Keď vykresľujeme funkciu, je dôležité definovať konvexné intervaly a inflexné body. Potrebujeme ich spolu s intervalmi klesania a zvyšovania na prehľadné znázornenie funkcie v grafickej podobe.

Pochopenie tejto témy si vyžaduje vedieť, čo je to derivácia funkcie a ako ju vypočítať v určitom poradí, ako aj vedieť riešiť odlišné typy nerovnosti.

Na začiatku článku sú definované hlavné pojmy. Potom ukážeme, aký vzťah existuje medzi smerom konvexity a hodnotou druhej derivácie v určitom intervale. Ďalej uvedieme podmienky, za ktorých možno určiť inflexné body grafu. Všetky úvahy budú ilustrované príkladmi riešenia problémov.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definícia 1

Smerom nadol na určitom intervale v prípade, že jeho graf nie je v žiadnom bode tohto intervalu umiestnený nižšie ako dotyčnica k nemu.

Definícia 2

Diferenciálna funkcia je konvexná nahor na určitom intervale, ak sa graf tejto funkcie nenachádza vyššie ako dotyčnica k nemu v žiadnom bode tohto intervalu.

Nadol konvexná funkcia môže byť tiež nazývaná konkávna. Obe definície sú jasne znázornené v nasledujúcom grafe:

Definícia 3

Inflexný bod funkcie je bod M (x 0 ; f (x 0)), v ktorom je dotyčnica ku grafu funkcie za predpokladu, že derivácia existuje v blízkosti bodu x 0 , kde zľava a pravá strana graf funkcie má rôzne smery konvexnosti.

Zjednodušene povedané, inflexný bod je miesto na grafe, kde je dotyčnica a smer konvexnosti grafu pri prechode týmto miestom zmení smer konvexnosti. Ak si nepamätáte, za akých podmienok je možná existencia vertikálnej a nevertikálnej dotyčnice, odporúčame vám zopakovať si časť o dotyčnici grafu funkcie v bode.

Nižšie je uvedený graf funkcie, ktorá má viacero inflexných bodov zvýraznených červenou farbou. Ujasnime si, že prítomnosť inflexných bodov nie je povinná. Na grafe jednej funkcie môže byť jedna, dve, niekoľko, nekonečne veľa alebo žiadna.

V tejto časti budeme hovoriť o vete, pomocou ktorej môžete určiť intervaly konvexnosti na grafe konkrétnej funkcie.

Definícia 4

Graf funkcie bude mať konvexnosť v smere nadol alebo nahor, ak zodpovedajúca funkcia y = f (x) má druhú konečnú deriváciu na špecifikovanom intervale x, za predpokladu, že nerovnosť f "" (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X (f "" (x) ≤ 0 ∀ x ∈ X) bude pravdivé.

Pomocou tejto vety môžete nájsť intervaly konkávnosti a konvexnosti na ľubovoľnom grafe funkcie. Aby ste to dosiahli, stačí vyriešiť nerovnice f "" (x) ≥ 0 a f "" (x) ≤ 0 na doméne zodpovedajúcej funkcie.

Ujasnime si, že tie body, kde druhá derivácia neexistuje, ale funkcia y = f (x) je definovaná, budú zahrnuté do intervalov konvexnosti a konkávnosti.

Pozrime sa na príklade konkrétneho problému, ako správne aplikovať túto vetu.

Príklad 1

podmienka: daná funkcia y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 . Určte, v akých intervaloch bude mať jeho graf konvexnosť a konkávnosť.

Riešenie

Oblasťou tejto funkcie je celá množina reálnych čísel. Začnime výpočtom druhej derivácie.

y "= x 3 6 - x 2 + 3 x - 1" = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y "" = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2

Vidíme, že definičný obor druhej derivácie sa zhodoval s definičným oborom funkcie samotnej. Preto na identifikáciu intervalov konvexnosti potrebujeme vyriešiť nerovnosti f "" (x) ≥ 0 a f "" (x) ≤ 0 .

y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≤ 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2

Máme ten rozvrh danú funkciu bude mať na segmente konkávnosť [2; + ∞) a konvexnosť na segmente (- ∞ ; 2 ] .

Pre názornosť si nakreslíme graf funkcie a konvexnú časť na ňom označíme modrou a konkávnu časť červenou.

odpoveď: graf danej funkcie bude mať na segmente konkávnosť [2; + ∞) a konvexnosť na segmente (- ∞ ; 2 ] .

Čo však robiť, ak sa definičný obor druhej derivácie nezhoduje s definičným oborom funkcie? Tu je pre nás užitočná poznámka uvedená vyššie: tie body, kde posledná druhá derivácia neexistuje, zahrnieme aj do segmentov konkávnosti a konvexnosti.

