Všetci poznáme rovnice základných tried. Tam sme sa naučili riešiť aj najjednoduchšie príklady a musíme uznať, že svoje uplatnenie nachádzajú aj v vyššia matematika. Všetko je jednoduché s rovnicami, vrátane kvadratických rovníc. Ak máte s touto témou problémy, dôrazne vám odporúčame, aby ste si ju prečítali.

Pravdepodobne ste už tiež prešli logaritmami. Považujeme však za dôležité povedať, čo to je pre tých, ktorí ešte nevedia. Logaritmus sa rovná mocnine, na ktorú sa musí zvýšiť základ, aby sa získalo číslo napravo od znamienka logaritmu. Uveďme príklad, na základe ktorého vám bude všetko jasné.

Ak zvýšite 3 na štvrtú mocninu, dostanete 81. Teraz nahraďte čísla analogicky a konečne pochopíte, ako sa riešia logaritmy. Teraz už zostáva len spojiť dva diskutované koncepty. Spočiatku sa situácia zdá byť mimoriadne komplikovaná, no pri bližšom skúmaní váha zapadne. Sme si istí, že po tomto krátkom článku nebudete mať v tejto časti Jednotnej štátnej skúšky problémy.

Dnes existuje veľa spôsobov riešenia takýchto štruktúr. Povieme vám o najjednoduchších, najefektívnejších a najpoužiteľnejších v prípade úloh Jednotnej štátnej skúšky. Riešenie logaritmických rovníc musí začať úplne od začiatku. jednoduchý príklad. Najjednoduchšie logaritmické rovnice pozostávajú z funkcie a jednej premennej v nej.

Je dôležité poznamenať, že x je vnútri argumentu. A a b musia byť čísla. V tomto prípade môžete funkciu jednoducho vyjadriť ako číslo na mocninu. Vyzerá to takto.

Samozrejme, vyriešenie logaritmickej rovnice pomocou tejto metódy vás privedie k správnej odpovedi. Pre veľkú väčšinu študentov je v tomto prípade problém, že nerozumejú, čo odkiaľ pochádza. Výsledkom je, že musíte znášať chyby a nezískať požadované body. Najurážlivejšou chybou bude, ak si pomiešate písmená. Ak chcete vyriešiť rovnicu týmto spôsobom, musíte si túto normu zapamätať školská formula pretože je ťažké pochopiť.

Aby ste to uľahčili, môžete sa uchýliť k inej metóde - kanonickej forme. Myšlienka je mimoriadne jednoduchá. Obráťte svoju pozornosť späť na problém. Pamätajte, že písmeno a je číslo, nie funkcia alebo premenná. A sa nerovná jednej a je väčšie ako nula. Neexistujú žiadne obmedzenia na b. Teraz si spomeňme na jeden zo všetkých vzorcov. B možno vyjadriť nasledovne.

Z toho vyplýva, že všetky pôvodné rovnice s logaritmami môžu byť reprezentované v tvare:

Teraz môžeme vypustiť logaritmy. Výsledkom je jednoduchý dizajn, ktorý sme už videli skôr.

Pohodlie tohto vzorca spočíva v tom, že sa dá použiť v širokej škále prípadov, a to nielen v najjednoduchších dizajnoch.

Nebojte sa OOF!

Mnohí skúsení matematici si všimnú, že sme nevenovali pozornosť oblasti definície. Pravidlo sa scvrkáva na skutočnosť, že F(x) je nevyhnutne väčšie ako 0. Nie, tento bod sme neprehliadli. Teraz hovoríme o ďalšej vážnej výhode kánonickej formy.

Nebudú tu žiadne extra korene. Ak sa premenná objaví iba na jednom mieste, rozsah nie je potrebný. Vykonáva sa automaticky. Na overenie tohto úsudku skúste vyriešiť niekoľko jednoduchých príkladov.

Ako riešiť logaritmické rovnice s rôznymi základmi

Toto sú už zložité logaritmické rovnice a prístup k ich riešeniu musí byť špeciálny. Tu je zriedka možné obmedziť sa na notoricky známu kánonickú formu. Začnime náš podrobný príbeh. Máme nasledujúcu konštrukciu.

Venujte pozornosť zlomku. Obsahuje logaritmus. Ak to vidíte v úlohe, stojí za to pripomenúť si jeden zaujímavý trik.

