Najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok sú kľúčové aritmetické pojmy, ktoré vám umožňujú pracovať bez námahy obyčajné zlomky. LCM a sa najčastejšie používajú na nájdenie spoločného menovateľa viacerých zlomkov.

Základné pojmy

Deliteľ celého čísla X je ďalšie celé číslo Y, ktorým sa X delí bez zanechania zvyšku. Napríklad deliteľ čísla 4 je 2 a 36 je 4, 6, 9. Násobkom celého čísla X je číslo Y, ktoré je deliteľné X bez zvyšku. Napríklad 3 je násobok 15 a 6 je násobok 12.

Pre každú dvojicu čísel môžeme nájsť ich spoločných deliteľov a násobkov. Napríklad pre 6 a 9 je spoločný násobok 18 a spoločný deliteľ 3. Je zrejmé, že páry môžu mať niekoľko deliteľov a násobkov, takže výpočty používajú najväčšieho deliteľa GCD a najmenšieho násobku LCM.

Najmenší deliteľ nemá význam, pretože pre každé číslo je vždy jedna. Najväčší násobok je tiež nezmyselný, pretože postupnosť násobkov siaha do nekonečna.

Hľadá sa gcd

Existuje mnoho metód na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa, z ktorých najznámejšie sú:

• postupné vyhľadávanie deliteľov, výber spoločných pre pár a hľadanie najväčšieho z nich;
• rozklad čísel na nedeliteľné faktory;
• euklidovský algoritmus;
• binárny algoritmus.

Dnes sú vo vzdelávacích inštitúciách najpopulárnejšími metódami rozklad na hlavné faktory a euklidovský algoritmus. Ten sa zase používa pri riešení diofantických rovníc: hľadanie GCD je potrebné na kontrolu rovnice na možnosť rozlíšenia v celých číslach.

Nájdenie NOC

Najmenší spoločný násobok sa určí aj postupným vyhľadávaním alebo rozkladom na nedeliteľné faktory. Okrem toho je ľahké nájsť LCM, ak už bol určený najväčší deliteľ. Pre čísla X a Y sú LCM a GCD spojené nasledujúcim vzťahom:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

Ak napríklad GCM(15,18) = 3, potom LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Najzrejmejším príkladom použitia LCM je nájsť spoločného menovateľa, ktorým je najmenší spoločný násobok dané zlomky.

Coprime čísla

Ak dvojica čísel nemá spoločných deliteľov, potom sa takáto dvojica nazýva koprimá. Gcd pre takéto páry sa vždy rovná jednej a na základe spojenia medzi deliteľmi a násobkami sa gcd pre párové páry rovná ich súčinu. Napríklad čísla 25 a 28 sú relatívne prvočísla, pretože nemajú spoločných deliteľov, a LCM(25, 28) = 700, čo zodpovedá ich súčinu. Akékoľvek dve nedeliteľné čísla budú vždy relatívne prvočísla.

Spoločný deliteľ a viacnásobná kalkulačka

Pomocou našej kalkulačky môžete vypočítať GCD a LCM pre ľubovoľný počet čísel, z ktorých si môžete vybrať. Úlohy týkajúce sa výpočtu spoločných deliteľov a násobkov sa nachádzajú v aritmetike 5. a 6. ročníka, ale GCD a LCM sú kľúčové pojmy v matematike a používajú sa v teórii čísel, planimetrii a komunikačnej algebre.

Príklady zo života

Spoločný menovateľ zlomkov

Najmenší spoločný násobok sa používa pri hľadaní spoločného menovateľa viacerých zlomkov. Povedzme, že v aritmetickom probléme potrebujete sčítať 5 zlomkov:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Ak chcete pridať zlomky, výraz sa musí zredukovať na spoločného menovateľa, čím sa zníži problém s nájdením LCM. Ak to chcete urobiť, vyberte v kalkulačke 5 čísel a do príslušných buniek zadajte hodnoty menovateľov. Program vypočíta LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Teraz musíte pre každý zlomok vypočítať ďalšie faktory, ktoré sú definované ako pomer LCM k menovateľovi. Takže dodatočné multiplikátory budú vyzerať takto:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Potom vynásobíme všetky zlomky zodpovedajúcim dodatočným faktorom a dostaneme:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Takéto zlomky môžeme ľahko sčítať a dostaneme výsledok 159/360. Zlomok znížime o 3 a uvidíme konečnú odpoveď - 53/120.

