Ale mnohé prirodzené čísla sú rovnomerne deliteľné inými prirodzenými číslami.

Napríklad:

Číslo 12 je deliteľné 1, 2, 3, 4, 6, 12;

Číslo 36 je deliteľné 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Čísla, ktorými je číslo deliteľné (pre 12 je to 1, 2, 3, 4, 6 a 12), sa nazývajú deliče čísla. Deliteľ prirodzeného čísla a je prirodzené číslo, ktoré delí dané číslo a bez stopy. Prirodzené číslo, ktoré má viac ako dva faktory, sa nazýva zložený .

Všimnite si, že čísla 12 a 36 majú spoločných deliteľov. Sú to čísla: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najväčší deliteľ týchto čísel je 12. Spoločný deliteľ týchto dvoch čísel a A b je číslo, ktorým sú obe dané čísla bezo zvyšku deliteľné a A b.

spoločný násobok niekoľko čísel sa nazýva číslo, ktoré je deliteľné každým z týchto čísel. Napríklad, čísla 9, 18 a 45 majú spoločný násobok 180. Ale aj 90 a 360 sú ich spoločné násobky. Spomedzi všetkých jcommon násobkov je vždy ten najmenší, v tomto prípade je to 90. Toto číslo je tzv. najmenejspoločný násobok (LCM).

LCM je vždy prirodzené číslo, ktoré musí byť väčšie ako najväčšie z čísel, pre ktoré je definované.

Najmenší spoločný násobok (LCM). Vlastnosti.

Komutivita:

Asociativita:

Konkrétne, ak a sú prvočísla , potom:

Najmenší spoločný násobok dvoch celých čísel m A n je deliteľom všetkých ostatných spoločných násobkov m A n. Navyše množina spoločných násobkov m,n sa zhoduje s množinou násobkov pre LCM( m,n).

Asymptotiku for možno vyjadriť pomocou niektorých číselných teoretických funkcií.

takže, Čebyševova funkcia. a:

Vyplýva to z definície a vlastností Landauovej funkcie g(n).

Čo vyplýva zo zákona o rozdelení prvočísel.

Hľadanie najmenšieho spoločného násobku (LCM).

NOC( a, b) možno vypočítať niekoľkými spôsobmi:

1. Ak je známy najväčší spoločný deliteľ, môžete použiť jeho vzťah s LCM:

2. Nech je známy kanonický rozklad oboch čísel na prvočiniteľa:

Kde p 1 ,...,p k sú rôzne prvočísla a d 1,...,dk A e 1 ,...,ek sú nezáporné celé čísla (môžu byť nulové, ak zodpovedajúce prvočíslo nie je v expanzii).

Potom LCM ( a,b) sa vypočíta podľa vzorca:

Inými slovami, rozšírenie LCM obsahuje všetky hlavné faktory, ktoré sú zahrnuté aspoň v jednom z rozšírenia čísel a, b a vezme sa najväčší z dvoch exponentov tohto faktora.

Príklad:

Výpočet najmenšieho spoločného násobku niekoľkých čísel možno zredukovať na niekoľko po sebe idúcich výpočtov LCM dvoch čísel:

Pravidlo. Ak chcete nájsť LCM série čísel, potrebujete:

- rozložiť čísla na prvočísla;

- preniesť najväčšiu expanziu do faktorov požadovaného produktu (súčin faktorov z Vysoké číslo z daných), a potom pridať faktory z rozkladu iných čísel, ktoré sa v prvom čísle nevyskytujú alebo sú v ňom menejkrát;

- výsledným súčinom prvočiniteľov bude LCM daných čísel.

Akékoľvek dve alebo viac prirodzené čísla majú svoje NOC. Ak čísla nie sú navzájom násobkami alebo nemajú rovnaké faktory v expanzii, potom sa ich LCM rovná súčinu týchto čísel.

Prvočísla čísla 28 (2, 2, 7) boli doplnené koeficientom 3 (číslo 21), výsledný súčin (84) bude najmenšie číslo, ktorý je deliteľný 21 a 28 .