Príklad 2

podmienka: daná funkcia y = 8 x x - 1 . Určte, v akých intervaloch bude jeho graf konkávny a v akých bude konvexný.

Riešenie

Najprv zistíme rozsah funkcie.

x ≥ 0 x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 ⇔ x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞)

Teraz vypočítame druhú deriváciu:

y "= 8 x x - 1" = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 y "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 "= - 4 1 x x - 1 2 - (x + 1) x x - 1 2" x (x - 1) 4 = = - 4 1 x x - 1 2 - x + 1 1 2 x ( x - 1) 2 + x 2 (x - 1) x x - 1 4 = = 2 3 x 2 + 6 x - 1 x 3 2 (x - 1) 3

Definičný obor druhej derivácie je množina x ∈ (0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) . Vidíme, že x rovné nule bude v definičnom obore pôvodnej funkcie, ale nie v obore druhej derivácie. Tento bod musí byť zahrnutý do segmentu konkávnosti alebo konvexnosti.

Potom musíme vyriešiť nerovnice f "" (x) ≥ 0 a f "" (x) ≤ 0 na definičnom obore danej funkcie. Používame na to intervalovú metódu: pri x \u003d - 1 - 2 3 3 ≈ - 2, 1547 alebo x \u003d - 1 + 2 3 3 ≈ 0, 1547 čitateľ 2 (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 3 x - 1 3 sa zmení na 0 a menovateľ je 0, keď x je nula alebo jedna.

Výsledné body dajme na graf a určme znamienko výrazu na všetkých intervaloch, ktoré budú zahrnuté v definíčnom obore pôvodnej funkcie. Na grafe je táto oblasť označená šrafovaním. Ak je hodnota kladná, označte interval plusom, ak je záporná, potom mínus.

teda

f "" (x) ≥ 0 x ∈ [ 0; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ 0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) a f "" (x) ≤ 0 x ∈ [ 0; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1)

Zapneme predtým označený bod x = 0 a dostaneme požadovanú odpoveď. Graf pôvodnej funkcie bude mať vydutie smerom nadol pri 0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) a hore - pre x ∈ [ - 1 + 2 3 3; 1).

Nakreslíme graf, pričom konvexnú časť označíme modrou a konkávnu červenou. Vertikálna asymptota je označená čiernou bodkovanou čiarou.

odpoveď: Graf pôvodnej funkcie bude mať vydutie smerom nadol pri 0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) a hore - pre x ∈ [ - 1 + 2 3 3; 1).

Podmienky inflexie pre funkčný graf

Začnime formuláciou nevyhnutnej podmienky pre skloňovanie grafu nejakej funkcie.

Definícia 5

Povedzme, že máme funkciu y = f(x), ktorej graf má inflexný bod. Pre x = x 0 má spojitú druhú deriváciu, preto bude platiť rovnosť f "" (x 0) = 0.

Berúc do úvahy tento stav, mali by sme hľadať inflexné body medzi tými, v ktorých druhá derivácia pôjde na 0 . Táto podmienka nebude postačujúca: nie všetky takéto body nám budú vyhovovať.

Všimnite si tiež, že podľa spoločná definícia, budeme potrebovať dotyčnicu, vertikálnu alebo nevertikálnu. V praxi to znamená, že na nájdenie inflexných bodov je potrebné vziať tie, v ktorých je druhá derivácia tejto funkcie 0. Preto, aby sme našli úsečky inflexných bodov, musíme vziať všetky x 0 z oblasti funkcie, kde lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ a lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ . Najčastejšie ide o body, v ktorých sa menovateľ prvej derivácie zmení na 0.

Prvá postačujúca podmienka pre existenciu inflexného bodu grafu funkcie

Našli sme všetky hodnoty x 0, ktoré možno považovať za úsečku inflexných bodov. Potom musíme použiť prvú dostatočnú inflexnú podmienku.

Definícia 6

Povedzme, že máme funkciu y = f (x), ktorá je spojitá v bode M (x 0 ; f (x 0)) . Okrem toho má v tomto bode tangens a samotná funkcia má druhú deriváciu v blízkosti tohto bodu x 0 . V tomto prípade, ak druhá derivácia nadobudne opačné znamienka na ľavej a pravej strane, potom možno tento bod považovať za inflexný bod.

Vidíme, že táto podmienka nevyžaduje, aby v tomto bode nevyhnutne existovala druhá derivácia, postačuje jej prítomnosť v okolí bodu x 0.

Všetky vyššie uvedené môžu byť pohodlne prezentované ako postupnosť akcií.

1. Najprv musíte nájsť všetky úsečky x 0 možných inflexných bodov, kde f "" (x 0) = 0, lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞, lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ .
2. Zistite, v ktorých bodoch derivácia zmení znamienko. Tieto hodnoty sú úsečkami inflexných bodov a body M (x 0; f (x 0)), ktoré im zodpovedajú, sú samotné inflexné body.