Riešenie lineárnych diofantických rovníc

Lineárne diofantické rovnice sú vyjadrením tvaru ax + by = d. Ak je pomer d / gcd(a, b) celé číslo, potom je rovnica riešiteľná v celých číslach. Pozrime sa na pár rovníc, aby sme zistili, či majú celočíselné riešenie. Najprv si skontrolujme rovnicu 150x + 8y = 37. Pomocou kalkulačky zistíme GCD (150,8) = 2. Vydelíme 37/2 = 18,5. Číslo nie je celé číslo, preto rovnica nemá celé korene.

Skontrolujeme rovnicu 1320x + 1760y = 10120. Pomocou kalkulačky nájdite GCD(1320, 1760) = 440. Vydeľte 10120/440 = 23. Výsledkom je celé číslo, preto je diofantínska rovnica riešiteľná v .

Záver

GCD a LCM zohrávajú veľkú úlohu v teórii čísel a samotné koncepty sa široko používajú v širokej škále oblastí matematiky. Použite našu kalkulačku na výpočet najväčších deliteľov a najmenších násobkov ľubovoľného počtu čísel.

Pozrime sa na tri spôsoby, ako nájsť najmenší spoločný násobok.

Zisťovanie faktorizáciou

Prvým spôsobom je nájsť najmenší spoločný násobok rozdelením daných čísel na prvočísla.

Povedzme, že potrebujeme nájsť LCM čísel: 99, 30 a 28. Aby sme to urobili, rozložme každé z týchto čísel do prvočíselných faktorov:

Aby bolo požadované číslo deliteľné 99, 30 a 28, je potrebné a postačujúce, aby zahŕňalo všetky prvočísla týchto deliteľov. Aby sme to dosiahli, musíme zobrať všetky prvočísla týchto čísel na najväčšiu možnú silu a vynásobiť ich:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

LCM (99, 30, 28) = 13 860. Žiadne iné číslo menšie ako 13 860 nie je deliteľné 99, 30 alebo 28.

Ak chcete nájsť najmenší spoločný násobok daných čísel, započítajte ich do ich prvočísel, potom zoberte každý prvočiniteľ s najväčším exponentom, v ktorom sa vyskytuje, a vynásobte tieto faktory dohromady.

Keďže je to vzájomné základné čísla nemajú spoločné prvočísla, potom sa ich najmenší spoločný násobok rovná súčinu týchto čísel. Napríklad tri čísla: 20, 49 a 33 sú relatívne prvočísla. Preto

LCM (20, 49, 33) = 204933 = 32,340.

To isté treba urobiť pri hľadaní najmenšieho spoločného násobku rôznych prvočísel. Napríklad LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Hľadanie výberom

Druhý spôsob je nájsť najmenší spoločný násobok výberom.

Príklad 1. Keď je najväčšie z daných čísel delené iným daným číslom, potom sa LCM týchto čísel rovná najväčšiemu z nich. Napríklad zadané štyri čísla: 60, 30, 10 a 6. Každé z nich je deliteľné 60, preto:

NOC(60; 30; 10; 6) = 60

V ostatných prípadoch sa na nájdenie najmenšieho spoločného násobku používa nasledujúci postup:

1. Určte najväčšie číslo z daných čísel.
2. Ďalej nájdeme čísla, ktoré sú násobkami najväčšieho čísla tak, že ho vynásobíme prirodzenými číslami v rastúcom poradí a skontrolujeme, či je výsledný súčin deliteľný zvyšnými danými číslami.

Príklad 2. Dané tri čísla 24, 3 a 18. Určíme najväčšie z nich – toto je číslo 24. Ďalej nájdeme čísla, ktoré sú násobkami 24, pričom skontrolujeme, či je každé z nich deliteľné 18 a 3:

24 · 1 = 24 - deliteľné 3, ale nie deliteľné 18.

24 · 2 = 48 - deliteľné 3, ale nie deliteľné 18.

24 3 \u003d 72 - deliteľné 3 a 18.

