Nech je daná kvadratická rovnica ax 2 + bx + c = 0.
Na štvorcovú trojčlennú os 2 + bx + c aplikujeme rovnaké transformácie, aké sme vykonali v § 13, keď sme dokázali vetu, že graf funkcie y \u003d ax 2 + bx + c je parabola.
Máme

Zvyčajne sa výraz b 2 - 4ac označuje písmenom D a nazýva sa diskriminant kvadratická rovnica ax 2 + bx + c = 0 (alebo diskriminant štvorcovej trojčlenky ax + bx + c).

Teda

Preto je možné kvadratickú rovnicu ax 2 + ich + c \u003d O prepísať ako

Akákoľvek kvadratická rovnica môže byť transformovaná do tvaru (1), čo je vhodné, ako teraz uvidíme, na určenie počtu koreňov kvadratickej rovnice a nájdenie týchto koreňov.

Dôkaz. Ak D< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.

Príklad 1 Vyriešte rovnicu 2x 2 + 4x + 7 = 0.
Riešenie. Tu a = 2, b = 4, c = 7,
D \u003d b 2 -4ac \u003d 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
Keďže D< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Dôkaz. Ak D = 0, potom rovnica (1) nadobúda tvar

je jediným koreňom rovnice.

Poznámka 1. Pamätáte si, že x \u003d - je úsečka vrcholu paraboly, ktorá slúži ako graf funkcie y \u003d ax 2 + ux + c? Prečo je toto
hodnota sa ukázala byť jediným koreňom kvadratickej rovnice ax 2 + x + c - 0? „Rakva“ sa otvorí jednoducho: ak D je 0, potom, ako sme už zistili,

Graf rovnakej funkcie je parabola s vrcholom v bode (pozri napr. Obr. 98). Preto sú os vrcholu paraboly a jediný koreň kvadratickej rovnice pre D = 0 rovnaké číslo.

Príklad 2 Vyriešte rovnicu 4x 2 - 20x + 25 = 0.
Riešenie. Tu a \u003d 4, b \u003d -20, c \u003d 25, D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-20) 2 - 4. 4. 25 = 400 - 400 = 0.

Pretože D = 0, potom podľa vety 2 má táto kvadratická rovnica jeden koreň. Tento koreň sa nachádza podľa vzorca

Odpoveď: 2.5.

Poznámka 2. Všimnite si, že 4x2 - 20x +25 je dokonalý štvorec: 4x2 - 20x + 25 = (2x - 5)2.
Ak by sme si to všimli hneď, vyriešili by sme rovnicu takto: (2x - 5) 2 \u003d 0, čo znamená 2x - 5 \u003d 0, z čoho dostaneme x \u003d 2,5. Vo všeobecnosti, ak D = 0, potom

ax 2 + bx + c = - to sme si všimli skôr v poznámke 1.
Ak D > 0, potom kvadratická rovnica ax 2 + bx + c \u003d 0 má dva korene, ktoré sa nachádzajú pomocou vzorcov

Dôkaz. Kvadratickú rovnicu ax 2 + b x + c = 0 prepíšeme do tvaru (1)

Položme
Podľa predpokladu D > 0, čo znamená, že pravá strana rovnice je kladné číslo. Potom z rovnice (2) dostaneme to

Daná kvadratická rovnica má teda dva korene:

Poznámka 3. V matematike sa málokedy stane, že zavedený pojem nemá, obrazne povedané, každodenné pozadie. Vezmime si nový
koncepcia je diskriminačná. Pamätajte na slovo „diskriminácia“. Čo to znamená? Znamená to ponižovanie jedných a povyšovanie iných, t.j. rozdielne postoje
nie do rôznych pudya. Obidve slová (diskriminačný aj diskriminačný) pochádzajú z latinského diskriminans - „rozlišovať“. Diskriminant rozlišuje kvadratické rovnice podľa počtu koreňov.

Príklad 3 Vyriešte rovnicu 3x 2 + 8x - 11 = 0.
Riešenie. Tu a = 3, b = 8, c = - 11,
D \u003d b 2 - 4ac \u003d 8 2 - 4. 3. (-11) = 64 + 132 = 196.
Pretože D > 0, potom podľa vety 3 má táto kvadratická rovnica dva korene. Tieto korene nájdeme podľa vzorcov (3)

V skutočnosti sme vyvinuli nasledujúce pravidlo:

Pravidlo riešenia rovnice
ax 2 + bx + c = 0

Toto pravidlo je univerzálne, platí pre úplné aj neúplné kvadratické rovnice. Neúplné kvadratické rovnice sa však väčšinou podľa tohto pravidla neriešia, je vhodnejšie ich riešiť tak, ako sme to riešili v predchádzajúcom odseku.

Príklad 4 Riešiť rovnice:

a) x 2 + Zx - 5 \u003d 0; b) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; c) 2x2-x + 3,5 = 0.

Riešenie. a) Tu a = 1, b = 3, c = -5,
D \u003d b 2 – 4ac \u003d Z 2 – 4. 1. (-5) = 9 + 20 = 29.

Pretože D > 0, táto kvadratická rovnica má dva korene. Tieto korene nájdeme podľa vzorcov (3)

B) Ako ukazuje skúsenosť, je vhodnejšie zaoberať sa kvadratickými rovnicami, v ktorých je vodiaci koeficient kladný. Preto najprv vynásobíme obe strany rovnice -1, dostaneme

9x 2 - 6x + 1 = 0.
Tu a \u003d 9, b \u003d -6, c \u003d 1, D \u003d b 2 - 4ac \u003d 36 - 36 \u003d 0.
Pretože D = 0, táto kvadratická rovnica má jeden koreň. Tento koreň sa nachádza podľa vzorca x \u003d -. znamená,

Táto rovnica by sa dala vyriešiť aj inak: od r
9x 2 - 6x + 1 \u003d (Zx - IJ, potom dostaneme rovnicu (3x - I) 2 \u003d 0, z ktorej nájdeme Zx - 1 \u003d 0, t.j. x \u003d.

c) Tu a \u003d 2, b \u003d - 1, c \u003d 3,5, D \u003d b 2 - 4ac \u003d 1 - 4. 2. 3,5 = 1 - 28 = - 27. Keďže D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

Matematici sú praktickí, hospodárni ľudia. Prečo, hovoria, použiť také dlhé pravidlo na riešenie kvadratickej rovnice, je lepšie okamžite napísať všeobecný vzorec:

Ak sa ukáže, že diskriminant D \u003d b 2 - 4ac je záporné číslo, potom napísaný vzorec nedáva zmysel (pod znamienkom odmocnina je záporné číslo), takže neexistujú žiadne korene. Ak sa ukáže, že diskriminant sa rovná nule, dostaneme

To znamená jeden koreň (tiež hovoria, že kvadratická rovnica má v tomto prípade dva rovnaké korene:

Nakoniec, ak sa ukáže, že b 2 - 4ac > 0, potom sa získajú dva korene x 1 a x 2, ktoré sa vypočítajú pomocou rovnakých vzorcov (3), ako je uvedené vyššie.

Samotné číslo je v tomto prípade kladné (ako každá druhá odmocnina kladného čísla) a dvojité znamienko pred ním znamená, že v jednom prípade (pri nájdení x 1) sa toto kladné číslo pripočíta k číslu - b, a v druhom prípade (pri nájdení x 2) je kladné číslo,
čítať od čísla - b.

Máte slobodu voľby. Ak chcete, vyriešte kvadratickú rovnicu podrobne pomocou pravidla formulovaného vyššie; ak chcete, hneď si zapíšte vzorec (4) a použite ho na vyvodenie potrebných záverov.

Príklad 5. Riešiť rovnice:

Riešenie, a) Samozrejme, môžu sa použiť vzorce (4) alebo (3), ak vezmeme do úvahy, že v tomto prípade Prečo však vykonávať operácie so zlomkami, keď je jednoduchšie a hlavne príjemnejšie narábať s celými číslami? Zbavme sa menovateľov. Aby ste to dosiahli, musíte vynásobiť obe časti rovnice číslom 12, teda najmenším spoločným menovateľom zlomkov, ktoré slúžia ako koeficienty rovnice. Získajte

preto 8x 2 + 10x - 7 = 0.

A teraz použijeme vzorec (4)

B) Opäť máme rovnicu so zlomkovými koeficientmi: a \u003d 3, b \u003d - 0,2, c \u003d 2,77. Vynásobte obe strany rovnice 100, potom dostaneme rovnicu s celočíselnými koeficientmi:
300x 2 - 20x + 277 = 0.
Ďalej použijeme vzorec (4):

Jednoduchý odhad ukazuje, že diskriminant (radikálny výraz) je záporné číslo. Takže rovnica nemá korene.

Príklad 6 vyriešiť rovnicu
Riešenie. Tu je na rozdiel od predchádzajúceho príkladu výhodnejšie konať podľa pravidla a nie podľa redukovaného vzorca (4).