Čo to znamená? Každý logaritmus môže byť reprezentovaný ako podiel dvoch logaritmov s vhodnou základňou. A tento vzorec má špeciálny prípad, čo je použiteľné v tomto príklade (to znamená, ak c=b).

To je presne ten zlomok, ktorý vidíme v našom príklade. Teda.

V podstate sme zlomok otočili a získali sme pohodlnejší výraz. Zapamätajte si tento algoritmus!

Teraz potrebujeme, aby logaritmická rovnica neobsahovala rôzne dôvody. Predstavme si základ ako zlomok.

V matematike existuje pravidlo, na základe ktorého môžete získať titul zo základu. Nasledujúce konštrukčné výsledky.

Zdalo by sa, že čo nám bráni v tom, aby sme svoje vyjadrenie premenili na kánonickú formu a jednoducho to vyriešili? Nie také jednoduché. Pred logaritmom by nemali byť žiadne zlomky. Napravme túto situáciu! Zlomky sa môžu použiť ako stupne.

Respektíve.

Ak sú základy rovnaké, môžeme odstrániť logaritmy a prirovnať k samotným výrazom. Takto bude situácia oveľa jednoduchšia, ako bola. Zostane elementárna rovnica, ktorú vedel vyriešiť každý z nás už v 8. či dokonca 7. ročníku. Výpočty môžete urobiť sami.

Získali sme jediný skutočný koreň tejto logaritmickej rovnice. Príklady riešenia logaritmickej rovnice sú celkom jednoduché, však? Teraz budete môcť samostatne riešiť aj tie najzložitejšie úlohy na prípravu a zloženie jednotnej štátnej skúšky.

Aký je výsledok?

V prípade akýchkoľvek logaritmických rovníc vychádzame z jednej veľmi dôležité pravidlo. Je potrebné konať tak, aby sa výraz zredukoval na čo najjednoduchšiu formu. V takom prípade budete mať väčšiu šancu úlohu nielen správne vyriešiť, ale aj urobiť čo najjednoduchším a najlogickejším spôsobom. Presne takto matematici vždy pracujú.

Dôrazne neodporúčame hľadať ťažké cesty, najmä v tomto prípade. Zapamätajte si niekoľko jednoduché pravidlá, ktorá vám umožní transformovať akýkoľvek výraz. Napríklad znížte dva alebo tri logaritmy na rovnaký základ alebo získajte silu zo základu a vyhrajte.

Je tiež potrebné pripomenúť, že riešenie logaritmických rovníc si vyžaduje neustálu prax. Postupne prejdete na ďalšie a ďalšie zložité štruktúry, a to vás privedie k sebavedomému riešeniu všetkých variantov problémov na Jednotnej štátnej skúške. Pripravte sa v dostatočnom predstihu na skúšky a veľa šťastia!

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné informácie sa týkajú údajov, ktoré možno použiť na identifikáciu určitá osoba alebo spojenie s ním.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym konaním, súdnym konaním a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Inštrukcie

Napíšte daný logaritmický výraz. Ak výraz používa logaritmus 10, potom sa jeho zápis skráti a vyzerá takto: lg b je desiatkový logaritmus. Ak má logaritmus ako základ číslo e, napíšte výraz: ln b – prirodzený logaritmus. Rozumie sa, že výsledkom akéhokoľvek je mocnina, na ktorú sa musí zvýšiť základné číslo, aby sa získalo číslo b.

Pri hľadaní súčtu dvoch funkcií ich jednoducho musíte odlíšiť jednu po druhej a pridať výsledky: (u+v)" = u"+v";

Pri hľadaní derivácie súčinu dvoch funkcií je potrebné vynásobiť deriváciu prvej funkcie druhou a pridať deriváciu druhej funkcie vynásobenú prvou funkciou: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Aby sme našli deriváciu kvocientu dvoch funkcií, je potrebné od súčinu derivácie deliteľa vynásobeného funkciou deliteľa odpočítať súčin derivácie deliteľa vynásobeného funkciou deliteľa a rozdeliť to všetko pomocou funkcie deliteľa na druhú. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Ak je daný komplexná funkcia, potom je potrebné vynásobiť deriváciu z vnútorná funkcia a derivát vonkajšieho. Nech y=u(v(x)), potom y"(x)=y"(u)*v"(x).

