Otázka 1. Aké uhly sa nazývajú susedné?
Odpoveď. Dva uhly sa nazývajú susedné, ak majú jednu stranu spoločnú a ostatné strany týchto uhlov sú doplnkové polpriamky.
Na obrázku 31 sú rohy (a 1 b) a (a 2 b) priľahlé. Majú spoločnú stranu b a strany a 1 a a 2 sú ďalšie polpriamky.

Otázka 2. Dokážte, že súčet susedných uhlov je 180°.
Odpoveď. Veta 2.1. Súčet susedných uhlov je 180°.
Dôkaz. Nech uhol (a 1 b) a uhol (a 2 b) sú dané susednými uhlami (pozri obr. 31). Lúč b prechádza medzi stranami a 1 a a 2 rozvinutého uhla. Preto sa súčet uhlov (a 1 b) a (a 2 b) rovná rozvinutému uhlu, t.j. 180 °. Q.E.D.

Otázka 3. Dokážte, že ak sú dva uhly rovnaké, uhly priľahlé k nim sú tiež rovnaké.
Odpoveď.

Z vety 2.1 Z toho vyplýva, že ak sú dva uhly rovnaké, uhly priľahlé k nim sú rovnaké.
Povedzme, že uhly (a 1 b) a (c 1 d) sú rovnaké. Musíme dokázať, že uhly (a 2 b) a (c 2 d) sú tiež rovnaké.
Súčet susedných uhlov je 180°. Z toho vyplýva, že a 1 b + a 2 b = 180° a c 1 d + c 2 d = 180°. Preto a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b a c 2 d \u003d 180 ° - c 1 d. Pretože uhly (a 1 b) a (c 1 d) sú rovnaké, dostaneme, že a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b \u003d c 2 d. Z vlastnosti tranzitivity znamienka rovnosti vyplýva, že a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Otázka 4. Aký uhol sa nazýva pravý (akútny, tupý)?
Odpoveď. Uhol rovný 90° sa nazýva pravý uhol.
Uhol menší ako 90° sa nazýva ostrý uhol.
Uhol väčší ako 90° a menší ako 180° sa nazýva tupý uhol.

Otázka 5. Dokážte, že uhol susediaci s pravým uhlom je pravý uhol.
Odpoveď. Z vety o súčte susedných uhlov vyplýva, že uhol susediaci s pravým uhlom je pravý uhol: x + 90° = 180°, x= 180° - 90°, x = 90°.

Otázka 6. Aké sú vertikálne uhly?
Odpoveď. Dva uhly sa nazývajú zvislé, ak strany jedného uhla sú doplnkovými polpriamkami strán druhého uhla.

Otázka 7. Dokáž to vertikálne uhly sú si rovné.
Odpoveď. Veta 2.2. Vertikálne uhly sú rovnaké.
Dôkaz. Nech sú (a 1 b 1) a (a 2 b 2) dané vertikálne uhly (obr. 34). Roh (a 1 b 2) susedí s rohom (a 1 b 1) a s rohom (a 2 b 2). Odtiaľto vetou o súčte susedných uhlov usudzujeme, že každý z uhlov (a 1 b 1) a (a 2 b 2) dopĺňa uhol (a 1 b 2) až do 180°, t.j. uhly (a 1 b 1) a (a 2 b 2) sú rovnaké. Q.E.D.

Otázka 8. Dokážte, že ak je na priesečníku dvoch priamok jeden z uhlov pravý, potom sú aj ostatné tri uhly pravé.
Odpoveď. Predpokladajme, že priamky AB a CD sa navzájom pretínajú v bode O. Predpokladajme, že uhol AOD je 90°. Keďže súčet susedných uhlov je 180°, dostaneme, že AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°. Uhol COB je zvislý s uhlom AOD, takže sú rovnaké. To znamená, že uhol COB = 90°. COA je vertikálne k BSK, takže sú rovnaké. To znamená, že uhol BSK = 90°. Všetky uhly sa teda rovnajú 90 °, to znamená, že sú v poriadku. Q.E.D.