Máme \u003d 5, b \u003d -, c \u003d 1, D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-) 2 - 4. 5. 1 = 60 - 20 = 40. Keďže D > 0, kvadratická rovnica má dva korene, ktoré budeme hľadať pomocou vzorcov (3)

Príklad 7 vyriešiť rovnicu
x 2 - (2p + 1)x + (p2 + p-2) = 0

Riešenie. Táto kvadratická rovnica sa líši od všetkých doteraz uvažovaných kvadratických rovníc tým, že koeficienty nie sú konkrétne čísla, ale doslovné výrazy. Takéto rovnice sa nazývajú rovnice s písmenovými koeficientmi alebo rovnice s parametrami. V tomto prípade je parameter (písmeno) p zahrnutý do druhého koeficientu a voľného člena rovnice.
Poďme nájsť diskriminant:

Príklad 8. Vyriešte rovnicu px 2 + (1 - p) x - 1 = 0.
Riešenie. Toto je tiež rovnica s parametrom p, ale na rozdiel od predchádzajúceho príkladu ju nemožno vyriešiť okamžite pomocou vzorcov (4) alebo (3). Faktom je, že tieto vzorce sú použiteľné pre kvadratické rovnice, ale o danej rovnici to zatiaľ povedať nemôžeme. Naozaj, čo ak p = 0? Potom
rovnica bude mať tvar 0. x 2 + (1-0)x- 1 \u003d 0, t.j. x - 1 \u003d 0, z čoho dostaneme x \u003d 1. Teraz, ak to viete s istotou, môžete použiť vzorce koreňov kvadratickej rovnice:

Prvá úroveň

Kvadratické rovnice. Komplexný sprievodca (2019)

V termíne "kvadratická rovnica" je kľúčové slovo "kvadratická". To znamená, že rovnica musí nevyhnutne obsahovať premennú (rovnaké X) v štvorci a zároveň by nemali byť X v treťom (alebo väčšom) stupni.

Riešenie mnohých rovníc sa redukuje na riešenie kvadratických rovníc.

Naučme sa určiť, že máme kvadratickú rovnicu a nie nejakú inú.

Príklad 1

Zbavte sa menovateľa a vynásobte každý člen rovnice

Presuňme všetko do ľavá strana a usporiadajte členy v zostupnom poradí podľa mocniny x

Teraz môžeme s istotou povedať, že táto rovnica je kvadratická!

Príklad 2

Vynásobme ľavé a pravá strana na:

Táto rovnica, hoci v nej pôvodne bola, nie je štvorec!

Príklad 3

Všetko vynásobme:

desivé? Štvrtý a druhý stupeň ... Ak však urobíme náhradu, uvidíme, že máme jednoduchú kvadratickú rovnicu:

Príklad 4

Zdá sa, že áno, ale pozrime sa na to bližšie. Presuňme všetko na ľavú stranu:

Vidíte, zmenšil sa - a teraz je to jednoduché lineárna rovnica!

Teraz skúste sami určiť, ktoré z nasledujúcich rovníc sú kvadratické a ktoré nie:

Príklady:

Odpovede:

1. námestie;
2. námestie;
3. nie štvorcový;
4. nie štvorcový;
5. nie štvorcový;
6. námestie;
7. nie štvorcový;
8. námestie.

Matematici podmienečne rozdeľujú všetky kvadratické rovnice do nasledujúcich typov:

• Kompletné kvadratické rovnice- rovnice, v ktorých koeficienty a aj voľný člen c sa nerovnajú nule (ako v príklade). Okrem toho medzi úplnými kvadratickými rovnicami sú daný sú rovnice, v ktorých koeficient (rovnica z príkladu 1 je nielen úplná, ale aj redukovaná!)

• Neúplné kvadratické rovnice- rovnice, v ktorých sa koeficient alebo voľný člen c rovnajú nule:

  Sú neúplné, pretože v nich chýba nejaký prvok. Ale rovnica musí vždy obsahovať x na druhú !!! Inak to už nebude kvadratická, ale nejaká iná rovnica.

Prečo prišli s takýmto rozdelením? Zdalo by sa, že existuje X na druhú a v poriadku. Takéto rozdelenie je spôsobené metódami riešenia. Uvažujme o každom z nich podrobnejšie.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc

Najprv sa zamerajme na riešenie neúplných kvadratických rovníc – sú oveľa jednoduchšie!

Neúplné kvadratické rovnice sú typov:

1. , v tejto rovnici je koeficient rovný.
2. , v tejto rovnici sa voľný člen rovná.
3. , v tejto rovnici sa koeficient a voľný člen rovnajú.

1. i. Keďže vieme odmocninu, vyjadrime sa z tejto rovnice

Výraz môže byť negatívny alebo pozitívny. Druhé číslo nemôže byť záporné, pretože pri vynásobení dvoch záporných alebo dvoch kladných čísel bude výsledkom vždy kladné číslo, takže: ak, potom rovnica nemá riešenia.

A ak, potom dostaneme dva korene. Tieto vzorce sa netreba učiť naspamäť. Hlavná vec je, že by ste mali vždy vedieť a pamätať si, že to nemôže byť menej.

Skúsme vyriešiť niekoľko príkladov.

Príklad 5:

Vyriešte rovnicu

Teraz zostáva extrahovať koreň z ľavej a pravej časti. Koniec koncov, pamätáte si, ako extrahovať korene?

odpoveď:

Nikdy nezabudnite na korene so záporným znamienkom!!!

Príklad 6:

Vyriešte rovnicu

odpoveď:

Príklad 7:

Vyriešte rovnicu

Oh! Druhá mocnina čísla nemôže byť záporná, čo znamená, že rovnica

žiadne korene!

Pre takéto rovnice, v ktorých nie sú žiadne korene, matematici prišli so špeciálnou ikonou - (prázdna množina). A odpoveď môže byť napísaná takto:

odpoveď:

Táto kvadratická rovnica má teda dva korene. Neexistujú žiadne obmedzenia, pretože sme nevyťažili koreň.
Príklad 8:

Vyriešte rovnicu

Vyberme spoločný faktor zo zátvoriek:

teda

Táto rovnica má dva korene.

odpoveď:

Najjednoduchší typ neúplných kvadratických rovníc (hoci sú všetky jednoduché, však?). Je zrejmé, že táto rovnica má vždy iba jeden koreň:

Tu sa zaobídeme bez príkladov.

Riešenie úplných kvadratických rovníc

Pripomíname, že úplná kvadratická rovnica je rovnica tvaru rovnice kde

Riešenie úplných kvadratických rovníc je trochu zložitejšie (iba trochu) ako tie, ktoré sú uvedené.

zapamätaj si, pomocou diskriminantu je možné vyriešiť akúkoľvek kvadratickú rovnicu! Dokonca neúplné.

Zvyšné metódy vám to pomôžu rýchlejšie, ale ak máte problémy s kvadratickými rovnicami, najprv si osvojte riešenie pomocou diskriminantu.

1. Riešenie kvadratických rovníc pomocou diskriminantu.

Riešenie kvadratických rovníc týmto spôsobom je veľmi jednoduché, hlavnou vecou je zapamätať si postupnosť akcií a niekoľko vzorcov.

Ak, potom rovnica má koreň Osobitná pozornosť nakresliť krok. Diskriminant () nám udáva počet koreňov rovnice.

• Ak, potom sa vzorec v kroku zredukuje na. Rovnica teda bude mať iba koreň.
• Ak, potom nebudeme môcť extrahovať koreň diskriminantu v kroku. To znamená, že rovnica nemá korene.

Vráťme sa k našim rovniciam a pozrime sa na niekoľko príkladov.

Príklad 9:

Vyriešte rovnicu

Krok 1 preskočiť.

Krok 2

Nájdenie diskriminantu:

Takže rovnica má dva korene.

Krok 3

odpoveď:

Príklad 10:

Vyriešte rovnicu

Rovnica je v štandardnom tvare, takže Krok 1 preskočiť.

Krok 2

Nájdenie diskriminantu:

Takže rovnica má jeden koreň.

odpoveď:

Príklad 11:

Vyriešte rovnicu

Rovnica je v štandardnom tvare, takže Krok 1 preskočiť.

Krok 2

Nájdenie diskriminantu:

To znamená, že nebudeme môcť extrahovať koreň z diskriminantu. Neexistujú žiadne korene rovnice.

Teraz už vieme, ako si takéto odpovede správne zapísať.

odpoveď:žiadne korene

2. Riešenie kvadratických rovníc pomocou Vietovej vety.

Ak si pamätáte, potom existuje taký typ rovníc, ktoré sa nazývajú redukované (keď sa koeficient a rovná):

Takéto rovnice sa dajú veľmi ľahko vyriešiť pomocou Vietovej vety:

Súčet koreňov daný kvadratická rovnica sa rovná a súčin koreňov sa rovná.

Príklad 12:

Vyriešte rovnicu

Táto rovnica je vhodná na riešenie pomocou Vietovej vety, pretože .

Súčet koreňov rovnice je, t.j. dostaneme prvú rovnicu:

A produkt je:

Poďme vytvoriť a vyriešiť systém:

• A. Suma je;
• A. Suma je;
• A. Suma je rovnaká.

a sú riešením systému:

odpoveď: ; .

Príklad 13:

Vyriešte rovnicu

odpoveď:

Príklad 14:

Vyriešte rovnicu

Rovnica je redukovaná, čo znamená:

odpoveď:

KVADRATICKÉ ROVNICE. PRIEMERNÁ ÚROVEŇ

Čo je to kvadratická rovnica?

Inými slovami, kvadratická rovnica je rovnica tvaru, kde navyše - neznáme, - nejaké čísla.

Číslo sa nazýva najvyššie resp prvý koeficient kvadratická rovnica, - druhý koeficient, A - voľný člen.

prečo? Pretože ak, rovnica sa okamžite stane lineárnou, pretože zmizne.

V tomto prípade a môže byť rovný nule. V tejto stolici sa rovnica nazýva neúplná. Ak sú všetky pojmy na mieste, to znamená, že rovnica je úplná.

