠ 0,75

Tento prístup vedie k menšiemu počtu chýb. Tí, ktorí riešia rovnice na stroji. A pre tých, ktorí neriešia rovnice, sú nerovnice v podstate zbytočné...) Ďalší príklad obľúbenej úlohy:

3. Nájdite najmenšie celočíselné riešenie nerovnosti:

3 (x - 1) < 5x + 9

Najprv jednoducho vyriešime nerovnosť. Otvárame zátvorky, prenášame, dávame podobné ... Získame:

X > - 6

Nestalo sa!? Sledovali ste znamenia? A za znakmi členov a za znakom nerovnosti ...

Opäť si predstavme. Musíme nájsť konkrétne číslo, ktoré zodpovedá odpovedi aj podmienke „najmenšie celé číslo“. Ak vám to hneď nesvitne, môžete si jednoducho vziať ľubovoľné číslo a prísť na to. Dva je väčšie ako mínus šesť? Určite! Existuje vhodné menšie číslo? Samozrejme. Napríklad nula je väčšia ako -6. A ešte menej? Potrebujeme čo najmenšie! Mínus tri je viac ako mínus šesť! Už môžete zachytiť vzorec a prestať hlúpo triediť čísla, však?)

Berieme číslo bližšie k -6. Napríklad -5. Odpoveď vykonaná, -5 > - 6. Dokážete nájsť iné číslo menšie ako -5, ale väčšie ako -6? Môžete napríklad -5,5 ... Stop! Bolo nám povedané celý Riešenie! Nekotúľa sa -5,5! A čo mínus šesť? Eee! Nerovnosť je prísna, mínus 6 nie je menej ako mínus 6!

Správna odpoveď je teda -5.

Dúfajme, že s výberom hodnoty od spoločné riešenie všetko jasné. Ďalší príklad:

4. Vyriešte nerovnosť:

7 < 3x+1 < 13

Ako! Takýto výraz sa nazýva trojitá nerovnosť. Presne povedané, ide o skrátený zápis systému nerovností. Ale aj tak musíte v niektorých úlohách riešiť takéto trojité nerovnosti ... Rieši sa to bez akýchkoľvek systémov. Tými istými identickými premenami.

Je potrebné zjednodušiť, priviesť túto nerovnosť na čisté X. Ale... Čo kam preniesť!? Tu je čas zapamätať si, že radenie zľava doprava je skrátená forma prvá identická premena.

A dlhý formulár znie takto: Do oboch častí rovnice (nerovnosť) môžete pridať/odčítať ľubovoľné číslo alebo výraz.

Sú tu tri časti. Na všetky tri časti teda použijeme identické transformácie!

Zbavme sa teda tej strednej časti nerovnosti. Odčítajte jeden od celej strednej časti. Aby sa nerovnosť nezmenila, odpočítame jednu od zvyšných dvoch častí. Páči sa ti to:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Už lepšie, však?) Zostáva rozdeliť všetky tri časti na tri:

2 < X < 4

To je všetko. Toto je odpoveď. X môže byť ľubovoľné číslo od dvoch (bez) do štyroch (bez). Táto odpoveď je tiež písaná v intervaloch, takéto záznamy budú v štvorcových nerovnostiach. Tam sú to najbežnejšie.

Na konci lekcie zopakujem to najdôležitejšie. Úspech pri riešení lineárnych nerovníc závisí od schopnosti transformovať a zjednodušiť lineárne rovnice. Ak v rovnakom čase sledujte znak nerovnosti, nebudú žiadne problémy. Čo ti prajem. žiaden problém.)

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Koncept matematickej nerovnosti vznikol v staroveku. Stalo sa to vtedy, keď mal primitívny človek potrebu porovnávať ich počet a veľkosť pri počítaní a akciách s rôznymi predmetmi. Archimedes, Euclid a ďalší slávni vedci: matematici, astronómovia, dizajnéri a filozofi od staroveku používali nerovnosti vo svojich úvahách.

Vo svojich dielach však spravidla používali slovnú terminológiu. Po prvýkrát boli v Anglicku vynájdené a uvedené do praxe moderné značky na označenie pojmov „viac“ a „menej“ v podobe, ktorú dnes pozná každý školák. Takúto službu potomkom preukázal matematik Thomas Harriot. A stalo sa to asi pred štyrmi storočiami.

Existuje mnoho druhov nerovností. Medzi nimi sú jednoduché, obsahujúce jednu, dve alebo viac premenných, štvorcové, zlomkové, zložité pomery a dokonca reprezentované systémom výrazov. A aby ste pochopili, ako riešiť nerovnosti, je najlepšie použiť rôzne príklady.

Nenechajte si ujsť vlak

Na začiatok si predstavte, že obyvateľ vidieckej oblasti sa ponáhľa na železničnú stanicu, ktorá sa nachádza vo vzdialenosti 20 km od jeho dediny. Aby nezmeškal vlak odchádzajúci o 11. hodine, musí odísť z domu včas. V akom čase to treba urobiť, ak rýchlosť jeho pohybu je 5 km/h? Riešenie tohto praktická úloha sa zníži na splnenie podmienok výrazu: 5 (11 - X) ≥ 20, kde X je čas odchodu.

Je to pochopiteľné, pretože vzdialenosť, ktorú musí dedinčan prekonať k stanici, sa rovná rýchlosti pohybu vynásobenej počtom hodín na ceste. Človek môže prísť skôr, ale nemôže meškať. Keď vieme, ako riešiť nerovnosti, a aplikujeme svoje zručnosti v praxi, nakoniec dostaneme X ≤ 7, čo je odpoveď. To znamená, že dedinčan by mal ísť na železničnú stanicu o siedmej ráno alebo o niečo skôr.

Očíslujte medzery na súradnicovej čiare

Teraz poďme zistiť, ako mapovať opísané vzťahy na nerovnosť získaná vyššie nie je striktná. To znamená, že premenná môže nadobúdať hodnoty menšie ako 7 a môže sa rovnať tomuto číslu. Uveďme ďalšie príklady. Aby ste to dosiahli, pozorne zvážte štyri čísla nižšie.

Na prvom môžete vidieť grafický obrázok rozpätie [-7; 7]. Pozostáva zo sady čísel umiestnených na súradnicovej čiare a umiestnených medzi -7 a 7, vrátane hraníc. V tomto prípade sú body na grafe zobrazené ako vyplnené kruhy a interval sa zaznamenáva pomocou

Druhý údaj je grafickým znázornením striktnej nerovnosti. V tomto prípade čísla hraníc -7 a 7, znázornené prepichnutými (nevyplnenými) bodkami, nie sú zahrnuté v špecifikovanej sade. A samotný interval je zaznamenaný v zátvorkách takto: (-7; 7).

To znamená, že keď sme prišli na to, ako vyriešiť nerovnosti tohto typu, a keď sme dostali podobnú odpoveď, môžeme dospieť k záveru, že pozostáva z čísel, ktoré sú medzi uvažovanými hranicami, s výnimkou -7 a 7. Je potrebné vyhodnotiť ďalšie dva prípady podobným spôsobom. Tretí obrázok ukazuje obrázky medzier (-∞; -7] U )