The metodický materiál slúži na referenčné účely a pokrýva široký rozsah tém. Článok poskytuje prehľad grafov hlavných elementárnych funkcií a úvah najdôležitejšia otázka – ako správne a RÝCHLO zostaviť graf. Počas štúdia vyššia matematika bez znalosti základných tabuliek elementárne funkcie bude to ťažké, preto je veľmi dôležité zapamätať si, ako vyzerajú grafy paraboly, hyperboly, sínusu, kosínusu atď., zapamätať si niektoré funkčné hodnoty. Povieme si aj o niektorých vlastnostiach hlavných funkcií.

Nepredstieram úplnosť a vedeckú dôkladnosť materiálov, dôraz budem klásť predovšetkým na prax - tie veci, s ktorými človek musí čeliť doslova na každom kroku, v akejkoľvek téme vyššej matematiky. Tabuľky pre figuríny? Dá sa to povedať.

Na základe dopytu čitateľov klikateľný obsah:

Okrem toho je k téme ultrakrátky abstrakt
– osvojte si 16 typov grafov štúdiom 6 strán!

Vážne, šesť, aj ja sám som bol prekvapený. Tento abstrakt obsahuje vylepšenú grafiku a je k dispozícii za symbolický poplatok, môžete si pozrieť demo verziu. Súbor je vhodné vytlačiť, aby ste mali grafy vždy po ruke. Ďakujeme za podporu projektu!

A hneď začíname:

Ako správne zostaviť súradnicové osi?

Testy v praxi takmer vždy vypracúvajú žiaci do samostatných zošitov, vyskladaných v klietke. Prečo potrebujete kockované označenie? Koniec koncov, prácu je možné v zásade vykonať na listoch A4. A klietka je potrebná práve pre kvalitný a presný dizajn výkresov.

Akékoľvek kreslenie funkčného grafu začína súradnicovými osami.

Výkresy sú dvojrozmerné a trojrozmerné.

Uvažujme najskôr o dvojrozmernom prípade Kartézsky súradnicový systém:

1) Nakreslíme súradnicové osi. Os je tzv os x a os os y . Vždy sa ich snažíme nakresliť úhľadné a nie krivé. Šípky by tiež nemali pripomínať bradu Papa Carla.

2) Osy podpíšeme veľkými písmenami „x“ a „y“. Nezabudnite podpísať osy.

3) Nastavte mierku pozdĺž osí: nakreslite nulu a dve jednotky. Pri vytváraní výkresu je najpohodlnejšia a najbežnejšia mierka: 1 jednotka = 2 bunky (výkres vľavo) - ak je to možné, držte sa. Z času na čas sa však stane, že sa nám kresba nezmestí na hárok zošita – vtedy zmenšíme mierku: 1 jednotka = 1 bunka (výkres vpravo). Zriedkavo, ale stáva sa, že mierka kresby sa musí ešte viac zmenšiť (alebo zväčšiť).

NEČMÁHAJTE zo samopalu ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Súradnicová rovina totiž nie je pomníkom Descarta a študent nie je holubica. Dali sme nula A dve jednotky pozdĺž osí. Niekedy namiesto jednotky, je vhodné „detekovať“ iné hodnoty, napríklad „dva“ na osi x a „tri“ na osi y - a tento systém (0, 2 a 3) tiež jednoznačne nastaví súradnicovú sieť.

Odhadované rozmery výkresu je lepšie odhadnúť PRED kreslením výkresu.. Ak teda úloha vyžaduje napríklad nakreslenie trojuholníka s vrcholmi , , , potom je celkom jasné, že populárna mierka 1 jednotka = 2 bunky nebude fungovať. prečo? Pozrime sa na vec - tu musíte merať pätnásť centimetrov nadol a kresba sa, samozrejme, nezmestí (alebo sa sotva zmestí) na list zošita. Preto hneď vyberieme menšiu mierku 1 jednotka = 1 bunka.