Pre prehľadnosť uvažujme o dvoch problémoch.

Príklad 3

podmienka: daná funkcia y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x . Určte, kde bude mať graf tejto funkcie inflexné a vyduté body.

Riešenie

Táto funkcia je definovaná na celej množine reálnych čísel. Uvažujeme o prvom deriváte:

y "= 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x" = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2

Teraz nájdime doménu prvej derivácie. Je to tiež množina všetkých reálnych čísel. Rovnosti lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞ a lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ teda nemôžu byť splnené pre žiadne hodnoty x 0 .

Vypočítame druhú deriváciu:

y "" = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2 " = 1 10 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 x 2 - x - 6

y "" = 0 ⇔ 1 10 (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = 1 - 25 2 \u003d - 2, x 2 \u003d 1 + 25 2 \u003d 3

Našli sme úsečky dvoch pravdepodobných inflexných bodov - 2 a 3. Zostáva nám len skontrolovať, v ktorom bode derivácia zmení svoje znamienko. Narysujme si číselnú os a vynesme na ňu tieto body, po ktorých na výsledné intervaly umiestnime znamienka druhej derivácie.

Oblúky znázorňujú smer konvexnosti grafu v každom intervale.

Druhá derivácia obráti znamienko (od plus do mínus) v bode s osou 3 , prechádza cez ňu zľava doprava a urobí to isté (od mínus do plus) v bode s osou 3 . Môžeme teda dospieť k záveru, že x = - 2 a x = 3 sú úsečky inflexných bodov grafu funkcie. Budú zodpovedať bodom grafu - 2; - 4 3 a 3; - 15 8 .

Pozrime sa znova na obrázok číselnej osi a výsledné znaky na intervaloch, aby sme vyvodili závery o miestach konkávnosti a konvexnosti. Ukazuje sa, že vydutie bude umiestnené na segmente - 2; 3 a konkávnosť na segmentoch (-∞; -2] a [3; + ∞).

Riešenie problému je jasne znázornené v grafe: Modrá farba- konvexnosť, červená - konkávnosť, čierna znamená inflexné body.

odpoveď: vydutie bude umiestnené na segmente - 2; 3 a konkávnosť na segmentoch (-∞; -2] a [3; + ∞).

Príklad 4

podmienka: vypočítajte úsečky všetkých inflexných bodov grafu funkcie y = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 · x - 3 3 5 .

Riešenie

Definičný obor danej funkcie je množina všetkých reálnych čísel. Vypočítame deriváciu:

y "= 1 8 (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5" = = 1 8 x 2 + 3 x + 2 " (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5 " = = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3 - 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 (x - 3) 2 5

Na rozdiel od funkcie jej prvá derivácia nebude určená pri hodnote x 3, ale:

lim x → 3 - 0 y "(x) = 13 (3 - 0) 2 - 6 (3 - 0) - 39 40 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ lim x → 3 + 0 y" (x) = 13 (3 + 0) 2 - 6 (3 + 0) - 39 40 3 + 0 - 3 2 5 = + ∞

To znamená, že týmto bodom bude prechádzať vertikálna dotyčnica ku grafu. Preto 3 môže byť úsečka inflexného bodu.

Vypočítame druhú deriváciu. Nájdeme tiež oblasť jeho definície a body, v ktorých sa zmení na 0:

y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5 " = = 1 40 13 x 2 - 6 x - 39 " (x - 3) 2 5 - 13 x 2 - 6 x - 39 x - 3 2 5 " (x - 3) 4 5 = = 1 25 13 x 2 - 51 x + 21 (x - 3) 7 5 , x ∈ (- ∞ ; 3) ∪ (3 ; + ∞ ) y "" ( x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 D = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 ≈ 3, 4556, x 2 = 51 - 1509 ≈

Máme ďalšie dva možné inflexné body. Všetky dáme na číselnú os a výsledné intervaly označíme znamienkami:

K zmene znamienka dôjde pri prechode každým zadaným bodom, čo znamená, že sú to všetky inflexné body.

odpoveď: Nakreslíme graf funkcie, pričom vydutiny označíme červenou farbou, konvexity modrou a inflexné body čiernou:

Keď poznáme prvú dostatočnú inflexnú podmienku, môžeme určiť potrebné body, kde nie je potrebná prítomnosť druhej derivácie. Na základe toho možno prvú podmienku považovať za najuniverzálnejšiu a vhodnú na riešenie odlišné typyúlohy.

Všimnite si, že existujú dve ďalšie podmienky inflexie, ale možno ich použiť iba vtedy, keď v zadanom bode existuje konečná derivácia.

Ak máme f "" (x 0) = 0 a f """ (x 0) ≠ 0 , potom x 0 bude úsečka inflexného bodu grafu y = f (x) .