Prvočísla najväčšieho čísla 30 boli doplnené o faktor 5 čísla 25, výsledný súčin 150 je väčší ako najväčšie číslo 30 a je deliteľný všetkými danými číslami bezo zvyšku. Toto najmenší produkt z možných (150, 250, 300...), čo je násobok všetkých daných čísel.

Čísla 2,3,11,37 sú prvočísla, takže ich LCM sa rovná súčinu daných čísel.

pravidlo. Ak chcete vypočítať LCM prvočísel, musíte všetky tieto čísla vynásobiť.

Ďalšia možnosť:

Ak chcete nájsť najmenší spoločný násobok (LCM) niekoľkých čísel, potrebujete:

1) predstavujú každé číslo ako súčin jeho prvočísel, napríklad:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) napíšte mocniny všetkých prvočiniteľov:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) zapíšte si všetkých prvočíselníkov (násobiteľov) každého z týchto čísel;

4) vyberte najväčší stupeň každého z nich, ktorý sa nachádza vo všetkých rozšíreniach týchto čísel;

5) znásobte tieto právomoci.

Príklad. Nájdite LCM čísel: 168, 180 a 3024.

Riešenie. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Vypíšeme najväčšie mocniny všetkých prvočíselných deliteľov a vynásobíme ich:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Zvážte riešenie nasledujúceho problému. Chlapčenský krok má 75 cm, dievčenský 60 cm.Je potrebné nájsť najmenšiu vzdialenosť, na ktorú obaja urobia celočíselný počet krokov.

Riešenie. Celá cesta, ktorou chalani prejdú, musí byť bezo zvyšku deliteľná 60 a 70, pretože každý musí urobiť celočíselný počet krokov. Inými slovami, odpoveď musí byť násobkom 75 aj 60.

Najprv vypíšeme všetky násobky pre číslo 75. Dostaneme:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Teraz si vypíšme čísla, ktoré budú násobkom 60. Dostaneme:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Teraz nájdeme čísla, ktoré sú v oboch riadkoch.

• Spoločné násobky čísel budú čísla, 300, 600 atď.

Najmenším z nich je číslo 300. V tomto prípade sa bude volať najmenší spoločný násobok čísel 75 a 60.

Ak sa vrátime k problému, najmenšia vzdialenosť, na ktorú chlapci urobia celý počet krokov, bude 300 cm. Chlapec prejde touto cestou v 4 krokoch a dievča bude musieť urobiť 5 krokov.

Hľadanie najmenšieho spoločného násobku

• Najmenší spoločný násobok dvoch prirodzených čísel aab je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je násobkom oboch prirodzených čísel a a b.

Aby sme našli najmenší spoločný násobok dvoch čísel, nie je potrebné zapisovať všetky násobky týchto čísel za sebou.

Môžete použiť nasledujúcu metódu.

Ako nájsť najmenší spoločný násobok

Najprv musíte tieto čísla rozložiť na hlavné faktory.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Teraz si zapíšme všetky faktory, ktoré sú v expanzii prvého čísla (2,2,3,5) a pripočítajme k tomu všetky chýbajúce faktory z rozšírenia druhého čísla (5).

Výsledkom je séria prvočísel: 2,2,3,5,5. Súčin týchto čísel bude pre tieto čísla najmenej spoločným faktorom. 2*2*3*5*5 = 300.

Všeobecná schéma na nájdenie najmenšieho spoločného násobku

• 1. Rozložte čísla na prvočísla.
• 2. Napíšte hlavné faktory, ktoré sú súčasťou jedného z nich.
• 3. Pridajte k týmto faktorom všetky, ktoré sú v rozklade zvyšku, ale nie vo vybranom.
• 4. Nájdite súčin všetkých vypísaných faktorov.

Táto metóda je univerzálna. Dá sa použiť na nájdenie najmenšieho spoločného násobku ľubovoľného počtu prirodzených čísel.

Definícia. Nazýva sa najväčšie prirodzené číslo, ktorým sú čísla a a b deliteľné bezo zvyšku najväčší spoločný deliteľ (gcd) tieto čísla.