Mimochodom, asi centimetre a bunky notebooku. Je pravda, že v 30 bunkách notebooku je 15 centimetrov? Odmerajte si v zošite pre zaujímavosť pravítkom 15 centimetrov. V ZSSR to možno bola pravda ... Je zaujímavé poznamenať, že ak zmeriate rovnaké centimetre horizontálne a vertikálne, výsledky (v bunkách) budú iné! Prísne vzaté, moderné notebooky nie sú kockované, ale obdĺžnikové. Môže sa to zdať ako nezmysel, ale kresliť napríklad kružnicu kružidlom v takýchto situáciách je veľmi nepohodlné. Úprimne povedané, v takých chvíľach začínate uvažovať o správnosti súdruha Stalina, ktorého poslali do táborov na hackerské práce vo výrobe, nehovoriac o domácom automobilovom priemysle, padajúcich lietadlách či explodujúcich elektrárňach.

Keď už hovoríme o kvalite, alebo krátke odporúčanie na písacie potreby. K dnešnému dňu je väčšina notebookov v predaji, zlé slová nehovoriac, úplná kravina. Z toho dôvodu, že sa namočia, a to nielen z gélových pier, ale aj z guľôčkových pier! Ušetrite na papieri. Na odbavenie kontrolné práce Odporúčam použiť zošity Arkhangelskej celulózky a papiera (18 listov, klietka) alebo Pyaterochka, aj keď je to drahšie. Vhodné je zvoliť gélové pero, aj tá najlacnejšia čínska gélová náplň je oveľa lepšia ako guľôčkové pero, ktoré papier buď rozmazáva, alebo trhá. Jediné "konkurenčné" guľôčkové pero v mojej pamäti je Erich Krause. Píše zreteľne, krásne a stabilne - buď s plnou stopkou, alebo s takmer prázdnou.

Okrem toho: Vízia pravouhlého súradnicového systému očami analytickej geometrie je zahrnutá v článku Lineárna (ne)závislosť vektorov. Vektorový základ, detailné informácie o súradnicových štvrtiach nájdete v druhom odseku lekcie Lineárne nerovnosti.

3D puzdro

Tu je to takmer rovnaké.

1) Nakreslíme súradnicové osi. Štandard: os aplikácie – smeruje nahor, os – smeruje doprava, os – nadol doľava prísne pod uhlom 45 stupňov.

2) Podpíšeme osi.

3) Nastavte mierku pozdĺž osí. Mierka pozdĺž osi - dvakrát menšia ako mierka pozdĺž ostatných osí. Všimnite si tiež, že v pravom výkrese som použil neštandardný "serif" pozdĺž osi (táto možnosť už bola spomenutá vyššie). Z môjho pohľadu je to presnejšie, rýchlejšie a estetickejšie – netreba hľadať stred bunky pod mikroskopom a „vyrezávať“ jednotku až po počiatok.

Pri opätovnom 3D kreslení dávajte prednosť mierke
1 jednotka = 2 bunky (nákres vľavo).

Na čo slúžia všetky tieto pravidlá? Pravidlá sú na to, aby sa porušovali. Čo budem teraz robiť. Faktom je, že následné kresby článku urobím ja v Exceli a súradnicové osi budú vyzerať nesprávne správny dizajn. Všetky grafy by som mohol kresliť ručne, ale je naozaj strašidelné ich kresliť, pretože Excel sa zdráha kresliť ich oveľa presnejšie.

Grafy a základné vlastnosti elementárnych funkcií

Lineárna funkcia je dané rovnicou. Graf lineárnej funkcie je priamy. Na zostrojenie priamky stačí poznať dva body.

Príklad 1

Nakreslite funkciu. Nájdime dva body. Ako jeden z bodov je výhodné zvoliť nulu.

Ak potom

Zoberme si nejaký iný bod, napríklad 1.

Ak potom

Pri príprave úloh sú súradnice bodov zvyčajne zhrnuté v tabuľke:

A samotné hodnoty sa počítajú ústne alebo na koncepte, kalkulačke.

Našli sme dva body, poďme nakresliť:

Pri kreslení výkresu vždy podpisujeme grafiku.

Nebude zbytočné pripomínať špeciálne prípady lineárnej funkcie:

Všimnite si, ako som umiestnil titulky, podpisy by pri štúdiu výkresu nemali byť nejednoznačné. V tomto prípade bolo veľmi nežiaduce umiestniť podpis vedľa priesečníka čiar alebo vpravo dole medzi grafy.