Pomocou vyššie získaných výsledkov môžete rozlíšiť takmer akúkoľvek funkciu. Pozrime sa teda na niekoľko príkladov:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Existujú aj problémy týkajúce sa výpočtu derivácie v bode. Nech je daná funkcia y=e^(x^2+6x+5), musíte nájsť hodnotu funkcie v bode x=1.
1) Nájdite deriváciu funkcie: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Vypočítajte hodnotu funkcie v daný bod y"(1)=8*e^0=8

Video k téme

Užitočné rady

Naučte sa tabuľku základných derivácií. To výrazne ušetrí čas.

Zdroje:

• derivácia konštanty

Takže, aký je rozdiel? ir racionálna rovnica z racionálneho? Ak je neznáma premenná pod znamienkom odmocnina, potom sa rovnica považuje za iracionálnu.

Inštrukcie

Hlavnou metódou riešenia takýchto rovníc je metóda konštrukcie oboch strán rovnice do štvorca. Avšak. je to prirodzené, prvá vec, ktorú musíte urobiť, je zbaviť sa znamienka. Táto metóda nie je technicky náročná, ale niekedy môže viesť k problémom. Napríklad rovnica je v(2x-5)=v(4x-7). Umocnením oboch strán získate 2x-5=4x-7. Riešenie takejto rovnice nie je ťažké; x=1. Ale číslo 1 nebude dané rovnice. prečo? Namiesto hodnoty x dosaďte do rovnice 1. A pravá a ľavá strana budú obsahovať výrazy, ktoré nedávajú zmysel, tzn. Táto hodnota neplatí pre druhú odmocninu. Preto je 1 cudzí koreň, a preto táto rovnica nemá korene.

Iracionálna rovnica sa teda rieši metódou kvadratúry oboch jej strán. A po vyriešení rovnice je potrebné odrezať cudzie korene. Za týmto účelom nahraďte nájdené korene do pôvodnej rovnice.

Zvážte inú.
2х+vх-3=0
Samozrejme, že táto rovnica môže byť vyriešená pomocou rovnakej rovnice ako predchádzajúca. Presuňte zlúčeniny rovnice, ktoré nemajú druhú odmocninu, v pravá strana a potom použite metódu kvadratúry. vyriešiť výslednú racionálnu rovnicu a korene. Ale aj inú, elegantnejšiu. Zadajte novú premennú; vх=y. Podľa toho dostanete rovnicu v tvare 2y2+y-3=0. Teda bežné kvadratická rovnica. Nájdite jeho korene; y1 = 1 a y2 = -3/2. Ďalej vyriešte dve rovnice vх=1; vх=-3/2. Druhá rovnica nemá korene, z prvej zistíme, že x=1. Nezabudnite skontrolovať korene.

Riešenie identít je celkom jednoduché. K tomu je potrebné vykonávať identické transformácie, kým sa nedosiahne stanovený cieľ. S pomocou jednoduchých aritmetických operácií sa teda daný problém vyrieši.

Budete potrebovať

• - papier;
• - pero.

Inštrukcie

Najjednoduchšou z takýchto transformácií sú algebraické skrátené násobenia (napríklad druhá mocnina súčtu (rozdiel), rozdiel druhých mocnín, súčet (rozdiel), druhá mocnina súčtu (rozdiel)). Okrem toho existuje veľa a trigonometrické vzorce, čo sú v podstate rovnaké identity.

Druhá mocnina súčtu dvoch členov sa skutočne rovná štvorcu prvého plus dvojnásobku súčinu prvého a druhého a plus druhej mocniny druhého, teda (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Zjednodušte oboje

Všeobecné princípy riešenia

Zopakujte si z učebnice matematickej analýzy alebo vyššej matematiky, čo je to určitý integrál. Ako je známe, riešením určitého integrálu je funkcia, ktorej derivácia poskytne integrand. Táto funkcia sa nazýva primitívna. Na základe tohto princípu sú konštruované hlavné integrály.
Určte podľa typu integrandu, ktorý z tabuľkových integrálov je v tomto prípade vhodný. Nie vždy sa to dá okamžite určiť. Často sa tabuľková forma stane viditeľnou až po niekoľkých transformáciách, aby sa integrand zjednodušil.