Otázka 9. Ktoré čiary sa nazývajú kolmé? Aké znamienko sa používa na označenie kolmosti čiar?
Odpoveď. Dve čiary sa nazývajú kolmé, ak sa pretínajú v pravom uhle.
Kolmosť čiar je označená \(\perp\). Záznam \(a\perp b\) znie: "Priamka a je kolmá na čiaru b".

Otázka 10. Dokážte, že cez ktorýkoľvek bod priamky možno nakresliť na ňu kolmú priamku, a to iba jednu.
Odpoveď. Veta 2.3. Cez každú čiaru môžete nakresliť čiaru kolmú na ňu a iba jednu.
Dôkaz. Nech a je daná čiara a A - daný bod na nej. Označme a 1 jednu z polpriamok priamkou a s počiatočným bodom A (obr. 38). Od polpriamky a 1 odložte uhol (a 1 b 1) rovný 90°. Potom bude priamka obsahujúca lúč b 1 kolmá na priamku a.

Predpokladajme, že existuje ďalšia priamka, ktorá tiež prechádza bodom A a je kolmá na priamku a. Označme c 1 polpriamku tejto priamky ležiacu v rovnakej polrovine s lúčom b 1 .
Uhly (a 1 b 1) a (a 1 c 1), každý rovný 90°, sú položené v jednej polrovine od polpriamky a 1 . Ale od polpriamky a 1 možno v tejto polrovine vyčleniť iba jeden uhol rovný 90°. Preto nemôže byť ďalšia priamka prechádzajúca bodom A a kolmá na priamku a. Veta bola dokázaná.

Otázka 11.Čo je to kolmica na priamku?
Odpoveď. Kolmá na danú priamku je úsečka kolmá na danú priamku, ktorej jeden koniec má v priesečníku. Tento koniec segmentu sa nazýva základ kolmý.

Otázka 12. Vysvetlite, čo je dôkaz protirečením.
Odpoveď. Metóda dôkazu, ktorú sme použili vo vete 2.3, sa nazýva dôkaz rozporu. Tento spôsob dôkazu spočíva v tom, že najprv urobíme predpoklad opačný k tomu, čo hovorí veta. Potom uvažovaním, spoliehajúc sa na axiómy a dokázané vety, dospejeme k záveru, ktorý odporuje buď podmienke vety, alebo jednej z axióm, alebo predtým dokázanej vete. Na základe toho sme dospeli k záveru, že náš predpoklad bol nesprávny, čo znamená, že tvrdenie vety je pravdivé.

Otázka 13.Čo je to osička uhla?
Odpoveď. Osa uhla je lúč, ktorý vychádza z vrcholu uhla, prechádza medzi jeho stranami a delí uhol na polovicu.

Uhly, v ktorých jedna strana je spoločná a ostatné strany ležia na rovnakej priamke (na obrázku sú uhly 1 a 2 priľahlé). Ryža. k čl. Priľahlé rohy... Veľká sovietska encyklopédia

PRIľahlé ROHY- uhly, ktoré majú spoločný vrchol a jeden spoločná strana a dve ďalšie strany z nich ležia na rovnakej priamke... Veľká polytechnická encyklopédia

Pozri uhol... Veľký encyklopedický slovník

ADJACENT ANGLES, dva uhly, ktorých súčet je 180°. Každý z týchto rohov dopĺňa druhý do plného uhla... Vedecko-technický encyklopedický slovník

Pozri Uhol. * * * PRIDAJÚCE ROHY PRIDAJÚCE ROHY, pozri Roh (pozri ROH) … encyklopedický slovník

- (Uhly susediace) tie, ktoré majú spoločný vrchol a spoločnú stranu. Väčšinou tento názov znamená také S. uhly, ktorých ďalšie dve strany ležia v opačných smeroch jednej priamky vedenej cez vrchol ... Encyklopedický slovník F.A. Brockhaus a I.A. Efron

Pozri uhol... Prírodná veda. encyklopedický slovník

Tieto dve čiary sa pretínajú a vytvárajú pár vertikálnych uhlov. Jeden pár pozostáva z uhlov A a B, druhý z C a D. V geometrii sa dva uhly nazývajú vertikálne, ak sú vytvorené priesečníkom dvoch ... Wikipedia