LCM (24, 3, 18) = 72.

Hľadanie postupným hľadaním LCM

Treťou metódou je nájsť najmenší spoločný násobok postupným hľadaním LCM.

LCM dvoch daných čísel sa rovná súčinu týchto čísel vydelenému ich najväčším spoločným deliteľom.

Príklad 1. Nájdite LCM dvoch daných čísel: 12 a 8. Určte ich najväčšieho spoločného deliteľa: GCD (12, 8) = 4. Vynásobte tieto čísla:

Produkt delíme podľa ich gcd:

Takže LCM(12; 8) = 24.

Ak chcete nájsť LCM troch alebo viacerých čísel, použite nasledujúci postup:

1. Najprv nájdite LCM ľubovoľných dvoch z týchto čísel.
2. Potom LCM nájdeného najmenšieho spoločného násobku a tretieho daného čísla.
3. Potom LCM výsledného najmenšieho spoločného násobku a štvrtého čísla atď.
4. Hľadanie LCM teda pokračuje, pokiaľ existujú čísla.

Príklad 2. Nájdite LCM troch daných čísel: 12, 8 a 9. Už sme našli LCM čísel 12 a 8 v predchádzajúcom príklade (toto je číslo 24). Zostáva nájsť najmenší spoločný násobok čísla 24 a tretieho daného čísla - 9. Určte ich najväčšieho spoločného deliteľa: GCD (24, 9) = 3. LCM vynásobte číslom 9:

Produkt delíme podľa ich gcd:

LCM (12, 8, 9) = 72.

Aby ste pochopili, ako vypočítať LCM, musíte najprv určiť význam pojmu „viacnásobný“.

Násobok A je prirodzené číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné číslom A. Za čísla, ktoré sú násobkami 5, možno teda považovať 15, 20, 25 atď.

Môže existovať obmedzený počet deliteľov konkrétneho čísla, ale existuje nekonečný počet násobkov.

Spoločný násobok prirodzené čísla- číslo, ktoré je nimi bezo zvyšku deliteľné.

Ako nájsť najmenší spoločný násobok čísel

Najmenší spoločný násobok (LCM) čísel (dve, tri alebo viac) je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je deliteľné všetkými týmito číslami.

Na nájdenie LOC môžete použiť niekoľko metód.

Pri malých číslach je vhodné zapísať všetky násobky týchto čísel na riadok, kým medzi nimi nenájdete niečo spoločné. Násobky sa označujú veľkým písmenom K.

Napríklad násobky 4 možno zapísať takto:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Môžete teda vidieť, že najmenší spoločný násobok čísel 4 a 6 je číslo 24. Tento zápis sa robí takto:

LCM(4,6) = 24

Ak sú čísla veľké, nájdite spoločný násobok troch alebo viacerých čísel, potom je lepšie použiť iný spôsob výpočtu LCM.

Ak chcete dokončiť úlohu, musíte započítať dané čísla do prvočísel.

Najprv musíte zapísať rozklad najväčšieho čísla na riadok a pod ním - zvyšok.

Rozklad každého čísla môže obsahovať rôzny počet faktorov.

Zoberme si napríklad čísla 50 a 20 do prvočísel.

Pri rozširovaní menšieho počtu je potrebné zdôrazniť faktory, ktoré pri rozširovaní prvého absentujú. veľké číslo a potom ich doň pridajte. V prezentovanom príklade chýba dvojka.

Teraz môžete vypočítať najmenší spoločný násobok 20 a 50.

LCM(20; 50) = 2*5*5*2 = 100

Čiže súčin prvočiniteľov väčšieho čísla a činiteľov druhého čísla, ktoré neboli zahrnuté do rozšírenia väčšieho čísla, bude najmenší spoločný násobok.

Ak chcete nájsť LCM troch alebo viacerých čísel, mali by ste ich všetky zahrnúť do prvočísel, ako v predchádzajúcom prípade.

Ako príklad môžete nájsť najmenší spoločný násobok čísel 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Do faktorizácie väčšieho čísla teda neboli zahrnuté len dve dvojky z rozšírenia šestnásť (jedna je v expanzii dvadsaťštyri).

Preto ich treba pridať do rozšírenia väčšieho počtu.