Variabilná metóda výmeny

Ak funkcia integrand je goniometrická funkcia, ktorého argument obsahuje nejaký polynóm, potom skúste použiť metódu nahradenia premenných. Aby ste to dosiahli, nahraďte polynóm v argumente integrandu nejakou novou premennou. Na základe vzťahu medzi novými a starými premennými určte nové limity integrácie. Odlíšením tohto výrazu nájdite nový diferenciál v . Takže dostanete nový druh predchádzajúceho integrálu, blízkeho alebo dokonca zodpovedajúceho ktorémukoľvek tabuľkovému integrálu.

Riešenie integrálov druhého druhu

Ak je integrál integrálom druhého druhu, vektorovou formou integrandu, potom budete musieť použiť pravidlá na prechod z týchto integrálov na skalárne. Jedným z takýchto pravidiel je Ostrogradského-Gaussov vzťah. Tento zákon nám umožňuje prejsť od rotorového toku určitej vektorovej funkcie k trojnému integrálu cez divergenciu daného vektorového poľa.

Substitúcia integračných limitov

Po nájdení primitívneho prvku je potrebné dosadiť hranice integrácie. Najprv dosaďte do výrazu pre primitívnu hodnotu hodnotu hornej hranice. Dostanete nejaké číslo. Potom od výsledného čísla odčítajte ďalšie číslo získané zo spodnej hranice do primitívnej hodnoty. Ak je jednou z limitov integrácie nekonečno, tak pri jej dosadení do primitívnej funkcie je potrebné ísť na limitu a nájsť, k čomu výraz smeruje.
Ak je integrál dvojrozmerný alebo trojrozmerný, potom budete musieť geometricky reprezentovať hranice integrácie, aby ste pochopili, ako integrál vyhodnotiť. Skutočne, v prípade, povedzme, trojrozmerného integrálu, limity integrácie môžu byť celé roviny, ktoré obmedzujú integrovaný objem.

Algebra 11. ročník

Téma: „Metódy riešenia logaritmických rovníc“

Ciele lekcie:

vzdelávacie: formovanie vedomostí o rôznymi spôsobmi riešenie logaritmických rovníc, schopnosť ich aplikovať v každej z nich konkrétnu situáciu a vyberte si akúkoľvek metódu riešenia;

rozvíjanie: rozvíjanie schopností pozorovať, porovnávať, aplikovať poznatky v novej situácii, identifikovať vzory, zovšeobecňovať; rozvíjanie zručností vzájomnej kontroly a sebakontroly;

vzdelávacie: podporovať zodpovedný prístup k vzdelávacej práci, pozorné vnímanie učiva na hodine a starostlivé písanie poznámok.

Typ lekcie: lekcia o predstavovaní nového materiálu.

"Vynález logaritmov, zatiaľ čo znížil prácu astronóma, predĺžil jeho život."
Francúzsky matematik a astronóm P.S. Laplace

Počas vyučovania

I. Stanovenie cieľa lekcie

Naštudovaná definícia logaritmu, vlastnosti logaritmov a logaritmická funkcia nám umožnia riešiť logaritmické rovnice. Všetky logaritmické rovnice, bez ohľadu na to, aké zložité sú, sa riešia pomocou jednotných algoritmov. Na tieto algoritmy sa pozrieme v dnešnej lekcii. Nie je ich veľa. Ak ich zvládnete, každá rovnica s logaritmami bude realizovateľná pre každého z vás.

Zapíšte si tému lekcie do zošita: „Metódy riešenia logaritmických rovníc“. Pozývam všetkých k spolupráci.

II. Aktualizácia referenčných znalostí

Pripravme sa na štúdium témy lekcie. Vyriešite každú úlohu a zapíšte si odpoveď, nemusíte písať podmienku. Pracovať v pároch.

1) Pre aké hodnoty x má funkcia zmysel:

(Odpovede sú skontrolované pre každú snímku a chyby sú vytriedené)

2) Zhodujú sa grafy funkcií?

3) Prepíšte rovnosti ako logaritmické rovnosti:

4) Zapíšte čísla ako logaritmy so základom 2:

5) Vypočítajte:

6) Pokúste sa obnoviť alebo doplniť chýbajúce prvky v týchto rovnosti.

III. Úvod do nového materiálu

Na obrazovke sa zobrazí nasledujúce vyhlásenie:

"Rovnica je zlatý kľúč, ktorý otvára všetky matematické sezamy."
Moderný poľský matematik S. Kowal

Pokúste sa sformulovať definíciu logaritmickej rovnice. (Rovnica obsahujúca neznámu pod znamienkom logaritmu).