Riešenie rôznych typov kvadratických rovníc

Metódy riešenia neúplných kvadratických rovníc:

Na začiatok si rozoberieme metódy riešenia neúplných kvadratických rovníc - sú jednoduchšie.

Je možné rozlíšiť nasledujúce typy rovníc:

I. , v tejto rovnici sa koeficient a voľný člen rovnajú.

II. , v tejto rovnici je koeficient rovný.

III. , v tejto rovnici sa voľný člen rovná.

Teraz zvážte riešenie každého z týchto podtypov.

Je zrejmé, že táto rovnica má vždy iba jeden koreň:

Druhá mocnina nemôže byť záporná, pretože pri vynásobení dvoch záporných alebo dvoch kladných čísel bude výsledkom vždy kladné číslo. Preto:

ak, potom rovnica nemá riešenia;

ak máme dva korene

Tieto vzorce sa netreba učiť naspamäť. Hlavná vec na zapamätanie je, že to nemôže byť menej.

Príklady:

Riešenia:

odpoveď:

Nikdy nezabudnite na korene so záporným znamienkom!

Druhá mocnina čísla nemôže byť záporná, čo znamená, že rovnica

žiadne korene.

Aby sme stručne napísali, že problém nemá riešenia, použijeme ikonu prázdnej sady.

odpoveď:

Takže táto rovnica má dva korene: a.

odpoveď:

Vyberme spoločný faktor zo zátvoriek:

Súčin sa rovná nule, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. To znamená, že rovnica má riešenie, keď:

Takže táto kvadratická rovnica má dva korene: a.

Príklad:

Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

Rozdelíme ľavú stranu rovnice na faktor a nájdeme korene:

odpoveď:

Metódy riešenia úplných kvadratických rovníc:

1. Diskriminačný

Riešenie kvadratických rovníc týmto spôsobom je jednoduché, hlavnou vecou je zapamätať si postupnosť akcií a niekoľko vzorcov. Pamätajte, že každá kvadratická rovnica môže byť vyriešená pomocou diskriminantu! Dokonca neúplné.

Všimli ste si koreň diskriminantu v koreňovom vzorci? Ale diskriminant môže byť negatívny. Čo robiť? Osobitnú pozornosť musíme venovať kroku 2. Diskriminant nám hovorí počet koreňov rovnice.

• Ak, potom rovnica má koreň:
• Ak, potom má rovnica rovnaký koreň, ale v skutočnosti jeden koreň:

  Takéto korene sa nazývajú dvojité korene.

• Ak, potom koreň diskriminantu nie je extrahovaný. To znamená, že rovnica nemá korene.

Prečo existujú rôzne počty koreňov? Obráťme sa na geometrický zmysel kvadratická rovnica. Grafom funkcie je parabola:

V konkrétnom prípade, ktorým je kvadratická rovnica, . A to znamená, že korene kvadratickej rovnice sú priesečníky s osou x (osou). Parabola nemusí vôbec pretínať os, alebo ju môže pretínať v jednom (keď vrchol paraboly leží na osi) alebo dvoch bodoch.

Okrem toho je koeficient zodpovedný za smer vetiev paraboly. Ak, potom vetvy paraboly smerujú nahor a ak - potom nadol.

Príklady:

Riešenia:

odpoveď:

Odpoveď: .

odpoveď:

To znamená, že neexistujú žiadne riešenia.

Odpoveď: .

2. Vietova veta

Použitie Vietovej vety je veľmi jednoduché: stačí si vybrať pár čísel, ktorých súčin sa rovná voľnému členu rovnice a súčet sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom.

Je dôležité si uvedomiť, že Vietovu vetu je možné aplikovať iba na ňu dané kvadratické rovnice ().

Pozrime sa na niekoľko príkladov:

Príklad č. 1:

Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

Táto rovnica je vhodná na riešenie pomocou Vietovej vety, pretože . Ostatné koeficienty: ; .

Súčet koreňov rovnice je:

A produkt je:

Vyberme také dvojice čísel, ktorých súčin sa rovná, a skontrolujeme, či sa ich súčet rovná:

• A. Suma je;
• A. Suma je;
• A. Suma je rovnaká.

a sú riešením systému:

Tak, a sú korene našej rovnice.

Odpoveď: ; .

Príklad č. 2:

Riešenie:

Vyberieme také dvojice čísel, ktoré sú v súčine, a potom skontrolujeme, či sa ich súčet rovná:

a: dať celkom.

a: dať celkom. Aby ste to získali, stačí zmeniť znaky údajných koreňov: a koniec koncov aj prácu.

odpoveď:

Príklad č. 3:

Riešenie:

Voľný člen rovnice je záporný, a preto je súčin koreňov záporné číslo. To je možné len vtedy, ak je jeden z koreňov negatívny a druhý pozitívny. Takže súčet koreňov je rozdiely ich modulov.

Vyberáme také dvojice čísel, ktoré dávajú súčin, a ktorých rozdiel sa rovná:

a: ich rozdiel je - nevhodný;

a: - nevhodné;

a: - nevhodné;

a: - vhodné. Zostáva len pamätať na to, že jeden z koreňov je negatívny. Keďže ich súčet sa musí rovnať, potom koreň, ktorý je v absolútnej hodnote menší, musí byť záporný: . Kontrolujeme:

odpoveď:

Príklad č. 4:

Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

Rovnica je redukovaná, čo znamená:

Voľný termín je záporný, a teda súčin koreňov je záporný. A to je možné len vtedy, keď je jeden koreň rovnice záporný a druhý kladný.

Vyberieme také dvojice čísel, ktorých súčin je rovnaký, a potom určíme, ktoré korene by mali mať záporné znamienko:

Je zrejmé, že iba korene a sú vhodné pre prvý stav:

odpoveď:

Príklad č. 5:

Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

Rovnica je redukovaná, čo znamená:

Súčet koreňov je záporný, čo znamená, že najmenej, jeden z koreňov je negatívny. Ale keďže ich produkt je pozitívny, znamená to, že oba korene sú mínusové.

Vyberáme také dvojice čísel, ktorých súčin sa rovná:

Je zrejmé, že korene sú čísla a.

odpoveď:

Súhlasíte, je to veľmi výhodné - vymýšľať korene ústne, namiesto počítania tohto škaredého diskriminátora. Snažte sa používať Vietovu vetu čo najčastejšie.

Ale veta Vieta je potrebná, aby sa uľahčilo a urýchlilo hľadanie koreňov. Aby bolo pre vás jeho používanie rentabilné, musíte akcie automatizovať. A preto vyriešte ďalších päť príkladov. Ale nepodvádzajte: nemôžete použiť diskriminant! Iba Vietov teorém:

Riešenia úloh pre samostatnú prácu:

Úloha 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Podľa Vietovej vety:

Ako obvykle začíname výber produktom:

Nevhodné, pretože množstvo;

: množstvo je to, čo potrebujete.

Odpoveď: ; .

Úloha 2.

A opäť naša obľúbená Vieta veta: súčet by mal vyjsť, ale súčin sa rovná.

Ale keďže by to nemalo byť, ale, meníme znamienka koreňov: a (celkovo).

Odpoveď: ; .

Úloha 3.

Hmm... Kde to je?

Je potrebné preniesť všetky pojmy do jednej časti:

Súčet koreňov sa rovná súčinu.

Áno, prestaň! Rovnica nie je daná. Vietova veta je však použiteľná len v daných rovniciach. Takže najprv musíte priniesť rovnicu. Ak si to neviete predstaviť, zahoďte túto myšlienku a vyriešte ju iným spôsobom (napríklad cez diskriminant). Dovoľte mi pripomenúť, že uviesť kvadratickú rovnicu znamená, že vedúci koeficient bude rovný:

Skvelé. Potom sa súčet koreňov rovná a súčin.

Tu je ľahšie vyzdvihnúť: predsa - prvočíslo (prepáčte za tautológiu).

Odpoveď: ; .

Úloha 4.

Voľný termín je záporný. Čo je na ňom také zvláštne? A skutočnosť, že korene budú rôznych znamení. A teraz, počas výberu, nekontrolujeme súčet koreňov, ale rozdiel medzi ich modulmi: tento rozdiel je rovnaký, ale súčin.

Korene sú teda rovnaké a, ale jeden z nich je s mínusom. Vietova veta nám hovorí, že súčet koreňov sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom, tzn. To znamená, že menší koreň bude mať mínus: a od.

Odpoveď: ; .

Úloha 5.

Čo je potrebné urobiť ako prvé? Správne, dajte rovnicu:

Opäť: vyberieme faktory čísla a ich rozdiel by sa mal rovnať:

Korene sú rovnaké a, ale jeden z nich je mínus. Ktoré? Ich súčet sa musí rovnať, čo znamená, že s mínusom bude väčší koreň.

Odpoveď: ; .

Zhrniem:

1. Vietova veta je použitá len v daných kvadratických rovniciach.
2. Pomocou Vietovej vety môžete nájsť korene výberom, ústne.
3. Ak rovnica nie je daná alebo sa nenašla vhodná dvojica faktorov voľného člena, potom neexistujú celé korene a musíte to vyriešiť iným spôsobom (napríklad cez diskriminant).

3. Metóda výberu plného štvorca

Ak sú všetky členy obsahujúce neznámu reprezentované ako členy zo vzorcov skráteného násobenia - druhá mocnina súčtu alebo rozdielu - potom po zmene premenných môže byť rovnica reprezentovaná ako neúplná kvadratická rovnica typu.

Napríklad:

Príklad 1:

Vyriešte rovnicu: .

Riešenie:

odpoveď:

Príklad 2:

Vyriešte rovnicu: .