Príklad 5

podmienka: je daná funkcia y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5. Určte, či funkčný graf bude mať inflexiu v bode 3; 4 5 .

Riešenie

V prvom rade je potrebné sa uistiť, že daný bod bude vôbec patriť do grafu tejto funkcie.

y (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5

Zadaná funkcia je definovaná pre všetky argumenty, ktoré sú reálnymi číslami. Vypočítame prvú a druhú deriváciu:

y "= 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10" = 1 10 x - 3 10 = 1 10 (x - 3)

Dostali sme, že druhá derivácia pôjde na 0, ak sa x rovná 0. To znamená, že potrebná inflexná podmienka pre tento bod bude splnená. Teraz použijeme druhú podmienku: nájdeme tretiu deriváciu a zistíme, či sa zmení na 0 pri 3:

y " " " = 1 10 (x - 3) " = 1 10

Tretia derivácia nezmizne pre žiadnu hodnotu x. Preto môžeme konštatovať, že tento bod bude inflexným bodom grafu funkcie.

odpoveď: Ukážme si riešenie na obrázku:

Povedzme, že f "(x 0) = 0, f "" (x 0) = 0,..., f (n) (x 0) = 0 a f (n + 1) (x 0) ≠ 0 . V tomto prípade pre párne n dostaneme, že x 0 je úsečka inflexného bodu grafu y \u003d f (x) .

Príklad 6

podmienka: daná funkcia y = (x - 3) 5 + 1 . Vypočítajte inflexné body jeho grafu.

Riešenie

Táto funkcia je definovaná na celej množine reálnych čísel. Vypočítajte deriváciu: y " = ((x - 3) 5 + 1) " = 5 x - 3 4 . Keďže bude definovaný aj pre všetky skutočné hodnoty argumentu, potom v ktoromkoľvek bode jeho grafu bude nevertikálna dotyčnica.

Teraz vypočítajme, pre aké hodnoty sa druhá derivácia zmení na 0:

y "" = 5 (x - 3) 4 " = 20 x - 3 3 y "" = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

Zistili sme, že pre x = 3 môže mať graf funkcie inflexný bod. Na potvrdenie toho používame tretiu podmienku:

y " " " = 20 (x - 3) 3 " = 60 x - 3 2, y " " (3) = 60 3 - 3 2 = 0 y (4) = 60 (x - 3) 2" = 120 (x - 3), y (4) (3) = 120 (3 - 3) = 0 y (5) = 120 (x - 3) " = 120, y (5) (3) = 120 ≠ 0

Máme n = 4 podľa tretej postačujúcej podmienky. Toto je párne číslo, takže x \u003d 3 bude úsečka inflexného bodu a bod grafu funkcie (3; 1) mu zodpovedá.

odpoveď: Tu je graf tejto funkcie s vyznačením konvexnosti, konkávnosti a inflexného bodu:

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Inštrukcia

bodov skloňovanie funkcie musí patriť do rozsahu jeho definície, ktorú treba nájsť ako prvú. Rozvrh funkcie- je to čiara, ktorá môže byť súvislá alebo môže mať prestávky, monotónne klesať alebo zväčšovať, mať minimum alebo maximum bodov(asymptoty), byť konvexné alebo konkávne. Náhla zmena dvoch nedávne štáty a nazýva sa zlom.

Nevyhnutná podmienka existencie skloňovanie funkcie spočíva v rovnosti druhej s nulou. Keď teda funkciu dvakrát diferencujeme a výsledný výraz prirovnáme k nule, môžeme nájsť úsečky možných bodov skloňovanie.

Táto podmienka vyplýva z definície vlastností konvexnosti a konkávnosti grafu funkcie, t.j. záporné a kladné hodnoty druhého derivátu. Na mieste skloňovanie prudká zmena týchto vlastností, čo znamená, že derivácia prechádza nulovou značkou. Rovnosť k nule však stále nestačí na označenie inflexného bodu.

Existujú dve dostatočné podmienky, že úsečka zistená v predchádzajúcej fáze patrí k bodu skloňovanie:Prostredníctvom tohto bodu môžete nakresliť dotyčnicu k funkcie. Druhý derivát má rôzne znamenia napravo a naľavo od zamýšľaného bodov skloňovanie. Jeho existencia v samotnom bode teda nie je potrebná, stačí určiť, že v ňom mení znamienko Druhá derivácia funkcie je nula a tretia nie je.

Riešenie: Nájdite . V tomto prípade neexistujú žiadne obmedzenia, preto ide o celý priestor reálnych čísel. Vypočítajte prvú deriváciu: y' = 3 ∛ (x - 5) + (3 x + 3) / ∛ (x - 5)².

Dávaj pozor na . Z toho vyplýva, že oblasť definície derivátu je obmedzená. Bod x = 5 je prepichnutý, čo znamená, že ním môže prechádzať dotyčnica, čo čiastočne zodpovedá prvému znaku dostatočnosti. skloňovanie.