1) Lineárna funkcia tvaru () sa nazýva priama úmernosť. Napríklad, . Graf priamej úmernosti vždy prechádza počiatkom. Konštrukcia priamky je teda zjednodušená – stačí nájsť len jeden bod.

2) Rovnica v tvare definuje priamku rovnobežnú s osou, konkrétne os je daná rovnicou. Graf funkcie je zostavený okamžite, bez nájdenia akýchkoľvek bodov. To znamená, že záznam treba chápať takto: "y sa vždy rovná -4 pre akúkoľvek hodnotu x."

3) Rovnica v tvare vymedzuje priamku rovnobežnú s osou, najmä samotná os je daná rovnicou. Okamžite sa zostaví aj graf funkcie. Záznam by sa mal chápať takto: "x sa vždy pre akúkoľvek hodnotu y rovná 1."

Niektorí sa budú pýtať, no, prečo si spomínať na 6. ročník?! Tak to je, možno je to tak, len za roky praxe som stretol dobrý tucet študentov, ktorí boli zmätení úlohou zostrojiť graf ako alebo .

Kreslenie rovnej čiary je najbežnejšou činnosťou pri vytváraní výkresov.

Priamka je podrobne diskutovaná v kurze analytickej geometrie a kto chce, môže si prečítať článok Rovnica priamky na rovine.

Graf kvadratickej funkcie, graf kubickej funkcie, graf polynómu

Parabola. Graf kvadratickej funkcie () je parabola. Zvážte slávny prípad:

Pripomeňme si niektoré vlastnosti funkcie.

Takže riešenie našej rovnice: - v tomto bode sa nachádza vrchol paraboly. Prečo je to tak, sa dozviete z teoretického článku o derivácii a lekcie o extrémoch funkcie. Medzitým vypočítame zodpovedajúcu hodnotu "y":

Takže vrchol je v bode

Teraz nájdeme ďalšie body, pričom drzo využívame symetriu paraboly. Treba poznamenať, že funkcia – nie je rovnomerné, ale napriek tomu nikto nezrušil symetriu paraboly.

V akom poradí nájsť zvyšné body, myslím, že bude jasné z konečnej tabuľky:

Tento algoritmus stavbu možno obrazne nazvať „kyvadlo“ alebo princíp „tam a späť“ s Anfisou Čechovou.

Urobme si kresbu:

Z uvažovaných grafov prichádza na myseľ ďalšia užitočná funkcia:

Pre kvadratickú funkciu () platí:

Ak , potom vetvy paraboly smerujú nahor.

Ak , potom vetvy paraboly smerujú nadol.

Hlbokú znalosť krivky je možné získať na lekcii Hyperbola a parabola.

Kubická parabola je daná funkciou . Tu je kresba známa zo školy:

Uvádzame hlavné vlastnosti funkcie

Graf funkcií

Predstavuje jednu z vetiev paraboly. Urobme si kresbu:

Hlavné vlastnosti funkcie:

V tomto prípade je os vertikálna asymptota pre graf hyperboly na .

VEĽKOU chybou bude, ak pri kreslení z nedbanlivosti dovolíte, aby sa graf pretínal s asymptotou.

Také jednostranné limity, povedzte nám, že hyperbola nie je zhora obmedzený A nie je obmedzená zdola.

Poďme preskúmať funkciu v nekonečne: , to znamená, že ak sa začneme pohybovať pozdĺž osi doľava (alebo doprava) do nekonečna, potom budú „hry“ štíhly krok nekonečne blízko priblížiť sa k nule a podľa toho aj vetvy hyperboly nekonečne blízko priblížiť sa k osi.

Takže os je horizontálna asymptota pre graf funkcie, ak "x" smeruje k plus alebo mínus nekonečnu.

Funkcia je zvláštny, čo znamená, že hyperbola je symetrická vzhľadom na počiatok. Táto skutočnosť je zrejmá z výkresu, navyše sa dá ľahko analyticky overiť: .

Graf funkcie tvaru () predstavuje dve vetvy hyperboly.

Ak , potom sa hyperbola nachádza v prvom a treťom súradnicovom kvadrante(pozri obrázok vyššie).

Ak , potom sa hyperbola nachádza v druhom a štvrtom súradnicovom kvadrante.

Analyzovať špecifikovanú pravidelnosť miesta pobytu hyperboly z pohľadu geometrických transformácií grafov nie je ťažké.