Uvažujme Najjednoduchšia logaritmická rovnica:logAx = b(kde a>0, a ≠ 1). Keďže logaritmická funkcia rastie (alebo klesá) na množine kladných čísel a nadobúda všetky reálne hodnoty, potom z koreňovej vety vyplýva, že pre každé b má táto rovnica len jedno riešenie a to kladné.

Pamätajte na definíciu logaritmu. (Logaritmus čísla x k základu a je ukazovateľom mocniny, na ktorú sa musí základ a zvýšiť, aby sa získalo číslo x). Z definície logaritmu to hneď vyplýva AV je takéto riešenie.

Napíšte názov: Metódy riešenia logaritmických rovníc

1. Podľa definície logaritmu.

Takto sa riešia najjednoduchšie rovnice formulára.

Uvažujme č. 514(a)): Vyriešte rovnicu

Ako to navrhujete riešiť? (Podľa definície logaritmu)

Riešenie. , teda 2x - 4 = 4; x = 4.

V tejto úlohe 2x - 4 > 0, pretože > 0, takže sa nemôžu objaviť žiadne cudzie korene a nie je potrebné kontrolovať. V tejto úlohe nie je potrebné vypisovať podmienku 2x - 4 > 0.

2. Potencovanie(prechod od logaritmu daného výrazu k tomuto výrazu samotnému).

Uvažujme č. 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Akú vlastnosť ste si všimli? (Základy sú rovnaké a logaritmy týchto dvoch výrazov sú rovnaké.) Čo sa dá robiť? (Potencovať).

Malo by sa vziať do úvahy, že akékoľvek riešenie je obsiahnuté medzi všetkými x, pre ktoré sú logaritmické výrazy kladné.

Riešenie: ODZ:

X2+8>0 je zbytočná nerovnosť

log5(x2+8) = log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)= log5 (8x+8)

Zosilnime pôvodnú rovnicu

dostaneme rovnicu x2+8= 8x+8

Poďme to vyriešiť: x2-8x=0

Odpoveď: 0; 8

Všeobecne prechod na ekvivalentný systém:

Rovnica

(Systém obsahuje nadbytočnú podmienku – jednu z nerovností netreba brať do úvahy).

Otázka pre triedu: Ktoré z týchto troch riešení sa vám páčilo najviac? (Diskusia o metódach).

Máte právo rozhodnúť sa akýmkoľvek spôsobom.

3. Zavedenie novej premennej.

Uvažujme č. 520(g). .

čo si si všimol? (Toto je kvadratická rovnica vzhľadom na log3x) Nejaké návrhy? (Zadajte novú premennú)

Riešenie. ODZ: x > 0.

Nech , potom rovnica nadobudne tvar:. Diskriminant D > 0. Korene podľa Vietovej vety:.

Vráťme sa k náhrade: príp.

Po vyriešení najjednoduchších logaritmických rovníc dostaneme:

Odpoveď: 27;

4. Logaritmujte obe strany rovnice.

Vyriešte rovnicu:.

Riešenie: ODZ: x>0, zoberte logaritmus oboch strán rovnice so základom 10:

Použime vlastnosť logaritmu mocniny:

(logx + 3) logx = 4

Nech logx = y, potom (y + 3)y = 4

, (D > 0) korene podľa Vietovej vety: y1 = -4 a y2 = 1.

Vráťme sa k náhrade, dostaneme: lgx = -4,; lgx = 1, .

Odpoveď: 0,0001; 10.

5. Redukcia na jeden základ.

č. 523(c). Vyriešte rovnicu:

Riešenie: ODZ: x>0. Prejdime k základni 3.

6. Funkčno-grafická metóda.

№ 509(d). Riešte rovnicu graficky: = 3 - x.

Ako navrhujete riešiť? (Zostavte grafy dvoch funkcií y = log2x a y = 3 - x pomocou bodov a hľadajte úsečku priesečníkov grafov).

Pozrite sa na svoje riešenie na snímke.

Existuje spôsob, ako sa vyhnúť vytváraniu grafov . Je to nasledovné : ak jedna z funkcií y = f(x) zvyšuje, a ďalšie y = g(x) klesá na intervale X, potom rovnica f(x)= g(x) má najviac jeden koreň na intervale X.