Určte pre výsledný výraz pri x → 5 - 0 a x → 5 + 0. Rovnajú sa -∞ a +∞. Dokázali ste, že bodom x=5 prechádza vertikálna dotyčnica. Tento bod môže byť bodom skloňovanie, ale najprv vypočítajte druhú deriváciu: (2 x - 22)/∛(x - 5)^5.

Vynechajte menovateľa, pretože ste už brali do úvahy bod x = 5. Vyriešte rovnicu 2 x - 22 \u003d 0. Má jeden koreň x \u003d 11. Posledným krokom je potvrdiť, že bodov x=5 a x=11 sú body skloňovanie. Analyzujte správanie druhého derivátu v ich blízkosti. Je zrejmé, že v bode x = 5 sa znamienko zmení z „+“ na „-“ a v bode x = 11 naopak. Záver: oboje bodov sú body skloňovanie. Prvá postačujúca podmienka je splnená.

Graf funkcií r=f(x) volal konvexné na intervale (a; b), ak sa nachádza pod niektorou z jeho dotyčníc na tomto intervale.

Graf funkcií r=f(x) volal konkávne na intervale (a; b), ak sa nachádza nad niektorou z jeho dotyčníc v tomto intervale.

Na obrázku je znázornená konvexná krivka (a; b) a konkávne do (b;c).

Príklady.

Zvážte dostatočné znamienko, ktoré vám umožní určiť, či bude graf funkcie v danom intervale konvexný alebo konkávny.

Veta. Nechaj r=f(x) odlíšiteľné podľa (a; b). Ak vo všetkých bodoch intervalu (a; b) druhá derivácia funkcie r = f(x) negatívne, t.j. f ""(X) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(X) > 0 je konkávna.

Dôkaz. Predpokladajme pre istotu, že f""(X) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Vezmite funkčný graf y = f(x)ľubovoľný bod M0 s úsečkou x0 Î ( a; b) a nakreslite bod M0 dotyčnica. Jej rovnica. Musíme ukázať, že graf funkcie na (a; b) leží pod touto dotyčnicou, t.j. s rovnakou hodnotou X ordinát krivky y = f(x) bude menšia ako ordináta dotyčnice.

Takže rovnica krivky je y = f(x). Označme dotyčnicu y zodpovedajúcu úsečke X. Potom . Preto je rozdiel medzi ordinátami krivky a dotyčnice na rovnakej hodnote X bude .

Rozdiel f(x) – f(x0) transformovať podľa Lagrangeovej vety, kde c medzi X A x0.

teda

Opäť aplikujeme Lagrangeovu vetu na výraz v hranatých zátvorkách: , kde c 1 medzi c 0 A x0. Podľa vety f ""(X) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Akýkoľvek bod krivky teda leží pod dotyčnicou ku krivke pre všetky hodnoty X A x0 Î ( a; b), čo znamená, že krivka je konvexná. Druhá časť vety je dokázaná podobne.

Príklady.

bod grafu nepretržitá funkcia, ktorý oddeľuje jeho konvexnú časť od konkávnej, sa nazýva inflexný bod.

Je zrejmé, že v inflexnom bode dotyčnica, ak existuje, pretína krivku, pretože na jednej strane tohto bodu leží krivka pod dotyčnicou a na druhej strane nad ňou.

Definujme dostatočné podmienky na to, aby daný bod krivky bol inflexným bodom.

Veta. Nech je krivka definovaná rovnicou y = f(x). Ak f ""(X 0) = 0 alebo f ""(X 0) neexistuje a pri prechode cez hodnotu X = x0 derivát f ""(X) zmení znamienko, potom bod grafu funkcie s osou x X = x0 existuje inflexný bod.

Dôkaz. Nechaj f ""(X) < 0 при X < x0 A f ""(X) > 0 at X > x0. Potom o X < x0 krivka je konvexná a X > x0- konkávny. Preto pointa A, ležiace na krivke, s úsečkou x0 existuje inflexný bod. Podobne môžeme uvažovať aj o druhom prípade, kedy f ""(X) > 0 at X < x0 A f ""(X) < 0 при X > x0.

Inflexné body by sa teda mali hľadať iba medzi bodmi, kde druhá derivácia zaniká alebo neexistuje.

Príklady. Nájdite inflexné body a určte intervaly konvexnosti a konkávnosti kriviek.

ASYMPTOTY GRAFU FUNKCIE

Pri skúmaní funkcie je dôležité určiť tvar jej grafu s neobmedzeným odstránením bodu grafu z počiatku.

Zvlášť zaujímavý je prípad, keď sa graf funkcie, keď je jej premenný bod vzdialený do nekonečna, neurčito približuje k určitej priamke.

