Dĺžka segmentu na súradnicovej osi sa zistí podľa vzorca:

Dĺžka segmentu v rovine súradníc sa hľadá podľa vzorca:

Na nájdenie dĺžky segmentu v trojrozmernom súradnicovom systéme sa používa nasledujúci vzorec:

Súradnice stredu segmentu (pre súradnicovú os sa používa iba prvý vzorec, pre rovinu súradníc - prvé dva vzorce, pre trojrozmerný súradnicový systém - všetky tri vzorce) sa vypočítajú podľa vzorcov:

Funkcia je zhoda s formulárom r= f(X) medzi premennými, vďaka čomu každá uvažovala o hodnote nejakej premennej X(argument alebo nezávislá premenná) zodpovedá určitej hodnote inej premennej, r(závislá premenná, niekedy sa táto hodnota nazýva jednoducho hodnota funkcie). Všimnite si, že funkcia predpokladá, že jedna hodnota argumentu X môže existovať iba jedna hodnota závislej premennej pri. Avšak rovnakú hodnotu pri možno získať s rôznymi X.

Rozsah funkcie sú všetky hodnoty nezávislej premennej (argument funkcie, zvyčajne X) pre ktorý je funkcia definovaná, t.j. jeho význam existuje. Je uvedená doména definície D(r). Celkovo tento pojem už poznáte. Rozsah funkcie sa inak nazýva rozsah povolené hodnoty, alebo ODZ, ktoré máte možnosť nájsť už dlhšiu dobu.

Funkčný rozsah sú všetky možné hodnoty závislej premennej tejto funkcie. Označené E(pri).

Funkcia stúpa v intervale kde väčšiu hodnotu argument zodpovedá väčšej hodnote funkcie. Funkcia klesá na intervale, na ktorom väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie.

Funkčné intervaly sú intervaly nezávislej premennej, v ktorých si závislá premenná zachováva svoje kladné alebo záporné znamienko.

Funkčné nuly sú tie hodnoty argumentu, pre ktoré sa hodnota funkcie rovná nule. V týchto bodoch graf funkcie pretína os x (osa OX). Potreba nájsť nuly funkcie veľmi často znamená jednoduché riešenie rovnice. Tiež často potreba nájsť intervaly konštantného znamienka znamená potrebu jednoducho vyriešiť nerovnosť.

Funkcia r = f(X) sa volajú dokonca X

To znamená, že pre akékoľvek opačné hodnoty argumentu sú hodnoty párnej funkcie rovnaké. Rozvrh dokonca funkciu vždy symetrické okolo osi y y.

Funkcia r = f(X) sa volajú zvláštny, ak je definovaný na symetrickej množine a pre ľubovoľnú X z oblasti definície je splnená rovnosť:

To znamená, že pre akékoľvek opačné hodnoty argumentu sú hodnoty nepárnej funkcie tiež opačné. Graf nepárnej funkcie je vždy symetrický podľa počiatku.

Súčet koreňov párneho a nepárne vlastnosti(priesečníky osi x OX) je vždy nula, pretože za každý kladný koreň X má negatívny koreň X.

Je dôležité poznamenať, že niektoré funkcie nemusia byť párne alebo nepárne. Existuje veľa funkcií, ktoré nie sú ani párne, ani nepárne. Takéto funkcie sú tzv funkcie všeobecný pohľad a neplatí pre nich žiadna z vyššie uvedených rovností alebo vlastností.

Lineárna funkcia sa nazýva funkcia, ktorá môže byť daná vzorcom:

Rozvrh lineárna funkcia je priamka a vo všeobecnom prípade vyzerá takto (príklad je uvedený pre prípad, keď k> 0, v tomto prípade je funkcia rastúca; pre túto príležitosť k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Graf kvadratickej funkcie (Parabola)

Graf paraboly je daný kvadratickou funkciou:

Kvadratická funkcia, ako každá iná funkcia, pretína os OX v bodoch, ktoré sú jej koreňmi: ( X 1; 0) a ( X 2; 0). Ak neexistujú žiadne korene, potom kvadratická funkcia nepretína os OX, ak existuje jeden koreň, potom v tomto bode ( X 0; 0) kvadratická funkcia sa iba dotýka osi OX, ale nepretína ju. Kvadratická funkcia vždy pretína os OY v bode so súradnicami: (0; c). Rozvrh kvadratickej funkcie(parabola) môže vyzerať takto (obrázok ukazuje príklady, ktoré zďaleka nevyčerpávajú všetko možné typy parabola):

kde:

• ak koeficient a> 0, vo funkcii r = sekera 2 + bx + c, potom sú vetvy paraboly nasmerované nahor;
• ak a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Súradnice vrcholov paraboly možno vypočítať pomocou nasledujúcich vzorcov. X topy (p- na obrázkoch vyššie) paraboly (alebo bodu, v ktorom štvorcová trojčlenka dosiahne svoju maximálnu alebo minimálnu hodnotu):

Y vrcholy (q- na obrázkoch vyššie) paraboly alebo maximálne, ak vetvy paraboly smerujú nadol ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), hodnota štvorcového trinomu:

Grafy iných funkcií

výkonová funkcia

Tu je niekoľko príkladov grafov mocninových funkcií:

Nepriamo úmerná závislosť zavolajte funkciu danú vzorcom:

V závislosti od znamienka čísla k graf späť proporcionálna závislosť môže mať dve hlavné možnosti:

Asymptota je priamka, ku ktorej sa priamka grafu funkcie nekonečne blízko približuje, ale nepretína sa. Asymptoty pre grafy inverzná úmernosť na obrázku vyššie sú súradnicové osi, ku ktorým sa graf funkcie nekonečne približuje, ale nepretína ich.

exponenciálna funkcia so základňou A zavolajte funkciu danú vzorcom:

a graf exponenciálnej funkcie môže mať dve základné možnosti (uvedieme aj príklady, pozri nižšie):

logaritmická funkcia zavolajte funkciu danú vzorcom:

Podľa toho, či je číslo väčšie alebo menšie ako jedna a Graf logaritmickej funkcie môže mať dve základné možnosti:

Graf funkcií r = |X| nasledovne:

Grafy periodických (trigonometrických) funkcií

Funkcia pri = f(X) sa nazýva periodikum, ak takéto nenulové číslo existuje T, Čo f(X + T) = f(X), pre hocikoho X mimo rozsahu funkcie f(X). Ak je funkcia f(X) je periodické s bodkou T, potom funkcia:

Kde: A, k, b sú konštantné čísla a k nerovná sa nule, tiež periodické s bodkou T 1, ktorý je určený vzorcom:

Väčšina príkladov periodických funkcií sú goniometrické funkcie. Tu sú grafy hlavných goniometrické funkcie. Nasledujúci obrázok znázorňuje časť grafu funkcie r= hriech X(celý graf pokračuje nekonečne doľava a doprava), graf funkcie r= hriech X volal sínusoida:

Graf funkcií r= cos X volal kosínusová vlna. Tento graf je znázornený na nasledujúcom obrázku. Od grafu sínusu pokračuje donekonečna pozdĺž osi OX doľava a doprava:

Graf funkcií r=tg X volal tangentoida. Tento graf je znázornený na nasledujúcom obrázku. Rovnako ako grafy iných periodických funkcií, tento graf sa donekonečna opakuje pozdĺž osi OX doľava a doprava.

A nakoniec graf funkcie r=ctg X volal kotangentoid. Tento graf je znázornený na nasledujúcom obrázku. Rovnako ako grafy iných periodických a goniometrických funkcií, aj tento graf sa donekonečna opakuje pozdĺž osi OX doľava a doprava.

Naučte sa všetky vzorce a zákony vo fyzike a vzorce a metódy v matematike. V skutočnosti je to tiež veľmi jednoduché, vo fyzike je len asi 200 potrebných vzorcov a v matematike ešte o niečo menej. V každom z týchto predmetov je asi tucet štandardných metód na riešenie problémov základnej úrovne zložitosti, ktoré sa možno aj naučiť, a tak úplne automaticky a bez problémov vyriešiť väčšinu digitálnej transformácie v správnom čase. Potom už budete musieť myslieť len na tie najťažšie úlohy.

Zúčastnite sa všetkých troch stupňov skúšobného testovania z fyziky a matematiky. Každý RT je možné navštíviť dvakrát, aby sa vyriešili obe možnosti. Opäť platí, že na CT je okrem schopnosti rýchlo a efektívne riešiť problémy a znalosti vzorcov a metód potrebné aj vedieť si správne naplánovať čas, rozložiť sily a hlavne správne vyplniť odpoveďový formulár. , bez toho, aby ste si pomýlili čísla odpovedí a úloh, ani svoje vlastné meno. Taktiež je počas RT dôležité zvyknúť si na štýl kladenia otázok v úlohách, ktorý sa nepripravenému človeku na DT môže zdať veľmi nezvyčajný.

Úspešná, usilovná a zodpovedná implementácia týchto troch bodov vám umožní ukázať na CT vynikajúci výsledok, maximum toho, čoho ste schopní.

Našli ste chybu?