Poďme nájsť najväčšie spoločný deliteľčísla 24 a 35.
Deliteľmi 24 budú čísla 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 a deliteľmi 35 budú čísla 1, 5, 7, 35.
Vidíme, že čísla 24 a 35 majú len jedného spoločného deliteľa – číslo 1. Takéto čísla sa nazývajú nesúdeliteľné.

Definícia. Prirodzené čísla sa nazývajú nesúdeliteľné ak ich najväčší spoločný deliteľ (gcd) je 1.

Najväčší spoločný deliteľ (GCD) možno nájsť bez vypisovania všetkých deliteľov daných čísel.

Rozložením čísel 48 a 36 dostaneme:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Z faktorov zahrnutých do rozšírenia prvého z týchto čísel vypúšťame tie, ktoré nie sú zahrnuté do rozšírenia druhého čísla (t. j. dve dvojky).
Zostávajú faktory 2 * 2 * 3. Ich súčin je 12. Toto číslo je najväčším spoločným deliteľom čísel 48 a 36. Nájdeme aj najväčšieho spoločného deliteľa troch alebo viacerých čísel.

Nájsť najväčší spoločný deliteľ

2) z faktorov zahrnutých do rozšírenia jedného z týchto čísel prečiarknite tie, ktoré nie sú zahrnuté do rozšírenia iných čísel;
3) nájdite súčin zostávajúcich faktorov.

Ak sú všetky dané čísla deliteľné jedným z nich, potom toto číslo je najväčší spoločný deliteľ dané čísla.
Napríklad najväčší spoločný deliteľ 15, 45, 75 a 180 je 15, pretože delí všetky ostatné čísla: 45, 75 a 180.

Najmenší spoločný násobok (LCM)

Definícia. Najmenší spoločný násobok (LCM) prirodzené čísla a a b sú najmenšie prirodzené číslo, ktoré je násobkom oboch a a b. Najmenší spoločný násobok (LCM) čísel 75 a 60 možno nájsť bez vypisovania násobkov týchto čísel za sebou. Aby sme to dosiahli, rozložíme 75 a 60 na jednoduché faktory: 75 \u003d 3 * 5 * 5 a 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Vypíšeme faktory zahrnuté do rozšírenia prvého z týchto čísel a doplníme k nim chýbajúce faktory 2 a 2 z rozšírenia druhého čísla (čiže faktory skombinujeme).
Dostaneme päť faktorov 2 * 2 * 3 * 5 * 5, ktorých súčin je 300. Toto číslo je najmenší spoločný násobok čísel 75 a 60.

Nájdite tiež najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel.

Komu nájsť najmenší spoločný násobok niekoľko prirodzených čísel, potrebujete:
1) rozložiť ich na hlavné faktory;
2) napíšte faktory zahrnuté do rozšírenia jedného z čísel;
3) pridajte k nim chýbajúce faktory z expanzií zostávajúcich čísel;
4) nájdite súčin výsledných faktorov.

Všimnite si, že ak je jedno z týchto čísel deliteľné všetkými ostatnými číslami, potom je toto číslo najmenším spoločným násobkom týchto čísel.
Napríklad najmenší spoločný násobok 12, 15, 20 a 60 by bol 60, pretože je deliteľný všetkými danými číslami.