Priamy hovor asymptota funkčný graf r = f(x) ak je vzdialenosť od premenného bodu M grafu k tejto čiare, keď je bod odstránený M do nekonečna inklinuje k nule, t.j. bod grafu funkcie, keďže smeruje k nekonečnu, sa musí neobmedzene približovať k asymptote.

Krivka sa môže priblížiť k svojej asymptote, zostať na jednej jej strane alebo na rôznych stranách, pričom asymptotu pretína nekonečne veľakrát a pohybuje sa z jednej strany na druhú.

Ak označíme d vzdialenosť od bodu M krivky k asymptote, je jasné, že d má tendenciu k nule, keď je bod odstránený M do nekonečna.

Ďalej budeme rozlišovať medzi zvislými a šikmými asymptotami.

VERTIKÁLNE ASYMPTOTY

Nechajte pri X→ x0 na oboch stranách funkcie r = f(x) neobmedzene narastá v absolútnej hodnote, t.j. alebo alebo . Potom z definície asymptoty vyplýva, že priamka X = x0 je asymptota. Opak je tiež zrejmé, ak linka X = x0 je asymptota, takže .

Teda vertikálna asymptota grafu funkcie y = f(x) sa nazýva riadok, ak f(x)→ ∞ aspoň za jednej z podmienok X→ x0– 0 alebo X → x0 + 0, X = x0

Preto nájsť vertikálne asymptoty grafu funkcie r = f(x) treba nájsť tie hodnoty X = x0, pri ktorej funkcia ide do nekonečna (trpí nekonečnou diskontinuitou). Potom vertikálna asymptota má rovnicu X = x0.

Príklady.

ŠIKMÉ ASYMPTOTY

Keďže asymptota je priamka, potom ak krivka r = f(x) má šikmú asymptotu, potom jej rovnica bude r = kx + b. Našou úlohou je nájsť koeficienty k A b.

Veta. Rovno r = kx + b slúži ako šikmá asymptota pri X→ +∞ pre graf funkcie r = f(x) ak a len vtedy . Podobné tvrdenie platí aj pre X → –∞.

Dôkaz. Nechaj MP- dĺžka úseku rovnajúca sa vzdialenosti od bodu M do asymptoty. Podľa podmienok. Označme φ uhol sklonu asymptoty k osi Vôl. Potom od ΔMNP z toho vyplýva. Keďže φ je konštantný uhol (φ ≠ π/2), potom , ale

Zostáva zvážiť konvexnosť, konkávnosť a inflexia grafu. Začnime s tými, ktoré tak milujú návštevníci stránky cvičenie. Postavte sa a nakloňte sa dopredu alebo dozadu. Toto je vydutina. Teraz natiahnite ruky pred seba s dlaňami nahor a predstavte si, že na hrudi držíte veľké poleno... ...no, ak sa vám poleno nepáči, nech je tam niečo/niekto iný =) Toto je konkávnosť . V niektorých zdrojoch sa vyskytujú synonymá vyduť sa A vydutie nadol, ale som zástancom krátkych mien.

! Pozornosť : niektorí autori definovať konvexnosť a konkávnosť presne naopak. To platí aj matematicky a logicky, ale často úplne nesprávne z vecného hľadiska, a to aj na úrovni nášho filistínskeho chápania pojmov. Takže napríklad bikonvexná šošovka sa nazýva šošovka „s tuberkulami“, ale nie s „prehĺbeniami“ (bikonkávna).
A povedzme „konkávne“ lôžko - stále sa jasne „nedrží“ \u003d) (ak však pod neho vyleziete, potom už budeme hovoriť o konvexnosti; =)) Dodržiavam prístup, ktorý zodpovedá prirodzené ľudské asociácie.

Formálna definícia konvexnosti a konkávnosti grafu je pre čajník dosť náročná, preto sa obmedzíme na geometrický výklad pojmu na konkrétne príklady. Uvažujme o grafe funkcie, ktorá nepretržitý na celom číselnom rade:

Ľahko sa s ním stavia geometrické transformácie a pravdepodobne si mnohí čitatelia uvedomujú, ako sa získava z kubickej paraboly.

Zavolajme akord segment, ktorý spája dva rôzne body grafické umenie.

Graf funkcie je konvexné na nejakom intervale, ak sa nachádza nie menejľubovoľný akord daného intervalu. Experimentálna čiara je konvexná na a, samozrejme, tu je akákoľvek časť grafu umiestnená NAD jej vlastnou akord. Na ilustráciu definície som nakreslil tri čierne segmenty.

Funkcie grafu sú konkávne na intervale, ak sa nachádza nie vyššie ktorýkoľvek akord tohto intervalu. V tomto príklade je pacient v medzere konkávny . Pár hnedých segmentov presvedčivo demonštruje, že tu a ktorýkoľvek kúsok grafu sa nachádza POD ním akord.