Riešenie:

odpoveď:

IN všeobecný pohľad transformácia bude vyzerať takto:

To znamená: .

Nič vám to nepripomína? To je diskriminant! Presne tak bol získaný diskriminačný vzorec.

KVADRATICKÉ ROVNICE. STRUČNE O HLAVNOM

Kvadratická rovnica je rovnica tvaru, kde je neznáma, sú koeficienty kvadratickej rovnice, je voľný člen.

Kompletná kvadratická rovnica- rovnica, v ktorej sa koeficienty nerovnajú nule.

Redukovaná kvadratická rovnica- rovnica, v ktorej je koeficient, teda: .

Neúplná kvadratická rovnica- rovnica, v ktorej sa koeficient alebo voľný člen c rovnajú nule:

• ak koeficient, rovnica má tvar: ,
• ak je voľný člen, rovnica má tvar: ,
• ak a, rovnica má tvar: .

1. Algoritmus riešenia neúplných kvadratických rovníc

1.1. Neúplná kvadratická rovnica tvaru, kde:

1) Vyjadrite neznáme: ,

2) Skontrolujte znamienko výrazu:

• ak, potom rovnica nemá riešenia,
• ak, tak rovnica má dva korene.

1.2. Neúplná kvadratická rovnica tvaru, kde:

1) Vyberme spoločný faktor zo zátvoriek: ,

2) Súčin sa rovná nule, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. Preto má rovnica dva korene:

1.3. Neúplná kvadratická rovnica tvaru, kde:

Táto rovnica má vždy len jeden koreň: .

2. Algoritmus na riešenie úplných kvadratických rovníc v tvare kde

2.1. Riešenie pomocou diskriminantu

1) Uveďme rovnicu do štandardného tvaru: ,

2) Vypočítajte diskriminant pomocou vzorca: , ktorý udáva počet koreňov rovnice:

3) Nájdite korene rovnice:

• ak, potom rovnica má koreň, ktorý sa nachádza podľa vzorca:
• ak, potom rovnica má koreň, ktorý sa nachádza podľa vzorca:
• ak, potom rovnica nemá korene.

2.2. Riešenie pomocou Vietovej vety

Súčet koreňov redukovanej kvadratickej rovnice (rovnice tvaru kde) sa rovná a súčin koreňov sa rovná, t.j. , A.

2.3. Úplné štvorcové riešenie

Ak má kvadratická rovnica tvaru korene, možno ju zapísať v tvare: .

No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, potom ste veľmi cool.

Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak ste dočítali až do konca, tak ste v tých 5%!

Teraz to najdôležitejšie.

Prišli ste na teóriu na túto tému. A opakujem, je to ... je to jednoducho super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.

Problém je, že to nemusí stačiť...

Prečo?

Pre úspešné absolvovanie skúšky, za prijatie do ústavu na rozpočet a HLAVNE na doživotie.

Nebudem ťa o ničom presviedčať, poviem len jedno...

Ľudia, ktorí dostali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nedostali. Toto je štatistika.

Ale to nie je to hlavné.

Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? neviem...

Ale zamysli sa nad sebou...

Čo je potrebné na to, aby ste boli na skúške lepší ako ostatní a v konečnom dôsledku ... šťastnejší?

VYPLŇTE SI RUKU, RIEŠTE PROBLÉMY V TEJTO TÉME.

Na skúške sa vás nebudú pýtať na teóriu.

Budete potrebovať riešiť problémy včas.

A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo ju jednoducho neurobíte včas.

Je to ako v športe – treba opakovať veľakrát, aby ste vyhrali.

Nájdite zbierku kdekoľvek chcete nevyhnutne s riešeniami podrobná analýza a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!

Môžete využiť naše úlohy (nie je potrebné) a určite ich odporúčame.

Ak chcete získať pomoc s našimi úlohami, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.

Ako? Sú dve možnosti:

1. Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám v tomto článku - 299 rubľov.
2. Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch tutoriálu - 499 rubľov.

Áno, takýchto článkov máme v učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.

Prístup ku všetkým skrytým úlohám je poskytovaný počas celej životnosti stránky.

Na záver...

Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neprestávajte s teóriou.

„Rozumiem“ a „Viem, ako to vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.

Nájdite problémy a riešte ich!

Táto téma sa môže na prvý pohľad zdať komplikovaná kvôli mnohým nie príliš jednoduchým vzorcom. Nielenže samotné kvadratické rovnice majú dlhé vstupy, ale korene sa nachádzajú aj prostredníctvom diskriminantu. Celkovo existujú tri nové vzorce. Nie je veľmi ľahké si zapamätať. To je možné len po častom riešení takýchto rovníc. Potom si všetky vzorce zapamätajú samy.

Všeobecný pohľad na kvadratickú rovnicu

Tu sa navrhuje ich explicitný zápis, keď sa najskôr zapíše najväčší stupeň a potom - v zostupnom poradí. Často existujú situácie, keď sa pojmy líšia. Potom je lepšie rovnicu prepísať v zostupnom poradí podľa stupňa premennej.

Predstavme si notáciu. Sú uvedené v tabuľke nižšie.

Ak prijmeme tieto zápisy, všetky kvadratické rovnice sa zredukujú na nasledujúci zápis.

Navyše koeficient a ≠ 0. Nech tento vzorec označíme číslom jedna.

Keď je uvedená rovnica, nie je jasné, koľko koreňov bude v odpovedi. Pretože vždy je možná jedna z troch možností:

• riešenie bude mať dva korene;
• odpoveď bude jedno číslo;
• Rovnica nemá vôbec žiadne korene.

A hoci rozhodnutie nie je dotiahnuté do konca, je ťažké pochopiť, ktorá z možností v konkrétnom prípade vypadne.

Typy záznamov kvadratických rovníc

Úlohy môžu mať rôzne položky. Nie vždy budú vyzerať ako všeobecný vzorec kvadratickej rovnice. Niekedy mu budú chýbať niektoré výrazy. To, čo bolo napísané vyššie, je úplná rovnica. Ak v ňom odstránite druhý alebo tretí výraz, získate niečo iné. Tieto záznamy sa nazývajú aj kvadratické rovnice, len neúplné.

Okrem toho môžu zmiznúť iba pojmy, pre ktoré sú koeficienty "b" a "c". Číslo "a" sa za žiadnych okolností nemôže rovnať nule. Pretože v tomto prípade sa vzorec zmení na lineárnu rovnicu. Vzorce pre neúplný tvar rovníc budú nasledovné:

Existujú teda iba dva typy, okrem úplných sú aj neúplné kvadratické rovnice. Nech je prvý vzorec číslo dva a druhý číslo tri.

Diskriminant a závislosť počtu koreňov od jeho hodnoty

Toto číslo musí byť známe, aby bolo možné vypočítať korene rovnice. Vždy sa dá vypočítať, bez ohľadu na to, aký je vzorec kvadratickej rovnice. Aby ste mohli vypočítať diskriminant, musíte použiť rovnosť napísanú nižšie, ktorá bude mať číslo štyri.

Po nahradení hodnôt koeficientov do tohto vzorca môžete získať čísla pomocou rôzne znamenia. Ak je odpoveď áno, potom odpoveďou na rovnicu budú dva rôzne korene. Pri zápornom čísle budú chýbať korene kvadratickej rovnice. Ak sa rovná nule, odpoveď bude jedna.

Ako sa rieši úplná kvadratická rovnica?

V skutočnosti sa zvažovanie tejto otázky už začalo. Pretože najprv musíte nájsť diskriminant. Keď sa objasní, že existujú korene kvadratickej rovnice a ich počet je známy, musíte použiť vzorce pre premenné. Ak existujú dva korene, musíte použiť takýto vzorec.

Keďže obsahuje znamienko „±“, budú existovať dve hodnoty. Výraz pod odmocninou je diskriminant. Preto je možné vzorec prepísať iným spôsobom.

Formula päť. Z toho istého záznamu je vidieť, že ak je diskriminant nulový, potom oba korene budú nadobúdať rovnaké hodnoty.

Ak riešenie kvadratických rovníc ešte nebolo vypracované, potom je lepšie zapísať hodnoty všetkých koeficientov pred použitím diskriminačných a premenných vzorcov. Neskôr tento moment nespôsobí ťažkosti. Hneď na začiatku je však zmätok.

Ako sa rieši neúplná kvadratická rovnica?

Všetko je tu oveľa jednoduchšie. Nie je ani potrebné doplnkové vzorce. A tie, ktoré už boli napísané pre diskriminujúcich a neznámych, potrebovať nebudete.

Najprv zvážte neúplná rovnica pri čísle dva. V tejto rovnosti sa má zo zátvorky vybrať neznáma hodnota a vyriešiť lineárna rovnica, ktorá zostane v zátvorke. Odpoveď bude mať dva korene. Prvý sa nevyhnutne rovná nule, pretože existuje faktor pozostávajúci zo samotnej premennej. Druhý sa získa riešením lineárnej rovnice.

Neúplná rovnica na čísle tri sa rieši prenesením čísla z ľavej strany rovnice na pravú. Potom musíte deliť koeficientom pred neznámym. Zostáva iba extrahovať druhú odmocninu a nezabudnite ju zapísať dvakrát s opačnými znamienkami.

Nasleduje niekoľko akcií, ktoré vám pomôžu naučiť sa riešiť všetky druhy rovnosti, ktoré sa menia na kvadratické rovnice. Pomôžu žiakovi vyhnúť sa chybám z nepozornosti. Tieto nedostatky sú príčinou zlého prospechu pri štúdiu rozsiahlej témy „Kvadrické rovnice (8. ročník)“. Následne nebude potrebné tieto akcie neustále vykonávať. Pretože tam bude stabilný zvyk.