Dvojica doplnkových uhlov, ktoré sa navzájom dopĺňajú až do 90 stupňov Doplnkový uhol je dvojica uhlov, ktoré sa navzájom dopĺňajú až do 90 stupňov. Ak dva komplementárne uhly susedia (to znamená, že majú spoločný vrchol a sú oddelené iba ... ... Wikipedia

Dvojica doplnkových uhlov, ktoré sa navzájom dopĺňajú až do 90 stupňov Komplementárne uhly sú dvojice uhlov, ktoré sa navzájom dopĺňajú až do 90 stupňov. Ak sú dva ďalšie uhly c ... Wikipedia

knihy

• O Proof in Geometry, Fetisov A.I. Táto kniha bude vyrobená v súlade s vašou objednávkou pomocou technológie Print-on-Demand. Raz, úplne na začiatku školského roka, som náhodou počul rozhovor dvoch dievčat. Tá najstaršia…
• Komplexný notebook na ovládanie vedomostí. Geometria. 7. trieda. Federálny štátny vzdelávací štandard, Babenko Svetlana Pavlovna, Markova Irina Sergeevna. Príručka predstavuje kontrolné a meracie materiály (KMI) v geometrii na vykonávanie bežnej, tematickej a záverečnej kontroly kvality vedomostí žiakov 7. ročníka. Obsah sprievodcu…

Známa hodnota hlavného uhla α₁ = α2 = 180°-α.

Z tohto sú . Ak sú dva uhly susedné a rovnaké súčasne, potom sú to pravé uhly. Ak je jeden zo susedných uhlov pravý, to znamená, že je 90 stupňov, potom je druhý uhol tiež pravý. Ak je jeden zo susedných uhlov ostrý, druhý bude tupý. Podobne, ak je jeden z uhlov tupý, potom druhý bude ostrý.

Ostrý uhol je taký, ktorého miera je menšia ako 90 stupňov, ale väčšia ako 0. Tupý uhol má mieru väčšiu ako 90 stupňov, ale menšiu ako 180.

Ďalšia vlastnosť susedných uhlov je formulovaná nasledovne: ak sú dva uhly rovnaké, potom sú rovnaké aj uhly, ktoré k nim priliehajú. To znamená, že ak existujú dva uhly, ktorých miera stupňov je rovnaká (napríklad 50 stupňov) a zároveň jeden z nich má susedný uhol, potom sa hodnoty týchto susedných uhlov tiež zhodujú (v príklade bude ich miera stupňov 130 stupňov).

Zdroje:

• Veľký encyklopedický slovník - Priľahlé rohy
• 180 stupňový uhol

Slovo "" má rôzne interpretácie. V geometrii je uhol časť roviny ohraničená dvoma lúčmi vychádzajúcimi z jedného bodu - vrcholu. Kedy rozprávame sa o priamych, ostrých, rozvinutých uhloch, potom sa myslia geometrické uhly.

Ako každý tvar v geometrii, aj uhly možno porovnávať. Rovnosť uhlov je určená pohybom. Uhol sa dá ľahko rozdeliť na dve rovnaké časti. Rozdelenie na tri časti je trochu náročnejšie, ale aj tak sa to dá zvládnuť pomocou pravítka a kružidla. Mimochodom, táto úloha sa zdala dosť náročná. Je geometricky jednoduché opísať, že jeden uhol je väčší alebo menší ako druhý.

Ako jednotka merania uhlov sa používa 1/180 rozvinutého uhla. Hodnota uhla je číslo, ktoré ukazuje, koľkokrát sa uhol zvolený pre jednotku merania zmestí do príslušného čísla.

Každý uhol má mieru väčšiu ako nula. Priamy uhol je 180 stupňov. Miera stupňov uhla sa považuje za rovnú súčtu mier stupňov uhlov, na ktoré je rozdelený ľubovoľným lúčom v rovine ohraničenej jeho stranami.