Pytagoras (VI. storočie pred Kristom) a jeho študenti študovali problematiku deliteľnosti čísel. číslo, rovná súčtu všetkých jeho deliteľov (bez samotného čísla), nazývali dokonalé číslo. Napríklad čísla 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sú dokonalé. Ďalšie dokonalé čísla sú 496, 8128, 33 550 336. Pytagorejci poznali iba prvé tri dokonalé čísla. Štvrtý - 8128 - sa stal známym v 1. storočí. n. e. Piata - 33 550 336 - bola nájdená v 15. storočí. Do roku 1983 už bolo známych 27 dokonalých čísel. Doteraz však vedci nevedia, či existujú nepárne dokonalé čísla, či existuje najväčšie dokonalé číslo.
Záujem starovekých matematikov o prvočísla je spôsobený skutočnosťou, že každé číslo je buď prvočíslo, alebo môže byť reprezentované ako súčin prvočísel, to znamená, že prvočísla sú ako tehly, z ktorých sú postavené ostatné prirodzené čísla.
Pravdepodobne ste si všimli, že prvočísla v rade prirodzených čísel sa vyskytujú nerovnomerne – v niektorých častiach radu je ich viac, v iných menej. Ale čím ďalej sa pohybujeme po číselnom rade, tým sú prvočísla zriedkavejšie. Vzniká otázka: existuje posledné (najväčšie) prvočíslo? Staroveký grécky matematik Euclid (3. storočie pred Kristom) vo svojej knihe „Začiatky“, ktorá bola dvetisíc rokov hlavnou učebnicou matematiky, dokázal, že prvočísel je nekonečne veľa, to znamená, že za každým prvočíslom je párne číslo. väčšie prvočíslo.
Na nájdenie prvočísel prišiel s takouto metódou iný grécky matematik tej istej doby, Eratosthenes. Zapísal si všetky čísla od 1 po nejaké číslo a potom preškrtol jednotku, ktorá nie je ani prvočíslo, ani zložené číslo, potom cez jednu prečiarkli všetky čísla po 2 (čísla, ktoré sú násobkom 2, t.j. 4, 6, 8 atď.). Prvé zostávajúce číslo po 2 bolo 3. Potom sa po dvojke prečiarkli všetky čísla po 3 (čísla, ktoré sú násobkami 3, t.j. 6, 9, 12 atď.). nakoniec zostali neprečiarknuté len prvočísla.

Spoločné násobky

Jednoducho povedané, každé celé číslo, ktoré je deliteľné každým z daných čísel, je spoločný násobok dané celé čísla.

Môžete nájsť spoločný násobok dvoch alebo viacerých celých čísel.

Príklad 1

Vypočítajte spoločný násobok dvoch čísel: $2$ a $5$.

Riešenie.

Podľa definície je spoločný násobok 2 $ a 5 $ 10 $, pretože je to násobok 2 $ a 5 $:

Spoločné násobky čísel $2$ a $5$ budú tiež čísla $–10, 20, –20, 30, –30$ atď., pretože všetky sú deliteľné $2$ a $5$.

Poznámka 1

Nula je spoločný násobok ľubovoľného počtu nenulových celých čísel.

Podľa vlastností deliteľnosti, ak je určité číslo spoločným násobkom viacerých čísel, potom aj číslo oproti znamienku bude spoločným násobkom daných čísel. To možno vidieť z uvažovaného príkladu.

Pre dané celé čísla môžete vždy nájsť ich spoločný násobok.

Príklad 2

Vypočítajte spoločný násobok 111 $ a 55 $.

Riešenie.

Vynásobte dané čísla: $111\div 55=6105$. Je ľahké overiť, že číslo $6105$ je deliteľné číslom $111$ a číslom $55$:

$6105\div 111=55$;

$6105\div 55=111$.

6105 $ je teda spoločný násobok 111 $ a 55 $.

Odpoveď: spoločný násobok 111 $ a 55 $ je 6 105 $.

Ale ako sme už videli z predchádzajúceho príkladu, tento spoločný násobok nie je jedna. Ďalšie spoločné násobky by boli -6105, 12210, -12210, 61050, -61050 $ atď. Dospeli sme teda k nasledujúcemu záveru:

Poznámka 2

Každá množina celých čísel má nekonečný počet spoločných násobkov.

V praxi sa obmedzujú na hľadanie spoločných násobkov iba kladných celých (prirodzených) čísel, pretože množiny násobkov daného čísla a jeho opaku sa zhodujú.

Hľadanie najmenšieho spoločného násobku

Najčastejšie sa zo všetkých násobkov daného čísla používa najmenší spoločný násobok (LCM).

Definícia 2

Najmenší kladný spoločný násobok daných celých čísel je najmenší spoločný násobok tieto čísla.

Príklad 3

Vypočítajte LCM čísel $4$ a $7$.

Riešenie.