LCM(12; 16; 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Existujú špeciálne prípady určenia najmenšieho spoločného násobku. Takže, ak je možné jedno z čísel deliť bezo zvyšku druhým, potom väčšie z týchto čísel bude najmenší spoločný násobok.

Napríklad LCM dvanásť a dvadsaťštyri je dvadsaťštyri.

Ak je potrebné nájsť najmenší spoločný násobok prvočísel, ktoré nemajú rovnakých deliteľov, potom sa ich LCM bude rovnať ich súčinu.

Napríklad LCM (10, 11) = 110.

Násobok je číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné daným číslom. Najmenší spoločný násobok (LCM) skupiny čísel je najmenšie číslo, ktoré je deliteľné každým číslom v skupine bez zanechania zvyšku. Ak chcete nájsť najmenší spoločný násobok, musíte nájsť prvočísla daných čísel. LCM možno vypočítať aj pomocou množstva iných metód, ktoré sa vzťahujú na skupiny dvoch alebo viacerých čísel.

Kroky

Séria násobkov

Pozrite sa na tieto čísla. Tu opísanú metódu je najlepšie použiť, keď sú zadané dve čísla, z ktorých každé je menšie ako 10. Ak je dané veľké čísla, použite inú metódu.

• Nájdite napríklad najmenší spoločný násobok 5 a 8. Sú to malé čísla, takže môžete použiť túto metódu.

1. Násobok je číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné daným číslom. Násobky nájdete v tabuľke násobenia.

   • Napríklad čísla, ktoré sú násobkami 5, sú: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Napíšte sériu čísel, ktoré sú násobkami prvého čísla. Urobte to pod násobkami prvého čísla, aby ste porovnali dve sady čísel.

   • Napríklad čísla, ktoré sú násobkami 8, sú: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 a 64.

3. Nájdite najmenšie číslo, ktoré je prítomné v oboch súboroch násobkov. Možno budete musieť napísať dlhé série násobkov, aby ste našli celkový počet. Najmenšie číslo, ktoré je prítomné v oboch súboroch násobkov, je najmenší spoločný násobok.

   • Napríklad, najmenšie číslo, ktorý je prítomný v rade násobkov 5 a 8, je číslo 40. Preto je 40 najmenší spoločný násobok 5 a 8.

   Prvotná faktorizácia

   1. Pozrite sa na tieto čísla. Tu opísanú metódu je najlepšie použiť, keď sú zadané dve čísla, z ktorých každé je väčšie ako 10. Ak sú zadané menšie čísla, použite inú metódu.

      • Nájdite napríklad najmenší spoločný násobok čísel 20 a 84. Každé z čísel je väčšie ako 10, takže môžete použiť túto metódu.

   2. Faktor do hlavných faktorov prvé číslo. To znamená, že musíte nájsť také prvočísla, z ktorých po vynásobení vznikne dané číslo. Keď nájdete hlavné faktory, napíšte ich ako rovnosti.

      • Napríklad, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\krát 10=20) A 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Prvočísla čísla 20 sú teda čísla 2, 2 a 5. Napíšte ich ako výraz: .

   3. Faktor druhé číslo do prvočiniteľov. Urobte to rovnakým spôsobom, ako ste rozkladali prvé číslo, teda nájdite také prvočísla, ktoré po vynásobení dajú dané číslo.

      • Napríklad, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) A 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Prvočísla čísla 84 sú teda čísla 2, 7, 3 a 2. Napíšte ich ako výraz: .

   4. Napíšte spoločné faktory pre obe čísla. Napíšte také faktory ako operáciu násobenia. Pri písaní každého faktora ho prečiarknite v oboch výrazoch (výrazoch, ktoré popisujú rozklad čísel na prvočísla).

      • Napríklad obe čísla majú spoločný faktor 2, tak napíšte 2 × (\displaystyle 2\times ) a prečiarknite 2 v oboch výrazoch.
      • Čo majú obe čísla spoločné, je ďalší faktor 2, tak napíšte 2 × 2 (\displaystyle 2\time 2) a prečiarknite druhé 2 v oboch výrazoch.