Bod na grafe, kde sa mení z konvexného na konkávny alebo konkávnosť až konvexnosť sa nazýva inflexný bod. Máme ho v jedinej kópii (prvý prípad) a v praxi môže inflexný bod znamenať aj zelenú bodku patriacu k samotnej čiare, ako aj hodnotu „x“.

DÔLEŽITÉ! Odklony v grafe by mali byť znázornené úhľadne a veľmi hladko. Všetky druhy „nezrovnalostí“ a „hrubosti“ sú neprijateľné. Je to otázka trocha cviku.

Druhý prístup k definícii konvexnosti / konkávnosti v teórii je daný tangentami:

Konvexné na intervale sa graf nachádza nie vyššie dotyčnica k nemu vedená v ľubovoľnom bode daného intervalu. Konkávne to isté na intervalovom grafe - nie menejľubovoľná dotyčnica tohto intervalu.

Hyperbola je konkávna na intervale a konvexná na:

Pri prechode počiatkom sa konkávnosť mení na konvexnosť, ale bod NEZVAŽUJTE inflexný bod, keďže funkcia neurčené v nej.

Presnejšie tvrdenia a vety k téme nájdete v učebnici a prejdeme k bohatej praktickej časti:

Ako nájsť konvexné intervaly, intervaly konkávnosti
a inflexné body grafu?

Materiál je jednoduchý, šablónový a štruktúrne sa opakuje štúdium funkcie pre extrém.

Charakterizuje konvexnosť / konkávnosť grafu druhá derivácia funkcie.

Nech je funkcia dvakrát diferencovateľná na nejakom intervale. potom:

– ak je druhá derivácia na intervale, potom je graf funkcie na danom intervale konvexný;

– ak je druhá derivácia na intervale, tak graf funkcie je na danom intervale konkávny.

Na úkor znakov druhého derivátu prechádza praveké združenie po priestoroch vzdelávacích inštitúcií: „-“ ukazuje, že „vodu nemožno naliať do grafu funkcie“ (vydutie),
a "+" - "dáva takú príležitosť" (konkávnosť).

Nevyhnutná podmienka pre skloňovanie

Ak je v grafe funkcie v bode inflexia, To:
alebo hodnota neexistuje(poďme na to, čítajte!).

Táto fráza znamená, že funkcia nepretržitý v bode a v prípade je dvakrát diferencovateľný v niektorom svojom okolí.

Nevyhnutnosť podmienky naznačuje, že opak nie je vždy pravdou. To znamená, že z rovnosti (alebo neexistencie hodnoty) ešte nebyť existencia inflexie grafu funkcie v bode . Ale v oboch situáciách volajú kritický bod druhej derivácie.

Dostatočná inflexná podmienka

Ak druhá derivácia pri prechode bodom zmení znamienko, potom v tomto bode nastáva inflexia v grafe funkcie .

Inflexné body (príklad už bol splnený) nemusia byť vôbec a v tomto zmysle sú niektoré elementárne vzorky orientačné. Poďme analyzovať druhú deriváciu funkcie:

Získa sa pozitívna konštantná funkcia, tzn pre akúkoľvek hodnotu "x". Fakty ležiace na povrchu: parabola je v celom rozsahu konkávna domén, neexistujú žiadne inflexné body. Je ľahké vidieť, že záporný koeficient pri "otáčaní" paraboly a robí ju konvexnou (čo nám oznámi druhá derivácia - funkcia zápornej konštanty).

Exponenciálna funkcia tiež konkávne na:

pre akúkoľvek hodnotu "x".

V grafe samozrejme nie sú žiadne inflexné body.

Skúmame graf logaritmickej funkcie pre konvexnosť / konkávnosť:

Vetva logaritmu je teda konvexná na intervale . Druhá derivácia je tiež definovaná na intervale , ale zvážte to JE ZAKÁZANÉ, keďže tento interval nie je zahrnutý v domény funkcie . Požiadavka je zrejmá - keďže tam nie je logaritmický graf, potom sa prirodzene nehovorí o žiadnej konvexnosti / konkávnosti / ohyboch.

Ako vidíte, všetko naozaj veľmi pripomína príbeh o zvýšenie, zníženie a extrémy funkcie. Vyzerám ako ja algoritmus výskumu funkčných grafovpre konvexnosť, konkávnosť a prítomnosť zalomení:

2) Hľadáme kritické hodnoty. Aby sme to dosiahli, vezmeme druhú deriváciu a vyriešime rovnicu. Za kritické sa považujú aj body, v ktorých 2. derivácia neexistuje, ale sú zahrnuté v doméne samotnej funkcie!