Z akéhokoľvek lúča danej rovine môžete vyčleniť uhol s mierou určitého stupňa nepresahujúci 180. Navyše bude existovať iba jeden takýto uhol. Miera plochého uhla, ktorý je súčasťou polroviny, je miera uhla s podobnými stranami. Mierou roviny uhla obsahujúcej polrovinu je hodnota 360 – α, kde α je miera stupňa doplnkového plochého uhla.

Miera stupňa uhla umožňuje prejsť od ich geometrického popisu k číselnému. Takže pravý uhol je uhol rovný 90 stupňom, tupý uhol je uhol menší ako 180 stupňov, ale väčší ako 90, ostrý roh nepresahuje 90 stupňov.

Okrem stupňov existuje aj radiánová miera uhla. V planimetrii je dĺžka ako L, polomer je r a príslušné centrálny roh– a. Navyše tieto parametre sú spojené vzťahom α = L/r. Toto je základ radiánovej miery uhlov. Ak L=r, potom sa uhol α bude rovnať jednému radiánu. Radiánová miera uhla je teda pomer dĺžky oblúka nakresleného ľubovoľným polomerom a uzavretého medzi stranami tohto uhla k polomeru oblúka. Úplná rotácia v stupňoch (360 stupňov) zodpovedá 2π v radiánoch. Jedna je 57,2958 stupňov.

Podobné videá

Zdroje:

• stupeň miera uhlov vzorec

Geometria je veľmi mnohostranná veda. Rozvíja logiku, predstavivosť a inteligenciu. Samozrejme, pre svoju zložitosť a obrovské množstvo teorémov a axióm sa školákom nie vždy páči. Okrem toho je potrebné neustále dokazovať svoje závery pomocou všeobecne uznávaných noriem a pravidiel.

Priľahlé a vertikálne uhly sú neoddeliteľnou súčasťou geometrie. Určite ich mnohí školáci jednoducho zbožňujú z toho dôvodu, že ich vlastnosti sú jasné a ľahko dokázateľné.

Tvorba rohov

Akýkoľvek uhol je vytvorený priesečníkom dvoch čiar alebo nakreslením dvoch lúčov z jedného bodu. Môžu sa nazývať jedno písmeno alebo tri, ktoré postupne označujú body konštrukcie rohu.

Uhly sa merajú v stupňoch a môžu sa (v závislosti od ich hodnoty) nazývať inak. Existuje teda pravý uhol, ostrý, tupý a nasadený. Každému z názvov zodpovedá určitá miera stupňa alebo jej interval.

Ostrý uhol je uhol, ktorého veľkosť nepresahuje 90 stupňov.

Tupý uhol je uhol väčší ako 90 stupňov.

Uhol sa nazýva pravý, keď je jeho miera 90.

V prípade, že je tvorená jednou súvislou priamkou a jej miera stupňov je 180, nazýva sa rozmiestnená.

Uhly, ktoré majú spoločnú stranu, ktorej druhá strana na seba nadväzuje, sa nazývajú susedné. Môžu byť ostré alebo tupé. Priesečník priamky tvorí susedné uhly. Ich vlastnosti sú nasledovné:

1. Súčet takýchto uhlov sa bude rovnať 180 stupňom (existuje veta, ktorá to dokazuje). Preto sa jeden z nich dá ľahko vypočítať, ak je známy druhý.
2. Z prvého bodu vyplýva, že susedné uhly nemôžu byť vytvorené dvoma tupými alebo dvoma ostrými uhlami.

Vďaka týmto vlastnostiam môžete vždy vypočítať mieru stupňa uhla s hodnotou iného uhla alebo podľa najmenej, vzťah medzi nimi.

Vertikálne uhly

Uhly, ktorých strany sú vzájomným pokračovaním, sa nazývajú vertikálne. Ako taký pár môže pôsobiť ktorákoľvek z ich odrôd. Vertikálne uhly sú vždy rovnaké.

Vznikajú pri pretínaní čiar. Spolu s nimi sú vždy prítomné susedné rohy. Uhol môže byť priľahlý pre jednu a vertikálny pre druhú.