• Najprv musíte napísať rovnicu v štandardnom tvare. Teda najprv výraz s najväčším stupňom premennej a potom – bez stupňa a posledný – len číslo.

• Ak sa pred koeficientom „a“ objaví mínus, potom môže začiatočníkovi skomplikovať prácu so štúdiom kvadratických rovníc. Je lepšie sa ho zbaviť. Na tento účel musí byť všetka rovnosť vynásobená "-1". To znamená, že všetky výrazy zmenia znamienko na opačné.

• Rovnakým spôsobom sa odporúča zbaviť sa zlomkov. Jednoducho vynásobte rovnicu príslušným faktorom tak, aby sa menovatelia vyrovnali.

Príklady

Je potrebné vyriešiť nasledujúce kvadratické rovnice:

x 2 - 7 x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Prvá rovnica: x 2 - 7x \u003d 0. Je neúplná, preto sa rieši tak, ako je popísané pre vzorec číslo dva.

Po bracketingu sa ukáže: x (x - 7) \u003d 0.

Prvý koreň nadobúda hodnotu: x 1 \u003d 0. Druhý sa zistí z lineárnej rovnice: x - 7 \u003d 0. Je ľahké vidieť, že x 2 \u003d 7.

Druhá rovnica: 5x2 + 30 = 0. Opäť neúplná. Iba to je vyriešené tak, ako je opísané pre tretí vzorec.

Po prenesení 30 na pravú stranu rovnice: 5x 2 = 30. Teraz musíte deliť 5. Ukáže sa: x 2 = 6. Odpovede budú čísla: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Tretia rovnica: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Tu a nižšie sa riešenie kvadratických rovníc začne ich prepísaním do štandardného tvaru: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Teraz je čas použiť druhú užitočné rady a všetko vynásobte mínusom jedna. Ukazuje sa x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Podľa štvrtého vzorca musíte vypočítať diskriminant: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. kladné číslo. Z toho, čo bolo povedané vyššie, sa ukazuje, že rovnica má dva korene. Je potrebné ich vypočítať podľa piateho vzorca. Podľa toho sa ukazuje, že x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Potom x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Štvrtá rovnica x 2 + 8 + 3x \u003d 0 sa prevedie na toto: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Jej diskriminant sa rovná tejto hodnote: -23. Keďže toto číslo je záporné, odpoveďou na túto úlohu bude nasledujúci záznam: "Neexistujú žiadne korene."

Piata rovnica 12x + x 2 + 36 = 0 by sa mala prepísať takto: x 2 + 12x + 36 = 0. Po použití vzorca pre diskriminant sa získa číslo nula. To znamená, že bude mať jeden koreň, a to: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Šiesta rovnica (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) vyžaduje transformácie, ktoré spočívajú v tom, že pred otvorením zátvoriek musíte uviesť podobné výrazy. Na mieste prvého bude takýto výraz: x 2 + 2x + 1. Po rovnosti sa objaví tento záznam: x 2 + 3x + 2. Po spočítaní podobných členov bude mať rovnica tvar: x 2 - x \u003d 0. Stalo sa neúplným. Podobne ako to už bolo považované za trochu vyššie. Koreňmi toho budú čísla 0 a 1.

V pokračovaní témy „Riešenie rovníc“ vám materiál v tomto článku predstaví kvadratické rovnice.

Zvážme všetko podrobne: podstatu a zápis kvadratickej rovnice, nastavte sprievodné pojmy, analyzujte schému riešenia neúplných a úplné rovnice, zoznámime sa so vzorcom koreňov a diskriminantu, nadviažeme súvislosti medzi koreňmi a koeficientmi a samozrejme dáme názorné riešenie praktických príkladov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratická rovnica, jej typy

Definícia 1

Kvadratická rovnica je rovnica napísaná ako a x 2 + b x + c = 0, Kde X– premenné, a , b a c sú nejaké čísla, kým a nie je nula.

Kvadratické rovnice sa často nazývajú aj rovnice druhého stupňa, pretože v skutočnosti je kvadratická rovnica algebraická rovnica druhého stupňa.

Uveďme príklad na ilustráciu danej definície: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 atď. sú kvadratické rovnice.

Definícia 2

Čísla a, b a c sú koeficienty kvadratickej rovnice a x 2 + b x + c = 0, pričom koeficient a sa nazýva prvý, alebo senior, alebo koeficient pri x 2, b - druhý koeficient, alebo koeficient pri X, A c nazývaný voľný člen.

Napríklad v kvadratickej rovnici 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 najvyšší koeficient je 6 , druhý koeficient je − 2 , a voľný termín sa rovná − 11 . Venujme pozornosť tomu, že keď koeficienty b a/alebo c sú negatívne, potom krátka forma záznamy formulára 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, ale nie 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Ujasnime si aj tento aspekt: ​​ak koeficienty a a/alebo b rovný 1 alebo − 1 , potom sa nemôžu explicitne podieľať na písaní kvadratickej rovnice, čo sa vysvetľuje zvláštnosťami zápisu uvedených číselných koeficientov. Napríklad v kvadratickej rovnici y2 − y + 7 = 0 seniorský koeficient je 1 a druhý koeficient je − 1 .

Redukované a neredukované kvadratické rovnice

Podľa hodnoty prvého koeficientu sa kvadratické rovnice delia na redukované a neredukované.

Definícia 3

Redukovaná kvadratická rovnica je kvadratická rovnica, kde vedúci koeficient je 1. Pre ostatné hodnoty vedúceho koeficientu je kvadratická rovnica neredukovaná.

Tu je niekoľko príkladov: kvadratické rovnice x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 sú redukované, v každej z nich je vodiaci koeficient 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- neredukovaná kvadratická rovnica, kde prvý koeficient je odlišný od 1 .

Akúkoľvek neredukovanú kvadratickú rovnicu možno previesť na redukovanú rovnicu vydelením oboch jej častí prvým koeficientom (ekvivalentná transformácia). Transformovaná rovnica bude mať rovnaké korene ako daná neredukovaná rovnica alebo tiež nebude mať žiadne korene.

Úvaha prípadová štúdia nám umožní názorne demonštrovať prechod z neredukovanej kvadratickej rovnice na redukovanú.

Príklad 1

Vzhľadom na rovnicu 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Pôvodnú rovnicu je potrebné previesť do redukovanej podoby.

Riešenie

Podľa vyššie uvedenej schémy vydelíme obe časti pôvodnej rovnice vodiacim koeficientom 6 . Potom dostaneme: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0 : 3 a toto je to isté ako: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 a ďalej: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0 . Odtiaľ: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Takto sa získa rovnica ekvivalentná danej rovnici.

odpoveď: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Úplné a neúplné kvadratické rovnice

Prejdime k definícii kvadratickej rovnice. V ňom sme to špecifikovali a ≠ 0. Podobná podmienka je potrebná pre rovnicu a x 2 + b x + c = 0 bol presne štvorcový, od r a = 0 v podstate sa transformuje na lineárnu rovnicu b x + c = 0.

V prípade, že koeficienty b A c sa rovnajú nule (čo je možné jednotlivo aj spoločne), kvadratická rovnica sa nazýva neúplná.

Definícia 4

Neúplná kvadratická rovnica je kvadratická rovnica a x 2 + b x + c \u003d 0, kde je aspoň jeden z koeficientov b A c(alebo oboje) je nula.

Kompletná kvadratická rovnica je kvadratická rovnica, v ktorej sa všetky číselné koeficienty nerovnajú nule.

Poďme diskutovať o tom, prečo sa typom kvadratických rovníc dávajú práve takéto názvy.

Pre b = 0 má kvadratická rovnica tvar a x 2 + 0 x + c = 0, ktorý je rovnaký ako a x 2 + c = 0. O c = 0 kvadratická rovnica je napísaná ako a x 2 + b x + 0 = 0, čo je ekvivalentné a x 2 + b x = 0. O b = 0 A c = 0 rovnica bude mať tvar a x 2 = 0. Rovnice, ktoré sme získali, sa líšia od úplnej kvadratickej rovnice tým, že ich ľavé strany neobsahujú ani člen s premennou x, ani voľný člen, ani oboje naraz. V skutočnosti táto skutočnosť dala tomuto typu rovníc názov - neúplné.

Napríklad x 2 + 3 x + 4 = 0 a − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 sú úplné kvadratické rovnice; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 sú neúplné kvadratické rovnice.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc

Vyššie uvedená definícia umožňuje rozlíšiť nasledujúce typy neúplných kvadratických rovníc:

• a x 2 = 0, koeficienty zodpovedajú takejto rovnici b = 0 a c = 0;
• a x 2 + c \u003d 0 pre b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0 pre c = 0 .

Zvážte postupne riešenie každého typu neúplnej kvadratickej rovnice.

Riešenie rovnice a x 2 \u003d 0

Ako už bolo uvedené vyššie, takáto rovnica zodpovedá koeficientom b A c, rovná nule. Rovnica a x 2 = 0 možno previesť na ekvivalentnú rovnicu x2 = 0, ktorý dostaneme vydelením oboch strán pôvodnej rovnice číslom a, nerovná sa nule. Zjavným faktom je, že koreň rovnice x2 = 0 je nula, pretože 0 2 = 0 . Táto rovnica nemá žiadne iné korene, čo je vysvetlené vlastnosťami stupňa: pre akékoľvek číslo p , nerovná sa nule, nerovnosť je pravdivá p2 > 0, z ktorého vyplýva, že kedy p ≠ 0 rovnosť p2 = 0 nikdy nebude dosiahnuté.

Definícia 5

Pre neúplnú kvadratickú rovnicu a x 2 = 0 teda existuje jedinečný koreň x=0.

Príklad 2

Napríklad vyriešme neúplnú kvadratickú rovnicu − 3 x 2 = 0. Je ekvivalentná rovnici x2 = 0, jej jediným koreňom je x=0, potom má pôvodná rovnica jediný koreň - nulu.

Riešenie je zhrnuté takto:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Riešenie rovnice a x 2 + c \u003d 0

Ďalšie v poradí je riešenie neúplných kvadratických rovníc, kde b \u003d 0, c ≠ 0, teda rovnice tvaru a x 2 + c = 0. Transformujme túto rovnicu tak, že prenesieme člen z jednej strany rovnice na druhú, zmeníme znamienko na opačné a obe strany rovnice vydelíme číslom, ktoré sa nerovná nule:

• vydržať c na pravú stranu, čo dáva rovnicu a x 2 = − c;
• vydeľte obe strany rovnice a, dostaneme ako výsledok x = - c a .

Naše transformácie sú ekvivalentné, respektíve výsledná rovnica je ekvivalentná aj pôvodnej a táto skutočnosť umožňuje vyvodiť záver o koreňoch rovnice. Z akých sú hodnoty a A c závisí od hodnoty výrazu - c a: môže mať znamienko mínus (napríklad ak a = 1 A c = 2, potom - c a = - 2 1 = - 2) alebo znamienko plus (napríklad ak a = -2 A c=6 potom - ca = - 6 - 2 = 3); nerovná sa nule, pretože c ≠ 0. Zastavme sa podrobnejšie pri situáciách, keď - c a< 0 и - c a > 0 .

V prípade, keď - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p rovnosť p 2 = - c a nemôže byť pravdivá.

Všetko je iné, keď - c a > 0: zapamätajte si druhú odmocninu a bude zrejmé, že koreň rovnice x 2 \u003d - c a bude číslo - c a, pretože - c a 2 \u003d - c a. Je ľahké pochopiť, že číslo - - c a - je tiež koreňom rovnice x 2 = - c a: skutočne - - c a 2 = - c a .

Rovnica nebude mať žiadne iné korene. Môžeme to demonštrovať opačnou metódou. Najprv nastavme zápis koreňov nájdených vyššie ako x 1 A − x 1. Predpokladajme, že aj rovnica x 2 = - c a má koreň x2, ktorý sa líši od koreňov x 1 A − x 1. Vieme to dosadením do rovnice namiesto X jej korene, transformujeme rovnicu na spravodlivú číselnú rovnosť.

Pre x 1 A − x 1 napíšte: x 1 2 = - c a , a pre x2- x 2 2 \u003d - c a. Na základe vlastností číselných rovníc odčítame jednu skutočnú rovnosť od iného člena po člene, čo nám dá: x 1 2 − x 2 2 = 0. Použite vlastnosti číselných operácií na prepísanie poslednej rovnosti ako (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Je známe, že súčin dvoch čísel je nula vtedy a len vtedy, ak aspoň jedno z čísel je nula. Z toho, čo bolo povedané, to vyplýva x1 − x2 = 0 a/alebo x1 + x2 = 0, čo je to isté x2 = x1 a/alebo x 2 = − x 1. Vznikol zjavný rozpor, pretože najprv sa zhodlo, že koreň rovnice x2 sa líši od x 1 A − x 1. Takže sme dokázali, že rovnica nemá iné korene ako x = - ca a x = - - c a .

Zhrnieme všetky vyššie uvedené argumenty.

Definícia 6

Neúplná kvadratická rovnica a x 2 + c = 0 je ekvivalentná rovnici x 2 = - c a , ktorá:

• nebude mať korene na - c a< 0 ;
• bude mať dva korene x = - ca a x = - - c a, keď - c a > 0 .

Uveďme príklady riešenia rovníc a x 2 + c = 0.

Príklad 3

Daná kvadratická rovnica 9 x 2 + 7 = 0. Je potrebné nájsť jeho riešenie.

Riešenie

Voľný člen prenesieme na pravú stranu rovnice, potom bude mať rovnica tvar 9 x 2 \u003d - 7.
Obe strany výslednej rovnice vydelíme o 9 , dostaneme sa k x 2 = - 7 9 . Na pravej strane vidíme číslo so znamienkom mínus, čo znamená: daná rovnica nemá korene. Potom pôvodná neúplná kvadratická rovnica 9 x 2 + 7 = 0 nebude mať korene.

odpoveď: rovnica 9 x 2 + 7 = 0 nemá korene.

Príklad 4

Je potrebné vyriešiť rovnicu − x2 + 36 = 0.

Riešenie

Presuňme sa o 36 na pravú stranu: − x 2 = − 36.
Rozdeľme si obe časti na − 1 , dostaneme x2 = 36. Na pravej strane je kladné číslo, z čoho to môžeme usúdiť x = 36 resp x = -36.
Extrahujeme koreň a napíšeme konečný výsledok: neúplnú kvadratickú rovnicu − x2 + 36 = 0 má dva korene x=6 alebo x = -6.

odpoveď: x=6 alebo x = -6.

Riešenie rovnice a x 2 +b x=0

Analyzujme tretí druh neúplných kvadratických rovníc, keď c = 0. Nájsť riešenie neúplnej kvadratickej rovnice a x 2 + b x = 0, používame metódu faktorizácie. Rozložme na faktor polynóm, ktorý je na ľavej strane rovnice, pričom spoločný faktor vyjmeme zo zátvoriek X. Tento krok umožní transformovať pôvodnú neúplnú kvadratickú rovnicu na jej ekvivalent x (a x + b) = 0. A táto rovnica je zase ekvivalentná množine rovníc x=0 A a x + b = 0. Rovnica a x + b = 0 lineárny a jeho koreň: x = − b a.

Definícia 7

Teda neúplná kvadratická rovnica a x 2 + b x = 0 bude mať dva korene x=0 A x = − b a.

Upevnime materiál na príklade.

Príklad 5

Je potrebné nájsť riešenie rovnice 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

Riešenie

Vyberieme X mimo zátvorky a získajte rovnicu x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Táto rovnica je ekvivalentná s rovnicami x=0 a 23x-227 = 0. Teraz by ste mali vyriešiť výslednú lineárnu rovnicu: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Stručne povedané, riešenie rovnice zapíšeme takto:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 alebo 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 alebo x = 3 3 7

odpoveď: x = 0, x = 337.

Diskriminant, vzorec koreňov kvadratickej rovnice

Na nájdenie riešenia kvadratických rovníc existuje koreňový vzorec:

Definícia 8

x = - b ± D 2 a, kde D = b 2 − 4 a c je takzvaný diskriminant kvadratickej rovnice.

Zápis x \u003d - b ± D 2 a v podstate znamená, že x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Bude užitočné pochopiť, ako bol uvedený vzorec odvodený a ako ho použiť.

Odvodenie vzorca koreňov kvadratickej rovnice

Predpokladajme, že stojíme pred úlohou vyriešiť kvadratickú rovnicu a x 2 + b x + c = 0. Urobme niekoľko ekvivalentných transformácií:

• vydeľ obe strany rovnice číslom a, odlišné od nuly, získame redukovanú kvadratickú rovnicu: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• vyberte celý štvorec na ľavej strane výslednej rovnice:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  Potom bude mať rovnica tvar: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• teraz je možné preniesť posledné dva členy na pravú stranu, pričom znamienko zmeníme na opačné, po čom dostaneme: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• nakoniec transformujeme výraz napísaný na pravej strane poslednej rovnosti:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Dospeli sme teda k rovnici x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2, ktorá je ekvivalentná pôvodnej rovnici a x 2 + b x + c = 0.

O riešení takýchto rovníc sme hovorili v predchádzajúcich odsekoch (riešenie neúplných kvadratických rovníc). Už získané skúsenosti umožňujú vyvodiť záver o koreňoch rovnice x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• pre b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• pre b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 má rovnica tvar x + b 2 · a 2 = 0, potom x + b 2 · a = 0.

Odtiaľto je zrejmý jediný koreň x = - b 2 · a;

• pre b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0 je správne: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 alebo x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , čo je rovnako ako x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 alebo x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, t.j. rovnica má dva korene.

Je možné dospieť k záveru, že prítomnosť alebo neprítomnosť koreňov rovnice x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (a teda pôvodnej rovnice) závisí od znamienka výrazu b 2 - 4 a c 4 · a 2 napísané na pravej strane. A znak tohto výrazu je daný znakom čitateľa (menovateľ 4 a 2 bude vždy kladný), teda znak výrazu b 2 − 4 a c. Tento výraz b 2 − 4 a c je uvedený názov - diskriminant kvadratickej rovnice a písmeno D je definované ako jej označenie. Tu môžete napísať podstatu diskriminantu - podľa jeho hodnoty a znamienka usudzujú, či kvadratická rovnica bude mať skutočné korene, a ak áno, koľko koreňov - jeden alebo dva.

Vráťme sa k rovnici x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Prepíšme to diskriminačným zápisom: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Zopakujme si závery:

Definícia 9

• pri D< 0 rovnica nemá skutočné korene;
• pri D = 0 rovnica má jeden koreň x = - b 2 · a ;
• pri D > 0 rovnica má dva korene: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 alebo x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Na základe vlastností radikálov možno tieto korene zapísať ako: x \u003d - b 2 a + D 2 a alebo - b 2 a - D 2 a. A keď otvoríme moduly a zredukujeme zlomky na spoločného menovateľa, dostaneme: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Takže výsledkom našej úvahy bolo odvodenie vzorca pre korene kvadratickej rovnice:

x = - b + D2a, x = -b - D2a, diskriminant D vypočítané podľa vzorca D = b 2 − 4 a c.

Tieto vzorce umožňujú, keď je diskriminant väčší ako nula, určiť oba skutočné korene. Keď je diskriminant nulový, použitie oboch vzorcov poskytne rovnaký koreň ako jediné riešenie kvadratickej rovnice. V prípade, keď je diskriminant záporný, pri pokuse použiť vzorec kvadratickej odmocniny, budeme čeliť potrebe extrahovať druhú odmocninu z záporné číslo, ktorá nás prenesie za reálne čísla. S negatívnym diskriminantom nebude mať kvadratická rovnica skutočné korene, ale je možný pár komplexne konjugovaných koreňov, určených rovnakými koreňovými vzorcami, aké sme získali.

Algoritmus riešenia kvadratických rovníc pomocou koreňových vzorcov

Je možné vyriešiť kvadratickú rovnicu okamžite pomocou koreňového vzorca, ale v zásade sa to robí, keď je potrebné nájsť zložité korene.

Vo väčšine prípadov sa hľadanie zvyčajne nezameriava na komplexné, ale na skutočné korene kvadratickej rovnice. Potom je optimálne pred použitím vzorcov pre korene kvadratickej rovnice najprv určiť diskriminant a uistiť sa, že nie je záporný (inak dôjdeme k záveru, že rovnica nemá žiadne skutočné korene), a potom pristúpiť k výpočtu hodnotu koreňov.

Vyššie uvedené úvahy umožňujú formulovať algoritmus na riešenie kvadratickej rovnice.

Definícia 10

Na vyriešenie kvadratickej rovnice a x 2 + b x + c = 0, potrebné:

• podľa vzorca D = b 2 − 4 a c nájsť hodnotu diskriminantu;
• v D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• pre D = 0 nájdite jediný koreň rovnice podľa vzorca x = - b 2 · a ;
• pre D > 0 určte dva reálne korene kvadratickej rovnice podľa vzorca x = - b ± D 2 · a.

Všimnite si, že keď je diskriminant nulový, môžete použiť vzorec x = - b ± D 2 · a , dostane rovnaký výsledok ako vzorec x = - b 2 · a .

Zvážte príklady.

Príklady riešenia kvadratických rovníc

Uveďme príklad riešenia pre rôzne hodnoty diskriminačný.

Príklad 6

Je potrebné nájsť korene rovnice x 2 + 2 x - 6 = 0.

Riešenie

Zapisujeme číselné koeficienty kvadratickej rovnice: a \u003d 1, b \u003d 2 a c = - 6. Ďalej konáme podľa algoritmu, t.j. Začnime s výpočtom diskriminantu, za ktorý dosadíme koeficienty a , b A c do diskriminačného vzorca: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Takže sme dostali D > 0, čo znamená, že pôvodná rovnica bude mať dva skutočné korene.
Na ich nájdenie používame koreňový vzorec x \u003d - b ± D 2 · a a nahradením príslušných hodnôt dostaneme: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Výsledný výraz zjednodušíme odstránením faktora zo znamienka odmocniny a následnou redukciou zlomku:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 alebo x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 alebo x = - 1 - 7

odpoveď: x = -1 + 7, x = -1-7.

Príklad 7

Je potrebné vyriešiť kvadratickú rovnicu − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Riešenie

Definujme diskriminant: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Pri tejto hodnote diskriminantu bude mať pôvodná rovnica len jeden koreň, určený vzorcom x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

odpoveď: x = 3,5.

Príklad 8

Je potrebné vyriešiť rovnicu 5 y2 + 6 y + 2 = 0

Riešenie

Číselné koeficienty tejto rovnice budú: a = 5 , b = 6 a c = 2 . Na nájdenie diskriminantu použijeme tieto hodnoty: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Vypočítaný diskriminant je záporný, takže pôvodná kvadratická rovnica nemá žiadne skutočné korene.

V prípade, že úlohou je označiť komplexné korene, použijeme koreňový vzorec vykonaním operácií s komplexnými číslami:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 alebo x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i alebo x = - 3 5 - 1 5 i.

odpoveď: neexistujú žiadne skutočné korene; komplexné korene sú: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

IN školské osnovyštandardne neexistuje požiadavka hľadať komplexné korene, preto ak je diskriminant pri riešení určený ako záporný, okamžite sa zaznamená odpoveď, že neexistujú žiadne skutočné korene.

Koreňový vzorec pre párne sekundové koeficienty

Koreňový vzorec x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) umožňuje získať iný, kompaktnejší vzorec, ktorý vám umožní nájsť riešenia kvadratických rovníc s párnym koeficientom na x (alebo s koeficientom tvaru 2 a n, napríklad 2 3 alebo 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Ukážme si, ako je tento vzorec odvodený.

Predpokladajme, že stojíme pred úlohou nájsť riešenie kvadratickej rovnice a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Postupujeme podľa algoritmu: určíme diskriminant D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , a potom použijeme koreňový vzorec:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Označme výraz n 2 − a c ako D 1 (niekedy sa označuje aj D "). Potom vzorec pre korene uvažovanej kvadratickej rovnice s druhým koeficientom 2 n bude mať tvar:

x \u003d - n ± D 1 a, kde D 1 \u003d n 2 - a c.

Je ľahké vidieť, že D = 4 · D 1 alebo D 1 = D 4 . Inými slovami, D 1 je štvrtina diskriminantu. Je zrejmé, že znamienko D 1 je rovnaké ako znamienko D, čo znamená, že znamienko D 1 môže slúžiť aj ako indikátor prítomnosti alebo neprítomnosti koreňov kvadratickej rovnice.

Definícia 11

Na nájdenie riešenia kvadratickej rovnice s druhým koeficientom 2 n je teda potrebné:

• nájdite D 1 = n 2 − a c ;
• v D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• pre D 1 = 0 určte jediný koreň rovnice podľa vzorca x = - n a ;
• pre D 1 > 0 určte dva skutočné korene pomocou vzorca x = - n ± D 1 a.

Príklad 9

Je potrebné vyriešiť kvadratickú rovnicu 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Riešenie

Druhý koeficient danej rovnice môže byť reprezentovaný ako 2 · (− 3) . Potom danú kvadratickú rovnicu prepíšeme ako 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , kde a = 5 , n = − 3 a c = − 32 .

Vypočítajme štvrtú časť diskriminantu: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Výsledná hodnota je kladná, čo znamená, že rovnica má dva reálne korene. Definujeme ich zodpovedajúcim vzorcom koreňov:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 alebo x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 alebo x = - 2

Bolo by možné vykonať výpočty pomocou obvyklého vzorca pre korene kvadratickej rovnice, ale v tomto prípade by bolo riešenie ťažkopádnejšie.

odpoveď: x = 315 alebo x = -2.

Zjednodušenie tvaru kvadratických rovníc

Niekedy je možné optimalizovať tvar pôvodnej rovnice, čo zjednoduší proces výpočtu koreňov.

Napríklad kvadratická rovnica 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 je jednoznačne vhodnejšia na riešenie ako 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Častejšie sa zjednodušenie tvaru kvadratickej rovnice vykonáva vynásobením alebo delením jej oboch častí určitým číslom. Napríklad vyššie sme ukázali zjednodušené znázornenie rovnice 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, získanej delením oboch jej častí číslom 100.

Takáto transformácia je možná, keď koeficienty kvadratickej rovnice nie sú navzájom základné čísla. Potom je bežné deliť obe strany rovnice najväčšou spoločný deliteľ absolútne hodnoty jeho koeficientov.

Ako príklad použijeme kvadratickú rovnicu 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Definujme gcd absolútnych hodnôt jeho koeficientov: gcd (12, 42, 48) = gcd(gcd (12, 42) , 48) = gcd (6, 48) = 6. Vydelme obe časti pôvodnej kvadratickej rovnice 6 a dostaneme ekvivalentnú kvadratickú rovnicu 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Vynásobením oboch strán kvadratickej rovnice sa zvyčajne eliminujú zlomkové koeficienty. V tomto prípade vynásobte najmenším spoločným násobkom menovateľov jeho koeficientov. Napríklad, ak sa každá časť kvadratickej rovnice 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 vynásobí LCM (6, 3, 1) \u003d 6, potom bude napísaná v jednoduchšom tvare x 2 + 4 x - 18 = 0.

Nakoniec si všimneme, že takmer vždy sa zbavte mínusu pri prvom koeficiente kvadratickej rovnice, pričom sa menia znamienka každého člena rovnice, čo sa dosiahne vynásobením (alebo delením) oboch častí − 1. Napríklad z kvadratickej rovnice - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0 môžete prejsť na jej zjednodušenú verziu 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Vzťah medzi koreňmi a koeficientmi

Už známy vzorec pre korene kvadratických rovníc x = - b ± D 2 · a vyjadruje korene rovnice v zmysle jej číselných koeficientov. Na základe tohto vzorca máme možnosť nastaviť ďalšie závislosti medzi koreňmi a koeficientmi.

Najznámejšie a použiteľné sú vzorce Vietovej vety:

x 1 + x 2 \u003d - ba a x 2 \u003d c a.

Konkrétne pre danú kvadratickú rovnicu je súčet koreňov druhým koeficientom s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu. Napríklad tvarom kvadratickej rovnice 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0 je možné okamžite určiť, že súčet jej koreňov je 7 3 a súčin koreňov je 22 3.

Medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice môžete nájsť aj množstvo ďalších vzťahov. Napríklad súčet druhých mocnín koreňov kvadratickej rovnice možno vyjadriť pomocou koeficientov:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Pomocou tohto matematického programu môžete vyriešiť kvadratickú rovnicu.

Program nielenže dáva odpoveď na problém, ale tiež zobrazuje proces riešenia dvoma spôsobmi:
- pomocou diskriminantu
- pomocou Vietovej vety (ak je to možné).

Okrem toho sa odpoveď zobrazuje presná, nie približná.
Napríklad pre rovnicu \(81x^2-16x-1=0\) sa odpoveď zobrazí v tomto tvare:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ namiesto tohto: \(x_1 = 0,247; \ quad x_2 = -0,05 \)

Tento program môže byť užitočný pre študentov stredných škôl všeobecnovzdelávacie školy v príprave na kontrolná práca a skúškach, pri preverovaní vedomostí pred skúškou rodičia na ovládanie riešenia mnohých úloh z matematiky a algebry. Alebo možno je pre vás príliš drahé najať si tútora alebo kúpiť nové učebnice? Alebo len chcete mať čo najrýchlejšie domácu úlohu z matematiky či algebry? V tomto prípade môžete využiť aj naše programy s detailným riešením.

Týmto spôsobom môžete viesť svoj vlastný tréning a/alebo trénovať svoje mladší bratiači sestry, pričom sa zvyšuje úroveň vzdelania v oblasti riešených úloh.

Ak nie ste oboznámení s pravidlami zadávania štvorcového polynómu, odporúčame vám sa s nimi oboznámiť.

Pravidlá pre zadávanie štvorcového polynómu

Akékoľvek latinské písmeno môže fungovať ako premenná.
Napríklad: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) atď.

Čísla je možné zadávať ako celé čísla alebo zlomky.
navyše zlomkové čísla možno zadať nielen ako desatinné číslo, ale aj ako obyčajný zlomok.

Pravidlá pre zadávanie desatinných zlomkov.
V desatinných zlomkoch možno zlomkovú časť od celého čísla oddeliť buď bodkou alebo čiarkou.
Môžete napríklad zadať desatinné miesta takže: 2,5x - 3,5x^2

Pravidlá pre zadávanie obyčajných zlomkov.
Len celé číslo môže fungovať ako čitateľ, menovateľ a celá časť zlomku.

Menovateľ nemôže byť záporný.

Keď vstúpite číselný zlomokČitateľ je oddelený od menovateľa deliacim znamienkom: /
Časť celého čísla je oddelená od zlomku znakom ampersand: &
Vstup: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Výsledok: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Pri zadávaní výrazu môžete použiť zátvorky. V tomto prípade sa pri riešení kvadratickej rovnice najskôr zjednoduší zavedený výraz.
Napríklad: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Rozhodnite sa

Zistilo sa, že niektoré skripty potrebné na vyriešenie tejto úlohy neboli načítané a program nemusí fungovať.
Možno máte povolený AdBlock.
V takom prípade ho vypnite a obnovte stránku.

V prehliadači máte vypnutý JavaScript.
Aby sa riešenie zobrazilo, musí byť povolený JavaScript.
Tu je návod, ako povoliť JavaScript vo vašom prehliadači.

Pretože Existuje veľa ľudí, ktorí chcú problém vyriešiť, vaša požiadavka je v rade.
Po niekoľkých sekundách sa riešenie zobrazí nižšie.
Prosím čakajte sek...

Ak ty si všimol chybu v riešení, potom o tom môžete napísať do Formulára spätnej väzby .
Nezabudni uveďte akú úlohu ty sa rozhodneš čo zadajte do polí.

Naše hry, hádanky, emulátory:

Trochu teórie.

Kvadratická rovnica a jej korene. Neúplné kvadratické rovnice

Každá z rovníc
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
má formu
\(ax^2+bx+c=0, \)
kde x je premenná, a, b a c sú čísla.
V prvej rovnici a = -1, b = 6 a c = 1,4, v druhej a = 8, b = -7 a c = 0, v tretej a = 1, b = 0 a c = 4/9. Takéto rovnice sa nazývajú kvadratické rovnice.

Definícia.
kvadratická rovnica nazývame rovnicu v tvare ax 2 +bx+c=0, kde x je premenná, a, b a c sú nejaké čísla a \(a \neq 0 \).

Čísla a, b a c sú koeficienty kvadratickej rovnice. Číslo a sa nazýva prvý koeficient, číslo b je druhý koeficient a číslo c je priesečník.

V každej z rovníc tvaru ax 2 +bx+c=0, kde \(a \neq 0 \), je najväčšia mocnina premennej x druhá mocnina. Odtiaľ názov: kvadratická rovnica.

Všimnite si, že kvadratická rovnica sa tiež nazýva rovnica druhého stupňa, pretože jej ľavá strana je polynómom druhého stupňa.

Nazýva sa kvadratická rovnica, v ktorej koeficient v x 2 je 1 redukovaná kvadratická rovnica. Napríklad dané kvadratické rovnice sú rovnice
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Ak sa v kvadratickej rovnici ax 2 +bx+c=0 aspoň jeden z koeficientov b alebo c rovná nule, potom sa takáto rovnica nazýva neúplná kvadratická rovnica. Takže rovnice -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 sú neúplné kvadratické rovnice. V prvom z nich b=0, v druhom c=0, v treťom b=0 a c=0.

Neúplné kvadratické rovnice sú troch typov:
1) ax 2 +c=0, kde \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, kde \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Zvážte riešenie rovníc každého z týchto typov.

Na vyriešenie neúplnej kvadratickej rovnice v tvare ax 2 +c=0 pre \(c \neq 0 \) sa jej voľný člen prenesie na pravú stranu a obe časti rovnice sa vydelia a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Šípka doprava x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Pretože \(c \neq 0 \), potom \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Ak \(-\frac(c)(a)>0 \), potom má rovnica dva korene.

Ak \(-\frac(c)(a) Na vyriešenie neúplnej kvadratickej rovnice v tvare ax 2 +bx=0 pre \(b \neq 0 \) rozkladajte jej ľavú stranu na faktor a získajte rovnicu
\(x(ax+b)=0 \šípka doprava \vľavo\( \začiatok(pole)(l) x=0 \\ ax+b=0 \koniec(pole) \vpravo. \šípka doprava \vľavo\( \začiatok (pole)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(pole) \vpravo. \)

Neúplná kvadratická rovnica tvaru ax 2 +bx=0 pre \(b \neq 0 \) má teda vždy dva korene.

Neúplná kvadratická rovnica tvaru ax 2 \u003d 0 je ekvivalentná rovnici x 2 \u003d 0, a preto má jeden koreň 0.

Vzorec pre korene kvadratickej rovnice

Uvažujme teraz, ako sa riešia kvadratické rovnice, v ktorých sú koeficienty neznámych aj voľný člen nenulové.

Kvadratickú rovnicu riešime vo všeobecnom tvare a výsledkom je vzorec koreňov. Potom sa tento vzorec môže použiť na riešenie akejkoľvek kvadratickej rovnice.

Vyriešte kvadratickú rovnicu ax 2 +bx+c=0

Vydelením oboch jej častí a získame ekvivalentnú redukovanú kvadratickú rovnicu
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Túto rovnicu transformujeme zvýraznením štvorca dvojčlenu:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \šípka doprava \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \šípka doprava \) \(\vľavo(x+\frac(b)(2a)\vpravo)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \šípka doprava \left(x+\frac(b)(2a)\vpravo)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \šípka doprava \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Šípka doprava x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \šípka doprava \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Koreňový výraz je tzv diskriminant kvadratickej rovnice ax 2 +bx+c=0 („diskriminačný“ v latinčine - rozlišovač). Označuje sa písmenom D, t.j.
\(D = b^2-4ac\)

Teraz pomocou zápisu diskriminantu prepíšeme vzorec pre korene kvadratickej rovnice:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), kde \(D= b^2-4ac \)

Je zrejmé, že:
1) Ak D>0, potom má kvadratická rovnica dva korene.
2) Ak D=0, potom má kvadratická rovnica jeden koreň \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Ak D Teda v závislosti od hodnoty diskriminantu môže mať kvadratická rovnica dva korene (pre D > 0), jeden koreň (pre D = 0) alebo žiadne korene (pre D Pri riešení kvadratickej rovnice pomocou tohto vzorca , je vhodné postupovať nasledovne:
1) vypočítajte diskriminant a porovnajte ho s nulou;
2) ak je diskriminant kladný alebo rovný nule, potom použite koreňový vzorec, ak je diskriminant záporný, napíšte, že neexistujú žiadne korene.

Vietov teorém

Daná kvadratická rovnica ax 2 -7x+10=0 má korene 2 a 5. Súčet koreňov je 7 a súčin je 10. Vidíme, že súčet koreňov sa rovná druhému koeficientu získanému pomocou opačné znamienko a súčin koreňov sa rovná voľnému členu. Túto vlastnosť má každá redukovaná kvadratická rovnica, ktorá má korene.

Súčet koreňov danej kvadratickej rovnice sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu.

Tie. Vietova veta hovorí, že korene x 1 a x 2 redukovanej kvadratickej rovnice x 2 +px+q=0 majú vlastnosť:
\(\vľavo\( \začiatok(pole)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \koniec(pole) \vpravo. \)