Príklad 3

Zostrojte pravú vetvu hyperboly

Používame metódu bodovej konštrukcie, pričom je výhodné voliť hodnoty tak, aby sa delili úplne:

Urobme si kresbu:

Je ľahké ho postaviť a ľavá vetva hyperbola, tu len pomôže zvláštnosť funkcie. Zhruba povedané, v tabuľke bodovej konštrukcie mentálne pridajte ku každému číslu mínus, vložte príslušné bodky a nakreslite druhú vetvu.

Podrobné geometrické informácie o uvažovanej priamke nájdete v článku Hyperbola a parabola.

Graf exponenciálnej funkcie

V tomto odseku sa budem okamžite zaoberať exponenciálnou funkciou, pretože v úlohách vyššej matematiky sa v 95% prípadov vyskytuje práve exponent.

Pripomínam vám, že - toto je iracionálne číslo: , bude to potrebné pri zostavovaní grafu, ktorý v skutočnosti postavím bez obradu. Tri body asi dosť:

Graf funkcie nechajme zatiaľ na pokoji, o tom neskôr.

Hlavné vlastnosti funkcie:

V zásade vyzerajú grafy funkcií rovnako atď.

Musím povedať, že druhý prípad je v praxi menej bežný, ale vyskytuje sa, preto som považoval za potrebné zahrnúť ho do tohto článku.

Graf logaritmickej funkcie

Zvážte funkciu s prirodzený logaritmus.
Urobme si čiarovú kresbu:

Ak ste zabudli, čo je logaritmus, pozrite si prosím školské učebnice.

Hlavné vlastnosti funkcie:

doména:

Rozsah hodnôt: .

Funkcia nie je obmedzená zhora: , aj keď pomaly, ale vetva logaritmu ide až do nekonečna.
Skúmame správanie funkcie blízko nuly vpravo: . Takže os je vertikálna asymptota pre graf funkcie s "x" smerujúcim k nule vpravo.

Nezabudnite poznať a zapamätať si typickú hodnotu logaritmu: .

Graf logaritmu na základe vyzerá v zásade rovnako: , , (desatinný logaritmus na základ 10) atď. Zároveň platí, že čím väčšia základňa, tým plochejší bude graf.

Prípad nebudeme zvažovať, nepamätám si kedy naposledy vytvoril graf s takýmto základom. Áno, a logaritmus sa zdá byť veľmi zriedkavým hosťom v problémoch vyššej matematiky.

Na záver odseku poviem ešte jeden fakt: Exponenciálna funkcia a logaritmická funkciasú dve vzájomné inverzné funkcie . Ak sa pozriete pozorne na graf logaritmu, môžete vidieť, že ide o rovnaký exponent, len je umiestnený trochu inak.

Grafy goniometrických funkcií

Ako začína trigonometrické trápenie v škole? Správny. Zo sínusu

Nakreslíme funkciu

Táto linka je tzv sínusoida.

Pripomínam vám, že „pí“ je iracionálne číslo: a v trigonometrii oslňuje oči.

Hlavné vlastnosti funkcie:

Táto funkcia je periodikum s bodkou. Čo to znamená? Pozrime sa na strih. Naľavo a napravo od neho sa donekonečna opakuje presne ten istý kus grafu.

doména: , to znamená, že pre akúkoľvek hodnotu "x" existuje sínusová hodnota.

Rozsah hodnôt: . Funkcia je obmedzené: , to znamená, že všetky „hry“ sedia striktne v segmente .
To sa nestane: alebo presnejšie, stane sa, ale tieto rovnice nemajú riešenie.

Ako postaviť parabolu? Existuje niekoľko spôsobov, ako zobraziť graf kvadratickej funkcie. Každý z nich má svoje pre a proti. Zvážme dva spôsoby.

Začnime vykreslením kvadratickej funkcie ako y=x²+bx+c a y= -x²+bx+c.

Príklad.

Nakreslite funkciu y=x²+2x-3.