3) Označíme na číselnej osi všetky nájdené lomové body a kritických bodov (nemusí sa ukázať ani jedno, ani druhé - potom nemusíte nič kresliť (ako v príliš jednoduchom prípade), stačí sa obmedziť na písomný komentár). intervalová metóda na získaných intervaloch určíme znamienka. Ako bolo práve vysvetlené, treba zvážiť len tie intervaly, ktoré sú zahrnuté v rozsahu funkcie. Vyvodíme závery o konvexnosti / konkávnosti a inflexných bodoch funkčného grafu. Dávame odpoveď.

Pokúste sa verbálne aplikovať algoritmus na funkcie . V druhom prípade, mimochodom, existuje príklad, keď v kritickom bode nie je žiadna inflexia krivky. Začnime však trochu náročnejšími úlohami:

Príklad 1

Riešenie:
1) Funkcia je definovaná a spojitá na celej reálnej čiare. Veľmi dobre.

2) Nájdite druhú deriváciu. Môžete pred-kocku, ale je oveľa výnosnejšie použiť pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie:

Všimni si , čo znamená, že funkcia je neklesajúci. Hoci to nesúvisí so zadaním, vždy je vhodné venovať pozornosť takýmto skutočnostiam.

Nájdite kritické body druhej derivácie:

- kritický bod

3) Skontrolujme splnenie podmienky dostatočnej inflexie. Na získaných intervaloch určme znamienka druhej derivácie.

Pozor! Teraz pracujeme s druhou deriváciou (a nie s funkciou!)

V dôsledku toho sa získa jeden kritický bod: .

3) Označíme dva body nespojitosti, kritický bod na číselnej osi a určíme znamienka druhej derivácie na získaných intervaloch:

Pripomínam vám dôležitú vec intervalová metóda, čo môže výrazne urýchliť riešenie. Druhá derivácia sa ukázalo byť veľmi ťažkopádne, takže nie je potrebné počítať jeho hodnoty, stačí urobiť „odhad“ na každom intervale. Vyberme si napríklad bod patriaci do ľavého intervalu,
a vykonajte náhradu:

Teraz poďme analyzovať multiplikátory:

Dve "mínusy" a "plus" dávajú "plus", čo znamená, že druhá derivácia je kladná v celom intervale.

Komentované akcie sa dajú ľahko vykonať verbálne. Navyše je výhodné násobilku úplne ignorovať – je kladná pre akékoľvek „x“ a neovplyvňuje znamienka našej druhej derivácie.

Aké informácie nám teda poskytla?

Odpoveď: graf funkcie je konkávny a konvexné na . Pri pôvode (to je jasné) v grafe je inflexia.

Pri prechode bodmi druhá derivácia tiež mení znamienko, ale nepovažujú sa za inflexné body, pretože v nich funkcia trpí nekonečné prestávky.

V analyzovanom príklade prvá derivácia nám hovorí o celkovom raste funkcie domén. Vždy by to bola taká darmoška =) Navyše prítomnosť troch asymptota. Bolo prijatých veľa údajov, čo umožňuje vysoký stupeň dôveryhodnosť prezentovať vzhľad grafické umenie. Do kopy je funkcia tiež nepárna. Na základe zistených faktov skúste načrtnúť návrh. Obrázok na konci lekcie.

Úloha na nezávislé riešenie:

Príklad 6

Preskúmajte graf funkcie na konvexnosť, konkávnosť a nájdite inflexné body grafu, ak existujú.

Vo vzorke nie je žiadna kresba, ale nie je zakázané predkladať hypotézu;)

Materiál brúsime bez očíslovania bodov algoritmu:

Príklad 7

Skontrolujte graf funkcie na konvexnosť, konkávnosť a nájdite inflexné body, ak nejaké existujú.

Riešenie: funkcia trvá nekonečná medzera v bode .

Ako obvykle, u nás je všetko v poriadku:

Deriváty nie sú najťažšie, hlavnou vecou je dávať pozor na ich „účes“.
V indukovanom marafete sa nachádzajú dva kritické body druhého derivátu:

Určme znamienka na získaných intervaloch:

V bode je inflexia grafu, nájdime ordinátu bodu:

Pri prechode bodom druhá derivácia nemení znamienko, preto v grafe nie je ŽIADNA inflexia.

Odpoveď: intervaly konvexnosti: ; interval konkávnosti: ; inflexný bod: .

Zvážte záverečné príklady s ďalšími výhodami:

Príklad 8

Nájdite intervaly konvexnosti, konkávnosti a inflexných bodov grafu

Riešenie: s umiestnením domén neexistujú žiadne špeciálne problémy:
a funkcia trpí diskontinuitami v bodoch.

Poďme po vychodenej ceste:

- kritický bod.

Poďme určiť znamienka , pričom berieme do úvahy intervaly len z rozsahu funkcie:

V bode, kde je inflexia grafu, vypočítame ordinátu: