Priradenia pre vlastnosti a grafy kvadratickej funkcie spôsobiť, ako ukazuje prax, vážne ťažkosti. Je to dosť zvláštne, pretože kvadratická funkcia sa prejde v 8. ročníku a potom sa celý prvý štvrťrok 9. ročníka „týra“ vlastnosťami paraboly a jej grafy sa stavajú na rôzne parametre.

Je to spôsobené tým, že núti študentov stavať paraboly, prakticky nevenujú čas „čítaniu“ grafov, to znamená, že necvičia pochopenie informácií získaných z obrázka. Zrejme sa predpokladá, že po zostavení dvoch desiatok grafov šikovný študent sám objaví a sformuluje vzťah medzi koeficientmi vo vzorci a vzhľad grafické umenie. V praxi to tak nefunguje. Na takéto zovšeobecnenie je potrebná vážna prax v matematickom minivýskume, ktorú, samozrejme, väčšina deviatakov nemá. Zatiaľ v GIA navrhujú určiť znamienka koeficientov presne podľa harmonogramu.

Nebudeme od školákov vyžadovať nemožné a jednoducho ponúkneme jeden z algoritmov na riešenie takýchto problémov.

Takže funkcia formulára y=ax2+bx+c sa nazýva kvadratický, jeho grafom je parabola. Ako už názov napovedá, hlavnou zložkou je sekera 2. Teda A by sa nemali rovnať nule, zostávajúce koeficienty ( b A s) sa môže rovnať nule.

Pozrime sa, ako znamienka jeho koeficientov ovplyvňujú vzhľad paraboly.

Najjednoduchšia závislosť pre koeficient A. Väčšina školákov sebavedomo odpovedá: „ak A> 0, potom vetvy paraboly smerujú nahor a ak A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.

y = 0,5 x 2 - 3 x + 1

V tomto prípade A = 0,5

A teraz pre A < 0:

y = - 0,5 x 2 - 3 x + 1

V tomto prípade A = - 0,5

Vplyv koeficientu s je tiež dosť ľahké sledovať. Predstavte si, že chceme nájsť hodnotu funkcie v bode X= 0. Dosaďte do vzorca nulu:

r = a 0 2 + b 0 + c = c. Ukazuje sa, že y = c. Teda s je ordináta priesečníka paraboly s osou y. Spravidla je tento bod v grafe ľahko nájsť. A určiť, či leží nad nulou alebo pod. Teda s> 0 alebo s < 0.

s > 0:

y=x2+4x+3

s < 0

y = x 2 + 4 x - 3

V súlade s tým, ak s= 0, potom parabola nevyhnutne prejde cez počiatok:

y=x2+4x

Náročnejšie s parametrom b. Bod, v ktorom ho nájdeme, závisí nielen od b ale aj z A. Toto je vrchol paraboly. Jeho úsečka (súradnica osi X) sa zistí podľa vzorca x v \u003d - b / (2a). teda b = - 2x palec. To znamená, že konáme nasledovne: na grafe nájdeme vrchol paraboly, určíme znamienko jej úsečky, to znamená, že sa pozrieme napravo od nuly ( x v> 0) alebo doľava ( x v < 0) она лежит.

To však nie je všetko. Pozor si musíme dať aj na znamienko koeficientu A. To znamená, aby ste videli, kam smerujú vetvy paraboly. A až potom podľa vzorca b = - 2x palec určiť znamenie b.

Zvážte príklad:

Vetvy smerujúce nahor A> 0, parabola pretína os pri pod nulou znamená s < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x v> 0. Takže b = - 2x palec = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, s < 0.

Naučte sa brať derivácie funkcií. Derivácia charakterizuje rýchlosť zmeny funkcie v určitom bode ležiacom na grafe tejto funkcie. V tomto prípade môže byť graf buď priamka alebo zakrivená čiara. To znamená, že derivácia charakterizuje rýchlosť zmeny funkcie v určitom časovom bode. Pamätajte všeobecné pravidlá pre ktoré sa berú deriváty, a až potom prejdite na ďalší krok.

• Prečítajte si článok.
• Ako vziať najjednoduchšie deriváty, napríklad derivát exponenciálna rovnica, popísané . Výpočty uvedené v nasledujúcich krokoch budú založené na metódach, ktoré sú tam opísané.

Naučte sa rozlišovať medzi problémami, v ktorých je potrebné vypočítať sklon z hľadiska derivácie funkcie. V úlohách sa nie vždy navrhuje nájsť sklon alebo deriváciu funkcie. Môžete byť napríklad požiadaní, aby ste našli rýchlosť zmeny funkcie v bode A(x, y). Môžete byť tiež požiadaní, aby ste našli sklon dotyčnice v bode A(x, y). V oboch prípadoch je potrebné vziať deriváciu funkcie.

>>Matematika: Lineárna funkcia a jej rozvrh

Lineárna funkcia a jej graf

Algoritmus na zostavenie grafu rovnice ax + by + c = 0, ktorý sme sformulovali v § 28, sa matematikom pri všetkej jeho prehľadnosti a istote veľmi nepáči. Zvyčajne predkladajú nároky na prvé dva kroky algoritmu. Prečo, hovoria, riešiť rovnicu dvakrát vzhľadom na premennú y: najprv ax1 + bu + c = O, potom axi + bu + c = O? Nebolo by lepšie okamžite vyjadriť y z rovnice ax + by + c = 0, potom bude jednoduchšie (a hlavne rýchlejšie) vykonávať výpočty? Skontrolujme to. Najprv zvážte rovnica 3x - 2r + 6 = 0 (pozri príklad 2 z § 28).

Zadaním x špecifických hodnôt je ľahké vypočítať zodpovedajúce hodnoty y. Napríklad pre x = 0 dostaneme y = 3; pri x = -2 máme y = 0; pre x = 2 máme y = 6; pre x = 4 dostaneme: y = 9.

Vidíte, ako ľahko a rýchlo sa našli body (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) a (4; 9), ktoré boli zvýraznené v príklade 2 z § 28.

Podobne rovnicu bx - 2y = 0 (pozri príklad 4 § 28) možno previesť do tvaru 2y = 16 -3x. potom y = 2,5x; je ľahké nájsť body (0; 0) a (2; 5), ktoré spĺňajú túto rovnicu.

Nakoniec rovnicu 3x + 2y - 16 = 0 z toho istého príkladu možno previesť do tvaru 2y = 16 -3x a potom je ľahké nájsť body (0; 0) a (2; 5), ktoré jej vyhovujú.

Pozrime sa teraz na tieto transformácie vo všeobecnej forme.

Lineárnu rovnicu (1) s dvoma premennými x a y je teda možné vždy previesť do tvaru
y = kx + m,(2) kde k,m sú čísla (koeficienty) a .

Táto konkrétna forma lineárnej rovnice sa bude nazývať lineárna funkcia.

Použitím rovnosti (2) je ľahké, zadaním konkrétnej hodnoty x, vypočítať zodpovedajúcu hodnotu y. Nech napr.

y = 2x + 3. Potom:
ak x = 0, potom y = 3;
ak x = 1, potom y = 5;
ak x = -1, potom y = 1;
ak x = 3, potom y = 9 atď.

Zvyčajne sú tieto výsledky prezentované vo formulári tabuľky:

Hodnoty y z druhého riadku tabuľky sa nazývajú hodnoty lineárnej funkcie y \u003d 2x + 3 v bodoch x \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d -1, x \u003d -3.

V rovnici (1) sú premenné xnu rovnaké, ale v rovnici (2) nie sú: jednej z nich - premennej x priraďujeme konkrétne hodnoty, pričom hodnota premennej y závisí od zvolenej hodnoty premennej. premenná x. Preto sa zvyčajne hovorí, že x je nezávislá premenná (alebo argument), y je závislá premenná.

Všimnite si, že lineárna funkcia je špeciálny druh lineárna rovnica s dvoma premennými. rovnicový graf y - kx + m, ako každá lineárna rovnica s dvoma premennými, je priamka - nazýva sa aj grafom lineárnej funkcie y = kx + mp. Nasledujúca veta je teda pravdivá.

Príklad 1 Zostrojte graf lineárnej funkcie y \u003d 2x + 3.

Riešenie. Urobme si tabuľku:

V druhej situácii môže nezávislá premenná x, ktorá označuje, ako v prvej situácii, počet dní, nadobudnúť iba hodnoty 1, 2, 3, ..., 16. V skutočnosti, ak x \u003d 16 , potom pomocou vzorca y \u003d 500 - Z0x nájdeme: y \u003d 500 - 30 16 \u003d 20. To znamená, že už 17. deň nebude možné vyskladniť 30 ton uhlia, pretože do tohto dňa zostane v sklade len 20 ton a proces vývozu uhlia bude musieť byť zastavený. Preto rafinovaný matematický model druhej situácie vyzerá takto:

y \u003d 500 - ZOD:, kde x \u003d 1, 2, 3, .... 16.

V tretej situácii nezávislý premenlivý x môže teoreticky nadobudnúť akúkoľvek nezápornú hodnotu (napr. hodnota x = 0, hodnota x = 2, hodnota x = 3,5 atď.), v praxi však turista nemôže kráčať konštantnou rýchlosťou bez spánku a odpočinku tak dlho. ako chce on. Takže sme museli urobiť rozumné limity pre x, povedzme 0< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

Pripomeňme, že geometrický model neprísnej dvojitej nerovnosti 0< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

Namiesto slovného spojenia „x patrí do množiny X“ súhlasíme s napísaním (znejú: „prvok x patrí do množiny X“, e je znakom príslušnosti). Ako vidíte, naša znalosť matematického jazyka neustále pokračuje.

Ak by sa lineárna funkcia y \u003d kx + m mala brať do úvahy nie pre všetky hodnoty x, ale iba pre hodnoty x z nejakého číselného intervalu X, potom píšu:

Príklad 2. Vytvorte graf lineárnej funkcie:

Riešenie a) Zostavte tabuľku pre lineárnu funkciu y = 2x + 1

Postavme body (-3; 7) a (2; -3) na súradnicovej rovine xOy a nakreslíme cez ne priamku. Toto je graf rovnice y \u003d -2x: + 1. Ďalej vyberte segment spájajúci zostrojené body (obr. 38). Tento segment je grafom lineárnej funkcie y \u003d -2x + 1, kde xe [-3, 2].

Zvyčajne hovoria toto: vykreslili sme lineárnu funkciu y \u003d - 2x + 1 na segment [- 3, 2].

b) Čím sa tento príklad líši od predchádzajúceho? Lineárna funkcia je rovnaká (y \u003d -2x + 1), čo znamená, že ako jej graf slúži rovnaká priamka. Ale buď opatrný! - tentoraz x e (-3, 2), t.j. hodnoty x = -3 a x = 2 sa neberú do úvahy, nepatria do intervalu (-3, 2). Ako sme vyznačili konce intervalu na súradnicovej čiare? Svetlé kruhy (obr. 39), o tom sme hovorili v § 26. Podobne body (- 3; 7) a B; - 3) budú musieť byť na výkrese označené svetlými krúžkami. To nám pripomenie, že sa berú len tie body priamky y \u003d - 2x + 1, ktoré ležia medzi bodmi označenými krúžkami (obr. 40). Niekedy sa však v takýchto prípadoch nepoužívajú svetelné kruhy, ale šípky (obr. 41). To nie je zásadné, hlavnou vecou je pochopiť, čo je v stávke.

Príklad 3 Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty lineárnej funkcie na segmente.
Riešenie. Urobme tabuľku pre lineárnu funkciu

Zostrojíme body (0; 4) a (6; 7) na súradnicovej rovine xOy a nakreslíme cez ne priamku - graf lineárnej funkcie x (obr. 42).

Túto lineárnu funkciu musíme uvažovať nie ako celok, ale na segmente, t.j. pre x e.

Zodpovedajúci segment grafu je na výkrese zvýraznený. Všimli sme si, že najväčšia ordináta bodov patriacich do vybranej časti je 7 - to je najvyššia hodnota lineárna funkcia na segmente . Zvyčajne sa používa tento zápis: y max = 7.

Všimli sme si, že najmenšia ordináta bodov patriacich do časti priamky zvýraznenej na obrázku 42 je 4 - to je najmenšia hodnota lineárnej funkcie na segmente.
Zvyčajne použite nasledujúci záznam: y meno. = 4.

Príklad 4 Nájdite y naib a y naim. pre lineárnu funkciu y = -1,5x + 3,5

a) na segmente; b) na intervale (1,5);
c) v polovičnom intervale .

Riešenie. Urobme tabuľku pre lineárnu funkciu y \u003d -l, 5x + 3,5:

Zostrojíme body (1; 2) a (5; - 4) na súradnicovej rovine xOy a nakreslíme cez ne priamku (obr. 43-47). Vyberme na zostrojenej priamke časť zodpovedajúcu hodnotám x zo segmentu (obr. 43), z intervalu A, 5) (obr. 44), z polovičného intervalu (obr. 47). ).

a) Pomocou obrázku 43 je ľahké dospieť k záveru, že y max \u003d 2 (lineárna funkcia dosahuje túto hodnotu pri x \u003d 1) a y max. = - 4 (lineárna funkcia dosahuje túto hodnotu pri x = 5).

b) Pomocou obrázku 44 sme dospeli k záveru, že táto lineárna funkcia nemá v danom intervale ani najväčšie, ani najmenšie hodnoty. prečo? Faktom je, že na rozdiel od predchádzajúceho prípadu sú oba konce segmentu, v ktorých boli dosiahnuté najväčšie a najmenšie hodnoty, vylúčené z úvahy.

c) Pomocou obrázku 45 sme dospeli k záveru, že y max. = 2 (ako v prvom prípade) a najmenšia hodnota lineárna funkcia nie (ako v druhom prípade).

d) Pomocou obrázku 46 dospejeme k záveru: y max = 3,5 (lineárna funkcia dosahuje túto hodnotu pri x = 0) a y max. neexistuje.

e) Pomocou obrázku 47 dospejeme k záveru: y max = -1 (lineárna funkcia dosahuje túto hodnotu pri x = 3) a y max neexistuje.

Príklad 5. Nakreslite lineárnu funkciu

y \u003d 2x - 6. Pomocou grafu odpovedzte na nasledujúce otázky:

a) pri akej hodnote x bude y = 0?
b) pre aké hodnoty x bude y > 0?
c) pre aké hodnoty x bude y< 0?

Riešenie. Urobme tabuľku pre lineárnu funkciu y \u003d 2x-6:

Nakreslite priamku cez body (0; - 6) a (3; 0) - graf funkcie y \u003d 2x - 6 (obr. 48).

a) y \u003d 0 na x \u003d 3. Graf pretína os x v bode x \u003d 3, toto je bod so súradnicou y \u003d 0.
b) y > 0 pre x > 3. V skutočnosti, ak x > 3, potom je priamka umiestnená nad osou x, čo znamená, že súradnice zodpovedajúcich bodov priamky sú kladné.

c) pri< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

Všimnite si, že v tomto príklade sme sa rozhodli pomocou grafu:

a) rovnica 2x - 6 = 0 (dostane x = 3);
b) nerovnosť 2x - 6 > 0 (dostali sme x > 3);
c) nerovnosť 2x - 6< 0 (получили х < 3).

Komentujte. V ruštine sa ten istý objekt často nazýva inak, napríklad: „dom“, „budova“, „štruktúra“, „chata“, „zámok“, „kasáreň“, „chata“, „chata“. V matematickom jazyku je situácia približne rovnaká. Povedzme rovnosť s dvoma premennými y = kx + m, kde k, m sú špecifické čísla, možno nazvať lineárnou funkciou, možno nazvať lineárna rovnica s dvoma premennými x a y (alebo s dvoma neznámymi x a y), môžete to nazvať vzorcom, môžete to nazvať vzťahom medzi x a y, nakoniec to môžete nazvať vzťahom medzi x a y. Nezáleží na tom, hlavnou vecou je pochopiť, že vo všetkých prípadoch rozprávame sa O matematický model y = kx + m

.

Zoberme si graf lineárnej funkcie znázornený na obrázku 49, a. Ak sa pohybujeme po tomto grafe zľava doprava, súradnice bodov grafu sa neustále zvyšujú, zdá sa, že „šplháme do kopca“. V takýchto prípadoch matematici používajú výraz zvýšenie a hovoria toto: ak k> 0, lineárna funkcia y \u003d kx + m sa zvyšuje.

Zoberme si graf lineárnej funkcie znázornený na obrázku 49, b. Ak sa po tomto grafe pohybujeme zľava doprava, súradnice bodov grafu neustále klesajú, zdá sa, že „ideme z kopca“. V takýchto prípadoch matematici používajú termín pokles a hovoria toto: ak k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.

Lineárna funkcia v reálnom živote

Teraz si zhrňme túto tému. Už sme sa zoznámili s takou koncepciou, ako je lineárna funkcia, poznáme jej vlastnosti a naučili sme sa zostavovať grafy. Tiež ste zvážili špeciálne prípady lineárnej funkcie a zistili ste, od čoho závisí vzájomného usporiadania grafy lineárnych funkcií. Ale ukazuje sa, že v našom Každodenný život s týmto matematickým modelom sa tiež neustále prelíname.

Zamyslime sa nad tým, aké skutočné životné situácie sú spojené s takým konceptom ako lineárne funkcie? A tiež, medzi akými veličinami alebo životnými situáciami je možné stanoviť lineárny vzťah?

Mnohí z vás pravdepodobne celkom nechápu, prečo sa potrebujú naučiť lineárne funkcie, pretože je nepravdepodobné, že by to bolo užitočné v neskoršom živote. Tu sa však hlboko mýlite, pretože s funkciami sa stretávame stále a všade. Keďže aj obvyklé mesačné nájomné je funkcia, ktorá závisí od mnohých premenných. A tieto premenné zahŕňajú plochu, počet obyvateľov, tarify, spotrebu elektriny atď.

Samozrejme, najbežnejšími príkladmi lineárnych funkcií závislosti, s ktorými sme sa stretli, sú hodiny matematiky.

Vy a ja sme riešili problémy, kde sme zisťovali vzdialenosti, ktoré prešli autá, vlaky alebo chodci pri určitej rýchlosti. Toto sú lineárne funkcie času pohybu. Ale tieto príklady sú použiteľné nielen v matematike, sú prítomné v našom každodennom živote.

Obsah kalórií v mliečnych výrobkoch závisí od obsahu tuku a takáto závislosť je spravidla lineárnou funkciou. Takže napríklad so zvýšením percenta obsahu tuku v kyslej smotane sa zvyšuje aj obsah kalórií v produkte.

Teraz urobme výpočty a nájdime hodnoty k a b riešením systému rovníc:

Teraz odvodíme vzorec závislosti:

V dôsledku toho sme dostali lineárny vzťah.

Poznať rýchlosť šírenia zvuku v závislosti od teploty je možné zistiť pomocou vzorca: v = 331 + 0,6t, kde v je rýchlosť (v m/s), t je teplota. Ak nakreslíme graf tejto závislosti, uvidíme, že bude lineárny, čiže bude predstavovať priamku.

A takých praktické využitie poznatky v aplikácii lineárnej funkčnej závislosti možno vymenovať dlho. Počnúc poplatkami za telefón, dĺžkou a výškou vlasov a dokonca aj prísloviami v literatúre. A tento zoznam môže pokračovať donekonečna.

Kalendár-tematické plánovanie v matematike, video v matematike online, Matematika v škole na stiahnutie

A. V. Pogorelov, Geometria pre ročníky 7-11, Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie

Definícia lineárnej funkcie

Uveďme definíciu lineárnej funkcie

Definícia

Funkcia v tvare $y=kx+b$, kde $k$ je nenulová, sa nazýva lineárna funkcia.

Graf lineárnej funkcie je priamka. Volá sa číslo $k$ faktor sklonu rovno.

Pre $b=0$ sa lineárna funkcia nazýva funkcia priamej úmernosti $y=kx$.

Zvážte obrázok 1.

Ryža. 1. Geometrický význam sklonu priamky

Zvážte trojuholník ABC. Vidíme, že $BC=kx_0+b$. Nájdite priesečník priamky $y=kx+b$ s osou $Ox$:

\ \

Takže $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Nájdite pomer týchto strán:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Na druhej strane $\frac(BC)(AC)=tg\uhol A$.

Z toho možno vyvodiť nasledujúci záver:

Záver

geometrický zmysel koeficient $k$. Sklon priamky $k$ sa rovná dotyčnici sklonu tejto priamky k osi $Ox$.

Štúdium lineárnej funkcie $f\left(x\right)=kx+b$ a jej grafu

Najprv zvážte funkciu $f\left(x\right)=kx+b$, kde $k > 0$.

1. $f"\vľavo(x\vpravo)=(\vľavo(kx+b\vpravo))"=k>0$. Preto sa táto funkcia zvyšuje v celej oblasti definície. Neexistujú žiadne extrémne body.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Graf (obr. 2).

Ryža. 2. Grafy funkcie $y=kx+b$, pre $k > 0$.

Teraz zvážte funkciu $f\left(x\right)=kx$, kde $k

1. Rozsah sú všetky čísla.
2. Rozsah sú všetky čísla.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Funkcia nie je párna ani nepárna.
4. Pre $x=0,f\vľavo(0\vpravo)=b$. Pre $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Priesečníky so súradnicovými osami: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ a $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\vľavo(x\vpravo)=(\vľavo(kx\vpravo))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Preto funkcia nemá žiadne inflexné body.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Graf (obr. 3).