Riešenie:

y=x²+2x-3 je kvadratická funkcia. Graf je parabola s vetvami nahor. Súradnice vrcholov paraboly

Z vrcholu (-1;-4) zostavíme graf paraboly y=x² (ako od počiatku. Namiesto (0;0) - vrchol (-1;-4). Z (-1;- 4) ideme doprava o 1 jednotku a hore o 1, potom doľava o 1 a hore o 1, potom: 2 - vpravo, 4 - hore, 2 - vľavo, 4 - hore, 3 - vpravo, 9 - hore, 3 - doľava, 9 - hore, týchto 7 bodov nestačí, potom - 4 doprava, 16 - hore atď.).

Graf kvadratickej funkcie y= -x²+bx+c je parabola, ktorej vetvy smerujú nadol. Na zostavenie grafu hľadáme súradnice vrcholu a z nich zostavíme parabolu y= -x².

Príklad.

Nakreslite funkciu y= -x²+2x+8.

Riešenie:

y= -x²+2x+8 je kvadratická funkcia. Graf je parabola s vetvami nadol. Súradnice vrcholov paraboly

Zhora zostavíme parabolu y = -x² (1 - vpravo, 1 - dole; 1 - vľavo, 1 - dole; 2 - vpravo, 4 - dole; 2 - vľavo, 4 - dole atď.):

Táto metóda vám umožňuje rýchlo zostaviť parabolu a nespôsobuje ťažkosti, ak viete, ako vykresliť funkcie y=x² a y= -x². Nevýhoda: ak sú súradnice vrcholov zlomkové čísla, plotrovanie nie je veľmi pohodlné. Ak to potrebujete vedieť presné hodnoty body priesečníka grafu s osou Ox, budete musieť dodatočne vyriešiť rovnicu x² + bx + c = 0 (alebo -x² + bx + c = 0), aj keď tieto body možno priamo určiť z obrázku.

Ďalším spôsobom, ako postaviť parabolu, sú body, to znamená, že na grafe môžete nájsť niekoľko bodov a nakresliť cez ne parabolu (pričom úsečka x=xₒ je jej osou symetrie). Zvyčajne na to berú vrchol paraboly, priesečníky grafu so súradnicovými osami a 1-2 ďalšie body.

Nakreslite funkciu y=x²+5x+4.

Riešenie:

y=x²+5x+4 je kvadratická funkcia. Graf je parabola s vetvami nahor. Súradnice vrcholov paraboly

to znamená, že vrchol paraboly je bod (-2,5; -2,25).

hľadajú . V priesečníku s osou Ox y=0: x²+5x+4=0. Korene kvadratická rovnica x1=-1, x2=-4, to znamená, že sme dostali dva body na grafe (-1; 0) a (-4; 0).

V priesečníku grafu s osou Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Získali sme bod (0; 4).

Ak chcete spresniť graf, môžete nájsť ďalší bod. Zoberme si x=1, potom y=1²+5∙1+4=10, teda ďalší bod grafu - (1; 10). Tieto body označíme na súradnicovej rovine. Berúc do úvahy symetriu paraboly vzhľadom na priamku prechádzajúcu jej vrcholom, označíme ďalšie dva body: (-5; 6) a (-6; 10) a nakreslíme cez ne parabolu:

Nakreslite funkciu y= -x²-3x.

Riešenie:

y= -x²-3x je kvadratická funkcia. Graf je parabola s vetvami nadol. Súradnice vrcholov paraboly

Vrchol (-1,5; 2,25) je prvým bodom paraboly.

V priesečníkoch grafu s osou x y=0, teda riešime rovnicu -x²-3x=0. Jeho korene sú x=0 a x=-3, čiže (0; 0) a (-3; 0) sú ďalšie dva body na grafe. Bod (o; 0) je zároveň priesečníkom paraboly s osou y.

Pri x=1 y=-1²-3∙1=-4, t.j. (1; -4) je dodatočný bod na vykreslenie.

Zostavenie paraboly z bodov je časovo náročnejšia metóda v porovnaní s prvým. Ak parabola nepretína os Ox, bude potrebných viac ďalších bodov.

Skôr ako budete pokračovať v konštrukcii grafov kvadratických funkcií tvaru y=ax²+bx+c, zvážte konštrukciu grafov funkcií pomocou geometrických transformácií. Grafy funkcií v tvare y=x²+c je tiež najvhodnejšie zostaviť pomocou jednej z týchto transformácií - paralelného prekladu.

Rubrika: |

Funkcia formulára , kde je tzv kvadratickej funkcie.