Ak si myslíte, že ste našli chybu v školiace materiály, potom napíšte, prosím, o tom poštou. Môžete tiež nahlásiť chybu sociálna sieť(). V liste uveďte predmet (fyziku alebo matematiku), názov alebo číslo témy alebo testu, číslo úlohy, prípadne miesto v texte (strane), kde je podľa vás chyba. Popíšte tiež, čo je údajná chyba. Váš list nezostane bez povšimnutia, chyba bude buď opravená, alebo vám bude vysvetlené, prečo nejde o chybu.

Dielňa

Pomocou matematickej analýzy

Pre večerných študentov

Wow kurz

(časť I)

Učebná pomôcka

Moskva, 2006

MDT 512,8:516

BBK S42

Recenzenti:

Kandidát fyzikálnych a matematických vied, docent Karolinskaya S.N. (Moskovský letecký inštitút pomenovaný po S. Ordzhonikidze);

Kandidát fyzikálnych a matematických vied, docent Krasnoslobodtseva T.P. (MIHT pomenovaný po M.V. Lomonosovovi).

Skvortsová M.I., Mudráková O.A., Krotov G.S., Workshop matematickej analýzy pre študentov večerného oddelenia 1. ročníka (I. časť), Edukačná a metodická príručka - M .: MITHT im. M.V. Lomonosov, 2006 - 44 s.: chorý. 29 .

Schválené Knižničnou a vydavateľskou komisiou MITHT im. M.V. Lomonosov ako učebná pomôcka. poz. ___/2006.

Návod je zhrnutím 6 praktické cvičenia o kurze matematickej analýzy pre študentov večerného oddelenia MITHT im. M.V. Lomonosov. Časť I obsahuje tieto časti: "Funkcia a jej základné vlastnosti", "Limita funkcie", "Body spojitosti a nespojitosti funkcie".

Každá lekcia je venovaná samostatnej téme. Súhrny 5 lekcií obsahujú zhrnutie relevantná teória, typické príklady a úlohy na samostatné riešenie (s odpoveďami). V abstrakte lekcie č. 6 je uvedená vzorová možnosť kontrolná práca(s riešeniami) uvedené v tejto lekcii.

Príručka je určená študentom večerného oddelenia vysokých škôl chemického profilu.

© MITHT im. M.V. Lomonosov, 2006

Lekcia 1.

Pojem funkcie. Hlavná elementárne funkcie, ich vlastnosti a grafy …………………………………

2. lekcia Polárny súradnicový systém. Konštrukcia grafov funkcií posúvaním a naťahovaním pozdĺž súradnicových osí ………………………………………………….

Lekcia 3. Funkčný limit. Kontinuita funkcie. Výpočet limity spojitých, racionálnych a niektorých iracionálnych funkcií …………………………

Lekcia 4. Prvá a druhá úžasná hranica. Výpočet limitov mocninnej exponenciálnej funkcie. Nekonečne malý a nekonečne veľký
hodnoty ………………………………………………….

Lekcia 5. Body spojitosti a body nespojitosti funkcie. Klasifikácia bodov zlomu. Skúmanie funkcie pre spojitosť ………………………………

Lekcia 6. Skúška č. 1 na tému "Výpočet limity funkcií. Skúmanie spojitosti funkcie"……………………………………………………….

Literatúra……………………………………………….

Lekcia 1.

Pojem funkcie. Základné elementárne funkcie, ich vlastnosti a grafy.

Definícia 1. Závislosť premennej od premennej sa nazýva funkciu ak každá hodnota zodpovedá jednej hodnote .

Píšeme: A rozprávanie, ktorá je funkciou . Zároveň je tzv nezávislá premenná(alebo argument) a - závislá premenná.

Definícia 2. Rozsah funkcie(označené ) sú všetky hodnoty, ktoré . Sada funkčných hodnôt(označené ) sú všetky hodnoty, ktoré .

Definícia 3. Funkcia sa volá zvyšujúci sa (ubúdanie) na číselnom intervale , ak pre ktorýkoľvek z , tak, že platí nasledujúca nerovnosť:

.

Definícia 4. Funkcia sa volá monotónna na intervale, ak sa iba zníži alebo zvýši o .

Definícia 5. Funkcia sa volá dokonca (zvláštny) ak je symetrický vzhľadom na nulu a pre ktorýkoľvek z :

.

Národná výskumná univerzita

Katedra aplikovanej geológie

Esej o vyššej matematike

Na tému: „Základné elementárne funkcie,

ich vlastnosti a grafy"

Dokončené:

Skontrolované:

učiteľ

Definícia. Volá sa funkcia daná vzorcom y=a x (kde a>0, a≠1). exponenciálna funkcia so základňou a.