Ak existuje koreň, dá sa to uhádnuť.

V našom prípade sa funkcia zvyšuje pre x> 0 a funkcia y = 3 - x klesá pre všetky hodnoty x, vrátane x> 0, čo znamená, že rovnica nemá viac ako jeden koreň. Všimnite si, že pri x = 2 sa rovnica zmení na skutočnú rovnosť, pretože .

« Správne používanie metódy sa dajú naučiť
len ich aplikovaním na rôzne príklady.“
Dánsky historik matematiky G. G. Zeiten

jaV. Domáca úloha

S. 39 zvážte príklad 3, vyriešte č. 514(b), č. 529(b), č. 520(b), č. 523(b)

V. Zhrnutie lekcie

Aké metódy riešenia logaritmických rovníc sme na hodine skúmali?

V ďalších lekciách sa pozrieme na viac zložité rovnice. Na ich riešenie budú užitočné študované metódy.

Posledná zobrazená snímka:

„Čo je viac než čokoľvek na svete?
Priestor.
Čo je najmúdrejšie?
Čas.
Čo je na tom najlepšie?
Dosiahnite, čo chcete."
Thales

Prajem každému, aby dosiahol to, čo chce. Ďakujeme za spoluprácu a pochopenie.

Ako viete, pri násobení výrazov mocninami sa ich exponenty vždy sčítajú (a b *a c = a b+c). Tento matematický zákon odvodil Archimedes a neskôr, v 8. storočí, vytvoril matematik Virasen tabuľku celočíselných exponentov. Boli to oni, ktorí slúžili na ďalšie objavovanie logaritmov. Príklady využitia tejto funkcie nájdete takmer všade tam, kde si potrebujete zjednodušiť ťažkopádne násobenie jednoduchým sčítaním. Ak strávite 10 minút čítaním tohto článku, vysvetlíme vám, čo sú to logaritmy a ako s nimi pracovať. Jednoduchým a prístupným jazykom.

Definícia v matematike

Logaritmus je vyjadrením nasledujúceho tvaru: log a b=c, teda logaritmus ľubovoľného nezáporného čísla (teda akéhokoľvek kladného) „b“ k základu „a“ sa považuje za mocninu „c“. “, na ktorú musí byť základ „a“ zvýšený, aby sa nakoniec získala hodnota „b“. Analyzujme logaritmus na príkladoch, povedzme, že existuje výraz log 2 8. Ako nájsť odpoveď? Je to veľmi jednoduché, musíte nájsť výkon tak, aby od 2 po požadovaný výkon dostal 8. Po vykonaní niekoľkých výpočtov v hlave dostaneme číslo 3! A to je pravda, pretože 2 ku 3 dáva odpoveď ako 8.

Typy logaritmov

Pre mnohých žiakov a študentov sa táto téma zdá komplikovaná a nepochopiteľná, ale v skutočnosti logaritmy nie sú také strašidelné, hlavnou vecou je pochopiť ich všeobecný význam a zapamätať si ich vlastnosti a niektoré pravidlá. Sú tam tri jednotlivé druhy logaritmické výrazy:

1. Prirodzený logaritmus ln a, kde základom je Eulerovo číslo (e = 2,7).
2. Desatinné a, kde základ je 10.
3. Logaritmus ľubovoľného čísla b na základ a>1.

Každá z nich je riešená štandardným spôsobom, vrátane zjednodušenia, redukcie a následnej redukcie na jeden logaritmus pomocou logaritmických viet. Aby ste získali správne hodnoty logaritmov, mali by ste si pamätať ich vlastnosti a postupnosť akcií pri ich riešení.

Pravidlá a určité obmedzenia

V matematike existuje niekoľko pravidiel-obmedzení, ktoré sú akceptované ako axióma, to znamená, že nie sú predmetom diskusie a sú pravdivé. Napríklad nie je možné deliť čísla nulou a tiež nie je možné z nich extrahovať párny koreň záporné čísla. Logaritmy majú tiež svoje pravidlá, podľa ktorých sa ľahko naučíte pracovať aj s dlhými a objemnými logaritmickými výrazmi:

• Základ „a“ musí byť vždy väčší ako nula a nie rovný 1, inak výraz stratí svoj význam, pretože „1“ a „0“ sa v akomkoľvek stupni vždy rovnajú svojim hodnotám;
• ak a > 0, potom a b > 0, ukáže sa, že „c“ musí byť tiež väčšie ako nula.

Ako vyriešiť logaritmy?

Úlohou je napríklad nájsť odpoveď na rovnicu 10 x = 100. Je to veľmi jednoduché, treba zvoliť mocninu zvýšením čísla desať, na ktoré sa dostaneme 100. To je samozrejme 10 2 = 100.

Teraz si predstavme tento výraz v logaritmickej forme. Dostaneme log 10 100 = 2. Pri riešení logaritmov sa všetky akcie prakticky zbiehajú, aby našli mocninu, do ktorej je potrebné zadať základ logaritmu, aby sme získali dané číslo.

Ak chcete presne určiť hodnotu neznámeho stupňa, musíte sa naučiť pracovať s tabuľkou stupňov. Vyzerá to takto:

Ako vidíte, niektoré exponenty sa dajú uhádnuť intuitívne, ak máte technické myslenie a znalosti násobilky. Avšak pre veľké hodnoty budete potrebovať tabuľku stupňov. Využiť ho môžu aj tí, ktorí o zložitých matematických témach nevedia vôbec nič. Ľavý stĺpec obsahuje čísla (základ a), horný riadok čísel je hodnota mocniny c, na ktorú je číslo a umocnené. Na priesečníku bunky obsahujú číselné hodnoty, ktoré sú odpoveďou (a c = b). Zoberme si napríklad úplne prvú bunku s číslom 10 a odmocnime ju, dostaneme hodnotu 100, ktorá je naznačená na priesečníku našich dvoch buniek. Všetko je také jednoduché a ľahké, že to pochopí aj ten najpravdivejší humanista!

Rovnice a nerovnice

Ukazuje sa, že za určitých podmienok je exponentom logaritmus. Preto akékoľvek matematické numerické výrazy možno zapísať ako logaritmickú rovnosť. Napríklad 3 4 = 81 možno zapísať ako základný 3 logaritmus 81 rovný štyrom (log 3 81 = 4). Pre negatívne sily pravidlá sú rovnaké: 2 -5 = 1/32 zapíšeme to ako logaritmus, dostaneme log 2 (1/32) = -5. Jednou z najfascinujúcejších častí matematiky je téma „logaritmov“. Na príklady a riešenia rovníc sa pozrieme nižšie, hneď po preštudovaní ich vlastností. Teraz sa pozrime, ako vyzerajú nerovnosti a ako ich odlíšiť od rovníc.

Je daný výraz v nasledujúcom tvare: log 2 (x-1) > 3 - je logaritmická nerovnosť, pretože neznáma hodnota "x" je pod znamienkom logaritmu. A tiež vo výraze sa porovnávajú dve veličiny: logaritmus požadovaného čísla so základom dva je väčší ako číslo tri.

Najdôležitejší rozdiel medzi logaritmickými rovnicami a nerovnosťami je v tom, že rovnice s logaritmami (príklad - logaritmus 2 x = √9) zahŕňajú jednu alebo viac konkrétnych číselných hodnôt v odpovedi, zatiaľ čo pri riešení nerovností sú definované ako oblasť prijateľné hodnoty a body prerušenia tejto funkcie. V dôsledku toho odpoveď nie je jednoduchá množina jednotlivých čísel ako v odpovedi na rovnicu, ale súvislý rad alebo množina čísel.

Základné vety o logaritmoch

Pri riešení primitívnych úloh hľadania hodnôt logaritmu nemusia byť jeho vlastnosti známe. Pokiaľ však ide o logaritmické rovnice alebo nerovnice, v prvom rade je potrebné jasne pochopiť a prakticky aplikovať všetky základné vlastnosti logaritmov. Na príklady rovníc sa pozrieme neskôr, najprv sa pozrime na každú vlastnosť podrobnejšie.

1. Hlavná identita vyzerá takto: a logaB =B. Platí len vtedy, keď a je väčšie ako 0, nerovná sa jednej a B je väčšie ako nula.
2. Logaritmus súčinu môže byť vyjadrený v nasledujúcom vzorci: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. V tomto prípade je povinná podmienka: d, s 1 a s 2 > 0; a≠1. Tento logaritmický vzorec môžete dokázať príkladmi a riešením. Nech log a s 1 = f 1 a log a s 2 = f 2, potom a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dostaneme, že s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (vlastnosti stupne ), a potom podľa definície: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, čo bolo potrebné dokázať.
3. Logaritmus kvocientu vyzerá takto: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Veta vo forme vzorca má tento tvar: log a q b n = n/q log a b.

Tento vzorec sa nazýva „vlastnosť stupňa logaritmu“. Pripomína vlastnosti bežných stupňov a nie je to prekvapujúce, pretože celá matematika je založená na prirodzených postulátoch. Pozrime sa na dôkaz.

Nech log a b = t, ukáže sa a t =b. Ak obe časti zdvihneme na mocninu m: a tn = b n ;

ale keďže a tn = (a q) nt/q = b n, preto log a q b n = (n*t)/t, potom log a q b n = n/q log a b. Veta bola dokázaná.

Príklady problémov a nerovností

Najbežnejšími typmi problémov na logaritmoch sú príklady rovníc a nerovníc. Nachádzajú sa takmer vo všetkých problémových knihách a sú tiež povinnou súčasťou skúšok z matematiky. Ak chcete vstúpiť na univerzitu alebo zložiť prijímacie skúšky z matematiky, musíte vedieť, ako správne riešiť takéto úlohy.

Bohužiaľ neexistuje jednotný plán alebo schéma na riešenie a určenie neznámej hodnoty logaritmu, dá sa však použiť na každú matematickú nerovnosť alebo logaritmickú rovnicu. určité pravidlá. V prvom rade by ste si mali zistiť, či sa výraz dá zjednodušiť alebo naviesť celkový vzhľad. Zjednodušte dlhé logaritmické výrazy možné, ak správne používate ich vlastnosti. Poďme sa s nimi rýchlo zoznámiť.

Pri riešení logaritmických rovníc musíme určiť, aký typ logaritmu máme: vzorový výraz môže obsahovať prirodzený logaritmus alebo desiatkový.

Tu sú príklady ln100, ln1026. Ich riešenie sa scvrkáva na skutočnosť, že potrebujú určiť výkon, s ktorým bude základňa 10 rovná 100 a 1026. Pre riešenia prirodzené logaritmy treba podať žiadosť logaritmické identity alebo ich vlastnosti. Pozrime sa na príklady riešenia logaritmických problémov rôznych typov.

Ako používať logaritmické vzorce: s príkladmi a riešeniami

Pozrime sa teda na príklady použitia základných teorémov o logaritmoch.

1. Vlastnosť logaritmu súčinu môže byť použitá v úlohách, kde je potrebné expandovať veľký významčísla b do jednoduchších faktorov. Napríklad log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odpoveď je 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - ako vidíte, pomocou štvrtej vlastnosti logaritmickej mocniny sa nám podarilo vyriešiť zdanlivo zložitý a neriešiteľný výraz. Stačí vypočítať základ a potom odobrať hodnoty exponentov zo znamienka logaritmu.

Úlohy z jednotnej štátnej skúšky

Logaritmy sa často vyskytujú pri prijímacích skúškach, najmä veľa logaritmických problémov pri Jednotnej štátnej skúške (štátna skúška pre všetkých absolventov škôl). Tieto úlohy sa zvyčajne nachádzajú nielen v časti A (najjednoduchšia testovacia časť skúšky), ale aj v časti C (najzložitejšie a najobsiahlejšie úlohy). Skúška vyžaduje presnú a dokonalú znalosť témy „Prirodzené logaritmy“.

Príklady a riešenia problémov sú prevzaté z oficiálnych Možnosti jednotnej štátnej skúšky. Pozrime sa, ako sa takéto úlohy riešia.

Daný log 2 (2x-1) = 4. Riešenie:
prepíšme výraz, trochu ho zjednodušíme log 2 (2x-1) = 2 2, podľa definície logaritmu dostaneme, že 2x-1 = 2 4, teda 2x = 17; x = 8,5.

• Najlepšie je zredukovať všetky logaritmy na rovnaký základ, aby riešenie nebolo ťažkopádne a mätúce.
• Všetky výrazy pod logaritmickým znamienkom sú označené ako kladné, preto keď exponent výrazu, ktorý je pod logaritmickým znamienkom a jeho základ sa vyberie ako násobiteľ, výraz zostávajúci pod logaritmom musí byť kladný.