   5. Pridajte zostávajúce faktory do operácie násobenia. Ide o faktory, ktoré nie sú prečiarknuté v oboch výrazoch, teda faktory, ktoré nie sú spoločné pre obe čísla.

      • Napríklad vo výraze 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\krát 2\krát 5) Obidve dvojky (2) sú prečiarknuté, pretože ide o spoločné faktory. Faktor 5 nie je prečiarknutý, takže operáciu násobenia napíšte takto: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\time 2\time 5)
      • Vo výraze 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\krát 7\krát 3\krát 2) obe dvojky (2) sú tiež prečiarknuté. Faktory 7 a 3 nie sú prečiarknuté, takže operáciu násobenia napíšte takto: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\krát 2\krát 5\krát 7\krát 3).

   6. Vypočítajte najmenší spoločný násobok. Ak to chcete urobiť, vynásobte čísla v písomnej operácii násobenia.

      • Napríklad, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\krát 2\krát 5\krát 7\krát 3=420). Takže najmenší spoločný násobok 20 a 84 je 420.

   Hľadanie spoločných faktorov

   1. Nakreslite mriežku ako pri hre piškvorky. Takáto mriežka pozostáva z dvoch rovnobežných čiar, ktoré sa pretínajú (v pravom uhle) s ďalšími dvoma rovnobežnými čiarami. Získate tak tri riadky a tri stĺpce (mriežka sa veľmi podobá na ikonu #). Napíšte prvé číslo do prvého riadku a druhého stĺpca. Napíšte druhé číslo do prvého riadku a tretieho stĺpca.

      • Nájdite napríklad najmenší spoločný násobok čísel 18 a 30. Do prvého riadka a druhého stĺpca napíšte číslo 18 a do prvého riadka a tretieho stĺpca napíšte číslo 30.

   2. Nájdite deliteľa spoločného pre obe čísla. Napíšte to do prvého riadku a prvého stĺpca. Je lepšie hľadať hlavné faktory, ale nie je to podmienkou.

      • Napríklad 18 a 30 sú párne čísla, takže ich spoločný činiteľ je 2. Napíš teda 2 do prvého riadku a prvého stĺpca.

   3. Vydeľte každé číslo prvým deliteľom. Každý podiel napíšte pod príslušné číslo. Kvocient je výsledkom delenia dvoch čísel.

      • Napríklad, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), tak napíšte 9 pod 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), tak napíšte 15 pod 30.

   4. Nájdite deliteľa spoločného pre oba kvocienty. Ak takýto deliteľ neexistuje, preskočte nasledujúce dva kroky. V opačnom prípade napíšte deliteľa do druhého riadku a prvého stĺpca.

      • Napríklad 9 a 15 sú deliteľné 3, preto napíšte 3 do druhého riadku a prvého stĺpca.

   5. Vydeľte každý podiel jeho druhým deliteľom. Každý výsledok delenia zapíšte pod príslušný kvocient.

      • Napríklad, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), tak napíšte 3 pod 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), tak napíšte 5 pod 15.

   6. V prípade potreby pridajte do mriežky ďalšie bunky. Opakujte opísané kroky, kým podiely nebudú mať spoločného deliteľa.

   7. Zakrúžkujte čísla v prvom stĺpci a poslednom riadku mriežky. Potom napíšte vybrané čísla ako operáciu násobenia.

      • Napríklad čísla 2 a 3 sú v prvom stĺpci a čísla 3 a 5 sú v poslednom riadku, takže operáciu násobenia napíšte takto: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\krát 3\krát 3\krát 5).

   8. Nájdite výsledok násobenia čísel. Tým sa vypočíta najmenší spoločný násobok dvoch daných čísel.

      • Napríklad, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\krát 3\krát 3\krát 5=90). Takže najmenší spoločný násobok 18 a 30 je 90.

   Euklidov algoritmus

   1. Pamätajte na terminológiu spojenú s operáciou delenia. Dividenda je číslo, ktoré sa delí. Deliteľ je číslo, ktorým sa delí. Kvocient je výsledkom delenia dvoch čísel. Zvyšok je číslo, ktoré zostane po delení dvoch čísel.

      • Napríklad vo výraze 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 je dividenda
        6 je deliteľ
        2 je kvocient
        3 je zvyšok.