Formulujme hlavné vlastnosti exponenciálnej funkcie:

1. Definičný obor je množina (R) všetkých reálnych čísel.

2. Rozsah hodnôt je množina (R+) všetkých kladných reálnych čísel.

3. Keď a > 1, funkcia sa zvýši na celej reálnej čiare; na 0<а<1 функция убывает.

4. Je všeobecná funkcia.

, na intervale xн [-3;3]
, na intervale xн [-3;3]

Funkcia v tvare y(х)=х n, kde n je číslo ОR, sa nazýva mocninná funkcia. Číslo n môže nadobúdať rôzne hodnoty: celé číslo aj zlomok, párne aj nepárne. V závislosti od toho bude mať funkcia napájania inú formu. Zvážte špeciálne prípady, ktoré sú výkonovými funkciami a odrážajú hlavné vlastnosti tohto typu kriviek v nasledujúcom poradí: výkonová funkcia y \u003d x² (funkcia s párnym exponentom - parabola), výkonová funkcia y \u003d x³ (funkcia s nepárnym exponentom - kubická parabola) a funkcia y \u003d √ x (x na mocninu ½) (funkcia s zlomkovým exponentom), funkcia s exponentom záporného celého čísla (hyperbola).

Funkcia napájania y=x²

1. D(x)=R – funkcia je definovaná na celej číselnej osi;

2. E(y)= a rastie na intervale

Funkcia napájania y=x³

1. Graf funkcie y \u003d x³ sa nazýva kubická parabola. Mocninná funkcia y=x³ má nasledujúce vlastnosti:

2. D(x)=R – funkcia je definovaná na celej číselnej osi;

3. E(y)=(-∞;∞) – funkcia nadobúda všetky hodnoty vo svojej definičnej oblasti;

4. Keď x=0 y=0 – funkcia prechádza počiatkom O(0;0).

5. Funkcia sa zvyšuje v celej oblasti definície.

6. Funkcia je nepárna (symetrická podľa pôvodu).

, na intervale xн [-3;3]

V závislosti od číselného faktora pred x³ môže byť funkcia strmá / plochá a zvýšenie / zníženie.

Mocninná funkcia s celočíselným záporným exponentom:

Ak je exponent n nepárny, potom sa graf takejto mocninnej funkcie nazýva hyperbola. Mocninná funkcia so záporným celočíselným exponentom má nasledujúce vlastnosti:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) pre ľubovoľné n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), ak n je nepárne číslo; E(y)=(0;∞), ak n je párne číslo;

3. Funkcia klesá v celom definičnom obore, ak n je nepárne číslo; funkcia rastie na intervale (-∞;0) a klesá na intervale (0;∞), ak n je párne číslo.

4. Funkcia je nepárna (symetrická podľa počiatku), ak n je nepárne číslo; funkcia je párna, ak n je párne číslo.

5. Funkcia prechádza cez body (1;1) a (-1;-1), ak n je nepárne číslo a cez body (1;1) a (-1;1), ak n je párne číslo.

, na intervale xн [-3;3]

Mocninná funkcia so zlomkovým exponentom

Mocninná funkcia s zlomkovým exponentom tvaru (obrázok) má graf funkcie znázornený na obrázku. Mocninná funkcia so zlomkovým exponentom má tieto vlastnosti: (obrázok)

1. D(x) нR, ak n je nepárne číslo a D(x)=
, na intervale xн
, na intervale xн [-3;3]

Logaritmická funkcia y \u003d log a x má nasledujúce vlastnosti:

1. Definičná oblasť D(x)н (0; + ∞).

2. Rozsah hodnôt E(y) О (- ∞; + ∞)

3. Funkcia nie je párna ani nepárna (všeobecná).

4. Funkcia rastie na intervale (0; + ∞) pre a > 1, klesá na (0; + ∞) pre 0< а < 1.

Graf funkcie y = log a x získame z grafu funkcie y = a x pomocou transformácie symetrie okolo priamky y = x. Na obrázku 9 je znázornený graf logaritmickej funkcie pre a > 1 a na obrázku 10 - pre 0< a < 1.

; na intervale xО
; na intervale xО

Funkcie y \u003d sin x, y \u003d cos x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x sa nazývajú goniometrické funkcie.

Funkcie y \u003d sin x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x sú nepárne a funkcia y \u003d cos x je párna.

Funkcia y \u003d sin (x).

1. Definičná oblasť D(x) ОR.

2. Rozsah hodnôt E(y) О [ - 1; 1].

3. Funkcia je periodická; hlavná perióda je 2π.

4. Funkcia je nepárna.

5. Funkcia rastie na intervaloch [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] a klesá v intervaloch [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.

Graf funkcie y \u003d sin (x) je znázornený na obrázku 11.

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné informácie sa týkajú údajov, ktoré možno použiť na identifikáciu určitá osoba alebo spojenie s ním.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.