Graf kvadratickej funkcie − parabola.

Zvážte prípady:

PRÍPAD I, KLASICKÁ PARABOLA

To je,,

Ak chcete zostaviť, vyplňte tabuľku dosadením hodnôt x do vzorca:

Označiť body (0;0); (1;1); (-1;1) atď. na súradnicovej rovine (čím menší krok vezmeme hodnoty x (v tomto prípade krok 1) a čím viac hodnôt x vezmeme, tým hladšia krivka), dostaneme parabolu:

Je ľahké vidieť, že ak vezmeme prípad , , , to znamená, že dostaneme parabolu symetrickú podľa osi (vôl). Je ľahké to overiť vyplnením podobnej tabuľky:

PRÍPAD II, "a" ODLIŠNÉ OD JEDNÉHO

Čo sa stane, ak vezmeme , , ? Ako sa zmení správanie paraboly? S title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Prvý obrázok (pozri vyššie) jasne ukazuje, že body z tabuľky pre parabolu (1;1), (-1;1) boli transformované na body (1;4), (1;-4), tj. pri rovnakých hodnotách sa ordináta každého bodu vynásobí 4. Toto sa stane so všetkými kľúčovými bodmi pôvodnej tabuľky. Podobne argumentujeme aj v prípade obrázkov 2 a 3.

A keď sa parabola „stane širšou“ parabolou:

Poďme si to zrekapitulovať:

1)Znamienko koeficientu je zodpovedné za smer vetiev. S title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Absolútna hodnota koeficient (modul) je zodpovedný za „expanziu“, „stlačenie“ paraboly. Čím väčšia , tým užšia je parabola, tým menšie |a|, tým širšia parabola.

ZOBRAZÍ SA PRÍPAD III, "C".

Teraz poďme do hry (to znamená, že uvažujeme o prípade, keď ), budeme uvažovať o parabolách tvaru . Je ľahké uhádnuť (vždy sa môžete pozrieť na tabuľku), že parabola sa bude pohybovať nahor alebo nadol pozdĺž osi v závislosti od znamienka:

IV ZOBRAZÍ SA PRÍPAD, „b“.

Kedy sa parabola „odtrhne“ od osi a konečne „prejde“ po celej súradnicovej rovine? Keď to prestane byť rovné.

Tu, aby sme vytvorili parabolu, potrebujeme vzorec na výpočet vrcholu: , .

Takže v tomto bode (ako v bode (0; 0) nový systém súradnice) postavíme parabolu, ktorá je už v našich silách. Ak sa zaoberáme prípadom , tak zhora vyčleníme jeden jednotkový segment doprava, jeden nahor, - výsledný bod je náš (podobne, krok doľava, krok hore je náš bod); ak máme do činenia napríklad s, tak zhora odložíme jeden segment doprava, dva hore atď.

Napríklad vrchol paraboly:

Teraz treba hlavne pochopiť, že v tomto vrchole postavíme parabolu podľa šablóny paraboly, pretože v našom prípade.

Pri konštrukcii paraboly po zistení súradníc vrcholu je veľmiJe vhodné zvážiť nasledujúce body:

1) parabola musí prejsť cez bod . Skutočne, dosadením x=0 do vzorca dostaneme, že . To znamená, že ordináta priesečníka paraboly s osou (oy), to je. V našom príklade (vyššie) parabola pretína os y v , pretože .

2) os symetrie paraboly je priamka, takže všetky body paraboly budú okolo nej symetrické. V našom príklade okamžite zoberieme bod (0; -2) a postavíme parabolu symetrickú podľa osi symetrie, dostaneme bod (4; -2), cez ktorý bude parabola prechádzať.

3) Rovnaké k , zistíme priesečníky paraboly s osou (ox). Aby sme to dosiahli, riešime rovnicu. V závislosti od diskriminantu dostaneme jeden (, ), dva ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . V predchádzajúcom príklade máme koreň diskriminantu - nie celé číslo, pri jeho zostavovaní nemá zmysel hľadať korene, ale jasne vidíme, že budeme mať dva priesečníky s (oh) axis (keďže title = " Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Tak poďme cvičiť

Algoritmus na zostavenie paraboly, ak je daný vo forme

1) určiť smer vetiev (a>0 - hore, a<0 – вниз)

2) nájdite súradnice vrcholu paraboly podľa vzorca , .

3) bod priesečníka paraboly s osou (oy) nájdeme voľným členom, postavíme bod symetrický k danému vzhľadom na os súmernosti paraboly (treba si uvedomiť, že sa stáva, že je nerentabilné označiť tento bod, napríklad, pretože hodnota je veľká ... tento bod preskočíme ...)

4) V nájdenom bode - vrchole paraboly (ako v bode (0; 0) nového súradnicového systému) postavíme parabolu. If title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Nájdeme priesečníky paraboly s osou (oy) (ak sa samy ešte „nevynorili“) a vyriešime rovnicu

Príklad 1

Príklad 2

Poznámka 1. Ak dostaneme parabolu na začiatku vo forme , kde sú nejaké čísla (napríklad ), potom bude ešte jednoduchšie ju postaviť, pretože súradnice vrcholu sme už dostali. prečo?

Zoberme si štvorcovú trojčlenku a označme v nej celý štvorec: Pozri, tu to máme , . Predtým sme nazývali vrchol paraboly, teda teraz.

Napríklad, . Na rovine označíme vrchol paraboly, chápeme, že vetvy smerujú nadol, parabola je rozšírená (relatívne). To znamená, že vykonáme kroky 1; 3; 4; 5 z algoritmu na konštrukciu paraboly (pozri vyššie).

Poznámka 2. Ak je parabola daná v podobnom tvare (t. j. reprezentovaná ako súčin dvoch lineárnych faktorov), okamžite vidíme priesečníky paraboly s osou (x). V tomto prípade - (0;0) a (4;0). Vo zvyšku konáme podľa algoritmu a otvárame zátvorky.

Na hodinách matematiky v škole ste sa už zoznámili s najjednoduchšími vlastnosťami a grafom funkcie y=x2. Rozšírme svoje vedomosti kvadratickej funkcie.

Cvičenie 1.

Nakreslite funkciu y=x2. Mierka: 1 = 2 cm Označte bod na osi Oy F(0; 1/4). Pomocou kompasu alebo prúžku papiera zmerajte vzdialenosť od bodu F do určitého bodu M paraboly. Potom prišpendlite prúžok v bode M a otočte ho okolo tohto bodu tak, aby bol vertikálny. Koniec prúžku klesne mierne pod os x (obr. 1). Označte na páse, ako ďaleko presahuje os x. Vezmite teraz ďalší bod na parabole a zopakujte meranie znova. O koľko teraz klesol okraj pásu za os x?

výsledok: bez ohľadu na to, aký bod na parabole y \u003d x 2 vezmete, vzdialenosť od tohto bodu k bodu F (0; 1/4) bude väčšia ako vzdialenosť od toho istého bodu k osi x vždy o rovnakú číslo - o 1/4.

Dá sa to povedať inak: vzdialenosť od ktoréhokoľvek bodu paraboly k bodu (0; 1/4) sa rovná vzdialenosti od toho istého bodu paraboly k priamke y = -1/4. Tento úžasný bod F(0; 1/4) sa nazýva zameranie paraboly y \u003d x 2 a priamka y \u003d -1/4 - riaditeľka túto parabolu. Každá parabola má smerovú čiaru a ohnisko.

Zaujímavé vlastnosti paraboly:

1. Ktorýkoľvek bod paraboly je rovnako vzdialený od nejakého bodu, ktorý sa nazýva ohnisko paraboly, a od nejakej priamky, ktorá sa nazýva jej priamka.

2. Ak otočíte parabolu okolo osi symetrie (napríklad parabolu y \u003d x 2 okolo osi Oy), získate veľmi zaujímavý povrch, ktorý sa nazýva paraboloid rotácie.

Povrch kvapaliny v rotujúcej nádobe má tvar rotačného paraboloidu. Tento povrch môžete vidieť, ak silno zamiešate lyžičkou v neúplnom pohári čaju a potom lyžicu vyberiete.

3. Ak hodíte kameň do prázdna pod určitým uhlom k horizontu, potom poletí pozdĺž paraboly (obr. 2).

4. Ak pretínate povrch kužeľa s rovinou rovnobežnou s ktorýmkoľvek z jeho generátorov, potom v reze dostanete parabolu (obr. 3).