Pretože tieto čísla nemajú spoločných deliteľov, potom $LCM(4,7)=28$.

Odpoveď: $LCM(4,7)=28$.

Nájdenie NOC cez NOD

Pretože existuje spojenie medzi LCM a GCD, s jeho pomocou je možné vypočítať LCM dvoch kladných celých čísel:

Poznámka 3

Príklad 4

Vypočítajte LCM čísel $232$ a $84$.

Riešenie.

Použime vzorec na nájdenie LCM cez GCD:

$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(gcd (a,b))$

Poďme nájsť gcd čísel $ 232 $ a $ 84 $ pomocou euklidovského algoritmu:

232 $=84\cdot 2+64$,

84 $=64\cdot 1+20 $,

$64=20\cdot 3+4$,

Tie. $gcd (232, 84)=4$.

Poďme nájsť $LCM (232, 84) $:

$LCC(232,84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$

Odpoveď: $NOK(232,84)=4872 $.

Príklad 5

Vypočítajte $LCM (23, 46)$.

Riešenie.

Pretože $46$ je rovnomerne deliteľné $23$, potom $gcd(23, 46)=23$. Poďme nájsť NOC:

$LCC(23,46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$

Odpoveď: $NOK(23,46)=46$.

Tak sa dá formulovať pravidlo:

Poznámka 4

Najmenší spoločný násobok dvoch čísel priamo súvisí s najväčším spoločným deliteľom týchto čísel. Toto prepojenie medzi GCD a NOC je definovaný nasledujúcou vetou.

Veta.

Najmenší spoločný násobok dvoch kladných celých čísel aab sa rovná súčinu aab deleného najväčším spoločným deliteľom aab, t.j. LCM(a, b)=a b: GCM(a, b).

Dôkaz.

Nechaj M je nejaký násobok čísel a a b. To znamená, že M je deliteľné a a podľa definície deliteľnosti existuje nejaké celé číslo k také, že rovnosť M=a·k platí. Ale M je deliteľné aj b, potom a k je deliteľné b.

Označte gcd(a, b) ako d . Potom môžeme zapísať rovnosti a=a 1 ·d a b=b 1 ·d a a 1 =a:dab 1 =b:d budú prvočísla. Preto podmienku získanú v predchádzajúcom odseku, že a k je deliteľné b, možno preformulovať takto: a 1 d k je deliteľné b 1 d , a to je vzhľadom na vlastnosti deliteľnosti ekvivalentné podmienke, že a 1 k je deliteľné b 1 .

Musíme si tiež zapísať dva dôležité dôsledky z uvažovanej vety.

Spoločné násobky dvoch čísel sú rovnaké ako násobky ich najmenšieho spoločného násobku.

To je pravda, pretože akýkoľvek spoločný násobok M čísel aab je definovaný rovnosťou M=LCM(a, b) t pre nejakú celočíselnú hodnotu t .

Najmenší spoločný násobok kladných čísel aab sa rovná ich súčinu.

Zdôvodnenie tejto skutočnosti je celkom zrejmé. Keďže a a b sú rovnaké, potom gcd(a, b)=1 , teda, LCM(a,b)=ab: GCD(a,b)=ab:l=ab.

Najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel

Hľadanie najmenšieho spoločného násobku troch alebo viacerých čísel možno zredukovať na postupné hľadanie LCM dvoch čísel. Ako sa to robí, je naznačené v nasledujúcej vete: a 1 , a 2 , …, a k sa zhodujú so spoločnými násobkami čísel m k-1 a ak sa teda zhodujú s násobkami m k . A keďže najmenší kladný násobok čísla m k je samotné číslo m k, potom najmenší spoločný násobok čísel a 1 , a 2 , …, a k je m k .

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya. atď. Matematika. 6. ročník: učebnica pre vzdelávacie inštitúcie.
• Vinogradov I.M. Základy teórie čísel.
• Mikhelovič Sh.Kh. Teória čísel.
• Kulikov L.Ya. a ďalšie. Zbierka úloh z algebry a teórie čísel: Návod pre študentov fyziky a matematiky. odbornosti pedagogických ústavov.