Pri prechode ľubovoľnou čiarou sa zvažuje aj niekoľko ďalších typov uhlov. Takáto čiara sa nazýva sečna a tvorí zodpovedajúce, jednostranné a priečne ležiace uhly. Navzájom sú si rovní. Možno ich vidieť vo svetle vlastností, ktoré majú vertikálne a susedné uhly.

Téma rohov sa teda zdá byť celkom jednoduchá a zrozumiteľná. Všetky ich vlastnosti sa dajú ľahko zapamätať a dokázať. Riešenie problémov nie je ťažké, pokiaľ uhly zodpovedajú číselnej hodnote. Už ďalej, keď začne štúdium hriechu a cos, budete si musieť veľa zapamätať zložité vzorce, ich závery a dôsledky. Dovtedy si môžete užiť len jednoduché hádanky, v ktorých musíte nájsť priľahlé rohy.

V procese štúdia kurzu geometrie sa pomerne často stretávame s pojmami „uhol“, „vertikálne uhly“, „susedné uhly“. Pochopenie každého z pojmov pomôže pochopiť úlohu a správne ju vyriešiť. Čo sú susedné uhly a ako ich určiť?

Priľahlé rohy - definícia pojmu

Pojem "susedné uhly" charakterizuje dva uhly tvorené spoločným lúčom a dve ďalšie polpriamky ležiace na tej istej priamke. Všetky tri lúče pochádzajú z rovnakého bodu. Spoločná polpriamka je zároveň stranou jedného aj druhého uhla.

Priľahlé rohy - základné vlastnosti

1. Na základe formulácie susedných uhlov je ľahké vidieť, že súčet takýchto uhlov tvorí vždy priamy uhol, ktorého miera stupňov je 180°:

• Ak sú μ a η susedné uhly, potom μ + η = 180°.
• Keď poznáme hodnotu jedného zo susedných uhlov (napríklad μ), môžeme ľahko vypočítať mieru druhého uhla (η) pomocou výrazu η = 180° - μ.

2. Táto vlastnosť uhlov nám umožňuje vyvodiť nasledujúci záver: uhol, ktorý susedí pravý uhol, bude tiež rovný.

3. Zvažovanie goniometrické funkcie(sin, cos, tg, ctg) na základe redukčných vzorcov pre susedné uhly μ a η platí:

• sinη = sin(180° - μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° - μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° - μ) = -tgμ,
• ctgη ​​​​= ctg(180° - μ) = -ctgμ.

Priľahlé rohy - príklady

Príklad 1

Je daný trojuholník s vrcholmi M, P, Q – ΔMPQ. Nájdite uhly susediace s uhlami ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

• Predĺžme každú stranu trojuholníka ako priamku.
• Keď vieme, že susedné uhly sa navzájom dopĺňajú s priamym uhlom, zistíme, že:

vedľa uhla ∠QMP je ∠LMP,

vedľa uhla ∠MPQ je ∠SPQ,

susedný uhol pre ∠PQM je ∠HQP.

Príklad 2

Hodnota jedného susedného uhla je 35°. Aká je miera druhého susedného uhla?

• Dva susedné uhly tvoria spolu 180°.
• Ak ∠μ = 35°, potom susedné ∠η = 180° – 35° = 145°.

Príklad 3

Určte hodnoty susedných uhlov, ak je známe, že miera stupňa jedného spodného uhla je trikrát väčšia ako miera stupňa druhého uhla.

• Označme hodnotu jedného (menšieho) uhla cez – ∠μ = λ.
• Potom, podľa podmienky úlohy, bude hodnota druhého uhla rovná ∠η = 3λ.
• Na základe základnej vlastnosti susedných uhlov nasleduje μ + η = 180°

λ + 3λ = μ + η = 180°,

A = 180°/4 = 45°.

Prvý uhol je teda ∠μ = λ = 45° a druhý uhol je ∠η = 3λ = 135°.

Schopnosť apelovať na terminológiu, ako aj znalosť základných vlastností susedných uhlov pomôže zvládnuť riešenie mnohých geometrických problémov.