5. V zábavných parkoch občas usporiadajú vtipnú atrakciu s názvom Paraboloid divov. Každému z tých, ktorí stoja vo vnútri rotujúceho paraboloidu, sa zdá, že stojí na podlahe a zvyšok ľudí sa nejakým zázrakom drží na stenách.

6. V odrazových ďalekohľadoch sa používajú aj parabolické zrkadlá: svetlo vzdialenej hviezdy, pohybujúce sa v paralelnom lúči, dopadajúce na zrkadlo ďalekohľadu, sa zhromažďuje v ohnisku.

7. Pre reflektory sa zrkadlo zvyčajne vyrába vo forme paraboloidu. Ak umiestnite zdroj svetla do ohniska paraboloidu, potom lúče odrazené od parabolického zrkadla vytvoria paralelný lúč.

Vykreslenie kvadratickej funkcie

Na hodinách matematiky ste študovali, ako získať grafy funkcií formulára z grafu funkcie y \u003d x 2:

1) y=ax2– rozšírenie grafu y = x 2 pozdĺž osi Oy v |a| krát (pre |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, ryža. 4).

2) y=x2+n– posun grafu o n jednotiek pozdĺž osi Oy a ak n > 0, potom je posun hore a ak n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m)2– posun grafu o m jednotiek pozdĺž osi Ox: ak m< 0, то вправо, а если m >0, potom doľava, (obr. 5).

4) y=-x2- symetrické zobrazenie okolo osi Ox grafu y = x 2 .

Zastavme sa podrobnejšie pri vykresľovaní grafu funkcie. y = a(x - m)2 + n.

Kvadratickú funkciu tvaru y = ax 2 + bx + c možno vždy zredukovať na tvar

y \u003d a (x - m) 2 + n, kde m \u003d -b / (2a), n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a).

Poďme to dokázať.

naozaj,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x (b/a) + b 2 /(4a 2) - b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x+b/2a)2-(b2-4ac)/(4a2)) = a(x+b/2a)2-(b2-4ac)/(4a).

Predstavme si nový zápis.

Nechaj m = -b/(2a), A n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a),

potom dostaneme y = a(x - m) 2 + n alebo y - n = a(x - m) 2 .

Urobme ďalšie substitúcie: nech y - n = Y, x - m = X (*).

Potom dostaneme funkciu Y = aX 2 , ktorej graf je parabola.

Vrchol paraboly je v počiatku. x=0; Y = 0.

Dosadením súradníc vrcholu do (*) získame súradnice vrcholu grafu y = a(x - m) 2 + n: x = m, y = n.

Aby bolo možné vykresliť kvadratickú funkciu reprezentovanú ako

y = a(x - m)2 + n

transformáciou môžete postupovať takto:

a) zostavte graf funkcie y = x 2 ;

b) paralelným posunom pozdĺž osi Ox o m jednotiek a pozdĺž osi Oy o n jednotiek - preniesť vrchol paraboly z počiatku do bodu so súradnicami (m; n) (obr. 6).

Napíšte transformácie:

y = x 2 → y = (x - m) 2 → y = a (x - m) 2 → y = a (x - m) 2 + n.

Príklad.

Pomocou transformácií zostrojte graf funkcie y = 2(x - 3) 2 v karteziánskom súradnicovom systéme – 2.

Riešenie.

Reťazec transformácií:

y=x2 (1) → y = (x - 3) 2 (2) → y = 2 (x – 3) 2 (3) → y = 2 (x - 3) 2 - 2 (4) .

Konštrukcia grafu je znázornená v ryža. 7.

Vykresľovanie kvadratickej funkcie si môžete precvičiť sami. Napríklad pomocou transformácií zostavte v jednom súradnicovom systéme graf funkcie y = 2(x + 3) 2 + 2. Ak máte nejaké otázky alebo si chcete poradiť od učiteľa, potom máte možnosť bezplatná 25-minútová lekcia s online lektorom po registrácii. Pre ďalšiu prácu s učiteľom si môžete vybrať tarifný plán, ktorý vám vyhovuje.

Máte nejaké otázky? Neviete ako nakresliť kvadratickú funkciu?
Ak chcete získať pomoc tútora - zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.